广义Calderón-Zygmund算子交换子在变指数Lebesgue空间中的有界性

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Bergman空间和Zygmund空间之间的广义Cesaro算子

Ｂｒｍａｅｇｎ空间和Ｚｇｎｙｍｕｄ空问之问的广义Ｃｒ子ｅ＆ｏ算ｓ
Ｓ
一
徐丽燕
（江师范大学数学系，江金华３２０）浙浙１０４
摘要：过引入试验函数的方法，方面给出了Ｂｒｍａ通一ｅｇｎ到￡空间的映射Ｔ为有界算子（紧算子）的充要条或件是ｇＣ；另一方面得到了￡空间到Ｂｒｍａ间的映射为有界算子（紧算子）的充要条件是ｇ∈ Ａ此ｅｇｎ空或．
此算子在Ｈａｄ空间、ｅｇｎ空间、ｌｃ间、ｉｓｈｔ空间和ＺｇｎｒｙＢｒｍａＢｏｈ空Ｌｐｃｉｚｙｍｕｄ空间上的有界性和紧性已被众多学者所研究，体可见文献［］～［］对于不同类型函数的空间之间广义Ｃｓｒ具１７．ｅａｏ算子的映射特性，人们也作了一定的研究．最近Ｌ和Ｓｅｉ在文献Ｅ］中给出了Ｚｇｎ空间到Ｂｏｈ间的广义Ｃｓｒ算子的有界性ｉｔｖｄ８ｙｍｕｄｌ空ｃｅａｏ
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湖州师范学院学报
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第３卷。
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RD空间上分数次积分算子及其交换子在广义Morrey空间的加权有界性

