广东省揭阳一中、金山中学2014届高三三模联考数学文试卷(Word版)
广东省揭阳一中、金山中学高三理综三模联考试卷
潮州金中、揭阳一中2014年高考第三次模拟考试理科综合本试卷共12页，36小题，满分300分。
考试用时150分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡或答题卷上。
用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应的位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 S-32 Cl-35.5第Ⅰ卷选择题（共118分）一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1. 下列关于人体细胞结构和功能的叙述，正确的是A. 在mRNA合成的同时就会有多个核糖体结合到mRNA上B. 唾液腺细胞和胰腺细胞中高尔基体数量较多C. 血红蛋白合成的场所是高尔基体D. 乳酸产生的场所是线粒体2. 科学家通过对前列腺癌细胞系的研究发现，绿茶中的多酚可减少BCL-XL蛋白，而这种蛋白有抑制癌细胞凋亡的作用。
这表明绿茶具有抗癌作用的根本原因是由于绿茶细胞中具有A．多酚 B．BCL-XL蛋白 C．多酚酶基因 D．BCL-XL蛋白酶3. 观察到的某生物(2n=6)减数第二次分裂后期细胞如图所示。
下列解释合理的是A. 减数第一次分裂前有一条染色体多复制一次B. 减数第一次分裂中有一对染色体没有相互分离C. 减数第二次分裂前有一条染色体多复制一次D. 减数第二次分裂中有一对染色单体没有相互分离4. 正常人体内的激素、酶和神经递质均有特定的生物活性，这三类物质都是．．A. 与特定分子结合后起作用B. 由活细胞产生的蛋白质C. 在发挥作用后还能保持活性D. 在细胞外发挥作用5. 在两块条件相同的退化林地上进行森林人工恢复和自然恢复的研究，20年后两块林地的生物多样性均有不同程度提高，其中人工种植的马尾松人工恢复林植物种数为137种，无人工种植的自然恢复林植物种数为226种。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中数学理试卷 Word版含答案
2013-2014学年度第一学期高三期中考联考理科数学试题命题人：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（满分40分）1.已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2.已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 右3.设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）5. 若,x y满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为（ )A ．20B ．22C ．24D ．28P6. 将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A ．1sin 2y x =B ．1sin()22y x π=-C.1sin()26y x π=-D.sin(2)6y x π=-7. 已知定义在R 上的周期为2的偶函数)(x f ，当[]1,0∈x 时,22)(x x x f -=,则 )(x f在区间[]2014,0内零点的个数为（ ） A ．3019B ．2020C ．3021D ．30228．在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．－32D ．32二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．在====∠∆AC BC AB A ABC 则中，若,7,5,120010．函数46y x x =-+-的最小值为11．设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=_____ 12．若函数()y f x =的图象与函数xy 4=的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =的解析式为__________________13．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点。
揭阳市2014届高三3月第一次模拟考试(文数)
揭阳市2014届高中毕业班第一次高考模拟考试数 学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数1()1f x x=-的定义域为M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π-7．已知向量a 、b 满足||1,||3a b == ，且(32)a b a -⊥，则a 与b的夹角为 图（2）A.6π B.4π C.3π D.2π140图（3）x0.01500频率/组距0.00254060801001200.0100（km/h ）0.00508．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6]9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120，则双曲线C 的离心率为 A.32B. 62C.233D. 310．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 A ．12B ．59C ．23 D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值 为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x+=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++ = ． （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，P 是SA 上的动点，且AB=1，SA=2． （1）试证明不论点P 在何位置，都有DB PC ⊥； （2）求PB PH +的最小值；（3）设平面AEKH 与平面ABCD 的交线为l ，求证：//BD l ． 19．（本小题满分14分）.已知曲线C 的方程为：222240(0,ax ay a x y a a +--=≠为常数）．（1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （A 、B 不同于原点O ），试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且||||O M O N =，求曲线C 的方程． 20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1bf x a xg x x x=+=+-，(,a b R ∈)． （1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值； （2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<> ，33cos ,,2623a b a b π<>==⇒<>= ． 8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最 大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,22222211()3b c a a c c c -⇒==-=236()22c e a ⇒=⇒=,选B.10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3. 二、填空题：11．3；12．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. 233. 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=.3tan 303b c ==13．