三角形的中位线经典练习题及其标准答案
三角形的中位线基础题30道选择题附详细答案
9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）．．．2=．．．7+9.5 三角形的中位线基础题汇编（1）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2014•河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）2．（2014•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）3．（2014•泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（）4．（2014•宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）MN=MN=AB5．（2014•牡丹江一模）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB 于点D，则CD的长为（）AB=4EO=1.5=47．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）AB8．（2013•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）BC EF=则新三角形的周长为AC BC EF=（∴等边三角形的中位线长是：12．（2013•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）EF=．C D．×（14．（2013•德庆县二模）已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF15．（2013•潮安县模拟）如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（）DAB=4BC=216．（2013•南岗区三模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，若△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为（）DPG=ANAP=AC=17．（2012•台州）如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）18．（2012•聊城）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）D=BC=19．（2012•佛山）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图AC EF=AC EF=AC．cm ∴相似比是21．（2012•朝阳）如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为（）BC AC EF=AB BC EF=23．（2012•邵阳）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是（）ABAC24．（2012•德城区三模）如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于（）DMN=25．（2012•黄埔区一模）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为（）AD=BD=AC BCAB=2AC=2BC=226．（2012•长宁区一模）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（）D．AD=，的周长为边长的．27．（2012•盐田区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=（）．29．（2011•黔南州）如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）+2BE=CE=AB=3AC=330．（2011•义乌市）如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长为3cm，则DE的长是（）BC。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
7、三角形的中位线 - 答案
三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。
(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.(3)用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中ABCD ，对角线相交于点O ，H 为边AD 上的中点，菱形的周长为36，则OH 长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴3649AB =÷=，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为ABD △的中位线，∴1 4.52OH AB ==，故选：A．2．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于点D ，若3AE =，1DF =，则边BC 的长为()A．7B．8C．9D．10【答案】B 【详解】解：EF 是ABC 的中位线，3AE =，∴EF BC ∥，2BC EF =，3BE AE ==，EDB DBC ∴∠=∠，BD 平分EBC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，3ED BE ∴==，1DF = ，314EF ED DF ∴=+=+=，8BC ∴=，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 的点B '处，折痕AD 交BC 点D ，第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若14BC =，MP MN +=．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：AM MD =，MN AD ⊥，AD BC ⊥，GN BC ∴∥，AG BG ∴=，∴GN 是ABC 的中位线，1114722GN BC ∴==⨯=，PM GM = ，7MP MN GM MN GN ∴+=+==，故答案为：7．4．如图，在ABC 中，52ACB ∠=︒，点D，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且90AFC ∠=︒，则FAE ∠的度数为（）A．52︒B．68︒C．64︒D．69︒【答案】C 【详解】解：∵点D，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，AE CE =，∴52AED ACB ==︒∠∠，∵90AFC ∠=︒，AE CE =，∴AFC △是直角三角形，∴AE EF =，∴180180526422AEF FAE EFA ︒-∠︒-︒∠=∠===︒，故C 正确．故选：C．5．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，E，F，G 分别是AB，DC，AC 的中点．若64ACB ∠=︒，22∠=︒DAC ，则EFG ∠的度数为．【答案】21︒【详解】解：∵F 、G 分别是CD 、AC 的中点，∴FG AD ∥，12FG AD =，∴22FGC DAC ∠=∠=︒，∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴GE BC ，12GE BC =，∴64AGE ACB ∠=∠=︒，∴180116EGC ACB ∠=︒-∠=︒，∴22116138EGF ∠=︒+︒=︒，∵AD BC =，∴GF GE =，∴()1180138212EFG ∠=⨯︒-︒=︒；故答案为：21︒．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图ABC 中，E，F 分别是AB ，AC 的中点，过F 作FG AB ∥交BC 于点G，若EF FG =，且 2.5EF =，4AC =，则阴影部分的面积为．【详解】解：如图，连接BF ，E，F 分别是AB ，AC 的中点， 2.5EF =，∴=25BC EF =，FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴=2AB FG ，G 是BC 的中点，EF FG =，∴BA BC =，F 是AC 的中点，∴BF AC ⊥，122AF AC ==，∴22225221BF AB AF =-=-=，∴14212212ABC S =⨯⨯= ， E，F 分别是AB ，AC 的中点，∴1212ABC S S == 阴影面积，故答案为：21．2．如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，F 是BC 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC 的面积为18cm 2，则△DEF 的面积是cm 2【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E 是AC 的中点，△ABC 的面积的为18cm 2，∴△AEB 的面积12=⨯△ABC 的面积＝9（cm 2），∵点D 是AB 的中点，∴△DEB 的面积12=⨯△AEB 的面积＝4.5（cm 2），∵D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE BC，∴△DEF 的面积＝△DEB 的面积＝4.5（cm 2），故答案为：4.5．3．ABC 中，点D、E、F 分别为边BC CA AB 、、的中点，作DEF ．若ABC 的面积是12，则DEF 的面积是（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，取BH 中点为G，连结DG，EM⊥DF 于M，∵D 、F 分别是ABC 的AB 、AC 边的中点，∴12DF BC =，DF∥BC，∵D、G 为AB、BH 中点，∴DG∥AH，且DG=12AH ，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=12AH ∵S △ABC=1122BC AH ⋅=∴111111132222424DEF ABC S DF EM BC AH BC AH S ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯=⨯⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△．故选择B．4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E，作BC 的垂线交BC 于点F，若AB CE ，且DFE △的面积为2，则BC 的长为（）A．B．5C．D．【答案】D 【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∵DE BC ∥，∴AE=CE，DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF AH ∥，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=12AH，∵△DFE 的面积为2cm 2，∴12DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB•2AB=16，（负值舍去），，=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F 分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD 的面积为20，则△BEF 的面积为（）A．2B．94C．5D．9【答案】D 【详解】如图，连接AC，过点B 作EF 的垂线交AC 于G 点，交EF 于H 点，∵E、F 分别是AD、CD 的中点∴EF//AC，△ACD 中，AC 边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∵△ABC 为等腰三角形∴△ABG 和△BCG 为等腰直角三角形∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S △ABC＝12·AB·BC=12ABCD 的面积为20∴S △ACD＝20－16＝4，∴16===424ABC ACD S BG S GH ，∴1=8GH BG =12，∴BH＝BG+GH＝92，又∵11==×8=422EF AC ，∴S △BEF ＝119··=×4×=9222EF BH ．故选：D．6．如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm．【答案】4【详解】解：取CG 的中点，∵点H 是CG 的中点，DE 是ABC 的中位线，∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =，在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF GDF HEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(SAS)DFG EFH ≌，∴FG FH =，EFH DGF S S = ，∵GH CH =，∴3FC FH =，∵CEF △的面积为212cm ，∴21124cm 3EFH S =⨯= ，∴2=4cm DGF S ，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接BD 、AC 交于点O ，四边形EFGH 是菱形，∴EF FG GH HE ===，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF ∴是三角形ABD 的中位线，12EF BD ∴=，EF BD ∥，同理，12EH AC =，∥EH AC ，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形ABCD 为菱形，点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E、F、G、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B 【详解】解：顺次连接菱形ABCD 各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：12GF BD =且GF BD ∥，12EH BD =且EH BD ∥，EF AC ∥，∴EH FG =，EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，则EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C 【详解】解：如图所示，ABCD 是等腰梯形，E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，连接AC ，BD ，∵E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，∴HE AC ∥，12HE AC =，GF AC ∥，12GF AC =，同理：12EF BD =，∴HE GF =且HE GF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即AC BD =，∴EH EF =，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C．5．如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH 是矩形，则原四边形ABCD 必须满足条件（）．A．AB AD=B．AB AD ⊥C．AC BD =D．AC BD⊥【答案】D 【详解】如图，连接AC BD ，，∵E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，∴EF AC HG ，EH BD FG ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴当EFGH 有一个角为直角时，即证明四边形EFGH 是矩形．∵当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形．故选D．6．如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E、G、F、H 得到四边形EGFH ，要使四边形EGFH 是菱形，可添如条件．【答案】AB CD =（答案不唯一）【详解】解：∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，∴11,22FH GE AB GF EH CD ====，∵四边相等的四边形是菱形，∴当AB CD =时，FH GE GF EH ===，此时四边形EGFH 是菱形；∴可添加的条件为：AB CD =；故答案为：AB CD =（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在ABC 中，AB BC =，D、E、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．求证：四边形BDEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明： D、E、F BC 、AC 、AB 边上的中点111,,222BD DC BC AE EC AC AF BF AB ∴======且得到DE ，EF 是ABC 的中位线，∴DE AB ∥，FE BC ∥且11,22DE AB EF BC ==EF BD∴=∴四边形BDEF 是平行四边形AB BC= ∴BF BD=∴四边形BDEF 是菱形．2．已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，点M，N，P，Q 分别是,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形MNPQ 是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设AC 与BD 交于点O，AC 与QM 交于点F，BD 与PQ 交于点E，∵AB AD =，CB CD =，∴点A 与点C 都在BD 的垂直平分线上，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒，∵点M，N，N，P，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴MQ BD ∥，PQ AC ∥，∴四边形OEQF 是平行四边形，又90AOD ∠=︒，∴四边形OEQF 是矩形，∴90MQP AOD ∠=∠=︒，同理：90QMN MNP ∠=∠=︒，∴四边形MNPQ 是矩形．3．已知：如图，在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，G，H 分别是OB ，OC 的中点，连接GH EF FG EH ，，，．求证：FG EH ∥．【答案】∵在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，∴EF 是ABC 的中位线，∴12EF BC EF BC =∥，，∵G，H 分别是OB ，OC 的中点，∴GH 是OBC △的中位线，∴12GH BC GH BC =∥，，∴EF GH EF GH =∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴FG EH ∥．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点依次连接起来，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接AC ．∵E，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =．∵G，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH AC ∥，12GH AC =．∴EF GH ∥，EF GH =．