江苏省丹阳高级中学高一数学苏教版必修2第1章《立体几何初步》教案：1.1.4 直观图画法

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3．对“一斜”、“二测”的理解，应把握以下两点： (1)互相垂直的 Ox、Oy 轴画成 O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y＝45°或 135°. (2)平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．
1．以下关于斜二测直观图画法的说法正确的是 ________．
图 1－1－30
【解】画法如下： (1)在直观图中延长 D′A′，交 x′轴于 E′.
(2)画互相垂直的轴 Ox，Oy，取 OE＝O′E′，过 E 作 EF∥Oy，在 EF 上截取 AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过 D 作 DC∥x 轴，过 A 作 AB∥x 轴，并且截取 DC＝D′C′， AB＝A′B′.
4．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸为上、下底面边长分别为 1 cm、2 cm，高为 2 cm)
【解】 ①画轴．如图所示，画 x 轴、y 轴和 z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以 O 为正三角形 ABC 的中心，在 y 轴上取
线段 EC，使 EC＝
(4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半 .
画水平放置的平面图形的直观图
直观图．
画出如图 1－1－27 所示水平放置的等腰梯形的【 Nhomakorabea路探究】
图 1－1－27
【自主解答】
画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使 ∠x′O′y′＝45°.
1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

高中数学第一章立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台教案苏教版必修2(2021年整理)

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1。

1 棱柱、棱锥和棱台【教学目标】1.了解平移的定义，明确棱柱是借助于平移而得到的几何体；2.掌握棱锥与棱台的概念,理解它们之间的联系与区别，进而能从运动的角度认识棱柱、棱锥和棱台三者之间的关系;3．理解多面体的概念。

【教学重点】棱柱、棱锥、棱台的概念和及其几何性质。

【教学难点】棱柱、棱锥、棱台的概念和及其相互联系和区别.【过程方法】利用实物模型、计算机软件观察空间图形、认识棱柱、棱锥、棱台及其简单组合体的结构特征，并能找出它们之间的联系，确立正确的认识问题的世界观。

【教学过程】一、导入新课:仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点?（1）（2） (3） (4）(一）棱柱1．平移平移是指一个图形上所有点按某一确定的方向移动相同的距离。

2．棱柱的定义一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫做棱柱的侧面。

每相邻两侧面的交线叫做棱柱的侧棱，侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点。

两底面之间的距离叫做棱柱的高。

3．棱柱的表示4．棱柱的分类:按底面分5．棱柱的特点（1)两个底面是全等的多边形,且对应边平行；（2）侧面是平行四边形。

高一数学第1课时：《立体几何初步》教案(苏教版)必修2

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言，图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

听课随笔第一课时棱柱、棱锥、棱台听课随笔1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。

以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点见书７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．见书７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：Array(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。

苏教版必修二：第一章立体几何初步 1.1.4

1.1.4 直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.知识点斜二测画法思考1 边长为2 cm 的正方形ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，A ′B ′与C ′D ′有何关系？A ′D ′与B ′C ′呢？在原图与直观图中，AB 与A ′B ′相等吗？AD 与A ′D ′呢？★★答案★★ A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ， A ′D ′＝12AD .思考2 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？★★答案★★ 没有都画成正方形.梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(2)立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x ′O ′y ′垂直的轴O ′z ′，且平行于O ′z ′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.类型一平面图形的直观图例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.解 (1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图①②所示.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连结B ′C ′，如图②. (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD . 连结B ′C ′，D ′A ′，如图②所示.(3)所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图③所示.反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.★★答案★★2 2解析正方形的直观图如图所示.由直观图的画法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，过点A′作A′D′⊥O′C′，垂足为D′，∴点A′到x′轴的距离为A′D′＝O′A′·sin 45°＝2 2.又A′B′∥x′轴，∴点B′到x′轴的距离也是2 2.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y 轴，且使DB＝2D′B′；③连结AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍.(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置.跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________.★★答案★★ 菱形解析如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)， ∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形.命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图.若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.解如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝ O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连结BC ，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高.(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S . 跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________.★★答案★★2解析直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2. 类型三简单几何体的直观图例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱.过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.反思与感悟直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段.(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.跟踪训练4 用斜二测画法画出六棱锥P －ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面上的投影是正六边形的中心O .(尺寸自定)解 (1)画出六棱锥P －ABCDEF 的底面.①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在的直线为y 轴，两轴相交于点O ，如图(1)，画出相应的x ′轴、y ′轴、z ′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF ；③连结A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′，得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画出正六棱锥P －ABCDEF 的顶点.在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′. (3)成图.连结P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3).1.利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________.★★答案★★ 16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________ cm. ★★答案★★ 5解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)★★答案★★ ③解析在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或与y 轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2 cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2 cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1 cm ，连结AA ′，BB ′，CC ′，得正三棱台的直观图.1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.课时作业一、填空题1.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.★★答案★★(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形.★★答案★★直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形.3.给出以下说法，其中不正确的是________.(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形.★★答案★★①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确.4.下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.(填序号)★★答案★★③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.5.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________.(填序号)★★答案★★①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确.6.如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________.★★答案★★OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO.7.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________.(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点.★★答案★★ ①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直.8.一个长方体的长，宽，高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________. ★★答案★★ 4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.9.在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC 为______(填形状)，面积为________ cm 2.★★答案★★ 矩形 8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2 cm ，OC ＝4 cm ，∴四边形OABC 的面积为S ＝2×4＝8(cm 2).10.如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________.★★答案★★ 1解析作CD 、BE ⊥OA 于点D 、E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)，∴OD ＝CD ＝2 cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2＝1(cm).二、解答题11.如图所示，画出水平放置的四边形OBCD 的直观图.解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示.画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示.(2)如图②所示，在x ′轴的正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴的正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连结B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图.12.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .解 (1)过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于点D ′，E ′.(2)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上取两点E ，D ，使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′D ′，再分别过E ，D 作y 轴的平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′，连结OB ，OC ，BC ，并擦出辅助线及x 轴，y 轴，即求出原△ABC .13.如图所示，在△ABC 中，AC ＝12 cm ，AC 边上的高BD ＝12 cm ，求其水平放置的直观图的面积.解方法一画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12 cm ，B ′D ′＝12BD ＝6 cm ，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝3 2 cm ，所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2). 即水平放置的直观图的面积为18 2 cm 2.方法二 △ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2). 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2).三、探究与拓展14.水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是______三角形.★★答案★★ 钝角解析将△A ′B ′C ′还原，由斜二测画法知，△ABC 为钝角三角形.15.用斜二测画法画出正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的直观图.解 (1)画轴.如图，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形的直观图△ABC .(3)画侧棱.过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，使得AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图.顺次连结A ′，B ′，C ′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图.。