第61卷第6期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .62023年11月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )N o v 2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023007R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性方光杰,陶双平(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:利用H öl d e r 不等式和权函数的相关性质,给出R D (r e v e r s e d o u b l i n g c o n d i t i o n )空间上的分数次积分算子及B MO 交换子在广义加权M o r r e y 空间上的有界性,并给出相应的端点估计.关键词:分数次积分算子;交换子;广义加权M o r r e y 空间;R D 空间中图分类号:O 174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)06-1287-09W e i g h t e dB o u n d e d n e s s o f F r a c t i o n a l I n t e g r a lO pe r a t o r s a n d I t sC o m m u t a t o r o nG e n e r a l i z e dM o r r e y S p a c e s o v e rR D -S pa c e s F A N G G u a n g j i e ,T A OS h u a n g p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g H öl d e r s i n e q u a l i t y a n d t h e r e l a t e d p r o p e r t i e s o fw e i gh t e d f u n c t i o n s ,w e g a v e t h e b o u n d e d n e s s o f f r a c t i o n a l i n t e g r a lo p e r a t o r sa n dB MOc o mm u t a t o ro n g e n e r a l i z e d w e i g h t e d M o r r e ys p a c e s o v e rR D (r e v e r s e d o u b l i n g c o n d i t i o n )-s p a c e s ,a n d g a v e t h e c o r r e s p o n d i n g e n d p o i n t e s t i m a t e s .K e yw o r d s :f r a c t i o n a l i n t e g r a l o p e r a t o r ;c o mm u t a t o r ;g e n e r a l i z e dw e i g h t e d M o r r e y s p a c e ;R D -s p a c e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-10.第一作者简介:方光杰(1995 ),男,汉族,硕士研究生,从事调和分析的研究,E -m a i l :g j F 177********@163.c o m.通信作者简介:陶双平(1964 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事调和分析及其应用的研究,E -m a i l :t a o s p@n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201500).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230707.1455.002.h t m l .1 引言与主要结果设(X ,d ,μ)为齐型空间[1-2],其测度μ满足双倍条件:对任意的x ɪX ,存在常数C 1ɪ(1,ɕ),使得μ(B (x ,2r ))ɤC 1μ(B (x ,r )),(1)其中B (x ,r )={y ɪX :d (x ,y )<r }⊆X ,r ɪ(0,ɕ).如果齐型空间(X ,d ,μ)的测度μ满足反双倍条件:对任意的x ɪX ,存在常数C 2ɪ(1,ɕ),r ɪ(0,d X /2),λɪ[1,d X /(2r )),使得μ(B (x ,λr ))ȡC 2μ(B (x ,r )),(2)则称齐型空间(X ,d ,μ)为R D (r e v e r s ed o u b l i n g c o n d i t i o n )空间[3],其中d X ʒ=s u p x ,y ɪXd (x ,y ),这里常数C 1,C 2与x ,r 无关.关于R D 空间的研究目前已有很多结果[4-9],例如:文献[4]引入了R D 空间上的广义加权M o r r e y空间;文献[6]得到了R D 空间上θ-型C a l d e r ón -Z y g m u n d 算子的B MO 交换子在广义加权M o r r e y 空间中的有界性.本文主要考虑分数次积分算子及其B MO 交换子在R D 空间上的广义M o r r e y 空间中的加权有界性,同时给出分数次积分算子及其B MO 交换子在该空间的端点估计.对任意的球B ⊂X ,M u c k e n h o u p t 权类A p (μ),A 1(μ),A (p ,q )(μ),A (1,q )(μ)分别由满足下列条件的非负局部可积函数构成[10]:A p (μ):s u p B 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷)1μ(B )ʏB ω(x )1-p ᶄd μ(x æèçöø÷)p-1ɤC , 1<p <ɕ;A 1(μ):s u p B 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷)ɤC e s s i n f x ɪB ω(x ), p =1;A (p ,q )(μ):s u p B 1μ(B)ʏB ω(x )q d μ(x æèçöø÷)1/q 1μ(B )ʏB ω(x )-p ᶄd μ(x æèçöø÷)1/pᶄɤC , 1<p <q <ɕ;A (1,q )(μ):s u p B 1μ(B)ʏB ω(x )q d μ(x æèçöø÷)1/qɤC e s s i n f x ɪB ω(x ), p =1, 1<q <ɕ,其中p ᶄ=p /(p -1)为p 的对偶指标.设1<r <ɕ,对任意的球B ⊂X ,存在常数C >0,使得下列反向H öl d e r 不等式成立[11]:1μ(B )ʏB ω(x )r d μ(x æèçöø÷)1/rɤC 1μ(B )ʏB ω(x )d μ(x æèçöø÷),记ωɪR H r .设b ɪL 1l o c (μ),则B MO (μ)空间定义[12]为B MO (μ)=b : b B MO (μ)=s u p B 1μ(B )ʏBb (x )-b B d μ(x )<{}ɕ,这里上确界取遍所有的球B ⊂X ,其中b B =1μ(B )ʏB b (y )d μ(y ).定义1[13] 设0<α<1,K αɪL 1l o c (X ˑX \{(x ,y ):x =y })是可测函数,并满足条件K α(x ,y )ɤC (V (x ,y ))1-α, x ʂy ,(3)且存在常数0<β<1,使得当d (x ,y )>2d (x ,z )时,有K α(x ,y )-K α(z ,y )+K α(y ,x )-K α(y ,z )ɤC (d (x ,z ))β(V (x ,y ))1-α(d (x ,y ))β.(4)设f ɪL ɕb (μ),x ∉s u p p (f ),分数次积分算子和交换子分别定义为I αf (x )=ʏXK α(x ,y )f (y )d μ(y ),(5)[b ,I α](f )(x )=ʏX(b (x )-b (y ))K α(x ,y )f (y )d μ(y ),(6)其中V (x ,y )=μ(B (x ,d (x ,y ))),L ɕb (μ)是所有具有有界支集的L ɕ(μ)函数构成的集合.定义2[6] 设1ɤp <ɕ,ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续增函数,给定非负可测函数ν,u ɪX ,广义加权M o r r e y 空间Mp ,ϕ(ν,u )定义为M p ,ϕ(ν,u )={f ɪL p l o c (ν,u ): f M p ,ϕ(ν,u )<ɕ},其中 fM p ,ϕ(ν,u)=s u p B ⊂X 1ϕ(u (B ))ʏBf (x )p ν(x )d μ(x {})1/p;相应地,广义加权弱M o r r e y 空间W M p ,ϕ(ν)定义为f W M p ,ϕ(ν)=s u p B ⊂X s u p t >01[ϕ(ν(B ))]1/p t [ν(x ɪB :f (x )>t )]1/p <ɕ. 当1ɤp <ɕ时,有L ɕb (μ)⊆M p ,ϕ(ν,u )⊆W M p ,ϕ(ν).给定连续增函数ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ),存在常数κɪ[0,1)和C >0,满足下列条件[14]:ϕ(s )s κɤC ϕ(t )t κ, 0<t ɤs <ɕ.(7)同理,对1ɤp <q <ɕ,当κɪ[0,p /q )时,存在常数C >0,满足下列条件:ϕ(s )s p /q ɤC ϕ(t )tp /q , 0<t ɤs <ɕ,(8)8821 吉林大学学报(理学版) 第61卷ʏɕr ϕ(t )t p /qd t t ɤC ϕ(r )r p /q, 0<r <ɕ.(9)往证当条件(7)成立时,条件(8)和条件(9)也成立.条件(7)⇒条件(8)显然成立,由于ʏɕr ϕ(t )t p /qd t t=ʏɕr ϕ(t )t κd t t 1+p /q -κɤC ϕ(r )r κ1κ-p /q t κ-p /æèçöø÷q ɕrɤC ϕ(r )r p /q,则条件(7)⇒条件(9)也成立.设ωɪA ɕ(μ),给定Y o u n g 函数Φ和球B ,则可测函数f 在B 上的加权平均L u x e m b u r g 范数定义[10]为f Φ(ω),B =i n f λ>0:1ω(B )ʏB Φf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )ɤ{}1.当Φ(t )=t 时, f Φ(ω),B = f L (ω),B ;当Φ(t )=t (1+l o g +t )时, f Φ(ω),B = f L l o g L (ω),B .对ωɪA ɕ(μ)以及任意的球B ⊂X ,有如下广义加权H öl d e r 不等式[15]成立:1ω(B )ʏBf (x )g (x )ω(x )d μ(x )ɤC f L l o g L (ω),B g e x p {L (ω)},B .(10)设b ɪB MO (μ),由加权J o h n -N i r e n b e r g 不等式知,存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,有[6] b -b B e x p {L (ω)},B ɤC b B MO (μ).(11) 定义3[6]设1ɤp <ɕ,ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,给定非负可测函数ν,u ,则L l o g L 型广义加权M o r r e y 空间M 1,ϕL l o g L (ν,u )可定义为M 1,ϕL l o g L (ν,u )ʒ={f ɪL p l o c (ν): f M 1,ϕL l o g L(ν,u )<ɕ},其中 f M 1,ϕL l o g L (ν,u )=s u p B ⊂X ν(B )ϕ(u (B )) f M L l o g L (ν),{}B .(12) 注意到当t >0时,有t ɤΦ(t )=t (1+l o g +t ),且对任意的球B ⊂X 和νɪA ɕ(μ),有 f L (ν),B =1ν(B )ʏBf (x )ν(x )d μ(x )ɤ f L l og L (ν),B .进一步可得1ϕ(u (B ))ʏB f (x )ν(x )d μ(x )=ν(B )ϕ(u (B )) f L (ν),B ɤν(B )ϕ(u (B )) f L l o g L (ν),B ,(13)因此M 1,ϕL l o g L (ν,u )⊂M1,ϕ(ν,u ).本文主要结果如下:定理1 设0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则I α从Mp ,ϕ(ωp ,ωq )到M q ,ϕq /p(ωq )有界.定理2 设0<α<1,p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则I α从M1,ϕ(ω,ωq )到W M q ,ϕq(ωq )有界.定理3 设0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),b ɪB MO (μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则[b ,I α]从M p ,ϕ(ωp ,ωq )到M q ,ϕq /p(ωq )有界.定理4 设0<α<1,p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),b ɪB MO (μ),若ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则[b ,I α]从M 1,ϕL l o g L (ω,ωq )到W M q ,ϕq(ωq )有界.本文C 表示一个不依赖于主要参数的正常数,在不同之处可表示不同值.2 主要结果的证明引理1[6] 若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),则存在正常数C 3,C 4,使得对任意的球B ⊂X 和任意球B 的可测子集E ,有ω(E )ω(B )ɤC 3μ(E )μ(B æèçöø÷)1/p ,ω(E )ω(B )ȡC 4μ(E )μ(B æèçöø÷)p .引理2[6] 设(X ,d ,μ)为R D 空间,若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),则存在常数C 5,C 6>1,使得对任意的球B ⊂X,有ω(2B )ȡC 5ω(B ),(14)9821 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性ω(2B )ɤC 6ω(B ).(15) 引理3 设ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数且满足条件(9),则存在ε>0及充分小正数γ,使得ʏɕr1+l n t æèçöø÷r ϕ(t )t t ε+γd t t ɤC ϕ(r )rr ε+γ,0<r <ɕ.特别地,令p /q =1-γ,则对任意的0<ηɤ1,存在常数Cη>0,使得ʏɕr1+l n t æèçöø÷r ϕ(t )t p /æèçöø÷q ηd t t ɤC ηϕ(r )r p /æèçöø÷q η, 0<r <ɕ. 证明:利用文献[6]中引理2.7的证明方法可得结论,故略.引理4 设(X ,d ,μ)为R D 空间,若1ɤp <q <ɕ,ωɪA (p ,q )(μ),ϕ:(0,ɕ)ң(0,ɕ)为连续递增函数,且满足条件(8)和(9),则存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,有ðɕj =1j [ϕ(ωq (2j B ))]1/p (ωq (2j B ))1/q ɤC [ϕ(ωq (B ))]1/p (ωq (B ))1/q .(16) 证明:该引理的部分证明类似文献[6]中引理2.9的证明.由于式(16)等价于ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤC ϕ(ωq (B ))(ωq (B ))p /éëêêùûúúq 1/p ,(17)且ϕ满足式(9),因此由引理3,只需证明ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t t.设b j =ωq (2j B ),这里j ɪℕ,由式(8),(15),有ʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t t =ðɕj =0ʏb j+1b j1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q1/p d t tȡ C ðɕj =0ϕ(b j +1)(b j +1)p /éëêêùûúúq 1/p ʏb j+1b j1+l n t ωq (B æèçöø÷)d t t =12C ðɕj =0ϕ(b j +1)(b j+1)p /éëêêùûúúq1/p 1+l n b j +1ωq (B æèçöø÷)2-1+l n b j ωq (B æèçöø÷)éëêêùûúú2= 12C ðɕj =0ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))p /éëêêùûúúq 1/p 2+l n ωq (2j +1B )ωq (B )ωq (2j B )ωq (B éëêêùûúú)l n ωq (2j +1B )ωq (2j B æèçöø÷)ȡ C ðɕj =0(j +1)ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))p /éëêêùûúúq 1/p =C ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p .再由引理3,可得ðɕj =1j ϕ(ωq (2j B ))(ωq (2j B ))p /éëêêùûúúq 1/p ɤC ʏɕωq (B )1+l n t ωq (B æèçöø÷)ϕ(t )t p /æèçöø÷q 1/p d t tɤC ϕ(ωq (B ))(ωq (B ))p /éëêêùûúúq 1/p . 引理5[6]若1ɤp <ɕ,ωɪA p (μ),b ɪB MO (μ),则存在常数C >0,使得对任意的球B ⊂X ,j ɪℕ,有b 2j +1B -b B ɤC (j +1) b B MO (μ),(18)ʏBb (x )-b B p ω(x )d μ(x())1/pɤC b B MO (μ)(ω(B))1/p .(19) 引理6[10,16] 设1<p <q <ɕ,若ωɪA (p ,q )(μ),则有ωp ɪA p (μ),ωq ɪA q (μ);若p =1,ωɪA (1,q )(μ),则有ωq ɪA 1(μ).此外,ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .引理7[17] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),则I α从L p (ωp )到L q (ωq )有界.特别地,当p =1时,I α从L 1(ω)到W L q (ωq )有界.引理8[18] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,0<α<1,1<p <1/α,1/q =1/p -α,ωɪA (p ,q )(μ),b ɪB MO (μ),则交换子[b ,I α]从L p (ωp )到L q (ωq )有界.引理9[19] 设(X ,d ,μ)为齐型空间,令Φ(t )=t (1+l o g +t ),l o g +t =m a x {0,l o g +t }.若0<α<1,0921 吉林大学学报(理学版) 第61卷p =1,1/q =1-α,ωɪA (1,q )(μ),b ɪB MO (μ),则对任意的B ⊂X ,λ>0,f ɪL ɕb (μ),有[ωq ({x ɪB :[b ,I α](f )(x )>λ})]1/q ɤC ʏBΦf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x ).2.1 定理1的证明设B =B (x 0,r B )={x ɪX :d (x ,x 0)<r },分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B,则1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBI α(f )(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBI α(f 1)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/q+1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏB I α(f 2)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qʒ=D 1+D 2. 