由1n y x+=得'(1)ny n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =得1n n x n =+，lg lg 1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯ 1lg 2100==-14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3） 15． DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，23432323,.3333OD BC OC OB ==-=-= 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin 22(sin cos cos sin )22sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+ ---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈ 且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()22sin()22sin 2.124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分 【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-， 代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分sin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈ ，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()22sin()22sin 2.124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】 17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分P DABSH“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分 所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分 ∵SA ⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分 又SA AC A = ∴BD ⊥平面SAC , ∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分（2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的 最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵25SA AD AH SD ⋅==,∴2cos 5AH AD α==,--------------------6分 在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-4221712()5555=+-⨯⨯-= ∴min 85()5PB PH BH +==．------------------------------------------------------------8分 (3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆， ∴SB SD =，---------------------------------------------------------------9分 又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆， ∴SE SH =，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SHSB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH ⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分19.解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分可知曲线C 是以点2(,)a a为圆心，以224a a +为半径的圆．-----------------------------4分 （2）△AOB 的面积S 为定值．-------------------------------------------------------------------5分 证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分 在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON = ∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分 当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--，圆的半径为5， 圆心到直线:24l y x =-+的距离|414|955d ---==5>， 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. ---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分 ∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+ 11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x=-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得 '(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分（2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a xh x x x-=-=，-------------------------3分 当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分 当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分 当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分 综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分 【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分 由于ln 1xx -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率， 由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由()22ln p x x a x x=++得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x a x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ ()22121212121ln 2x x x x a x x x x +=+++--------------------------------------8分2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分 又()()2221212121224x x x x x x x x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分 ∵12122x x x x +< ∴1212ln ln 2x x x x +< ∵0a ≤ ∴1212ln ln 2x x a x x a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()2221212121212121214ln ln 22x x x x x x a x x a x x x x x x ++⎛⎫+++>++ ⎪+⎝⎭ 即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分【证法二：由()22ln p x x a x x=++ ()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分 22121212121212()()(ln ln )4()2x x x x x x a x x x x x x --+=++-+---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数， ∴12122x x x x +<∴1212ln ln 2x x x x +<-------------------------------------------------11分 ∴1212(ln ln )02x x a x x +-≥，又2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+ ∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭0>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．----------------14分。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题
