2014届高考数学一轮复习 第5章《正弦定理和余弦定理应用举例》名师首选学案 新人教A版
2014届高考数学一轮必备考情分析学案：4.7《正弦定理、余弦定理应用举例》
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答案 5 6
[来源:学科网]
[解析] 如图，连接 A1B2 由已知 A2B2＝10 2，
[来源:学科网]
20 A1A2＝30 2×60＝10 2，∴A1A2＝A2B2.
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又∠A1A2B2＝180° －120° ＝60° ， ∴△A1A2B2 是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105° －60° ＝45° ，(8 分) 在△A1B2B1 中，由余弦定理得
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解 在△ADC 中，AD＝10， AC＝14，DC＝6， AD2＋DC2－AC2 由余弦定理得 cos∠ADC＝ 2AD· DC 100＋36－196 1 ＝ ＝－2，∴∠ADC＝120° ，∴∠ADB＝60° . 2×10×6 在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45° ，∠ADB＝60° ， AB AD 由正弦定理得 ＝sin B， sin∠ADB AD· sin∠ADB 10sin 60° ∴AB＝ ＝ sin 45° ＝ sin B 3 10× 2 ＝5 6. 2 2
2 2 B1B2 A1B2· cos 45° 2＝A1B1＋A1B2－2A1B1·
2 ＝202＋(10 2)2－2×20×10 2× 2 ＝200， ∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 20 ×60＝30 2(海里/时)．(12 分) 巩固提高 1．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° 后，就可以计算出 A， B 两点的距离为( )．
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2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.6正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．对应学生65考点梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．【助学·微博】一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．考点自测1．(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a ＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12.故C＝120°.答案 C2．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )． A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 因为8b ＝5c ，则由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选择A. 答案 A3．(2013·三亚模拟)在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a ＝c ，整理得a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 B4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，得3sin π3＝3sin ∠B ， sin ∠B ＝12.∵a >b ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝π6， ∴∠C ＝π－π3－π6＝π2. 答案 π25．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案2对应学生66考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】►(1)(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.(2)(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. [审题视点] (1)利用余弦定理．(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．解析 (1)根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. (2)由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案 (1)4 (2)145(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【训练1】 (1)(2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 (1)∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理可得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，即ba ＝ 2.(2)由题可知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 (1)D (2)π6考向二 判断三角形形状【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．[审题视点] (1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cos A ；(2)利用三角形内角和定理用角B 表示角C ，求角B ，从而确定三角形的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【训练2】 (1)(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定(2)在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状为________．解析 (1)由sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，得：a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 (1)A (2)等腰三角形考向三 与三角形面积有关的问题【例3】►(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [审题视点] (1)由正弦定理进行边化角；(2)由余弦定理和面积公式建立关于b ，c 的方程组，求b ，c . 解 (1)由a cos C ＋ 3a sin C －b －c ＝0，及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来． 【训练3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154， 因此S＝12ac sinB＝12×1×2×154＝154.对应学生67热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，除了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．【真题探究】► (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )． A.32 B.22 C.12 D ．－12[教你审题] 一审 由已知等式和余弦定理消去c ； 二审 用a ，b 表示出cos C ； 三审 由基本不等式求最小值．[解法] 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，所以选C. [答案] C[反思] 本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c ，无法得出关于a ，b 的代数式；三是基本不等式用错．【试一试】 (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )． A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3. 答案 A对应学生261A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )． A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.答案π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.答案－2 4三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝ 1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C .所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4.答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC的周长等于 ( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝ 2cos π8sin π8＝12.。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案第一章：正弦定理的应用1.1 概述介绍正弦定理的概念和基本公式解释正弦定理在几何图形中的应用1.2 三角形内角和定理证明三角形内角和定理运用正弦定理计算三角形的内角和1.3 三角形面积计算介绍三角形面积计算公式运用正弦定理计算三角形的面积第二章：余弦定理的应用2.1 概述介绍余弦定理的概念和基本公式解释余弦定理在几何图形中的应用2.2 三角形边长计算运用余弦定理计算三角形的边长举例说明余弦定理在实际问题中的应用2.3 三角形角度计算运用余弦定理计算三角形的角度举例说明余弦定理在实际问题中的应用第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的综合应用解释正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用3.2 三角形全等的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形全等举例说明正弦定理与余弦定理在三角形全等问题中的应用3.3 三角形相似的证明运用正弦定理与余弦定理证明三角形相似举例说明正弦定理与余弦定理在三角形相似问题中的应用第四章：正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用4.1 概述介绍正弦定理与余弦定理在实际问题中的应用解释正弦定理与余弦定理在实际问题中的重要性4.2 测量问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决测量问题举例说明正弦定理与余弦定理在测量问题中的应用4.3 几何问题中的应用运用正弦定理与余弦定理解决几何问题举例说明正弦定理与余弦定理在几何问题中的应用第五章：正弦定理与余弦定理的拓展与应用5.1 概述介绍正弦定理与余弦定理的拓展与应用解释正弦定理与余弦定理在其他领域中的应用5.2 在物理学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在物理学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在振动、波动等问题中的应用5.3 在工程学中的应用介绍正弦定理与余弦定理在工程学中的应用举例说明正弦定理与余弦定理在建筑、航空航天等领域中的应用第六章：正弦定理与余弦定理在三角形中的应用举例6.1 概述回顾正弦定理与余弦定理的基本概念和公式。
