第十五章整式的乘除与因式分解
人教版数学八上第十五章“整式的乘除与因式分解”简介
第十五章“整式的乘除与因式分解”简介人民教育出版社中学数学室左怀玲俞求是人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识。
本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15．1 整式的乘法4课时15．2 乘法公式2课时15．3 整式的除法2课时15．4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15．1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15．2 乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
八年级上_第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
第十五章 整式乘除与因式分解
单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所 得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每 一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D. 2a 2 - 1 （a 2 - 1 ） （a 1 ）a 1 ) 2 2 (
2
4
2
2
2.下列各式是完全平方式的有( 1 2 ① x －４ x 4
计算： 3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- 1 x)2 x 3 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am · n = am+n a 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) m )n = amn 若(x-3)x+2=1, 3、幂的乘方: (a 求 x的值 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
C ) C. 0 D. 1
2.已知 532 - 1 能被20 - - - 30之间的两个整数 整除,这两个整数是 ( C ) A. 25,27 B. 26,28 C. 24,26 D. 22,24 A ) 3.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5
第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)
1 1 2 1 D. 2a 2 - 1 （ 2 a - ） （ 2 a ） (a ) 2 4 2 2
100a 3b3c 2 d
训练：计算 3x y (4xyz) (2x y)2 2来自2三：整式的乘除
2、单项式与多项式相乘
例2：计算（ 2x 2 )(xy 3xy2 1)
解：原式 2 x 2 xy 2 x 2 3xy 2 2 x 2 2 x y 6 x y 2 x
1 a （2） a
4、已知：x2+y2+6x-4y+13=0, 求x,y的值；
构造完全平 方公式
四：整式的除法
例：计算（ 4 x 2 y) 2 8x 2
解：原式 16x 4 y 2 8x 2 2 x 2 y 2 2 4 7 1 2 6 1 3 2 例：计算 ( a b a b ) ( ab ) 3 9 3 2 4 7 1 2 6 1 2 6 解：原式 ( a b a b ) a b 3 9 9
公式表示为：（ a b)2 a 2 2ab b2
计算:(1)98×102
(2)2992
(3) 20062-2005×2007
1 、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（1） a2+b2 （2）a-b
2 2 2 a +b =(a+b) -2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
第十五章整式的乘除与因式分解教材分析
第十五章整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。
这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。
也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。
2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。
全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。
在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。
实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。
3、教学目标《课程标准》目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.目标2：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.⑴解析每个目标①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。
②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。
③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。
人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。
第十五章整式乘除与因式分解知识点归纳
第十五章 整式乘除与因式分解----知识点归纳一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m nm p a a aa ∙==+ 如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x可以根据已知条件，对原来的指数进行适当地“分解”。
2、幂的乘方法则：mnnm aa =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m npa a aa )()(=== 如：23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n nnb a ab =)(（n 是正整数）。
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅===⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=.,111)1(1;,11)1(1,a b n n a a a a a b a a a a ab b a n nn n nn n n n nn 为奇数，为偶数，常见： 4、同底数幂的除法法则：nm nmaa a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m >同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷同底数幂的除法法则可以逆用：即n m nm p a a aa ÷==-如：已知3,537==x x ，则353537374=÷=÷==-x x x x 5、零指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
第十五章 整式的乘除与因式分解 (1)