∴四边形EFGH 是平行四边形．(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），连接AC ，BD ，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明．②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①AC BD =，见解析；②AC BD⊥【详解】（1）四边形EFGH 是平行四边形，理由如下：∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =，∴EF HG ∥，EF HG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）①当AC BD =时，四边形EFGH 是菱形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴12EF AC =，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴12GF BD =，∴当AC BD =时，EF FG =，∴平行四边形EFGH 是菱形；②当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴GF BD ∥，∴当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形；5．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O，E，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD =．求证：OM ON =．【答案】如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G 、F 分别为AD 、CD 的中点，GF ∴是ACD ∆的中位线，12GF AC ∴=，同理可得，12GE BD =，AC BD = ，1122GF GE AC BD ∴===．GFN GEM ∴∠=∠，又EG OM ∥，FG ON ∥，OMN GEM GFN ONM ∴∠=∠=∠=∠，OM ON ∴=．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F ∠=∠，在ADE V 和CFE 中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ∴≌△△．AD CF ∴=，12DE EF DF ==．CF BD ∴∥，CF BD =．∴四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC ∴，DF BC =，又12DE DF = ，∴DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF CD ⊥交CD 延长线于点F，若8AC =，5BC =，则EF 的长为．【答案】1.5【详解】解：如图，延长AF ，交于点G，∵CD 是ABC 的角平分线，∴ACF GCF ∠=∠，∵AF CD ⊥，∴90AFC GFC ∠=∠=︒，在ACF △和GCF 中，ACF GCF CF CF AFC GFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ACF GCF ≌ ，∴8CG AC AF FG ===，，∴853BG CG CB =-=-=，∵AE EB AF FG ==，，∴EF 为ABG 的中位线，∴1 1.52EF BG ==，故答案为：1.5．2．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若6AC =，则AF =（）A．3B．2C．43D．94【答案】B 【详解】解：取BF 的中点H，连接DH ，∵BD DC BH HF ==，，∴12DH FC =，DH AC ∥，∴HDE FAE ∠=∠，在AEF △和DEH △中，AEF DEH AE DE EAF EDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEF DEH ASA ≌△△，∴AF DH =，∴12AF FC =，∵6AC =，∴123AF AC ==，故选：B．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M、N 分别是AB AC 、的中点，延长BC 至点D，使12CD BC =．连接DM DN MN 、、．若6AB =，则DN 的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】解：如图：连接CM∵M，N 分别是AB AC 、的中点，∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN BC MN BC =，∥，∵12CD BC =，∴CD MN =，∵MN BC ∥，∴四边形NDCM 为平行四边形，∴DN CM =，∵90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，∴116322CM AB ==⨯=，∴3DN =．故选：C．4．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点，5DE =，3AC =，则AB 长为（）A．8.5B．8C．7.5D．7【答案】D 【详解】解：延长BD ，CA 交于点F，，∵AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，∴FAD BAD ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90ADF ADB ∠=∠=︒，在ABD △和AFD △中，FAD BAD AD AD ADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD AFD △≌△，∴AB AF =，BD DF =，又E 为BC 中点，5DE =，∴210CF DE ==，又3AC =，∴7AF CF AC AB =-==．故选：D．5．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC的中点．(1)如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：1()2EF AC AB =-；(2)如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)1()2EF AB AC =-【详解】（1）证明：如图1中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，∴,90BAE DAE AEB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵AE AE =，∴()ASA BAE DAE ≌，∴AB AD =，即ABD △是等腰三角形，∵BE AE ⊥，BE DE ∴=，BF FC = ，111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）解：结论：1()2EF AB AC =-，理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥ ，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，AE BP ⊥ ，E ∴为BP 的中点，BE PE =∴，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-；故答案为1()2EF AB AC =-．6．已知：如图①所示，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC 相交，易证FG=12（AB+BC+AC）．（1）BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-；（2）1()2FG BC AC AB =+-【详解】解：（1）图②结论为：1()2FG AB AC BC =+-证明：分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K，在BAF ∆和BKF ∆中，ABD FBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =12FG HK ∴=又∵HK BK BH =-，BH=BC-CH=BC-AC，1()2FG AB AC BC ∴=+-（2）图3的结论为1()2FG BC AC AB =+-．证明：分别延长AF 、AG 交BC 或延长线于K 、H ,在BAF ∆和BKF ∆中，ABD DBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =，12FG KH ∴=又KH BC BK HC BC AC AB =-+=+- ．1()2FG BC AC AB ∴=+-．题型六：最值问题1．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，分别在AD 、BD 上取点P、Q （端点除外），连接PQ ，E、F 分别为AP 、PQ 的中点，连接EF，在P、Q 的运动过程中，线段EF 的最小值为（）A． 1.2B． 1.5D．2【答案】A 【详解】解：连接AQ ，∵E、F 分别为AP 、PQ 的中点，∴12EF AQ =，根据点到直线的距离可得当AQ BD ⊥时，AQ 最小，EF 也最小，∵矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5BD ==，∵1122ABD S AB AD BD AQ =⋅=⋅ ，∴1134522AQ ⨯⨯=⨯⨯，∴125AQ =，∴min 1126255EF =⨯=，故选A．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D、E 分别为CN，MN 的中点，则DE 的最小值是（）A．2B．125C．3D．245【答案】B 【详解】解：连接CM ，∵点D、E 分别为CN，MN 的中点，∴12DE CM =，∴当CM AB ⊥时，CM 最小，即DE 最小，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，∴10AB ===，∴CM 的最小值为245AC BC AB ⋅=，∴DE 的最小值为11225CM =，故选：B．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =分别是边CD BC ，上的动点，连接AE 和EF ，G，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）B．2C．3D．1【答案】B 【详解】连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ==，∵G，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是AEF △的中位线，∴12GH AF =，当AF BC ⊥时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB ∠=︒，∵45B ∠=︒，∴ABF △是等腰直角三角形，∴22AF AB ==⨯，∴GH GH 故选：B．4．如图，矩形ABCD 的边24AB BC ==，，E 是AD 上一点，1DE =，F 是BC 上一动点，M、N 分别是AE EF 、的中点，则MN EN ＋的最小值是．【答案】52【详解】解：2AB = ，4BC =，1DE =，4AD BC ∴==，413AE AD DE =-=-=，延长AB 到A '，使2A B AB '==，连接A F '，则4AA '=，A F AF ¢=，当A '、F 、E 在同一直线上时，A F FE '+最小，最小值为A E '．在Rt AA E ' 中，5A E ==='，即AF FE +最小为5，N Q 、M 分别是EF 、AE 的中点，12NE EF =，=12NM AF ，MN EN ＋的最小值为15522⨯=．故答案为：52.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知ABC 的面积为1，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，L ，依此类推，第2013个三角形的面积为（）A．12011B．12012C．201114D．201214【答案】D【详解】解：如图：过点A 作AG DE ⊥于G，交BC 于H，则AG GH =，D 、E、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，DE ∴、EF 、DF 分别为ABC 的中位线，12DE BC ∴=，12DF AC =，12EF AB =，12GH AH =，12ABC S BC AH =⋅ ，12DEF S DE GH =⋅ ，1144DEF ABC S S ∴== ，同理：第三个三角形的面积=21144DEF S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第四个三角形的面积14=第三个三角形面积314⎛⎫= ⎪⎝⎭，……，∴第2013个三角形的面积为201214，故选：D．2．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边的中点E，作ED AB ∥交AC 于点D，EF AC ∥交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作1S 取BE 边的中点1E ，作11E D FB 交EF 于1D ，11E F EF ∥交BF 于点1F ，得到四边形111E D FF ，它的面积记作2S ，…照此规律作下去，则2022S 的值为．【详解】∵E 是BC 中点，ED AB ∥，EF AC ∥，∴ED、EF 是△ABC 的中位线，∴ED=EF=AD=AF=12AB =12，∴四边形EDAF 是菱形，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC∴菱形EDAF 的高为1224⨯=，∴S 1=124⨯=8=32，同理，四边形111E D FF 也是菱形，FF 1=12BF =14，菱形111E D FF 的高为12，∴S 2=14，S 3=18……S n =212n +，∴20222202212S ⨯+==404523．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB 和OC 为邻边作第一个平行四边形1OBB C ，对角线BC 与1OB 相交于点1A ；再以11A B 和1A C 为邻边作第二个平行四边形111A B C C ，对角线1A 与1B C 相交于点1O ；再以11O B 和11O C 为邻边作第三个平行四边形1121O B B C …依此类推．记第一个平行四边形1OBB C 的面积为1S ，第二个平行四边形111A B C C 的面积为2S ，第三个平行四边形1121O B B C 的面积为3S …则2020S 是（）A．2020962B．20201922C．20191922D．2021962【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，=＝16，∴矩形ABCD 的面积＝12×16＝192；∵四边形1OBB C 是平行四边形，OB＝OC，∴四边形1OBB C 是菱形，∴118BA CA ==，∴1OA 是△ABC 的中位线，∴1OA ＝12AB＝6，∴11212OB OA ==，∴平行四边形四边形1OBB C 的面积＝12×12×16＝12⨯192；根据题意得：四边形111A B C C 是矩形，∴第2个平行四边形111A B C C 的面积111AC A B =´＝8×6＝48＝212⎛⎫⎪⎝⎭×192；同理：第3个平行四边形12OB B C 的面积＝12×8×6＝24＝312⎛⎫⎪⎝⎭×192；．．．，∴第n 个平行四边形的面积是12n⎛⎫⎪⎝⎭×192，则2020S 是202012⎛⎫⎪⎝⎭×192＝20201922，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形ABCD ，R，P 分别是DC BC ，上点，E，F 分别是AP RP ，的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减少C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接AR ，E F 、分别是AP RP 、的中点，EF ∴为APR △的中位线，12EF AR ∴=，为定值，∴线段EF 的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E、F、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB ∠︒∠︒=，=，则FEG ∠=．【答案】30︒【详解】解：∵AD BC =，E，F，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD 的中位线，GF 是ACB △的中位线，11,,22GE AD GF BC ∴==,,,GF BC GE AD ∥∥80,20AGF ACB EGC DAC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,又AD BC = ,EFG FEG ∴∠=∠,()2018080120FGE FGC EGC ︒︒︒︒∠=∠+∠=+-= ,()1180302FEG FGE ︒︒∴∠=-∠=.故答案为：30︒．3．如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．4．如图，在ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，DC ，AB 四条边的中点，连接AD ，DE ，EF ，DG ，若ABC 的面积为16，则CEF △和ADG △的面积之和为．【答案】6【详解】解： 点D 是BC 的中点，ABC 的面积为16，182ABD ADC ABC S S S ∴=== ， 点G 是AB 的中点，142ADG ABD S S ∴== ， 点E 是AC 的中点，142EDC ADC S S ∴== ， 点F 是CD 的中点，122EFC EDC S S ∴== ，CEF ∴ 和ADG △的面积之和为6，故答案为：6．4．如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCFADFES S =四边形△．【答案】35【详解】解：取CD 中点G ，则EG 是ACD 中位线，∴1,2EG AD EG AD =∥，2AD BD = ，12BD AD EG ∴==,DFB EFG BDF EGF∠=∠∠=∠ ∴BDF EGF ≌，∴132DF FG CG BF EF CF DF ===∴=，，，设1BDF S ∆=，则3BCF CEF AEF S S S ∆∆∆===，2ADF S ∆=，∴35BCFADFE S S ∆=四边形，故答案为35．5．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，E、F 分别是边,CD BC 上的动点，连接AE EF 、，G、H 分别为AE EF 、的中点，连接GH ．若GH 的最小值为3，则BC 的长为．【答案】【详解】解：连接AF ，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH AF ∥，且12GH AF =，要使GH 最小，只要AF 最小，当AF BC ⊥时，AF 最小，∵GH 的最小值为3，∴6AF =，∵45B ∠=︒，∴45BAF ∠=︒，∴6BF AF ==，∴AB ==∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB ==故答案为：6．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，D 是BC 的中点AE BE ⊥，5AB =，3AC =，则DE 的长为（）A．1B．32C．2D．52【答案】A【详解】延长AC 交BE 的延长线于点F ，如图，AE BE ⊥ ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，AE 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，ABE AFE ∴∠=∠，ABF ∴ 是等腰三角形，5AF AB ∴==，点E 是BF 的中点，532CF AF AC ∴=-=-=，DE 是BCF △的中位线，112DE CF ∴==．