首先估计D 1.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA q (μ).利用式(8),(15)和引理7,得D 1ɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏX I α(f 1)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/qɤC 1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏ2Bf (x )p ωp(x )d μ(x ())1/pɤC fM p ,ϕ(ωp ,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B æèçöø÷))1/p ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 其次估计D 2.注意到当x ɪB ,y ɪ(2B )c时,有d (x ,y )~d (x 0,y ),V (x ,y )~V (x 0,y ).由式(1),(3),(5),得I α(f2)(x )ɤC ʏX f 2(y )(V (x ,y ))1-αd μ(y )~C ʏ(2B )c f (y )(V (x 0,y))1-αd μ(y )ɤC ðɕj =11(μ(2j B ))1-αʏ2j+1B \(2j B )f (y )d μ(y )ɤC ðɕj=11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j +1B f (y )d μ(y ).(20)注意到ωɪA (p ,q )(μ).利用A (p ,q )(μ)条件㊁式(16)和H öl d e r 不等式,有D 2ɤC (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pʏ2j+1Bω-pᶄ(y )d μ(y ())1/pᶄɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 结合D 1和D 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理1的结论.2.2 定理2的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B ),分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B .对任意的λ>0,有1ϕ(ωq(B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f )(x )>λ})]1/q ɤ1ϕ(ωq (B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f 1)(x )>λ})]1/q + 1ϕ(ωq (B ))λ[ωq ({x ɪB :I α(f 2)(x )>λ})]1/q ʒ=E 1+E 2. 首先估计E 1.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ).利用式(8),(15)和引理7,得E 1ɤ1ϕ(ωq (B ))ʏX I α(f 1)(x )ω(x )d μ(x ())ɤC 1ϕ(ωq (B ))ʏ2B f (x )ω(x )d μ(x ())ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B ))ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq ). 其次估计E 2.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .利用式(16),(20)㊁C h e b y s h e v 不等式,A 1(μ)条件和反H öl d e r 不等式,有1921 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性E 2ɤC 1ϕ(ωq (B ))λ㊃2λʏBI α(f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )=C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bf (y )ω(y )d μ(y )ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq )(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))1/q ɤC f M 1,ϕ(ω,ωq ). 结合E 1和E 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理2的结论.2.3 定理3的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B )⊂X ,分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B,则1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏB[b ,I α](f )(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤ1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏB[b ,I α](f 1)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/q+1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏB[b ,I α](f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qʒ=F 1+F 2.首先估计F 1.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6知,ωq ɪA q (μ).由引理8和式(8),(15),可得F 1ɤ1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏX[b ,I α](f 1)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC b B MO (μ)1[ϕ(ωq(B ))]1/pʏ2Bf (x )p ωp(x )d μ(x ())1/pɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B éëêêùûúú))1/pɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 其次估计F 2.由交换子[b ,I α]的定义,对任意的x ɪB ,有[b ,I α](f 2)(x )ɤ(b (x )-b B )I α(f 2)(x )+I α((b B -b )f2)(x ).(21)由式(20)的估计,同理可得I α((b B -b )f2)(x )ɤC ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b B f (y )d μ(y ).(22)由式(20),(21),(22),得F 2ɤC 1[ϕ(ωq (B ))]1/p ʏBb (x )-b Bq ωq(x )d μ(x ())1/qðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y æèçöø÷)+C (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb 2j +1B -b Bf (y )d μ(y )+C (ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j +1B b (y )-b 2j +1B f (y )d μ(y )ʒ=F 21+F 22+F 23.注意到ωɪA (p ,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA q (μ).利用式(16),(18),(19)㊁H öl d e r 不等式和A (p ,q )(μ)条件,有F 21+F 22ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )d μ(y )=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤ2921 吉林大学学报(理学版) 第61卷C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pˑʏ2j+1Bω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1(j +1)[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ) f M p ,ϕ(ωp ,ωq ).对于F 23.设h (y )=ω(y )-p ᶄ,因为ωɪA (p ,q )(μ),则由引理6可知h ɪA p ᶄ(μ).利用A (p ,q )(μ)条件和式(19),得ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B pᶄh (y )d μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(h (2j +1B))1/p ᶄ= C b B MO (μ)ʏ2j+1Bω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(μ(2j +1B ))1-α(ωq (2j +1B ))1/q .(23)利用式(16),(23)和H öl d e r 不等式,得F 23=C (ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq(B ))1/q[ϕ(ωq(B ))]1/pðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pˑʏ2j+1Bb (y )-b 2j+1Bp ᶄω(y )-pᶄd μ(y ())1/pᶄɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q[ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =11(ωq (2j +1B ))1/q ʏ2j+1Bf (y )p ωp(y )d μ(y ())1/pɤC b B MO (μ)f M p ,ϕ(ωp ,ωq )(ωq (B ))1/q [ϕ(ωq (B ))]1/p ðɕj =1[ϕ(ωq (2j +1B ))]1/p (ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ)f M p ,ϕ(ωp ,ωq ). 综合F 1和F 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理3的结论.2.4 定理4的证明设f ɪL ɕb (μ),B =B (x 0,r B ),分解f =f 1+f 2,其中f 1=f χ2B .对任意的λ>0,通过[b ,I α]的线性性质,可得1ϕ(ωq(B ))[ωq ({x ɪB :[b ,I α](f )(x )>λ})]1/q ɤ 1ϕ(ωq (B ))ωq x ɪB :[b ,I α](f 1)(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú21/q + 1ϕ(ωq(B ))ωq x ɪB :[b ,I α](f 2)(x )>λ{}æèçöø÷éëêùûú21/qʒ=G 1+G 2.首先估计G 1.注意到ωɪA (1,q )(μ),由引理6可知ωq ɪA 1(μ).利用式(8),(12),(13),(15)和引理9,可得G 1ɤC b B MO (μ)1ϕ(ωq (B))ʏX Φf 1(x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )=C b B MO (μ)ϕ(ωq (2B ))ϕ(ωq (B ))1ϕ(ωq (2B ))ʏ2B Φf (x )æèçöø÷λω(x )d μ(x )ɤC b B MO (μ)ϕ(ωq(2B ))ϕ(ωq (B ))ω(2B )ϕ(ωq (2B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2B ɤC b B MO (μ)ωq (2B )ωq (B æèçöø÷)1/q ω(2B )ϕ(ωq (2B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2éëêêùûúúB ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).其次估计G 2.由式(20),(21),(22)和C h e b ys h e v 不等式,得G 2ɤ1ϕ(ωq (B))ωq x ɪB :b (x )-b B I αf 2(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú41/q+3921 第6期方光杰,等:R D 空间上分数次积分算子及其交换子在广义M o r r e y 空间的加权有界性1ϕ(ωq (B ))ωq x ɪB :I α([b B -b ]f 2)(x )>λ{}æèçöø÷éëêêùûúú41/qɤC 1ϕ(ωq (B ))4λʏBb (x )-b BqI α(f 2)(x )q ωq (x )d μ(x ())1/q+C 1ϕ(ωq(B ))4λʏBI α((b B-b )f 2)(x )q ωq(x )d μ(x ())1/qɤC 1ϕ(ωq(B ))ʏBb (x )-b Bq ωq(x )d μ(x ())1/qðɕj =11(μ(2j+1B ))1-αʏ2j+1Bf (y )λd μ(y )+C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb 2j +1B -b Bf (y )d μ(y )+C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j +1B b (y )-b 2j +1B f (y )d μ(y )ʒ=G 21+G 22+G 23.注意到当t >0时,有t ɤΦ(t ).因为ωɪA (1,q )(μ),则由引理6可知ωq ɪA 1(μ)当且仅当ωɪA 1(μ)ɘR H q .利用式(18),(19)㊁反H öl d e r 不等式和A 1(μ)条件,可得G 21+G 22ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1Bf (y )λd μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B))1-αʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λd μ(y )=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1j +1(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(j +1)(μ(2j +1B ))αω(2j+1B )ʏ2j+1BΦf (y )æèçöø÷λω(y )d μ(y )ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(j +1)(μ(2j +1B ))αΦf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B .再利用式(12),(16)和反H öl d e r 不等式,有G 21+G 22=C b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ˑðɕj =1ω(2j+1B )ϕ(ωq (2j +1B ))Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B (j +1)(μ(2j +1B ))αω(2j +1B )ϕ(ωq (2j +1B éëêêùûúú))ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM 1,ϕL l o g L(ω,ωq )ðɕj =1(j +1)(ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ϕ(ωq (2j +1B ))(ωq (2j +1B ))1/q ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).对于G 23,因为ωɪA (1,q )(μ),故由引理6可知ωɪA 1(μ).利用A 1(μ)条件㊁广义加权H öl d e r 不等式和式(11),有G 23=C (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))1λðɕj =11(μ(2j +1B ))1-αʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )ω(y )-1d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))1λðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B f (y )ω(y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/q ϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αω(2j +1B)ʏ2j+1Bb (y )-b 2j +1B Φf 1(x )æèçöø÷λω(y )d μ(y )ɤC (ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))α㊃ b -b 2j +1B e x p {L (ω)},2j +1B Φf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B ɤC b B MO (μ)(ωq (B ))1/qϕ(ωq (B ))ðɕj =1(μ(2j +1B ))αΦf æèçöø÷λL l o g L (ω),2j +1B .4921 吉林大学学报(理学版) 第61卷类似G 21+G 22的证明过程,可得G 23ɤC b B MO (μ)Φf æèçöø÷λM1,ϕL l o g L(ω,ωq ).综合G 1和G 2的估计并对所有的球B 取上确界,即可得定理4的结论.参考文献[1] C O I F MA N R R ,W E I S S G.A n a l y s e H a r m o n i q u e N o n -c o mm u t a t i v es u rC e r t a i n sE s p a c e s H o m o g èn e s [M ]//L e c t u r eN o t e s i n M a t h e m a t i c s ,V o l .242.B e r l i n :S p r i n g e r -V e r l a g ,1971:1-242.[2] C O I F MA N RR ,W E I S SG.E x t e n s i o n s o fH a r d y S p a c e s a n dT h e i rU s e i nA n a l y s i s [J ].B u l l e t i n o f t h eA m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1977,83(4):569-645.[3] HA N YS ,MÜL L E RD ,Y A N GDC .A T h e o r y o f B e s o v a n dT r i e b e l -L i z o r k i nS p a c e s o nM e t r i cM e a s u r e S p a c e s M o d e l e do nC a r n o t -C a r a t h éo d o r y S p a c e s [J /O L ].A b s t r a c ta n d A p p l i e d A n a l y s i s ,(2009-05-04)[2022-09-10].d o i :10.1155/2008/893409.[4] C HO UJH ,L IX ,L I N H B ,e t a l .G e n e r a l i z 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Calderón-Zygmund型算子及其交换子的sharp极大函数估计

