三角形中位线练习题
三角形中位线经典测试题
三角形中位线经典测试题1、已知三角形ABC，其中AC与BD交于点O，BC边中点为E，OE=1，求AB的长。
2、已知三角形ABC，其中DE是BC边的中位线，DE=2cm，求BC的长。
3、已知三角形ABC，要测量A、B两点间的距离，取OA的中点C，OB的中点D，测得CD=30米，求AB的长。
4、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形。
5、以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有4个。
6、已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变。
7、已知三角形三边长分别为6、8、10，则它的中位线构成的三角形的面积为24.8、已知△ABC中，AD=11/44AB，AE=AC，BC=16，求DE的长。
9、已知四边形ABCD中，M、N、P、Q分别为AB、BD、CD、AC的中点，证明四边形MNPQ是平行四边形。
10、已知四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，E、F分别是对角线AC、BD的中点，证明四边形ADEF是平行四边形。
11、已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA、EF的延长线交于点M，CD、EF的延长线交于点N，证明∠AME=∠XXX。
12、已知△ABC中，P是中线AD的中点，连接BP并延长交AC于E，F为BE的中点，证明AF∥DE。
13、已知四边形ABCD中，M是OB的中点，连接AM并延长至P，使MP=AM，连接DP交AC于N，证明（1）MN∥AD；（2）S四边形MPNQ=S△XXX。
14、已知△ABC中，AD是外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，证明（1）DE∥AB；（2）DE=1/2(AB+AC)。
15、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线相交于点O，∠AOB=60°，且E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，证明△EFM是等边三角形。
三角形中位线专题练习
三角形的中位线专题小练三角形中位线的概念和性质：1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.例.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证：∠PMN=∠PNM ．专题小练1．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一他点C ，然后测出AC ，BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为18m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )A ．AB=36mB ．MN ∥ABC ．MN=21CBD ．CM=21AC第1题图 第 2题图 第3题图2．如图，在△ABC 中，AB=3，BC=6，AC=4，点D,E 分别是边AB ，BC 的中点，那么DE 的长为( )A ．1.5B ．2C ．3D ．43．如图，D,E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( )A ．6B ．12C ．18D ．244．如图，要测定被池塘隔开的A、B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=( )A．50m B．48mC．45m D．35m二．填空题（共3小题）第4题图5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC= ．第5题图第6题图第7题图6．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为．7．如图，平行四边ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．8．如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．。
三角形的中位线定理练习题
三角形的中位线定理练习题一、填空选择题:1．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm2、三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为_________3.三角形的三边长分别为12cm、16cm、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.4.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______. 5．三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是6．已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（C ）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定7、在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=1cm，那么对角线BD=____cm．8、在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是____度．18°9．梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( B )A.12cmB.5cmC.10cmD.20cm10．如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为( C ) A.4 B.7 C.10 D.14 11．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为4，则这个等腰梯形的周长为. 18 12．在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( ) 13．梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是cm. 12 cm14.梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（B ）A．4 B．6 C．8 D．1015．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是. 216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝cm2，那么梯形的面积是cm2.217．如图，EF 是△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC 交EF 于D ，若DE ＝2，则EB ＝_____．2二、证明题：1．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．3．如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 有在同一条直线上．求证：EF 和GH 互相平分．4．如图，同底边BC 的△ABC 与△DBC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、DB 、DC 的中点，求证：EH 与FG 互相平分。
三角形中位线定理专练
三角形中位线定理专练1．如图，在△ ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥ CD，垂足是E，F 是CB的中点．求证：BD=2EF．2．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△ EFG是等腰三角形．3．在△ ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．4．如图，BE，CF是△ ABC的角平分线，AN⊥ BE于N，AM⊥ CF于M，求证：MN∥ BC．5．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ ABD、∠ ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠ DHF=∠ DEF．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD 的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．8．如图，M是△ ABC的边BC的中点，AN平分∠ BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ ABC的周长．三角形中位线定理专练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（2014?山东模拟）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD 的中点，再求证EF为△BCD的中位线．【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且AE⊥CD，所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：E为CD的中点，又因为F是CB的中点，所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，因此EF=BD，即BD=2EF．【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的的定理．2．（2015春?天津校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】由于E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，利用中位线定理，GF=AD，GE=BC，又因为AD=BC，所以GF=GE．【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．∴GF=AD，GE=BC．又∵AD=BC，∴GF=GE，即△EFG是等腰三角形．【点评】本题通过给出的中点，利用中位线定理，证得边相等，从而证明等腰三角形，是一道基础题．3．（2015秋?青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定．菁优网版权所有【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，MN∥BC且MN=BC，从而得到EF∥MN且EF=MN，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．【解答】解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．4．（2015春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE 于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN．同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论．【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点D、G．∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，∴∠BAG=∠BGA，∴△ABG为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．5．（2015春?富顺县校级月考）如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．求证：MN=（AB+BC+AC）【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．【解答】证明：∵AM⊥BM，∴∠AMB=∠DMB=90°，∵BM平分∠ABD，∴∠ABM=∠DBM，在△ABM与△DBM中，，∴△ABM≌△DBM（asa），∴AB=DB，AM=DM，同理：AN=EN，AC=CE，∴MN=DE=（DB+BC+CE）=（AB+BC+AC）．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（2014?宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BA C，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．（2014?丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．求证：OM=ON．【考点】三角形中位线定理；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．【解答】证明：取AD的中点G，连接EG，FG，∵G、F分别为AD、CD的中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF=AC，同理可得，GE=BD，∵AC=BD，∴GF=GE=AC=BD．∴∠GFN=∠GEM，又∵EG∥OM，FG∥ON，∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，∴OM=ON．【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．8．（2013?永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。
三角形中位线典型题练习
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三角形中位线典型题练习
一、周长及边长
1．如图1所示，EＦ是△ＡＢC的中位线，若BC=8cm,则ＥF＝_____＿_cｍ．
2.三角形的三边长分别是3cｍ，５cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是__＿____＿_ｃｍ.
2.已知：如图,DＥ是△ＡBC的中位线，AＦ是ＢC边上的中线，
求证:DＥ与AＦ互相平分
３．已知:如图,四边形AＢＣD中,Ｅ、F、G、H分别是AB、BC、CＤ、DA的中点.求证：四边形EＦＧH是平行四边形.
4.如图，点Ｅ，F,G,H分别是CD，ＢＣ,AＢ，DA的中点。
求证：四边形ＥFGH是平行四边形。
3．如图,△ABC中，AＤ= AB，AＥ= AＣ,BC＝16.求DE的长.