（测试时间120分钟，满分150分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,12．212(1)ii +=- （ ） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( ) A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 4．函数)1(lg 11)x (f x x++-= 的定义域是（ ） .(,1).(1,).(1,1)(1,).(,)A B C D -∞-+∞-⋃+∞-∞+∞5. 已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-16. 函数xe⋅=3)-(x f(x)的单调递增区间是（ ）.(,2).(0,3).(1,4).(2,)A B C D -∞+∞7. 如果1tan 20131-tan αα+=，那么=+αα2tan 2cos 1（ ）A .2010 B. 2011 C. 2012 D. 20138. 已知O 是坐标原点，点A(-1,1) ，若点 M(x,y) 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2y 12x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅ 的取值范围是（ ） A. [-1,0] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,2] 9. 下列说法，正确的是（ ） A. 对于函数 x1(x)f =，因为0(1)f (-1)f <⋅，所以函数 f(x) 在区间 ( -1 , 1 )内必有零点；B. 对于函数x x x f -=2)(，因为f(-1) f(2)>0，所以函数 f(x) 在区间 ( -1, 2 )内没有零点 C. 对于函数133)(23-+-=x x x x f ，因为f(0) f(2)<0，所以函数f(x) 在区间( 0 , 2 ) 内必有零点；D. 对于函数x x x 23(x)f 23+-=，因为 f(-1) f(3)<0，所以函数 f(x) 在区间( -1 , 3 ) 内有唯一零点10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A. 9(,2]4--B.[1,0]-C.(,2]-∞-D.9(,)4-+∞二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上. 11. 在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a ++∙∙∙+的值为13．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(,0)π对称；②图象C 关于直线1112x =π对称； ③函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 .14．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈. (1)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(2)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .17.（本小题满分14分）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值；(2) 若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.18.（本小题满分14分） 设函数θθθθ其中角,cos sin 3)(+=f 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x,y)，且 .0πθ≤≤ (1) 若点P 的坐标为 的值；求)(,)23,21(θf(2) 若点P (x,y) 为平面区域 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+Ω111:y x y x 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数)(θf 的最小值和最大值.19.（本小题满分14分）设函数)0(3(x)f 23>+++=a d cx bx x a 其中，且方程/f ()90x x -= 的两个根分别为 1，4.（1）当 a=3 且曲线 y=f(x) 过原点时，求 f(x) 的解析式； （2）若 f(x) 在），（∞+∞-无极值点，求 a 的取值范围。
【精编Word版】广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三下学期期初联考数学理试题 Word版含答案
2013—2014学年度高三理科数学测试题一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= ( )．A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i2. 已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是( )． A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥ B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥ 则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是（ ）． A ．30 B ．60 C ．70 D ．804．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）. ks5u A.14 B.24 C.28 D.485. 某程序框图如图 2所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x = ( )．A ．32B ．24C ．18D ．166. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0),A -则||||PF PA 的最小值是（ ）． A ．12 B．2C．2D．37. 设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM OP ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为（ ）．周长(cm)图 1图 2A ．310-B ．103C ．0D ．2 8. 将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图 3），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法： ①()f x 的值域为[0,2]；②()f x 是周期函数； ③( 1.9)()(2013)f f f π-<<；④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为：（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.9. 已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ． 10. 不等式222log 2log x x x x -<+的解集为 ．ks5u 11. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = . 12. 函数)0)(sin(3)(>+=ϕϕωx x f 的部分图象如图 4所示，点)3,(),0,(21x B x A ,C )3,(4-x ，若2A B B C A B=，则ω等于 ． 13. 如图 5，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分）随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.14.（极坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为 ．15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆O 交于F ，若2π=∠D B C ,6π=∠BCD ,6=AB ，则=EC ________．三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.A图 3图 4图 6图 5 π- π16.（本题满分12分）已知函数()sin sin(),02f x x x πωωω=++>且函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求()f x 的最大值及取得最大值的x 值；(2)若(0,),απ∈且3()4f α=，求cos α的值． 17.（本题满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ． (1) 求文娱队的人数；(2) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ．18.（本题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图7甲).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图7乙).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ； （2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.ks5u19.（本题满分14分）已知数列{}n a 满足217a =-，()),2(2111N ∈≥--=--n n a a a n nn n ． （1）求1a 的值；（2）求证：数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是等比数列； （3）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，32<n T ．