／、１ｑ／
ｆ／
且
Ｉ（一（ｚｑＫｘ）Ｋｘ）ｄ１，，ｌｘ
／
（ｌｙ／２ｚ１ｑＪ— ）
＼２Ｉ—Ｙｉ—Ｙ＜２＋Ｉ—ＹＪＪｚ『ｚ『Ｊｚ『
（＼，厂
２ｌ —ｚｌ—ｚ＜ ’ ＹｌＹｌＹＩ２＋ｌ—
２９０
薹 … ／川ｄｄ＿ｎ，。）面喜（１。－ｄｄ川）１薹（州，ｄ）薹
＝
ＣＭ８ｆ（ｏ．（））ｘ
综上，有
（
定理２１毕．．证
（。）
Ｂｆ
义为
，）ｅ）＝ｌ一（Ｌ～ｐｆＬ（ａｓｉ１）ｌｕｎＩｄｆｘ
其中一面１
．
ｆｙｄ，（）ｙ上确界取遍所有包含ｚ的球Ｂ．实上，上述定义也等价于对所有事
以为中心的球Ｂ取上确界．当。是有界函数时，，是Ｂ，ＨＭＯ函数．这一现象揭示了函数，的某些重要性质实际
证对任意球Ｂ＝Ｂ（ｏｒｃＲｒ＞０有ｘ，），，
（，）（ｄ，ｆ∈ｃＲ．ｙｆｙｙ）（）
收稿日期：０８１— ８修订日期：０９１— ６２０ — ００；２０ —２０
Ｅ— ａｌｉｙａｍｉ：ｌｎｎ＠ｃｍｔｅｕ．ｎｕｂ．ｄｃ
基金项目：国家自然科学基金（０７０４１８１２）和中央高校基本科研业务费资助
空间．
ＭＲ（００２０）主题分类：４Ｂ０４Ｂ５中图分类号：Ｏ１４２文献标识码：Ａ２２；２３７．

