三垂直模型和全等综合

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(完整版)三垂直模型与全等综合剖析

DPFEBC AF E CB A K 模型图与全等知识点基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ；连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H B CFFEDC BAHFEDCBA【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。

AF是△ABC的中线，FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。

连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平分线于点M。

求证：AN＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.10ABOMPQx y24．（12分）如图，CODV等腰直角三角形，CA⊥x轴。

初中几何模型：三垂直全等模型分析

三垂直全等模型“三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。

模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，A∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

三角形全等中的三垂直模型

“三垂直”模型知识目标模块一三垂直基本模型知识导航一、三垂直模型的构成等腰直角△ABC过直角顶点A的直线l过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线，垂足分别为M、N题型一三垂直模型基本应用例1过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l，过A、B分别作AD⊥l于D，BE⊥l于E，已知AD＝5，BE＝3，求DE的长．CBACBACBA练习已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．模型二三垂直模型与“婆罗摩笈多”例2如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．练习如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ．（1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹）（2）求点C 的坐标；（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．EDCBANMEDCBA模型三三垂直模型与“八字”全等综合例3（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．练习等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求CPBM的值．FEDCBA DABCEFN MQPCBA（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求AMBM．真题演练（2016年江岸区八上期末第23题）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若AGCG＝3，求证：E 为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若43BC BE，则AG CG＝．MNPQCB A图1FEDCBA图2GFECBA模块二三垂直模型与坐标系综合知识导航三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标情况一如下图：直角顶点在坐标轴上情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上例4（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．B（2）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A（－1，0），C（1，3），求B点坐标．（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．练习如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．真题演练如图，已知A（－2，0），（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．例5在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．练习如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足221b a a（1）求点A的坐标；（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．Array例6（2015年粮道街八上期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．练习在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直角三角形，求点C的坐标以及面积的最小值．挑战压轴题如图1，已知A （a ，0），点B （0，b ）且a 、b 满足2(4)40ab（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若点C 是第一象限内一点，且∠OCB ＝45°，过点A 作AD ⊥OC 于点F ，求证：F A ＝FC ；（3）如图2，若点D 的坐标为（0，1），过点A 作AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连接BE 交x 轴于点G ，求S △BOG ．本讲课后作业○A 基础巩固 1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣5，2），求点D 的坐标．2、在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，4），以AB 为斜边作一个等腰直角三角形ABC ，则点C 的坐标为．图13、已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问C F与AE有怎样的数量关系？并说明理由．综合练习4、如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．（1）求C 点坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值；（3）如图3，已知点F 坐标为（﹣2，﹣2），当点G 在y 轴负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m －n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．x。

初中数学常见模型之三垂直全等模型

三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ），分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

4、全等三角形模型——三垂直模型

全等三角形模型——三垂直模型真题精炼1、如图，已知：AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．（1）如图1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．3、（16-17学年南师江宁月考）如图，B 、C 、D 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则不正确．．．的结论是（）A ．A ∠与D ∠互为余角B ．2A ∠=∠C ．ABC CED≌△△D ．12∠=∠4、（16-17学年南外月考）如图，Rt ABC △的直角顶点B 在直线PQ 上，AD PQ ⊥于D ，CE PQ ⊥于E ，且7cm BD CE ==，3cm AD =，则梯形ADEC 的面积是________2cm .5、（17-18学年求真月考）如图，AE ⊥AB ，且AE=AB ，BC ⊥CD ，且BC=CD ，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是50．6、如图，在正方形ABCD 中，如果AF=BE ，那么∠AOD 的度数是_______.7、（16-17学年育外期中）如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线L ，过A 、C 、D 作L 的垂线，垂足分别为点E 、F 、G .若AE=2，CF=6，则DG 的值为________.8、（17-18学年南师江宁月考）【提出问题】如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥，且90DAE ∠=︒，AD AE =，易证DBA △≌ACE △．【类比探究】（1）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒．求证：DBA △≌ACE △．【知识应用】（2）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒，若DAC ∠的度数是E ∠的4倍，则D ∠=__________︒．【数学思考】（3）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若(090)DAE αα∠=︒<<︒，2BAC α∠=，当DBA △≌ACE △时，B C ∠=∠=__________．（结果用含有α的代数式表示）。

【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：三垂直全等模型

中考必考几何模型（猿辅导）最新讲义三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，AB C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E DAB解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.xy图①BA (0,3)C (-2,0)O解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）.（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. 跟踪练习1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .F证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.P解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.EADB解答：（1）1；（2）1；（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，12DGE DFECD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴EADSV＝12AD·EF＝1.∴△EAD的面积与α大小无关.5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P. 求证：BC＝2AP.PFD E AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMAACH GAM AC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中，EPN GPMENP GMP EN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EPN ≌△GPM .∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM＝2AP .。