20.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线2x =的距离之比为2，动点Q 是动圆C 2：222(1x y r r +=<<上一点． （1）求曲线C 1的轨迹方程；（2）若点P 为曲线C 1上的点，直线PQ 与曲线C 1和动圆C 2均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离｜PQ ｜的最大值．21．（本题满分14分）已知函数32()(63)xf x x x x t e =-++，t R ∈.（1）若函数()y f x =在,,x a x b x c ===处取到极值,且,,a b c 成等差数列，求t 的值； （2）若存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立.求正整数m 的最大值．ks5u2013—2014学年度高三理科数学测试题参考答案三．解答题：16.解：24f (x )sin x sin(x )sin x cos x x )ππωωωωω=++=+=+……2分f (x ) 的最小正周期为2π，21,T πω∴==………………………………4分 （1）)(x f 的最大值为2，当242x k ,πππ+=+即24x k (k Z )ππ=+∈时)(x f 取得最大值；…………………………………………………………………………………………6分（2）因为43)(=αf ，即3sin cos 4αα+=⋅⋅⋅①, ………………………………7分 72sin cos 16αα⇒=-且2(,)παπ∈………………………………………………9分272311616(cos sin ),cos sin αααα-=+=∴-=②，……………………11分由①、②解得38cos α=-…………………………………………………………12分ks5u17. (1)解法1：∵107)0(P 1)1(P )0(P ==-=≥=>ξξξ， ∴3P 010()ξ==． ……………………………………………………………………2分 即103C C 2x 722x 7=--， ∴103)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----， ∴x=2．………………………………5分 故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分 解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试卷
（测试时间120分钟，满分150分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,12．212(1)ii +=- （ ） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( ) A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 4．函数)1(lg 11)x (f x x++-= 的定义域是（ ） .(,1).(1,).(1,1)(1,).(,)A B C D -∞-+∞-⋃+∞-∞+∞5. 已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-16. 函数xe⋅=3)-(x f(x)的单调递增区间是（ ）.(,2).(0,3).(1,4).(2,)A B C D -∞+∞7. 如果1tan 20131-tan αα+=，那么=+αα2tan 2cos 1（ ）A .2010 B. 2011 C. 2012 D. 20138. 已知O 是坐标原点，点A(-1,1) ，若点 M(x,y) 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+2y 12x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅ 的取值范围是（ ） A. [-1,0] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,2]9. 下列说法，正确的是（ ） A. 对于函数 x1(x)f =，因为0(1)f (-1)f <⋅，所以函数 f(x) 在区间 ( -1 , 1 )内必有零点；B. 对于函数x x x f -=2)(，因为f(-1) f(2)>0，所以函数 f(x) 在区间 ( -1, 2 )内没有零点C. 对于函数133)(23-+-=x x x x f ，因为f(0) f(2)<0，所以函数f(x) 在区间( 0 , 2 ) 内必有零点；D. 对于函数x x x 23(x)f 23+-=，因为 f(-1) f(3)<0，所以函数 f(x) 在区间( -1 , 3 ) 内有唯一零点10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A. 9(,2]4--B.[1,0]-C.(,2]-∞-D.9(,)4-+∞二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上. 11. 在△ABC 中，若a =3，b=3，∠A=3π，则∠C 的大小为_________12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a ++∙∙∙+的值为13．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(,0)π对称； ②图象C 关于直线1112x =π对称； ③函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 .14．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈. (1)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(2)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .17.（本小题满分14分）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值；(2) 若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.18.（本小题满分14分） 设函数 θθθθ其中角,cos sin 3)(+=f 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x,y)，且 .0πθ≤≤ (1) 若点P 的坐标为 的值；求)(,)23,21(θf(2) 若点P (x,y) 为平面区域 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+Ω111:y x y x 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数)(θf 的最小值和最大值.19.（本小题满分14分）设函数)0(3(x)f 23>+++=a d cx bx x a 其中，且方程/f ()90x x -= 的两个根分别为 1，4.（1）当 a=3 且曲线 y=f(x) 过原点时，求 f(x) 的解析式；（2）若 f(x) 在），（∞+∞-无极值点，求 a 的取值范围。
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷(文科)
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足：iz=3+4i，则z=( )A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i【答案】C【解析】试题分析：由iz=2+4i，利用复数代数形式的除法运算可得结果．由iz=3+4i，得z===4-3i，故选：C．2.设函数f(x)=的定义域为M，则∁R M=( )A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1]D.[1，+∞)【答案】D【解析】试题分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域，然后根据补集的定义即可得到结论．要使函数f(x)=有意义，则1-x＞0，即x＜1，∴函数的定义域M=(-∞，1)，则∁R M=[1，+∞)，故选：D．3.设平面α、β，直线a、b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断．根据面面平行的判定定理可知，当a，b不相交时，α∥β不成立，∴充分性不成立．若α∥β，则必有a∥β，b∥β，∴必要性成立．∴“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．4.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是( )A.y=sin(x+)B.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|【答案】D【解析】试题分析：利用正弦函数与余弦函数的单调性与奇偶性，对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．