(完整版)三垂直模型与全等综合剖析

D

P

F

E

B

C A

F E C

B A K 模型图与全等

知识点 基本图形

本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；

（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．

22．边长为1的正方形ABCD 中，E 是AB 中点，连CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ，求AF.

【例8】

【例9】等腰Rt △ABC 中 ∠ACB ＝90°，AC=BC ；F 是BC 上的中点，连AF ，作CD ⊥AF 于E ，

交AB 于D ； 连FD. 求证：AD ＝2BD ；

【例3】已知△ABC 中,∠C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP ⊥CB,PF ⊥AC,E 、

F 为垂足, 求证:△DEF 是等腰直角三角形.

H B C

F

F

E

D

C B

A

H

F

E

D

C

B

A

【例4】如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三

角形。

【例5】如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACE；连接DE。AF

是△ABC的中线，

FA的延长线交DE于点H，求证：DE＝2AF

【例6】如图，在正方形ABCD中，点N是BC边上的点。连接AN，MN⊥AN交∠DCB的外角平

分线于点M。

求证：AN＝MN

9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点

B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，

求证∠BDO =∠EDA ；

（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM

，

其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围.

10

A

B

O

M

P

Q

x y

24．（12分）如图，COD

V等腰直角三角形，CA⊥x轴。

⑴若点C的坐标是（—2，—4），求D点的坐标。（4分）

⑵连结CD，点E为CD的中点，求证：AE⊥BE；（4分）

⑶如图，点P是y轴正半轴是一点，OP=AB，当点A、B在x轴上运动时，∠APB+∠CPD的值是否发生变化？若变化，请你指出其变化范围，若不变化，请你求出其值，并说明理由.（4分）

“K”字型：等腰直角三角形的顶点处发出一条直线，辅助线为过两顶点作该直线垂线。例：已知等腰RT△ABC中，过点A作直线。结论：△ABE≌△CAF

F

E

A

B

F

E

C

A

B

衍生：平面直角坐标系中A （1,3），以OA 为边作正方形OABC ，求B 、C 坐标。

C

B

O

x

y

A

变式：平面直角坐标系中，点A （4,1），过点O 作一条直线与OA 夹角为45°，求该直线解析式。

O x

y

A

衍伸：平面直角坐标系中直线3

:2

OA l y x =

与双曲线k y x =交于点A ，以OA 为边作等腰RT

△OAB ，点B 刚好落在双曲线上。求k 。

x

y

B

o

A

本题8分）如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，

过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． （1）求证：AD ⊥CF ；

（2）连接AF ，求证：AF ＝CF ．

5.已知等腰Rt ABC V 的直角顶点C 在x 轴上，点B 在y 轴上。

（1）如图1，若点C 的坐标为（2,0），A 的坐标为（-2，-2），求点B 的坐标。

（2）如图2，直角边BC 在坐标轴上运动，使点A 在第四象限内，过点A 作AD ⊥y 轴于D ，求

CO AD

BO

-的值。

八年级数学每日一题（041-045）

P —041如图，如图，在平面直角坐标系中，点A 和点B 的坐标分别是A （0，a ），B （b ，0），且a 、b 330a b -+=.

（1）求点A 、点B 的坐标；

（2）点C 是第三象限内一点，以BC 为直角边作等腰直角△BCD ，∠BCD=90º，过点A 和

D

y x

A

O

C B O

C

B

A

点D分别作直线CO的垂线，垂足分别是点E、F.试问线段AE、DF、CO之间是否存在某种确定的数量关系？为什么？

P—042 如图，在平面直角坐标系中，点A、点C分别在y轴的正半轴和负半轴上，点B在x轴正半轴上，∠ABC=90º.点E在BC延长线上，过点E作ED∥AB，交y轴于点D，交x 轴于点F，DO–AO=2CO.

（1）求证：AB=DE；

（2）若AB=2BC，求证：EF=EC；

.

（3）在（2）的条件下，若点B的坐标是（2，0），求点E的坐标