2014届高考数学一轮复习4.6正、余弦定理及其应用举例教学案
BC AC 3 2 AC 1．B 解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 AC＝2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° a＋c 2B 2．B 解析：∵cos ＝ ， 2 2c a＋c 2B ∴2cos －1＝ －1， 2 c a c 2 2 a ＋c －b2 a 2 2 2 ∴ ＝ ，∴c ＝a ＋b . 2ac c 3．C 解析：如图，A，B 为灯塔，船从 O 航行到 O′，
答题指导：
1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而 不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件． 2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条 件．
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 acos A＝bsin B，则 sin Acos A＋cos2B＝( )． 1 1 A． － B． C．－1 D．1 2 2 2．在△ABC 中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 acos B＝bcos A，则△ABC 的形状为 __________． 3．(2012 福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝ 3，则 AC＝ __________. π 4． (2012 陕西高考)在△ABC 中， 角 A， B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ， 6
A．α ，a，b B．α ，β ，a C．a，b，γ D．α ，β ，γ 5．(2013 山东实验高三一诊)在△ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 a＝ 3， b＝ 2，B＝45°，则角 A＝________.
一、利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1－1】(2012 辽宁高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B， C 成等差数列． (1)求 cos B 的值； (2)边 a，b，c 成等比数列，求 sin Asin C 的值． sin A＋sin B 【例 1－2】△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan C＝ ，sin(B cos A＋cos B －A)＝cos C．
2014高考数学(理)一轮复习总教案：5.7 正弦定理和余弦定理
5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝错误!，BC＝1，cos C＝错误!.(1）求sin A的值；(2）求BC•CA的值.【解析】(1）由cos C＝错误!得sin C＝错误!。
所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.（2）由（1)知，cos A＝错误!.所以cos B＝－cos（A＋C）＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－错误!＋错误!＝－错误!.所以BC·CA＝BC·（CB＋BA)＝BC•CB＋BC•BA＝－1＋1×2×cos B＝－1－错误!＝－错误!.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC中,已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为错误!，则∠C＝。
【解析】S＝错误!＝错误!absin C.所以sin C＝错误!＝cos C。
所以tan C＝1，又∠C∈(0,π)，所以∠C＝错误!.题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(错误!＋B)sin(错误!－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB•AC＝12，a＝2错误!，求b,c（其中b＜c）。
【解析】（1)因为sin2A＝（错误!cos B＋错误!sin B）（错误!cos B－错误!sin B)＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!，所以sin A＝±错误!。
又A 为锐角，所以A＝错误!.（2)由AB•AC＝12可得cbcos A＝12.①由（1)知A＝错误!，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝2错误!及①代入得c2＋b2＝52。
③③＋②×2，得（c＋b)2＝100，所以c＋b＝10。
2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理
2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理第一篇：2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1.正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；a=__R（R为∆ABCsinAsinA=②abc,sinB=,sinC=2R2R2R；③sinA:sinB:sinC=a:b:c．（5）三角形面积公式：S∆ABC=________=_________=________．(6)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2.余弦定理：a=_____________________；b2=____________________；c2=_____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；οb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2cosC=(4)变形：cosA= cosB=．2bc2ac2ac（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:①若A为锐角时:⎧a<bsinA无解⎪⎪a=bsinA一解(直角)⎨⎪bsinA<a<b二解(一锐, 一钝)⎪a≥b一解(锐角)⎩已知边a,b和∠Aa无解a=CH=bsinA仅有一个解CH=bsinA②若A为直角或钝角时:⎨⎧a≤b无解⎩a>b一解(锐角)三、基础检测：1.在中，则等于（）A．B．C．D．2.若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形3.在，面积，则BC长为（）A．B．75C．51D．494．在中，已知角则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°5．中，sinB=1,sinC=,则a：b：c为（22）A.1：3：2B.1：1：C.1：2：D.2：1：或1：1：6.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD,2AB=,BC=2BD，则sinC的值为A． B． C．D．7.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第五章解三角形与平面向量学案23 正弦定理和余弦定理导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理．三角形的有关性质在△ABc中，A＋B＋c＝________；a＋b____c，a－b<c；a>b⇔sinA____sinB⇔A____B；三角形面积公式：S△ABc＝12ah＝12absinc＝12acsinB ＝_________________；在三角形中有：sin2A＝sin2B⇔A＝B或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin＝sinc，sinA＋B2＝cosc2.2．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容________________＝2Ra2＝____________，b2＝____________，c2＝____________.变形形式①a＝__________，b＝__________，c＝__________；②sinA＝________，sinB＝________，sinc＝________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csinA＋sinB＋sinc＝asinA cosA＝________________；cosB＝________________；cosc＝_______________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测．若△ABc的三个内角满足sinA∶sinB∶sinc＝5∶11∶13，则△ABcA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形c．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．在△ABc中，内角A，B，c的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinc＝23sinB，则A等于A．30°B．60°c．120°D．150°3．在△ABc中，A＝60°，b＝1，△ABc的面积为3，则边a的值为A．27B.21c.13D．34．在△ABc中，角A，B，c所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．5．在△ABc中，若b＝1，c＝3，c＝2π3，则a＝________.探究点一正弦定理的应用例1 在△ABc中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、c 和边c；在△ABc中，a＝8，B＝60°，c＝75°，求边b和c.变式迁移1 在△ABc中，若tanA＝13，c＝150°，Bc ＝1，则AB＝________；在△ABc中，若a＝50，b＝256，A＝45°，则B＝________.探究点二余弦定理的应用例2 已知a、b、c分别是△ABc中角A、B、c的对边，且a2＋c2－b2＝ac.求角B的大小；若c＝3a，求tanA的值．变式迁移2 在△ABc中，a、b、c分别为A、B、c的对边，B＝2π3，b＝13，a＋c＝4，求a.探究点三正、余弦定理的综合应用例3 在△ABc中，a、b、c分别表示三个内角A、B、c 的对边，如果sin＝sin，试判断该三角形的形状．变式迁移3 在△ABc中，AcAB＝cosBcosc.证明：B＝c；若cosA＝－13，求sin4B＋π3的值．．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．一、选择题．在△ABc中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于A．－223B.223c．－63D.632.