A：∵y=f(x)=sin(x+)=cosx，满足f(-x)=f(x)，是偶函数，且在区间[0，π]上单调递减，∵[0，1]⊂[0，π]，∴y=sin(x+)在[0，1]上单调递减，故A错误；B：y=1-2cos22x=-cos4x，当x∈[0，1]时，4x∈[0，4]，4＞π，∴y=1-2cos22x在[0，1]上不单调，故B错误；C：y=-x2在[0，1]上单调递减，故C错误；D：y=g(x)=|sin(π+x)|=|-sinx|=|sinx|，g(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=g(x)，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，且在[0，]上单调递增，∵[0，1]⊂[0，]，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，在[0，1]上单调递增，即D正确；故选：D．5.如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的所有x值分别为( )A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4【答案】C【解析】试题分析：算法的功能是求分段函数y=的值，分段求得输入的x值与输出的y值相等的x值，可得答案．由程序框图知，算法的功能是求分段函数y=的值，输入的x值与输出的y值相等，则当x≤2时，x=1或0；当2＜x≤5时，2x-3=x⇒x=3；当x＞5时，=x无解．综上x的值可能是0，1，3．故选：C．6.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.16-πB.12-4πC.12-2πD.12-π【答案】D【解析】试题分析：根据三视图可判断几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，由三视图的数据可得长方体的长、宽、高及圆柱的高，代入公式计算．由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，∴几何体的体积V=V长方体-V圆柱=4×3×1-π×12×1=12-π．故选：D．7.已知向量、满足||=1，||=，且(3-2)，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．(3-2)，可得(3-2)，即=0，⇒==，cos==，∴=．故选：A．8.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是( )A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D.[2，6]【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点(2，0)时，直线y=的截距最小，此时z最小，最小值为z=2，经过点(2，2)时，直线y=的截距最大，此时z最大，最大值为z=6，即z的取值范围是[2，6]．故选：D9.以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120°，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形利用一个内角为120°推断出=，进而利用a，b和c关系求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，∵内角为120°，∴=平方得：=又∵c2=a2+b2，所以1-=求得=，故选D10.从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x-5|+|y-3|≤4的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论结论．不等式|x-5|+|y-3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分：∵0≤x≤10，0≤y≤6，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率为阴影，故选：A二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若点(a，27)在函数y=3x的图象上，则tan的值为．【答案】【解析】试题分析：根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．∵点(a，27)在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：12.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的x值为．【答案】15;0.0175【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．利用频数除组距得到x的值．由直方图可知，x的值=[1-(0.0025+0.0100+0.0050+0.0150)×20]÷20=0.0175，因此正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15(辆)，故答案为：15；0.0175．13.设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．【答案】-2【解析】试题分析：由曲线y=x n+1(n∈N*)，知y′=(n+1)x n，故f′(1)=n+1，所以曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn-lg(n+1)，由此能求出a1+a2+…+a99．∵曲线y=x n+1(n∈N*)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn-lg(n+1)，∴a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)+…+(lg99-lg100 )=lg1-lg100=-2．故答案为：-2．14.已知直线l：(t为参数且t∈R)与曲线C：(α是参数且α∈[0，2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为．【答案】(1，3)【解析】15.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为．【答案】【解析】试题分析：连接OD、BD，由题目中条件：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得BC的长．连接OD、BD，．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f(x)=+2sinx．(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)若f(α)=2，α∈[0，π]，求f(α+)的值．【答案】(1)∵sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ(k∈Z)}∵f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin(+x)∴f(x)的最小正周期T==2π(2)∵f(α)=2，∴cosα+sinα=1，∴(cosα+sinα)2=1，即2sinαcosα=0，∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=∴f(α+)=2sin(+α+)=2sin=【解析】(1)由sinx≠0，即可求得f(x)的定义域，利用三角恒等变换可求得f(x)=2sin(+x)，从而可求其最小正周期；(2)由f(α)=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f(α+)的值．17.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．【答案】(1)在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，∴此人到达当日空气质量优良的概率．(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”．其概率为，“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”．其概率为，∴此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为．P=．【解析】(1)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(2)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．18.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB 交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；(2)求PB+PH的最小值；(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．【答案】(1)证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，∴DB⊥PC．