广义Calderon—Zygmund算子交换子的有界性

于交换子
）的其他结果可以参见文献［］一［］５７。
本文主要研究了一种广义Ｃｌｅｎ—Ｚｇｕｄ算子交换子在（空间上及其端点处的有界性。ａｒｄ６ｙｍｎＲ）定义１１ＳＲ）尺上所有Ｓｈａｔ函数构成的函数空间，尺）它的对偶空间，由尺上的全．（为ｃｗｒｚ．（是ｓ即体分布函数构成的函数空间。设：（）一．（．ｓｓ尺）是一个线性算子且它的核（，）可以形式的定义为．．
Ｍ（ｆ）ｘ
）＝Ｐ
其中０）ｙ，ａ。）Ｉ
ｌ…
，Ｉ（，）ＫｘｚＩＩ（，）Ｋｚ））ｘ≤Ｃ（ＫｘＹ一（，＋Ｋｙ一（，Ｉｄ）
这里Ｃ＞０是不依赖于Ｙ７和．－的常数；（）存在一列非负的常数｛使得对于任意的．Ｎ，３ｃ『∈
（
一
２＋，ｔ
维普资讯
２００８年８月
绵阳师范学院学报
ＪｕｎｌｆＭｉｎａｇＮｏｍａｎｖｒｉｏｒａａｙｎｒｌＵｉｅｓｏ
Ａｕ．２０ｇ，０８Ｖ０．７Ｎｏ８１２．
第２７卷
第８期
广义Ｃｌｅ６ａｄｒｎ—Ｚｇｎｙｍｕｄ算子交换子的有界性
收稿日期：０８＿０２ｏＪ３作者简介：田峰（９０一）男，吴１８，硕士研究生，主要研究方向：基础数学，应用泛函分析方向。
维普资讯
第８期
吴田峰等：义Ｃｌｅ６Ｚｇｎ子交换子的有界性广ａｄｒｎ— ｙｍｕｄ算

算子及其交换子在非齐型Morrey空间中的有界性

College of Mathematics and statistics, Hubei Normal University, Huangshi 2 College of Mathematics and Information Engineering, JiaXing University, Jiaxing Email: cjypp7014@ Received Mar. 14th, 3011; revised May 16th, 2011; accepted May 19th, 2011.
；
关于 SQ , R 的更多性质否则测度的(1.1)性质不成立)。见[1]。定义 3：令 1 是某一个固定常数，称 f L1 loc 属于 RBMO ，如果存在常数 C，使得任给方体 Q 有
(b)对于 x, x0 , y R d ，当 2 x x0 y x0 时，有
- Zygmumd 算子是 Tolsa 研究的标注 1：型 Calderon
上式中最小的常数 C 定义为 f 的 RBMO 范数，记为 f 。其中 mQ f 表示在 Q 上的平均，即 1 mQ f f d 。 RBMO 的定义与的选 Q Q
120
- Zygmumd 算子及其交换子在非齐型 Morrey 空间中的有界性陈金阳等 | 型 Calderon
p Lp M p M qp1 M qp1
Zygmumd 算子齐型 Morrey 空间，并得到了 Calderon
: y x r 。然而，最近几年的研究表明，当欧氏空