４．如图，Ｍ是△ABC的边BＣ的中点，AＮ平分∠BＡC,BN⊥ＡN于点Ｎ,延长BＮ交AC于点D,已知ＡB=10，BC=１5，MＮ=3
（1）求证：ＢN＝DN；ﻫ(2)求△ABC的周长.
三、线段的位置关系
1.如图所示,□ABCD的对角线ＡC，BD相交于点O，AE=ＥB，求证：OＥ∥BC.
３.已知：如图,在四边形ABCD中，AＤ＝ＢC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BＣ的延长线交于H、G点．
求证:∠AＨF=∠BＧＦ．
求证:四边形ABＣD是平行四边形.
六、巧取中点，妙构形(中点寻线，线无形）
1.如图，AD是△ABC的中线,Ｅ是ＡD的中点,F是ＢE延长线与ＡC的交点。
求证：AF= FC
２.在四边形ABCＤ中，AＣBＤ相交于Ｏ点，ＡC=BD，E、Ｆ分别是ＡB、CD的中点,连接EF分别交AC、BＤ于M、N，判断三角形ＭＯＮ的形状，并说明理由。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
中位线练习题
中位线练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，若AB=5，AC=7，BC=6，则DE的长度是多少？A. 3B. 4C. 5D. 62. 若三角形的一条中位线长为4，且这条中位线平行于三角形的一边，那么这条边的长度是多少？A. 2B. 4C. 8D. 不能确定3. 在三角形中，中位线的性质是什么？A. 与对边平行且等于对边的一半B. 与对边垂直且等于对边的一半C. 与对边平行且等于对边的两倍D. 与对边垂直且等于对边的两倍二、填空题4. 若三角形的一边长为10，其对应的中位线长为5，则该三角形的面积是______。
5. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，若AB=6，BC=8，BD的长度为4，那么AC的长度是______。
三、简答题6. 描述三角形中位线的性质，并给出证明。
7. 若三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如何证明DE是三角形ABC的中位线？四、计算题8. 在三角形ABC中，已知AB=8，AC=6，BC=10，求三角形ABC的中位线长度。
9. 若三角形ABC的一边长为12，其对应的中位线长为6，求三角形ABC的面积。
五、证明题10. 在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，证明DE是三角形ABC的中位线。
11. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，证明DE等于BC的一半。
六、综合题12. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=5，AB=7，AC=8，求BC的长度。
13. 在三角形ABC中，已知BD是AC的中位线，且BD=4，AB=6，求AC的长度。
七、拓展题14. 若三角形ABC的中位线DE与边BC平行，且DE=4，求三角形ABC的周长。
15. 在三角形ABC中，已知AD是BC的中位线，且AD=3，AB=5，求AC 的长度。
答案提示：- 选择题：1. B 2. C 3. A- 填空题：4. 24 5. 8- 简答题：6. 三角形的中位线平行于对边，并且等于对边的一半。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
7、三角形的中位线 - 答案
三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。
(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.(3)用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中ABCD ，对角线相交于点O ，H 为边AD 上的中点，菱形的周长为36，则OH 长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴3649AB =÷=，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为ABD △的中位线，∴1 4.52OH AB ==，故选：A．2．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于点D ，若3AE =，1DF =，则边BC 的长为()A．7B．8C．9D．10【答案】B 【详解】解：EF 是ABC 的中位线，3AE =，∴EF BC ∥，2BC EF =，3BE AE ==，EDB DBC ∴∠=∠，BD 平分EBC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，3ED BE ∴==，1DF = ，314EF ED DF ∴=+=+=，8BC ∴=，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 的点B '处，折痕AD 交BC 点D ，第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若14BC =，MP MN +=．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：AM MD =，MN AD ⊥，AD BC ⊥，GN BC ∴∥，AG BG ∴=，∴GN 是ABC 的中位线，1114722GN BC ∴==⨯=，PM GM = ，7MP MN GM MN GN ∴+=+==，故答案为：7．4．如图，在ABC 中，52ACB ∠=︒，点D，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且90AFC ∠=︒，则FAE ∠的度数为（）A．52︒B．68︒C．64︒D．69︒【答案】C 【详解】解：∵点D，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，AE CE =，∴52AED ACB ==︒∠∠，∵90AFC ∠=︒，AE CE =，∴AFC △是直角三角形，∴AE EF =，∴180180526422AEF FAE EFA ︒-∠︒-︒∠=∠===︒，故C 正确．故选：C．5．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，E，F，G 分别是AB，DC，AC 的中点．若64ACB ∠=︒，22∠=︒DAC ，则EFG ∠的度数为．【答案】21︒【详解】解：∵F 、G 分别是CD 、AC 的中点，∴FG AD ∥，12FG AD =，∴22FGC DAC ∠=∠=︒，∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴GE BC ，12GE BC =，∴64AGE ACB ∠=∠=︒，∴180116EGC ACB ∠=︒-∠=︒，∴22116138EGF ∠=︒+︒=︒，∵AD BC =，∴GF GE =，∴()1180138212EFG ∠=⨯︒-︒=︒；故答案为：21︒．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图ABC 中，E，F 分别是AB ，AC 的中点，过F 作FG AB ∥交BC 于点G，若EF FG =，且 2.5EF =，4AC =，则阴影部分的面积为．【详解】解：如图，连接BF ，E，F 分别是AB ，AC 的中点， 2.5EF =，∴=25BC EF =，FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴=2AB FG ，G 是BC 的中点，EF FG =，∴BA BC =，F 是AC 的中点，∴BF AC ⊥，122AF AC ==，∴22225221BF AB AF =-=-=，∴14212212ABC S =⨯⨯= ， E，F 分别是AB ，AC 的中点，∴1212ABC S S == 阴影面积，故答案为：21．2．如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，F 是BC 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC 的面积为18cm 2，则△DEF 的面积是cm 2【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E 是AC 的中点，△ABC 的面积的为18cm 2，∴△AEB 的面积12=⨯△ABC 的面积＝9（cm 2），∵点D 是AB 的中点，∴△DEB 的面积12=⨯△AEB 的面积＝4.5（cm 2），∵D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE BC，∴△DEF 的面积＝△DEB 的面积＝4.5（cm 2），故答案为：4.5．3．ABC 中，点D、E、F 分别为边BC CA AB 、、的中点，作DEF ．若ABC 的面积是12，则DEF 的面积是（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，取BH 中点为G，连结DG，EM⊥DF 于M，∵D 、F 分别是ABC 的AB 、AC 边的中点，∴12DF BC =，DF∥BC，∵D、G 为AB、BH 中点，∴DG∥AH，且DG=12AH ，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=12AH ∵S △ABC=1122BC AH ⋅=∴111111132222424DEF ABC S DF EM BC AH BC AH S ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯=⨯⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△．故选择B．4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E，作BC 的垂线交BC 于点F，若AB CE ，且DFE △的面积为2，则BC 的长为（）A．B．5C．D．【答案】D 【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∵DE BC ∥，∴AE=CE，DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF AH ∥，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=12AH，∵△DFE 的面积为2cm 2，∴12DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB•2AB=16，（负值舍去），，=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F 分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD 的面积为20，则△BEF 的面积为（）A．