在△ABc中AB＝3，Ac=2，Bc=，则AB→Ac→等于A．－32B．－23c.23D.323．在△ABc中，sin2A2＝c－b2c，则△ABc的形状为A．正三角形B．直角三角形c．等腰直角三角形D．等腰三角形4．在△ABc中，若A＝60°，Bc＝43，Ac＝42，则角B 的大小为A．30°B．45°c．135°D．45°或135°5．在△ABc中，角A，B，c所对的边长分别为a，b，c，若c＝120°，c＝2a，则A．a>bB．a<bc．a＝bD．a与b的大小关系不能确定题号2345答案二、填空题6．在△ABc中，B＝60°，b2＝ac，则△ABc的形状为________________．7．已知a，b，c分别是△ABc的三个内角A，B，c所对的边，若a＝1，b＝3，A＋c＝2B，则sinc＝________.8．在锐角△ABc中，AD⊥Bc，垂足为D，且BD∶Dc∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAc的大小为________．三、解答题9.在△ABc中，角A，B，c所对的边分别为a，b，c，且满足，AB→Ac→=3.求△ABc的面积；若b＋c＝6，求a的值．0．在△ABc中，已知B＝45°，D是Bc边上的一点，AD ＝10，Ac＝14，Dc＝6，求AB的长．1．设△ABc的内角A、B、c的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.求sinA的值；求2sinA＋π4sinB＋c＋π41－cos2A的值．答案自主梳理．π>>>12bcsinA A＋B＝π2 2.asinA＝bsinB＝csinc b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosc ①2RsinA 2RsinB 2Rsinc ②a2R b2R c2R ③sinA∶sinB∶sinc b2＋c2－a22bc a2＋c2－b22ac a2＋b2－c22ab自我检测．c 2.A 3.c4.π65.1课堂活动区例 1 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABc中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；②当a＝bsinA时，有一解；③当bsinA<a<b时，有两解；④当a<bsinA时，无解．若A为直角或钝角，①当a>b时，有一解；②当a ≤b时，无解．解由正弦定理asinA＝bsinB得，sinA＝32.∵a>b，∴A>B，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，c＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsincsinB＝6＋22；当A＝120°时，c＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsincsinB＝6－22.综上，A＝60°，c＝75°，c＝6＋22，或A＝120°，c＝15°，c＝6－22.∵B＝60°，c＝75°，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinc，得b＝a•sinBsinA＝46，c＝a•sincsinA ＝43＋4.∴b＝46，c＝43＋4.变式迁移1 102 60°或120°解析∵在△ABc中，tanA＝13，c＝150°，∴A为锐角，∴sinA＝110.又∵Bc＝1.∴根据正弦定理得AB＝Bc•sincsinA＝102.由b>a，得B>A，由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝25650×22＝32，∵0°<B<180°∴B＝60°或B＝120°.例2 解∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0<B<π，∴B＝π3.方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a. 由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0<A<π，∴sinA＝1－cos2A＝2114，∴tanA＝sinAcosA＝35.方法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sinB＝7sinA.由知，B＝π3，∴sinA＝2114.又b＝7a>a，∴B>A，∴cosA＝1－sin2A＝5714.∴tanA＝sinAcosA＝35.方法三∵c＝3a，由正弦定理，得sinc＝3sinA. ∵B＝π3，∴c＝π－＝2π3－A，∴sin＝3sinA，∴sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3sinA，∴32cosA＋12sinA＝3sinA，∴5sinA＝3cosA，∴tanA＝sinAcosA＝35.变式迁移2 解由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB ＝a2＋c2－2accos23π＝a2＋c2＋ac＝2－ac.又∵a＋c＝4，b＝13，∴ac＝3，联立a＋c＝4ac＝3，解得a＝1，c＝3，或a＝3，c＝1.∴a等于1或3.例3 解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解方法一∵sin＝sin⇔a2[sin－sin]＝b2[－sin－sin]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB＝0，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABc是等腰三角形或直角三角形．方法二同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2b×b2＋c2－a22bc＝b2a×a2＋c2－b22ac，∴a2＝b2，即＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移 3 解题导引在正弦定理asinA＝bsinB＝csinc＝2R中，2R是指什么？a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2Rsinc的作用是什么？证明在△ABc中，由正弦定理及已知得sinBsinc＝cosBcosc.于是sinBcosc－cosBsinc＝0，即sin＝0.因为－π<B－c<π，从而B－c＝0.所以B＝c.解由A＋B＋c＝π和得A＝π－2B，故cos2B＝－cos＝－cosA＝13.又0<2B<π，于是sin2B＝1－cos22B＝223.从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝429，cos4B＝cos22B－sin22B＝－79.所以sin4B＋π3＝sin4Bcosπ3＋cos4Bsinπ3＝42－7318.课后练习区．D 2.D 3.B 4.B 5.A6．等边三角形解析∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝a2＋c2－ac，∴2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴△ABc为等边三角形．7．1解析由A＋c＝2B及A＋B＋c＝180°知，B＝60°. 由正弦定理知，1sinA＝3sin60°，即sinA＝12.由a<b知，A<B，∴A＝30°，c＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°，∴sinc＝sin90°＝1.8.π4解析设∠BAD＝α，∠DAc＝β，则tanα＝13，tanβ＝12，∴tan∠BAc＝tan＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋121－13×12＝1.∵∠BAc为锐角，∴∠BAc的大小为π4.9．解因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.……………………………………………………又由AB→•Ac→＝3得bccosA＝3，所以bc＝5，因此S△ABc＝12bcsinA＝2.…………………………………………………………………由知，bc＝5，又b＋c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2－165bc＝20，所以a＝25.………0．解在△ADc中，AD＝10，Ac＝14，Dc＝6，由余弦定理得，cos∠ADc＝AD2＋Dc2－Ac22AD•Dc＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………∴∠ADc＝120°，∠ADB＝60°.…………………………………………………………在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD•sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.…………………………………………………………………………1．解∵3b2＋3c2－3a2＝42bc，∴b2＋c2－a2＝423bc.由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，……………………………………………又0<A<π，故sinA＝1－cos2A＝13.……………………………………………………原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A………………………………………………………＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A…………………………………………＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.所以2sinA＋π4sinB＋c＋π41－cos2A＝－72.……………………………………………………。
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
高中数学教案：余弦定理与正弦定理的应用
高中数学教案：余弦定理与正弦定理的应用一、引言数学是一门重要的科学学科，它在人们的日常生活中有着广泛的应用。
在高中数学教学中，余弦定理和正弦定理是数学的重要内容之一。
它们不仅是解决三角形相关问题的基础，还可以在实际生活中的测量和计算中发挥重要的作用。
本文将详细介绍余弦定理和正弦定理的定义、推导及其在实际应用中的具体运用。
二、余弦定理的应用1. 什么是余弦定理余弦定理是解决三角形的边和角问题的基本工具。
它描述了三角形的边和角之间的关系，可以用来求解未知边长或角度的值。
余弦定理的定义如下：在三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，∠A、∠B、∠C分别为三个对应的角度。
则有以下等式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC2. 余弦定理的推导为了更好地理解余弦定理的推导过程，我们来看一个具体的例子：已知三角形ABC，∠ABC为90°，∠CAB为30°，AB=5，BC=8。
我们需要求解边AC的长度。
根据余弦定理，我们可以得到以下等式：AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos∠ABC代入已知条件，可得：AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos90化简得到：AC^2 = 25 + 64 - 0AC^2 = 89因此，边AC的长度为√89。
3. 余弦定理的应用案例余弦定理在实际生活中有着广泛的应用。
例如，通过测量两个已知长度的边与它们之间的夹角，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。