高一数学苏教版必修2第1章《立体几何初步》教案：1.1.4 直观图画法

1.1.4 直观图画法【教学目标】1. 了解中心投影的概念及物体的透视图；2. 理解平行投影(斜投影)在作物体直观图的实际意义及其应用； 3．掌握斜二测画法的基本步骤及画法的基本特征。

【教学重点】斜二测画法的基本步骤。

【教学难点】用斜二测画法作空间物体的直观图。

【过程方法】通过组织学生画空间几何图形的直观图,进一步培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；通过师生之间、同学之间相互交流，培养学生合作学习的习惯。

【教学过程】1．中心投影、斜投影、直观图在中心投影（透视）中，水平线(或铅直线)仍保持水平(或铅直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点。

用透视法所得的图形称为透视图。

中心投影（透视）虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影来画空间图形的直观图。

2．斜二测画法规则①在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 点，再取z 轴，使090xOy =∠，且090yOz =∠；②画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交于'O ，并使045'y 'O 'x =∠（或0135），090'z 'O 'x =∠，'x 轴、'y 轴所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴和'z 轴的线段；④已知图形中平行于x 轴、z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，其长度变为原来的一半。

例1．作正方形和正方体的直观图。

例2．作圆、圆柱、圆锥和圆台的直观图。

【练习】作底面边长均为4cm，高为5cm4cm，宽为2cm，高为2cm面图形。

的直观图，试画出原平是水平放置的平面图形、如图，例'''4CBABˊ【课堂练习】课本P16 练习1、2、3；【课后作业】1．如图的平面图形是三角形。

(教师用书)高中数学第一章立体几何初步教案苏教版必修2

第1章立体几何初步1．1空间几何体1．1.1 棱柱、棱锥和棱台(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解棱柱、棱锥、棱台的概念．(2) 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3) 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点难点重点：棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可利用采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多，感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：棱柱、棱锥和棱台分别具有怎样的结构特征？⇒引导学生观察棱柱、棱锥和棱台的相关图片得出空间几何体的定义．⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征．⇒通过例3及其变式训练，引导学生掌握棱柱、棱锥、棱台的画法，进—步认知三种几何体．⇒通过例2及其互动探究，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特征．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第1页)【问题导思】 1．仔细观察下面的几何体，如果把它们看作是由一个平面图形平移而形成的，它们分别是由什么平面图形平移而成的？【提示】 (1)是由三角形平移而成的；(2)是由矩形平移而成的；(3)是由五边形平移而成的．2．上述几何体中，除了平移前后的平面，其余各面都是什么四边形？【提示】平行四边形． 1．棱柱的定义、表示及相关概念(1)分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)共同特征：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．1．如图，棱柱的一个底面收缩为一点时，可得到怎样的图形？【提示】2．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个什么几何体？【提示】棱锥和棱台．1．棱锥(1)定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．(2)相关概念及表示：图1－1－1该四棱锥可记作S－ABCD.(3)棱锥的共同特征：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．2．棱台(1)定义：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．(2)相关名称及表示图1－1－2记作：棱台ABCD－A′B′C′D′由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．(见学生用书第2页)根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【思路探究】【自主解答】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．下列说法中正确的有________．①一个棱柱至少有五个面②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台③棱台的侧面是等腰梯形④棱柱的侧面是平行四边形．【解析】因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故填①④.【答案】①④图1－1－3如图1－1－3所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．【思路探究】根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行判断．【自主解答】是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体，一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．用一个平面去截本例中的长方体，能截出三棱锥吗？【解】可以截出三棱锥，如图所示，三棱锥D1－ACD便符合题意．画一个三棱柱和一个四棱台．【思路探究】(2)画一个四棱锥→画四棱台【自主解答】①画三棱柱可分以下三步完成：第一步：画上底面——画一个三角形；第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步：画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．②画四棱台可分以下三步完成：第一步：画一个四棱锥；第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步：将多余的线段擦去(如图所示)．1．在画立体图形时，被遮挡的线画成虚线，可以增加立体感．2．由于棱台的侧棱延长线交于一点，因此画棱台时，要先画棱锥，再截得棱台．画一个六面体(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是五棱锥．【解】如图(1)(2)所示．(见学生用书第3页)棱柱、棱锥、棱台的概念理解不清致误如图1－1－4甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－4【错解】图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以图乙的几何体是棱锥；图丙是棱台．【错因分析】上述解答过程都运用了“以偏概全”的思想，都是根据相应概念的某一结论去判断几何体，判断的依据不充分．【防范措施】判断一个几何体是否为棱柱、棱锥、棱台，应按照几何体的定义，抓住几何体的本质特征，严防“以偏概全”．【正解】图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱台、三棱锥为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的特点，其次要有一定的空间想象能力.(见学生用书第3页)1．四棱柱共有______个顶点，________个面，________条棱．【答案】8 6 122．三棱锥是________面体．【解析】因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．【答案】四3．如图1－1－5所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．图1－1－5【解析】由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤4．如图1－1－6，已知△ABC.(1)如果认为△ABC是水平放置的三角形，试以它为底画一个三棱柱；(2)如果认为△ABC是竖直放置的三角形，试以它为底再画一个三棱柱．图1－1－6【解】(1)如图①所示．(2)如图②所示．(见学生用书第79页)一、填空题1．正方体是________棱柱，是________面体．【解析】因为正方体的底面是正方形，故正方体是四棱柱，六面体．【答案】四六2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．图1－1－7【解析】结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.【答案】①图1－1－83．如图1－1－8，棱柱ABCD－A1B1C1D1可以由矩形________平移得到．(填序号)①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1【解析】结合棱柱的定义可知，棱柱ABCD－A1B1C1D1可由矩形ABCD或A1B1BA或A1B1C1D1平移得到．【答案】①②③4．(2013·辽宁实验中学检测)下列判断正确的是________．