排列组合问题的转化方法

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解排列组合应用题的26种策略

解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。

要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

经典排列组合应用题的解法技巧

经典排列组合应⽤题的解法技巧解排列组合应⽤题的解法技巧⼀. 运⽤两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应⽤题的最基本的出发点，可以说对每道应⽤题我们都要考虑在记数的时候进⾏分数或分步处理。

例1：n个⼈参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？例2：同室四⼈各写了⼀张贺年卡，先集中起来，然后每⼈从中拿⼀张别⼈的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配⽅式有（）（A）6种（B）9种（C）11种（D）23种练习：1投递问题：3封信2个邮箱有多少投递⽅案2映射个数计算：从集合A＝｛1，2，3，｝到集合B＝｛a，b｝能建⽴多少映射⼆. 特殊元素（位置）优先----(优待法)所谓“优待法”是指在解决排列组合问题时，对于有限制条件的元素(或位置)要优先考虑．例3：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，⼀共可以得到⽆重复数字的五位偶数多少个？注0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，⾸位与末位是特殊的位置。

例4：8⼈站成两排，每排4⼈，甲在前排，⼄不在后排的边上，⼀共有多少种排法？【eg】在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个．〔注〕这道例题是典型的限制排列组合题．解题时，若从元素⼊⼿(即元素优先)，常要分类讨论，分类时要注意堵漏防重；若从位置⼊⼿(即位置优待1，常要分步解答，分步时要注意分步完整，各步相连．练习（1）由数字0，1，2，…，9组成没有重复数字的三位数，且能被3整除（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？三. 捆绑法在解决对于某⼏个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作⼀个⼤元素进⾏排序，然后再考虑⼤元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．例5：8⼈排成⼀排，甲、⼄必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？〔注〕运⽤捆绑法解决排列组合问题时，⼀定要注意“捆绑”起来的⼤元素内部的顺序问题．四. 插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插⼊到它们的间隙及两端位置，故称插空法．例6：排⼀张有8个节⽬的演出表，其中有3个⼩品，既不能排在第⼀个，也不能有两个⼩品排在⼀起，有⼏种排法？注：捆绑法与插⼊法⼀般适⽤于有如上述限制条件的排列问题【eg】⽤1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的⼋位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，⽽7与8不相邻。

高中数学排列组合解题技巧

高中数学排列组合解题技巧在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。

它涉及到对一组对象进行有序或无序地选择和排列的问题，常常出现在数学竞赛和高考中。

掌握排列组合的解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍一些常见的排列组合题型，并提供解题技巧和例题分析，帮助高中学生和家长更好地掌握这一知识点。

一、排列问题排列问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分或全部对象的问题。

常见的排列问题有全排列、循环排列和有条件的排列等。

1. 全排列全排列是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素进行排列的问题。

全排列的计算公式为P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。

例题1：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种排列方式？解析：根据全排列的计算公式，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 4 × 3 × 2 = 24。

因此，共有24种排列方式。

2. 循环排列循环排列是指将n个不同的元素排成一个环状，不计顺序的排列问题。

循环排列的计算公式为C(n) = (n-1)!，其中n!表示n的阶乘。

例题2：将1、2、3、4排成一个环状，共有多少种循环排列方式？解析：根据循环排列的计算公式，C(4) = (4-1)! = 3! = 3 × 2 = 6。

因此，共有6种循环排列方式。

二、组合问题组合问题是指从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择一部分对象的问题。

与排列不同的是，组合不考虑对象的顺序，只关注对象的选择。

常见的组合问题有选择问题和有条件的组合等。

1. 选择问题选择问题是指从n个不同的元素中，按照一定的顺序选取m个元素的问题。

选择问题的计算公式为C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)。

例题3：从1、2、3、4中任选3个数字，共有多少种选择方式？解析：根据选择问题的计算公式，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4! / (3! × 1!) = 4。