第十五章整式的乘除与因式分解15.1.1同底数幂的乘法教学目标1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．教学过程一、创设情境，故事引入【情境导入】“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，•你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15•×105×102=15×？（引入课题）【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107【教师活动】下面引例．1．请同学们计算并探索规律．（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）53×54=_____________=5( )；（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )；（4）（110）3×（110）=___________=（110）( )；（5）a3·a4=________________a( )．提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算． 【教师拓展】计算a ·a=？请同学们想一想． 【学生总结】a ·a=()()()()m aam n aa aa a a a a a a a +=个n个个=a m+n这样就探究出了同底数幂的乘法法则． 二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）103×104； （2）a ·a 3； （3）a ·a 3·a 5； （4）x ·x 2+x 2·x【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a 是a 的一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3+x 3得2x 3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．【教师活动】投影显示例题，指导学生学习． 【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题． 三、随堂练习，巩固深化 课本练习题． 【探研时空】据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？ 四、课堂总结，发展潜能1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆． 五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题．15.1.2 幂的乘方重、难点与关键1．重点：幂的乘方法则．2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解． 教学方法采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程一、创设情境，导入新知【情境导入】大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r ，那么，•请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr 3） 【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为 V 木星=43π·（102）3=？（引入课题）． 【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导． 【学生活动】有些同学这时无从下手．【教师启发】请同学们思考一下a 3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a 3=a ×a ×a ，指3个a 相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，•因此（102）3=106．【教师活动】下面有问题：利用刚才的推导方法推导下面几个题目：（1）（a 2）3；（2）（24）3；（3）（b n ）3；（4）－（x 2）2． 【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：（a m）n =()n mmm mm m m ma a a a a +++=个n 个= a mn．评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：（1）（103）5；（2）（b 3）4；（3）（x n）3；（4）－（x 7）7．【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题．【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则： 解：（1）（103）5=103×5=1015； （3）（x n ）3=xn ×3=x 3n；（2）（b 3）4=b3×4=b 12； （4）－（x 7）7=－x7×7=－x 49．三、随堂练习，巩固练习 课本P143练习． 【探研时空】计算：－x2·x2·（x2）3+x10．【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题．【学生活动】书面练习、板演．四、课堂总结，发展潜能1．幂的乘方（a m）n=a mn（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．五、布置作业，专题突破课本P148习题15．1第1、2题．15.1.3 积的乘方重、难点与关键1．重点：积的乘方的运算．2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，•层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用．教学方法采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．教学过程一、回顾交流，导入新知【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别．【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问．【课堂演练】计算：（1）（x4）3（2）a·a5（3）x7·x9（x2）3【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，•然后再提出下面的问题．同学们思考怎样计算（2a3）4，每一步的根据是什么？【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论．（2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含义）=（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交换律、结合律）=24·a12（乘方的意义与同底数幂的乘法运算）=16a12【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab）4，说出每一步的根据是什么？【学生活动】独立思考之后，再与同学交流． （ab ）4=（ab ）·（ab ）·（ab ）·（ab ）（乘方的含义） =（aaaa ）·（bbbb ）（交换律、结合律） =a 4·b 4（乘方的含义）【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，•你能得出什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上式的指数改成n ，即：（ab ）n，其结果是什么？ 【学生活动】回答出（ab ）n=a n b n．【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab ）n=a n b n（n 为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n=()()()()()n n n ab ab ab aaa a b b b b 个个个=a n b n【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc ）n， 【学生活动】回答出结果是（abc ）n=a nb nc n． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：（1）（2b ）3；（2）（2×a 3）2；（3）（－a ）3；（4）（－3x ）4． 