中考必会几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD.∴AB＝EC，BE＝CD.∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.例2如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA.在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC.∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D.∴∠BCD＋∠DBC＝90°.由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACO＝90°.∴∠DBC＝∠ACO.在△BCD和△CAO中，∴△BCD≌△CAO.∴CD＝OA，BD＝OC.∵OA＝3，OC＝2.∴CD＝3，BD＝2.∴OD＝5.∴B（－5，2）.（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.在△ACD和△CBO中，∴△ACD≌△CBO.∴CD＝OB，AD＝CO.∵B（－1，0），C（0，3）∴OB＝1，OC＝3.∴AD＝3，OD＝2.∴OD＝5.∴A（3，2）.跟踪练习1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF.∴AE＝BF.（2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF.2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.解答：∵a、b、c都是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DCE.在△ABC和△CBE中，∴△ACB≌△CDE.∴AB＝CE，BC＝DE.在Rt△ABC中，＝＋＝＋即＝＋＝5＋11＝16.3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP<CP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.（1）求证：EF＝CF－BE；（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.解答：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°.∴∠FAC＋∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，∴△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE.（2）如图，EF＝BE＋CF.理由：同（1）易证△ABE≌△CAF.∴AE＝CF，BE＝AF.∵EF＝AE＋AF，∴EF＝BE＋CF.4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D 为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.（1）当α＝45°时，求△EAD的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.解答：（1）1；（2）1；（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴＝AD·EF＝1.∴△EAD的面积与α大小无关.5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P.求证：BC＝2AP.解答：过点G作GM⊥AP于点M，过点E作EN⊥AP交AP延长线于点N.∵四边形ACFG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°.∴∠CAH＋∠GAM＝90°.又∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠ACH＝∠GAM.在△ACH和△GAM中，∴△ACH≌△GAM∴CH＝AM，AH＝GM.同理可证△ABH≌△EAN∴BH＝AN，AH＝EN.∴EN＝GM.在△EPN和△GPM中，∴△EPN≌△GPM.∴NP＝MP，∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP.。