排列组合问题的几种巧解方法

排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。

但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。

求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。

本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。

一、对等法。

在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。

并且也避免了问题的复杂性。

解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。

二、插入法。

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。

例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

解决排列组合问题的常用方法

解：（1）如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法
含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法
根据分类计数原理和点A共面三点取法共有种
（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（种取法）减去4点共面的取法
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：。另法：用捆绑与剔除相结合：
（2）排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示。即＝（）
（3）组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
（4）组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．
2、从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列组合问题的转化方法

排列组合问题的转化方法班级学号姓名有些排列组合问题，直接考虑不易解决，分类讨论又十分麻烦，如果运用转化思想，转换角度，将其转化为等价的问题，不但能拓宽思路，还能避繁就简，变难为易.1.转换角色有些排列组合题，从表面上看是可重复元素的问题，若交换元素与位置的关系，就可以化为相异元素的排列组合问题.例1 有两个a ，三个b ，四个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?练习：（1）一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?（2）有6个座位连成一排，现安排3人就坐，其中恰有两个空位相连的不同的坐法有多少种？2.换位思考把过程与结果换位思考，可以使问题更易操作.例2 某人射击8枪，共命中4枪，并且这4枪中有且仅有3枪连中，那么对于该人射击8枪，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果共有多少种?练习：（1）马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?（2）从1，2，3，…，2000这两千个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?3.化归处理通过构造模型可以将陌生问题，转化为常见题型的方法来处理。

例3 6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法？练习：（1）求方程10=++z y x 的正整数解的个数。

（2）有9名实习老师准备分到高二年级的6个班中实习，每班至少1名，共有多少种不同的分法？4．构造模型例 4 共10级台阶，一人准备用8步走完，每步可走一级、二级或三级，共有多少种不同的走法？练习：甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程有多少种？☆5.转换说法转换语言和变换说法，可以把比较隐晦的问题转化为直观问题，把抽象问题转化为具体的问题. 例5 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数.(1)C ⊂A ∪B ，且C 中含有3个元素；(2)C ∩A ≠Φ(Φ表示空集).等价说法1集合A 有12个元素，集合B 有8个元素，且A ∩B ＝Φ，求在集合A ∪B 中取3个元素，其中至少含有A 的1个元素构成的集合C 的个数.为了更形象地理解题意，找出相应的实际问题作为模型，这样更有利于推进问题的解决。