故选：A．7．如图，ABC 中，9cm,5cm AB AC ==，点E 是BC 的中点，若AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，求线段DE 的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长CD 交AB 于F ，由题意知，FAD CAD ∠=∠，90ADF ADC ∠=∠=︒，在ADF △和ADC △中，∵FAD CAD AD AD ADF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADF ADC △≌△，∴DF CD =，5AF AC ==，∴D 是CF 的中点，4BF AB AF =-=，又∵E 是BC 的中点，∴DE 是BCF △的中位线，∴122DE BF ==，∴DE 的长为2cm．8．如图，ABC 的周长为64，E ．F ．G 分别为AB ．AC ．BC 的中点，A '．B '．C '分别为EF ．EG ．GF 的中点，A B C ''' 的周长为16．如果ABC ．EFG ．A B C ''' 分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是．【答案】11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据三角形中位线定理分别求出第2个三角形的周长、第3个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，EF ∴、EG 、FG 都是ABC 的中位线，12EF BC ∴=，12EG AC =，12FG AB =，EFG ∴△的周长=164643222⨯==，即第2个三角形的周长是32，同理可得，第3个三角形的周长是211646416222⨯⨯==，⋯⋯，则第n 个三角形的周长是7116422n n --=⨯，故答案为：11642n -⨯9．如图，ABC 中，中线,BD CE 相交于O．F、G 分别为,BO CO 的中点．(1)求证：四边形EFGD (2)若ABC 的面积为12，求四边形EFGD 的面积．【答案】(1)见解析(2)4【详解】（1）证明：∵,BD CE 是ABC 的中线，F、G 分别为,BO CO 的中点，∴,ED FG 分别是,ABC OBC 的中位线，∴1,2ED BC ED BC = ，1,2FG BC FG BC =∥，∴,ED FG ED FG = ，∴四边形EFGD 是平行四边形；（2）解：∵,ED BD 分别是,ABD ABC 的中位线，又∵ABC 的面积为12，∴111123244BDE ABD ABC S S S ===⨯= ，∵四边形EFGD 是平行四边形，中线,BD CE 相交于O，F 为BO 的中点，∴O 为DF 的中点，∴113133EBF EFO EOD BDE S S S S ====⨯= ，1GOF GDO EFO EDO S S S S ==== ,∴44EFGD EFO S S == ，∴四边形EFGD 的面积为4．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF BE =，连接EC 并延长，使CG CE =，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ．(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(2)若CB CE =，80BAE ∠=︒，30DCE ∠=︒，求CBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，BAE BCD ∠=∠，∵BF BE =，CG CE =，∴BC 是EFG 的中位线，∴BC FG ∥，12BC FG =，∵H 为FG 的中点，∴12FH FG =，∴BC FH ∥，BC FH =，∴AD FH ∥，AD FH =，∴四边形AFHD 是平行四边形；（2）解：∵80BAE ∠=︒，∴80BCD ∠=︒，∵30DCE ∠=︒，∴803050BCE ∠︒=︒=-，∵CB CE =，∴()118050652CBE CEB ︒∠=∠=︒-︒=．11．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O．2BD AD =，E，F，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．(1)求证：BE AC ⊥；(2)若2EF =，求EG 的长．【答案】(1)见解析(2)2EG =【详解】（1）解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，2BD BO =．由已知2BD AD =，BO BC ∴=．又E 是OC 中点，BE AC ∴⊥．（2）由（1）BE AC ⊥，又G 是AB 中点，EG ∴是Rt ABE 斜边上的中线．EG ∴=12AB又EF 是OCD 的中位线，EF ∴=12CD ．又AB CD =，2EG EF ∴==．12．如图，四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，(1)求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足,,PA PB PC PD APB CPD ==∠=∠，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD ，∵点E、H 分别为边AB AD 、的中点，∴1,2EH BD EH BD =∥,∵点F、G、分别为BC CD 、的中点，∴1,2FG BD FG BD =∥，∴EH FG EH FG =、∥，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：四边形EFGH 是菱形，理由如下：如图2，连接AC BD 、，。
人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义：___________________________________________符号语言：在△ ABC中，D、E分别是AB、AC的中点, 则：线段DE "ABC的,三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点相同点：都是一条线段，都有三条符号语言表述：.••。
£是/\ ABC的中位线(或AD=BD,AE=CE)二DE//% BC练习1 .连结三角形的线段叫做三角形的中位线.2 .三角形的中位线于第三边，并且等于3 .一个三角形的中位线有条.4. 如图△ ABC中，以E分别是ABAC的中点，则线段CD^A ABC的,线段。
£是左AB5、如图，以E、F分别是△ ABC各边的中点(1) 如果EF= 4cm,那么BB cm如果AA 10cm,那么DA cm(2) 中线AD与中位线EF的关系是6. 如图1所示，EF是△ ABC的中位线，若BC=8cm则EF=cm⑴(2) (3) ⑷7. 三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是cm.8. 在Rt △ ABC中，/ C=90° , AC=?5 ?BC=?12 ?则连结两条直角边中点的线段长为 .9. 若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为三角形中位线定理:( )A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位的长为10m 则A, B 间的距离为（ ） A . 15m B . 25m C . 30m D . 20m11. 已知△ ABC 的周长为1,连结△ ABC 的三边中点构成第二个三角形,从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ）A .线段EF 的长逐渐增大B .线段EF 的长逐渐减少20 C . 30 D . 4014. 如图所示， 口 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点 O, AE=EB 求证：OE//BC.15. 已知矩形 ABCD 中，AB=4cm, AD=10cm ，点P 在边BC 上移动，点 分别是 AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF+GH=5cm ；16. 如图所示，在△ ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA CF 平分Z ACB AE=EB 求证: 1EF=—BD.C .线段EF 的长不变D .线段EF 的长不能确定13.如图 4,在^ ABC 中，E, D,F 分别是AB, BC CA 的中点，AB=6, AC=4,则四边形 AEDF?勺周长是（）同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A, B 的点C,找到AC, BC 的中点D, E,并且测出DE?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 2010个三角形的周长是 A 、1 20082009200822009212.如图3所示，已知四边形 ABCD R, P 分别是DC BC 上的点, E, F 分别是 AP, RP 的中点，当点 P 在BC 上217. 如图所示，已知在口ABCg, E, F分别是AD, BC的中点，求证: MM/BC.四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.EFGH是平行四边形.21.如图5,在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（BE, BC, CE的中点.证明四边形EGFH是平行四边形；22如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E, F, G分别是AB , CD,图5AC的中点。
(完整版)三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4。
如图△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm（2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线,若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1） (2） (3) (4）7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12,•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm,4cm,则原三角形的周长为（ ） A ．4。
5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示,A ，B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D,E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点,E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC上从点B 向点C 移动而点R 不动时, 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4，在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6,AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中,AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点。
人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义：.符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点,则：线段DE是△ABC的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
—相同点：都是一条线段，都有三条。
三角形中位线定理：.符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC练习—1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm>如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．EDBEDA8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． ￥9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 (C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．（15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；，16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．`GA E H D17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．|18．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．】19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
初二数学三角形的中位线定理试题
初二数学三角形的中位线定理试题1.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】根据三角形中位线定理进行计算．2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+CB 的关系是（）A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定【答案】C【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EG=AD，FG=BC，再根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．3.如图所示，AE是△FCD的中位线，BD∥AC，A，E，B三点共线，AB=8，FA=FE=6，则下列说法：①BE=4；②∠DEB=∠DBE；③AF=BD；④CD=2AE．正确的结论是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF=∠EBD，然后利用“角角边”证明△AEF和△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BE=4，从而判定①正确；再求出BD=AF判定③正确，然后求出BD=ED，根据等边对等角可得∠DEB=∠DBE，从而判定②正确；根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2AE，判定④正确．4.如图，四边形EFGH是由四边形ABCD的各边中点依次连接而形成的四边形，若四边形ABCD的两条对角线相等，则四边形EFGH一定是（）A．菱形B．正方形C．矩形D．梯形【答案】A【解析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理可得EH=FG=AC，EF=GH=BD，再根据AC=BD可得四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形即可判定．5.已知：如图，△ABC三边的中点分别为D、E、F，如果AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，那么△DEF的周长是_______cm．【答案】12【解析】利用中位线定理，可知中点三角形的边长等于△ABC各边的一半，那么可求出△DEF的周长．6.如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为________°．【答案】64【解析】由点D，E分别是AB，AC的中点可EF是三角形ABC的中位线，所以EF∥BC，再有平行线的性质和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可证明三角形EFC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠ECF的度数，进而求出∠FAE的度数．7.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是_________cm2．【答案】6【解析】根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．8.如图，BD=CD，AE=DE，延长BE交AC于F，且FC=4cm，则AF的长为_______．【答案】2【解析】过D作AC的平行线交BF于G，利用三角形的中位线定理及全等三角形的性质解答即可．9.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【答案】解:∵三角形ABCD是矩形．∴∠ABC=∠BCD=90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形．∴∠PBC=∠PCB=∠QCD=60°．∴∠PBA=∠ABC-∠PBC=30°，∠PCD=∠BCD-∠PCB=30°．∴∠PCQ=∠QCD-∠PCD=30°．∴∠PBA=∠PCQ=30°．【解析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．10.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点D，交AB于点E，连接DF，已知AB=16，AC=10，求DF的长．【答案】解：∵CE⊥AD，∴∠ADE=∠ADC=90°，∵在Rt△ADE和Rt△ADC中，∠EAD＝∠CAD, AD＝AD,∠EDA＝∠CDA，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AE=AC=10，ED=DC，又∵点F是BC中点，∴DF是△CBE的中位线，∴DF=BE=（AB-AE）=3．【解析】先判定△ADE≌△ADC，得出AE的长度，继而求出BE，然后判断DF是△CBE的中位线，再由中位线的性质即可得出DF的长．。
(完整版)三角形的中位线习题归类(绝对经典-绝对震撼)