【教师活动】组织、讲例、提问． 【学生活动】踊跃抢答． 三、随堂练习，巩固深化 课本P144练习． 【探研时空】 计算下列各式： （1）（－35）2·（－35）3； （2）（a －b ）3·（a －b ）4； （3）（－a 5）5； （4）（－2xy ）4； （5）（3a 2）n； （6）（xy 3n）2－[（2x ）2] 3； （7）（x 4）6－（x 3）8；（8）－p ·（－p ）4； （9）（t m ）2·t ； （10）（a 2）3·（a 3）2． 四、课堂总结，发展潜能本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．1．积的乘方（ab ）n=a n b n（n 是正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，•也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误． 4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系． 五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1、2题．15.1.4 单项式乘以单项式重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，•则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【问题牵引】1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．【学生活动】分四人小组，合作学习．四、随堂练习，巩固深化课本P145练习第1、2题．五、课堂总结，发展潜能本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？六、布置作业，专题突破1．课本P149习题15．1第3题．2．选用课时作业设计．15.1.5 单项式与多项式相乘重、难点与关键1．重点：单项式与多项式相乘的法则．2．难点：整式乘法法则的推导与应用．3．•关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．口述单项式乘以单项式法则．2．口述乘法分配律．3．课堂演练，计算：（1）（－5x）·（3x）2（2）（－3x）·（－x）（3）13xy·23xy2（4）－5m2·（－13mn）（5）－15x4y6－2x2y·（－12x2y5）【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．二、创设情境，引入新课小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了16a米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n•（单位：元／台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），•再计算出总的收入（单位：元）．即：n（x+y+z）．方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即：nx+ny+nz．由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、范例学习，应用所学【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3） 40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=1934四、随堂练习，巩固深化课本P146练习．【探研时空】计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2五、课堂总结，发展潜能1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第4、6题．15.1.6 多项式与多项式相乘重、难点与关键1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．3．•关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．教学过程一、创设情境，操作感知【动手操作】首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1•所示的四部分，标上字母．【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，•然后再求这四块长方形的面积．【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，•它们的和为S=mn+nb+am+ab．【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．字母呈现：=ma+mb+na+nb．二、范例学习，应用所学【例1】计算：（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）【例3】先化简，再求值：（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．三、随堂练习，巩固新知课本P148练习第1、2题．【探究时空】一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？四、课堂总结，发展潜能1．多项式与多项式相乘，•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．五、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第5、6、7（2）、9、10题．15.2.1平方差公式（一）重、难点与关键1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：(a+b)(a－b) a b a2－b2结果(2x+3)(2x－3) 2x (2x) 2－32(b+3a)(3a－b)(－m+n)(－m－n)【例2】计算：（1）103×97 （2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P153练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P156第1、2题．15.2.1平方差公式（二）重、难点与关键1．重点：运用平方差公式进行整式计算．2．难点：准确把握运用平方差公式的特征．3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边：（1）两个二项式的积；（2）•两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．右边：（1）二项式；（2）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．用平方差公式计算：（1）（－9x－2y）（－9x+2y）（2）（－0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x）（3）（8a2b－1）（1+8a2b）（4）20082－2009×20072．计算：（a+12b）（a－12b）－（3a－2b）（3a+2b）【教师活动】请部分学生上讲台“板演”，然后组织学生交流．【学生活动】先独立完成课堂演练，再与同学交流．二、范例学习，巩固深化【例1】计算：（1）（34y+212x）（212x－34y）；（2）（－56x－0.7a2b）（56x－0.7a2b）；（3）（2a－3b）（2a+3b）（4a2+9b2）（16a4+81b4）．解：（1）原式=（52x+34y）（52x－34y）=2259416x y2（2）原式=（－0.7a2b－56x）（－0.7a2b+56x）=（－0.7a2b）2－（56x）2=0.4 9a4b2－2536x2（3）原式=（4a2－9b2）（4a2+9b2）（16a4+81b4） =（16a4－81b4）（16a4+81b4）=256a8－6561b8【例2】运用乘法公式计算：734×814【思路点拨】因为734可改写为8－14，814可改写成8+14，这样可用平方差公式计算．