湖南省益阳市南县第一中学高考数学 不等关系与不等式课件 湘教版
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第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
高三数学不等关系和不等式PPT教学课件
例题讲析
例1：已知
ab0 ,c0 .求证：ac
c b
.
练习1 （1）已知
ab,ab0.求证 11： . ab
（2）已知 a b 0 ,c d 0 .求 a 证 c b.d
（3）已知 ab .求c 证 2 a ： c2 b
练习2.书 P 73 4.1 ()(,2 )(,3 )(,4 ) 例 2.已a 知 b0,cd0.求证 ab ： dc
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c<0,那么ac<bc. 可 乘 性 性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
性质7：若 a b 0 ,则 a n b n ( n N 且 n 1 )
性质8：若 a b 0 ,则 n a n b ( n N 且 n 1 )
复习回顾
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
例1 比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.
即： a b b a 反身性
性质2 如果a>b,且b>c,那么a>c.
即：a b ,b c a c 传递性
利用性质1，性质2可写成“＜”形式：
c b ,b a c a
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c . 可 加 性 性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
八年级数学上册(湘教版)4.1《不等式》公开课课件
2.该选手的最低总得分为_7___1_0__=_7_0_分，最高总得分为1_0___1_0_=__1_0_0__分.
答：70 ＜ x ＜ 100.
习题4.1
A组
1.为了保障交通安全，隧道入口通常设置有明显的限高标志. 已
知图中的隧道限制高度为4.5m ，若某货车能够安全通过该隧道，
则货车的高度h（m）与限高4.5m之间的关系是怎样的？
分析：抓住题目中的关键词，并会进行符号的转化.
（1）“非负数”可用__≥_0_表示； （2）“比-3小”，“小”可用_<___表示；
（3）“大于”可用__＞__表示.
练习
2.奥运射箭比赛，每一箭满分为10分. 某选手在参加比赛时， 前十箭中最低得分为7分，求该选手前十箭总得分x的范围.
分析： 1.该选手每一箭的得分范围是什么？ 答_x_+_(2_+__1_.5_)_x_1_0____元.
2.“付50元仍找回若干元”代表支付金额少于50元.
答：1.5x+(2+1.5) x 10<50.
练习
1.用不等式表示下列数量关系.
（1）a是非负数；
答： a ≥0；
（2）x比-3小；
答： x<-3；
（3）两数m与n的差大于5. 答： m-n>5.
解：设降价x元，则 0<x ≤ 2190- 1700 x（1+ 3％）
小结与复习
1.什么叫不等式？ 不等式和等式的联系和区别是什么？
答：把用不等号（>， ＜， ≥， ≤， ≠）连接而成的式子叫作不等式； 不等式和等式的联系是都是用符号连接的式子； 区别是连接符号不同.
2.如何从实际问题中列出不等关系？
答：70 ＜ x ＜ 100.
习题4.1
A组
1.为了保障交通安全，隧道入口通常设置有明显的限高标志. 已
知图中的隧道限制高度为4.5m ，若某货车能够安全通过该隧道，
则货车的高度h（m）与限高4.5m之间的关系是怎样的？
分析：抓住题目中的关键词，并会进行符号的转化.
（1）“非负数”可用__≥_0_表示； （2）“比-3小”，“小”可用_<___表示；
（3）“大于”可用__＞__表示.
练习
2.奥运射箭比赛，每一箭满分为10分. 某选手在参加比赛时， 前十箭中最低得分为7分，求该选手前十箭总得分x的范围.
分析： 1.该选手每一箭的得分范围是什么？ 答_x_+_(2_+__1_.5_)_x_1_0____元.
2.“付50元仍找回若干元”代表支付金额少于50元.
答：1.5x+(2+1.5) x 10<50.
练习
1.用不等式表示下列数量关系.
（1）a是非负数；
答： a ≥0；
（2）x比-3小；
答： x<-3；
（3）两数m与n的差大于5. 答： m-n>5.