此外，当我们需要确定两个物体之间的距离时，也可以使用余弦定理来进行计算。
三、正弦定理的应用1. 什么是正弦定理正弦定理也是解决三角形的边和角问题的重要工具。
它描述了三角形的边和角之间的关系，可以用来求解未知边长或角度的值。
正弦定理的定义如下：在三角形ABC中，设a、b、c分别为三边的长度，∠A、∠B、∠C分别为三个对应的角度。
则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 正弦定理的推导我们来展示正弦定理的推导过程，以便更好地理解它的应用。
高中数学高考一轮复习：《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：⑴重视教学各环节的合理安排：设疑探究拓展实践循环此流程在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。
激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。
⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。
⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。
⑷重视加强前后知识的密切联系。
对于新知识的探究,必须增加足够的预备知识,做好衔接。
要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。
⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。
从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。
二、实施教学过程剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sin B（sin B+sin C）sin2A－sin2B=sin B sin C 因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sin B.所以只能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题若用余弦定理如何解决?【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，（1）若△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；（2）若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。
高三数学一轮复习 正弦定理与余弦定理综合应用教学案
正弦定理与余弦定理的应用一、考纲要求正弦定理与余弦定理的应用（B 级要求）．二、复习目标 能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．三、重点难点利用两个定理工具解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．四、要点梳理1．仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫____________，目标视线在水平视线下方时叫____________．2．方位角：从正________方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角．五、基础自测1．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，这条河的宽度为________2．已知向量a,b,c ，且a +b +c =0，a 与b 的夹角为135，c 与b 的夹角为120，2=c ，则+=a b ________．3．甲乙两楼相距20 m ，从乙楼楼底望甲楼楼顶的仰角为60°，从 甲楼楼顶望乙楼楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是______．4、在ABC ∆中，120A =，c=5，a ＝7，则sin sin B C的值为________． 5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时__________海里6．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为________．六、典例精讲例1、如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3． (1)求sin∠CED 的值；(2)求BE 的长．例2、在海岸A 处，发现北偏东45方向，距离A 1n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间例3．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx(A>0, ω>0) x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120o（1）求A , ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？例4、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1．24，t anβ=1．20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？七、反思感悟正弦定理与余弦定理的应用课时练习1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，若22a b -=，sin C B =，则A=________2．已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=，3,5a b ==，则BAC ∠=________ 3．某人朝正东方向走3km 后，向右转150︒然后朝新方向走kmx ,结果他离出发点恰好,那么x 的值为_________4．在ABC ∆中，设BC =a ，CA =b ，AB =c ，已知a 与b 的夹角为135︒，b 与c 的夹角为120︒，2||=c ．则ABC ∆的最长的边的长为5．已知在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船航行速度是 千米/小时6．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ沿直线走30 m ，测得 塔顶的仰角为2θ，再向前走则测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是 ．7．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝_____m 8．如图，某同学在教学楼五楼P 处(P 点高出地面20m)，测得楼前广场地面上正南方向甲同学所在A 处，俯角为30︒乙同学在地面上南偏西30︒方向的B 处，俯角为45︒，求甲乙两同学之间的距离．9．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ(tan θ＝12)的方向作匀速直线航行，速度为105海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？A C(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇，试说明理由．10．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C ． （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？C BA。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及公式。
2. 学会运用正余弦定理解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC2. 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的公式及应用。
2. 教学难点：如何运用正余弦定理解决复杂问题。
四、教学方法1. 采用讲解、示例、练习、讨论相结合的方法。
2. 通过图形演示，使学生更直观地理解正余弦定理。
3. 引导学生运用正余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习三角形的基本概念，引导学生进入正余弦定理的学习。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的公式及含义。
3. 示例：给出三角形ABC的边长和角度，运用正余弦定理求解未知量。
4. 练习：让学生独立完成一些简单的正余弦定理应用题。
5. 讨论：分组讨论一些复杂的问题，引导学生相互合作，共同解决问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调正余弦定理在实际问题中的应用。
7. 作业：布置一些有关正余弦定理的应用题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
针对学生的薄弱环节，加强个别辅导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
七、课后拓展1. 研究正余弦定理在实际问题中的广泛应用。
2. 了解正余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
3. 探索正余弦定理的证明方法，加深对定理的理解。
八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对正余弦定理的掌握程度。
3. 课后拓展：了解学生在课后对正余弦定理的学习和研究情况，鼓励学生进行深入学习。
九、教学资源1. 教材：正余弦定理的相关内容。
2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理
2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理第一篇：2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R∴△ABC一定是等腰三角形．方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．答案：B2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()A．4B．2C．1D．不确定accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：Aabc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosCA．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A ＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：BsinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC 8553A.B.C.D.5835解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5 答案：D15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4A．45°B．30°C．120°D．15°11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc答案：A6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．