d
问题与 [2,3]。由非齐型空间上的分析在解决 Painleve

强奇异Calderón-Zygmund算子的交换子的双权BMO估计

６＊Ｉ，ｕｗ：ｓｐＪ
Ｂ
１
【６）（
一
ｂＩ曰ｄｚ＜。ｃ
其中上确界取遍ｎ中所有的球Ｂ显然，出为Ｌｂｓｌ当ｅｅｇｅ测度时，ｘＢＭＯ（）ｗ＝ＢＭＯ．本文的主要目的是研究强Ｃｌｅｄ — ｙｍｕｄ算子Ｔ和加权ＢＭＯ（ｚ）／）ａｒｎＺｇｎｄ（Ｌｐ函数ｂＩ，生成的交换子死的（ｐ）（）有界性．（，）主要定理如下：定理１发算子是强奇异Ｃｌｅｄ —ｙｍｕｄ算子且＞ａ１）ｓ见定义４此ａｄｒｎＺｇｎ（一，．外 ’ ， ∈ ，＜Ｐ＜ｃ； ∈Ｊ（（，｝１殳ｏｂＥ＝）且＝（｝）Ｍ）ｐ则存在不依赖于函数，常，／
第４卷第１期５
２１年３月０２
数学研究
ＪｕｎｌｆＭａｈｍａｉａＳｕｙｏｒａｏｔｅｔｃｌｔｄ
Ｖｏ．４ＮＯ１Ｉ５．Ｍａ．２１ｒ０２
强奇异ＣａｄｒｎＺｇｎｌｅ６ — ｙｍｕｄ算子的交换子的双（一ｄ１ ∽ ）。。
如果存在常数Ｃ，得使
Ｍ（）ｃ（）ｎ．ｚｚ，．ｚ∈Ｒ，ｅ ”
则称 ∈Ａ１其中Ｍ是标准的Ｈｍｄ —ｉｌｏ． ‘ｙＬｔｅｄ极大算子．ｔｗｏ定义４设（）ｚ ∈Ａｌ＜Ｏ，０则存住￡＞０以及Ｃ＞０使得对每个方体Ｑ中
基金项口；国家自然科学恭金资助项目（０６０５１８１７）和江两省教育厅基金资助项目（Ｊ０９）等１９１１，７１３０ＧＪ１３Ｔ

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θ型Calderón—Zygmund算子交换子在Hardy型空间的加权有界性

（昵义ｌ，蚴＝．
定义３口令ｂＷ为局部可积函数且Ｗ ∈ （，Ａ即
’ Ｊ
有
；
（））Ｃｏｘａ．，Ｒ上的有界可测函数Ｗｂ原（ ≤ ｃ）．）称 “ （ｅ为（，）
子。果如
（７ｉ．７）当ｌ＜ｌ
《陡；颓｝０７锏院譬２０年第１期
移，叟１，１奠ｓｐｃｌ（，Ｊ１、芏，１万段１ｕｐ、Ｊ＝ｕｒ，
收稿日期：０ — １０２６１— ３０
）ｂ出ｃ一ｆ
２Ｂｆ
定理的证明．我们只须证明存在常数Ｃ使对任意的，，
６原子有ｌ，］）＜，）ｌ（－为此取定一个，／￣ａ由【口６Ｃｂｇ，平）
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了浓厚的兴趣，０型Ｃｌｅ６－Ｚｇｎ由ａｒｎｙｍｕｄ奇异积分算子Ｔｄ
和函数ｂＢＯＲ）成的交换子定义为ＥＭ（构
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厂）』厂），＝ｉ。（＝。（Ｉ』厂）ＢＢ（
Ｊ）＜３称定义在Ｒ × ｛，）Ｒ｝。Ｏ，Ｒ＼：上的可测函（ ∈
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（ｉ）
（ｓＢ）属（，ｕ一）ＰＪ厶＝舢于若

广义Calderon-Zygmund算子交换子在加权Hardy型空间的有界性

关键词：广义Ｃｌｒ —ｙｍｎａｅｎＺｇｕｄ算子；ｉｃｉ空间；ｄ６Ｌｓｔｐｈｚ交换子；加权Ｈｒａｙ空间；ｄ权函数中图分类号：１４２０７．文献标志码：文章编号：６１４９２１）６０７４Ａ１７．８（０１０．９３５９６
Ａｂｔｃ：ＵｓｇｔｅａｏｃｄｃｍｐｓｉｎｏｅｇｔｄＨａｄｐｃｓｔｈｗｔｅｂｕｄｄｅｓｏｏｓｒｔａｉｈｔｍｉｅｏｏｉｏｆｗｉｈｅｒｙｓａｅｓｏｈｏｎｅｎｓｆｃｍｍｕａｏｓｎｔｏｔｔｒｇｎｒｔｄｂｈｉｃｉｔ ‘ ｎｔｎａｄｇｎｒｌｅｌｅ６ — ｙｍｕｄｏｅａｏｎｔｅｗｅｇｔｄＨａｄｙｅｅｅａｅｙｔｅＬｐｓｚｆｃｉｎｅｅａｉｄＣａｄｒｎＺｇｎｐｒｔｒｏｈｉｈｅｒｙｔｐｈｕｏｚ
．
（）１
Ｎ，有
’
收稿日期：０１０．９２１－１１．
作者简介：孙
杰（９０）女，１８～，汉族，硕士，讲师，从事调和分析的研究，－ａ：ｊ０１＠１３ｃ．Ｅｍｉｓ０８６６．ｏｌ８ｍ
基金项目：黑龙江省自然科学基金（批准号：，０１）？０９３和牡丹江师范学院科学技术研究项目（２批准号：Ｚ００５Ｋ２１０）
ｓａｅ，ｅｏｔｎｄｔｅｃｍｔｏｓａｅｂｕｅｅｒｍｐｃｓｗｂａｅｈｏｍｕａｒｒｏｎｄｄｆｉｔｏ

Calderón-Zygmund算子在CH_p^q上的有界性

Calderón-Zygmund算子在CH_p^q上的有界性
赵凯;张丽梅
【期刊名称】《数学研究与评论：英文版》
【年(卷),期】1999(19)3
【摘要】本文讨论了δ－Calderon－Zygmund算子以及θ（t）－Calderon－Zygmund算子在Hardy型空间CHqp上的有界性．
【总页数】4页(P569-572)
【关键词】C-Z算子;有界性;哈代空间;光滑性
【作者】赵凯;张丽梅
【作者单位】青岛大学数学系;大连水产学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.Calderón-Zygmund 算子与交换子在非齐度量测度空间上 Morrey 空间中的有界性 [J], 陶双平;王萍
2.Dini型多线性Calderòn-Zygmund算子的多线性迭代交换子在非齐性空间上的有界性 [J], 郑涛涛;陶祥兴;
3.Dini型多线性Calderón-Zygmund算子在Herz型Hardy空间上的有界性 [J], 王美仲;叶晓峰
4.带Dini核的多线性Calderón-Zygmund算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的有界性 [J], 胡喜;周疆
5.非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子交换子的有界性 [J], 孟晓燕;赵凯
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calderon-zygmund空间分解定理

calderon-zygmund空间分解定理？
答：Calderón-Zygmund空间分解定理是一种重要的数学定理，它在调和分析、偏微分方程和数学物理等领域有着广泛的应用。