(2)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，在rt△AHD中，∵，∴，在三角形BAH中，有余弦定理得：BH2=AB2+AH2-2AB•AH cos(π-α)=，∴(．(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴R t△SAB≌R t△SAD，∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴R t△SEA≌R t△SAH，∴SE=SH，∴，∴EH∥BD又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l【解析】对于(1)既然不论点P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那应该有BD⊥面SAC；对于(2)需要将PB+PH的表达式用函数表示出来对于(3)利用线面平行的性质定理和判定定理19.已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0，a为常数)．(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【答案】(1)将曲线C的方程化为可知曲线C是以点(a，)为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax(x-2a)=0，得点A(2a，0)，在曲线C的方程中令x=0得y(ay-4)=0，得点B(0，)，∴S=|OA||OB|=|2a|||=4(为定值)(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心(a，)在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，当a=-2时，圆心坐标为(-2，-1)，圆的半径为，圆心到直线l：y=-2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0．【解析】(1)把方程化为圆的标准方程，可得结论；(2)求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；(3)由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心(a，)在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．20.已知正项数列{a n}满足：a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0(n∈N+)，数列{b n}的前n项和为S n，且满足b1=1，2S n=1+b n(n∈N+)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T2n＜1．【答案】(1)∵a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0，∴[a n-(n2+n)](a n+1)=0．∵{a n}是正项数列，∴．∵2S n=1+b n，∴当n≥2时，2S n-1=1+b n-1，两式相减得b n=-b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比-1的等比数列，∴，(2)证明：∵c n==(-1)n-1•，∴c2n-1+c2n====，∴T2n=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n-1+c2n)==1-＜1．【解析】(1)由已知条件推导出[a n-(n2+n)](a n+1)=0，由此能求出；由2S n=1+b n，得b n=-b n-1，由此能求出．(2)由c n=(-1)n-1•，推导出c2n-1+c2n=，由此利用裂项求和法能证明T2n=1-＜1．21.已知函数f(x)=alnx+1，g(x)=x2+-1，(a，b∈R)．(1)若曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，求b的值；(2)当a＞0时，若对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，求实数a的取值范围；(3)设p(x)=f(x)+g(x)，在(1)的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有＞p()．【答案】(1)∵g'(x)=2x-，由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2-b=0，解得b=2；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则h'(x)=，当a≥e时，h'(x)＞0，函数h(x)在(1，e)上是增函数，有h(x)＞h(1)=0，即f(x)＞x；当1＜a＜e时，∵函数h(x)在(1，a)上递增，在(a，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．当a≤1时，函数h(x)在(1，e)上递减，对∀x∈(1，e)，要使f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，而h(e)=a+1-e＜0，不合题意；综上得对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，a≥e-1．(3)由p(x)=x2++alnx，得=+()+=++aln，p()=++aln，由得2＞⇒＞①，又+2x1x2＞4x1x2，∴＞，②∵，∴ln＜ln，∵a≤0，∴aln≥aln，③由①、②、③得++aln＞++aln，即＞p()．【解析】(1)由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2，可得b的方程，解出即可；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，有h(x)min＞0，求导数h'(x)=，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；(3)易得p(x)=x2++alnx，表示出=++aln，p()=++aln，分别利用不等式可证明＞①，＞，②aln≥aln，③由三式可得结论；。
2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．79．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx，其中常数k∈R．（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）若f（x）存在极值且有唯一零点x0，求k的取值范围及不超过的最大整数m．2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故选：B．2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．ta nα＜0角α的终边在第二、四象限．∴角α的终边在第二象限．故选：B．3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x【解答】解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选：C．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f（x）=，f（1）=f（﹣1），∴a=1﹣（﹣1）=2．故选：A．5．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）【解答】解：∵函数的周期为π，∴排除A，B．∵y=﹣sin（2x﹣π）=sin2x，∴在[，]上不是单调函数．y=cos（2x+π）=﹣cos2x，满足在[，]上为增函数，故选：D．6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得；=﹣=﹣，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：A．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．9．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵0≤x≤2，∴f（x）===，∴当x=时，函数f（x）取得最大值为=，故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增．②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选：C．二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的面积S===．故答案为：．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．【解答】解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，∴f（x1）=[﹣1，3]，又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，∴，解得a≥3．综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为π．