(填序号)(1)棱柱中只能有两个面可以互相平行(2)底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱(3)底面是正六边形的棱台是正六棱台(4)底面是正方形的四棱锥是正四棱锥【解析】(1)不正确，如正方体有三对对面相互平行．(2)正确．(3)(4)不正确．其中正四棱锥除了底面是正方形外，还要求顶点在底面的射影是底面的中心，同样(3)也如此．【答案】(2)5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．①有一对面互相平行②侧面都是四边形③每相邻两个侧面的公共边都互相平行④所有侧棱都交于一点【解析】由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．【答案】①②③6．(2013·内蒙古检测)下列说法正确的有________．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．④棱台各侧棱的延长线交于一点．【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，④正确．【答案】④7．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．其中真命题是________【解析】①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.【答案】①②③8．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．【解析】若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．【答案】六二、解答题9．判断如图1－1－9所示的几何体是不是棱台，并说明理由．图1－1－9【解】(1)侧棱延长后不交于一点，故不是棱台．(2)上、下底面不平行，故不是棱台．(3)由棱台的定义可知，是棱台．10．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.图1－1－1111．如图1－1－11，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．【解】∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连结C1E，EF，C1F，则过点C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1－EA1B1F，如图．(教师用书独具)画出如图所示的几何体的表面展开图．【思路点拨】以一个面为依托，其他各面沿侧棱展开．【规范解答】表面展开图如图所示：多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是________．【解析】将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．【答案】③1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)直观了解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点难点重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组体体的结构特征，突出圆锥与圆台间的内在联系，进而在观察思考中形成旋转体的概念，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用引导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察，直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说，举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒通过引导学生回答所提问题理解圆柱、圆锥、圆台及球的形成过程，把握圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，形体旋转体的概念．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握旋转体的结构特征，掌握旋转体的有关概念．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单组合体的结构特征．⇒结合旋转体的结构特征及平面几何知识，完成例3及其变式训练，初步培养学生解决与立体几何知识相关运算的步骤及方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正．(见学生用书第4页)1．如图，将矩形ABCD绕其边AB所在的直线旋转一周得到一个什么几何体？【提示】圆柱．2．仔细观察以下三个几何体，分析它们分别是由什么平面图形旋转而成的？【提示】图(1)是直角三角形绕其一直角边旋转而成的；图(2)是直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转而成的；图(3)是半圆绕着它直径所在的直线旋转而成的．1.一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面．2．旋转体的定义封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．3．旋转面与旋转体的图示图1－1－12(见学生用书第4页)下列叙述错误的有__________．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．【思路探究】根据旋转体的特征判断各命题的对错．【解析】以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边为旋转轴旋转得到的几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图(1)，故①错；以直角梯形垂直于底边的一腰为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，另一侧补上一个同下底的圆锥，如图(2)，故②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故④错．【答案】①②③④1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．2．旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．上述命题中正确的是________．【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②符合圆锥母线的定义，正确；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．【答案】②④如图1－1－13所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．图1－1－13【思路探究】过图(1)(2)中的顶点D、C分别向旋转轴引垂线，即可得到旋转后的图形．【自主解答】如图所示，(1)是由圆锥、圆柱组合而成的，(2)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．的形成过程进行分析．图1－1－14(2013·连云港检测)如图1－1－14，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，∠B和∠C均为锐角，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．【解】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】画出轴截面，依据相似三角形求解．【自主解答】 (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，作AM ⊥BC 于M ，延长BA ，CD 交于S .由已知得上底面半径O 1A ＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－－2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25，解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．本题在求解过程中，通过轴截面实现了空间运算平面几何化的思想，其优点是轴截面较直观得反映了圆台的母线长、高及上、下底面半径间的关系．2．解有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题时常常利用它们的轴截面．(2013·南通检测)把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为1∶4，母线长为9；则圆锥的母线长是________．【解析】设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，O ′B ′OB ＝CB ′CB∴14＝CB ′CB ′＋9∴CB ′＝3，∴BC ＝3＋9＝12.即圆锥的母线长为12.【答案】12(见学生用书第6页)分割法判断旋转体的构成图1－1－15(14分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．【规范解答】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示.3分(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.10分(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.14分1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．1．圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想．3．重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体相关量(如母线长等)中的特殊作用，体会空间几何问题平面化的思想．。