三角形的中位线习题全面归类一、 直接应用1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ， 则EF=_______cm ．2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角 边中点的线段长为_______．4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ， 则原三角形的周长为_______．5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端， 小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一 位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到 达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______．6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、2200917．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ， CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10.如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．11.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点， 且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．12.如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长.(角平分线的垂线必有等腰三角形)13.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分 ∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．14.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：（1）DE ∥AB ； （2）DE=21（AB+AC ）如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M .BGA EFH DC求证：MN ∥BC .二、中点寻线，线组形（多个中点）1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点 ，G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． 证明四边形EGFH 是平行四边形；2.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点 E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。
三角形的中位线基础题30道填空题附详细答案
9.5 三角形的中位线基础题汇编（2）一．填空题（共30小题）1．（2014•鞍山）如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为的周长为 _________ ．2．（2014•海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为的度数为 _________ °．3．（2014•昆明模拟）如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MM=20m，那么A，B两点间的距离是两点间的距离是 _________ ．4．（2014•秦淮区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B_________ ．的坐标为（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为5．（2014•兴化市二模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C= _________ ．度． 6．（2013•漳州）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∠B=70°，则∠ADE= _________ 度．7．（2013•澄海区模拟）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，经量得MN=24米，则AB= _________ 米．米．8．（2013•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AC、AB的中点，DE=3，CE=5，则AC= _________ ．9．（2013•丰南区二模）如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积=2，则四边形BCED的面积= _________ ．10．（2012•盐城）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为_________ ．的度数为如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三阜新）11．（2012•阜新）个三角形的周长为_________ ． 角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为12．（2012•德阳）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则BC= _________ ．13．（2012•大东区二模）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE 的长是3，则BC 的长是的长是 _________ ．14．（2012•义乌市模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，则BC= _________ cm ．15．（2011•沙坪坝区模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 的周长为8，则△ADE 的周长是的周长是 _________ ．16．（2011•路南区一模）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=3，则DE 的长是的长是 _________ ． 17．（2009•来宾）已知AB 、CD 分别是梯形ABCD 的上、下底，且AB=8，CD=12，EF 是梯形的中位线，则EF= _________ ．18．（2008•房山区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AB=4，AC=6，DE=2.4，则△ABC 的周长是的周长是 _________ ．19．（2008•安溪县校级质检）梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，则它的中位线长为则它的中位线长为 _________ cm ． 20．（2007•静安区二模）在⊙O 中，AB 是直径，弦AC 的弦心距为3，那么BC 的长为的长为 _________ ．21．（2005•遵义）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF=5cm ，高AH=4cm ，则S 梯形ABCD = _________cm 2．22．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 边的中点，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，则CD ：CE= _________ ．23．在△ABC中，∠BAC的角平分线AN⊥BN，M是BC的中点，已知AB=10，AC=22，则MN= _________ ．24．如图，M、P分别为△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N．已知PN=1，则PB的长为的长为 _________ ．25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=AB，则∠FEG的角度是的角度是 _________ ．26．如图，△ABC中，D、F在AB上，且AD=BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G．求证：DE+FG=BC．27．（2011•南充自主招生）如图△ABC中，AC＞AB，AB=4，AC=x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E的函数关系式为_________ ．是BC的中点，DE=y，则y关于x的函数关系式为28．（2011•鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平_________ ．的长等于分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于29．（2014•安阳校级模拟）如图，DE是△ABC的中位线，DE=2cm，AB+AC=12cm，则梯形DBCE的周长为 _________ cm．30．（2011•常州校级模拟）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，_________ ．的面积之比为若BC=6，则DF的长是_________ ，△EDC与△ABC的面积之比为的长是9.5 三角形的中位线基础题汇编（2）参考答案与试题解析一．填空题（共30小题） 1．（2014•鞍山）如图，H 是△ABC 的边BC 的中点，AG 平分∠BAC ，点D 是AC 上一点，且AG ⊥BD 于点G ．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC 的周长为的周长为 49 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 判断出△ABD 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG=DG ，然后求出GH 是△BCD 的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2GH ，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．义列式计算即可得解．解答： 解：∵AG 平分∠BAC ，AG ⊥BD ， ∴△ABD 是等腰三角形，是等腰三角形， ∴AB=AD ，BG=DG ， 又∵H 是△ABC 的边BC 的中点，的中点，∴出GH 是△BCD 的中位线，的中位线，∴CD=2GH=2×5=10， ∴△ABC 的周长=12+15+（12+10）=49． 故答案为：49．点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．定理并准确识图是解题的关键．2．（2014•海门市模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠AFC=90°，则∠FAE 的度数为的度数为 64 °．考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析： 由点D ，E 分别是AB ，AC 的中点可EF 是三角形ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，再有平行线的性质和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可证明三角形EFC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠ECF 的度数，进而求出∠FAE 的度数．的度数． 解答： 解：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，的中点， ∴EF 是三角形ABC 的中位线，的中位线，∴EF ∥BC ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∵∠AFC=90°，E 分AC 的中点，的中点，∴EF=AC ，AE=CE ， ∴EF=CE ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26°， ∴∠FAE 的度数为90°﹣26°=64°， 故答案为64°．点评： 本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理的运用，题目的难度不大．角形的内角和定理的运用，题目的难度不大．3．（2014•昆明模拟）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MM=20m ，那么A ，B 两点间的距离是两点间的距离是 40m ．考点： 三角形中位线定理． 专题： 应用题．应用题． 分析： 三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．倍．解答： 解：∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴MN=AB ， ∴AB=2MN=2×20=40（m ）． 故答案为40m ．点评： 本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质，熟记性质是应用性质解决实际问题的关键． 4．（2014•秦淮区一模）如图，在△ABC 中，AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点．已知B （﹣1，0），C （9，0），则点F 的坐标为的坐标为 （4，6） ．考点： 三角形中位线定理；坐标与图形性质．分析： 如图，延长AF 交BC 于点G ．易证DF 是△ABG 的中位线，由三角形中位线定理可以求得点F 的坐标．的坐标．解答： 解：如图，如图，延长AF 交BC 于点G ．∵B （﹣1，0），C （9，0）， ∴BC=10． ∵AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，的中点， ∴AG ⊥BC ，则BG=CG=5． ∴G （4，0）∴在直角△ABG 中，由勾股定理得中，由勾股定理得 AG===12．则F （4，6）．故答案是：（4，6）．点评： 本题考查了三角形中位线定理和坐标与图形性质．利用勾股定理求得AG 的长度是解题的关键．的长度是解题的关键． 5．（2014•兴化市二模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C= 70° ．考点： 三角形中位线定理；三角形内角和定理．分析： 首先，利用三角形内角和定理求得∠AED=70°；然后根据三角形中位线定理推知DE ∥BC ，∠C=∠AED ． 解答： 解：如图，∵在△AED 中，∠A=50°，∠ADE=60°， ∴∠AED=70°． 又∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴DE ∥BC ， ∴∠C=∠AED=70°． 故答案是：70°．点评： 本题考查了三角形中位线定理和三角形内角和定理．解题时，要挖掘出隐含在题干中的已知条件：三角形内角和是180度．度．6．（2013•漳州）如图，△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∠B=70°，则∠ADE= 70 度．度．考点： 三角形中位线定理；平行线的性质．分析： 由题意可知DE 是三角形的中位线，所以DE ∥BC ，由平行线的性质即可求出∠ADE 的度数．的度数．解答： 解：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，的中点， ∴DE 是三角形的中位线，是三角形的中位线， ∴DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B=70°， 故答案为70．点评： 本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．7．（2013•澄海区模拟）如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点M 、N ，经量得MN=24米，则AB= 48 米．米．考点： 三角形中位线定理． 专题： 应用题．应用题． 分析： 根据三角形中位线的定义推知MN 是三角形ABC 的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB 的长度即可．可．解答： 解：∵点M 、N 是分别是AC 和BC 的中点，的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，MN=24米，米，∴MN=AB=24米，米，∴AB=48米．米． 故答案是：48．点评： 此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．8．（2013•滨湖区二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，DE=3，CE=5，则AC= 8 ．考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析： 首先判断DE 是△ABC 的中位线得出BC=2DE=6，再由CE 是斜边中线，可得出AB=2CE=10，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC 的长度．的长度．解答： 解：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点，的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴BC=2DE=6， ∵∠ACB=90°，CE 是斜边AB 上的中线，上的中线， ∴AB=2CE=10， 在Rt △ABC 中，AC==8．故答案为：8．点评： 本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是根据中位线的性质，及直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识求出BC ，AB 的长度．的长度．9．（2013•丰南区二模）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ADE 的面积=2，则四边形BCED 的面积= 6 ．考点： 三角形中位线定理． 分析：利用三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质得出=，进而求出即可．，进而求出即可．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴DE BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，∵△ADE 的面积=2， ∴S △ABC =8，则四边形BCED 的面积=6． 故答案为：6．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．是解题关键．10．（2012•盐城）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∠B=50°．先将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A 1，则∠BDA 1的度数为的度数为 80° ．考点： 三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．分析： 由折叠的性质可知AD=A 1D ，根据中位线的性质得DE ∥BC ；然后由两直线平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；最后由折叠的性质知∠ADE=∠A 1DE ，所以∠BDA 1=180°﹣2∠B=80°．解答： 解：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点， ∴DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）；又∵∠ADE=∠A 1DE ， ∴∠A 1DA=2∠B ， ∴∠BDA 1=180°﹣2∠B=80°； 故答案是：80°．点评： 本题考查了三角形中位线定理、本题考查了三角形中位线定理、翻折变换翻折变换翻折变换（折叠问题）（折叠问题）．折叠的性质：折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠是一种对称变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11．（2012•阜新）阜新）如图，△ABC 的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n 个三角形的周长为个三角形的周长为 26﹣n．考点： 三角形中位线定理．专题： 规律型．规律型． 分析： 根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解． 解答： 解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC 的周长×=32×， 第三个三角形的周长为=△ABC 的周长××=32×（）2， …第n 个三角形的周长=32×（）n ﹣1=26﹣n，故答案为：26﹣n．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n 个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．