【解答】解：∵点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．CD=，BD=1，∴CD2=BD•DA，解得DA===3，∴AB=3﹣1=2，∴圆O的面积S==π．故答案为：π．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=3．【解答】解：由（t为参数），得y=x+3，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ（sinθ﹣cosθ）=3．即曲线l的极坐标方程是ρ（sinθ﹣cosθ）=3．故答案为：ρ（sinθ﹣cosθ）=3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ），且与互相垂直，∴=，∴（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，∴17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵==．∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）．所以函数．（Ⅲ）∵∴，即，∴2a+3=3即a=0．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE【解答】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．…（1分）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．…（2分）因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．…（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ∥PA．…（7分）因为PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ．…（8分）所以PA∥平面BDQ．…（9分）（Ⅲ）解：设四棱锥P﹣BCDE，Q﹣ABCD的高分别为h1，h2，=S BCDE h1，V Q﹣ABCD=S ABCD h2．…（10分）所以V P﹣BCDE=2V Q﹣ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．…（12分）因为V P﹣BCDE所以，…（13分）因为，所以．…（14分）20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．【解答】解：（1）∵函数m（x）=x3﹣﹣3ax，∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，∴f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a，∵f′（1）=0，∴3+3a﹣2（a+1）=0∴a=﹣1，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），显然在x=1附近f′（x）符号不同，∴x=1是函数f（x）的一个极值点，∴a=﹣1即为所求；（2）∵m（x）=x3﹣﹣3ax，∴∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，若函数f（x）在R上不单调，则f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，∴△=12（a+1）2﹣36a＞0∴a2﹣a+1＞0恒成立，∴实数a的取值范围为R；（3）∵m（x）=x3﹣x2，∴f（x）=m（x）+x2﹣3x=x3﹣3x，∴f'（x）=3（x2﹣1），设切点M（x0，y0），则M的纵坐标，又，∴切线的斜率为，得，设g（x0）=，∴g'（x0）=由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1，∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极大值点为x0=0，极小值点为x0=1，∵∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+有三个零点，∴方程2x03﹣3x02+=0有三个实根，∴过点可作曲线y=f（x）的三条切线．21．（14分）已知函数f （x ）=lnx +﹣kx ，其中常数k ∈R ．（1）求f （x ）的单调增区间与单调减区间；（2）若f （x ）存在极值且有唯一零点x 0，求k的取值范围及不超过的最大整数m ．【解答】解：（1）①当k ≤2时，，则函数f （x ）为增函数．②当k ＞2时，，其中x ，f′（x ），f （x ）的取值变化情况如下表：综合①②知当k ≤2时，f （x ）的增区间为（0，+∞），无减区间； 当k ＞2时，f （x ）的增区间为与，减区间为．（2）由（1）知当k ≤2时，f （x ）无极值， 当k ＞2时，知f （x ）的极大值，f （x ）的极小值f （x 2）＜f （x 1）＜0，故f （x ）在（0，x 2）上无零点．，又，故函数f（x）有唯一零点x0，且x0∈（x2，2k）．又，记g（k）=（k＞2），，则g（k）=ln2﹣2＜0，从而f（k）＜0，，故k的取值范围是（2，+∞）且不超过的最大整数m=1．。
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广东省揭阳一中、金山中学2014届高三三模联考数学文试卷（Word 版）本试卷共4页，21题，满分150分．考试时间为l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内． 2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.3. 答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -12．设集合{|A x y ==,{|2}x B y y ==，则AB =（ ）A ．02)（，B ．[02]，C ．(1,2]D ．02]（， 3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A. 8，8B. 10，6C. 9，7D. 12，44.已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，则b →为（ ） A.()2,4-B.()2,4C.()2,4-或()2,4-D.()2,4--或()2,45．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( ) A ．89 B ．910 C ．1011 D ．11127.已知3x ≥，则11y x x=--的最小值为（ ）A.2B. 72C. D. 38．数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈．若实数x y ，满足正视图 侧视图俯视图100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=10．对于函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为 C.已知(),[2,f x x D ==，则函数()f x 在D 上的几何平均数为（ ）A ．B ．3C ．2 D二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上.（一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必须作答.） 11．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，,13A a c π===，则ABC∆的面积S= ______．12.椭圆2221(1)x y a a+=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的全面积为 . (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 1ρθθ+=所表示的曲线上一动点⎪⎭⎫⎝⎛3,2πQ ，则PQ 的最小值为____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边CE分别交于,E F 两点，60ACB ∠=，则EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象过点,12π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求ω和ϕ的值； （2）设()()()4g x f x f x π=+-，求函数()g x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)80,70的概率.18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ， 且12AB AC A B ===．（1）求证：11AC ⊥平面11AA B B ；第17题（2）若P 为线段11B C 的中点，求四棱锥11P AA B B -的体积. 19．