苏教版高中数学必修2教案立体几何全部教案

第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。

根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。

在此基础上得出棱柱的主要结构特征。

（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。

概括出棱柱的概念。

4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

苏教版高中数学必修2-1.3《立体几何初步》单元教学分析

必修2 第一章《立体几何初步》单元教学分析一.教材分析1.本章节的课时分配情况如下：2.本章节在整个教材体系中的地位和作用本章教材是高中数学学习的重点之一，通过研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积等，运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质，使学生建立空间概念，掌握思考空间几何体的分类方法，在认识空间点、直线、平面位置的过程中，进一步提高学生的空间想像能力，发展推理能力，通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察和实验，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用.本章内容在每年的高考中都必考，在选择题、填空题和解答题中均能出现，分值约20分左右，主要考查线、面之间的平行、垂直关系.3.本章节的教学目标、数学思想、数学方法通过对空间几何体的整体观察，使学生直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的判定与性质，能运用这些结论对有关空间图形位置关系的简单命题进行论证，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法.培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力.4.本章节的教学重点、教学难点、教学特点：本章的重点是空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定和性质.本章的难点是建立空间概念，培养学生的空间想象，空间识图能力.5.本章节的知识结构和框架体系二.学情分析：1.师生双边教学活动设计：本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，重点是帮助学生逐步形成空间想像能力，为了符合学生的认知规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，本章在内容的编选及内容的呈现方式上，与以往的处理相比有较大的变化.首先，通过观察和操作，使学生了解空间简单几何体（柱、锥、台、球）的结构特征，以此作为发展空间想像能力的基本模型；然后，通过归纳和分析，使学生进一步认识和理解空间的点、线、面之间的位置关系，作为思辩论证的基础，由于几何图形的面积和体积的计算和体积的计算需要应用垂直的概念，因而这一部分内容放入本章最后一节.本章内容的设计遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察、直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑听结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善思维结构，发展空间想像能力.2.本章的教学建议：（1）、由于是从运动变化的观点来认识柱、锥、台、球的几何特点，因此教学时要通过大量的柱、锥、台、球实物模型进行演示，有条件的可以使用计算机演示柱、锥、台、球的生成过程，以帮助学生认识空间简单几何体的结构特征，并逐步形成空间观念.（2）、本章内容设计遵循从整体到局部的原则，因而有些概念在教学时只需通过大量实例让学生感受、认识即可，不必给出它们的严格定义，如关于棱台的部分中涉及的“两个平面平行”与关于正投影的部分中涉及的“天对着（直线与平面垂直）”等.（3）、在研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，首先应强调位置关系的分类标准，然后引导学生给出正确分类.由于是通过直观感知、操作确认，探索关于“垂直”、“平行”的判定定理，所以教学中要给出大量的空间图形，有条件的可用计算机演示，让学生通过观察、实验，确认“垂直”、“平行”的判定方法.关于“垂直”、“平行”的判定与性质定理的应用，教学时应先让学生理解定理成立的条件，着重引导学生创设定理成立的条件.并逐渐让学生感悟到：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想，对空间中“角”与“距离”的度量问题，教学中不必拓展延伸，随意地提高教学要求.（4）、关于“柱、锥、台、球的表面积和体积”一节的教学，对一些简单组合体的表面积和体积计算，重在通过分析得到它是由哪些简单几何体组合而成.在介绍求柱、锥、台、球的表面积和体积的方法时，应着重让学生体会祖恒原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用.（5）、本章教学中要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生的空间想像能力.三.教学手段、数学思想和数学方法：立体几何适宜采用多媒体教学手段，本章涉及的思想方法有：1、反证法与同一法；2、分类的思想；3、转化与化归思想；4、构造法，主要包括辅助线、面、体的添作，包括割补的思想方法；5、函数、方程和参数的思想方法.转化与化归思想是立体几何中最常见、最重要的数学思想方法，证明题实际上是定理间的相互转化和化归；证明或计算时，经常需要把空间图形化归为平面图形，把陌生问题纳入到原有的认知结构中，用熟悉的平面几何或三角的方法进行处理.立体几何中角与距离的计算建立在弄清概念、准确作图、严格论证的基础上，三种空间角，最终都化为两条相交直线的夹角，通常通过“线线角抓平移，线面角抓射影，二面角抓平面角”达到转化的目的；有关距离的问题通常化归为两点间的距离或点到直线的距离或点到平面的距离来解决，而点到平面的距离有时可以借助三棱锥的体积而求得.。

江苏省丹阳高级中学高一数学苏教版必修2第1章《立体几何初步》教案：1.2.1 平面的基本性质(2)

