《平行四边形》三角形的中位线

合集下载

八年级数学下册第六章平行四边形3三角形的中位线三角形中位线定理知

三角形中位线定理制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

【学习目的】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：〔1〕三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.12，每个小三角形的面积为原三角形面积的1 4.〔3〕三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1.如图，P、R分别是长方形ABCD的边BC.CD上的点，E.F分别是PA.PR的中点，点P在BC上从B向C 挪动，点R不动，那么以下结论成立的是〔〕A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E.F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 那么12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE.CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，那么四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE.CF是中线，∴E.F分别是AC.AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF ∥BC 且EF=21BC ，∵M 、N 分别是BO 、CO 中点，∴MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC 且MN=21BC ，∴EF ∥MN 且EF=MN ，∴四边形MNEF 是平行四边形．2.如图，△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔〕A ．2B ．3 C.52 D ．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠EDC ＝∠ABC ，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF ＝DB ，进而求出DF 的长．【答案解析】解：在△ABC 中，D.E 分别是BC.AC 的中点∴DE ∥AB∴∠EDC ＝∠ABC∵BF 平分∠ABC∴∠EDC ＝2∠FBD在△BDF 中，∠EDC ＝∠FBD ＋∠BFD∴∠DBF ＝∠DFB∴FD ＝BD ＝12BC ＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．3.如下图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】此题中所求线段MD 与线段AB.AC 之间没有什么联络，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一〞构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，∵ D.M分别为BN、BC的中点，∴ DM＝12CN＝162＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一〞、三角形的中线、中位线等联络起来，进展联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【答案】证明：延长AN、AM分别交BC于点D.G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．4.〔1〕如图1，在四边形ABCD中，E.F分别是BC.AD的中点，连接EF并延长，分别与BA.CD的延长线交于点M、N，那么∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．〔提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线〕〔2〕如图2，在△ABC 中，且O 是BC 边的中点，D 是AC 边上一点，E 是AD 的中点，直线OE 交BA 的延长线于点G ，假设AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE 的长度．【思路点拨】〔1〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ，证明出EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，证出HE=HF ，进而证出AB=CD ；〔2〕连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，证明出EH=OH ，可证明证出△OEH 是等边三角形，进而求出OE=25．【答案与解析】〔1〕证明：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、FH ．∵E.F 分别是BC.AD 的中点，∴EH ∥AB ，EH=21AB ，FH ∥CD ，FH=21CD ，∵∠BME=∠CNE ，∴HE=HF ，∴AB=CD ；〔2〕解：连结BD ，取DB 的中点H ，连结EH 、OH ，∵AB=CD ，∴HO=HE ，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH 是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=25．【总结升华】此题考察了三角形的中位线定理、全等三角形的断定与性质，解答此题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB ∥CD ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，假设AB=5，CD=3，那么EF 的长是〔〕A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD ∥AB ，∴∠C=∠A ，∠CDE=∠AHE ，∵E 是AC 中点，∴AE=CE ，∴△DCE ≌△HAE ，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．制卷人：打自企；成别使；而都那。

平行四边形--三角形的中位线定理

18.1.2(3.1)--三角形的中位线定理一．【知识要点】1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

二．【经典例题】1．如图3，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF= °．2.如图，点分别是三边上的中点．若的面积为12，则的面积为．3.如图，E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 四边的中点，试判断四边形EFGH 的形状并予以证明。

4.如图，点P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD=BC ，∠CBD=45°，∠ADB=105°，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明。

D E F ，，ABC △ABC △DEF△5.如图，∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，点E在BC上，CD=CE，点P，M，N分别为AB，AD，BE 的中点，试探究:PM与PN之间的数量关系和位置关系.6.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．8B．7C．6D．57．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接DC，点M，P，F分别为DE，DC，BC的中点，△ADE可以绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，则△PMF的面积S的变化范围是．三．【题库】【A】1.在ABCD中，点O是对角线AC.BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=______________．2．如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离= ．3.如图，A.B两点被池塘隔开，在AB外选一点C ，连结AC 和BC，并分别找出AC 和BC的中点M.N，如果测得MN=20 m，那么 A.B两点的距离是，依据是．4.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.【B】1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，AB CDO E交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长为．3．如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（） A. 2 B. 3 C.25D. 4 4.已知：三角形的各边分别为8cm ,10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长_____. 5. 如图，ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为．【C 】1.如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（） A ．17B ．16C ．15D ．142．如图，在矩形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、DC 上的点，E 、F 分别是AP 、PQ 的中点．BC =12，第24题图FE DCBADQ =5，在点P 从B 移动到C （点Q 不动）的过程中，则下列结论正确的是 ( )A. 线段EF 的长逐渐增大,最大值是13B. 线段EF 的长逐渐减小，最小值是6.5C. 线段EF 的长始终是6.5D. 线段EF 的长先增大再减小，且6.5≤EF ≤133.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠C ＝60°，∠ABD ＝30°AE ⊥BD 于点E ，F 是CD 的中点. 求证：四边形AEFD 是平行四边形.3.如图①，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4cm ，E ，F ，G 分别是AB ，AA 1，AD 的中点，截面EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体（如图②），则图②中阴影部分的面积为 cm 2．4.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交于点E ，F ，现给出一下四个结论：①AE ＝CF ，②△EPF 是等腰直角三角形，③S 四边形AEPF＝，④当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时始终有EF ＝AP （点E 不与A 、B 重合），上述结论中是正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【D 】1.已知,在平行四边形ABCD 中,连接对角线AC , ∠CAD 的平分线AF 交CD 于点F ，∠ACD 平分线CG 交AD 于点G, AF.CG 交于点O,点E 为BC 上一点,且 ∠BAE=∠GCD, （12分） (1)如图1,若△ACD 是等边三角形,OC=2 ,求平行四边形ABCD 的面积; (2)如图2,若△ACD 是等腰直角三角形∠CAD=90O, ,求证：CE + 2 OF = AC:2.（绵阳2018年第18题）如图，在△ABC 中，3=AC ，4=BC ,若AC ，BC 边上的中线BE ，垂直相交于O 点，则=AB __________。