初中数学几何模型之三垂直模型

数学模型-三垂直模型一，三垂直与勾股定理模型分析：赵爽弦图：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c ∴四个直角三角形面积=2ab，中心正方形面积=（b-a）²=b²-2ab+a²∴大正方形面积=c²=a²+b²毕达哥拉斯内弦图大正方形的面积=（a+b）2大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2根据等面积法得（a+b）2=2ab+c2∴c²= a²+b²，即c²= a²+b²总统证明勾股定理：将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法规律总结：弦图能够解析完全平方定理，如此勾股定理，完全平方和弦图有机结合在一起，体现了数形结合的思想．实例精炼：1. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为()A. 113B. 103C. 3D. 83【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【详解】解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1＋S2＋S3＝10，∴S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x,∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝10x＋4y＝10 3,∴S2＝x＋4y＝103．故选B.【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=10求出是解决问题的关键．2. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 【解析】【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出2()5b a -=，237ab =，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：小正方形面积=2()5b a -= 4个小直角三角形的面积=142ab ⨯425=- ∴237ab =∴2()a b +2()4b a ab =-+5237=+⨯79=【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．3. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【详解】（1）S梯形ABCD=1()()2a b a b++221122a ab b=++，S梯形ABCD=211222ab c⨯+∴12a2＋ab＋12b2=2×12ab＋12c2即a2＋b2=c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4＝12×5×h ， ∴h ＝125 故答案为125；（3）∵图形面积为：（a−2b ）2＝a 2−4ab ＋4b 2， ∴边长为a−2b ，由此可画出的图形如下：【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．4. 【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明．（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成．【实践应用】（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【解析】【分析】[尝试探究]（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；[实践应用]（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为214()2c ab +⨯，即221()4()2a b c ab +=+⨯，222a b c ∴+=；（2）图中大正方形的面积可表示为2c ，也可表示为21()4()2b a ab -+⨯，即221()4()2b a abc -+⨯=，222a b c ∴+=；[实践应用]（3）2222222()a c a b a c b +=+，442222222()()()c b c b c b c b a -=+-=+，∴代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．【解析】【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD 的边长为b-a ，最后根据正方形面积公式计算即可．【详解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股4== ∵小正方形ABCD 的边长为b-a=4-3=1 ∴小正方形ABCD 的面积是1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．6. 把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．【答案】1．【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．二，三垂直与全等和相似模型分析：规律总结：由同角的余角相等得到∠1=∠C，∠2=∠A，结合边长信息即可证明全等．★补充：射影定理直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．公式：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）²=AD•DC，（2）（AB）²=AD•AC ，（3）（BC）²=CD•CA．直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC．其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD）•AC=AC²．规律总结：由三垂直得到射影定理，能够得到边长平方与斜边之间的关系，是解决边长数量关系的常用方法．实例精炼：7. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a=，HG b=，则斜边BD 的长是（）A. +a bB. ⋅a b【答案】C 【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，由C E a =，HG b =建立方程组，求解即可得出,22a b a bCD xBC y，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ， ∵CE a =，HG b =，∴x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ 解得：22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故,22a ba bCDBC在Rt BCD ∆中，根据勾股定理得：2222222222a b a b a b BD BC CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴BD =. 故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.8. 已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE ≌△ABD ，进而利用全等三角形的性质得出AE ＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH ≌△BDH ，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACE +CAE ＝∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAD ，在△CAE 与△ABD 中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△ABD （AAS ），∴AE ＝BD ；（2）连接AH∵AB ＝AC ，BH ＝CH ，∴∠BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴AH ＝BH ，∵∠EAH ＝∠BAH ﹣∠BAD ＝45°﹣∠BAD ，∠DBH ＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD ﹣∠ABH ＝45°﹣∠BAD ，∴∠EAH ＝∠DBH ，在△AEH 与△BDH 中 AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEH ≌△BDH （SAS ），∴EH ＝DH ，∠AHE ＝∠BHD ，∴∠AHE +∠EHB ＝∠BHD +∠EHB ＝90°即∠EHD ＝90°，∴∠EDH ＝∠DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG ⊥FH ，ER ⊥FH ，∴∠DGH ＝∠ERH ＝90°，∴∠HDG +∠DHG ＝90°∵∠DHE ＝90°，∴∠EHR +∠DHG ＝90°，∴∠HDG ＝∠HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHG ≌△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET ∥BC ，∴∠ETF ＝∠BHG ，∠EHB ＝∠HET ，∠ETF ＝∠FHM ，∵∠EHB ＝∠BHG ，∴∠HET ＝∠ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFT ≌△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ， ∴22HF MS FT ER =， ∴ER ＝MS ，∴HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k==， k∴FH ＝，∴HE ＝HT ＝2HF ＝．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．9. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．10. 在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）8【解析】【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆≌()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆≌()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△CDA （AAS ）（2）如图②，过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，∵AC=BC ，BCM ∴∆≌()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图③，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，∵△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆≌()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，∠AOE=∠COH ，OD AB ⊥，∠AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°， 154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，3238AC CH HE AE ∴=++=++=，故答案为：8．【点睛】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11. 如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．12. 如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG CG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【解析】【分析】(1)证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；(2)作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；(3)过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．【详解】(1)∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°，∴∠DF A +∠DAF =90°，∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DF A =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，AFD EACADF ECA AF AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△EAC (AAS )，∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；(2)作FD ⊥AC 于D ，由(1)得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，90FDG BCG FGD BGC FD BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDG ≌△BCG (AAS )，∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴741.52CG DG AD AC-==-==，∴4 1.5111.53 AG AC CGCG CG++===，当点E在线段BC上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB-BE=1，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=1，∴411.52CG DG AC AD-==-==，∴1 1.551.53 AG AD DGCG CG++===，故答案为：113或53．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证△ADF ≌△ECA 、△GDF ≌△GCB 是解题的关键．三，三垂直与直角坐标系模型分析：规律总结：在坐标系中，一般利用点的坐标的几何含义作垂线，构建三垂直模型进行解题．具体考题中一般结合面积进行展开，常见的有一次函数与反比例函数的面积，二次函数中面积得最值等．实例精炼：13. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点，点C 的横坐标为3-，求点B 的坐标.【答案】B （0，-3）．【解析】【分析】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，证明△BCD ≌△ABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBD=∠BAO ，又∵∠BDC ＝∠AOB=90°，BC ＝AB ，∴△BCD ≌△ABO(AAS)，∴OB=CD=3，∴B(0，-3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.14. 