排列组合隔板法原理

排列组合隔板法原理排列组合隔板法是一种用于解决组合问题的方法，其中隔板表示分割组合的元素，例如，将一组元素分割成若干个不同的部分或组合。

该方法的原理是将问题转化为计算隔板的排列组合数量。

以分割元素为例，假设有n个元素需要分割成m个不同的部分或组合，可以用m-1个隔板将这些元素分割成m个部分。

隔板可以放置在任意两个元素之间，或者在第一个元素和第二个元素之前，最后一个元素和倒数第二个元素之后。

根据排列组合的原理，将n个元素和m-1个隔板看作是n+m-1个对象，可以通过选择m-1个隔板的位置，来确定元素的分割方式。

因此，问题转化为求解组合数量，即C(n+m-1, m-1)。

例如，假设有5个元素要分割成3个部分，可以用2个隔板将它们分割。

将元素和隔板看作是7个对象，通过选择2个隔板的位置，可以确定分割方式。

因此，组合数量为C(7,2) = 21。

排列组合隔板法在解决组合问题时，特别适用于需要将一组元素按照某种规则分割成不同的组合。

例如，将n个苹果分给m 个人，要求每个人至少有一个苹果，可以使用排列组合隔板法来计算不同的分配方式。

排列组合隔板法的原理可以进一步扩展到解决更复杂的问题。

例如，假设有n个不同的球要放入m个不同的盒子中，每个盒子可以为空。

可以使用隔板法来解决这个问题。

将每个球看作是一个元素，每个盒子看作是一个部分，可以用m-1个隔板将n个球分割成m个部分。

球可以放置在同一个盒子内，或者放置在不同的盒子内。

因此，问题转化为求解组合数量，即C(n+m-1, m-1)。

另一个例子是求解非负整数解的方程。

例如，对于方程x1 + x2 + x3 = 10，其中x1，x2和x3是非负整数，可以使用隔板法来计算非负整数解的数量。

将10个单位看作是一个元素，将两个'+'号看作是隔板，可以用两个隔板将这个元素分割成三个部分。

每个部分表示一个整数变量的取值。

因此，问题转化为求解组合数量，即C(10+3-1, 3-1) = C(12, 2) = 66。

浅析排列组合应用题解题中的转化策略

即安排方法数为Ａ一３Ａ＋４２２也可以这样：Ａ为甲４５５２。Ａ一３Ａ＝５。记
不跑第一棒。第四棒，：ａｄＡＩＣＢ＝ａｄＡ一ａｄＡｎＢＢ跑即ｃｒ（＇１）ｃｒ（）ｃｒ（１）
＝
（）相同的白球、个不同的黑球，２５个３排成一排，多少种排有
（ＡＮＢ。）
、
运用模型。化问题背景转
问题模型化，常常可以使问题更加系统，易解决。这里我们容先看看以下的模型（白球的排列问题）黑。（）１５个不同的白球、不同的黑球，３个排成一排，多少种排有
列方法？
解题犹如攻城，须知己知彼，面的敌人多。应的反面自必正相然会少。这里我们看如下的问题：例４取正方体的８个顶点中的４个可以构成多少个三棱锥？：本题在解决时，由于正面情况不共面的四点组比较复杂。因此容易产生重复或者遗漏。然而，从反面考虑。即共面的四点组则比
题的形式、条件、景等等，背促使问题更加熟悉、加简捷、更更加方
便解决。这里希望通过对一些具体的排列组合应用题的解决来体会数学转化策略的应用，以使我们在解决此类问题时能更加具有灵活和有针对性。
一
跑第一棒且乙不跑第四棒，多少种安排方法？有本题在解决时。从集合角度来看问题。如果叙述成集合语言形
列方法？

排列组合的二十种解法总结

超全的排列组合解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

高中数学排列组合必懂方法

高中数学排列组合必懂方法.doc高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类nm1办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么nmm2n完成这件事共有:Nmmm,，，，12n种不同的方法(2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步nm1有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共nmm2n有:Nmmm,，，，12n种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件( 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.1C 先排末位共有 31C 然后排首位共有 41313CACA 最后排其它位置共有 4434 113CCA,288 由分步计数原理得 434位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 1练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合解题运算技巧

排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。

以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。

2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。

3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。

组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。

2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。

3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。

常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。

2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。

3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。

4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。

5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。

这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。

在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。

排列组合解题技巧归纳总结

排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。

它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。

二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。

读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。

2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。

3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。

4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。

5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。

6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。

因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。

三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。

其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。

排列组合问题的转化方法

排列组合问题的转化方法有些排列组合问题，直接考虑不易解决，分类讨论又十分麻烦，如果运用转化思想，转换角度，将其转化为等价的问题，不但能拓宽思路，还能避繁就简，变难为易.1.转换角色有些排列组合题，从表面上看是可重复元素的问题，若交换元素与位置的关系，就可以化为相异元素的排列组合问题.例1 有两个a ，三个b ，四个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?练习：（1）一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?（2）有6个座位连成一排，现安排3人就坐，其中恰有两个空位相连的不同的坐法有多少种？2.换位思考把过程与结果换位思考，可以使问题更易操作.例2 某人射击8枪，共命中4枪，并且这4枪中有且仅有3枪连中，那么对于该人射击8枪，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果共有多少种?练习：（1）马路上有编号为1，2，3，…，8，9的九只路灯，为节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有多少种?（2）从1，2，3，…，2000这两千个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?3.化归处理通过构造模型可以将陌生问题，转化为常见题型的方法来处理。

例3 6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法？练习：（1）求方程10=++z y x 的正整数解的个数。

