圆柱、圆锥、球体(学生版)

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高中数学课件圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征

旋转轴轴：_______叫做圆垂直矩形的一边柱的轴.底面：_____ 以___________ 于轴的边 _________旋转而成的所在直线为旋平行于圆面.侧面：_______ 转轴,其余三边轴的边圆柱 _______旋转而成的曲旋转形成的面面.母线：无论旋转到所围成的旋转不垂直于什么位置,_________ 体轴的边圆柱 _______.柱体：_____ 和棱柱 _______统称为柱体
2.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面
图形是下图中的 .
【解题指南】1.可以参照给出的截面图形,推断截面位置,从而判断截面是否存在,也可列举几种不同位置的截面的图形进行对照,逐一排除. 2.根据球与各面的切点为各面的中心判断.
【解析】1.在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化, 截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图形是图(1).当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图(3).而图(2)(4)是不会出现的. 答案：(1)(3) 2.正方体的对角面为矩形,所以①错误;④为正方体内接于球的截面,错误;正方体的内切球与棱不相切,故③错误. 答案：②来自 2.下面的说法正确的有.
①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合,构成半径为r的球面; ②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合,构成半径为r的球; ③一个圆绕其直径旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球; ④球的对称轴有无数条,对称中心也有无数个; ⑤用平面截球,随着平面角度不同,截面可能不是圆面.
(2)用一个平面截一个球,得到的是一个圆.(
(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.(
提示：(1)错误.圆台的母线延长后与轴交于一点.
(2)错误.用一个平面截一个球,得到的是一个圆面.