如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -【解析】【分析】本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明△BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．【详解】解：作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图所示：则∠CEB =∠AFD =90°，∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，BC =AB ，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE 和△ABO 中，1290CEB BOA BC AB ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∴BE =OA =1，CE =BO =3，同理得：DF =OA =1，AF =BO =3，∴OE =4，OF =4，∴C （-3，4），D （-4，1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ，（1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P的坐标为（1，0）．【解析】【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明CDA≌AEB△，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B M 的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在CDA和AEB△中，ACD BAE ADC BEA CA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDA ≌AEB △（AAS ），∴CD ＝AE ，AD ＝BE ，∵A （2，0）、B （3，3），∴OA ＝2，OE ＝BE ＝3，∴CD ＝AE ＝1，OD ＝AD ﹣OA ＝1，∴C 的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE ⊥x 轴于E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标是（﹣1，1），∴331k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得，1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x +32，当x ＝0时，y ＝32， ∴OM ＝32，∴AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣AOM的面积﹣AEB△的面积＝12×（32+3）×3﹣12×2×32﹣12×1×3＝154；（3）如图，作M关于x轴的对称点M'（0，﹣32），连接B M'，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P M'=B M'的值最小，设直线B M'的解析式为y＝mx+n，则3332m nn+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，3232mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线B M'的解析式为y＝32x﹣32，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标．（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP 交GH 于K，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y xx =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+11）．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，先求出点B 、C 的坐标，结合点A 的坐标，利用待定系数法即可得到答案；（2）把点A 代入，求出n 的值，然后得到点C 和点E 的坐标，然后求出点F 的坐标，设点P 为（x ，233x x -+），由FP EP ⊥，即可求出点P 的横坐标，即可求出点P 的纵坐标；（3）过点P 作PI ⊥GH 于点I ，先求出直线PE 的解析式，得到PK=2PI ，然后设点G 为（m ，243m m -+），表示出GK的长度，结合GK =，得到关于m 的一元二次方程，解方程求出m 的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵3y x =-+经过点B 、点C ，∴令0y =，3x =，令0x =，3y =，∴点B 为（3，0），点C 为（0，3），设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C ，三点代入解析式，得： 09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴243y x x =-+；（2）∵点A （1，0）在抛物线223y x nx =-+图像上，则1230n -+=，∴2n =，∴2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点E 为（2，1-），令x=0，则3y =， ∴点C 为（0，3）， ∵EF 垂直平分CD ，∴点D 的坐标为（4，3），点F 的坐标为（2，3）， ∵点P 在抛物线243y xx =-+上，则设点P 为（x ，243x x -+），又∵E 为（2，1-），F 为（2，3）， ∴2244(2)222EPx x x k x x x -+-===---，24(4)22FP x x x x k x x --==--， ∵FP EP ⊥， ∴1EP FP k k ∙=-， ∴(4)(2)12x x x x --∙=--，解得：2=±x∵点P 在对称轴右侧，则2x >，∴点P 的横坐标为2x =+ ∴点P 的纵坐标为：22243(2)1(22)12y x x x =-+=--=+--=；（3）如图：过点P 作PI ⊥GH 于点I ，∵点E （2，1-），点P 为（2，2），∴可求出直线PE 的解析式为：1y =--， ∴∠KPI=60°， ∵PI ⊥GH ，∴∠KIP=90°，∠PKI=30°， ∴PK=2PI ， ∵点G 在抛物线243y xx =-+图像上，则设点G 为（m ，243m m -+），∴点K 的坐标为（m 1--∴GK=2243144m m m m -+--=-++∵第P 的坐标为（2，2），∴点I 的坐标为（m ，2+），∴PI=2m -，∴PK=24m --∵GK =，∴244(24m m m -++=--，解得：12m =+，22m =当2m =+时，点G 与点P 、点K 重合， ∴0GK PK ==；不符合题意，舍去；∴点G 的横坐标为2+∴点G 的纵坐标为：2(24(2311y =+-⨯++=，∴点G 的坐标为（2+11）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质，运用数形结合的思想进行解题．17. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于AB 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125)【解析】【分析】(1)先求得点A 、B 的坐标，可求得OA 、OB 、AB 的长，利用面积法即可求得OM 的长；(2)先画图，确定△BOP 面积可以BO 为底，P 到y 轴距离为高求得P 到y 轴距离，再分类讨论求得答案；(3)分△OMP ≌△PQO 与△OMP ≌△OQP 两种情况讨论，结合图象分析即可求解．【详解】(1)对于直线334y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则4x =，点A 、B 的坐标分别是(4，0)，(0，3)，∴OA=4，OB=3，5==，∵11••22OA OB AB OM =，∴341255OM ⨯==； (2)过P 作PC ⊥y 轴于C ，如图1，∴12BOPS=OB•PC=6， ∴PC=4，∴点P 的横坐标为4或-4，∵点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合， ∴横坐标为4时，与A 重合，不合题意，∴横坐标为-4时，纵坐标为：()34364-⨯-+=， ∴当点P 坐标为(-4，6)时，△BOP 的面积是6； (3)存在，理由如下：①当△OMP ≌△PQO 时，如图2和图3，由(1)得125OM =， ∴PQ=OM=125，即P 点横坐标为125-或125，纵坐标为：312243455⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭或31263455-⨯+=，此时点P的坐标为(125-，245)，(125，65)；②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，∴OQ=OM=125，即即点P、点Q纵坐标为125-或125，由312345x-+=-，解得：365x=；由312345x-+=，解得：45x=；此时点P的坐标为(365，125-)，(45，125)；综上所述，符合条件的点P的坐标为(125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) ．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了三角形及全等三角形的性质，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分类讨论．18. 如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A ，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出△BOA ∽△COD ，即可得出D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出P 点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD ，M 可在第一象限或第二象限，以及BM=PD 时M 在第三象限分别分析直接得出答案．【详解】(1)∵2680x x +=－ ∴124,2x x ==∵OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ∴OA=2，OB=4,∴ A(0,2)，B(－4,0), (2)∵OA:AC=2:5 ∴ AC=5∴OC=OA+AC=2+5=7 ∴ C(0,7),∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90O ∴∠PBD=∠OCD ∵∠ BOA=∠COD=90O ∴△BOA ∽△COD ∴=∴ OD===,∴D(,0)设直线CD 的解析式为y kx b =+ 把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：7702b kb =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴72b k =⎧⎨=-⎩∴y CD =－2x+7,(3)存在，()02A ，,()40B -，∴设直线AB 的解析式为：y kx b =+240b k b =⎧∴⎨-+=⎩解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故直线AB 的解析式为：122y x =+ 将直线AB 与直线CD 联立12227y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩∴P 点坐标()2,3702D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()40B -， 7.5BD ∴=当1PM BD 是平行四边形则17.5BD PM ==1 5.5AM ∴=()1 5.53M ∴-，当2PBDM 是平行四边形则27.5BD PM ==29.5AM ∴=()29.53M ∴，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为-36BE DF BD DE ==-= 6 3.5 2.5FO ∴=-=∴3M 的横坐标为2.5 ∴3M 的坐标为()2.5,3--综上所述M 点的坐标为：()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，． 19. 【模型建立】（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ；【模型应用】（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB ，角角边证明△CDA ≌△BEC ；（2）证明△ABO ≌∠BCD ，求出点C 的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k=-5，b=-10，待定系数法求出直线l 2的函数表达式为y=-5x-10；（3）构建△MCP ≌△HPD ，由其性质，点D 在直线y=-2x+1求出m=103-或n=0或43-，将m 的值代入，得点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【详解】解：（1）如图1所示：∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ， ∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△CDA 和△BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA ≌△BEC （AAS ）；（2）过点B 作BC ⊥AB 交AC 于点C ，CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，如图2所示：∵CD ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴∠CDB=∠BOA=90°，又∵BC ⊥AB ，∴∠ABC=90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，∴∠ABO+∠CBD=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBD ，又∵∠BAC=45°，∴∠ACB=45°，∴AB=CB ，在△ABO 和∠BCD 中，AOB BDC BAO CBD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌∠BCD （AAS ），∴AO=BD ，BO=CD ，又∵直线l 1：y=32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A 、B 两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），∴AO=2，BO=3，∴BD=2，CD=3，∴点C 的坐标为（-3，5），设l 2的函数表达式为y=kx+b （k≠0），点A 、C 两点在直线l 2上，依题意得：2035k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， ∴510k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线l 2的函数表达式为y=-5x -10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P 为直角时，如图3甲所示：设点P 的坐标为（3，m ），则PB 的长为4+m ，∵∠CPD=90°，CP=PD ，∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，。