1.2.1 平面的基本性质(2)【教学目标】1．进一步理解平面的基本性质和三个公理；2．掌握公理3的三个推论,能用图形和符号语言表示三个推论，并能用三个推论解决一些实际问题；3．学会用反证法证明简单问题．【教学重点】1．公理3的三个推论及其应用；2．共面类问题的证明．【教学难点】对公理3的推论“存在”和“唯一”性两方面证明的必要性的理解．【过程方法】1．通过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯；2．通过平面概念的学习，掌握点、线、面之间的内在联系．【教学过程】一、复习：1．平面的概念；2．公理1-3．二、新授：1．推论1．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．2．推论2．经过两条相交直线，有且只有一个平面．3．推论3．经过两平行直线有且只有一个平面．三、例题选讲1．如图，直线AB ，BC ，CA 两两相交，交点分别为A ，B ，C ，证明这三直线共面．2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点确定的平面α与长方体表面的交线．3．已知一条直线与三条平行直线分别相交，证明这四条直线共面．四、方法总结1．证明点线共面的基本方法：⑴有公理3及推论，有其中的某些点、或线确定一个平面，再证其他元素在此平面内； ⑵先由其中某些点或线确定一个平面α，再由另外一些元素组成另一平面β，最后用公理3或其推论证明平面α，β重合．2．多点共线问题的证明方法：常用方法是先证明这些元素均是两个平面的公共点，然后根据公理2得到他们都在两平面的交线上．d3．多线共点的问题的证明：先证两条直线交于一点，再证这个交点也在其他直线上．它一般依据两平面的交线有且仅有一条这一公理，进而需要证明这些点是两平面的公共点，而直线是这两个平面的交线．【课后作业】1．判断题：⑴两条直线确定一个平面；( )⑵若三条直线两两相交，那么三条直线在同一个平面内；( )⑶空间中，不在同一平面内的四点，一共可以确定四个平面；( )⑷如果平面α，β有三个公共点，则平面α，β重合；( )⑸一条线段在平面内，这条线段的延长线也在这个平面内；( )⑹点A在直线a上，也在平面α内，则直线a在平面α内；( )⑺首尾相接四条线段可以确定一个或两个平面．( )2．⑴空间三个平面之间交线条数可能有；⑵空间三个平面把空间分成个部分；⑶空间三条直线a，b，c互相平行，但不共面，它们能确定个平面，把空间分成个部分．3．给出下列命题：⑴和直线α都相交的两条直线在同一个平面内；⑵三条两两相交的直线在同一个平面内；⑶有三个不同公共点的两个平面重合；⑷两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的命题的个数有个．4．下列说法正确的是．⑴三点确定一个平面；⑵四边形一定是平面图形；⑶梯形一定是平面图形；⑷对边相等的四边形一定是平面图形．5．正方体各个面所在的平面将空间分成了个部分．6．三个平面两两相交，有三条交线，其中两条相交于一点，证明三条交线交于同一点．7．已知三条直线相交于P点，第四条直线与前三条直线分别相交于A，B，C，证明：这四条直线共面．。

江苏省丹阳市高中数学第一章立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系(2)教案苏教版必修2

1.2.3 直线与平面的位置关系(2)【教学目标】1．理解直线和平面垂直的定义及相关概念；2．理解并掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，并初步运用； 3．解点到面、线到面的距离。

【教学重点】直线和平面垂直的判定和性质。

【教学难点】性质定理的证明：线线垂直⇔线面垂直。

【过程方法】1．通过直观感知并通过操作确认直线和平面垂直的判定定理，培养学生的理性思维能力、观察能力和空间想象能力；2．通过对直线和平面垂直的判定定理和性质定理的初步应用，向学生渗透转化思想的应用。

【教学过程】一、引入新课观察圆锥SO ：（1）轴SO 与底面内哪些直线垂直？为什么？（2）为什么轴SO ⊥底面内的所有直线？二、讲授新课1．如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a 垂直于平面α，记作a ⊥α。

直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。

〖思考〗在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

那么，在空间：(1) 过一点有且只有几条直线与已知平面垂直？ (2) 过一点有且只有几个平面与已知直线垂直？〖结论〗过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.2．点到直线的距离过平面外一点A 向平面α引垂线，则点A 和垂足B 之间的距离叫做点A 到平面α的距离。

例1．求证：如果两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一条也垂直与这个平面。

已知：b //a ，α⊥a ，则α⊥b 。

O S CB A3．直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 用符号表示为：m a ⊥ ，n a ⊥，A n m = ，α⊂m ，α∈n ，则α⊥a 。

4．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

例2.已知：直线//l 平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等。

苏教版高中数学必修二第一章学生教案立体几何第课时(1)(4)

第15课时平面与平面垂直
学习要求 1.掌握两平面垂直的定义 2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理，并会用这两个定理证明一些问题．自学评价 1.两个平面互相垂直的定义：
2.两个平面互相垂直的判定定理：
符号表示：３.两个平面互相垂直的性质定理：
已知：求证：证明：
【精典范例】例1：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 求证: 平面A 1C 1CA ⊥面B 1D 1DB .
思维点拨
证明面面垂直的方法： (1).利用两平面垂直的定义，作出两相交平面所成二面角的平面角，并求其大小为90° (2).利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．例２.求证: 如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 已知：
求证：
证明：
例３：如图, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 听课随笔
A 1
是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD ⊥平面ABCD ，PD=AD,点E 为AB 中点，点F 为PD 中点，
求证：(1)平面PED ⊥平面PAB ;
(2)求二面角F-AB-D 的正切值．
追踪训练 1. 判断下列命题是否正确，并说明理由： ①若α⊥γ, β⊥γ, 则α//β ②若α⊥β, β⊥γ, 则α⊥γ ③若α//α1, β//β1, α⊥β, 则α1⊥β1 2. 已知PA ⊥平面ABC, AB 是⊙O 的直径, C 是⊙O 上的任一点. 求证: 平面PAC ⊥平面PBC .
B P
F
C B
A E D
听课随笔。

江苏省丹阳高级中学高一数学必修2第1章立体几何初步教

第1章立体几何初步第十一课时 1.2.3 直线与平面的位置关系(3)【教学目标】1.理解垂线段,斜线段,射影的概念；2.了解直线与平面所成的角；3.进一步理解“线线垂直” “线面垂直”的等价转换思想。

【教学重点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用。

【教学难点】直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用时定理成立条件的构建。

【过程方法】通过探究、思考，运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关的问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将空间的问题转化为平面的问题来解决。