圆锥圆柱和球体的体积计算

圆锥圆柱和球体的体积计算圆锥、圆柱和球体是几何中的常见立体体形，计算它们的体积是我们常常需要面对的问题。

本文将详细介绍如何计算圆锥、圆柱和球体的体积。

一、圆锥的体积计算圆锥指的是由一个圆面和一个顶点连接圆心的直线所围成的立体。

计算圆锥的体积的常用公式是V = 1/3 ×V ×V² ×ℎ，其中V是圆锥底面的半径，ℎ是圆锥的高。

例如，假设圆锥底面半径为5厘米，高为10厘米，那么根据公式，其体积为：V = 1/3 × 3.14 × 5²× 10 ≈ 261.67立方厘米。

二、圆柱的体积计算圆柱由两个平行且等大小的圆面以及连接两个圆面的侧面组成。

计算圆柱的体积的常用公式是V = V ×V² ×ℎ，其中V是底面圆的半径，ℎ是圆柱的高。

例如，假设圆柱底面半径为4厘米，高为8厘米，那么根据公式，其体积为：V = 3.14 × 4² × 8 = 401.92立方厘米。

三、球体的体积计算球体是由所有和球心的距离相等的点构成的立体。

计算球体的体积的常用公式是V = 4/3 ×V ×V³，其中V是球体的半径。

例如，假设球体半径为6厘米，那么根据公式，其体积为：V = 4/3 × 3.14 × 6³≈ 904.32立方厘米。

通过以上三个例子，我们可以初步了解如何计算圆锥、圆柱和球体的体积。

在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运用这些公式。

值得注意的是，体积的单位通常是立方厘米（cm³）或立方米（m³），在进行计算时需要保持单位的统一。

此外，对于复杂形状的立体，我们可以将其分解为若干个简单的几何体，并分别计算其体积，然后求和得到整体的体积。

这个原理可以应用于更复杂的实际问题中。

总结起来，计算圆锥、圆柱和球体的体积可以采用不同的公式，即V = 1/3 ×V ×V² ×ℎ、V = V ×V² ×ℎ、V = 4/3 ×V ×V³。

基本立体图形第2课时—圆柱、圆锥、圆台、球-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

8.1基本立体图形
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱、圆锥、圆台的结构特征
这些几何体是如何形成的？它们的结构特征是
什么？
一、圆柱的结构特征:
旋转轴 1、定义：以矩形的一边
底面
所在直线为旋转轴，其余
A′
O′
三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。
(1)旋转轴叫做圆柱的轴。
(2)垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。
母线
A
O B
轴成的旋转体叫做圆锥。
侧 (1)旋转轴叫做圆锥的轴。面 (2) 垂直于轴的边旋转而成
的圆面叫做圆锥的底面。 (3)不垂直于轴的边旋转而
成的曲面叫做圆锥的侧面。
(4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
S
轴
侧面
B
O
母线
A
底面
2、圆锥的表示法:用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO。
圆锥的截面图轴截面横截面斜截面斜截面
三、圆台的结构特征:
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。
上底面
轴
O'
侧面
O
母线下底面
2、圆台的表示法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO′。
思考？
圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大
上底缩小
四、球的结构特征:
1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫做球体。
A
半径
球心
O
B 2、球的表示法：用表示球心的字母表示，
如球O .

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积高一数学(人教A版2019必修第二册)

∴V球＝43πR3＝43π. 答案：A
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩形的对角线就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长方体的体对角线长为 12＋22＋32＝ 14，设球的半径为R，则有
在Rt△POE中，PE=4，
OE=3，则高PO=7 .
所以
V
1· 3
SABCD·
PO
1 3
62
7 12
7，
S侧面积
1· 2
c·
PE
1 2
4
6
4
48.
【提升总结】圆柱、圆台、圆锥表面积公式圆柱的表面积为：
S圆柱表 2r2 2rl 2r r l
圆锥的表面积为：
S圆锥表 r2 rl r r l
答案：6
题型三球的切、接问题——微点探究微点 1 球与正方体、长方体的切、接问题例 2 (1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.43π
B.
2π 3
C.
3π 2
D.π6
解析：将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长2，则球的半径R＝1.
结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？
V柱体 =Sh (S为底面积，h为柱体高)
1 V锥体 = 3 Sh (S为底面积，h为锥体高)
V台体
=
1 3
(
S
S S S )h (S′、S分别为上、下底面面积，h为台体高)

基本立体(圆柱、圆锥、球)三视图

圆锥体的三视图及表面上的点
2.圆锥体表面取点
例：已知圆锥体
表面上N点的V 面投影n/。求N点的其余
两个投影。
(n)
●(n)
辅助纬圆法
n●
作辅助纬圆求N水平投影
求N侧面投影，判别可见性。
基本立体（圆锥体）的三视图
圆锥体的尺寸注法
圆锥体的尺寸有两个，底圆直径和高度，并且一般标注在非圆的视图上。
1.球的三视图
球的形体特征：球由球面围成球面的形成：球面由半圆绕其直径为轴线旋转而成。
基本立体（球）的三视图
球的三视图及表面上的点
1.球的三视图
基本立体（球）的三视图
球的三视图及表面上的点
2.球表面取点
水平纬圆
球面投影无积
k/
聚性，球体表面求
点的投影采用作与
某投影面平行的辅
助纬圆。
k//
K
k 点在圆上
基本立体（球）的三视图
球的三视图及表面上的点
2.球表面取点
例：已知球面上点Ⅰ的正面投影，求其水平和侧面投影。
基本立体（球）的三视图
球的三视图及表面上的点
2.球表面取点
例：已知球面上点Ⅰ的正面投影，求其水平和侧面投影。
球的尺寸注法
基本立体（球）的三视图
球只有一个直径尺寸，为了表示球面，要在直径尺寸前加上s。
基本立体（圆锥体）的三视图
圆锥体的三视图及表面上的点
1.圆锥体的三视图三视图
基本立体（圆锥体）的三视图
圆锥体的三视图及表面上的点
2.圆锥体表面取点
因圆锥面不具备积聚性投影的元素，因此需要采用辅助素线法和辅助纬圆法
s/ k/ d/