人教版数学八年级下册18.1.2 第3课时三角形的中位线

则△ DEF的周长为 15 . A
D F
B
E
C
随堂即练
4.在△ABC中，E、F、G、H 分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 11 . A
E
H
D FG
C
B
随堂即练
5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD的延长线交AC 于点F，E为BC的中点，求DE的长．
AB=CD, AD=BC
AB∥CD, AD=BC
角：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
对角线：AO=CO,DO=BO
A
D
O
B
C
新课引入
思考如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.
D
E
B
F
C
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连结三角形两边中点的线段. 中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.
新课讲解
问题3 如图，DE是△ABC的中位线，
DE与BC有怎样的关系？
D
分猜析想
B 两DE条与线BC段的的关关系系
A E C
位DE置∥关B系C D数E量？关12 B系C
问题4 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。

平行四边形(3)三角形的中位线及性质(北师大)

回顾
思考
三角形中位线的性质
驶向胜利的彼岸
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三 A 边的一半. 1 ∴DE∥BC, DE BC . D ∵DE是△ABC的中位线, E 2 这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点所 B A C E 成的四边形是平行四边形. B 要重视这个模型的证明过程反映出来的 H 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 F 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 D C 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决 G 定了各中点所成四边形的形状.
探索拓展
P85习题3.3 3题.
驶向胜利的彼岸
.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边 AB,CD,AC,BD的中点. 求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
G
F H E
C
A
B
;
/ 百叶玻璃隔断墙
qsz84nts
地喝完了，这客人还是安详地坐在那里。耿直又给他换了一壶热茶，说：“您不忙，就喝着茶，多歇息一会儿吧！”然后，耿直迅速转到后边的厨房，把这个情况告诉了哥哥和姐姐。他俩也感到这事儿实在是有些奇怪呢。耿英有些不安地说：“莫不是来找麻烦的吧！”耿正说：“你先别着急，继续做饭炒菜，我去和他攀谈几句，咱们见机行事也就是了！”又对弟弟说：“你去招待其他客人，这个人交给我吧！”说着，他放下手里的活计，解了围裙擦把手出来，看到这个中年汉子还坐在柜台一侧的饭桌前安详地喝茶呢。不过，看他的面目和表情，却也并不像是一个不良的人。再将店内店外观察一番，发现饭店门外的泡桐树上拴了一挂骡车。此时已经过午，来吃饭的人大多已经吃罢走了，剩下的几个都是本镇上经常来光顾的老顾客了，并没有一个外地人。因此耿正估计，这挂骡车应该就是此人赶来的了。想到这里，他大大方方地来到这个饭桌前，对这个汉子点点头，然后也坐了下来，轻轻地问他：“客官贵姓？何方发财？请问门外的那挂骡拉板车是您的吗？”这个中年汉子笑了，说：“看来，您就是这个饭店的掌柜的了吧？我免贵姓李，名山人，从杭州来。此趟来景德镇，是给东大街上的‘正大百货铺’送丝绸的。今儿个上午刚刚交完货，门外的那挂骡拉板车是我的。说实话，我是奔您饭店招牌上的‘南北’二字进来的！听您和那位小哥的口音，你们不是本地人，倒很像是我的老乡呢！”耿正忍不住一阵惊喜，心想，来景德镇已经三年多了，还一直没有遇到一个老乡，听不到乡音，更没有办法给娘稍书信回去。眼前这位面带善容，且真带有一些乡音，也自称老乡的人，莫非是天上掉下来的不成！惊喜之余，耿正也笑了，说：“我们这个小饭店是兄妹三人开的，我们姓耿，我是哥哥。您说得对，我们不是本地人。我听您这口音也挺顺耳的呢！请问您的老家在哪里啊？” 经过攀谈以后得知，这姓李的中年汉子的老家在山西稷山，十几岁上随母亲来到杭州，与在那里做小本生意的父亲团聚。父亲所以给他起‘山人’这个名字，就要他记住，自己是山西稷山人氏。当年，父亲在杭州一直都是做一些小本生意维持一家人的生计。但到了他这一辈上，看到做那些个小本生意不但很繁琐，而且也赚不得大钱，就开始改做丝绸远途货运生意了。他之前也经常来景德镇送货的，但每一次都是从镇东的大道进来，送了货之后就原路返回了。今日送完货后看看天色尚早，加上春光明媚气温宜人，感觉心情特别好，就想着在这景德镇上到处走走看看，却是惊喜地发现了“南北小饭庄”。也正是这个招牌上的“南北”二字勾起了他无限的思乡之情。耿正听了很高兴，起身给这个李老乡再倒上一杯热茶，说：“我们兄妹三个开这