（本小题满分14分）在等比数列{a n }中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，又a 3与a 5的等比中项为2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{b n }的前n 项和S n. （3）是否存在*,k N ∈使得1212nS S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=．已知点(1P ，过点P 作互相垂 直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截 得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ． st是否为定值？ 请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在点0=x 处取得极值.（1）求实数a 的值； （2）若关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[0，2]上有两个不等实根，求b 的取值范围；（3）证明：对于任意的正整数n ，不等式211ln nn n n +<+.2013—2014学年度两校三模联考数学科 (文科)参考答案及评分说明一．选择题：BDCDA BBABA二．填空题：11. ，12. ，13.，14.15.2三．解答题：16.解：（1）由图可知222T ππωπ===， (2)分又由()12f π=-得，sin(2)12πϕ⋅+=-，得sin 1ϕ=0ϕπ<<2πϕ∴=， …………4分（2）由（1）知：()sin(2)cos 22f x x x π=+= ………………………………6分因为()cos 2cos(2)cos 2sin 22g x x x x x π=+-=+)4x π=+ …………9分 所以，222242k x k πππππ-≤+≤+，即3 (Z)88k x k k ππππ-≤≤+∈.………11分 故函数()g x 的单调增区间为3, (Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.…12分17. 解：（1）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=，故0.30.0310=，……2分 如图所示： ----4分（求频率2分，作图2分） （2）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．------------6分（3）由题意，[)60,70分数段的人数为：0.15609⨯=人； ----------------7分[)70,80分数段的人数为：0.36018⨯=人； ----------------8分∵在[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)60,70分数段抽取2人，分别记为,m n ；[)70,80分数段抽取4人，分别记为,,,a b c d ； 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[)80,70为事件A ，则基本事件空间包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、……、(,)c d 共15种， 则事件A 包含的基本事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、(,)n a 、(,)n b 、(,)n c 、(,)n d 共9种，---11分∴93()155P A ==． --------------------------------12分18.（1） 证明：1A B ⊥平面ABC ， …………………1分AC ⊂平面ABC ，1AC A B ∴⊥ …………………2分又AC AB ⊥， ………………3分 AB ⊂平面11AA B B ， 1A B ⊂平面11AA B B ，1A BAB B = AC ∴⊥平面11AA B B …………5分又在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC // 11AC ∴⊥平面11AA B B …………6分（2）解：111224AA B B S AB AB =⨯=⨯=平行四边形………………8分取11A B 的中点R ，连结PR ， 则11PR AC //，111PR A C 1==2………………10分 又11AC ⊥平面11AA B B ，PR ∴⊥平面11AA B B………………12分 故点P 到平面11AA B B的距离1d =，11111433P AA B B AA B B V S d -∴=⨯⨯=平行四边形…………………14分19. 解：（1）252,252255323825151=++∴=++a a a a a a a a a a ，又5,053=+∴>a a a n ， …………………………………………2分 又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ， 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，………3分n n n a a q --=⨯=∴==∴5112)21(16,16,21 ， ……………………………5分 （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列. …………… 7分(9)2n n n S -∴=， ……………9分 （3）由（2）知(9)9,22n n S n n n S n --=∴= 0,8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>nSn n 时，.……………11分 31289,18123n S S S S n n∴=++++=当或时最大.…………………………13分 故存在*,k N ∈使得1212n S S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，k 的最小值为19 (14)分20. 解：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ， ……………………………… 1分∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， …………………………… 2分 设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =， …………………………3分∴2083y =⨯，∴0y =±， ……………………… 4分∴1||7AF ==， ………………………… 5分又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……… 6分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………… 7分 （2）st为定值.下面给出说明. …………………… 8分设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r == (9)分故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………… 10分设1l 的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =N 到直线2l 的距离为2d =11分∴直线1l 被圆M 截得的弦长s == ……… 12分直线2l 被圆N 截得的弦长t == ………… 13分∴st==s t …………… 14分21. 解：（1）()()()12x x a x a f x x a-+-+'=+由题意， ()00f '= 解得1a = ………………………………2分 （2）构造函数()[]()25()ln 10,22h x x x x x b x ⎛⎫=+----+∈ ⎪⎝⎭，则 ()()224545()2121x x x x h x x x --++-'==-++()()()45121x x x +-=+ 令 ()0h x '= 得 5114x x x =-=-=或或 又知[]0,2x ∈ ∴ 当01x ≤<时，函数()h x 单调递增，当12x <≤函数()h x 单调递减方程5()2f x x b =-+在区间[]02，上有两个不同的实根，等价于函数()h x 在[]02，上有两个不同的零点，则只需()()()0031ln 21022ln 3430h b h b h b =-≤⎧⎪⎪=-+->⎨⎪⎪=-+-≤⎩ 即 01ln 22ln 31b b b ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-⎪⎩ ∴ 所求实数b 的取值范围是1ln 31ln 22b -≤<+…………………6分 （3）构造函数()2()ln 1g x x x x =+--，则 ()23()1x x g x x -+'=+ 令 ()0g x '= 解得 302x x ==-或 …………8分 当 10x -<< 时 ()0g x '>，()g x 是增函数当 0x > 时 ()0g x '<，()g x 是减函数 ……………………………10分 ∴ []()max ()00g x g == ∴ ()2ln 10x x x +--≤ 当0x ≠时，有 ()2ln 10x x x +--<取 1x n =，得 2111ln 10n n n ⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 211lnn n n n ++<．。