解：设降价x元，则 0<x ≤ 2190- 1700 x（1+ 3％）
小结与复习
1.什么叫不等式？ 不等式和等式的联系和区别是什么？
答：把用不等号（>， ＜， ≥， ≤， ≠）连接而成的式子叫作不等式； 不等式和等式的联系是都是用符号连接的式子； 区别是连接符号不同.
2.如何从实际问题中列出不等关系？
湘教版高中数学必修第一册第2章2-1-1第1课时不等关系与不等式课件
辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车 道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同) 应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和 货车行驶，而且车的行驶速度
v2应该满足60≤v2≤100．
知识点 基本事实 如果a－b>0，那么a>b； 如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b．反过来也成立．
题号
1
B．v≤120 km/h或d≥10 m
2
C．v≤120 km/h或d<10 m
3
D．v<m/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于
5
10 m，即d≥10 m，故选A．]
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要 题号
依据 a>b⇔__a_－__b_>_0____；a＝b⇔__a_－__b_＝__0__；a<b⇔__a_－__b_<_0__ 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差__与_0的
结论 大小
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．
(√ )
(2)若x－2≤0，则x<2．
反思领悟 作差法比较两个实数大小的基本步骤
[跟进训练] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
类型3 不等关系的实际应用 【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说： “如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说： “你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
湘教版高中数学《等式与不等式》课件
分析
若食用碘盐的单价为x元，则销售的总收入为
2500
x 1 0.1
50
x元．
那么不等关系“销售的总收入不低于3000元”可以用不等式表示为
2500
x 1 0.1
50
x
≥3000
一 等式与不等式
为了利用不等式研究不等关系，需要对不等式的性质做必要的了解． 我们知道，实数可以比较大小．如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应 两个不同的实数a与b，那么右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大（如 图2.1-3）．
一 等式与不等式
一 等式与不等式
现实世界中，既有大量的相等关系，又广泛地存在着不等关系．在方程的 学习中，我们学会了用相等关系解决生活中的诸多问题．同样地，可以用不等 式刻画现实世界中的数量关系．相等关系更多地刻画“静态的数量关系”，而 不等关系经常用来刻画“动态的数量关系”.
在日常生活中，我们经常用大与小、重与轻、长与短、高与矮、不低于或 不超过等来描述客观对象在数量上的不等关系．
一 等式与不等式
例 1 比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小． 解 因为 (x+1)(x+3)－(x+2)2
=(x2+4x+3)－(x2+4x+4) =－1<0， 所以 (x+1)(x+3)<(x+2)2 ．
一 等式与不等式
例 2 a g糖水中含有b g糖，若再添加m g糖(其中a>b>0，m>0)，生活常识告 诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一 个不等式吗？试给出证明.
(3)若a＞b，且c＞d，能否判断ac与bd的大小？举例说明．
高考数学一轮复习 6.1不等关系与不等式课件 文 湘教版
推理与证明
3/24/2019
6.1 不等关系与不等式
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b＞0 a＞b;a-b=0 a＝b ;a-b＜0 a＜b. 2.不等式的基本性质 （1）对称性:a＞b b＜a .（2）传递性:a＞b,b＞c a＞c . （3）加法性质:a＞b a+c＞ b+c;a＞b,c＞d a+c＞ b+d. （4）减法性质:a＞b,c＜d a-c＞ b-d. （5）乘法性质:a＞b,c＞0 ac ＞ bc;a＞b,c＜0 ac< bc;a＞b＞0,c＞d＞0 ac ＞ bd. 1 1 1 1 （6）倒数法则:a＞b,ab＞0 < ; ＜ ,ab＞0 a ＞ b.（同号即可,而不要求 a,b 均大于 0） a b a b n （7）乘方性质:a＞b＞0 a＞ bn（n∈N*,n＞1）. （8）开方性质：a>b>0 n a > n b （n∈N*,n>1）. 1 1 【思考探究】 a＞b 成立吗? a b 提示：不成立.只有当 a、b 同号时成立
a b ac bd 0 d c cd
∴故②正确.
∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确. ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确， 故选 C. 方法二取特殊值一一验证. 【答案】 C
3/24/2019
3.(2013·北京西城期末)已知 a>b>0，给出下列四个不等式：① a 2 b 2 ； ② 2a 2b 1； ③ a b a b； ④ a 3 b3 2 a 2 b . 其中一定成立的不等式为 A.①②③B.①②④ C.①③④D.②③④ 【解析】由 a＞b＞0 可得 a 2 b 2 ，①成立； 由 a＞b＞0 可得 a＞b－1，而函数 f(x)＝ 2 x 在 R 上是增函数， ∴f(a)＞f(b－1)，即 2a 2b 1，②成立；∵a＞b＞0，∴ a b ， ∴ a b a b 2 ab 2b 2 b a b 0 ，
高考数学一轮复习 第8单元第41讲 不等关系与不等式的性基本不等式课件 理 湘教版
题型一 不等式性质的应用
例1 1 (2011 黄山模拟)已知a，b，c，d 均为实数，有
下列命题： c d ①若ab 0，bc ad 0，则 0； a b c d ②若ab 0， 0，则bc ad 0； a b c d ③若bc ad 0， 0，则ab 0. a b 其中正确命题的个数是( ) A. 0 C. 2 B 1 D. 3
1.了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握并能运用不等式的性质，掌 握比较两个实数大小的一般步骤. 3.掌握基本不等式，会用基本不等 式解决简单的最大（小）值问题.
1. ( 2010 六安模拟)若a b，则下列各式中正 确的是 A. a 2 b 2
a ④ b a a 1 ______ ，a b ⑤ __________ ， a b 1 b b ⑥ _________ _. 1
2 商值比较法：若a 0，b 0，则a b
2．不等式的性质
(对称性或反身性) a b ⑦ __________ ； 1 定理1： ac (传递性) a b，b c ⑧ _________ ； 2 定理2： bc ， (可加性) a b a c ⑨ __________ 3 定理3： 此法则又称为移项法则．
个条件，致使解错．在研究范围问题时，一定要看清变 量间有无内在联系，要确定准独立变量，以免产生错误 范围( 3 3 ， )． 2 2
1. 比较两数的大小
ab 0； 1 差值比较法：a b ① __________ ab a b ② ________ 0；a b ③ _______ a b 0.
2.1.1等式与不等式(第一课时)课件高一上学期数学
湘教版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1.1 等式与不等式 （第一课时）
宁县一中 杨拴运
一、情境引入
二、明确目标 1、能从实际问题中抽象出不等关系，体会数学建模思想; 2、理解不等式的性质和推论; 3、会利用不等式的性质进行证明.
三、新课学习
知识点1：从实际问题中抽象出,2 2、课本33页例2旁边的问题
五、课堂小结
作差法比较大小的步骤
六、课外作业
1、习题2.1第1、2题 2、预习不等式的性质
问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等 关系吗？ （1）a与b的和是非负实数； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
三、新课学习
问题3：某商店食用碘盐以单价1元销售，可以卖出2500 袋，根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就会减 少50袋.若把提价后食用碘盐的单价设为 元，怎样用不 等式表示销售的总收入不低于3000元呢？
三、新课学习
问题4：(1)右图是在北京召开的第24届国际数学家 大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关 系和不等关系吗？
三、新课学习
知识点2：基本事实
三、新课学习
问题5：上面例题中用到的方法叫作差比较法，请大家尝试总结步 骤？
2.1.1 等式与不等式 （第一课时）
宁县一中 杨拴运
一、情境引入
二、明确目标 1、能从实际问题中抽象出不等关系，体会数学建模思想; 2、理解不等式的性质和推论; 3、会利用不等式的性质进行证明.
三、新课学习
知识点1：从实际问题中抽象出,2 2、课本33页例2旁边的问题
五、课堂小结
作差法比较大小的步骤
六、课外作业
1、习题2.1第1、2题 2、预习不等式的性质
问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等 关系吗？ （1）a与b的和是非负实数； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
三、新课学习
问题3：某商店食用碘盐以单价1元销售，可以卖出2500 袋，根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就会减 少50袋.若把提价后食用碘盐的单价设为 元，怎样用不 等式表示销售的总收入不低于3000元呢？
三、新课学习
问题4：(1)右图是在北京召开的第24届国际数学家 大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关 系和不等关系吗？
三、新课学习
知识点2：基本事实
三、新课学习
问题5：上面例题中用到的方法叫作差比较法，请大家尝试总结步 骤？
湘教版高中数学必修第一册-2.1.1.1等式与不等式(1)【课件】
x<y
____________．
解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x<y.