这个定理主要涉及到函数空间的分解和算子的性质。

具体来说，Calderón-Zygmund空间分解定理表明，如果一个函数属于某个特定的函数空间，那么这个函数可以被分解为两个部分：一个“好”的部分和一个“坏”的部分。

其中，“好”的部分具有一些良好的性质，比如光滑性或者紧支集等，而“坏”的部分则具有一些“坏”的性质，比如奇异性或者无界性等。

这种分解方式可以帮助我们更好地理解和处理复杂的函数和算子。

此外，Calderón-Zygmund空间分解定理还涉及到一些重要的算子类，比如Calderón-Zygmund算子和Toeplitz 算子等。

这些算子类在数学和物理中都有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、量子力学和流体力学等领域。

需要注意的是，Calderón-Zygmund空间分解定理的证明过程比较复杂，需要使用到一些高深的数学工具和技术。

因此，这个定理通常只适用于具有一定数学基础的专业人士。

推广的θ型Calderon—Zygmund核的多线性奇异积分算子的有界性

注据献３定令（：２根文Ｉ的义）Ｊ，
Ｉ一１
，ｌ『，知Ｉ：７可，满条（和件７足件１条））
（）２。
下给出多眭异积子定面线．奇分算义．
∽＝，，
（
）。
其川（，中
第２卷第１１期２１年３０１月
洛阳理工学院学报（自然科学版）
ＪｏｒａｆＬｕｙｎｎｔｔｔｆＳｃｅｃｎｃｎｌｇａｕａｉｎｅＥｄｔｏ）ｕｎｌｏａｇＩｓｉｕｅｏｉｎｅａｄＴｅｈｏｏｙｏｔｒｌｅｃｉｉｎＳｃ
定义１设０（。上不数，足为Ｒ＝ｏ。非负减函若满，）
（Ｋｘ）一ｌ，≠ １（ｌ）ｌ， ≤ ｙ；
（２）
（３）ｆ＜。。。
（
ｘ（一 ≥ ；）０ｌ一２
则Ｒ × ”｛，：＝｝的测函（）称是个０核。 ” Ｒ＼）上可数ｘｘ被为一型（Ｙ，注当Ｏ）ｒ时￣ａｅｎｙｕ核有定光性但标的ａｅｎｙｕ１（≠ ，０Ｃｌｒｇｎ虽一的滑，与准ｃＩｒ — ｇｎｔｄｏｚｍｄｄｏＺｍｄ
作者简介：嵇哲（８－女，１５）江苏淮安人，主要从事调和分析方面的研究．９，硕士，
第１期
嵇哲等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推广的型Ｃｌｅｏ－ｙｍｕｄａｄｒｎＺｇｎ核的多线性奇异积分算子的有界性
７５

【国家自然科学基金】_rbmo_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词推荐指数非双倍测度 3 非倍测度 2 rbmo(μ ) 2 lebesgue空间 2 calderon-zygmund算子 2 高阶交换子 1 有界性 1 强奇异积分算子 1 广义morrey空间 1 双线性分数次积分算子交换子 1 交换子 1 θ -type calderón-zygmund operator 1 rbmo空间 1 rbmo ( μ ) space 1 rbmo 1 non-doubling measure 1 multilinear commuta-tors 1 marcinkiewicz算子 1 marcinkiewicz 积分 1 lipβ (μ )函数 1 h~1(μ ) 1 hardy空间 1 h^1(μ ) 1 h1,∞atb ( μ ) space 1 commutators 1 aρ p(μ ) 权 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2011年科研热词推荐指数交换子 5 非双倍测度 2 非倍测度 2 奇异积分算子 2 rbmo函数 2 morrey-herz空间 2 有界性 1 弱morrey-herz空间 1 尺寸条件 1 多线性calderón-zygmund算子 1 多线性 1 rbmo(μ ) 1 rbmo(v)空间 1 rbmo 1 rblo(μ ) 1 marcinkiewicz积分 1 lipschitz函数 1 herz空间 1 herz-morrey空间 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1

单边算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的加权有界性

单边算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的加权
有界性
程鑫;张婧
【期刊名称】《数学物理学报（A辑）》
【年(卷),期】2024(44)1
【摘要】该文在单边意义下采用权的外推法研究了Calderón-Zygmund奇异积分算子,离散面积函数,Weyl分数次积分与Lipschitz函数生成的多线性交换子从加权Lebesgue空间到加权Triebel-Lizorkin空间上的有界性.
【总页数】10页(P50-59)
【作者】程鑫;张婧
【作者单位】伊型师范大学数学与统计学院;安康学院数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在加权Herz型Hardy空间上的有界性
2.Calderón-Zygmund算子多线性交换子在加权 Morrey-Herz空间上的有界性
3.Littlewood-Paley算子的多线性交换子在一类Block-Hardy空间上的加权有界性
4.带Dini核的多线性Calderón-Zygmund算子的多线性交换子在Triebel-Lizorkin空间上的有界性
5.单边振荡积分的多线性交换子在加权Morrey空间上的有界性
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卷积型Calderón-Zygmund算子的数值算法

ＣＯ（Ｚ）意味着Ｔ满足以下条件：（）消去条件：对任意的ｉ
Ｃ（０，），Ｂ（１）
（ ∈ ）
（）（）（ｌｄｌ１ｘ≤ｃ
（ｉｉ）大小条件：
＋ＩＩＶ
．
）（）．６
（）７
首先描述一些函数空间的准备知识．用．ｓ别表示由急减光滑函数组成的ｓ和分Ｓｈａｚ间和由缓增广义函数组成的空间．ｃｗｒ空Ｌｓ
ｓｎｌａｅｔｐｌｎｉｉｅｔｅｐｒｘａ。ｒｂｍ，ｅｐｏｉａｉｌｒｈｎｔｅｅｏａｅ ’ １ｉａｗｖｌｓｏｅ・ＡｐｉｇｔｓｄａｔｈｐｏｉｔｎｐｏｌａｗａｒｘｔｎａｏｔｍｏｓＶｓｃｙｈ。ａｍｉｅｎｐｍ。ｇｉｈＢｐ（ ≤ｐｇ， ≤∞ ，≤ｓ）ｉＶ０＜１ｓ百ｅ＿ｎ
引理２给定０＜ ≤ １若ｋ）∈ ，有：，（则
ｒ，）
的一组规范正交基．际上，于Ａ ∈Ａ，６＝实对记
（）（，
（）在分布的意义下有：），
（）＝∑
（）．
（）９
文［引入下面的环状算子，任意的Ｒ≥０４］对， ∈Ｅ，定义（）女］：口
Ｖｏ．０Ｎｏ２１３．
Ｊｎ２ｌｕ．Ｏｌ
卷积型Ｃｌｅ６—ｙｍｎａｒｎＺｇｕｄ算子的数值算法ｄ
段汕，牛小娇，占英杨
（南民族大学数学与统计学学院，汉４０７）中武３０４

