数值分析讲义1 5 6 7 - 360文档中心

数值分析全册完整课件

0
解：将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法；有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰，黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华大学出版社；

数值分析课件

第3章线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组运算机求解的经常使用数值方式的构造和原理，要紧介绍在运算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方式.重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。

实际案例问题的描述与大体概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n>40）的求解问题利用价值并非大，因为其计算量太大。

实际问题中常常碰到自变量个数n都专门大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助运算机的帮忙才能求出解。

n 个变元12,,,n x x x ⋯的线性方程组的一样形式为11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （）式中，a ij 称为系数，b i 称为右端项，它们都是已知的常数。

若是有***1122,,,n nx x x x x x ===使方程组（）成立，那么称值***12,,,nx x x为线性方程组的（）的一组解。

本章在不作专门说明的情形下，要紧讨论m=n 的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的求解问题，且假设它有唯一解。

线性方程组的矩阵表示Ax b =式中A称为系数矩阵，b称为右端项。

数值分析中，线性方程组的数值解法要紧分为直接法和迭代法两大类。

直接法是用有限次计算就能够求出线性方程组“准确解”的方式（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜想的向量作为迭代计算的初始向量慢慢迭代计算，来取得知足精度要求的近似解。

迭代法是一种逐次逼近的方式。

数值分析课件

辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适应数值积分方法，能够根据函数性质自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过逐步逼近的方式求解近似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造龙格-库塔曲线来逼近解。
03
阿达姆斯-图灵方法
一种基于常微分方程初值问题的数值求解方法，通过构造阿达姆斯-图灵曲线来逼近解。
04
自适应步长控制方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长控制方法，能够根据误差自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，同时也可以帮助我们更好地理解和应用数学理论。

《数值分析》完整版讲义

2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

数值分析课件 (第5、6章)

(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
机动上页下页首页结束
(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续述程到成 s 消计。继上过 , 直完第步元算
后到原程等的单程 A 最得与方组价简方组 (s+1) x = b,(s+1) 中（）上形其 A s+1 为梯。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0

数值分析PPT精品课程课件全册课件汇总

实际问题
模型设计
算法设计
程序设计实例求
2
上机计算
问题的解
牛顿法 x 1 ( x 2 ) k 1 K
2 xK
方程求根 x 2
2
程序设计
工科研究生公共课程数学系列
上机计算
解 x0 1 , x1 1.5, x3 1.417,
机动上页下页首页结束
数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。
r x| x | e | r * r | * |x | |x |

上例中
x
x

10%与
y
y

0.1%分别为x与y的对误差
限，可见y 近似y的程度比x近似x的程度好。
3、有效数字定义3 如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x 的有效数字.
XX学院 XX 专业
数值分析
【全套课件】
授课人：XX XX
第 1章绪论
内容提要： 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害
工科研究生公共课程数学系列
机动

数值分析ppt课件

数值积分与微分
数值积分
通过数值方法近似计算定积分，如梯形法则、辛普森法则等。
数值微分
通过数值方法近似计算函数的导数，如差分法、中心差分法等。
常微分方程的数值解法
通过数值方法求解常微分方程，如欧拉方法、龙格-库塔方法等。
03
数值分析的稳定性与误差分析
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型本身的近似性和简化，与真实系
非线性代数方法
非线性方程组的求解
通过迭代法、直接法等求解非线性方程组，如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性最小二乘问题
通过迭代法、直接法等求解非线性最小二乘问题，如GaussNewton方法、Levenberg-Marquardt方法等。
多项式插值与逼近
通过多项式插值与逼近方法对函数进行近似，如拉格朗日插值、样条插值等。
机器学习与数值分析的交叉研究
机器学习算法
利用数值分析方法优化和改进机器学习模型的训练和预测过程，提高模型的准确性和效率。
数据驱动的模型
通过数值分析方法处理大规模数据集，提取有用的特征和模式，为机器学习模型提供更好的输入和输出。
大数据与数值分析的结合
大数据处理
利用数值分析方法处理和分析大规模数据集，挖掘其中的规律、趋势和关联信息。
数值分析PPT课件
contents
目录
• 引言 • 数值分析的基本方法 • 数值分析的稳定性与误差分析 • 数值分析的优化方法 • 数值分析的未来发展与挑战
01
引言
数值分析的定义
数值分析
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。

数值分析讲义

由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的，计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

数值分析课件(第1章)