18.1.2平行四边形的判定-三角形中位线(教案)

首先，关于导入新课的部分，我通过提问方式引导学生回顾三角形中位线的定义，希望以此激发他们的学习兴趣。但从课堂反馈来看，部分学生对这个问题显得有些迷茫，可能是因为他们对中位线的概念还不够熟悉。在以后的教学中，我需要更加注重对学生基础知识掌握情况的了解，以便更好地设计导入环节。
其次，在新课讲授环节，我尝试用理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式，帮助学生理解三角形中位线与平行四边形之间的关系。但在这个过程中，我发现有些学生在分析案例时仍然存在困难。这可能是因为我讲解得不够透彻，或者课堂实践环节还不够充分。针对这个问题，我打算在接下来的课程中增加一些互动环节，让学生更多地参与到课堂实践中来，以提高他们的理解和应用能力。
举例：通过绘制具体图形，让学生观察并理解三角形中位线的定义；讲解如何利用中位线判定平行四边形，强调步骤和条件；设计实际情境题，让学生将所学知识应用于解决具体问题。
2.教学难点
-难点内容：三角形中位线判定平行四边形的逻辑推理过程，以及在实际问题中的应用。
-难点突破方法：
a.使用直观教具，如模型、图形等，帮助学生形成直观认识。
4.培养学生的合作交流意识：通过小组合作、讨论交流等形式，促进学生分享观点，提高合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：三角形中位线的性质及其与平行四边形的关系。
-重点细节：
a.理解并掌握三角形中位线的定义。
b.学会运用三角形中位线判定平行四边形。
c.掌握三角形中位线与平行四边形之间的关系，并能应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究三角形中位线性质，使学生能够运用逻辑推理，理解并掌握平行四边形的判定方法。
2.提升学生的空间想象力：借助实物模型、图形绘制等手段，帮助学生形成对三角形中位线和平行四边形的空间想象，培养空间思维能力。

平行四边形的判定3三角形中位线定理

平行四边形的判定(3)三角形中位线定理杜兴成一．教材分析1．地位和作用：本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。

它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它对拓展学生的思维有着积极的意义。

2.教材处理：课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理方法提出，学生接受起来会感觉突然、生硬。

我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识联系生活实际，更容易为学生接受和认可。

在定理证明中，由于时间和学生水平等多种因素，因此只讲解了一种证法。

3.重点和难点：重点是：三角形中位线定理及其应用；【设计意图】；三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点难点是：三角形中位线定理中辅助线的添加。

二.教学目标：1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．重点掌握并运用三角形中位线的性质解决问题．难点三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法)三．教法和学法教法：采用实验观察、探究归纳、理论证明、巩固深化的四段教学法，在多媒体的辅助下突破常规模式，让学生在活动、探索、和谐的教学中获取新知识，开发学生的创造性思维，达到教学目标。

学法：让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。

四．教学过程（一）创设情景，兴趣导学如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.如果能测量出MN的长度，也就能知道AB 的距离了。