811解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C二、填空题7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2 又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 3213解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－222AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3答案：3319．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC ＝·2abco sC.424π∴tanC＝1.∴C＝.4π答案： 4三、解答题10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a3b，判断△ABC的形状．解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC；→→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.81∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.85→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1⎫＝2sin2∴sin2⎭22CCC由sin，得2cos1＝2sin 222CC1∴sincos.22213两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，所以c7＋1.第二篇：正弦定理余弦定理[推荐]正弦定理余弦定理一、知识概述主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．二、重点知识讲解1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．例1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△AB C的三个内角．分析：在正弦定理中，由进而可以利用三角函数之间的关系进行解题．解：可以把面积进行转化，由公式∴C=30°或150°又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．分析：把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA．解：∵B=A＋60°∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．分析：三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA ＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．分析：本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边．解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c 故△ABC为等腰三角形或直角三角形．6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．分析：本题运用方程的思想，列方程求未知数．解：设边长为x(1设x=t，则1－5)=16t三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．3、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；（2）已知两边和一边的对角解三角形．5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；（2）已知两边和夹角解三角形．6、三角形面积公式：例6、不解三角形，判断三角形的个数．①a＝5，b＝4，A＝120°②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．③a④a0 ∴△ABC有两解．⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC 无解．第三篇：正弦定理和余弦定理大毛毛虫★倾情搜集★精品资料第一章解三角形§1.1.1正弦定理和余弦定理一、选择题1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……………………....()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..()A．9B．18C．93D．1833．已知△ABC中，a∶b∶c＝13∶2，则A∶B∶C等于………………………..()A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..()A．(2，＋∞)] 1B．(-∞，0)C．(-2，0)1D．(2，＋∞)5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..()A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°* 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则a+b+c等于….()sinA+sinB+sinCA．33二、填空题23983B．3C．3 39D．27．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R ＝________．39．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．三、解答题11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4，求a，b，c．A-Ba-b=a+btan2． 13．在△ABC中，求证tan14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题D C A D C B二、填空题77．2或8． 22 9．60°或120°10． 33三、解答题11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-aS＝2absinC3＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a2)＝-4(a-8)2＋16（0＜a＜16)(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．12．解：∵ sinC∶sinA＝4∴ c∶a＝4设c＝4k，a＝k，则⎧⎪⎨13k2-k=2(b+4k)⎪⎩k+2b=8k-3由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0③解得k＝13或k＝1，∵ k＝13时b＜0，故舍去．5-∴ k＝1，此时a＝，b＝2，c＝4．13．证明：由正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB大毛毛虫★倾情搜集★精品资料a-b2RsiAn-2RsiBnsiAn-siBn==a+b2RsiAn+2RsiBnsiAn+siBn A+BA-BA+BA-Bsi+)-si-)=si+)+si-)2222A-BA+BA-B2sicota==A+BA-BA+B2sicota222∴14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得csiCnsinA+(B)==nsiAnasiA∵ A≤B∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°π∵ 正弦函数在(0，3)上是增函数，∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0csin(A+B)sin2A2sinAcosA==sinA≥sinAsinA∴ a＝2cosAc∴ a≥2cosA∵ 2A≤60°∴ 0°＜A≤30°∴ cosA≥cos30°＝2c3∴ a≥2·2c∴ a≥3∴ 最长边与最短边之比不小于3大毛毛虫★倾情搜集★精品资料第四篇：正弦定理,余弦定理正弦定理、余弦定理（4）教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：证：左边== =0=右边例2 在△ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：∵B=4590 即ba ∴A= 60第五篇：2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1.正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；a=__R（R为∆ABCsinAsinA=②abc,sinB=,sinC=2R2R2R；③sinA:sinB:sinC=a:b:c．（5）三角形面积公式：S∆ABC=________=_________=________．(6)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
2014届高考数学(文)一轮复习讲义(教师用书) 三角函数、解三角形 第六节 正弦定理和余弦定理
第六节正弦定理和余弦定理[备考方向要明了][归纳知识整合]1．正弦定理和余弦定理[探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例) 提示：∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测 牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3. 答案：2 32．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝23×32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 答案：633．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有________个． 解析：∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个． 答案：24．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°[例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．——————————————————————————————————————1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A＝2得c ＝2a . 由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：∵sin B ＝cos A ·sin C ， ∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc ·c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.,(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径,①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；,②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.