圆柱体、圆锥体、球体、正方体画法步骤

学习素描应遵循由浅入深、循序渐进的原则，石膏几何体概括了自然界各种不同的形体。

从研究石膏几何体和静物着手，是素描入门的开始。

研究几何体，便于理解物体的形体结构和在空间中的透视原理，便于理解物体的明暗调子和立体感。

素描这些最基本的规律，也贯串在其它一切复杂的形体中间，几乎包含了素描造型的各种关系。

通过对几何形体的理解和描绘，可以培养表现各种复杂形体的概括能力，为进一步学习素描打下基础。

我们今天先画一下石膏几何体的结构素描！首先我们来认识一下这些几何体吧！这些几何体你都叫得出名字不？没关系我们要画得好就行了！当然我们先从最简单容易的开始吧！球体的描绘圆球体与立方体相比较两者有着强烈的反差，圆球体的结构特征与立方体刚直的形态对立。

完全是由弧形构成的，给人以柔美、圆润、含蓄而灵动的感觉。

自然界中的一切物象均可以概括成立方体和圆球体这两种基本形态，也可以说立方体和圆球体是自然界中两种最基本的形态，两者的对立关系也完全符合“世界上的一切事物都是处于矛盾着的统一体之中”的这一基本规律。

矛盾着的事物在一定的条件下又是可以相互转让，方中寓圆，圆中有方，这两种视觉形象为我们认识世界提供了符号化的客观依据。

下面我们来认识一下圆球体的形体结构。

如图1是概括了的圆的形体结构。

图１圆球体圆球体的结构关系，要比方体复杂得多了，为了便于了解我们还是要对圆球体的结构关系加以概括，便于理解其形态构造。

如图2所示，是圆球体基本构造。

图2 圆球体的形体结构圆球体的绘画步骤① 首先画一个正方形，画出对角线,找出一个交点为圆球体的圆心点，通过此圆心点作水平线和垂直线，找出圆球体外轮廓线与正方形相切的四个切点，（图3）。

图3-1 圆球体的绘画步骤一② 然后用“切”的方法渐次地把这个方形由方的形态变为圆的形态。

如图3-2所示，先用短直线逐渐的画出圆形的大体轮廓，再调整成圆形。

图3-2 圆球体的绘画步骤二③ 调整线条，用圆滑曲线将圆修整一下。

用橡皮反复调整，直到感觉圆形画圆了为止，（图3-3）。

第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积教案学生版

1.1.7柱、锥、台和球的体积【学习要求】1．理解祖暅原理的内容．2．了解柱、锥、台体的体积公式的推导．3．掌握柱、锥、台体和球的体积公式．4．能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积．【学法指导】通过柱、锥、台和球体的体积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心. 填一填：知识要点、记下疑难点1．柱体的体积：一般柱体的体积公式V＝ Sh ，其中S为底面面积，h为棱柱的高．2．棱锥的体积：V ＝13Sh (S为底面面积，h为高)，圆锥的体积为：V圆锥＝13πR2h .3．棱台的体积：V＝13(S′＋S′S＋S)h，其中S′，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高．圆台的体积公式为：V圆台＝13πh(r2＋rR＋R2)．4．球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V球＝43πR3 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题．探究点一祖原理问题1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式是什么？问题2取一摞纸张放在桌面上(如下图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？探究点二棱柱、圆柱和球的体积问题1等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？问题2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？问题3底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式如何表示？问题4观察下面的图，用同样大小的三个三棱锥能拼成一个三棱柱，说明了什么问题？问题5由问题4，你能得到锥体体积的计算公式吗？问题6由锥体的体积公式，你能得出圆锥的体积公式吗？问题7 台体的上底面积S′，下底面积S, 高h ，则台体的体积是如何计算的？问题8 由台体的体积公式，你能得出圆台的体积公式吗？问题9 如何求球的体积呢？问题10 柱体、锥体、台体的体积公式间有怎样的关系？例1 如图所示，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C —A′DD′，求棱锥C —A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．跟踪训练1 正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．例2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)，共重5.8 kg ，已知螺帽的底面六边形边长是12 mm ，高是10 mm ，内孔直径是10 mm ，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm 3，π≈3.14)?跟踪训练2 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．例3 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两垂直且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积．跟踪训练3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 ( )A ．6∶13B ．5∶14C ．3∶4D ．7∶15练一练：当堂检测、目标达成落实处1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为 ( )A ．6 3 B. 3 C ．2 3 D ．22．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 ( )A ．2倍B ．22倍C ．2倍D ．32倍3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，已知点P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 ( ) A.12V B.13V C. 14V D. 23V课堂小结：1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．4．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――――S′＝S V 台体＝13h(S ＋SS′＋S′)―――→S′＝0V 锥体＝13Sh.。