八年级数学下册第十八章平行四边形平行四边形平行四边形的判定三三角形的中位线教案新人教

18.1.2（三）平行四边形的判定——三角形的中位线一、教学目的：1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、例题的意图分析例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具．四、课堂引入1．平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2．你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．）3．创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE ∥BC且DE=BC．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵ AH=HD，CG=GD，∴ HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴ HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．六、课堂练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．七、课后练习1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC 的周长是 cm．3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．下列各式：2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1m （x+y ）中，是分式的共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】3x x +，a b a b +-，()1x y m +分母中含有字母，因此是分式； 2a b-，5yπ+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．故分式有3个．故选C ．【点睛】本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式． 2．已知 21x y =⎧⎨=⎩是方程组 1,{ 5.ax by x by -=+=的解，则a 、b 的值分别为（）A ．2 , 7B ．－1 , 3C ．2 , 3D ．－1 , 7【答案】C 【解析】把 2{1x y ==代入方程组 1,{5.ax by x by -=+=，得 21,{2 5.a b b -=+=，解得2{3a b ==. 故选C.3 ） A ．﹣3 B ．3或﹣3C ．9D ．3【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，(0)(0)a a a a ⎧=⎨-<⎩．|3|3=-=．故选D ．【点睛】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式2a 化简规律：当a ≥0时，2a ＝a ；当a ≤0时，2a ＝﹣a ． 4．如图，在44⨯的正方形网格中，123∠∠∠，，的大小关系是（）A ．123∠>∠>∠B ．123∠=∠>∠C ．123∠<∠=∠D ．123∠=∠=∠【答案】B【分析】利用“边角边”证明△ABG 和△CDH 全等，根据全等三角形对应角相等求出∠ABG=∠DCH ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠CBG=∠BCH ，从而得到∠1=∠2，同理求出∠DCH=∠CDM ，结合图形判断出∠BCH>∠EDM ，从而得到∠2>∠3，即可得解．【详解】解：如图，∵BG=CH ，AG=DH ，∠AGB=∠CHD=90°， ∴△ABG ≌△CDH ， ∴∠ABG=∠DCH ， ∵BG//CH ， ∴∠CBG=∠BCH ， ∴∠1=∠2，同理可得：∠DCH=∠CDM ，但∠BCH>∠EDM ， ∴∠2>∠3， ∴∠1=∠2>∠3，故选B ．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定和性质；把∠1、∠2、∠3拆成两个角，能利用全等三角形和平行线得出相关角相等，是解题关键．5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A．352294x yx y+=⎧⎨+=⎩B．354294x yx y+=⎧⎨+=⎩C．354494x yx y+=⎧⎨+=⎩D．352494x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为：35 2494x yx y+=⎧⎨+=⎩，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示大长方形面积的多项式：①（2a + b）(m + n)；②2a(m + n)+b(m + n)；③m(2a+ b)+n(2a + b)；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的有（）A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【答案】D【分析】①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，利用长方形的面积公式，表示即可；②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，表示即可；③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，表示即可；④长方形的面积由6个长方形的面积之和，表示即可．【详解】①（2a+b）（m+n），本选项正确；②2a（m+n）+b（m+n），本选项正确；③m（2a+b）+n（2a+b），本选项正确；④2am+2an+bm+bn，本选项正确，则正确的有①②③④．故选D ．【点睛】此题考查了整式乘法，灵活计算面积是解本题的关键． 7．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（） A ．m+2＞n+2 B ．2m ＞2nC ．＞D ．m 2＞n 2【答案】D【解析】试题分析：A 、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确； B 、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B 正确； C 、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C 正确；D 、当0＞m ＞n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D 错误；故选D ．【考点】不等式的性质．8．用反证法证明命题：“在△ABC 中，∠A 、∠B 对边分别是a 、b ，若∠A>∠B ，则a>b”时第一步应假设（）． A ．a < b B ．a = bC ．a ≥ bD ．a ≤ b【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【详解】解：用反证法证明，“在ABC 中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则.a b >” 第一步应假设a b ≤，故选：D. 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9．将100个数据分成①-⑧组，如下表所示：组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数4812241873那么第④组的频率为（） A ．0.24 B ．0.26 C ．24 D ．26【答案】A【分析】先根据数据总数和表格中的数据，可以计算得到第④组的频数；再根据频率＝频数÷总数进行计算．【详解】解：根据表格中的数据，得第④组的频数为100−（4＋8＋12＋1＋18＋7＋3）＝1，所以其频率为1÷100＝0.1．故选：A ．【点睛】本题考查频数、频率的计算方法．用到的知识点：各组的频数之和等于数据总数；频率＝频数÷总数． 10．若方程322133x mxx x-++=---无解，则m 的值为（） A ．-1 B ．-1或53- C ．3 D ．-1或3【答案】B【分析】将分式方程化为整式方程后，分析无解的情况，求得m 值．【详解】方程两边乘最简公分母3x -后，合并同类项，整理方程得()12m x +=-，若原分式方程无解，则10m +=或3x =，解得1m =-或53-．【点睛】本题考查分式方程无解的两种情况，即：1.解为增根．2.整式方程无解二、填空题11．在实数范围内，使得3x +有意义的x 的取值范围为______．【答案】3x ≥-【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：在实数范围内，使得3x +有意义，则1+x≥0，解得：x≥-1．故答案为：x≥-1．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．12．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于【答案】6【解析】试题分析：由全等可知：AH ＝DE ，AE ＝AH ＋HE ，由直角三角形可得：222AE DE AB +=，代入可得.考点：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等 13．若2·8n ·16n ＝222，求n 的值等于_______．【答案】1【分析】将8和16分别看成342,2 代入，然后再根据同底数幂的运算法则运算即可求解．【详解】解：由题意可知：34222(2)(2)2nn ，即：1342222n n，∴172222n ，∴1722n，解得：3n =，故答案为：1．【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的运算法则，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．14．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =且//AD BC ，8AB =，5AD =，AE 平分DAB ∠交BC 的延长线于F 点，则CF =_________．【答案】3 ；【分析】由//AD BC ，AE 平分DAB ∠，得到∠EAB=∠F ，则AB=BF=8，然后即可求出CF 的长度. 