解：734×814=（8－14）（8+14）=82－（14）2=64－116=631516．三、课堂演练，拓展思维【演练题1】想一想：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．68?1315?6163?5961?77?1414?6262?6060?⨯=⨯=⨯=⨯=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⨯=⨯=⨯=⨯=⎩⎩⎩⎩ （2）从以上的过程中，你能寻找出什么规律？ （3）请你用字母表现你所发现的规律，并得出结论． 【演练题2】1．计算：（1）118×122 （2）105×95 （3）1007×9932．求（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1的个位数字． 【教师活动】组织学生进行课堂演练，并适时归纳． 【学生活动】先独立完成上面的演练题，再与同伴交流． 四、随堂练习，巩固提升 【探研时空】1．计算：[2a 2－（a+b ）（a －b ）][（－a －b ）（－a+b ）+2b 2]； 2．解不等式：（3x+4）（3x －4）<9（x －2）（x+3）； 3．利用平方差公式计算：1.97×2.03；4．化简求值：x 4－（1－x ）（1+x ）（1+x 2）其中x=－2． 【教师活动】引导学生通过探究，领会平方差公式的真正意义． 【学生活动】分四人小组合作学习，互相交流． 五、课堂总结，发展潜能 提问式总结：1．什么叫做平方差公式？它有什么特征？ 2．你在应用过程中有什么感想？3．在应用平方差公式时，应注意什么？举例说明．15.2.2 完全平方公式（一）重、难点与关键1．重点：完全平方公式的推导和应用． 2．难点：完全平方公式的应用．3．关键：从多项式与多项式相乘入手，推导出完全平方公式，•利用几何模和割补面积的方法来验证公式的正确性． 教具准备制作边长为a 和b 的正方形以及长为a 宽为b 的纸板． 教学过程一、创设情境，导入新知【激趣辅垫】寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．【教师活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）【学生发言】比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货．【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：（1）（2x－3）2；（2）（x+y）2；（3）（m+2n）2；（4）（2x－4）2．【学生活动】先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，（1）（2x－3）2=4x2－12x+9；（2）（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2；（4）（2x－4）2=4x2－16x+16．【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．【学生活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）•右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2•倍就为“－”号，其余都为“＋”号．【教师提问】那我们就利用简单的（a+b）2与（a－b）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．【学生活动】计算出（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2，完成后，•一位学生上讲台板演．【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式．归纳：完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2．语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．【拼图游戏】解释：（1）现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，•并探究所拼出的正方形的代数意义．（2）你能根据图2，谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2吗？【课堂活动】第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到（a－b）2=a2－b2－2b（a－b）=a2－2ab+b2．二、范例学习，应用所学【例1】运用完全平方公式计算： （1）（－x －y ）2； （2）（2y －13）2（1）解法一：（－x －y ）2=[（－x ）+（－y ）] 2=（－x ）2+2（－x ）（－y ）+（－y ）2=x 2+2xy+y 2；解法二： （－x －y ）2=[－（x+y ）] 2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2．（2）解法一：（2y －13）2=（2y ）2－2·2y ·13+（13）2=4y 2－43y+19． 解法二：（2y －13）2=[2y+（－13）] 2=（2y ）2+2·2y ·（－13）+（－13）2=4y 2－43y+19． 【例2】运用乘法公式计算99992． 解：99992=（104－1）2=108－2×104+1 =100000000－20000+1 =99980001．三、随堂练习，巩固新知 【基础训练】（1）（3a －2b ）2； （2）（2xy+3）2； （3）（－ab+13）2； （4）（7ab+2）2．【拓展训练】（1）（－2x －3）2； （2）（2x+3）2； （3）（2x －3）2； （4）（3－2x ）2． 【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律．【学生活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是负的． 【探研时空】已知：x+y=－2，xy=3，求x 2+y 2． 四、课堂总结，发展潜能本节课学习了（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2，两个乘法公式，在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题． 五、布置作业，专题突破课本P156习题15．2第3、4、8、9题．15.2.2 完全平方公式（二）。
人教版八年级上册数学课本知识点归纳
人教版八年级上册数学课本知识点归纳第十五章：整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1.同底数幂的乘法规则是：am·an＝am+n（m，n都是正整数）。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘法规则是：（am）n＝amn（m，n都是正整数）。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘法规则是：（ab）n＝an·bn（n为正整数）。
即乘方的积等于积的乘方。
4.单项式与单项式相乘的规则是：（1）系数与系数相乘；（2）同底数幂与同底数幂相乘；（3）其余字母及其指数不变作为积的因式。
5.单项式与多项式相乘的规则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6.多项式与多项式相乘的规则是：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
二、乘法公式1.平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.2.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。
（这个情况就是前后两项同号得正，异号得负。