排列组合问题的解题方法总结很非常好的方法(高三复习很合适)全

排列组合问题的解题方法总结一、相邻问题 “捆绑法”：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列。

例1：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解：因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法. 练1-1：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练1-2：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 练1-3：6个人排成一排，甲、乙二人必须相邻的排法有多少种？解：将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它4个元素一起排列，有A55种，甲、乙二人的排列有A22种，共有A22·A55=240种.二、不相邻问题 “插空法”：对元素不相邻问题，可先不考虑限制条件先排其它元素，再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中（包括两端）即可。

例2：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.练2-1：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练2-2：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30练2-3：用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，其中1与2相邻、3与4相邻、5与6相邻、7与8不相邻的八位数共有个. 解：先“相邻”排列成三个“大元素”，再三个“大元素”排列，最后7与8“插空”，共有2223222234576A A A A A =种.三、特殊元素（或位置） “优先法”：排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关系问题，即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此，对于有限制条件的排列组合问题，可从限制元素（或位置）入手，优先考虑。

排列组合归一法原理

排列组合归一法原理排列组合归一法原理是一种数学方法，用于求解排列和组合问题。

在数学中，排列是指从一组元素中选取出一部分元素按一定的顺序排列的方法，组合是指从一组元素中选取出一部分元素按任意的顺序组合的方法。

排列组合问题常见于概率统计、组合数学、离散数学等领域，并在实际应用中有着广泛的用途。

排列组合归一法的基本原理是通过构建一个递归算法来解决排列组合问题。

该方法的思想是将问题归约为一个更小的子问题，通过求解子问题的解来得到原问题的解。

具体来说，排列组合归一法基于以下两个基本原则：1. 归一原则：将原问题转化为若干个子问题，且子问题之间相互独立。

这样可以将原问题分解为多个相互独立的部分，从而简化问题的求解过程。

2. 递归原则：通过逐步求解子问题的解来得到原问题的解。

排列组合问题具有递归性质，即原问题的解可以通过求解子问题的解来逐步推导出来。

通过递归的方式，可以有效地求解排列组合问题。

排列组合归一法的具体步骤如下：1. 确定问题的规模和结构：首先需要确定原问题的规模和结构，即元素的个数和排列或组合的要求。

2. 设定递归边界：通过设定递归边界，定义问题的终止条件。

当问题规模达到递归边界时，递归算法将停止执行，返回一个基本子问题的解。

3. 设计递归算法：根据问题的规模和结构，设计递归算法的具体步骤。

递归算法应包含问题分解、子问题求解和结果合并三个步骤。

4. 求解子问题：利用递归算法求解子问题的解。

递归算法将问题分解为更小的子问题，然后逐步求解子问题的解。

5. 合并结果：将子问题的解合并为原问题的解。

通过逐步合并子问题的解，得到原问题的最终解。

排列组合归一法在实际应用中具有广泛的用途。

在排列组合问题的解法中，可以通过排除重复解、剪枝、动态规划等技术来提高算法的效率。

排列组合归一法也可以用于求解组合数学、离散数学中的相关问题，如二项式系数、多重集组合数等。

排列组合归一法是一种用于求解排列和组合问题的有效方法。

解排列组合问题的常用方法

中还有
(AB,EF,CD), (CD,AB,EF), (CD,EF,AB),
A (EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
3种取法
3
,
而这些分法仅是 (AB,CD,EF) 一种分法,
C C C 故共有 2 2 2 642
A3 3
种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是
一种情况,所以平均分组后一定要除以
5241
3
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_A_22_A_55_A_44_
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_A_22_A_55_A_55_种。
C 的组数
3
103
十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三
个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？（1998年奥赛题.）
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数:含有3个
十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，要分给7个班，
每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插块隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法，
故共有___C__96____种分法。
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。