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列
关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
200
2
2ab
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100 100＝1 1＝ ，
a+b
+
+
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：
因为
a+b
2
−
2 −4ab
2ab
a+b
＝
a+b
2 a+b
2
a−b
2 a+b
＝
a
a b
a+b 2ab
＞ .
2
a+b
＞0，所以
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
b
课堂十分钟
与 的大小．
a+m
a
答案：(1)C (2)见解析
解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a
－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.故选C.
b+m
b ab+am−ab−bm m a−b
(2)作差：
− ＝
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量
____________．
解析：因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x<y.
5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列
关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
200
2
2ab
乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100 100＝1 1＝ ，
a+b
+
+
则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：
因为
a+b
2
−
2 −4ab
2ab
a+b
＝
a+b
2 a+b
2
a−b
2 a+b
＝
a
a b
a+b 2ab
＞ .
2
a+b
＞0，所以
所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．
b
课堂十分钟
与 的大小．
a+m
a
答案：(1)C (2)见解析
解析：(1)由题意，p＝(a－1)(a－3)，q＝(a－2)2，则p－q＝(a－1)(a－3)－(a
－2)2＝a2－4a＋3－(a2－4a＋4)＝－1<0，所以p－q<0，即p<q.故选C.
b+m
b ab+am−ab−bm m a−b
(2)作差：
− ＝
(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量
湘教版八年级数学上册课件 4.1不等式
答：x > 50.
2 .一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h,且 不高于100km/h的高速公路上行驶, 如何用式子来 表示轿车在该高速公路上行驶的路程s（km）与行 驶时间x（h）之间的关系呢？
分析： 1.路程s(km)与行驶时间x(h)和速度的关系怎样？
路程=时间 x 速度.
2.轿车车速为60 km/h时行驶x(h)的路程为_6_0_x_（_ km_,） 轿车车速为100 km/h时行驶x(h)的路程为_100_x_（__k_m_.）
1.5x≥82
注意:不大于、不超过、至多、不小于、不 低于、至少、正数等一些关键词的应用.
例3、已知一支圆珠笔1.5元,签字笔与圆珠笔相比每 支贵2元.小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔,若付 50元仍找回若干元,则如何用含x的不等式来表示小 华所需支付的金额与50元之间的关系？ 分析： x支圆珠笔需要支付_1_._5_x_元, 10支签字笔需 要支付 (2+1.5) ×10 元， 共需要支付 1.5x+(2+1.5) ×10 元.
探究
观察由上述问题得到的关系,它们有什么共同的特点？ x > 50； s≥60x,且s≤100x; 60x≤s≤100x.
v ＞ 11.2； s ≥ 10；h ＜ 0.5；v ≤ 15； a ≠ 19.
把用不等号（>, ＜, ≥, ≤, ≠）连接而成的式 子叫作不等式.
符号“≥”读作“大于或等于”,也可读作“不小 于”； 符号“≤”读作“小于或等于”,也可读作“不大 于”；
3x+5≤ 1 x-27
2
(2).星期天小华到文具店按标价x元的八折买了一台
学习机，又买了一支15元的钢笔。 他一共的支付不 超过学习机标价的九折。 0.8x+15≤0.9x
2 .一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h,且 不高于100km/h的高速公路上行驶, 如何用式子来 表示轿车在该高速公路上行驶的路程s（km）与行 驶时间x（h）之间的关系呢？
分析： 1.路程s(km)与行驶时间x(h)和速度的关系怎样？
路程=时间 x 速度.
2.轿车车速为60 km/h时行驶x(h)的路程为_6_0_x_（_ km_,） 轿车车速为100 km/h时行驶x(h)的路程为_100_x_（__k_m_.）
1.5x≥82
注意:不大于、不超过、至多、不小于、不 低于、至少、正数等一些关键词的应用.