三垂直模型与全等综合剖析.docx

K模型图与全等知识点基本图形本题 8 分）如图，在等腰Rt △ABC中，∠ACB=90 °，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，求证：AF＝CF．22 ．边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是 AB 中点，连CE，过 B 作 BF⊥ CE 交 AC 于 F，求AF.D CFHA EB 【例 8】CFEA D B【例 9 】等腰 Rt △ABC 中∠ACB ＝ 90 °，AC=BC ； F 是 BC 上的中点，连AF ，作 CD ⊥ AF 于 E，交 AB 于 D；连 FD. 求证： AD ＝2BD ；【例 3 】已知△ABC 中 ,∠C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点,EP⊥ CB,PF⊥ AC,E、F为垂足 ,CFE求证 :△DEF 是等腰直角三角形.A D P B【例 4 】如图， D 为线段 AB 的中点，在AB 上取异于 D 的点 C，分别以 AC、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与 BCF，连结 DE、 DF、 EF，求证：△ DEF 为等腰直角三角形。

DFEHEAA C D BBFC【例 5 】如图，分别以△ ABC 的边 AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰 Rt △ACE；连接 DE。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点 H ，求证： DE＝ 2AF【例 6 】如图，在正方形ABCD 中，点 N 是 BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥ AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证： AN ＝ MN9、如图，直线AB 交 x 轴正半轴于点 A（a，0），交 y 轴正半轴于点B（0， b），且 a 、b 满足 a 4+ |4 －b|=0（1）求A、B两点的坐标；（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB 于 E，求证∠BDO=∠EDA；yBEFO D A x（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt△PBM ，其中 PB= PM，直线 MA 交 y 轴于点 Q，当点 P 在 x轴上运动时，线段 OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段 OQ 的取值范围.yM BO A PxQ 1024 ．（ 12分）如图， VCOD 等腰直角三角形， CA ⊥ x 轴。