球体圆锥圆柱圆台的体积与表面积计算

球体圆锥圆柱圆台的体积与表面积计算球体的体积与表面积计算在几何学中，球体是一种立体图形，其外形类似于一个完全圆满的球。

球体具有独特的性质，如体积和表面积。

这篇文章将讨论如何计算球体的体积和表面积。

一、球体的体积计算球体的体积是指球体内部的三维空间大小。

为了计算球体的体积，我们需要使用球体的半径。

公式：V = (4/3)πr³其中，V代表球体的体积，π为圆周率（约为3.14159），r代表球体的半径。

例如，如果给定一个球体的半径为5米，我们可以使用上述公式计算出它的体积：V = (4/3)π(5)³ = (4/3)π(125) ≈ 523.6立方米因此，该球体的体积约为523.6立方米。

二、球体的表面积计算球体的表面积是指球体外部的三维空间大小。

要计算球体的表面积，同样需要使用球体的半径。

公式：A = 4πr²其中，A代表球体的表面积，π为圆周率（约为3.14159），r代表球体的半径。

举个例子，如果我们有一个半径为5米的球体，应用上述公式可以计算出它的表面积：A = 4π(5)² = 4π(25) ≈ 314.16平方米因此，该球体的表面积约为314.16平方米。

圆锥的体积与表面积计算圆锥是一个有圆锥体和圆锥底的几何形状。

计算圆锥的体积和表面积可能有不同的方法，具体取决于所给出的信息。

一、圆锥体的体积计算圆锥体是指圆锥的实体部分，其体积可以通过以下公式进行计算。

公式：V = (1/3)πr²h其中，V代表圆锥体的体积，π为圆周率（约为3.14159），r为圆锥底的半径，h为圆锥的高度。

例如，如果我们知道圆锥底的半径为4米，高度为6米，可以使用上述公式计算圆锥体的体积：V = (1/3)π(4)²(6) = (1/3)π(16)(6) ≈ 100.53立方米因此，圆锥体的体积约为100.53立方米。

二、圆锥的表面积圆锥的表面积计算方法取决于所给出的信息。

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个
圆柱的体积可能是
√288 A. π
cm3
√192 B. π
cm3
C.288π cm3
D.192π cm3
解析当圆柱的高为 8 cm 时，V＝π×122π2×8＝2π88(cm3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V＝π×28π2×12＝1π92(cm3).
V柱 Sh
V柱
1 3
Sh
1 V台 3 (S
SS' S' )h
复习棱柱、棱锥、棱台的表面积：
围成它们的各个面的面积的和，即侧面积+底面积
我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球的表面积又是怎样的呢？
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即侧面积+底面积
变式2 (1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
解析设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°，
1 3
Sn
R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
因为 S 4πR2 所以球的体积为 V 4 R3
3
Si
hi
Vi
Si
R
O
Vi
2
PART TWO
题型探究
题型一求圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.

圆柱、圆锥、圆台、球—高中数学湘教版(2019)必修二

(1)(2)
截挖型
由简单几何体截去或挖去一部分而成
(3)(4)
微练习
如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请
把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案 ①—C
③—D
②—B
④—A
探究一
旋转体的结构特征
例1(多选面都是矩形
B.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周
球中的计算问题
例4(1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 2,则此
球的半径为
.
(2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是
.
答案 (1) 3
2 3
(2) R
3
解析 (1)如图,设截面圆的圆心为 O',M 为圆 O'上任一点.
由题意得 OO'= 2,O'M=1,
2
∴OM= ( 2) + 1 = 3.即球的半径为 3.
侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D
不正确,很明显选项A正确.
微判断
(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(
)
(2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(
)
(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(
答案 (1)√
(2)×
(3)×
)
知识点四:球
球
图形及表示
当堂检测
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是(
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个共底面的圆锥
答案 D
)
2.下列说法正确的是(
)
A.将正方形旋转不可能形成圆柱