计算机专业基础课程: 计算方法
使用教材:数值分析华南理工大学出版社韩国强林伟健等编著
数值分析
林伟健
制作
华南理工大学计算机学院
本课程介绍的内容：使用计算机来解决某些数学问题的近似方法。
《数值分析》目录
第 1 章误差第 2 章代数插值与数值微分第 3 章数据拟合第 4 章数值积分第 5 章解线性代数方程组的直接法第 6 章解线性代数方程组的迭代法第 7 章非线性方程和非线性方程组的数值解第 8 章矩阵特征值和特征向量的数值解法第 9 章常微分方程初值问题的数值解法
2
从而得到
p n 3
而
3.1415 0.31415101 p 1
近似值 3.1415 的误差限为该值小数点后
第三位的半个单位，由有效数字的定义得知，
具有4位有效数字。顺便指出，准确值我们通常称它具有无穷多位有效
数字。
4. 有效数字与误差限的关系
设准确值 x 的近似值为 x* ，且将 x* 表示为
x 0.1 2 m 10 p（p为整数，1,2,,m
3.1416 1 104
2 3.14159
1 105
2
2
这个数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差
限是它末位的半个单位。
可以证明：对任何数经过四舍五入之后所得到的近似值，它的误差限都是它末位的半个单位。
定义1-3 若近似值x*的误差限为该值的某一位的半个单位，
例如， 0.045678 0.0457 3 位具有3 位有效数字又如， 8.0005 8.00 3 位具有3位有效数字
例1-2 若的近似值为 3.141，5 则有多少位有效数字?

数值分析讲稿

i 10i 0
而0 2 1.41 0.004 ，所以计算到 y10 误差大于 4 107 ，这个过程不稳定。
3．给定 g(x) 10 7 (1 cos x) ，试用四位数学用表求 g(2 ) 的近似值。
甲方法： cos 2 0.9994 ， g(2 ) 10 7 (1 cos 2 ) 6000
{x (k ) }
x(k)

(
x1( k
)
,
x
(k 2
)
,,
xn(k
)
)T
，
若
lim
k
xi(k
)

xi ， (i
1,2,, n)
计算数学教研室：周富照
5
数值分析
长沙理工大学备课纸
则 lim x(k) k
x ： x (x1, x2 ,, xn )T

x(k) x
0(k )
4. 减少运算次数
这样可以减少误差积累. 如计算多项式可用秦九韶算法: p (x) = an x n + an –1 x n –1 + … + a1x + a0 = (…((an x + an –1) x + an –2) x + … +a1) x + a0 例 2 x3 – 3 x2 + 4 x – 5 = ((2 x – 3) x + 4) x – 5. 5. 避免除数绝对值太小 6. 编程时避免用等式条件

xi
i
i 1
问题是：当 e(xi ) ( i 1,2,, n )很小时， e(u ) 是否很小？
当 (xi ) ( i 1,2,, n )很小时， (u ) 是否很小？

数值分析PPT课件

03
数值分析的方法和技巧广泛应用于科学计算、工程、经济、金融等领域。
主题的重要性
随着计算机技术的不断发展，数值计算已经成为解决实际问题的重要手段。
数值分析为各种数学问题提供了有效的数值计算方法和技巧，使得许多问题可以通过计算机得以解决。
掌握数值分析的知识和方法对于数学建模、科学计算、数据分析等领域具有重要意义。
意义。
未来数值分析的发展方向
随着计算机技术的不断发展，数值分析将更加依赖于计算机实现，因此数值算法的优化和并行化将是未来的重要研究
方向。
随着大数据时代的到来，数值分析将更加注重对大规模数据的处理和分析，因此数据科学和数值分析的交叉研究将成
为一个新的研究热点。
随着人工智能和机器学习的发展，数值分析将更加注重对非线性、非平稳问题的处理，因此新的数值算法和模型将不
数值积分和微分
矩形法
将积分区间划分为若干个小的矩形区域，求和得到近似积分值。
辛普森法
梯形法
利用梯形公式近似计算定积分，适用于简单的被积函数。
利用三个矩形区域和一个梯形区域的面积近似计算定积分。
02
01
高斯积分法
利用高斯点将积分区间划分为若干个子区间，通过求和得到近似积分值。
04
03
矩阵的特征值和特征向量
数值分析ppt课件
目录
• 引言 • 数值分析的基本概念 • 数值分析的主要算法 • 数值分析的误差分析 • 数值分析的实例和应用 • 结论
01
引言
主题简介
01
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值计算方法解决各种数学问题。
02
它涉及到线性代数、微积分、微分方程、最优化理论等多个数学领域。