【详解】解：∵//AD BC ， ∴∠DAE=∠F ， ∵AE 平分DAB ∠， ∴∠DAE=∠EAB ， ∴∠EAB=∠F ， ∴AB=BF=8，∵5AD BC ==，∴853CF CF BC =-=-=；故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及等角对等边，解题的关键是熟练掌握所学的性质，得到AB=BF.15．一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 是常数）的图像如图所示．则关于x 的方程4kx b +=的解是_______．【答案】x=1【分析】根据一次函数y=kx+b 与y=4轴的交点横坐标即为对应方程的解．【详解】∵一次函数y=kx+b 与y=4的交点坐标是（1，4）， ∴关于x 的方程kx+b=4的解是：x=1 故答案为x=1．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解两条直线交点的横坐标即为对应方程的解是解答本题的关键．16．如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3，0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为______．【答案】（323【解析】解：作N 关于OA 的对称点N′，连接N′M 交OA 于P ，则此时，PM+PN 最小，∵OA 垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON=3，∵点M 是ON 的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P （3232）．故答案为：（32，3）．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．17．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B 运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．【答案】1或83．【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得x值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出x值【详解】当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝1．当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝41.5＝83故答案为1或83．【点睛】本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算三、解答题18．解方程组（1）212x y y x -=⎧-=⎨⎩（2）()12513xy x y⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩【答案】（1）{35x y ==；（2）2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】（1）先用①+②算出x,再带入求y 即可；（2）先用②×2-①算出x,再带入求y 即可.【详解】（1）212x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①+②，得x=3，把x=3代入②得：y-3=2，解得：y=5，所以原方程组的解为：{35x y ==；（2）整理得：2252x y x y ①②+=⎧⎨+=-⎩②×2-①得：9x=-6，解得：x=23-，把x=23-代入①得：-23+2y=2，解得：y=4 3所以方程组的解为：2343xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键.19．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP．【答案】证明见解析．【分析】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠1=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．【详解】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠1．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB=QC，又∠D+∠1=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．在△APD与△APC中，21D CAP AP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD≌△APC（AAS），∴AD=AC．∴AB+BD=AQ+QC，∴AB+BP=BQ+AQ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形和全等三角形，是解题的关键．20．老陶手机店销售A 型和B 型两种型号的手机，销售一台A 型手机可获利1200元，销售一台B 型手机可获利1400元．手机店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍设购进A 型手机x 台，这100台手机的销售总利润为y 元．（1）求y 与x 的关系式．（2）该手机店购进A 型、B 型手机各多少台，才能使销售利润最大．【答案】（1）200140000y x =-+，（2）25台A 型手机，75台B 型手机．【分析】（1）由总利润等于销售A ，B 型手机获得的利润之和，从而可得答案；（2）由B 型手机的进货量不超过A 型手机的3倍列不等式求解x 的范围，再利用函数的性质求解最大的销售利润即可得到答案．【详解】解：（1）由题意得：()12001400100200140000y x x x =+-=-+．（2）根据题意得：1003x x -≤，解得25x ≥，200140000y x =-+，2000-<，y ∴随x 的增大而减小， x 为正整数，∴当25x =时，y 取最大值，则10075x -=，即商店购进25台A 型手机，75台B 型手机才能使销售利润最大．【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，利用函数的性质求最大利润，掌握以上知识是解题的关键．21．如图，已知正比例函数12y x =和一个反比例函数的图像交于点(2A ，)m ．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）若点B 在x 轴上，且△AOB 是直角三角形，求点B 的坐标．【答案】（1）2y x =；（2）点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先由点A 在正比例函数图象上求出点A 的坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）由题意可设点B 坐标为（x ，0），然后分∠ABO=90°与∠OAB=90°两种情况，分别利用平行于y 轴的点的坐标特点和勾股定理建立方程解答即可．【详解】解：（1）∵正比例函数12y x =的图像过点（2，m ）， ∴m=1，点A （2，1），设反比例函数解析式为k y x=， ∵反比例函数图象都过点A （2，1），∴12k =，解得：k=2， ∴反比例函数解析式为2y x=；（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 坐标为（x ，0），若∠ABO=90°，则B （2，0）；若∠OAB=90°，如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则222OA AB OB +=，∴()2222121x x ++-+=，解得：52x =，∴B 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上，点B 的坐标为（2，0）或5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握正比例函数与反比例函数的基本知识是解题的关键． 22．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 是BC 边上的中点，怎样求AD 的取值范围呢？我们可以延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，然后连接BE （如图①），这样，在△ADC 和△EDB 中，由于AD DE ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB ，∴AC＝EB ，接下来，在△ABE 中通过AE 的长可求出AD 的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE -<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD ∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BDCDN BDE DN ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN ⊥=EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN =在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF -<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE ∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC ∴GAE CBE ∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBEAE BE AEG BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC ∴==,BC CF DF AD==CF DF BC AD AG AD∴+=+=+，即CD GD=GE CE=CE ED∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．23．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．【分析】(1)根据矩形的性质得到AD=BC，∠D=∠B=90°，由折叠的性质得到∠E=∠B=90°，CE=BC.