圆柱体圆锥体球体正方体画法步骤

圆柱体圆锥体球体正方体画法步骤画圆柱体的步骤：步骤一：绘制圆柱体的底面首先，在画纸上选择一个合适的位置，用一只铅笔轻轻地画一个圆。

这个圆的大小取决于你想要的圆柱体的直径。

如果你需要一个直径为5厘米的圆柱体的底面，那么你可以画一个直径为5厘米的圆。

步骤二：画圆柱体的顶面在底面的上方，再画一个与底面圆形相同大小的圆。

确保它在相同的中心点上。

这将是圆柱体的顶面。

步骤三：连接底面和顶面现在，使用一支直尺和一只铅笔，从底面圆的边缘开始，沿着直径画一条直线，连接到相应的顶面圆的边缘。

这将形成圆柱体的侧面。

步骤四：绘制底面的边缘使用直尺和铅笔，画一条从底面圆的一个点到另一个点的线，这将形成圆柱体的底面边缘。

步骤五：绘制顶面的边缘同样地，使用直尺和铅笔，画一条从顶面圆的一个点到另一个点的线，这将形成圆柱体的顶面边缘。

步骤六：擦除多余的部分就完成了圆柱体的绘制。

画圆锥体的步骤：步骤一：画圆锥体的底面首先，在画纸上选择一个合适的位置，用一只铅笔轻轻地画一个圆。

这个圆的大小取决于你想要的圆锥体的底面直径。

如果你需要一个直径为5厘米的圆锥体的底面，那么你可以画一个直径为5厘米的圆。

步骤二：画圆锥体的顶点在底面圆形的中心点上，用一只铅笔小心地画一个小点。

这将是圆锥体的顶点。

步骤三：连接底面和顶点现在，使用一支直尺和一只铅笔，从底面圆的边缘开始，沿着直径画一条直线，连接到顶点。

这将形成圆锥体的侧面。

步骤四：绘制底面的边缘使用直尺和铅笔，画一条从底面圆的一个点到另一个点的线，这将形成圆锥体的底面边缘。

步骤五：绘制顶点到底面的边缘使用直尺和铅笔，画一条从顶点到底面圆的边缘的线，这将形成圆锥体的侧面。

步骤六：擦除多余的部分了圆锥体的绘制。

画球体的步骤：步骤一：画球体的底面首先，在画纸上选择一个合适的位置，用一只铅笔轻轻地画一个圆。

这个圆的大小取决于你想要的球体的直径。

如果你需要一个直径为5厘米的球体，那么你可以画一个直径为5厘米的圆。

第一章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球教案学生版

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球【学习要求】1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体．2．认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．3．理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以、、直角梯形中的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．2．旋转轴叫做所围成的几何体的；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的，无论旋转到什么位置，这条边都叫做．3．球面可以看作绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球．4．用一个平面去截一个球，截面是，球面被经过球心的平面截得的圆叫做，被不经过球心的平面截得的圆叫做 . 球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：r＝ .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．探究点一圆柱、圆锥、圆台的结构特征导引观察下面的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台．为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？问题1圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质？问题2类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何定义的？问题3对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？问题4圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示？问题5圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？例1用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长(如图所示)．小结：处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系．跟踪训练1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，原来圆锥的母线长是16 cm ，求圆台的母线长．探究点二球的结构特征问题1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆运动的轨迹是怎样的空间图形？问题2 球面的定义是怎样的？球心、球半径、球的直径是如何定义的？问题3 如何用字母表示一个球？问题4 用集合的观点如何定义球面？问题5 用一个平面去截一个球，如何说明截面是圆面？：问题6 阅读教材14－15页，你能说出什么是球的大圆？什么是球的小圆？什么是球面距离吗？什么是旋转体？什么是组合体？例2 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR.求A 、B 两地间的球面距离．小结：计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角的度数α，然后通过计算απR 180来确定球面距离(R 是球半径)．跟踪训练2 我国首都靠近北纬40°纬线．求北纬40°纬线的长度约等于多少km(地球半径约为6 370 km ，π≈3.141 6，cos 40°＝0.766 0)．练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．2．圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2 cm,10 cm ，高为3 cm ，则圆台母线的长为________ cm.3．在半径为25 cm 的球内有一个截面，它的面积是49π cm 2，求球心到这个截面的距离．课堂小结：1．圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．2．圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R的关系为l2＝h2＋R2.3．圆台的母线l、高h和上下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯形，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法．4．球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．。