三垂直全等模型

三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词三垂直全等模型一线三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.图 1图 2图 3如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,. 结论:△BCD ≌△CAE .结论的证明:∵DE AE DE BD ⊥⊥, ∴︒=∠=∠90E D ,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠901BCD ∴1∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC E D B 1 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ）.重要推论推论1 如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE +=;图 1证明:由前面可知:△BCD ≌△CAE ∴BD CE AE CD ==, ∵CE CD DE += ∴BD AE DE +=.推论2 如图2所示,BC AC BC AC CD BD CD AE =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE -=.图 2证明:∵CD BD CD AE ⊥⊥, ∴︒=∠=∠9021,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠903BCD ∴3∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC B 213 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ） ∴AE CD CE BD ==, ∵CE CD DE -= ∴BD AE DE -=.说明三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等. 模型举例例1. 如图,直线l 上有三个正方形c b a ,,,若c a ,的面积分别是5和11,则b 的面积是_________.l cba IH JFEBADCGlcba IHJFEBADCG分析三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG ≌△GJF . ∴JF CG =由题意可得:11,522====JF S BC S c a ∴112=CG在Rt △BCG 中,由勾股定理得:16115222=+=+==CG BC BG S b . ∴b 的面积是16.例2. 如图1所示,已知在△ABC 中,︒=∠90BAC ,AC AB =,点P 为BC 上一动点（CP BP <）,分别过点B 、C 作AP BE ⊥于点E ,AP CF ⊥于点F . （1）求证:BE CF EF -=;（2）如图2,若点P 为BC 延长线上一点,其他条件不变,则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.图 1图 2PCBA（1）证明:∵AP BE ⊥,AP CF ⊥ ∴︒=∠=∠901E ,︒=∠+∠903CAE ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠902CAE ∴32∠=∠在△ABE 和△CAF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB E 321 ∴△ABE ≌△CAF （AAS ） ∴CF AE AF BE ==, ∵AF AE EF -= ∴BE CF EF -=;（2）如图3所示.图 3BE CF EF +=.提示:关键在于证明△ABE ≌△CAF .例3. 如图,在△ABC 中,BC AC ACB =︒=∠,90,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .（1）当直线绕点C 旋转到图1的位置时,求证: ①△ADC ≌△CEB ;②BE AD DE +=;（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证:BE AD DE -=;（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,请直接写出DE 、AD 、BE 之间的数量关系.图 1图 2图 3图 1（1）证明:①∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠9021∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠904ACD ∵︒=∠+∠903ACD ∴43∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC 4321 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）; ②∵△ADC ≌△CEB ∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE += ∴BE AD DE +=;图 2（2）∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠90CEB ADC ∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠902ACD ∵︒=∠+∠901ACD ∴21∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC CEB ADC 21 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE -= ∴BE AD DE -=; （3）AD BE DE -=.提示:仍然是证明△ADC ≌△CEB .图 3例4.（1）如图1所示,已知在△ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90,直线m 经过点A ,m BD ⊥于点D ,m CE ⊥于点E ,求证:CE BD DE +=;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC 中,AC AB =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,且有α=∠=∠=∠BAC AEC BDA ,其中α为任意锐角或钝角,请问结论CE BD DE +=是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.m 图 1EDCBA m图 2ECD A B（1）证明:∵m BD ⊥,m CE ⊥ ∴︒=∠=∠9021∴︒=∠+∠903BAD ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠904BAD ∴43∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB 4321 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴CE AD AE BD ==, ∵AE AD DE += ∴BD CE DE +=;（2）成立. 理由如下:∵︒=∠+∠+∠1801BAD BDA ∴α-︒=∠+∠1801BAD ∵︒=∠+∠+∠1802BAD BAC ∴α-︒=∠+∠1802BAD ∴21∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB AEC BDA 21 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴AE BD CE AD ==,∵AE=ADDE+∴BDCE=.DE+点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.。

初中数学模型3-一线三垂直模型构造全等三角形

例6
如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE =2，矩形的周长为16，则AE的长是（）
解析： ∵矩形ABCD中，EF⊥EC, ∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90° ∴∠AEF=∠DCE, 又∵EF=EC ∴△AEF≌△DCE（AAS） ∴AE=CD ∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16， ∴CD+AD=8 ∴AD-2+AD=8 AD=5 ∴AE=AD-DE=5-2=3.
例4
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、 BE的交点，已知CD=4 ，AF=2，则线段BC的长为（）
解析: ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB=90° ∵∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴∠ABC=∠BAD ∴AD=BD ∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD ∴∠AFE=∠C 在△BDF和△ADC中 ∠CAD=∠FBD
AD=BD ∠BDF=∠ADC ∴△BDF≌△ADC（ASA） ∴DF=CD=4 ∴AD=AF +DF=2+4=6=BD ∴BC=BD+CD=6+4=10
例5
如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）
解析： ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90° ∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE ∴∠ABF=∠DAE 在△AFB和△AED中 ∠ABF=∠DAE,∠ AFB=∠AED,AB=AD ∴△AFB≌△AED ∴AF=DE=4，BF=AE=3 ∴EF=AF+AE=4+3=7