根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据折叠的性质得到∠AEC=∠B=90°，CE=BC，根据直角三角形的性质得到CE= 12 AC，CE=AG=EG=AD，根据菱形的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠B=90°．∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，∴∠E=∠B=90°，CE=BC，∴∠D=∠E，AD=CE．∵∠AFD=∠CFE ，∴△ADF ≌△CEF(AAS)，∴DF=EF ；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠ADC=∠B=90°．∵将△ABC 沿AC 所在直线翻折，得到△AEC ，∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC ．∵∠CAB=30°，∴∠CAE=30°，∴CE 12=AC ． ∵点G 是AC 的中点，∴CE=AG=EG=AD ，∴∠AEG=∠EAG=30°，∴∠DAE=30°，∴∠DAE=∠AEG ，∴AD ∥GE ，∴四边形ADEG 是菱形．【点睛】本题考查了翻折变换((折叠问题))，矩形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．先化简（22444a a a -+-﹣2a a +）÷12a a -+，再从a≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值．【答案】21a --，1 【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解．【详解】解：原式＝2(2)2(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+-⋅⎢⎥-++-⎣⎦， 22()221a a a a a a -+=-⋅++-， 2221a a a +=-⋅+-， 21a =--. ∵a≤1的非负整数解有0，1，1，又∵a≠1，1，∴当a ＝0时，原式＝1．【点睛】此题考察分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.25．已知一次函数y=2x+b.(1)它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4,求b 的值;(2)它的图象经过一次函数y=-2x+1、y=x+4图象的交点,求b 的值.【答案】（1）±4；（2）5【解析】（1）分别求出一次函数y=2x+b 与坐标轴的交点，然后根据它的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4列出方程即可求出b 的值；（2）由题意可知：三条直线交于一点，所以可先求出一次函数y=-2x+1与y=x+4的交点坐标，然后代入y=2x+b 求出b 的值．【详解】解：（1）令x=0代入y=2x+b ，∴y=b ，令y=0代入y=2x+b ，∴x=-2b ， ∵y=2x+b 的图象与坐标轴所围成的图象的面积等于4， ∴12×|b|×|-2b |=4， ∴b 2=16，∴b=±4；（2）联立214y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩，把（-1，3）代入y=2x+b ，∴3=-2+b ，∴b=5，【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，图形与坐标的性质，待定系数求一次函数的解析式，解题的关键是根据条件求出b 的值，本题属于基础题型．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 的中点，P 是AD 上任意一点，连接BP 、CP 并延长分别交AC 、AB 于点E 、F ，则图中的全等三角形共有（）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，全等三角形的判断及性质可知有以下7对三角形全等：△ABD ≌△ACD 、△ABP ≌△ACP 、△ABE ≌△ACF 、△APF ≌△APE 、△PBD ≌△PCD 、△BPF ≌△CPE 、△BCF ≌△CBE ．【详解】①∵AB AC =，D 是BC 的中点，由等腰三角形三线合一可知：BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥，∴()ABD ACD AAS ≌②由AB AC =，BAD CAD ∠=∠,AP AP =，∴(ABP ACP SSS ≌）③由②可知，ABE ACF ∠=∠，∵ABE ACF ∠=∠，AB AC =，BAE CAF ∠=∠，∴()ABE ACF ASA ≌④由③可知，AFP AEP ∠=∠，∵AFP AEP ∠=∠，BAD CAD ∠=∠，AP AP =∴()APF APE AAS ≌⑤由①可知，ADB ADC ∠=∠，BD CD =，又∵PD PD =，∴()PBD PCD SAS ≌⑥由③⑤可知，AFP AEP ∠=∠，BP CP =，∴BFP CEP ∠=∠ ，又∵BPF CPE ∠=∠ ，()BPF CPE AAS ≌⑦由⑤可知BCF CBE ∠=∠，由⑥可知BFP CEP ∠=∠，又∵BC CB =∴()BCF CBE AAS ≌∴共7对全等三角形，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS SAS AAS ASA HL 、、、、）是解题的关键．2．周长38cm 的三角形纸片ABC （如图甲），AB AC =,将纸片按图中方式折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE （如图乙），若DBC ∆的周长为25cm ，则BC 的长为（）A ．10 cmB ．12cmC ．15cmD ．13cm【答案】B 【分析】由折叠的性质可得AD=BD ，由△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，可列出两个等式，可求解．【详解】∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，∴AD=BD ，∵△ABC 的周长为38cm ，△DBC 的周长为25cm ，∴AB+AC+BC=38cm ，BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=25cm ，∴AB=13cm=AC∴BC=25-13=12cm故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．32，26，210，…，10，按下列方式进行排列：，2，；4，，…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，1 ）A ．（5，4）B ．（4，4）C ．（4，5）D ．（3，5）【答案】B…∵19×2＝38，4行，第4个数字．故选：B ．【点睛】此题考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．4．下列算式中，正确的是（）A ．a 4•a 4＝2a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2【答案】D【分析】根据同底数相乘（或相除），底数不变指数相加（或相减）；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．【详解】解：A 、原式＝a 8，故A 错误．B 、原式＝a 3，故B 错误．C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，故C 错误．D 、原式＝9a 4b 2，故D 正确故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式．5．如图，在OAB 和OCD 中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明()AOC BOD SAS ≌，即可证明AC BD =;②利用三角形的外角性质即可证明; ④作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ,再证明()OCG ODH AAS ≌即可证明MO 平分BMC ∠.【详解】解：∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD 中，OA OBAOC BOD OC OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOC BOD SAS ≌，∴,OCA ODB AC BD ∠=∠=，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：,AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG 和ODH 中，OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OCG ODH AAS ≌，∴OG OH =，∴MO 平分BMC ∠，④正确；正确的个数有3个；故选B ．【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 6．用科学记数法表示0.0000018=（）A ．61.810-⨯B ．61.810⨯C ．51.810-⨯D ．71810-⨯【答案】A【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0000018=61.810-⨯．故选A.【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．7．如图，在ABC 中，点D 是BC 延长线上一点，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B 等于（）．A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°【答案】D 【分析】利用外角的性质解答即可．【详解】∵ ∠ACD ＝∠B ＋∠A ，∴∠B ＝∠ACD －∠A ＝120°－70°＝50°，故选：D ．【点睛】本题考查外角的性质，属于基础题型．8．如图，为了弘扬中华民族的传统文化，我校开展了全体师生学习“弟子规”活动．对此学生会就本校“弟子规学习的重要性”对1000名学生进行了调查，将得到的数据经统计后绘制成如图所示的扇形统计图，可知认为“很重要”的人数是（）。