2B．94C．5D．9【答案】D 【详解】如图，连接AC，过点B 作EF 的垂线交AC 于G 点，交EF 于H 点，∵E、F 分别是AD、CD 的中点∴EF//AC，△ACD 中，AC 边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∵△ABC 为等腰三角形∴△ABG 和△BCG 为等腰直角三角形∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S △ABC＝12·AB·BC=12ABCD 的面积为20∴S △ACD＝20－16＝4，∴16===424ABC ACD S BG S GH ，∴1=8GH BG =12，∴BH＝BG+GH＝92，又∵11==×8=422EF AC ，∴S △BEF ＝119··=×4×=9222EF BH ．故选：D．6．如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm．【答案】4【详解】解：取CG 的中点，∵点H 是CG 的中点，DE 是ABC 的中位线，∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =，在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF GDF HEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(SAS)DFG EFH ≌，∴FG FH =，EFH DGF S S = ，∵GH CH =，∴3FC FH =，∵CEF △的面积为212cm ，∴21124cm 3EFH S =⨯= ，∴2=4cm DGF S ，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接BD 、AC 交于点O ，四边形EFGH 是菱形，∴EF FG GH HE ===，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF ∴是三角形ABD 的中位线，12EF BD ∴=，EF BD ∥，同理，12EH AC =，∥EH AC ，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形ABCD 为菱形，点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E、F、G、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B 【详解】解：顺次连接菱形ABCD 各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：12GF BD =且GF BD ∥，12EH BD =且EH BD ∥，EF AC ∥，∴EH FG =，EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，则EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C 【详解】解：如图所示，ABCD 是等腰梯形，E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，连接AC ，BD ，∵E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，∴HE AC ∥，12HE AC =，GF AC ∥，12GF AC =，同理：12EF BD =，∴HE GF =且HE GF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即AC BD =，∴EH EF =，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C．5．如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH 是矩形，则原四边形ABCD 必须满足条件（）．A．AB AD=B．AB AD ⊥C．AC BD =D．AC BD⊥【答案】D 【详解】如图，连接AC BD ，，∵E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，∴EF AC HG ，EH BD FG ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴当EFGH 有一个角为直角时，即证明四边形EFGH 是矩形．∵当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形．故选D．6．如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E、G、F、H 得到四边形EGFH ，要使四边形EGFH 是菱形，可添如条件．【答案】AB CD =（答案不唯一）【详解】解：∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，∴11,22FH GE AB GF EH CD ====，∵四边相等的四边形是菱形，∴当AB CD =时，FH GE GF EH ===，此时四边形EGFH 是菱形；∴可添加的条件为：AB CD =；故答案为：AB CD =（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在ABC 中，AB BC =，D、E、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．求证：四边形BDEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明： D、E、F BC 、AC 、AB 边上的中点111,,222BD DC BC AE EC AC AF BF AB ∴======且得到DE ，EF 是ABC 的中位线，∴DE AB ∥，FE BC ∥且11,22DE AB EF BC ==EF BD∴=∴四边形BDEF 是平行四边形AB BC= ∴BF BD=∴四边形BDEF 是菱形．2．已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，点M，N，P，Q 分别是,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形MNPQ 是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设AC 与BD 交于点O，AC 与QM 交于点F，BD 与PQ 交于点E，∵AB AD =，CB CD =，∴点A 与点C 都在BD 的垂直平分线上，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒，∵点M，N，N，P，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴MQ BD ∥，PQ AC ∥，∴四边形OEQF 是平行四边形，又90AOD ∠=︒，∴四边形OEQF 是矩形，∴90MQP AOD ∠=∠=︒，同理：90QMN MNP ∠=∠=︒，∴四边形MNPQ 是矩形．3．已知：如图，在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，G，H 分别是OB ，OC 的中点，连接GH EF FG EH ，，，．求证：FG EH ∥．【答案】∵在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，∴EF 是ABC 的中位线，∴12EF BC EF BC =∥，，∵G，H 分别是OB ，OC 的中点，∴GH 是OBC △的中位线，∴12GH BC GH BC =∥，，∴EF GH EF GH =∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴FG EH ∥．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点依次连接起来，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接AC ．∵E，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =．∵G，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH AC ∥，12GH AC =．∴EF GH ∥，EF GH =．∴四边形EFGH 是平行四边形．(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），连接AC ，BD ，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明．②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①AC BD =，见解析；②AC BD⊥【详解】（1）四边形EFGH 是平行四边形，理由如下：∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =，∴EF HG ∥，EF HG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）①当AC BD =时，四边形EFGH 是菱形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴12EF AC =，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴12GF BD =，∴当AC BD =时，EF FG =，∴平行四边形EFGH 是菱形；②当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴GF BD ∥，∴当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形；5．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O，E，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD =．求证：OM ON =．【答案】如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G 、F 分别为AD 、CD 的中点，GF ∴是ACD ∆的中位线，12GF AC ∴=，同理可得，12GE BD =，AC BD = ，1122GF GE AC BD ∴===．GFN GEM ∴∠=∠，又EG OM ∥，FG ON ∥，OMN GEM GFN ONM ∴∠=∠=∠=∠，OM ON ∴=．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F ∠=∠，在ADE V 和CFE 中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ∴≌△△．