第一个三角形的周长的关系．12．（2012•德阳）如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE ，若DE=5，则BC= 10 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 根据三角形的中位线定理得到BC=2DE ，代入DE 的长即可求出BC ．解答： 解：∵点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，的中点，∴DE ∥BC ，DE=BC ， ∵DE=5， ∴BC=10． 故答案为：10．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．13．（2012•大东区二模）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE 的长是3，则BC 的长是的长是 6 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 根据三角形的中位线定理得到BC=2DE ，代入DE 的长即可求出BC ．解答： 解：∵D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点，∴BC=2DE ， ∵DE=3， ∴BC=6． 故答案为：6．点评： 本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．的关键．14．（2012•义乌市模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，则BC= 4 cm ．考点： 三角形中位线定理．分析： 根据三角形中位线定理即可求得BC 的长．的长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ， ∴DE=×BC=2cm ， ∴BC=4cm ． 故答案为：4．点评： 此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15．（2011•沙坪坝区模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 的周长为8，则△ADE 的周长是的周长是 4 ．考点： 三角形中位线定理． 分析：根据三角形中位线的性质知AD=AB 、AE=AC 、DE=BC ；然后由三角形的周长公式可以求得△ADE 的周长．周长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴点D 、E 分别是线段AB 、AC 的中点，DE=BC ， ∴AD=AB 、AE=AC ；又∵△ABC 的周长为8， ∴△ADE 的周长是：（AB+BC+AC ）=×8=4； 故答案是：4．点评： 本题考查了三角形中位线定理．解得该题的关键是正确理解三角形中位线的定义．16．（2011•路南区一模）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=3，则DE 的长是的长是 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 直接根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得到答案．解答： 解：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点，∴DE=AB ， ∵AB=3， ∴DE=， 故答案为：．点评： 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是熟练掌握定理内容．此题主要考查了三角形中位线定理，关键是熟练掌握定理内容．17．（2009•来宾）已知AB 、CD 分别是梯形ABCD 的上、下底，且AB=8，CD=12，EF 是梯形的中位线，则EF= 10 ．考点： 梯形中位线定理． 分析： 根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算．根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算． 解答： 解：由梯形中位线的性质，可知解：由梯形中位线的性质，可知EF=（AD+CD ）=（8+12）=10．点评： 本题考查的是梯形中位线的性质，属最基本的概念题目．本题考查的是梯形中位线的性质，属最基本的概念题目．18．（2008•房山区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AB=4，AC=6，DE=2.4，则△ABC 的周长是的周长是 14.8 ．考点： 三角形中位线定理．分析： 首先根据三角形的中位线定理即可求得BC 的长，然后即可求得周长．的长，然后即可求得周长．解答： 解：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，边的中点， ∴BC=2DE=4.8，∴△ABC 的周长是：AB+AC+BC=4+6+4.8=14.8． 故答案为：14.8．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，是一个基础题．本题主要考查了三角形的中位线定理，是一个基础题． 19．（2008•安溪县校级质检）梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，则它的中位线长为，则它的中位线长为 5 cm ．考点： 梯形中位线定理． 专题： 计算题．计算题． 分析： 根据梯形中位线的性质：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半．根据梯形中位线的性质：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半． 解答： 解：∵梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，∴中位线长为：（3+7）=5cm ． 故答案为：5cm ．点评： 本题考查了梯形的中位线定理：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半． 20．（2007•静安区二模）在⊙O 中，AB 是直径，弦AC 的弦心距为3，那么BC 的长为的长为 6 ．考点： 三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理． 分析：首先根据题意画出图形，再证明OF ∥BC ，又因为AO=OB ，可得OF 是△ABC 的中位线，从而得到OF=BC ，即可得到答案．即可得到答案．解答： 解：∵AB 是直径，是直径， ∴∠C=90°， ∵OF ⊥AC ， ∴∠AFO=90°， ∴OF ∥BC ， ∵O 为圆心，为圆心， ∴AO=OB ， ∴OF=BC ， ∵OF=3， ∴BC=6． 故答案为：6．点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理与圆周角定理，证出OF 是△ABC 的中位线是解题的关键．的中位线是解题的关键． 21．（2005•遵义）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF=5cm ，高AH=4cm ，则S 梯形ABCD = 20 cm 2．考点： 梯形中位线定理．分析： 此题只需根据梯形的中位线定理进行计算．梯形的面积等于梯形的中位线长×梯形的高．梯形的高． 解答： 解：∵梯形的面积=梯形的中位线长×高，高，∴梯形的面积=4×5=20． 故答案为：20．点评： 此题主要考查学生对梯形的中位线定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．此题主要考查学生对梯形的中位线定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．22．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 边的中点，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，则CD ：CE= 1：2 ．考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．分析： 取AC 的中点F ，连接BF ，求出AE=AF ，利用“边角边”证明△ABF 和△ACE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE ，再判断出BF 是△ACD 的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．边的一半证明．解答： 证明：如图，取AC 的中点F ，连接BF ，∵∠ACB=∠ABC ， ∴AB=AC ， ∵E 是AB 的中点，的中点，∴AE=AF=AB ， 在△ABF 和△ACE 中，中，，∴△ABF ≌△ACE （SAS ）， ∴BF=CE ， ∵BD=AC ， ∴BD=AB ， ∴BF 是△ACD 的中位线，的中位线， ∴BF=CD ， ∴CE=CD ． ∴CD ：CE=1：2． 点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等角对等边的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AN ⊥BN ，M 是BC 的中点，已知AB=10，AC=22，则MN= 6 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 延长线段BN，交AC于E，利用已知易证△ABN≌△AEN，所以BN=EN，从而证得MN是△BCE的中位线，所以求出EC，再运用中位线定理求MN．解答： 解：延长线段BN，交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN．∵在△ABN与△AEN中，，∴△ABN≌△AEN（ASA）．∴AE=AB=10，BN=NE．的中点，又∵M是△ABC的边BC的中点，故MN=EC=（AC﹣AE）=（22﹣10）=6．故答案是：6．点评： 本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．即可：作出辅助线NE即可：的长；（1）构造出全等三角形（△ABN≌△AEN），从而求出CE的长；是中位线，从而轻松解决问题．（2）证明MN是中位线，从而轻松解决问题．24．如图，M、P分别为△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N．已知PN=1，则PB的长为4 ．的长为考点： 三角形中位线定理．分析： 取AP中点D，连接MD，根据已知条件易证DM是△ABP的中位线，所以DM∥BP；BP=2DM，进而可得PN是△CDM的中位线，所以DM=2PN=2，由此可得：BP=2DM=2×2=4．解答： 解：如图所示，取AP中点D，连接MD，∵AP=2CP，∴AD=DP=CP，∵AM=BM，∴DM是△ABP的中位线，的中位线，∴DM∥BP；BP=2DM，∴PN是△CDM的中位线，的中位线，∴DM=2PN=2，∴BP=2DM=2×2=4，故答案为：4．点评： 本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=AB，则∠FEG的角度是的角度是 120° ．考点： 三角形中位线定理．分析：连接AG，BF，GF，作EH⊥GF于H，可得GE=FE=AB，结合三角形中位线定理可得GF=CD=AB，在Rt△GHE中利用三角函数可求得∠EGH，从而可得到∠FEG．解答： 解：连接AG，BF，GF，作EH⊥GF于H，的中点，∵G、F是OD、OC的中点，∴GF=CD=AB，∵AO=AD，BO=BC，∴AG⊥BD，BF⊥AC，∵E是AB的中点，的中点，∴EG=FG=AB，∴GH=HF=AB，∴sin∠GEH=∠FEH==，∴∠GEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=120°，故答案为：120°．点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质及三角形中位线定理，通过构造等腰三角形和条件找到GF和AB之间的关系，在Rt△GEF中利用三角函数求得∠EGH和∠EFH是解题的关键．是解题的关键．26．如图，△ABC中，D、F在AB上，且AD=BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G．求证：DE+FG=BC．考点： 梯形中位线定理；三角形中位线定理．证明题．专题： 证明题．分析：连接DF与EG的中点M、N，根据三角形的中位线定理，可得出MN=BC，根据梯形的中位线定理可得出MN=（DE+FG），从而证得结论；，从而证得结论；解答： 解：取AB，AC的中点M，N，连接MN，∴MN=BC，∵AD=BF，∴MN是梯形的中位线，是梯形的中位线，∴MN=（DE+FG），∴DE+FG=BC．点评： 本题考查了三角形的中位线定理和梯形的中位线定理，熟练掌握和运用定理是本题的关键．27．（2011•南充自主招生）如图△ABC中，AC＞AB，AB=4，AC=x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC的y=x﹣2 ．中点，DE=y，则y关于x的函数关系式为的函数关系式为考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 作辅助线BF（延长BD，交AC于F）构造等腰三角形ABF；根据等腰三角形的性质：顶角角平分线、底边上的高与中线重合的性质证明D点是边BF的中点；再在三角形BFC中根据三角形中位线定理求得x与y的关系．的关系．解答： 解：延长BD，交AC于F．∵BD⊥AD，∴AD⊥BF；又∵AD 平分∠BAF ， ∴AB=AF=4，BD=DF ， ∴D 为BF 的中点；的中点； 又∵E 为BC 的中点，的中点，∴DE=CF=（x ﹣4）=y ， 即y=x ﹣2． 故答案是：y=x ﹣2．点评： 本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．28．（2011•鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 与CE 都是△ABC 的外角平分线，M 、N 是直线BC 上两点，且AM ⊥BD 于D ，AN ⊥CE 于E ，则DE 的长等于的长等于 7 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 由AM ⊥BD ，∠ABD=∠MBD ，得到∠BAD=∠BMD ，进一步推出MB=AB ，AF=MF ，同理CN=AC ，AE=NE ，即可得出答案．即可得出答案．解答： 解：∵BD 是△ABC 的外角平分线，的外角平分线， ∴∠ABD=∠MBD ； 又∵AM ⊥BD ， ∴∠BAD=∠BMD （等量代换）， ∴MB=AB （等角对等边），∴AD=MD （等腰三角形“三线合一”），同理：CE=AC ，AE=NE ， ∴DE 是△AMN 的中位线，的中位线， ∴FG=MN =（MB+BC+CN ） =（AB+BC+AC ） =×（3+5+6） =7．故答案是：7．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，等腰三角形的性质和判定等知识点，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键证得解此题的关键证得DE 是△AMN 的中位线．的中位线．29．（2014•安阳校级模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，AB+AC=12cm ，则梯形DBCE 的周长为的周长为 12 cm ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 由中位线定理易得BC 应为DE 的2倍，根据线段中点定义可得BD+CE 长，也就求得所求梯形的周长．长，也就求得所求梯形的周长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ， ∴BC=2DE=2×2=4cm ． ∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴BD=AB ，CE=AC ，∴梯形DBCE 的周长为BD+CE+DE+BC=（AB+AC ）+（BD+CE ）=×12+6=12cm ．故答案为12．点评： 本题考查了三角形中位线的性质及线段中点定义，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用．边形方面起着非常重要作用．30．（2011•常州校级模拟）如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是的长是 3 ，△EDC 与△ABC 的面积之比为的面积之比为 ．考点： 三角形中位线定理．分析： 首先根据条件D 、E 分别是BC 、AC 的中点可得DE ∥AB ，再求出∠BFD=∠DBF ，根据等角对等边可得到DB=DF ，再证明△ABC ∽△EDC ，可得到对应变成比例，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得到答案． 解答： 解：∵△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，的中点，∴DE ∥AB ，BD=BC=3， ∴∠ABF=∠BFD ， ∵BF 平分∠ABC ， ∴∠FBC=∠ABF ， ∴∠BFD=∠DBF ， ∴DB=DF=3， ∵DE ∥AB ， ∴△ABC ∽△EDC ， ∵，∴△EDC 与△ABC 的面积之比为：．故答案为：3，．点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理的应用与相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明DE∥AB，可得到△ABC∽△EDC，∠ABF=∠BFD．。
八下 9.5 三角形的中位线 含答案
9.5三角形的中位线一. 选择题1.如图，DE是^ABC的中位线，过点C作CF〃BD交DE的延长线于点F,那么下列结论正确的选项是（A. EF=CFB. EF=DEC. CF<BDD. EF>DE假设DE是^ABC的中位线，延长DE交^ABC的外角ZACM的平分线于点F,那么线段DF的长为（）A. 7B. 8C. 9D. 10 3.如图，在^ABC 中，ZACB=90°, AC=8, AB=10, DE 垂直平分AC 交AB 于点E,那么DE的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3 4.如图，在Z\ABC中，点D, E分别是边AB, AC的中点，AF±BC,垂足为点F,ZADE=30°, DF=4,那么BF 的长为（）A. 4B. 8C. 2扼D. 4扼5.如图，在RtAABC中，ZA=30°, BC=1,点D, E分别是直角边BC, AC的中点，那么DE的长为（）A. 1B. 2C. VS D・ 1+V36.在中，AB=3, BCM, AC=2, D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE,那么四边形DBEF的周长是（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11二. 填空题7.如图，在ZkABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8,那么DE=8.如图, AB、CD*目交于点0, 0C=2, 0D=3, AC〃BD, £「是左0DB的中位线,且EF=2,那么AC的长为ZACB=90°, M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D,使CD=^BD,连接DM、DN、MN.假设AB=6,那么DN=310.如图，ZkABC的面积为12cm2,点D、E分别是AB、AC边的中点，贝I」梯形ADBCE的面积为 ___ cm2.11.在Z\ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么Z\ADE的面积与Z\ABC的面积的比是___ .12.如图，在ZXABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA ±的中点，且AB=6cm, AC=8cm,那么四边形ADEF的周长等于____ c m.13.如图，EF为ZXABC的中位线，AAEF的周长为6cm,那么Z\ABC的周长为__ cm.14.如图，在RtAABC 中，ZA=90°, AB=AC, BC=20, DE 是ZXABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3,点N是线段MC ±的一个动点，连接DN, ME, DN 与ME相交于点0・假设左0MN是直角三角形，那么DO的长是三. 解答题15.如图，/XABC, AD平分ZBAC交BC于点D, BC的中点为M, ME〃AD, 交BA的延长线于点E,交AC于点F.(1)求证：AE=AF；(2)求证：BE=1 (AB+AC).216.如图，^ABC中，D为AB的中点.(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连结DE (保存作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，假设DE=4,求BC的长.17.如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°, AC=AD, M, N分别为AC, CD的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM=MN；(2)ZBAD=60°, AC 平分ZBAD, AC=2,求BN 的长.18.如图，在Z\ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF〃AB,交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当AABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？A19. D、E分别是不等边三角形ABC （即AB尹BC尹AC）的边AB、AC的中点.0 是Z\ABC所在平面上的动点，连接OB、0C,点G、F分别是OB、0C的中点，顺次连接点D、G、F、E.（1）如图，当点。