）3.添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号。
三、整式的除法1.am÷an==am－n（a≠，m，n都是正整数，且m＞n）。
即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2.a=1（a≠）。
任何不等于1的数的次幂都等于1.3.单项式除以单项式的规则是：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里的幂不变。
4.多项式除以单项式的规则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
四、因式分解1.因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.公因式是一个多项式中各项都含有的相同的因式。
3.分解因式的方法：1) 提公因式法：ma+mb+mc =m(a+b+c)。
!初二数学第15章《整式的乘除与因式分解》教案
第十五章 整式的乘除与因式分解课题： 15.1.1 同底数幂的乘法教学目标：1、探究同底数幂的乘法法则。
2、会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。
3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
重点：同底数幂的乘法法则及应用。
难点：熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习方法：自学、归纳、交流、练习课前准备：布置前置性作业。
一．知识要点１．２３×２４＝(２×２×２)(２×２×２×２) ＝2( )a 2×a 6=______________________________=a ( )2.根据1中的规律,以幂的形式写出结果:102×104=____ 32×33=____ (-10)2×(-10)4=____ a 2×a 3=____ 3.a m· a n=_________ (m 、n 都是正整数）4.同底数幂相乘，___________________,______________________。
5.am•a n •ap=___________________。
二．知识应用1、计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)52、10×10×10×10×10可以写成 形式？3、26表示 ？4. 什么叫作乘方？ 。
5、 a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n分别叫做什么？6、判断正误： ⑴222743=+（ ） ⑵ 222743=•（ ）⑶xx x 1262=•（ ） ⑷x2x x 666=•（ ）7、选择： ⑴x2m 2+可写成 （ ）A 、x1m 2+ B 、xx2m2+C 、xx 1m 2+•D 、xx2m2•⑵在等式()aaa 1142=••中，括号里面的代数式应当是（ ）A 、a7B 、a6C 、a5D 、a4⑶若3x a =，5x b =，则xba +的值为 （ ）A 、8 B 、15 C 、35D 、53教学过程：一、检查前置性作业的完成情况。
第十五章整式的乘除与因式分解(公式法)
15．4．2公式法一、教材分析：（一）教材的地位与作用《15．4．2公式法》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上）第十五章《整式的乘除与因式分解》的第四节的第二课时内容。
用平方差公式分解因式与整式乘法的平方差公式是相反方向的变形，分解因式的变形不仅体现了一种“化归”思想，也为学习分式四则运算、利用因式分解法解一元二次方程奠定基础，起到了承上启下的作用。
把整式乘法的平方差公式与它的逆变形安排在同一章，不仅使学生认识、体会、理解分解因式的意义，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
（二）、目标分析：依据新数学课程标准,这节课要求:目标1.使学生理解平方差公式(逆向)的意义并掌握其特点.目标2.能熟练运用公式将多项式进行因式分解.根据”布卢姆教育目标分类学”,平方差公式属概念性知识,运用平方差公式进行因式分解属程序性知识,故可将本节课目标分析如下:（三）教学重难点、关键：1、重点：运用平方差公式进行分解因式。
2、难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式。
3、关键：弄清公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
二、学生和学法分析：本节课是利用公式法——平方差公式进行因式分解，之前学生已经学习过整式乘法的平方差公式及利用提取公因式法进行因式分解，所以学生已经具备了学习本节内容的知识基础。
另外，作为八年级学生，他们已经积累了一些学习经验、方法，且具备了一定的探究能力。
根据学生原有的知识作为新知识的生长点，就能引导学生从原有的知识中生长新的知识。
这一思想与维果斯基的“最近发展区”的思想相一致。
学习方法分两种：一是接受式学习，二是发现式学习。
发现式学习的特点是重视知识发生过程的教学，有利于培养和提高学生的智力，特别是有利于发展学生的创造性思维能力。
同时，学生在学习过程中看到自己有所发现，可以大大激发学习兴趣，产生强烈的求知欲。
苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模需要，这就是希望感到自己是一个发现者，研究者。
第十五章整式的乘除与因式分解
第十五章整式的乘除与因式分解
15.1.1同底数幂的乘法
15.1. 2幂的乘方
15．1．3积的乘方
15．1.4整式的乘法
15.1.4 多项式与多项式相乘根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．
）继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，•然后再求这四块长方形的面积．
依据上面的操作，求得的图形面积，探索
n+a）应该等于什么？
（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab
15.2. 1平方差公式
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
+50-50-1=50-1．
即（50+1）（50-1）=502-12．
-a+b）（-a-b）=（-a）·（
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方
15.2.2完全平方公式
请同学们总结完全平方公式的结构特征． [师]说得很好，我们还要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．
应用完全平方公式计算：
15.2.2完全平方公式（2）
15.4.1同底数幂的除法
15．4．2 整式的除法
15．4．1提公因式法
15.4.2公式法（第一课时）
15.4.2公式法（第二课时）
列各
子？如果不，。
第15章整式的乘除与因式分解全章教案