三角形全等-三垂直模型数学模型初几学

三角形全等-三垂直模型数学模型初几学三角形全等-三垂直模型是初中数学中的一个重要概念，它是指当两个三角形的对应边长相等，并且其中一个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角时，这两个三角形全等。

在三角形全等-三垂直模型中，我们主要关注三角形的垂直关系，通过垂直关系的运用，可以解决许多与三角形全等相关的问题。

我们来了解一下什么是垂直。

在数学中，两条线段或者两个平面相互垂直，是指它们的交角为90度，也就是直角。

在三角形中，如果一个线段与另一个线段垂直，我们可以称它们为三角形的垂直线段。

在三角形全等-三垂直模型中，我们主要关注三个垂直关系：高线垂直于底边、角平分线垂直于底边以及中线垂直于底边。

我们来看高线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条垂直于底边的线段，那么这条线段与底边垂直。

而当两个三角形的底边相等，并且高线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

接下来，我们来看角平分线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条角平分线，那么这条角平分线与底边垂直。

当两个三角形的底边相等，并且角平分线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

我们来看中线垂直于底边的情况。

在一个三角形中，如果从顶点引一条中线，那么这条中线与底边垂直。

当两个三角形的底边相等，并且中线相等时，我们可以得出这两个三角形全等。

通过三角形全等-三垂直模型，我们可以解决许多与三角形全等相关的问题。

例如，我们可以利用垂直关系求解三角形的边长、角度等未知量。

同时，我们也可以利用三角形的全等性质来证明一些三角形的性质或者其他几何定理。

三角形全等-三垂直模型是初中数学中的一个重要概念，它通过垂直关系的运用，帮助我们解决与三角形全等相关的问题。

在实际应用中，我们可以利用这个模型来解决一些几何问题，同时也可以通过证明来深入理解三角形的性质和几何定理。

通过不断练习和探索，我们可以更好地掌握三角形全等-三垂直模型，并在数学中取得更好的成绩。

三垂直模型与全等综合剖析

FEC F E DCB A K 模型图与全等知识点基本图形本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD ⊥CF ；（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，交AB 于D ；连FD. 求证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.H A B DCE FFED C BAH F ED C B A【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形。

【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 向外作等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACE ；连接DE 。

AF 是△ABC 的中线，FA 的延长线交DE 于点H ，求证：DE ＝2AF【例6】如图，在正方形ABCD 中，点N 是BC 边上的点。

连接AN ，MN ⊥AN 交∠DCB 的外角平分线于点M 。

求证：AN ＝MN9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0（1）求A 、B 两点的坐标；（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，A BO D EFy x其中PB =PM ，直线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.10ABO MPQxyEDCB AOxyDCB AOxy P24．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴。

三垂直全等问题

在解决几何问题中，“一线三等角，K形全等”的基本图形常常出现，我们称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决复杂几何数学题。

“三垂直模型”的一般形式：这是最基础的“三垂直模型”，在同一直线上有三个直角，即∠D=∠ACB=∠E，且BC=AC，那么可以通过“AAS”或“AAS”判定两个三角形全等。

两个三角形已经满足两个条件，加上∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACE=90°，所以得到∠B=∠ACE，那么通过“AAS”得到△BDC≌△CEA。

其它“三垂直模型”：证明的方法与上面类似，通过直角三角形两个锐角互余，得到两个角相等，从而证明两个三角形全等。

例题1：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=5cm，BD=2cm，求DE的长分析：看到等腰直角三角形，我们应该可以想到很多结论，比如“三线合一”，比如在等腰直角三角形的斜边中点处构造直角与两腰相交，会得到一个新的等腰直角三角形等等。

并且，等腰直角三角形满足一个角为直角，且两条腰相等，因此我们也常构造“三垂直”模型，过顶点的一条直线绕着顶点旋转，过两个底角顶点做该直线的垂线，可以构造出“三垂直模型”，有“内K图”，也有“外K 图”。

本题可根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，CE=BD=2cm，由此即可解决问题。

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题。

例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE，连接CE，求CE的长分析：延长AC，过E作EF⊥AF，垂足为F，由ABDE为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，AE=AB，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形AEF与三角形ABC全等，利用全等三角形的对应边相等得到EF=AC=6，AF=BC=8，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键。