【教学过程】一、复习引入1．直线与平面的位置关系；2．直线与平面平行的判定与性质； 3．直线与平面垂直的判定与性质；4．观察长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,判断直线A 1B ，A 1C ，A 1D 与平面ABCD 的位置关系。

二、讲授新课1．斜线、斜足、斜线段一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。

斜线与这个平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

2．射影过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P 1的直线就是斜线在这个平面内的正投影，简称射影。

3．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做直线与这个平面所成的角。

规定：一条直线垂直于一个平面，则说它们所成的角为直角；一条直线与平面平行或在平面内，则说它们所成的角是00的角。

三、例题选讲A BC D A 1 B 1D C 1例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，22AB =。

.（1）求A 1B 与平面AC 所成的角；（2）设BD 与AC 的交点为O ，求D 1O 与平面ABCD 所成的角。

例2．如图AB =2a ，AC ⊥α于C ，BD ⊥α于D ，CD = a ，那么直线AB 与平面α所成的角是多少度?例3．如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，α⊂a ，a ⊥BC 。

江苏省丹阳高级中学高一数学苏教版必修2第1章《立体几何初步》教案：1.2.3 直线与平面的位置关系(1)

第1章立体几何初步第九课时 1.2.3 直线与平面的位置关系(1)【教学目标】1．了解直线与平面的位置关系及图形语言和符号语言； 2．了解直线与平面平行的定义；3．理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理并初步用； 4．进一步培养学生的观察发现能力和空间想象能力。

【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理及应用。

【教学难点】直线与平面平行的性质定理的发现和理解。

【过程方法】1．通过师生之间、学生之间的互相交流，促使学生的共同学习；2．通过直观感知、操作演示归纳出直线和平面的三种位置关系的概念，明确数学概念的严谨性和科学性；3．通过两个定理解决有关问题，使学生感受到化归的数学思想，培养学生科学地分析问题、解决问题的能力。

【教学过程】一、引入新课观察下图正方体1111D C B A ABCD ，回答下列问题：（1）棱11B A （或11D C ）所在直线与平面AC 有几个公共点；（2）对角线C A 1（或棱1AA ）所在直线与平面AC 有几个公共点；（3）棱AD 所在直线与平面AC 有几个公共点。

二、讲授新课1．直线与平面的位置关系如果一条直线a 和一个平面α没有公共点，则称直线a 与平面α平行。

如果一条直线a 和一个平面α有且只有一个公共点，则称直线a 与平面α相交。

A BC DA 1B 1D 1C 1如果一条直线a 和一个平面α有无数个公共点，则称直线a 在平面α内。

我们把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外，用符号表示为α⊄a 。

2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

用符号表示： α⇒⎪⎭⎪⎬⎫α⊂α⊄//a b //a b a 。

三、例题选讲例1．如图，已知E ，F 分别是三棱锥A-BCD 的侧棱AB ，AD 的中点，求证：EF//平面BCD 。

3．直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(1)(4)

让学生学会学习第15课时平面与平面的位置关系习题课听课随笔学习要求1. 掌握面面平行与垂直的判定与性质定理及其应用；2.掌握求二面角的方法；3.能够进行线线、线面、面面之间的平行（或垂直）的相互转化。

【课堂互动】【精典范例】例1：如果三个平面两两垂直, 求证：它们的交线也两两垂直。

已知：求证：证明：略例２．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F分别是BB1,CD的中点求证: 平面A1C1CA⊥面B1D1DB .(1).求证：AD ⊥D 1F(2).求AE 与D 1F 所成的角(3).求证：面AED ⊥面A 1F D 1证明：（１）略（２）９０°（３）略．思维点拨解立体几何综合题，要灵活掌握线线，线面，面面平行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的相互转化;求线面角,面面角关键是利用线面垂直、面面垂直的性质作出所求角。

【选修延伸】1.如果直角三角形的斜边与平面α平行, 两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2 , 则（Ｄ）A. sin 2θ1 +sin 2θ2 ≥1B. sin 2θ1 +sin 2θ2 ≤1C. sin 2θ1 +sin 2θ2 >1D. sin 2θ1 +sin 2θ2 <1２. 如图, 在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是正方形, 侧棱PD ⊥底面ABCD, PD=DC, E 是PC 中点.(1)证明: PA//平面EDB ;A 1C 1(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值；(3).求二面角E-BD-C 的正切值。

(1)略证:连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，证OE//PAAD C BEP听课随笔追踪训练1.给出四个命题:①AB为平面α外线段, 若A、B到平面α的距离相等, 则AB//α;②若一个角的的两边分别平行于另一个角的两边, 则这两个角相等;③若直线a //直线b , 则a平行于过b的所有平面;④若直线a //平面α, 直线b //平面α, 则a // b ,其中正确的个数是（A）A. 0B. 1C. 2D. 32. a , b是异面直线, P为空间一点, 下列命题:①过P总可以作一条直线与a、b都垂直;②过P总可以作一条直线与a、b都垂直相交;③过P总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行;④过P总可以作一平面与a、b同时垂直;. 其中正确的个数是( A ）A. 0B. 1C. 2D. 33.如图，PA⊥平面ABCD,AB//CD,BC⊥AB,(1)求PB与CD所成的角;(2)求E在PB上，当Ｅ在什么位置时，PD//平面ACE；(3).求二面角E- AC- B的正切值。

江苏省丹阳市高中数学第一章立体几何初步 1.2.2 空间两直线的位置关系(2)教案苏教版必修2

1.2.2 空间两直线的位置关系(2)【教学目标】 1．理解异面直线的定义、异面直线所成角的定义、两条异面垂直的定义； 2．理解异面直线判定的方法，并会求简单的异面直线所成的角。