初二数学三角形中位线练习题(含答案)
初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图 第9题图 第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==， 故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=． 故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+， 又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==． 【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=， 又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==， 故答案为：1． 三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。
6.4 三角形的中位线定理(含答案)
6.4 三角形的中位线定理一、选择题（本大题共40小题，共120.0分）1.如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A. 8B. 9C. 10D. 112.如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( )A. 3.5B. 4C. 7D. 143.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为( )A.1B. 2C. 3D. 44.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（）A. 6B. 12C. 18D. 245.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=16，则HE等于（）A. 32B. 16C. 8D. 106.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形7.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（）A. 8B. 10C. 12D. 168.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是边AB，AD，DC的中点，则EF=（）A.BDB. BDC. BGD. BG9.如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）A. AB=36mB. MN∥ABC. MN=CBD. CM=AC10.如图所示点D、E分别是AB、AC中点，若DE=4，则BC=（）A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（）A. 4B. 3C. 2D. 112.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）A.2B. 3C. 4D. 613.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，DF，则下列说法不正确的是（）A. S△DEF=S△ABCB. △DEF≌△FAD≌△EDB≌△CFEC. 四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF都是平行四边形D. 四边形ADEF的周长=四边形DBEF的周长=四边形DECF的周长14.如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形15.如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）A. 一定不是平行四边形B. 一定不是中心对称图形C. 可能是轴对称图形D. 当时，它为矩形16.如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A. BC=2BEB. ∠A=∠EDAC. BC=2ADD. BD⊥AC17.如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 64B. 48C. 32D. 1618.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，若DE=3，则AB的长为（）A.3B. 4C. 5D. 619.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（）A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 等腰梯形20.在△ABC内取一点O，连接AO、BO、CO，它们的中点是D、E、F．若DE＝2，则AB的长为（）A. 1B. 2C. 4D. 821.如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为（）A. 3B. 6C. 8D. 1222.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，菱形ABCD的周长为（）A. 9B. 12C. 24D. 3223.若三角形的各边长分别是8cm、10cm和16cm，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（）A. 34cmB. 30cmC. 29cmD. 17cm24.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如果一个四边形是矩形，那么它的中点四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形25.如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形26.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形27.如图,DE是的中位线,若BC的长为3cm,则DE的长是( )A.2cmB.C.D.1cm28.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF=4，则菱形ABCD的周长为（）A.16B.20C.24D.3229.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A.2B.B. 3C.C.D. D.30.如图，在菱形ABCD中，点E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果，菱形ABCD的周长为（）A. 16E.12F.10G.831.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形32.如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A.40cmB.30cmC.20cmD.10cm33.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）A.B.C.D.34.如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A. 线段EF的长始终不变H.线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长逐渐增长D. 线段EF的长与点P的位置有关35.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为（）A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm36.在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE平分∠DOC，若OE＝3，CE＝2，则矩形ABCD的周长为（）A. 10B. 15C. 20D. 2237.如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC垂足为D，OD=40cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A.20cmB.B. 40cmC.C. 60cmD.D. 80cm38.如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是（）A. 梯形B. 矩形C. 菱形D. 正方形39.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（）A. 等腰梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形40.顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点所得四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF=BC，FE=AB，DE=AC；∴DF+FE+DE=BC+AB+AC=（AB+BC+CA）=×18=9，故选B．根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选：A．根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB===6，∵M是AD的中点，∴OM=CD=3．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=AB，AE=AC，DE=BC，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2AD+2AE+2DE=2（AD+AE+DE）=2×6=12．故选：B．根据线段中点的性质求出AD=AB、AE=AC的长，根据三角形中位线定理求出DE=AB，根据三角形周长公式计算即可．本题考查的是三角形的中点的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．5.【答案】B【解析】解：∵D，F分别为BC，AB边的中点，∴AC=2DF=32，∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°，又E为AC边的中点，∴HE=AC=16，故选：B．根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．根据三角形的中位线定理可得，EH平行且等于CD的一半，FG平行且等于CD的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到EH和FG平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又因为EF等于AB的一半且AB=CD，所以得到所证四边形的邻边EH与EF相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH=CD；同理FG∥CD且FG=CD，同理可得EF=AB，则EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形，又AB=CD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．7.【答案】D【解析】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，EF∥AB，DE=AC=5，EF=AB=3，∴四边形ADEF平行四边形，∴AD=EF，DE=AF，∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）=16，故选：D．根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可．本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是关键.由E，F分别是边AB，AD的中点根据三角形中位线定理即可得.【解答】解：∵E，F分别是边AB，AD的中点，∴EF=BD，且EF∥BD.故选B．9.【答案】C【解析】解：∵CM=MA，CNB，∴MN∥AB，MN=AB，∵MN=18m，∴AB=36m，故A、B、D正确，故选：C．根据三角形的中位线定理即可判断；本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．10.【答案】D【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵DE=4，∴BC=2×4=8．故选：D．根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC．本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．11.【答案】B【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵BC=6，∴DE=BC=3．故选：B．由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．考查了三角形的中位线定理，根据定理确定DE等于那一边的一半是解题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×8=4．故选C．13.【答案】D【解析】解：连接DF∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB∴四边形ADEF，四边形DECF，四边形BDFE是平行四边形∴△ADF≌△DEF，△BDE≌△DEF，△CEF≌△DEF∴△DEF≌△ADF≌△BDE≌△CEF∴S△ADF=S△BDE=S△DEF=S△CEF．∴S△DEF=S△ABC．故①②③说法正确∵四边形ADEF的周长为2（AD+DE）四边形BDFE的周长为2（BD+DF）且AD=BD，DE≠DF，∴四边形ADEF的周长≠四边形BDFE的周长故④说法错误故选：D．根据中位线定理可证DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，即可得四边形ADEF，四边形DECF，四边形BDFE是平行四边形．即可判断各选项是否正确．本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟练运用中位线定理解决问题是本题的关键．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明.【解答】解：连接AC、BD，AC交FG于L．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，HG=AC，同法可得：EF=AC，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，同法可证：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．先连接AC，BD，根据，，可得四边形EFGH是平行四边形，当时，，此时四边形EFGH是矩形；当时，，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．【解答】解：如图，连接AC，BD，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，，，四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形，当时，，此时四边形EFGH是矩形，当时，，此时四边形EFGH是菱形，四边形EFGH可能是轴对称图形．故选C．16.【答案】C【解析】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选：C．根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．17.【答案】C【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴∠BOC=90°，∵E为AB的中点，且OE=4，∴BC=2EO=8，∴菱形ABCD的周长是：8×4=32．故选：C．利用菱形的性质得出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出BC的长，即可得出菱形的周长．此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出BC的长是解题关键．18.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵D，E分别为AC，BC的中点，∴AB=2DE=6，故选：D．19.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．【解答】解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理，FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选A．20.【答案】C【解析】解：∵AD=OD，BE=OE，∴DE是△OAB的中位线，∴AB=2DE=4，故选：C．根据三角形的中位线定理即可解决问题．本题考查三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键，根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，EF=3，∴AB=2EF=6，又∵AB=CD，∴CD=6．故选B .22.【答案】D【解析】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，∴BC=2EF=8，∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周长是：4×8=32．故选：D．由点E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23.【答案】D【解析】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，∴DE=AC，DF=BC，FE=AB，∴△DEF的周长==17（cm），故选：D．