浙教版数学八年级下册第4章《4.5三角形的中位线》课件

（3）平行四边形的对角相等. A C，B D
（4）平行四边形的对角线互相平分. AO CO，BO DO
课前复习
【2】平行四边形的判定方法
方法
文字语言
定义法
两组对边分别平行的
四边形是平行四边形
平行四边形
判定定理1
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边
形
平行四边形
判定定理2
平行四边形
判定定理3
图形语言
几何语言
∵ AD∥CB, AB∥DC
∴四边形ABCD是平行
四边形.
∵AB//CD,AB =CD
∴四边形ABCD是平行
四边形.
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
∵ AD=CB,AB=DC
∴四边形ABCD是平行
四边形.
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
∵ AO=CO, BO=DO，
∴ 四边形ABCD是平行
∴∠ECA＝∠FCD.
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，
课前练习
∴∠ABD＋∠BAE＝∠BAE＋∠EAC，
∴∠EAC＝∠ABD，
∴∠EAC＝∠CDF.
∵AC＝CD，
∴△AEC≌△DFC(ASA)，
∴AE＝DF，EC＝FC.
又∵∠FCE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝ 2EC，
∴ED＝DF＋EF＝AE＋ 2EC.
点，FC 与 BE 交于点 G.求证：GF＝GC.
例题探究
证明：如图，取 BE 的中点 H，连结 FH，CH.
∵F 是 AE 的中点，H 是 BE 的中点，∴FH 是△ABE 的中位线．
1
∴FH∥AB 且 FH＝ AB.

平行四边形的判定三角形的中位线定理

2
EF∥AB且EF= 1 AB
2
1. 三角形各边的长分别为6 cm、10 cm 和
12cm ，求连接各边中点所成三角形的A 周长.
14 cm
12 D
5
F6
36
B
CБайду номын сангаас
E
10
2. 如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？
A
M
若MN=36 m，则AB=2MN=72 m
D
E
（ ∵AD=BD, AE=CE )
∴DE∥BC且DE= 1 BC
B
C
2
这个定理提供了证明线段平行以及
线段成倍分关系的根据.
A
如图，D、E、F分别是△ABC的
三边的中点，那么，DE、DF、EF都
D E 是△ABC的中位线。
DE∥BC且DE= 1 BC
B
C
2
F 同理:DF∥AC且DF= 1 AC；
BD交于点O, 点E是CD的中点，BD=12，
求△DOE的周长. 15
OE 1 AD
2
ED 1 CD 2
A
D
OE ED
6
1 ( AD CD) 2
O
E
1 36
4
B
C
9
DE与BC有怎样的关系？
D
猜想：
B
两 DE条与线B段C的的关关系系
A E C
分析：
位DE置∥关B系C D数E量？关1系BC 2
已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
求证：DE∥BC 且 DE= 1 BC 2

平行四边形判定的应用(三角形中位线定理)课件

总结词
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相平分。
详细描述
根据三角形中位线定理，如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形的两组对边分别平行，从而判定该四边形是平行四边形。这一结论可以通过构造两个三角形并应用中位线定理来证明。
利用中位线定理证明四边形的对角线互相垂直
总结词
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相垂直。
通过多做练习题，加深对三角形中位线定理的理解，提高运用能力，以便更好地解决实际问题。
对未来学习的展望
三角形中位线定理是几何学中的重要定理之一，对于后续学习其他几何定理和解决几何问题具有重要意义。
在未来的学习中，应继续深入研究和探索三角形中位线定理的应用，提高自己的几何素养和解题能力。
THANKS.
总结与思考
05
三角形中位线定理与平行四边形判定的关系
三角形中位线定理是平行四边形判定的一种重要应用，通过三角形中位线定理可以判断一个四边形是否为平行四边形。
三角形中位线定理的应用，使得平行四边形的判定更加直观和易于理解，有助于解决几何问题。
如何更好地应用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，应充分理解三角形中位线定理的含义和适用条件，掌握其应用技巧。
第三步
根据已知条件和所证明的平行四边形性质，我们可以进一步求解题目中的问题。具体过程如下
解题过程与结果
由于四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，我们有BE = DF。
由于E和F分别是AC和AB的中点，根据中位线定理，我们有 BE = 0.5BC和DF = 0.5BC。
因此，我们得出结论：BE = DF = 0.5BC。
考察知识点

