第十章曲线积分与曲面积分-PPT精品
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高等数学曲线积分和曲面积分课件
投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdx
L
Pdx
Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy
ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：
《高等数学》第十章 曲线积分与曲面积分
x2
dS y2
z2
2
Dxz
(1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
D1 (1
1 z2)
1
x2
dxdz
4
lim
a1
D1
(1
z
2
1 )
1
x2
dxdz
4
lim
a1
01dz
a
0
(1
1 z2)
1
x2
dx
lim arcsina
a1
2
2
.
z
1
y
例3 计算 zxdydz xydzdx yzdxdy,
z
1
其中 是圆柱面 x2 y2 1 o
在第一卦限中 0 z 1 的部分的前侧. x 1
y
1
例1
计算
x2
dS y2
z2
,
其中 是界于平面 z = 0 及
z = 1 之间的圆柱面 x2 y2 1.
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 ,
dS
1
(
y1 x
)2
(
y1 z
)2
dxdz
1 dxdz. 1 x2
1
x2
dS y2
z2
Dxz
1 1 z2
1 dxdz 1 x2
右 : y2 1 x2 , 将曲面 右 向 xoz 面投影，得
高等数学第10章 曲线积分与曲面积分
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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50
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
高等数学II第十章 曲线积分与曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若()():x x tL a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L af x y ds f x t y t=⎰⎰ 若()()():x x t L y y t a t b z zt =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,b Laf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰ 注意：上限一定要大于下限计算下列对弧长的曲线积分（1）ds yx L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：222()Lx yds +=⎰ 22()Lads ⎰4La ds =⎰45(2)2a a a ππ== 法二：cos:02sin x a L y a θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩，222()Lx y ds +⎰ ()()222[cos sin ]a a πθθθ=+⎰25502a d a πθπ==⎰（2）ds eLy x ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；解：()L OAABBO=++⎰⎰⎰⎰ ，其中:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩， cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩，:0x x BO x y x =⎧≤⎨=⎩aoA=⎰⎰01ax a e dx e ==-⎰a ABABe ds =⎰⎰ 4aa ABaee ds π==⎰（或AB⎰4πθ=⎰404aaae e ad ππθ==⎰）BO=⎰1ae ==- 故(2)24a Le a π=+-⎰（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；解：由2:0121x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰32122(116)332x +==（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：[]22(1cos )Ly ds a t π=-⎰⎰5232(1cos )t dt π=-⎰52322(2sin)2tdtπ=⎰2358sin2ta dtπ=⎰令2tθ=）3516sina dπθθ=⎰353324225632sin325315a d a aπθθ==⨯⨯=⎰（5）dsxyL⎰，其中L为圆周222ayx=+；解：利用对称性14L Lxy ds xy ds=⎰⎰，其中1cos:0sin2x aLy aθπθθ=⎧≤≤⎨=⎩1144L L Lxy ds xy ds xyds==⎰⎰⎰204(cos)(sina aπθθθ=⎰3323224cos sin2sin2a d a aππθθθθ===⎰（6）dszyx⎰Γ++1，其中Γ为曲线tex t cos=，tey t sin=，t ez=上相应于t从0变到2的弧段；解：2221dsx y zΓ++⎰=⎰22)te dt e--==-⎰（7）dsy⎰Γ，其中Γ为空间圆周：⎪⎩⎪⎨⎧==++Γxyzyx2:222.解：由2222x y zy x⎧++=⎨=⎩，得2222x z+=，令cos02xzθθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩故cos:cos02xyzθθθπθ⎧=⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩。
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
微积分 第十章 曲线积分与曲面积分
lo
δ2
T < δ1 l(T ) −
p
n n
x 2 (ti ) + y 2 (ti ) + z 2 (ti )∆ti < ε
i=1
∆ti = ε(β − α).
i=1
(10.1.1)
p w
w`i
n i=1
x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)
V
[α, β ]
aU'UyUUtUgudvxV gudo
β
7 89 @ gUU´ HUµ¶ ' 'fR
α
r = r (x(t), y (t), 0),
i {U·
l0 =
x 2 (t) + y 2 (t)dt.
3
suº ¹»¼9 @ d S g ~ E ¹»¼94@ ½¾ ¿ ÀÁÂ @
10.1.1
'j ¹ @¹ ¿ s à i S @ ¹ ÄÅfRh x 'gh 8 iph 'ÆÇ ÈÉÊ ËÌ @¹ a' ~ qÕÖ ²³ F 7 8 ' 9 @ a Ò VUÍUÎ`ÏTÐ`&9 dÒ Ñ Ó À Ô V x×Ø ÙÚ jÛ @ q'ÜÝ Þß 6 78 & js' »¼à94@ d ~ V H 9 @ ¹ e a'B ¹ qh Ô ¹ q w Xá ( â 'E VãXá am jh ¾ B V
4 = 2π R2 + π 2 k 2 3
'¥¨UþUgUu S
.
xρ(x, y, z )dl , yG = ρ(x, y, z )dl
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
【精品】课件---曲线积分和曲面积分PPT18页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
【精品】课件---曲线在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
曲线积分与曲面积分复习课好-PPT文档资料
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（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
（3）计算 直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式.