第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为12²c²h．2．小王的平均速度是St．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、12ch、St是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为 表示一个数，则它的相反数是________（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x ． （2）汽车走过的路程：vt ．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长³宽³高，即a 3． （4）n 的相反数是－n ． 分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、St中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、St这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、•12ch 都是二次单项式；a 3是三次单项式．问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z ．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r 2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3³2、4³3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x 2+2x+18． 我们可以观察下列代数式：a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？ 这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数． a+b+c 的项分别是a 、b 、c ．t-5的项分别是t 、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是3x 、5y 、2z ．12ab-3.12r 2的项分别是12ab 、-3.12r 2．x 2+2x+18的项分别是x 2、2x 、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”． 课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
详解-15章-整式整式的乘除与因式分解
第十五章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.1.1 同底数幂的乘法知能新视窗知识结构学点博览学点1 同底数幂的乘法法则：a m·a n=a m+n(m、n都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．理解要点：（1）法则理解①同底数幂是指底数相同的幂．如(-3)2与(-3)5,(ab3)2与(ab3）5,(x-y)2与(x-y)3 等．②同底数幂的乘法法则的表达式中，左边：两个幂的底数相同，且是相乘的关系；右边：得到一个幂，且底数不变，指数相加．（2）法则逆用与推扩①同底数幂的乘法法则也可逆用，可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它的指数之和等于原来幂的指数．即a m+n=a m·a n(m、n都是正整数)如：25=23·22=2·24等．②同底数幂的乘法法则可推扩到三个或三个以上的同底数幂的相乘．a m·a n·a p=a m+n+p(m、n…p都是正整数)，a m·a n·…·a p=a m+n+…+p(m、n…p都是正整数) ．（3）应用法则注意的事项：①底数不同的幂相乘，不能应用法则.如：32·23≠32+3；②不要忽视指数为1的因数，如:a·a5≠a0+5．③底数是和差或其它形式的幂相乘，应把它们看作一个整体．名师开小灶金考点考点1 同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好．[例1]计算：（1）-a·(-a)3（2）-a3·(-a)2（3）(a-b)2·(a-b)3 （4）(a-b)2·(b-a)3[点拨]根据幂的符号法则，把幂的底数统一．[解答] (1)-a·(-a)3=(-a)4=a4(2)-a3·(-a)2 =-a3·a2= -a3+2= -a5(3)(a-b)2·(a-b)3=(a-b)2+3=(a-b)5(4)(a-b)2·(b-a)3=(b-a)2·(b-a)3=(b-a)5[方法规律]在a m·a n=a m+n中，a可以代表任意的有理数，单项式、多项式，解这类题目往往要用到幂的符号法则使底数一致。
第十五章整式的乘除与因式分解小结
第十五章整式的乘除与因式分解小结第一篇：第十五章整式的乘除与因式分解小结旭日培训学校第十五章整式的乘除与因式分解小结一、同底数幂的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即ａ·ａ＝ａ（ｍ、ｎ都是正整数）。
注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即ａ·ａ·ａ＝ａ（ｍ、ｎ、ｐ都是正整数）。
（２）运算性质可以逆运用，即ａ＝ａ·ａ。
（３）幂的底数ａ可以是单项式，也可以是多项式。
二、幂的乘方与积的乘方：（１）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ａ）＝ａ（ｍ、ｎ都是正整数）。
注意：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。
幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
（２）此性质可以逆运用，即ａ＝（ａ）＝（ａ）。
（２）积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的积，即（ａｂ）＝ａｂ（ｎ为正整数）。
注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（ａｂｃ）＝ａ·ｂ·ｃ（ｎ为正整数）。
（２）此性质可以逆运用，即ａ·ｂ＝（ａｂ）。
三、同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即ａ÷ａ＝ａ（ａ≠０，ｍ、ｎ为正整数，且ｍ＞ｎ）。
注意：此性质可以逆运用，即ａ＝ａ÷ａ。
四、零指数幂与负整数指数幂：在ａ÷ａ＝ａ中，当ｍ＝ｎ时，规定ａ÷ａ＝ａ＝１（ａ≠０）当ｍ＜ｎ时，规定ａ÷ａ＝ａ＝。
（１）零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于１，即ａ＝１（ａ≠０）。
（２）负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的－ｎ（ｎ为正整数）次幂，等于这个数的ｎ次幂的倒数，即ａ＝（ａ≠０，ｎ为正整数）。
注意：（１）在这两个幂的意义中，强调底数ａ都不等于零，否则无意义。
（２）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指的幂。
第十五章 整式的乘除与因式分解
让更多的孩子得到更好的教育
四、x与1/x类型
• 1、若x-1/x=3，求x2+1/x2的值。 • 答案：11 • 2、若x2-13x+1=0,则x4+ 的个位数字是
。
• 答案：7 • 3、非0实数a、b满足4a2+b2=4ab，求 • 答案：2
的值。
• 注意：熟悉x与1/x关系一类题的性质，并学会 创造条件。
让更多的孩子得到更好的教育
• 2、31=3，32=9，33=27，34=81，35=243， 36=729，37=2187，38=6561， 39=19683，……它们的个位数字的变化有 一定规律，用你发现的规律直接写出910的 个位数字是几？ • 答案：1 、判断（2+1）· 22+1）· 24+1）…… （ （ • 3 （22048+1）+1的个位数字是几？ 2 • 解：原式=（2-1）（2+1）（2 +1） （24+1）……（22048-1）+1 个位数字必为6。 =24096=161024 • 注意：多种数学方法的综合应用。
• 因式分解是代数的重要内容，它是整式乘 法的逆变形，在通分、约分、解方程以及 函数恒等变形中有直接应用。 • 重点是掌握提取公因式法、公式法、分组 分解法、十字相乘法四种基本方法。 • 难点是根据题目的形式和特征恰当选择方 法进行分解，以提高综合解题能力。
2013-2-28
26
让更多的孩子得到更好的教育
2013-2-28 21
让更多的孩子得到更好的教育
九、实际应用问题
• 1、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价 格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m元 后，又降价20%，现售价为n元，那么该 电脑的原售价为 多少？ • 解：(5n/4+m)元 • 注意：此类问题是现阶段考试的热点，难 度不大，往往联系实际，只是一些固有知 识穿上了时尚的外衣。
第15章整式的乘除与因式分解全章教案