例3、已知一支圆珠笔1.5元,签字笔与圆珠笔相比每 支贵2元.小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔,若付 50元仍找回若干元,则如何用含x的不等式来表示小 华所需支付的金额与50元之间的关系？ 分析： x支圆珠笔需要支付_1_._5_x_元, 10支签字笔需 要支付 (2+1.5) ×10 元， 共需要支付 1.5x+(2+1.5) ×10 元.
探究
观察由上述问题得到的关系,它们有什么共同的特点？ x > 50； s≥60x,且s≤100x; 60x≤s≤100x.
v ＞ 11.2； s ≥ 10；h ＜ 0.5；v ≤ 15； a ≠ 19.
把用不等号（>, ＜, ≥, ≤, ≠）连接而成的式 子叫作不等式.
符号“≥”读作“大于或等于”,也可读作“不小 于”； 符号“≤”读作“小于或等于”,也可读作“不大 于”；
3x+5≤ 1 x-27
2
(2).星期天小华到文具店按标价x元的八折买了一台
学习机，又买了一支15元的钢笔。 他一共的支付不 超过学习机标价的九折。 0.8x+15≤0.9x
高中数学3.1不等关系与不等式优秀课件
分析：假设截得500mm钢管x根，截得 600mm的钢管y根.根据题意，应有如下关系: 〔1〕截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢 管数量的三倍； 〔3〕截得两种钢管的数量不 能为负.要同时满足上述三个条件，可以用下面 不等式组来表示：
500x+600Y≤400 3x≥y
具体问题
1.设点A与平面a的距离为d，B为平面a上任 一点，那么可以得到什么不等关系？
答：应为d≤︱AB︱. A
d B
2.某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售 出8万本.据调查关，键每词提“高不0.1低元于，〞销量减少2000 本.那么，如把提价后杂志的定价设为x元，怎 样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
a≤c 3x+2>6
教学目标
知识与能力
1.通过具体情境建立不等观念，并能用 不等式或不等式组表示不等关系；
2.了解不等式或不等式组的实际背景； 3.能用不等式或不等式组解决简单的实际 问题.
过程与方法
1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分 析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从 抽象到具体的方法进行启发式教学；
用反证法n证 a n b.
假设n a n b, n a n (n b)n
ab,矛盾.n a n b.
Hale Waihona Puke 1a b,c d a c b d 2a b 0,c d 0 ac bd 3a b 0,nN an bn , n a n b
某旅游团旅游，共80人.有甲乙两种客车， 甲型号比乙型号少5辆；假设只选甲型，那么每 辆车10人，车不够；假设只选乙型车，那么每辆 9人，车多余.设甲型车x辆，用不等式表示题中 的不等关系.
湘教版解读-第9章不等式与组
然后借助于数轴找出公共部分（如图 9-1）:【答案】 b < x < a .【点拨】 该不等式组中有三个不等式, 我们可以先分别求出解:x < a , x > b , x > c ,第九章不等式与不等式组全章总结不等式〔纽）［「元液不零式畑 t 一瓦一空干讲兀畑旳瞬舉♦专题1:不等式基本概念和性质专题概说：本章的基本概念包括不等式、一元一次不等式、不等式的解、不等式组的解，学习不等式的基本性质时，应将其与等式的基本性质进行类比； 学习不等式（组） 的解和解时，要类比一元一次方程和二元一次方程组的解来理解；学习一元一次不等式 的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比.A . a + 2< b + 2B . a -2< b — 2C . 2a < 2bD . 2-a <2 — b答案：D点拨：把变形后的式子与已知条件进行比较，对于A 是在原不等式两边同时加.知识结构图不等式与不等式组 不等式的基本性质1不等式的皇本件®2不辱代的基肚性處3）解一元一次不笔成±括号移顼t 合并｝:乐豔化J 虫解上訊次不等式组一元一次不等式（组》的应用、专题总结（一）知识技能专题不等式的概念 例1：已知a < b ，下列式子中，错误的是（).