——————————————————————————————————————2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c－b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3， 得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形.[例3] (2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． ——————————————————————————————————————3．(2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ―――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A . 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0.3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A 中的角A 4A π−−−−→借助＝sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C － sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1 ――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积―――――→应具有两边及其夹角由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8. 3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. [准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理， 得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C · ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(4分)整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分) 由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分) [答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答⇒⇒⇒一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝________. 解析：由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 45°＝5 6.答案：5 62．(2013·南通模拟)在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小的内角为________． 解析：大边对大角，小边对小角，所以边c 所对的角最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又因为C ∈(0，π)，所以最小角C ＝30°.答案：30°3．(2013·昆山期中)在△ABC 中，已知sin A ＝2sin B cos C ，则该三角形的形状为________． 解析：由正弦定理及余弦定理，得sin A sin B ＝a b ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，所以ab ＝2·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因为b ＞0，c ＞0，所以b ＝c .因此，△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形4．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是________． 解析：依题意c ＝1，a ＝2，由正弦定理知 c sin C ＝a sin A ，即sin C ＝c a sin A ＝12sin A ≤12，解得0＜C ≤π6或，5π6≤C ＜π，又c ＜a ，所以C ＜A ， 故0＜C ≤π6.答案：0＜C ≤π65．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________. 解析：由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.答案：2 36．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝20，A ＝150°，这个三角形解的情况是________． 解析：∵b ＞a ，∴B ＞A ，而A ＝150°，B 为钝角不可能， ∴无解． 答案：无解7．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于________． 解析：由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332.答案：3328．(2012·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cosB ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145.答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________．解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连结BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ·AM ·cos ∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2·2·AM ·cos 30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：3210．(2013·无锡模拟)已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：法一：如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝AC sin ∠ABC ＝4sin 45°＝4 2.取AC 的中点M ，则OM ＝R cos 45°＝2，则AC ＝4.过点B 作BH ⊥AC 于H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋22R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝12AC ·BH max ＝12×4×(2＋22)＝4＋42，即当且仅当BA ＝BC 时取等号． 法二：如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝2R 2sin∠BAC ·sin ∠ABC ·sin ∠ACB ＝8 2 sin ∠BAC ·sin ∠ACB ＝4 2⎣⎡⎦⎤cos (135°－2∠ACB )＋22.当A ＝C ＝67.5°时，(S △ABC )max ＝4＋4 2. 答案： 4＋4 2二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)(2013·苏州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1) 若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，求A 的值； (2) 若c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求b 的值．解：(1) 由已知得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc . 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得cos A ＝12.由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)由于A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝180°－45°－30°＝105°. 由正弦定理b sin B ＝csin C，得 b ＝c sin C ·sin B ＝10sin 30°·sin 105°＝20×6＋24＝5(6＋2)． 12．(满分14分)(2011·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解：(1)由题知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3. 因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，即b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.13．(满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.14．(满分16分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c .(1) 求tan A tan B的值；(2) 求tan(A －B )的最大值，并判断当tan(A －B )取得最大值时△ABC 的形状． 解：(1) 由a cos B －b cos A ＝12c 可得，2sin A cos B －2sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 故sin A cos B ＝3sin B cos A ，所以tan Atan B ＝3.(2) 设tan B ＝t ，则tan A ＝3t 且t >0， 则tan(A －B )＝3t －t 1＋3t 2＝2t 1＋3t2＝23t ＋1t ≤ 33， 当且仅当3t ＝1t ，即t ＝33时取等号．所以tan (A －B )的最大值为33，此时B ＝π6，A ＝π3，故C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：由(a ＋b )2－c 2＝4， 得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.答案：432．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k ＝1116.答案：11163．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ·sin C ，则A 的取值范围是________． 解析：由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π3 4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.。
2014届高考数学一轮复习 第5章《正弦定理和余弦定理》名师首选学案 新人教A版