《三角形的中位线》平行四边形

建筑设计
在建筑设计中，三角形中位线和平行四边形常常被用来确定建筑物的位置和尺寸，以确保建筑物的稳定性和美观性。
工程绘图
在工程绘图中，三角形中位线和平行四边形常常被用来绘制图形和进行测量计算，以确保工程图纸的准确性和可靠性。
THANKS
谢谢您的观看
在平行四边形中，中位线将平行四边形分成两个全等的三角形，且这两个三角形的面积相等。
在平行四边形中，中位线的长度是相邻两边长度的一半，且中位线与对角线互相平分。
03
三角形中位线与平行四边形的应用
三角形中位线在几何作图中的应用
平行四边形的构造
通过三角形中位线，可以构造一个平行四边形。
平行四边形的性质
通过平行四边形的性质，可以推导出平行四边形的判定条件，如两组对边分别平行的四边形是平行四边形等。
平行四边形的性质
利用平行四边形的性质，可以推导出其他图形的性质，如矩形的性质、菱形的性质等。
三角形中位线与平行四边形在实际问题中的应用
建筑设计中的应用
在建筑设计中，可以利用三角形中位线和平行四边形的性质进行结构设计，提高建筑物的稳定性
邻角互补
相邻两个角之和为180度。
对角线互相平分
对角线互相平分且把平行四边形分成两个全等的三角形。
平行四边形的判定条件
01
02
一组对边平行且另一组对边相等。
两组对边分别平行。
03
04
两组对边分别相等。
一组对角相等且另一组对角互补。
平行四边形与三角形的关系
平行四边形可以看作是两个三角形组成的，其中一个三角形与另一个三角形关于中位线对称。
和美观性。
机械设计中的应用

18.1.2平行四边形的判定三角形的中位线(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平行四边形判定和三角形中位线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平行四边形的判定：本节课的核心内容是使学生掌握平行四边形的三个判定定理，即对边平行且相等、对角线互相平分、有一组对边平行且相等。通过实例和练习，让学生能够准确识别和应用这些判定定理。
-三角形的中位线定理：学生需要理解并掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半的性质，能够运用该定理解决相关问题。
此外，学生在小组讨论环节的表现也给我留下了深刻的印象。他们提出了很多有创意的想法，并在交流中相互启发、共同进步。这让我深感欣慰，也坚定了我继续推广合作学习的决心。
2.理解三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3.学会运用以上定理解决实际问题，提高逻辑思维能力和几何图形的识别能力。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过学习平行四边形的判定及三角形的中位线定理，使学生能够理解和运用几何图形的性质，提高对几何图形的观察、分析和解决问题的能力。
然而，我也注意到，在实践活动和小组讨论环节，部分学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对自己的能力不够自信。针对这个问题，我计划在以后的课堂上增加一些互动性更强、趣味性更高的环节，鼓励更多的学生参与到课堂活动中来。
在难点解析部分，我发现通过具体的图形示例和步骤解析，学生们更容易理解平行四边形的判定和三角形中位线定理。这说明直观的演示和详细的步骤讲解对于帮助学生攻克难点是非常有帮助的。因此，我决定在今后的教学中，继续采用这种方法，并尝试结合多媒体教学手段，让讲解更加生动有趣。

平行四边形三角形的中位线及性质

论对所有的四边形ABCD都成立吗?
已知:如图,在四边形ABCD中,
A
E,F,G,H分别为各边的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形. H
E B
F
证明:连接AC.
D
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
G
C
∴EF∥AC, EF 1 AC. HG∥AC, HG 1 AC.
2
2
∴ EF∥HG, EF=HG.
所成的四边形是平行四边形.
A
∵E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点 H ∴四边形EFGH是怎样四边形.
C
E B
F
D
G
C
独立作业
P85习题3.3 1，2，3，4题.
∴四边形EFGH是平行四边形.
小结本堂课你学到了什么？
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
A
∵DE是△ABC的中位, ∴DE∥BC,DE 1 BC.
2
D
E
这个定理提供了证明线段平行,和线
段成倍分关系的根据.
模型: B
连接任意四边形各边中点
1.平行四边形三角形的中位线及性质
做一做挑你战能分将割任三意角一形个三角形分成四个
全等的三角形吗?
A
连接每两边的中点,得到四个
全等的三角形.
D
·E
·
你认为他的方法对吗?你能
设法验证一下吗?
B
·
C
F
连接三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线.
猜一猜,三角形中位线与第三边有什么关系?
想一想三定角理形:中三位角线形的的性质中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. A

三角形的中位线及平行四边形综合

八年级（下）数学提高讲义第八讲三角形的中位线及平行四边形综合知识点分析1、三角形的中位线概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

2、平行四边知识回顾：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形。

面积：高底平行四边形⨯=S判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形。

边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

说明：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。

例题精析例1、（1）如图，△ABC 的周长为26，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（） A.23 B.25C.3D.4（2）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC.BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（）A．15 B．18 C．21 D．24例2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为（用含α的式子表示）．例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB.AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F。

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度。