上2,对于B 是在原不等式两边减去 2, 对于C 是在原不等式两边乘以 2，因而都是正确的，所以选 D •例2 :若 a > b > c ,则不等式组 x0 ,0 ,的解是图9-1在画数轴时要注意 a 、b 、c 的大小顺序. •专题1即时练习如果关于x 的不等式（a + 1） x > a +1的解集为XV 1，那么a 的取值范围是（D. av — 1如图9-2,数轴上所表示的不等式组的解集是（A . Xw 2B . — 1 w Xw 2 C. — 1v xw 2 D . x>— 1图9-2♦专题2 :一元一次不等式（组）的解法专题概说：一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，也是经历去分 母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，所不同的是解一元一次方程根据的是等式性质，解一元一次不等式根据的是不等式的性质，在去分母和系数化 为1时，如果不等式两边同时乘以的是一个负数，那么不等号的方向要改变.解一元一次不等式组时，我们要先分别求出组成这个不等式组的几个不等式的解,组的解.3 2x 4x 10解：系数化为整数： ------- w ------3 5系数化为1,得：xJ6559点拨：可根据解一元一次不等式解的步骤，先将分子、分母的系数化为整数, 然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为例4 :解不等式组下列说法中, 错误的是（A .不等式 XV5的整数解有无数多个B .不等式x >—5的负数解有有限个C .不等式 X + 4>0的解集是x >— 4D .— 40是不等式2XV — 8的一个解然后借助数轴或口诀求出这些不等式解的公共部分,这个公共部分就是这个不等式例 3: d! — w。
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思考3：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b＋d的大小关系确 定吗？a－c与b－d的大小关系确定吗？
思考4： 若a＞b，ab＞0，那么 1 与 1 的大小关系如何？
ab
(1)a＋b＞c a＞c－b
Þ (2)ai＞bi (i＝1，2，3，…，n) a1＋a2＋…＋an＞b1
＋b2＋…＋bn
当ai bi 0时，a1 a2 an b1 b2 bn
3.1.2
不等关系与不等式
复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么? 如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0
2. “作差法”比较两实数的大小的一般步骤?
因式分解、配方、通分等手段。
式的基本性质
思考1：若甲物体比乙物体重，则乙物体比甲物体轻，反 之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质， 你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？
A
A
1510
5O
10 5
O5
5O
5 10
4
B
2
AA(0,1) B(3,1)
O5
1015
5 10
15
2
2
2
2
内部联系，不可分割！
4
4
4
4
小结
不等式的性质
内
容
对称性 传递性 加法性质
a b b a; a b b a a b,b c a c
a b a c b c; a b,c d a c b d
ab
例2．如果30<x<36，2<y<6，求x－2y及 x 的 y
取值范围。
反馈练习：已知－4≤a－b≤－1， －1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。
正确！
12
错误！
10
10
10
10
8
6
D(1,5)
8
C(3,7)
6
D
8
C
6
D
8
D(0,7) C
6
D
CC(3,7)
4
4
4
B(2,3)
B
B
2
2
2
A(0,1)
关于不等式性质的学习要注意
要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强, 以及条件与结论之间的相互联系. 紧扣基本性质证明问
P75习题3.1
A组：2，3. B组：2.