第5章 解三角形与平面向量 学案22 正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝____； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；(3)a>b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ； (4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C＝12ac sin B ＝____________________； (5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或______________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2. 2．正弦定理和余弦定理1．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则a ∶b ∶c ＝________. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝________.3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________． 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.3．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________． 4．在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为______________．7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．二、解答题(共42分)9．(14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC→＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(14分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．答案 自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C b2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C a2Rb 2Rc 2R sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab自我检测1．5∶11∶13 2.30° 3.13 4.π65．1解析 方法一 由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.方法二 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋a ＋1，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1，a ＝－2(舍去)． 课堂活动区例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中，已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin Csin A＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4. 变式迁移1 (1)102(2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(2)由b >a ，得B >A ，由asin A ＝bsin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°或B ＝120°. 例2 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A . 由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ，∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A . ∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2， ∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝－c os(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－7318. 课后练习区 1.63解析 根据正弦定理a sin A ＝bsin B， 可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33，又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2.32解析 由余弦定理得，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.3．直角三角形 解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理，即△ABC 为直角三角形． 4．45°解析 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角， 由正弦定理得，BC sin A ＝ACsin B，即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×3243＝22，所以B ＝45°.5．a >b解析 因为C ＝120°，c ＝2a ，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C,2a 2＝a 2＋b 2－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.所以a 2－b 2＝ab ，a －b ＝aba ＋b，因为a >0，b >0， 所以a －b ＝aba ＋b>0，所以a >b . 6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12.由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π4解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β， 则tan α＝13，tan β＝12，∴tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(5分)又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(9分)(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(14分)10．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分)在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝423bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分) 又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13.……………………………………………………(6分)(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A ………………………………………………………(8分)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A ………………(11分) ＝sin 2A －cos 2A2sin 2A ＝－72.所以2sin A ＋π4sin B ＋C ＋π41－cos 2A＝－72.……………………………………………………(14分)。
高考数学第一轮复习精讲(课前准备+课堂活动小结+课后
学案24 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测 1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的()A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10° 3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是 ( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探究点一 与距离有关的问题 例1 (2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．1．解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.78 2．(2011·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928D ．9 2 4．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为 ( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里题号1234 5答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h 的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？答案 自我检测 1．B 2.B 3.A 4.40035．解 由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得，AD sin B ＝BDsin ∠BAD，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时． 变式迁移1解如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin Bsin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)， 所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·tan θsin βsin (α＋β).变式迁移2 解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理得，CDsin ∠DBC＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时， 测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°. 在Rt △BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d .所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ. ∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C 6．30 2 km 7.0.6 8.7043解析如图所示：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ， 问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60° ＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12900t 2－42000t ＋40000.∴当t ＝7043时，DE 最小．9．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ABC ≌△CBD ，所以BA ＝BD .……………………………………………………………………………(6分)在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，即AB ＝AC ·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分) 因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分) 11．解11方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得MPsin 120°＝NPsin θ＝MN sin (60°－θ)，∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分) ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分) 方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分) 即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25. 故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22，……………………………………………………………………………………………(10分) 从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。