根据三角形中位线定理分别表示出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．24.【答案】C【解析】解：如图，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选C．作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．25.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、三角形的中位线的性质和全等三角形的性质和判定，根据三角形中位线和线段中点得出DE=BC，AE=AC，推出AE=DE，根据旋转的性质得出全等，推出AE=EC，DE=EF，推出AC=DF，根据矩形的判定推出即可．【解答】解：矩形，理由是：∵AC=BC，点D. E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC,AE=AC，∵AC=BC，∴AE=DE，∵将△ADE绕点E旋转180∘得△CFE，∴△ADE≌△CFE，∴AE=CE，DE =EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AE=CE，DE =EF，AE =DE，∴AE=CE=DE=EF，∴AC=DF，∴四边形ADCF是矩形，故选A.26.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理可得顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.【解答】解：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故选B.27.【答案】B【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵BC的长为3cm，∴DE=1.5．故选B．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；本题利用定理计算即可．本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．28.【答案】D【解析】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，∴BC=2EF=8∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD=8∴菱形ABCD的周长=32故选：D．由三角形的中位线定理可得BC=8，由菱形的性质可求菱形ABCD的周长．本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．29.【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键．连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选：D．30.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【解答】解：∵E是AC中点，EF BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC，∴BC=4，∴菱形ABCD的周长是4×4=16．故选A.31.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．如图：根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答.解：如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），∵矩形ABCD的对角线AC=BD，∴EF=GH=FG=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选B．32.【答案】A【解析】【分析】本题考查了菱形的性质——对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记菱形的性质与三角形中位线定理是解题的关键．根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得菱形的边长即BC=2OM，从而不难求得其周长．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴根据三角形中位线定理可得：BC=2OM=10，则菱形ABCD的周长为40cm．故选A．33.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等.由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE.【解答】解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠PDE=48°.故选B.34.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，三角形中位线的性质有关知识，连接AR，根据勾股定理得出AR的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=AR，即可得出答案.解：连接AR，∵矩形ABCD固定不变，R在CD的位置不变，∴AD和DR不变，∵由勾股定理得：，∴AR的长不变，∵E、F分别为AP、RP的中点，∴EF=AR，即线段EF的长始终不变.故选A.35.【答案】B【解析】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴OC=OA，又∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AB=6cm．故选：B．先利用平行四边形的对角线互相平分，可知O是AC的中点，再结合E是BC中点，可得OE是△ABC的中位线，利用中位线定理，可求出AB．此题考查的知识点：（1）平行四边形的对角线互相平分；（2）三角形的中位线平行且等于底边的一半．36.【答案】C【解析】【分析】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质有关知识，由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE平分∠DOC，OE⊥CD，OE∥BC∥AD，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长，进而解答即可.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∠BCD=90°，∵OE平分∠DOC，∴OE⊥CD，∴OE∥BC∥AD，∴OE是△ACD的中位线，∵OE=3，∴AD=2OE=2×3=6．∵CE=2，∴CD=4，∴矩形ABCD的周长=20，故选C.37.【答案】D【解析】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线，∴AC=2OD=2×40=80（cm）．故选：D．判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．38.【答案】C【解析】【分析】本题利用了中位线的性质和菱形的判定：四边相等的四边形是菱形，因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，∴EH=FG=BD，EF=HG=AC，∵AC=BD∴EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形．故选C．39.【答案】B【解析】解：因为矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理可得：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．故选：B．根据三角形的中位线定理可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．如果该四边形的对角线相等，又可以证明所得的平行四边形的一组邻边相等，即是菱形．因为矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．能够运用三角形的中位线定理证明下列命题：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．40.【答案】D【解析】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC=BD，∴EF⊥FG，FE=FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直且相等，那么所得四边形是正方形．本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．。
人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义：.符号语言：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点,则：线段DE是△ABC的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。
②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点：都是一条线段，都有三条。
三角形中位线定理：.!符号语言表述：∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE//21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．3．一个三角形的中位线有_________条．4.如图△ABC中，D、E分别是AB、（AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．(1) (2) (3) (4)"7．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．EDBEDA8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 ，C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．@15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；…16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．·BGA E F HD C图517．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．（18．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．—19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。
三角形的中位线 专题练习题 含答案
三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。
初二数学三角形中位线练习题（含答案）
初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( ) A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16B ．12C ．8D ．43．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10第3题图题图 第4题图题图 第5题图题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 ． 7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = ． 8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图题图 第9题图题图 第10题图题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A Q 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线， 192AB DE m ∴==，故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( )A ．16B ．12C ．8D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：Q 三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=．故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， Q 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E Q ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=，∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P Q 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=，同理，12PF BC =， AD BC =Q ， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥Q ，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+=，E Q 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+，又10AD =Q ，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M Q 、N 分别为CA 、CB 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线， 1132MN AB∴==， ②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==．【解答】解：ABC ∆Q 是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC∴=， 又DF Q 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=，5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，如图，在四边形在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：Q 四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E Q 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD Q ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FB DFC BFG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =Q ，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AM AMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =Q ，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH∴==， 故答案为：1．三．解答题（共3小题） 11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =． 【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =Q ，CF 平分ACB ∠，F ∴是AD 中点， AE EB =Q ， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线，12EF BD∴=．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D Q 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， 12DE BC ∴=，//DE BC， F Q 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC， DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF ∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE ∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG ∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，M Q 、F 分别是BC 、CD 的中点， ∴MF 是△BCD 的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=， 同理：//ME AC ，12ME AC =，AC BD =Q ME MF ∴=MEF MFE ∴∠=∠， //MF BD Q ，MFE OGH ∴∠=∠，同理，MEF OHG ∠=∠， OGH OHG ∴∠=∠ OG OH ∴=．。
中考数学总复习《三角形中位线综合》专题训练(附答案)