【教学重点】1．异面直线及异面直线所成的角的概念的理解； 2．异面直线的判定；异面直线所成角的计算方法。

【教学难点】将异面直线所成的角转化为平面相交直线所成的锐角和直角。

【过程方法】通过探究、思考抽象出两条异面直线的概念以及异面直线所成的角的概念，培养学生空间想象能力、理性思维能力、观察能力及判断能力。

【教学过程】一、新授 1．异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两直线称为异面直线； ②特点：既不相交又不平行； ③画法：2．异面直线的判定①定义法：由定义判定两直线不能同在一个平面内，直接证明比较困难，常用反证法。

②结论：过平面外一点与平面内的一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。

（证明题不宜采用此法） 3．两条异面直线所成的角 ①定义：直线a 和b 是异面直线，经过空间的任意一点O 分别作直线a 和b 的平行线a ’和b ’，则相交直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

②范围：00900≤θ<。

4．求异面直线所成角的步骤一作二证三求。

5．两异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线是垂直的。

记作b a ⊥。

二、例题选讲例1．两条直线异面是指（）A ．不同在一个平面内的两条直线B ．分别在某两个平面内的两条直线C ．既不平行又不相交的两条直线D ．平面内的一条直线和平面外的一条直线例2．判断下列命题是否正确，并说明理由。

①空间两直线可确定一个平面； ②垂直于同一直线的两直线平行；③直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面；⑤一条直线和两平行直线中的一条垂直，则一定与另一条也垂直。

高中数学第一章《立体几何初步》1-2课时教学案苏教版必修2

1。

1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标：1。

认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2。

了解棱柱、棱锥和棱台的概念；3。

初步培养学生的空间想象能力和抽象括能力．学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥和棱台的结构特征．学习难点：棱柱、棱锥和棱台的结构特征的概括．学习过程：一、课前准备：自学课本P4～71.基本概念:①棱柱：由的空间几何体叫做棱柱．叫做棱柱的底面,叫做棱柱的侧面．棱柱的特点：两个底面是，且 ,侧面都是．②棱锥:当时,得到的几何体叫做棱锥．棱锥的特点：底面是，侧面是．③棱台：用，另一个叫做棱台．即．棱台的特点:两个底面是，侧面是，侧棱．④多面体：由的几何体叫做多面体．2.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是．3。

下列说法中，正确的有．①棱柱的侧面可以是三角形②正方体的各条棱都相等③棱柱的各条侧棱都相等④正方体和长方体都是特殊的四棱柱⑤用一个平面去截一个长方体，截面一定是长方形4。

已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字,可推出“？”处的数字是．5.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱②棱锥③棱台④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥6.构成多面体的面最少是个，该多面体称为或．二、合作探究：例1。

棱柱的特点是：⑴两个底面是全等的多边形，⑵多边形的对应边互相平行，⑶棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体具备上述三点，能构成棱柱吗?或者说，上面三点能作为棱柱的定义吗?例2。

三棱柱有个面，个顶点，条棱，可以称为五面体;还有其他五面体吗? 试举一些六面体．例3.仿照教材讲解,画一个三棱柱、四棱台和五棱锥，并归纳作图方法、步骤．例4.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？变式训练:四面体P—ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周,再回到A点,蚂蚁经过的最短路程是多少？三、课堂练习:课本第8页练习第1、2、3题．四、回顾小结：1。