第15章整式的乘除与因式分解全章教案思考： 先填空，再看看列出的代数式有什么特点． （1）边长为x 的正方形的周长为_________；（2）一辆汽车的速度是v 千米/时，行驶t 小时所走过的路程为_______千米． （3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；（4）设n 表示一个数，则它的相反数是________．第十五章 整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义． 2．多项式、多项式的次数． 3、理解整式概念． 教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题 1．要表示△ABC 的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm 的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC 的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a ，AC=b ，AB=c ．AB 边上的高为h ，•那么△ABC 的周长可以表示为a+b+c ；△ABC 的面积可以表示为12·c ·h ． 2．小王的平均速度是S t ．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c 、12ch 、St 是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x ． （2）汽车走过的路程：vt ．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长×宽×高，即a 3． （4）n 的相反数是－n ． 分析这四个数的特征． 它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、St 中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、S t 这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．第15章整式的乘除与因式分解全章教案结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、•12ch 都是二次单项式；a 3是三次单项式．问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？ 写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z ． （3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r 2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x 2+2x+18． 我们可以观察下列代数式：a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、2ab-3.12r 2、x 2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c 的项分别是a 、b 、c ．t-5的项分别是t 、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是3x 、5y 、2z ． 12ab-3.12r 2的项分别是12ab 、-3.12r 2．x2+2x+18的项分别是x 2、2x 、18． 找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感． Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”． 课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、 解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
第十五章 整式的乘除与因式分章节知识点
第十五章 整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）。
幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
()m n mn a a =（m ，n 都是正整数）。
积的乘方：积的乘方，等于把积的毎一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
()m m n ab a a =⋅单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因子。
单项式与多项式相乘：就是用单项同志去乘多项式的毎一个单项式，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的毎一项，再把所得的积相乘。
15.2 乘法公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这个两个数的平方差。
22()()a b a b a b +-=-。
完全平方公式：两数和（或差）的平方 ，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
222()2a b a ab b ±=±+。
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
阅读与思考 杨辉三角 这个看起来不太容易啊～15.3 整式的除法同底数幂相除：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
m n m n a a a -÷=（0a ≠ 0次幂：任何不等于0的数的0次幂都等于0.单项式相除：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有字母的，则连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
15.4 因式分解因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法：平方差公式22()()a b a b a b -=+-，完全平方公式2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-十字相乘法：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 以上公式的应用关键在于形式，比如把（2x-y ）看作a 之类的代换比较重要。
第十五章-整式的乘除与因式分解-复习课件(高效)
2021/1/4
19
结语
谢谢大家！
你 回 忆 起 了 吗 ？ 就 这 些数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示： （其中m、n为正整数）
am•anamn
练习：判断下列各式是否正确。
a3•a32a3,b4b4b8,m2m22m2
(x)3•(x)2•(x)(x)6x6
2021/1/4
2021/1/4
7
6.乘法公式：
（1）、平方差公式 一般的，我们有：
(ab)(ab)a2 b2 其中 a,b既可以是 ,也数可以是代. 数
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公 式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的 差的积的形式。
9
注意：
• （1）()() • (2 )（)2=()2 • (3) ()2=()2 • (4) ()3()3
2021/1/4
10
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都要改变符号。
2021/1/4
11
8.整式的除法：
3
4
2021/1/4
15
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个 多项式因式分解或分解因式。
与整式乘法的关系：
互为逆过程，互逆关系
分解因式
方法
步骤 2021/1/4