排列组合之转化为数列问题

排列组合之转化为数列问题一．贺卡问题n 个人之间互相交换贺卡，不拿自己的，求有多少种交换方法解：首先，对于人数少的情况枚举，寻找规律 2人互换，A 、B 全排A 22，减去都拿自己的1；3人互换，A 、B 、C 全排A 33，减去一人拿自己的、剩下两人互换C 31×1，减去都拿自己的14人互换，A 、B 、C 、D 全排A 44，减去一人拿自己的、剩下三人互换C 41×2，减去两人拿自己的、剩下两人互换C 42×1，减去都拿自己的1 ……列表如下：可见，设n 人时的方法数a n ，则{a n }是以a 2=A 22−1为a 4=A 44−C 41×2−C 42×1−1 a 2=A 22−1a 3=A 33−C 31×1−1 a 5=A 55−C 51×9−C 52×2−C 53×1−1 ……首项的递归数列，a n=A n n−C n1a n−1−C n2a n−2−⋯−C n n−2a2−1二．跳格子问题第一次进入格子1，每次向前1格或2格，求跳到第n 格的方法数1234……n设进入格子n的方法数为a n进入格子1，跳1次，a1=1，进入格子2，再跳一次，a2=1进入格子3，可由格子1跳2格与格子2跳1格得到，方法数为跳入格子1的方法数+跳入格子2的方法数，即a3=a1+a2进入格子4，可由格子2跳2格与格子3跳1格得到，方法数为跳入格子2的方法数+跳入格子3的方法数，即a4=a2+a3类似的，n≥3,a n=a n−2+a n−1，同斐波那契数列。

三．传球问题m个人踢球，从A开始传球，传了n次后回到A，求方法数还是先枚举找规律，由于2人之间只能互传，具有确定性，所以m=2，n为奇数时方法数为0，n为偶数时方法数为1 3人传球：m=3，从A开始，可以传B、也可以传C，若传球次数n=1，方法数为0；n=2，方法数为2（A→B→A、A→C→A）；n=3，A→→→A，相邻方格内容不同，方法数为2B CC Bn=3，A→→→→A，……设第n次传回A的方法数a n，而每次传球将球任意传给剩下的m−1中的一人，传n次共有(m−1)n种传法，在这(m−1)n种传法中有(m−1)n−a n种传法第n次不是传回A，第n次不是A则第n+1次可以传给A，所以第n+1次传给A的方法数为a n+1=(m−1)n−a n，变形得到a n+1(m−1)n+1=1m−1−1m−1[a n(m−1)n]令b n=a n(m−1)，则b n+1=−1m−1b n+1m−1待定系数，b n+1−1m =−1m−1(b n−1m)∴a1=0, ∵b1=0{b n}是以b1−1m =−1m为首项，−1m−1为公比的等比数列，b n=(−1m )(−1m−1)n−1+1ma n=1m [(m−1)n−(m−1)(−1)n−1]↓↓四．涂色问题圆盘的每个相邻格子涂色不相同，n 个格子，m 种颜色，求涂色方法数1个格子，1种颜色，方法数1； m 种颜色，方法数m ；2个格子，1种颜色，方法数0；2种颜色，方法数1； m 种颜色，方法数m(m −1)；设n 个格子，m 种颜色，涂色方法数a n ，对于格子1有m 种涂法，由于相邻格子涂色不相同，对于格子2有(m −1)种涂法，同理格子n −1有(m −1)种涂法，若格子n 也算(m −1)种涂法，则共有m(m −1)n−1种涂法，然而格子n 分为与格子1同色与格子1不同色，若同色时可将其看作与格子1是同一区域，此时涂色方法数为a n−1，因此有a n−1+a n =m(m −1)n−1， a 2=m(m −1) 两边同减(m −1)n ，得a n −(m −1)n =−[a n−1−(m −1)n−1]=(−1)2[a n−2−(m −1)n−2] =⋯=(−1)n−2[a 2−(m −1)2] =(−1)n (m −1)m ≥2， a n =(m −1)n +(−1)n (m −1)3 2 1… …n。