高中数学第一章《立体几何初步》7-8课时教学案苏教版必修2

1.2.2 第7课时异面直线学习目标:1.理解异面直线的概念、画法,培养空间想象能力;2.会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面;3.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角;4.体会空间问题化归为平面问题求解的策略.学习重点:异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算.学习难点:异面直线概念的理解.学习过程:一、课前准备:自学课本P25~271.异面直线的定义:.2.异面直线的画法(平面衬托法:3.异面直线判定定理:.符号表示:.证明方法:.4.异面直线所成的角:①定义:.②范围:.③异面直线互相垂直:.5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,判断下列各对线段所在直线的位置关系.如果异面,求出所成的角:①AB与CC1 ;②A1B1与DC;③A1C与D1B;④DC与BD1 ;⑤D1E与CF.6.下列命题中,正确的是.①垂直于同一条直线的两条直线平行②有三个角是直角的四边形是矩形③a∥b,a⊥l b⊥l④两条异面直线既不平行也不相交,无法成角7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BD1成异面直线的棱有_________条.二、合作探究:例1.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.变式训练:已知异面直线a与b所成的角为60° (80°,P为空间一定点,则过点P 且与a、b所成的角都是60°的直线有且仅有条.例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:AA1与C1D1所成的角;AA1与B1C所成的角;B1C与BD所成的角.c b O a Q N P M 例3.空间四边形ABCD 中,AD=1 ,BC=3,BD=213,AC=23,且AD ⊥BC . 求:异面直线AC 和BD 所成的角.变式训练:正四面体ABCD 中,E 是BC 的中点,⑴求证直线AE 与BD 异面; ⑵求直线AE 与BD 所成角的余弦值.例4.如图,已知不共面的直线c b a ,,相交于O 点,M ,P 是直线a 上的两点,N ,Q 分别是c b ,上的一点.求证:MN 和PQ 是异面直线.三、课堂练习:课本第27页练习第1~6题.四、回顾小结:1.证两直线异面的方法有 ;2.求两条异面直线所成的角的步骤:作—证—算—答.五、课外作业:课本P27习题1.2:第5~12题课课练六、自我测试:1.若a ,b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则a ,c 的位置关系是 .2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 .3.下列命题中,正确的是 .①平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变; ②过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE, 则∠BAE 是异面直线AB 与CD 所成的角;③四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形; ④两条异面直线所成的角指的是过空间任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角;⑤过两条异面直线中一条上的一点作与另一条平行的直线,这两条相交直线所成的锐角或直角就是两条异面直线所成的角.4.空间四边形ABCD 中,AB,BC,CD 的中点分别是P,Q,R ,且PQ=2 ,QR=5,PR=3 ,那么异面直线AC 和BD 所成的角是 .5.在空间四边形ABCD 中,AB=CD=8,M,N 分别是BC,AD 的中点,如异面直线AB 与CD 成60°角,求MN 的长.§1.2.3 第8课时直线与平面平行(1学习目标:1.理解直线与平面平行的定义,了解直线与平面的位置关系,能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形;2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.学习重点:直线与平面平行的判定定理的应用.学习难点:直线与平面平行的判定定理的反证法证明.学习过程:一、课前准备:自学课本P28~30线面平行判定定理:.判定定理的符号表示:.3.下面命题正确的是.①直线在平面外,则直线与平面相交或平行;②若直线l上有无数个点不在平面α内, 则l∥α;③若l∥α,则l与平面α内有任意一条直线都平行;④如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行;⑤若直线l与平面α平行, 则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.4.下列四个命题中,正确的是.①直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②直线上有两点到平面的距离相等,则直线与平面平行;③直线与平面内的任一条直线不相交,则直线与平面平行;④直线与平面内无数条直线不相交,则直线与平面平行.5.过直线外一点,与该直线平行的直线有_________条;过直线外一点,与该直线垂直的直线有_________条;过直线外一点,与该直线平行的平面有_________个;过平面外一点,与该平面平行的直线有_________条.二、合作探究:例1.如图,在△ABC所在平面外有一点P,M,N分别是PC和AC上的点,过MN 作平面平行于BC,画出这个平面与其他各面的交线,并说明理由.例2.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB,M,N 分别是AC,BF 上的点且AM=FN. 求证:MN//平面BCE.例3.已知E,F,G,H分别是四面体的棱AD,CD,BD,BC的中点,求证:AH∥平面EFG.三、课堂练习:课本第31页练习第1、3题.四、回顾小结:1.注意:直线在平面外包含直线与平面相交、平行两种情形;2.直线与平面平行的判定定理,可以简记为“线线平行则线面平行”;3.判定定理使用时,三个条件缺一不可.五、课外作业:课本P36习题1.2:第3题课课练六、自我测试:1.如果a∥α,b∥α,那么a,b的位置关系是.2.直线a∥b,b⊂α,则a与α的位置关系是.3.过两条异面直线中的一条可作个平面与另一条平行.4.P是两条异面直线a、b外的一点,过点P可作个平面与a、b都平行.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,CC1的中点.求证:平面BDF∥平面B1D1E.6.已知:AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点.求证:AC∥平面EFG,BD∥平面EFG.AC。

苏教版高中数学必修二第一章学生教案立体几何第课时(1)

第11课时直线与平面垂直一、【学习导航】知识网络学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．自学评价１. 直线和平面垂直的定义:符号表示：垂线：垂面：垂足：思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直３．点到平面的距离：４．直线与平面垂直的判定定理：符号表示５．直线和平面垂直的性质定理：已知：求证：证明：６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：.求证: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.思维点拔：要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。

Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC(1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC追踪训练1听课随笔直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的判定直线和平面垂直直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的判定与性质定理的应用1、如图, 已知PA ⊥α, PB ⊥β, 垂足分别为A 、B, 且α∩β= l , 求证: AB ⊥l .例2.已知直线l // 平面α , 求证: 直线l 各点到平面α的距离相等.例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 .(1)求证: A 1C ⊥B 1D 1 ;(2)若M 、N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点, 且MN ⊥B 1D 1 , MN ⊥C 1D , 求证: MN//A 1C .点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。

追踪训练2 1.已知直线l,m,n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由： (1)若l ⊥α,则l 与α相交； (2)若m Ìα,n Ìα,l ⊥m,l ⊥n ,则l ⊥α； (3)若l//m,m ⊥α,n ⊥α,则l//m 2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系． 3.在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ，求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC 学生质疑教师释疑 ABPα β lA B D CD 1C 1B 1A 1MN 听课随笔 N M C B A S。

苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(1)

让学生学会学习听课随笔第11课时直线与平面垂直(2)学习要求1.了解直线和平面所成角的概念和范围;2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理. 【课堂互动】自学评价１. 斜线的定义: 斜足定义: 斜线段定义: ２．直线和平面所成角的定义：线面角的范围：【精典范例】例1：.如图，已知AC ，AB 分别是平面α的垂线和斜线，C ，B 分别是垂足和斜足，a Ìα，求证：a ⊥BC证明：见书3６例3例2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.已知：求证：证明：证明：略BC α aA点评：上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。

例３.如图, ∠BAC 在平面α内, 点P Ïα, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.证明：见书3６例４思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗? 思维点拨：要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．追踪训练1.如图，∠BCA=90°，PC ⊥面ABC ，则在三角形ABC ，三角形PAC 的边所在的直线中：(1)与PC 垂直的直线有AC,AB,BC(2)与AP 垂直的直线有BCA P O C E FB α P听课随笔C BA2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线 (B )A.只有一条B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？答：相等4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B１O⊥平面PAC点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．【选修延伸】Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°听课随笔总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．解题步骤：①作，②证，③求。