Lebesgue积分思想简介.pdf

Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系数学与应用数学 2012级吴茂岚指导老师柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。

而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。

另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。

虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。

关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract：The foundation of the real variable function theory is to overcome the shortcomings of the Newton and Leibniz's calculus. The integral object of the Riemann integral is the continuous function and the "basic continuous" function. And many of the real problems encountered in the function does not have this feature. In addition, the Riemann integral in the process of integral and limit exchange order, the weight of the exchange sequence and other issues of the requirements of the conditions are too harsh, generally speaking, is not easy to be satisfied, which makes the Riemann points in solving the specific problem is very limited. Although the Riemann integral calculus in the field of major contribution is irreplaceable, but get rid of the limitation of various conditions, making the operation more flexible is mathematicians have been pursuing the goal of. Key word:Riemann integral, Real variable function,calculus一、引言Lebesgue在发表于1902年的经典论文《积分、长度与面积》与随后出版的两部论著《论三角函数》和《积分与原函数的研究》中第一次阐述了测度理论与积分思想。

Calderón-Zygmund算子多线性交换子在加权Morrey-Herz空间上的有界性

性交换子定义为
）√ ，（１６）ｂ）．＝Ｒ（））［一（ｄ／，７ｉｌｎ（ＹＹ。
一
１
定义３】若Ｑ ∈ Ｒ０＜Ｐ＜ ∞，【，１＜ｑ＜ ∞，＜。．次ＭｏｒｙＨｒ０≤ 。齐ｒｅ— ｅｚ空间
首先介绍一些相关记号与定义，设是酞上的非负权函数，ｌ ≤ Ｐ＜。，加权。
的Ｌｂｓｅ间Ｌ（定义为Ｌ（）＝｛ＩＩ（＝（Ｉｘｌ（ｄ）＜ｏ．ｅｅｕ空ｇＰ）ｗＰｗ，：ＩＩＩＬ）ｆ）ｗｘｘ，（Ｐ）。）
Ｘ
（）于，Ｙ∈Ｒ，２ｙ—ＹＩＩｂ对Ｙ，当１＜一Ｙ时，有ｌ
ｔｘ）（，＋ｌ）（，）≤ｃｋ，一ＹＩ，一ｚｌ（）（
；
Байду номын сангаас
（）ｆｘ：ＣＴ（）ｋｘｙｆｙｄ，．ｓｐ．（．）（）ｙｎｅ＿ｕｐｆ进一步，对ｂ＝（ｌｂ… ，，ｌ∈ＢＯ（＝１２…，，ａｄｒｎＺｇｎｂ，２ｂ６ｍ）Ｍｉ，，ｍ）ｌｅｄ－ｙｍｕｄ算子多线Ｃ
中图分类号
１引言及主要结果
近年来，交换子得到了广泛的重视与研究，并取得了丰硕的成果．文献【中１】给出了Ｃｌｅｄ－ｙｍｎａｄｒｎＺｇｕｄ算子多线性交换子的一中心ＢＭＯ估计．受此启发，本文
证明了Ｃａｅｄ —ｙｍｕｄ算子多线性交换子在加权ＭｏｒｙＨｒｌｒｎＺｇｎｄｒｅ．ｅｚ空间中的有界性．

广义Riemann积分中的Lebesgue方法

广义Riemann积分中的Lebesgue方法作者：吴淑君于娟来源：《科技资讯》 2014年第29期吴淑君于娟(中国石油大学理学院基础数学系山东青岛 266580)摘要:在实际问题和数学分析后续课程（如概率论）中，经常出现广义Riemann积分。

但是我们发现，现有教科书上对此类积分的研究都是基于定积分的思想方法，要求被积函数有一定的光滑性，这大大限制了广义积分的研究范围。

该文研究Lebesgue积分方法在广义Riemann 积分的收敛性判别和计算以及含参量广义Riemann积分性质等问题中的应用。

通过理论与实例结合，充分说明了Lebesgue方法的简便与灵活。

因此，我们在学习广义Riemann积分时，不应拘泥于教科书上的现有知识和方法，应该拓宽思路，合理结合其他的课程。

关键词:广义Riemann积分 Lebesgue积分 Lebesgue可测一致收敛中图分类号:O13 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2014)10(b)-0234-02在实际问题和数学分析后续课程(如概率论)中,经常出现广义Riemann积分。

一方面,现有教科书上对此类积分的研究都是基于定积分的思想方法,要求被积函数有一定的光滑性,这大大限制了广义积分的研究范围,且某些复杂的积分也无法研究[1]。

另一方面,仅仅依靠现有的方法来讨论广义Riemann积分,也限制了我们的研究思路,对思维发展有害无利。

文献[2-3]总结了一些解决广义Riemann积分的方法,但并未涉及到Lebesgue的思想方法。

因此,该文中我们将考虑在广义Riemann积分中引入Lebesgue测度、Lebesgue积分等思想,借助Lebesgue方法的灵活性和简便性,从积分的收敛性、计算以及含参量广义Riemann积分性质这三个方面来详细说明Lebesgue方法在广义积分中的应用。

1 主要结果1.1 判断广义积分的收敛性研究广义积分的第一个问题就是判断其收敛性。

Bochner-Riesz算子的变指数Lipschitz交换子在变指数空间上的有界性

第 43 卷
湖北大学学报( 自然科学版)
n
则称 g 是局部 log-Hölder 连续的, 简记为 g ∈ C log
loc .
n
n
( ii) 设 g ∈ C log
loc , 若存在 g ∞ ∈ R, C log 使得对所有的 x,y ∈ R , 满足
g( x) - g ∞ ≤
n
C log
log( e +
f
·
Λ β(·)
=
f( x + h) - f( x)
sup
h
n
x,h∈ R ,h≠ 0
β(·)
< ∞.
定义 1. 3 ( [ 10, p1] ) 若 p:R n → ( 0, ∞ ) 是可测函数, L p(·) ( R n ) 表示下面函数的集合,
{
L p(·) ( R n ) = f:
其范数定义为:
x )
,
则称 g 是全局 log-Hölder 连续的, 简记为 g ∈ C log , 其中 g ∞ = lim g( x) .
本文中变指数 Lipchitz 空间和 Lebesgue 空间的定义如下:
x →∞
·
定义 1. 2 ( [ 9, p4 152] ) 若 β(·) ∈ P 0 ( R n ) , 变指标 Lipchitz 空间 Λ β(·) ( R n ) 的范数定义如下:
间和 Bochner-Riesz 算子交换子的定义及已得到关于有界性的一些结果:
·
若 β > 0, Lipchitz 空间 Λ β ( R n ) 空间的范数定义如下:
f
·
Λβ
=
f( x + h) -f( x)