三垂直模型与全等综合

D P FE BCA K 模型图与齐等之阳早格格创做知识面基原图形原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ．22．边少为1的正圆形ABCD 中，E 是AB 中面，连CE ，过B 做BF ⊥CE 接AC 于F ，供AF.【例8】【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC上的中面，连AF ，做CD ⊥AF 于E ，接AB 于D ；连FD.供证：AD ＝2BD ；【例3】已知△ABC 中,∠C=90,AC=BC,D 是AB 的中面,E 是BC 上任一面,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、F 为垂脚, 供证:△DEF 是等腰直角三角形.【例4】如图，D 为线段AB 的中面，正在AB 上与同于D的面C ，分别以AC 、BC 为斜边正在AB 共侧做等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，供证：△DEF 为等腰直角三角形.【例5】如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 背中做等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；对接DE.AF是△ABC的中线，FA的延少线接DE于面H，供证：DE＝2AF【例6】如图，正在正圆形ABCD中，面N是BC边上的面.对接AN，MN⊥AN接∠DCB的中角仄分线于面M.供证：AN＝MN9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.1024．（12分）如图，COD 等腰直角三角形，CA ⊥x 轴.⑴若面C 的坐标是（—2，—4），供D 面的坐标.（4分） ⑵连结CD ，面E 为CD 的中面，供证：AE ⊥BE ；（4分） ⑶如图，面P 是y 轴正半轴是一面，OP=AB ，当面A 、B 正在x 轴上疏通时，∠APB+∠CPD 的值是可爆收变更？若并证明缘由.（4分）“K”为过二顶面做该直线垂线. 例：已知等腰RT △ABC 中，过面A △ABE ≌△CAF衍死：仄里直角坐标系中A （1,3），以OA 为边做正圆形OABC ，供B 、C 坐标.变式：仄里直角坐标系中，面A （4,1），过面O 做一条直线与OA 夹角为45°，供该直线剖析式.衍伸：仄里直角坐标系中直线3:2OA l y x =与单直线k y x=接于面A ，以OA 为边做等腰RT △OAB ，面B 刚刚佳降正在单直线上.供k.原题8分）如图，正在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中面，DE ⊥AB ，垂脚为E ，过面B 做BF ∥AC 接DE 的延少线于面F ，对接CF ．（1）供证：AD ⊥CF ；（2）对接AF ，供证：AF ＝CF ． ABC 的直角顶面C 正在x 轴上，面B 正在y 轴上.（1）如图1，若面C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），供面B 的坐标.（2）如图2，直角边BC 正在坐标轴上疏通，使面A 正在第四象限内，过面A 做AD ⊥y 轴于D ，供CO AD BO -的值. 八年级数教每日一题（041-045）P —041如图，如图，正在仄里直角坐标系中，面A 战面B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 谦脚330a b -+=.（1）供面A 、面B 的坐标；（2）面C 是第三象限内一面，以BC 为直角边做等腰直角D yx A O C B O C B A△BCD，∠BCD=90º，过面A战面D分别做直线CO的垂线，垂脚分别是面E、F.试问线段AE、DF、CO之间是可存留某种决定的数量闭系？为什么？P—042 如图，正在仄里直角坐标系中，面A、面C分别正在y轴的正半轴战背半轴上，面B正在x轴正半轴上，∠ABC=90º.面E正在BC延少线上，过面E做ED∥AB，接y轴于面D，接x轴于面F，DO–AO=2CO.（1）供证：AB=DE；（2）若AB=2BC，供证：EF=EC；（3）正在（2）的条件下，若面B的坐标是（2，0），供面E 的坐标.9、如图，直线AB接x轴正半轴于面A（a，0），接y 轴正半轴于面B（0，b），且a 、b谦脚4 a+ |4－b|=0（1）供A、B二面的坐标；（2）D为OA的中面，对接BD，过面O做OE⊥BD于F，接AB于E，供证∠BDO=∠EDA；（3）如图，P为x轴上A面左侧任性一面，以BP为边做等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA接y 轴于面Q，当面P正在x轴上疏通时，线段OQ的少是可爆收变更？若没有变，供其值；若变更，供线段OQ的与值范畴.10如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．如图，正在仄里直角坐标系xoy中，直线AP接x轴于面P （p，0），接y轴于面A（0，a），且a、b谦脚＋(p＋1)2＝0．（1）供直线AP的剖析式；（2）如图1，面P 闭于y轴的对于称面为Q，R（0，2），面S正在直线AQ上，且SR=SA，供直线RS的剖析式战面S的坐标；（3）如图2，面B（-2，b）为直线AP上一面，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC，面C正在第一象限，D为线段OP上一动面，对接DC，以DC为直角边，面D为直角顶面做等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂脚，下列论断：①2DP+EF的值没有变；②AO−EF的值没有变；其中惟有一个论断精确，请您采用出精确的论断，并供出其定值．。