AD CF ∴=，12DE EF DF ==．CF BD ∴∥，CF BD =．∴四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC ∴，DF BC =，又12DE DF = ，∴DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF CD ⊥交CD 延长线于点F，若8AC =，5BC =，则EF 的长为．【答案】1.5【详解】解：如图，延长AF ，交于点G，∵CD 是ABC 的角平分线，∴ACF GCF ∠=∠，∵AF CD ⊥，∴90AFC GFC ∠=∠=︒，在ACF △和GCF 中，ACF GCF CF CF AFC GFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ACF GCF ≌ ，∴8CG AC AF FG ===，，∴853BG CG CB =-=-=，∵AE EB AF FG ==，，∴EF 为ABG 的中位线，∴1 1.52EF BG ==，故答案为：1.5．2．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若6AC =，则AF =（）A．3B．2C．43D．94【答案】B 【详解】解：取BF 的中点H，连接DH ，∵BD DC BH HF ==，，∴12DH FC =，DH AC ∥，∴HDE FAE ∠=∠，在AEF △和DEH △中，AEF DEH AE DE EAF EDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEF DEH ASA ≌△△，∴AF DH =，∴12AF FC =，∵6AC =，∴123AF AC ==，故选：B．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M、N 分别是AB AC 、的中点，延长BC 至点D，使12CD BC =．连接DM DN MN 、、．若6AB =，则DN 的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】解：如图：连接CM∵M，N 分别是AB AC 、的中点，∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN BC MN BC =，∥，∵12CD BC =，∴CD MN =，∵MN BC ∥，∴四边形NDCM 为平行四边形，∴DN CM =，∵90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，∴116322CM AB ==⨯=，∴3DN =．故选：C．4．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点，5DE =，3AC =，则AB 长为（）A．8.5B．8C．7.5D．7【答案】D 【详解】解：延长BD ，CA 交于点F，，∵AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，∴FAD BAD ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90ADF ADB ∠=∠=︒，在ABD △和AFD △中，FAD BAD AD AD ADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD AFD △≌△，∴AB AF =，BD DF =，又E 为BC 中点，5DE =，∴210CF DE ==，又3AC =，∴7AF CF AC AB =-==．故选：D．5．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC的中点．(1)如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：1()2EF AC AB =-；(2)如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)1()2EF AB AC =-【详解】（1）证明：如图1中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，∴,90BAE DAE AEB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵AE AE =，∴()ASA BAE DAE ≌，∴AB AD =，即ABD △是等腰三角形，∵BE AE ⊥，BE DE ∴=，BF FC = ，111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）解：结论：1()2EF AB AC =-，理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥ ，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，AE BP ⊥ ，E ∴为BP 的中点，BE PE =∴，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-；故答案为1()2EF AB AC =-．6．已知：如图①所示，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC 相交，易证FG=12（AB+BC+AC）．（1）BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-；（2）1()2FG BC AC AB =+-【详解】解：（1）图②结论为：1()2FG AB AC BC =+-证明：分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K，在BAF ∆和BKF ∆中，ABD FBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =12FG HK ∴=又∵HK BK BH =-，BH=BC-CH=BC-AC，1()2FG AB AC BC ∴=+-（2）图3的结论为1()2FG BC AC AB =+-．证明：分别延长AF 、AG 交BC 或延长线于K 、H ,在BAF ∆和BKF ∆中，ABD DBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =，12FG KH ∴=又KH BC BK HC BC AC AB =-+=+- ．1()2FG BC AC AB ∴=+-．题型六：最值问题1．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，分别在AD 、BD 上取点P、Q （端点除外），连接PQ ，E、F 分别为AP 、PQ 的中点，连接EF，在P、Q 的运动过程中，线段EF 的最小值为（）A． 1.2B． 1.5D．2【答案】A 【详解】解：连接AQ ，∵E、F 分别为AP 、PQ 的中点，∴12EF AQ =，根据点到直线的距离可得当AQ BD ⊥时，AQ 最小，EF 也最小，∵矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5BD ==，∵1122ABD S AB AD BD AQ =⋅=⋅ ，∴1134522AQ ⨯⨯=⨯⨯，∴125AQ =，∴min 1126255EF =⨯=，故选A．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D、E 分别为CN，MN 的中点，则DE 的最小值是（）A．2B．125C．3D．245【答案】B 【详解】解：连接CM ，∵点D、E 分别为CN，MN 的中点，∴12DE CM =，∴当CM AB ⊥时，CM 最小，即DE 最小，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，∴10AB ===，∴CM 的最小值为245AC BC AB ⋅=，∴DE 的最小值为11225CM =，故选：B．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =分别是边CD BC ，上的动点，连接AE 和EF ，G，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）B．2C．3D．1【答案】B 【详解】连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ==，∵G，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是AEF △的中位线，∴12GH AF =，当AF BC ⊥时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB ∠=︒，∵45B ∠=︒，∴ABF △是等腰直角三角形，∴22AF AB ==⨯，∴GH GH 故选：B．4．如图，矩形ABCD 的边24AB BC ==，，E 是AD 上一点，1DE =，F 是BC 上一动点，M、N 分别是AE EF 、的中点，则MN EN ＋的最小值是．【答案】52【详解】解：2AB = ，4BC =，1DE =，4AD BC ∴==，413AE AD DE =-=-=，延长AB 到A '，使2A B AB '==，连接A F '，则4AA '=，A F AF ¢=，当A '、F 、E 在同一直线上时，A F FE '+最小，最小值为A E '．在Rt AA E ' 中，5A E ==='，即AF FE +最小为5，N Q 、M 分别是EF 、AE 的中点，12NE EF =，=12NM AF ，MN EN ＋的最小值为15522⨯=．故答案为：52.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知ABC 的面积为1，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，L ，依此类推，第2013个三角形的面积为（）A．12011B．12012C．201114D．201214【答案】D【详解】解：如图：过点A 作AG DE ⊥于G，交BC 于H，则AG GH =，D 、E、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，DE ∴、EF 、DF 分别为ABC 的中位线，12DE BC ∴=，12DF AC =，12EF AB =，12GH AH =，12ABC S BC AH =⋅ ，12DEF S DE GH =⋅ ，1144DEF ABC S S ∴== ，同理：第三个三角形的面积=21144DEF S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第四个三角形的面积14=第三个三角形面积314⎛⎫= ⎪⎝⎭，……，∴第2013个三角形的面积为201214，故选：D．2．