【中考小复习】2015-2016学年数学北师版八年级上册(共196张PPT)
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第一章 过关测试 第二章 过关测试 阶段综合测试一（月考一） 第三章 过关测试 阶段综合测试二（期中） 第四章 过关测试 第五章 过关测试 阶段综合测试三（月考二） 第六章 过关测试 第七章 过关测试 阶段综合测试四（期末一） 阶段综合测试五（期末二）
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第一章 过关测试
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图 1－1
数学·人教版（RJ）
第一章 |过关测试
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角 形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
a a 解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝ ，EC＝ . 2 4 a2 a2 5 2 2 在 Rt△ECF 中，有 EF ＝ 2 ＋ 4 ＝ a . 16 a2 5 2 在 Rt△FDA 中，有 AF ＝ 2 ＋a2＝ a2. 4 1 3 在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－ a＝ a， 4 4 3 2 25 2 2 2 ∵AE ＝a ＋ 4a ＝ a ， 16 ∴AF2＋EF2＝AE2. 根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90° ， ∴AF⊥EF.
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第一章 |过关测试
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用 例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已 知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的 距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m 范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂 时封锁？
a ＋b
2．勾股定理的逆定理 2 2 2 如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a ＋b ＝c ，那么这个三角形是 直角三角形． 3．勾股数 满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整数 ，称为勾股数．
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第一章 |过关测试
考点攻略
考点一 例1 应用勾股定理计算
已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边 ，也可能为直角边．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－3Hale Waihona Puke Baidu＝7.
第一章 |过关测试 例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一 个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体 盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物 ，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？ 过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再 走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点； 丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾 股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长 方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确 ？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
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第一章 |过关测试
易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题 目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解． 考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 1 BC 上一点，且 EC＝ BC，请说明：AF⊥EF. 4
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第一章 |过关测试
方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛 ，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角 三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化 为数学问题来解决等．
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图1－2
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第一章 |过关测试
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离． 解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90° ，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m. 1 1 由三角形的面积可知： AB· CD ＝ BC· AC ，所以 500CD ＝ 2 2 400³300，所以 CD＝240 m. 因为 240＜250， 即点 C 到 AB 的距离小于 250 m， 所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
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第一章 |过关测试
知识归纳
1．勾股定理 定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 2
a ＋b2＝c2
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A、∠B、∠C 的对边分 2 2 ，a2＝ 2 2 . 2 ，b2＝ 2 别为 a、b、c，则 c2＝ c －a c －b 作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
图1－3
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第一章 |过关测试 [解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似 ，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了． 解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长 方形AEFD，如图1－4所示： 则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF， ∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
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第一章 过关测试
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[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角 形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
a a 解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝ ，EC＝ . 2 4 a2 a2 5 2 2 在 Rt△ECF 中，有 EF ＝ 2 ＋ 4 ＝ a . 16 a2 5 2 在 Rt△FDA 中，有 AF ＝ 2 ＋a2＝ a2. 4 1 3 在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－ a＝ a， 4 4 3 2 25 2 2 2 ∵AE ＝a ＋ 4a ＝ a ， 16 ∴AF2＋EF2＝AE2. 根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90° ， ∴AF⊥EF.
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易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用 例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已 知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的 距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m 范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂 时封锁？
a ＋b
2．勾股定理的逆定理 2 2 2 如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a ＋b ＝c ，那么这个三角形是 直角三角形． 3．勾股数 满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整数 ，称为勾股数．
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考点攻略
考点一 例1 应用勾股定理计算
已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边 ，也可能为直角边．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－3Hale Waihona Puke Baidu＝7.
第一章 |过关测试 例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一 个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体 盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物 ，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？ 过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再 走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点； 丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾 股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长 方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确 ？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
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第一章 |过关测试
易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题 目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解． 考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 1 BC 上一点，且 EC＝ BC，请说明：AF⊥EF. 4
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知识归纳
1．勾股定理 定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 2
a ＋b2＝c2
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠A、∠B、∠C 的对边分 2 2 ，a2＝ 2 2 . 2 ，b2＝ 2 别为 a、b、c，则 c2＝ c －a c －b 作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
图1－3
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第一章 |过关测试 [解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似 ，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了． 解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长 方形AEFD，如图1－4所示： 则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF， ∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．