数值分析全套课件

Ln n si n

ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一个球体, 设R为地球半径,h为卫星高度,D为覆盖面在切痕平面上的投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)

为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε

，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬关治白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)

数值分析课件第一章

x x*
1 10 m n 1. 2
（2.2）
21
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l 1) ), (2.1)
其中 ai (i 1,, l ) 是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数. 1）若 x * 具有 n位有效数字，则其相对误差限为 1 10( n 1) 2a1
1 6 5 I n1 , I 0 ln 0.1820 I n n 5 1 1 公式2 I n1 I n , I 8 0.019 In 5 n In I 公式1 I n
n
0.1820 0.0900 0.0500 0.0830 -0.165 1.0250 -4.958 24.933 -124.540
* * A* f ( x1 , xn ),
于是由泰勒展开，函数值 A* 的误差 e( A*) 为
* * e( A*) A * A f ( x1 ,, xn ) f ( x1 ,, xn )
* * f ( x1 , , xn ) * ( xk xk ) xk k 1 n
x x* 1 10 m n 1. 2
（2.2）
19
例如取3位
x π 3.14159265
x3 * 3.14,
1 π 3.14 =0.00159265 102 , 2
故x3 * 3.14有3为有效数字。
取5位
x5 * 3.1416 ,
1 104 . 2
16
把近似值的误差 e * 与准确值 x 的比值
e* x * x x x
* 称为近似值 x *的相对误差，记作 e r .

数值分析课件PPT文档38页

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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数值分析课件
6、纪律是自由的第一条件。——黑格尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ——马卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律，否则一切都会陷入污泥中。 ——马克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天真而不幼稚，勇敢而鲁莽，倔强而有原则，热情而ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ冲动，乐观而不盲目。 ——马克思

数值分析讲义

存在正数 ε∗, 使得
|x∗ − x| ≤ ε∗
称 ε∗ 为近似值的绝对误差限，简称误差限。
记作 x = x∗ ± ε.
朱升峰 (ECNU)
x∗ − ε∗ ⩽ x ⩽ x∗ + ε∗,
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 14 / 31
相对误差
定义 3
近似值的误差与准确值的比值 e∗ x∗ − x x= x
称为近似值 x∗ 的相对误差，记作 e∗r 。
定义 4
若存在正数 ε∗r , 使得 |e∗r | ≤ ε∗r , 则称 ε∗r 为相对误差限。
实际计算中，准确值未知，一般取
e∗ x∗ − x x∗ = x∗
理论研究实验研究科学计算科学计算: 现今体现国家科学技术核心竞争力的重要标志计算数学是各种计算性学科的共性基础。
朱升峰 (ECNU)
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 5 / 31
计算方法与计算机
面向计算机的算法: 串行算法: 只有一个进程的算法适合于串行计算机并行算法: 有两个以上的算法适合于并行计算机
算法 “好”: 可靠的理论分析且良好的数值表现 (计算复杂性好) 数值分析研究数值问题的算法
1 面向计算机 2 可靠的理论分析: 近似算法的收敛性, 数值稳定性, 误差分析等 3 好的计算复杂性: 时间复杂性, 空间复杂性 4 要有数值实验: 算法的数值验证
作为 x∗ 的相对误差，ε∗r = ε∗/|x∗|.

数值分析课件第6章

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一、雅可比迭代法
x1
1 a 11
(b 1 a 12 x 2
a1nx n )
x
i
1 a ii
(b i
i1
j
1
a
ijx
j
j
n
i
1 a ijx j )
xn
1 a nn
(b n
a n1x 1
a n ,n 1x n 1 )
可以得到计算公式（雅可比迭代法），对 k 0 ,1,
Ax b x Bx f.
则
x* Bx*f.
并有一阶定常迭代法
x(k1) B x(k) f
工科研究生公共课程数学系列
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向量序列与矩阵序列的极限
定义 2 设向量序列 x(k ) R n , x(k ) x1(k ) , x2(k ) ,
,
x(k) n
)
/
4
取 1.3, 第11次迭代结果为
x (11) ( 0 .9 9 9 9 9 6 4 6, 1 .0 0 0 0 0 3 1 0, 0 .9 9 9 9 9 9 5 3,
0.99999912)T
此时， (1 1) 0 .4 6 1 0 5 2
注：迭代法求解线性方程组在计算机实现时可用
(bi
i1
j1
a
i
j
x
(k j
1
)
n
j
i
a
i
j
x
( j
k
)
)
a ii .
x (k 1) i
x (k ) i

《数值分析》第五章课件

h
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有