9.1空间几何体的结构特征及其三视图(学生版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时9.1空间几何体的结构及其三视图和直观图考纲定位认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质；了解空间图形的两种不同表示形式（三视图和直观图），了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系.一、基础检测1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( )．A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．以下命题：其中正确命题的个数为( )．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．33．(2012 杭州)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )．A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．小结：1、空间几何体的结构特征：（1）多面体：①棱柱②棱锥③棱台（2）旋转体：①圆柱②圆锥③圆台④球2、三视图：(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．二、典例分析例1、(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．例2、(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3练习:1、(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．2、(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m 3.3、（2011北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）．Ａ．32Ｂ．16162+Ｃ．48Ｄ．16322+【课后反思】4俯视图侧左()视图正主()视图42。

【课件】圆柱、圆锥、圆台、球表面积和体积课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

例析
例2 如右图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆
柱的体积之比.
解:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径
为R，高为2R.
4 3
因为 V球
R ,V 圆柱
R2 2R 2 R3
3
所以 V球 : V圆柱
2
3
问题：球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？
R O
练习
题型一：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1.(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1 ，2 ，过直线1 2 的平面截该圆
）
2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形. （
答案：√，×.
辨析2：若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(
A.2
答案：D.
B.3
C.
D.4
).
）
新知探索
割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推
导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.
他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的
∴ = 5，∴ = × (2 + 6) × 5 + × 22 + × 62 = 40 + 4 + 36 = 80.
练习
题型二：圆柱、圆锥、圆台的体积
例2.(1)若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，则圆柱与圆锥的体积
之比是(
).
A.1
B.1：2
C. 3：2
D.3：4
的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体
积为_____.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，.
作1 ⊥ 于点，则1 = 3，∠1 = 60°.
又∠1 = 90°，∴∠1 = 60°，∴ =

高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式

高中数学公式大全球体圆柱体和锥体的体积公式高中数学公式大全——球体、圆柱体和锥体的体积公式在高中数学中，学生需要了解和掌握一系列的几何公式，其中包括球体、圆柱体和锥体的体积公式。

本文将全面介绍这三种几何体的体积计算公式，并附上相应的推导过程。

一、球体的体积公式球体是一个完整的、封闭的几何形状，它的体积公式如下：体积V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，r表示球体的半径，π是一个常数，约等于3.14159。

推导过程：我们可以通过立体几何中的切割与拼接方法，将球体切割成无数个极薄的圆环。

设每个圆环的半径为r，厚度为Δh。

则每个圆环的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。

将所有圆环的体积相加并取极限，即可得到球体的体积公式。

二、圆柱体的体积公式圆柱体是由两个平行圆面和连接两个圆面的侧面组成的几何体。

圆柱体的体积公式如下：体积V = πr²h其中，V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高。

推导过程：我们可以将圆柱体切割成无数个极薄的圆盘。

设每个圆盘的半径为r，厚度为Δh。

则每个圆盘的体积可以近似表示为ΔV = πr²Δh。

将所有圆盘的体积相加并取极限，即可得到圆柱体的体积公式。

三、锥体的体积公式锥体是由一个底面圆和连接底面圆与一个顶点的侧面组成的几何体。

锥体的体积公式如下：体积V = (1/3)πr²h其中，V表示锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示锥体的高。