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边的中点E，作ED AB ∥交AC 于点D，EF AC ∥交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作1S 取BE 边的中点1E ，作11E D FB 交EF 于1D ，11E F EF ∥交BF 于点1F ，得到四边形111E D FF ，它的面积记作2S ，…照此规律作下去，则2022S 的值为．【详解】∵E 是BC 中点，ED AB ∥，EF AC ∥，∴ED、EF 是△ABC 的中位线，∴ED=EF=AD=AF=12AB =12，∴四边形EDAF 是菱形，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC∴菱形EDAF 的高为1224⨯=，∴S 1=124⨯=8=32，同理，四边形111E D FF 也是菱形，FF 1=12BF =14，菱形111E D FF 的高为12，∴S 2=14，S 3=18……S n =212n +，∴20222202212S ⨯+==404523．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB 和OC 为邻边作第一个平行四边形1OBB C ，对角线BC 与1OB 相交于点1A ；再以11A B 和1A C 为邻边作第二个平行四边形111A B C C ，对角线1A 与1B C 相交于点1O ；再以11O B 和11O C 为邻边作第三个平行四边形1121O B B C …依此类推．记第一个平行四边形1OBB C 的面积为1S ，第二个平行四边形111A B C C 的面积为2S ，第三个平行四边形1121O B B C 的面积为3S …则2020S 是（）A．2020962B．20201922C．20191922D．2021962【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，=＝16，∴矩形ABCD 的面积＝12×16＝192；∵四边形1OBB C 是平行四边形，OB＝OC，∴四边形1OBB C 是菱形，∴118BA CA ==，∴1OA 是△ABC 的中位线，∴1OA ＝12AB＝6，∴11212OB OA ==，∴平行四边形四边形1OBB C 的面积＝12×12×16＝12⨯192；根据题意得：四边形111A B C C 是矩形，∴第2个平行四边形111A B C C 的面积111AC A B =´＝8×6＝48＝212⎛⎫⎪⎝⎭×192；同理：第3个平行四边形12OB B C 的面积＝12×8×6＝24＝312⎛⎫⎪⎝⎭×192；．．．，∴第n 个平行四边形的面积是12n⎛⎫⎪⎝⎭×192，则2020S 是202012⎛⎫⎪⎝⎭×192＝20201922，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形ABCD ，R，P 分别是DC BC ，上点，E，F 分别是AP RP ，的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减少C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接AR ，E F 、分别是AP RP 、的中点，EF ∴为APR △的中位线，12EF AR ∴=，为定值，∴线段EF 的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E、F、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB ∠︒∠︒=，=，则FEG ∠=．【答案】30︒【详解】解：∵AD BC =，E，F，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD 的中位线，GF 是ACB △的中位线，11,,22GE AD GF BC ∴==,,,GF BC GE AD ∥∥80,20AGF ACB EGC DAC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,又AD BC = ,EFG FEG ∴∠=∠,()2018080120FGE FGC EGC ︒︒︒︒∠=∠+∠=+-= ,()1180302FEG FGE ︒︒∴∠=-∠=.故答案为：30︒．3．如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．4．如图，在ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，DC ，AB 四条边的中点，连接AD ，DE ，EF ，DG ，若ABC 的面积为16，则CEF △和ADG △的面积之和为．【答案】6【详解】解： 点D 是BC 的中点，ABC 的面积为16，182ABD ADC ABC S S S ∴=== ， 点G 是AB 的中点，142ADG ABD S S ∴== ， 点E 是AC 的中点，142EDC ADC S S ∴== ， 点F 是CD 的中点，122EFC EDC S S ∴== ，CEF ∴ 和ADG △的面积之和为6，故答案为：6．4．如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCFADFES S =四边形△．【答案】35【详解】解：取CD 中点G ，则EG 是ACD 中位线，∴1,2EG AD EG AD =∥，2AD BD = ，12BD AD EG ∴==,DFB EFG BDF EGF∠=∠∠=∠ ∴BDF EGF ≌，∴132DF FG CG BF EF CF DF ===∴=，，，设1BDF S ∆=，则3BCF CEF AEF S S S ∆∆∆===，2ADF S ∆=，∴35BCFADFE S S ∆=四边形，故答案为35．5．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，E、F 分别是边,CD BC 上的动点，连接AE EF 、，G、H 分别为AE EF 、的中点，连接GH ．若GH 的最小值为3，则BC 的长为．【答案】【详解】解：连接AF ，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH AF ∥，且12GH AF =，要使GH 最小，只要AF 最小，当AF BC ⊥时，AF 最小，∵GH 的最小值为3，∴6AF =，∵45B ∠=︒，∴45BAF ∠=︒，∴6BF AF ==，∴AB ==∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB ==故答案为：6．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，D 是BC 的中点AE BE ⊥，5AB =，3AC =，则DE 的长为（）A．1B．32C．2D．52【答案】A【详解】延长AC 交BE 的延长线于点F ，如图，AE BE ⊥ ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，AE 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，ABE AFE ∴∠=∠，ABF ∴ 是等腰三角形，5AF AB ∴==，点E 是BF 的中点，532CF AF AC ∴=-=-=，DE 是BCF △的中位线，112DE CF ∴==．故选：A．7．如图，ABC 中，9cm,5cm AB AC ==，点E 是BC 的中点，若AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，求线段DE 的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长CD 交AB 于F ，由题意知，FAD CAD ∠=∠，90ADF ADC ∠=∠=︒，在ADF △和ADC △中，∵FAD CAD AD AD ADF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADF ADC △≌△，∴DF CD =，5AF AC ==，∴D 是CF 的中点，4BF AB AF =-=，又∵E 是BC 的中点，∴DE 是BCF △的中位线，∴122DE BF ==，∴DE 的长为2cm．8．如图，ABC 的周长为64，E ．F ．G 分别为AB ．AC ．BC 的中点，A '．B '．C '分别为EF ．EG ．GF 的中点，A B C ''' 的周长为16．如果ABC ．EFG ．A B C ''' 分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是．【答案】11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据三角形中位线定理分别求出第2个三角形的周长、第3个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，EF ∴、EG 、FG 都是ABC 的中位线，12EF BC ∴=，12EG AC =，12FG AB =，EFG ∴△的周长=164643222⨯==，即第2个三角形的周长是32，同理可得，第3个三角形的周长是211646416222⨯⨯==，⋯⋯，则第n 个三角形的周长是7116422n n --=⨯，故答案为：11642n -⨯9．如图，ABC 中，中线,BD CE 相交于O．F、G 分别为,BO CO 的中点．(1)求证：四边形EFGD (2)若ABC 的面积为12，求四边形EFGD 的面积．【答案】(1)见解析(2)4【详解】（1）证明：∵,BD CE 是ABC 的中线，F、G 分别为,BO CO 的中点，∴,ED FG 分别是,ABC OBC 的中位线，∴1,2ED BC ED BC = ，1,2FG BC FG BC =∥，∴,ED FG ED FG = ，∴四边形EFGD 是平行四边形；（2）解：∵,ED BD 分别是,ABD ABC 的中位线，又∵ABC 的面积为12，∴111123244BDE ABD ABC S S S ===⨯= ，∵四边形EFGD 是平行四边形，中线,BD CE 相交于O，F 为BO 的中点，∴O 为DF 的中点，∴113133EBF EFO EOD BDE S S S S ====⨯= ，1GOF GDO EFO EDO S S S S ==== ,∴44EFGD EFO S S == ，∴四边形EFGD 的面积为4．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF BE =，连接EC 并延长，使CG CE =，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ．(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(2)若CB CE =，80BAE ∠=︒，30DCE ∠=︒，求CBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，BAE BCD ∠=∠，∵BF BE =，CG CE =，∴BC 是EFG 的中位线，∴BC FG ∥，12BC FG =，∵H 为FG 的中点，∴12FH FG =，∴BC FH ∥，BC FH =，∴AD FH ∥，AD FH =，∴四边形AFHD 是平行四边形；（2）解：∵80BAE ∠=︒，∴80BCD ∠=︒，∵30DCE ∠=︒，∴803050BCE ∠︒=︒=-，∵CB CE =，∴()118050652CBE CEB ︒∠=∠=︒-︒=．