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I Pdx Qdy
（2）两类曲面积分的联系 0 d S n dS (cos , cos , cos ) dS
( dydz ,dzdx ,dxdy )
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式。
L
(x ,y )
Q P ( ) dxdy I Pdx Qdy P Q P Q 闭合 I x y (x ,y D 0 0) y x y x 补充曲线再用公式 I Pdx Qdy 0
非闭
L
闭合
非闭
基本 方法
xx ( t) yy ( t)
O ( 0 , 0 ) A ( 1 , 1 ) L y sin x 中 为 由 点 到 点 的 曲 线 . 2
思路:
(x ,y )
Q Байду номын сангаасP 非闭 ( ) dxdy 闭合 I I Pdx Qdy P Q P Q x y (x ,y D 0 0) y x y x I Pdx Qdy 0 非闭 补充曲线再用公式
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f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
L 1
L 2
2. 函数 f(x,y)在闭曲L上 线对弧长的曲线 为积分记
L f(x,y)ds.
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4.性质
( 1 ) L [ f ( x , y ) g ( x , y ) d ] L f s ( x , y ) d L g s ( x , y ) d . s
y x2
(0x1)
1 y d s
x 21 (x 2 )2 d ' x 1 x1 4 x 2 d
x
L
0
0
1 (5 51) 12
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例2
求 ILxy,L d:椭 s x y 圆 b as cio tt,n ,(s第 象)限 .
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
y
实例: 曲线形构件的质量
B L Mn1
匀质之质量 Ms.
分割 M 1 ,M 2 , ,M n 1 s i,
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
取 (i,i) si, M i(i,i) s i.
i个小段上任意取定的点一 , y
作 乘 积f (i ,i ) si ,
B L Mn1
n
并作和 f (i ,i ) si , i 1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
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如果当各小弧段长的度的最大值 0时,
这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
x
近似值
n
求和 M (i,i)si.
i1
精确值
取极限
n
Ml i0m i1(i,i)si.
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1. 定义
设L为xoy面内一条光滑曲线,函弧数f (x, y)
在L上 有 界.用L上 的 点M1, M2,, Mn1把L分 成n
个 小段.设 第i个 小段 的长 度为si ,又(i ,i )为 第
注意:
1. 定积分的 一下 定限 要小 ; 于上限
2. f(x,y)中x,y不彼此 , 而 独是 立相互 . 有关的
特殊情形
( 1 ) L : y ( x ) a x b .
f(x ,y ) d s b f[x ,(x )1 ]2 (x ) d.x(ab)
f(x,y,z)ds f[(t) , (t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt
()
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例1 计算 L yds, 其中 L是抛物线 y x2 上点
O(0,0) 与点 B(1,1) 之间的一段弧。
解 由于 L由方程
给出，因此
Lf(x,y)ds存.在
3.推广:
函数 f(x,y,z)在空间 曲 上线 对弧 弧长的曲线积
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
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注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑的
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分
第六节 高斯公式 通量与散度 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
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第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 三、小结
定理
设 f (x, y)在曲线弧 L上有定义且连, L续 的参数
方
程
为xy
(t), (t),
( t )其中(t),(t)在[,]上
具有一阶连续导 , 且数
f (x, y)ds
f [(t),(t)]
2(t)2(t)dt
L
( )
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解
2
I a 2 co si s k na 2 k 2 d
L
a
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( 2 ) L : x ( y ) c y d .
f(x ,y ) d s df[(y )y ]
推广: : x ( t ) y , ( t ) z , ( t ) ( . t )
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例3 求 I yd, s L 其L 中 :y24x,从 (1,2)到 (1,2)一.段
y2 4x
解
I 2 y 1( y)2dy0.
2
2
例4 求 Ixy,z其 d s:中 xaco , s yasi ,n
zk 的.一 (0 段 2 )
解 I2 a cto b ssti( n a sti)2 n (b cto )2 dst 0
a2 b sitc ntoa 2 ss2 itn b 2c2 o tdst 0
a2abb2
au2du
b
(令 ua2si2tn b 2c2 o t)s
ab(a2 abb2). 3(ab)
线积分, 记作L f (x, y)ds, 即
积分和式
被积函数
n
L
f (x,
y)ds lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
曲线形构件的质量 ML(x,y)d.s
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2.存在条件：
当f(x, y)在光滑曲 L上线 连弧 ,续 对时 弧长的曲线
(2 )L k(x f,y )d s k L f(x ,y )ds (k 为)常 . 数
( 3 )f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L
L 1
L 2
(LL 1L 2).
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二、对弧长的曲线积分的计算法