推导过程：我们可以将锥体切割成无数个极薄的圆锥。

设每个圆锥的底面半径为r，高度为Δh。

则每个圆锥的体积可以近似表示为ΔV = (1/3)πr²Δh。

将所有圆锥的体积相加并取极限，即可得到锥体的体积公式。

总结：本文分别介绍了球体、圆柱体和锥体的体积计算公式和推导过程。

高中数学中，学生需要牢记这些公式，并在实际问题中灵活运用。

几何体的体积计算是数学中的基础知识，掌握这些公式对于进一步学习和理解其他数学概念具有重要意义。

完整版)小学数学图形体积计算公式大全

完整版)小学数学图形体积计算公式大全在小学数学中，学生们需要研究和掌握不同图形的体积计算公式。

了解这些公式对于解决与三维几何相关的问题非常重要。

下面是一些常见图形的体积计算公式：1.立方体立方体是一个由六个相等的正方形面组成的三维图形。

它的边长一般用a表示。

立方体的体积计算公式为：体积 = a × a × a 或 V = a^32.直方体直方体是一个由六个矩形面组成的三维图形。

它的长度、宽度和高度分别用l、w和h表示。

直方体的体积计算公式为：体积 = l × w × h 或 V = lwh3.正方体正方体是一个特殊的立方体，其所有边长相等。

它的边长一般用s表示。

正方体的体积计算公式与立方体相同：体积 = s × s × s 或 V = s^34.圆柱体圆柱体是一个由一个底面为圆形的圆柱和两个平行于底面的圆柱面构成的图形。

它的底面半径和高度分别用r和h表示。

圆柱体的体积计算公式为：体积= π × r^2 × h 或V = πr^2h5.圆锥体圆锥体是一个由一个底面为圆形的圆锥和一个连接底面与顶点的曲面构成的图形。

它的底面半径和高度分别用r和h表示。

圆锥体的体积计算公式为：体积= (1/3) × π × r^2 × h 或V = (1/3)πr^2h6.球体球体是一个由所有距离球心相等的点构成的图形。

它的半径用r表示。

球体的体积计算公式为：体积= (4/3) × π × r^3 或V = (4/3)πr^3这些是小学数学中常见的图形的体积计算公式。

通过熟悉并掌握这些公式，学生们可以更好地理解和解决与三维几何相关的问题。

如果有需要计算体积的图形，请使用适当的公式进行计算。

(完整版)一年级下册数学形状

(完整版)一年级下册数学形状一年级下册数学形状引言本文档将介绍一年级下册数学课程中涉及的各种形状。

通过研究形状，学生将能够发展对几何概念的理解和空间感知能力。

1. 直线和曲线在数学中，直线和曲线是几何形状的基本概念。

直线是由无数点组成的，每两点之间都有一条唯一的直线。

曲线是由一系列连接点的线段组成的。

2. 二维形状2.1. 圆形圆形是最简单的几何形状之一，由一个固定的中心点和与中心点等距离的点构成。

圆形具有无边界、无顶点和无角的特点。

2.2. 矩形矩形是由四条直线段组成的四边形，其中相邻边相等且对角线相等。

矩形具有四个右角，每个角度为90度。

2.3. 三角形三角形是由三条直线段组成的三边形。

根据边长和角度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2.4. 正方形正方形是一种特殊的矩形，具有四条相等的边和四个直角。

3. 三维形状3.1. 立方体立方体是一种特殊的长方体，具有六个相等的正方形面。

立方体的所有边长相等，所有角度为90度。

3.2. 圆柱体圆柱体由一个圆面和一个与圆面平行的长方形侧面组成。

圆柱体的侧面是由一个矩形卷起形成的。

3.3. 圆锥体圆锥体由一个圆面和一个从圆面上一点到底面上各点的线段组成。

圆锥体的底面可以是任何形状的二维图形。

3.4. 球体球体是由所有和中心点的距离相等的点组成的几何体。

球体是唯一一个没有面、边和顶点的三维形状。

结论数学形状是我们日常生活中无处不在的。

通过研究数学形状，学生可以培养对空间感知的能力，并且为将来的几何研究打下坚实的基础。

以上是一年级下册数学课程中涉及的形状的简要介绍。