11．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O．2BD AD =，E，F，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．(1)求证：BE AC ⊥；(2)若2EF =，求EG 的长．【答案】(1)见解析(2)2EG =【详解】（1）解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，2BD BO =．由已知2BD AD =，BO BC ∴=．又E 是OC 中点，BE AC ∴⊥．（2）由（1）BE AC ⊥，又G 是AB 中点，EG ∴是Rt ABE 斜边上的中线．EG ∴=12AB又EF 是OCD 的中位线，EF ∴=12CD ．又AB CD =，2EG EF ∴==．12．如图，四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，(1)求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足,,PA PB PC PD APB CPD ==∠=∠，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD ，∵点E、H 分别为边AB AD 、的中点，∴1,2EH BD EH BD =∥,∵点F、G、分别为BC CD 、的中点，∴1,2FG BD FG BD =∥，∴EH FG EH FG =、∥，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：四边形EFGH 是菱形，理由如下：如图2，连接AC BD 、，。
三角形的中位线定理练习题.docx
三角形的中位线定理练习题 2、如图2所示，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B 的点C, 找到AC, BC 的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B 间的距离为（）A. 15m B ・ 25m C ・ 30m D ・ 20mD, F 分别是AB, BC, CA 的中点，AB=6, ACM,则四边形AEDF的周长是（）4、三角形的三边长分别是3cm, 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是_____________ c m.6、在RtAABC 中，ZC 二90° , AO 5, BC= 12,则连结两条直角边中点的线段长为 ___________7、若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A. 4.5cmB. 18cmC. 9cmD. 36cm8、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2AD, ZA=60°, E, F 分别是AB, CD 的中点，且EF=lcm,那么对角线BD 二 _________ c m.9、 如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E, F 分别是AB, CD 的中点，AD=BC, ZPEF=18°,则ZPFE 的度数是 ____________ ・10、 如图所示，平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将AABE 向上翻 折，点A 正好落在CD±的点F,若△FDE 的周长为8, AFCB 的周长为22,则FC 的长 为 1、 、填空选择题：如图1所示，EF 是AABC 的中位若 BC=8cm,则 EF 二 3、如图3,在AABC 中，E, A. 10B. 20C. 30D. 405、三角形三条中位线的长分别为3、4、 5,则此三角形的面积为 __________C⑵cm.11、(2011・黔西南州)如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A]BiCi，算出了正AA I B I C I的面积，然后分别取△ AjBiCi三边的中点A2B2C2,作出了第二个正三角形△A2B2C2,算出第2个正△ A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△ A3B3C3,算出第3个正△ A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△AnBnCn的面12.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.13 (2006*肇庆)如图，在AABC中，AB二AC,点D, E分别是AB, AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF二丄BC.2(1)求证：DE二CF； (2)求证：BE=EF.C。
(完整版)三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4。
如图△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm（2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线,若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1） (2） (3) (4）7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12,•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm,4cm,则原三角形的周长为（ ） A ．4。
5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm10．如图2所示,A ，B 两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D,E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ）A ．15mB ．25mC ．30mD ．20m11．已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，•再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点,E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC上从点B 向点C 移动而点R 不动时, 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4，在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6,AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中,AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点。
三角形中位线习题
三角形中位线练习题（一）计算2．已知△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶2∶4，AB=9厘米，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，求△DEF的周长．3．已知△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，△ABC的周长与△DEF的周长的和等于18厘米，求△DEF的周长．4．已知△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F为BC上5．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米，求BO的长．6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E，F分别是AB，DB的中点，EF交DC于G，EF∶FG=1∶2，AD=7厘米，求BC的长．7．已知△ABC中，D为BC上的一点，E，F，H，G分别是AC，CD，DB，AB的中点，EF ＋AD=6厘米，求GH的长．8．已知△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BD，9．已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，HF=EG，AC=4厘米，BD=2厘米，求四边形ABCD的面积．10．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC平分∠DAB，AC⊥BC，AB=8厘米，M，N分别是AC，BD的中点，求MN的长．11．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=12厘米，E，F分别是AB，DB的中点，延长EF交DC于G，EF=4厘米，FG=10厘米，求梯形ABCD的底角．12．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长．（二）证明13．已知：如图4-108，从△ABC的顶点A向∠B，∠C的平分线引垂线，垂足分别是D，E．求证：DE∥BC．14．已知：在四边形ABCD中，AB=CD，AD＜BC，E，F，P分别是BD，AC，BC的中点．求证：∠PEF=∠PFE．15．已知：在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．求证：△DEF≌△HFE．16．已知：在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．17．已知：在△ABC中，AB＞AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，EG∥AD交FD的延长线于G．求证：AB=GF．18．已知：△ABC中，AB＞AC，CD平分∠ACB，AD⊥DC，F为AC的中点，延长FD交AB 于E点．求证：19．已知：△ABC中，E为AC上一点，AE=2CE，D为AB的中20．已知：在△ABC中，中线BE，CF交于O点，G，H分别是OB，OC的中点．求证：FG∥EH．21．已知：如图4-109，E，F分别是AB，AC的中点，延长EF交∠ACD的平分线于G 点．求证：AG⊥CG．22．证明：四边形两组对边中点连线互相平分．23．已知：在矩形ABCD中，AC，BD相交于O点，E，F分别是OA，OD的中点．求证：四边形EBCF是等腰梯形．24．求证：等腰梯形的上、下底中点的连线与两腰中点连线互相垂直．25．已知：在四边形ABCD中，AB=DC，E，F分别是AD，BC的中点，GH⊥EF与AB，DC 分别交于G，H，O为垂足．