中考数学总复习《图形的旋转综合题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.2．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．l l l，正方形1234且垂直于于点Ｅ，分别交24,l l于点F，G，1,2===．EF DG DF（1）AE=____，正方形ABCD的边长＝____；（2）如图2，将AEG∠绕点A顺时针旋转得到AE D∠''，旋转角为(090)αα<<，点D'在直线3l'''，使点,B C''分别在直线24,l l上．上，以AD'为边在的E D''左侧作菱形AD C B①写出B AD∠''与α的函数关系并给出证明；'''的边长．②若α=30°，求菱形AD C B5．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．6．(1)如图1，在△ABC中BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=1∠ABC(0°＜∠CBE2（2）类比引申如图2，四边形ABCD中AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．8．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．9．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，当ABC的三个内角均小于''，连接如图1，将得到A P C已知当ABC有一个内角大于或等于≥︒，则该三角形的“费马点”为120如图4，在ABC中三个内角均小于为ABC的“费马点”，求PA PB+参考答案：1．解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE∴∠DCE=60°，DC=EC∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时由旋转的性质得，BE=AD∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE由（1）知，△CDE是等边三角形∴DE=CD∴C△DBE=CD+4由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小此时，CD=23cm∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形∴当点D与点B重合时，不符合题意②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=∠CBE-∠ABC=∠CAD-∠ABC=60°，∠BDE＜60°∴∠BED=90°由（1）可知，△CDE是等边三角形∴∠DEC=60°∴∠CEB=30°∵∠CEB=∠CDA∴∠CDA=30°∵∠CAB=60°∴∠ACD=∠ADC=30°∴DA=CA=4∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=∠CBE+∠ABC=∠CAD+∠ABC=120°＞90°∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=180°-∠CBE-∠ABC=180°-∠CAB-∠ABC=60°又由（1）知∠CDE=60°∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC而∠BDC＞0°∴∠BDE＞60°∴只能∠BDE=90°∴∠BDC=30°∴∠BCD=60°-30°=30°∴∠BDC=∠BCD∴BD=BC=4∴OD=14cm∴t=14÷1=14s综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．2．（1）结论：BQ=CP．理由：如图1中作PH∥AB交CO于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH，∴OH=PB∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP∵∠OPQ=∠OCP=60°∴∠POH=∠QPB∵PO=PQ∴△POH≌△QPB∴PH=QB∴PC=BQ．（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点∴CO=AO=BO，∠CBO=60°∴△CBO是等边三角形∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°∴∠CHP=∠CPH=60°∴△CPH是等边三角形∴PC=PH=CH3．（1）如图1将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′∴△ABP′≌△CBP∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3在Rt△PBP′中BP=BP′=2∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=2BP=22∵AP=1∴AP2+PP′2=1+8=9∵AP′2=32=9∴AP2+PP′2=AP′2∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；（2）如图2将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′在Rt△AED′和Rt△B′MA 中'''B M AE AB AD =⎧⎨=⎩ ∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL ）∴∠D′AE+∠B′AM=90°∠B′AD′+α=90°∴∠B′AD′=90°﹣α；②过点E 作ON 垂直于l 1分别交l 1，l 2于点O ，N若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=533由勾股定理可知菱形的边长为：2584133+=．5．解：（1）如图1，延长ED 交AG 于点H∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点∴OA =OD ，OA ⊥OD∵OG =OE在△AOG 和△DOE 中同理可求∠BOG′=30°∴α=180°−30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A．O、F′在一条直线上时，AF′的长最大∵正方形ABCD的边长为1∴OA=OD=OC=OB=22∵OG=2OD∴OG′=OG=2∴OF′=2∴AF′=AO+OF′=22+2∵∠COE′=45°∴此时α=315°．6．解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．∵∠DBE=12∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =12∠ABC．∴∠ABD＋∠E′BA =12∠ABC，即∠E′BD=12∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．在△E′BD和△EBD中∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD ∴△E′BD≌△EBD（SAS）．∴DE′=DE．（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE′A（点C与点A 重合，点E到点E′处），连接DE′．由（1）知DE′=DE．由旋转的性质，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．在Rt△DE′A中DE′2=AD2+E′A2∴DE2=AD2+EC2．7．解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1∵∠ADC=∠B=90°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF 即∠EAF=∠FAG在△EAF和△GAF中AE AG{EAF FAGAF AF=∠=∠=∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°∴∠BAE+∠DAF=45°∴∠EAF=∠FAG∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线在△AFE和△AFG中,,AE AG FAE FAGAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE≌△AFG（SAS ）∴EF=FG∵FG=DG+DF∴EF=BE+DF故答案为：∠B+∠ADC=180°；（3）联想拓展猜想：DE 2=BD 2+EC 2．理由如下：把△ACE 绕点A 逆时针旋转90°到ABF 的位置，连接DF ，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°∴∠FAB=∠CAE．BF=CE ，∠ABF=∠C∴∠FAE=∠BAC=90°∵∠DAE=45°∴∠FAD=90°-45°=45°∴∠FAD=∠DAE=45°在△ADF 和△ADE 中,AF AE FAD DAE ADAD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF≌△ADE（SAS ）∴DF=DE∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=∠C=45°∴∠C=∠ABF=45°∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°∴△BDF 是直角三角形∴BD 2+BF 2=DF 2∴BD 2+EC 2=DE 2．8．（1）证明：如图1∵EN∥AD，∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．∵点M 为DE 的中点，∴DM=EM．在△ADM 和△NEM 中∵MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△NEM（AAS ）． ∴AM=MN．∴M 为AN 的中点．（2）证明：如图2∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，∴∠DAE+∠NEA=180°．∵∠DAE=90°，∴∠NEA=90°．∴∠NEC=135°．∵A，B，E三点在同一直线上，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．（3）△ACN仍为等腰直角三角形．证明如下：如图3，此时A、B、N三点在同一条直线上．∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．∵AD=AB，∴AB=NE．在△ABC和△NEC中∵AB NEABC NECBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△NEC（SAS）．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN 为等腰直角三角形．9．（1）解：∵60PC P C PCP ''=∠=︒，∴PCP '△为等边三角形；∴PP PC '= 60P PC PP C ''∠=∠=︒又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥由两点之间线段最短可知，当B ，P ，P ' A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值 最小值为A B '，此时的P 点为该三角形的“费马点”∴180BPC P PC '∠+∠=︒ 180A P C PP C ∠+∠='''︒∴120BPC ∠=︒ 120A P C ''∠=︒又∵A P C APC ≅''∴120APC AP C '∠=∠=︒∴360120APB APC BPC ∠=︒-∠-∠=︒∴120APC BPC APB ∠=∠=∠=︒；∵120BAC ∠≥︒∴BC AC > BC AB >∴BC AB AC AB +>+ BC AC AB AC +>+∴三个顶点中顶点A 到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120︒；④A ．（2）将APC △绕，点C 顺时针旋转60︒得到A P C ''，连接PP '2(PA a PB a PC a a PA ++=最小时，总的铺设成本最低 顺时针旋转90︒得到A P C ''，连接PC 90PCP ACA ''∠=∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H∵60ACB ∠=︒ 90ACA '∠=︒∴30A CH '∠=︒∴12km 2A H A C ''==∴22224223(km)HC AC AH =-=-= ∴2323=43(km)BH BC CH =+=+∴2222(43)2213(km)A B AH BH '=+=+= 2PA PB PC ++的最小值为213km 总的铺设成本2(2)=213PA a PB a PC a a PA PB PC a =++=++（元） 故答案为：213a。
人教版八年级数学下册三角形的中位线练习题(含答案)
三角形的中位线练习题三角形中位线定义： 。
符号语言:在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点， 则：线段DE 是△ABC 的__ __,三不同点:①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点.②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。
相同点:都是一条线段，都有三条.三角形中位线定理： 。
符号语言表述：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD ，AE=CE) ∴DE //21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿, 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1)如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示,EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1） (2） (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12,•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4。
5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长,一位E DBEDA同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E,并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形,•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推,第2010个三角形的周长是( ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R,P 分别是DC ，BC 上的点，E,F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时, 那么下列结论成立的是( ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D,F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是( ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15。
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三角形的中位线经典练习题及其答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
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八年级三角形的中位线练习题及其答案
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、
AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿
5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿
6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．
(1) (2) (3) (4)
7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm
10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）
A ．15m
B ．25m
C ．30m
D ．20m
11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、
20081 B 、20091 C 、220081 D 、2
20091
12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上
从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定
13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．
15.已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；
16．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：
EF=
1
2
BD．
17．如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．
18．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
19.如图，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
H
G
F
E
D
C
B
A
B
G
A E
F
H
D
C
图5
20．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：四边形DEFG是平行四边形．
21.如图5，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A D
，不重合），G F H
，，分别是BE BC CE
，，的中点．证明四边形EGFH是平行四边形；
22如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。
求证：△EFG是等腰三角形。
23.如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E•为BC中点．求DE的长．
24．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE
分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
E
F
G
D
A B
C
25．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
26．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC 的延长线交于H、G点．
求证：∠AHF＝∠BGF．
答案：1两边中点。
2平行，第三边的一半。
3 3。
4中线，中位线。
5 8，5;互相平分。
6 4。
7 7。
8 6.5。
9 B 。
10 D. 11D .12C .13A.
14∵AE＝BE
∴E是AB的中点
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝OC
∴EO是△ABC的中位线
∴OE‖BC
15 E F是三角形ABP中点，EF=1/2BP,同理GH=1/2CP, EF+GH=1/2(BP+CP)=5
16∵CD=CA,CF平分∠ACB,CF为公共边
∴三角形ACF与三角形DCF全等
∴F为AD边的中点
∵AE=BE
∴E为AB的中点
∴EF为三角形ABD的中位线
∴EF=1/2BD=1/2（bc-ac）=2 倒过来即可
17 △AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线。
所以MN∥BC。
18证明；连接BD,∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点
EH平行且等于BD/2，FD平行且等于BD/2
∴EH平行且等于FD
∴四边形EFGH是平行四边形。
19 连接BD ∵H为AD中点，G为AB中点
∴GH为△ABD中位线
∴GH∥BD且EH=1/2BD
∵E为CD中点，F为BC中点
∴FE为△DCB中位线
∴FE∥BD且FG=1/2BD
∴HG∥＝EF
20 ∵E、D分别为AB、CD的中点
∴ED//=½BC（中位线性质）
在△BOC中，
∵F、G分别为OB、OC的中点
∴FG//=½BC（中位线性质）
∴FG//=ED
∴四边形DEFG为平行四边形
21 .∵F，H分别是BC,CE的中点,∴FH‖BE,FH=1/2BE(中位线定理),∵G是BE的中点,∴BG=EG=FH,∴四边形EGFH是平行四边形。
22 略。
23因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠FAD。
由BD⊥AD于D，得∠ADB=∠ADF=90°
还有AD=AD，所以△ADB≌△ADF。
所以BD=FD,AF=AB，还有E是BC中点，于是DE是△BCF中位线，于是DE=CF/2，有CF=AC-AF=AC-AB=10-6=4，于是DE=CF/2=4÷2=2
24 证明：∵CE//AB
∴∠E=∠BAF，∠FCE=∠FBA
又∵CE=CD=AB
∴△FCE≌△FBA (ASA)
∴BF=FC
∴F是BC的中点，
∵O是AC的中点
∴OF是△CAB的中位线，
∴AB=2OF
25 取BE的中点H，连接FH、CH
∵F、G分别是AE、BE的中点
∴FH是△ABE的中位线
∴FH∥AB FH=1/2*AB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB CD=AB
∵E是CD的中点
∴CE=1/2*AB
∵CE=1/2*AB FH=1/2*AB
26 证明：连接AC，取AC的中点M，连接ME、MF ∵M是AC的中点，E是DC的中点
∴ME是△ACD的中位线
∴ME＝AD/2,PE∥AH
∴∠MEF＝∠AHF （同位角相等）
同理可证：MF＝BC/2, ∠MFE＝∠BGF （内错角相等）∵AD＝BC
∴ME＝MF
∴∠MFE＝∠MEF
∴∠AHF＝∠BGF。