当0
ai
bi时，当 当nn为 为偶 奇数 数时 时， ，aa11
a2 a2
an b1 b2 an b1 b2
bn bn
(3)a＞b，c＜d a－c＞b－d
(4)a＞b，ab＞0 1 1 ab
例1：已知 a b 0 , c 0 ,求证: c a b c
乘法性质
指数运算性质 倒数性质
a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc a b 0,c d 0 ac bd a b 0 an bn; a b 0 n a n b
a b,ab 0 1 1 ab
感悟收获,巩固拓展
自我反思：
探究（二）：不等式的拓展性质
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝c a＝c－b，
那么移项法则在不等式中成立吗？
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，a1＋a2＋…＋ an与b1＋b2＋…＋bn的大小关系如何？
a1 a2 an 与 b1 b2 bn 呢？
思考2：甲物体比乙物体重，乙物体比丙物体重，那么甲 物体比丙物体重，这里反映出的不等式性质如何用数学符 号语言表述？
思考3：再有一个不争的事实：若甲物体比乙物体重，如 果两个物体同时增加相同的重量，则甲物体仍然比乙物体 重，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？
思考4：还有一个不争的事实：若甲物体比乙物体重，丙 物体也比丁物体重，则甲物体+丙物体仍然比乙物体+丁物 体重。你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？
a b 0
a
b
0
n个式子相乘
an
>bn
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？
a b 0
a 思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 与 的大小关系如何？n
证明：用反证法，假定
，即
nb
或
，由性质7及根式的性
质
可得：a<b或a=b这都与已知矛盾。
a＞b b＜a（对称性）
a＞b，b＞c a＞c；
a＜b，b＜c a＜c（传递性） a＞b a+c＞b+c（可加性）
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如 何？为什么？
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？
思考4： 若a＞b，ab＞0，那么 1 与 1 的大小关系如何？
ab
(1)a＋b＞c a＞c－b
Þ (2)ai＞bi (i＝1，2，3，…，n) a1＋a2＋…＋an＞b1
＋b2＋…＋bn
当ai bi 0时，a1 a2 an b1 b2 bn
3.1.2
不等关系与不等式
复习引入
1. 比较两实数大小的理论依据是什么? 如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0
2. “作差法”比较两实数的大小的一般步骤?
因式分解、配方、通分等手段。
式的基本性质
思考1：若甲物体比乙物体重，则乙物体比甲物体轻，反 之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质， 你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？
A
A
1510
5O
10 5
O5
5O
5 10
4
B
2
AA(0,1) B(3,1)
O5
1015
5 10
15
2
2
2
2
内部联系，不可分割！
4
4
4
4
小结
不等式的性质
内
容
对称性 传递性 加法性质
a b b a; a b b a a b,b c a c
a b a c b c; a b,c d a c b d
ab
例2．如果30<x<36，2<y<6，求x－2y及 x 的 y
取值范围。
反馈练习：已知－4≤a－b≤－1， －1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。
正确！
12
错误！
10
10
10
10
8
6
D(1,5)
8
C(3,7)
6
D
8
C
6
D
8
D(0,7) C
6
D
CC(3,7)
4
4
4
B(2,3)
B
B
2
2
2
A(0,1)
关于不等式性质的学习要注意
要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强, 以及条件与结论之间的相互联系. 紧扣基本性质证明问
P75习题3.1
A组：2，3. B组：2.
当0
ai
bi时，当 当nn为 为偶 奇数 数时 时， ，aa11
a2 a2
an b1 b2 an b1 b2
bn bn
(3)a＞b，c＜d a－c＞b－d
(4)a＞b，ab＞0 1 1 ab
例1：已知 a b 0 , c 0 ,求证: c a b c
乘法性质
指数运算性质 倒数性质
a b,c 0 ac bc; a b,c 0 ac bc a b 0,c d 0 ac bd a b 0 an bn; a b 0 n a n b
a b,ab 0 1 1 ab
感悟收获,巩固拓展
自我反思：
探究（二）：不等式的拓展性质
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝c a＝c－b，
那么移项法则在不等式中成立吗？
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，a1＋a2＋…＋ an与b1＋b2＋…＋bn的大小关系如何？
a1 a2 an 与 b1 b2 bn 呢？
思考2：甲物体比乙物体重，乙物体比丙物体重，那么甲 物体比丙物体重，这里反映出的不等式性质如何用数学符 号语言表述？
思考3：再有一个不争的事实：若甲物体比乙物体重，如 果两个物体同时增加相同的重量，则甲物体仍然比乙物体 重，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？
思考4：还有一个不争的事实：若甲物体比乙物体重，丙 物体也比丁物体重，则甲物体+丙物体仍然比乙物体+丁物 体重。你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？
a b 0
a
b
0
n个式子相乘
an
>bn
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？
a b 0
a 思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 与 的大小关系如何？n
证明：用反证法，假定
，即
nb
或
，由性质7及根式的性
质
可得：a<b或a=b这都与已知矛盾。
a＞b b＜a（对称性）
a＞b，b＞c a＞c；
a＜b，b＜c a＜c（传递性） a＞b a+c＞b+c（可加性）
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如 何？为什么？
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？