求证：∠AGH=∠DHG．26．已知：四边形ABCD中，AC=BD，AC，BD交于O点，E，F分别是AB，CD的中点，连结EF分别与BD，AC交于G，H．求证：△OGH是等腰三角形．27．已知：如图4-110，P为矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．28．已知：在四边形ABCD中，CD≥AB，E，F分别是AC，29．已知：在四边形ABCD中，AD≥BC，E，F分别是AB，30．已知：△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，H为BE上任一点，作DG∥FH交CB的延长线于G．求证：GB=HE．31．已知：在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上任意一点，M，N，P，Q分别是DE，BE，BC，CD的中点．求证：MP=NQ．32．已知：如图4-111，△ACN，△ABM为等边三角形，D，E，F分别是BM，BC，CN的中点．求证：DE=EF．33．已知：如图4-112，△ABC中，F为BC的中点，D，E为△ABC外的两点，∠D=90°，AD=DB，∠E=90°，AE=EC．求证：DF=EF．34．已知：在四边形ABCD中，G，H分别是AB，AD的中点，连结CG，CH与BD分别交于E，F两点，且BE=EF=FD．求证：四边形ABCD是平行四边形．若HF=3厘米，求CH的长．35．已知：在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，F，G分别是BE，CD 的中点，直线FG与AB，AC分别交于M，N．求证：AM=AN．若∠AMN=62°，求∠A的度数．36．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，AB=DC，AC，BD交于O点，∠BOC=60°，E，F，G分别是AO，BO，DC的中点．求证：△EFG是等边三角形．37．如图4-113，已知在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是BC，CA，AB 的中点，AD，EF交于O点．（1）求证：AD=EF；（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形．。
三角形的中位线习题归类(绝对经典,绝对震撼)
三角形的中位线习题归类一、 直接应用1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角 边中点的线段长为_______．4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为_______．5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______．6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ）A 、20081B 、20091C 、220081D 、220091 7．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．408.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10.如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．11.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．12.如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长.(角平分线的垂线必有等腰三角形)13.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．14.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点.求证：（1）DE ∥AB ； （2）DE=21（AB+AC ）如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M . 求证：MN ∥BC .B G A E F H D C二、中点寻线，线组形（多个中点）1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点 ，G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．证明四边形EGFH 是平行四边形；2.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。
三角形中位线定理
19.1.3三角形中位线练习题一、自学检测1.如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点的距离是 m ，理由是 ．2.在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=5，则DE 的长是3.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为_ _． 4．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为__ __． 5．已知：△ABC 中，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，如果△DEF 的周长是12cm ，那么△ABC 的周长是 cm ．6.直角三角形的两条直角边边长分别为6cm 和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）A.3cm B. 4cm C. 5cm D. 12cm7.如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是CD 中点，连接OE,若OE=3cm,ze AD 的长为（ ）A.3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 8．已知△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：2：4且AB=9cm ，D 、E 、 F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则△DEF 的周长是______．9．四边形的两条对角线分别是12cm 和10cm ，顺次连结各边中点所得四边形的周长是 10．一个三角形的周长是135cm ，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm ．11.如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，（1）求证：四边形DECF 是平行四边形。
（2）若AC=10,BC=14, 求四边形DECF 的周长。
12.如图, ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且E 、F 、G 、H 分别是AO,BO,CO,DO 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．13.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．DNMFEDCBA14．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．二、拓展延伸1.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．2.如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，连结AE 、BF 交于点M ，连结CF 、DE 交于点N ，求证：（1）MN ∥AD ；（2）MN=12AD 。
初二数学三角形中位线练习题(含答案)
初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图 第9题图 第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==， 故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=． 故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+， 又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==． 【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=， 又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==， 故答案为：1． 三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。
三角形的中位线 专题练习题 含答案
三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。
9.5《三角形的中位线》综合练习
9.5 三角形的中位线一．选择题1．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2D．45．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．11二．填空题7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE= ．8．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．9．如图，在△ABC中，∠AC B=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．10．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．11．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC 的面积的比是．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．13．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME 相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．。
北师大版数学八年级下册：6.3 三角形的中位线 同步练习(附答案)