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学案23 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α(i 为坡比，α为坡角)． 6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的大小关系是________．2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的________方向．3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是________(填序号)．①α，a ，b ；②α，β，a ；③a ，b ，γ；④α，β，b . 4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos∠ADC ＝35，求AD .探究点一 与距离有关的问题例1 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？变式迁移1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？探究点二与高度有关的问题例2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中的最值问题例3 某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．一、解三角形的一般步骤1．分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．2．根据题意画出示意图．3．将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 二、应用举例中常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为________m.3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．4．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为________．5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______km.7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B 行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．二、解答题(共42分)9．(14分)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(14分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？答案 自我检测1．α＝β 2.北偏西10° 3.① 4.40035．解 由cos∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin∠ADC ＝45，从而sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得，ADsin B ＝BDsin∠BAD，所以AD ＝BD ·sin Bsin∠BAD ＝33×5133365＝25.课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin∠DAB ＝ABsin∠ADB，∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin∠ADB ＝53＋3·sin 45°sin 105°＝53＋3·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时． 变式迁移1 解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin Bsin A＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－24AB －385＝0，解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)， 所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD ，所以BC ＝CD ·sin∠BDC sin∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β，在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝s ·tan θsin βsin α＋β.变式迁移2 解 由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时， 测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°. 在Rt△BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解 (1)由AB ＝Htan α，BD ＝htan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得Htan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd. 由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －hd.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H H －h d≤h2H H －h ，当且仅当d ＝H H －h d，即d ＝H H －h ＝125×125－4＝555时， 上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区 1.78 2.50 2 3.928 4.3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3， ∠ABC ＝30°， 由正弦定理BC sin∠CAB ＝ACsin 30°，得∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝90°，AB ＝23； 当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，AB ＝ 3. 5．10解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt△ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)． 6．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60(km)， ∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝302(km)． 7．0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°， CD ＝106，由正弦定理，得BC ＝CD ·sin 45°sin 30°＝203(米)；在Rt△ABC 中，AB ＝BC ·sin 60°＝203×32＝30(米)． 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒)．8.7043解 如图所示：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t . 因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60°＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t＝12900t 2－42000t ＋40000.∴当t ＝7043时，DE 最小．9．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ABC ≌△CBD ，所以BA ＝BD .……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC 中，AB sin∠BCA ＝ACsin∠ABC ，即AB ＝AC ·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(14分)10．解 如图，连结A 1B 2，由题意知， A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝10 2.…………………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，………………………………………………………………(6分) ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°. ……………………………………………………………(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(12分)因此乙船的速度大小为10220×60＝302(海里/小时)．………………………………(14分)11 11．解 方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .………………………………………………………(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连结MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ，∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，……………………………………………(8分)∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ ＝1033sin(θ＋60°)．……………………………………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分) 方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2.…………………………………………………(8分)即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22，…………………………………………(10分) 从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033. 当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。