3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（ ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（ ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（ ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为 ．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．知识点2三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是m.第8题图第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是 ．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．15．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.参考答案：3 三角形的中位线知识点1 三角形中位线定理1．如图，点D ，E 分别是△ABC 边BA ，BC 的中点，AC ＝3，则DE 的长为（D ） A ．2B.43C ．3D.32第1题图 第2题图2．如图，M ，N 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点．若∠A ＝65°，∠ANM ＝45°，则∠B ＝（D ）A ．20°B ．45°C ．65°D ．70°3．已知△ABC 的周长为16，点D ，E ，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的周长为（A ）A ．8B ．2 2C ．16D ．44．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（B ）A ．∠B ＝∠F B ．∠B ＝∠BCFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF第4题图 第5题图5．如图，在▱ABCD 中，点M 为边AD 上一点，AM ＝2MD ，点E ，F 分别是BM ，CM 的中点．若EF ＝6，则AM 的长为8．6．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，F 分别是边AB ，AC 的中点， ∴DF ∥BC.同理：DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，点E 是AB 的中点，连接DE.求线段DE 的长．解：∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线． ∴点D 是BC 的中点． 又∵点E 是AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE ＝12AC ＝4.知识点2 三角形中位线定理的应用8．如图，要测量池塘两岸相对的A ，B 两点间的距离，可以在池塘外选一点C ，连接AC ，BC ，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，测得DE ＝50 m ，则AB 的长是100m.第8题图 第9题图9．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是（C ）A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（B ）A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为（A ）A ．12B ．14C ．24D ．21第11题图 第12题图12．如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝35°，则∠PFE 的度数是35°．13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，E ，F 分别是边BC ，AC 的中点．求证：DF ＝BE.证明：∵E ，F 分别是边BC ，AC 的中点， ∴EF ＝12AB ，EF ∥AB ，AF ＝FC ，BE ＝EC.∵AD ＝12AB ，∴EF ＝AD.∵∠BAC ＝90°，EF ∥AB ， ∴∠DAF ＝∠EFC ＝90°. 又∵AF ＝FC ，AD ＝FE ， ∴△DAF ≌△EFC （SAS ）． ∴DF ＝EC.又∵BE ＝EC ，∴DF ＝BE.14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．解：∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF. 又∵CG ⊥AD ，∴∠AFC ＝∠AFG ＝90°. 在△AGF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠GAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC ，∴△AGF ≌△ACF （ASA ）． ∴AG ＝AC ＝3，GF ＝CF. ∴BG ＝AB －AG ＝4－3＝1.又∵BE ＝CE ，∴EF 是△BCG 的中位线． ∴EF ＝12BG ＝12.15．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，延长BA ，CD ，分别交射线FE 于P ，Q 两点．求证：∠P ＝∠CQF.证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM. ∵点E 是AD 的中点， ∴EM ∥AB ，EM ＝12AB.∴∠MEF ＝∠P.同理可证：FM ∥CD ，FM ＝12CD.∴∠MFE ＝∠CQF. 又∵AB ＝CD ，∴EM ＝FM. ∴∠MEF ＝∠MFE.∴∠P ＝∠CQF.。
三角形中位线练习(含解析)
三角形中位线练习1如图， ABC 中，D 是AB 的中点，DE//BC ，连结BE ，若S DEB 1，则S BCE 的值为（C . 32.如图，ABC 中，AB 24 , BC 再顺次连接△ AB I C I 各边中点，得到△ A 2B 2C 2的周长为（ ）ABC 各边中点，得到△ AB iG ；如此进行下去，得到△ A n B n C n ，则△人民。
8④直线MN 与AB 之间的距离;4.如图，在 ABC 中， ACB 90 , BC 6cm , AC 8cm ，点0为AB 的中点，连接CO .点C . 3.如图，点A ，B 为定点，直线I//AB ， 中点，对于下列各值：其中会随点 ① 线段MN 的长；②PAB 的周长；③ PMN 的面积；P 是I 上一动点，点P 的移动而发生变化的是 1 D.- 8 M , N 分别为PA , PB 的 （填序号）. 26, CA 14 •顺次连接⑤ APB 的大小.M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t 秒.(1 )当AMO AOM时，求t的值；(2)当COM是等腰三角形时，求t的值.[可以用下列数学知识，不需要证明：三角形两边中点的连线的长度等于第三边边长的一半]R B三角形中位线练习参考答案与试题解析一•选择题（共2小题）1如图，ABC中，D是AB的中点，DE//BC，连结BE，若S DEB 1，则S BCE的值为（C. 3【解答】解：Q D是AB的中点，DE//BC ,CE AE .1DE BC ,2Q S DEB 1,S BCE 2 ,故选：B .2.如图，ABC中，AB 24 , BC 26, CA 14 .顺次连接ABC各边中点，得到△ ABiG ；再顺次连接△ ABiG各边中点，得到△ A2B2C2如此进行下去，得到△ ABnG，则△ ^B s C s的周长为（A . 1B . 1 C.- D.-2 4 8【解解: Q A1、C1分别为AB、AC的中点，答】AC1 BC 13 ,同理，A1B1 1AC 7, B1C1 1AB 12 ,2 2△ ABG 的周长7 12 13 32,【解答】 解：①Q 点M , N 分别为PA , PB 的中点,1 MN -AB ，即线段MN 的长为定值；2 1② MN - AB , PM 、PN 的值随点P 的变化而变化,2 PAB 的周长随点P 的移动而发生变化；③ Q PM MA , PN NB ,1 MN -AB ,2 Q AB 的长为定值，MN 的长不变， PMN 的面积不变，直线 MN 与AB 之间的距离不变,④Q MN //AB ,直线MN 与AB 之间的距离不变；⑤随点P 的移动 APB 的大小变化; AB i C i 的周长 1ABC 的周长 12A B 2C 2的周长 △ A 1B 1C 1的周长 1 2ABC 的周长（3）,A 8B 8C 8的周长 ABC 的周长 1（2）1 164 256 4，二.填空题（共1小题）3.如图，点A , B 为定点，直线 l / /AB ，P 是I 上一动点，点 M , N 分别为PA ， PB 的中点，对于下列各值：其中会随点 P 的移动而发生变化的是 ②⑤（填序号）① 线段MN 的长;② PAB 的周长；③ PMN 的面积；④ 直线MN 与AB 之间的距离;⑤ APB 的大小.故答案为：②⑤•三•解答题(共1小题)4.如图，在ABC中，ACB 90 , BC 6cm, AC 8cm，点0为AB的中点，连接CO •点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒.(1 )当AMO AOM时，求t的值；(2)当COM是等腰三角形时，求t的值.[可以用下列数学知识，不需要证明：三角形两边中点的连线的长度等于第三边边长的一半]ACB 90 ,AB AC2 BC210,QO为AB中点,AO 〔AB 5, 2Q AO AM ,AM 5,CM 3 ,t的值为【解答】解：(1) )Q AC 8 , BC 6 ,t 3 ；(2) ①当CO CM 时，CM 5, t 5,②当MC MO 时，t232(4 t)2,解得: :t25 ；8③当CO OM 时，M与A点重合，t 8;综上所述，当COM是等腰三角形时,。
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2．已知三角形的三边长分别是4， 5，6，则它的三条中位线围成的 三角形的周长是________．
3．如图，点D，E，F分别是△ABC 三边的中点，且S△DEF=3，则 △ABC的面积等于（ ） A．6 B．9 C．12 D．15
7．如图，在△ABC中，中线BE， CD交于点O，F，G分别是OB， OБайду номын сангаас的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D，E，F，G分别是BC，AC，AB的 中点，若AB=BC=3DE=6，求四边形 DEFG的周长
9．如图，已知△ABC是锐角三角形， 分别以AB，AC为边向外侧作两个等边 △ABM• 和△CAN．D，E，F分别是 MB，BC，CN的中点，连结DE，FE， 求证：DE=EF．
4．如图，△ABC中，D，E，F 分别是AB，BC，AC的中点，若 AB=10cm，AC=• 6cm，• 求四边 形ADEF的周长．
5．如图，在Rt△ABC中，EF是中 位线，CD是斜边AB上的中线，求 证：EF=CD．
6．已知△ABC中，D为BC上的一 点E，F，H，G分别是AC，CD， DB，AB的中点，EF+AD=6，求 GH的长．