傅里叶变换1020

若 极 限 limx→+∞ g(x) = fˆ(0) = 0, 则对 g(x)
= 不
能应用微分性质，从而上式不成立. 此时，积分
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则
F [ x f (τ )dτ ] = 1 fˆ(ξ)
−∞
iξ
证明 由于 g (x) = f (x) 根据微分性质, 有
F [f (x)] = F [g (x)] = iξF [g(x)]
由此可得出
F [ x f (τ )dτ ] = 1 fˆ(ξ)
−∞
iξ
证毕.
注 1:
∞ −∞
f
(x)dτ
|ξ=0
F [f (x − x0)]
+∞
=
f (x − x0)e−iξxdx
−∞
+∞
=
f (τ )e−iξτ e−iξx0dx.
−∞
类似地也可证明第二式成立. 证毕.
3. 相似性质 设 fˆ(ξ) = F [f (x)] a = 0 为常
数, 则
F [f (ax)]
=
1 a
fˆ(aξ )
特别地，若取 a = −1, 则可得翻转公式
{
fˆ(ξ)e−iξx dx}f (ξ)eiξx dξ .
2π −∞ −∞
+∞
fˆ(ξ) = F [f (x)] =
f (x)e−iξx dx .
−∞
fˆ(ξ) 的傅里叶逆变换记作
f (x) = F −1[fˆ(ξ)] = 1
+∞
fˆ(ξ)eiξx dξ .
2π −∞
例 1 求矩形脉冲函数
f (t) =
1 +∞ β(cos ξt)
dξ =
dξ
2π −∞ β2 + ξ2
π0
β2 + ξ2
1 2π
+∞ −∞
−iξ(i cos ξt) β2 + ξ2
dξ
=0
1 +∞ β cos ξt + ξ sin ξt
f (t)
t
π0
β2 + ξ2
dξ
=
1 2Biblioteka [f(t−0)
+
f (t
+
0)
对 fˆ(ξ) 作傅里叶变换
e−βt f (t) =
0
t≥0 t<0
(β > 0 为常数) 的傅里叶变换 fˆ, 且利用傅里
叶积分公式证明:
+∞ 0
β cos ωt + ω sin ωt
β2 + ω2
dω
=
πe−βt
π
02
t
t <
= 0
t 0
>
0
解: 由傅里叶变换的定义
+∞
+∞
fˆ(ξ) =
e−βte−iξtdt =
e−(β+iξ)tdt
证明对任意连续函数 ϕ(x) 作变换 t = −x，有
∞
δ(−x − 0)ϕ(x)dx
−∞
−∞
=−
δ(t − 0)ϕ(−t)dt
+∞ ∞
= ϕ(−0) = δ(x − 0)ϕ(x)dx
−∞
性质 2 设 α(x) 在点 x0 的邻域内连续, 则 α(x)δ(x − x0) = α(x0)δ(x − x0)
=
12
1
2
+ −
1 2
1 2
|x| > 1 |x| < 1
注意 +∞ sinξxdξ = +∞ sintdt = π
0
ξ
0
t
2
例 求符号函数的 1
sgnt = −1
t>0 t<0
的傅里叶变换
解 由于 sgnt = 2H(t) − 1, 有
所以
F [sgnt]
=
2F [H(t)]−F [1]
=
2 iξ
∞
=
α(x0)δ(x − x0)ϕ(x)dx
−∞
性质 3 H (x) = δ(x)
其中
H(x) =
1 0
x>0 x<0
证明 对任意连续函数 ϕ(x), 取 limx→0+ ϕ(x) = 0, 有
∞
H (x)ϕ(x)dx
−∞ ∞
= − H(x)ϕ (x)dx
−∞
∞
= H(x)ϕ(x)|∞ −∞ −
ϕ (x)dx
2π −∞
ξ
(由于f (x) = F −1[fˆ(ξ)] = 1
+∞
fˆ(ξ)eiξt dξ .)
2π −∞
+∞ 1 sinaωcosωtdω =
0ω
f (t)
|t| = a
1 2
[f
(t
−
0)
+
f
(t
+
0)]
|t|
=
又F −1[fˆ(ξ)] = 1 +∞ 2sinaξeiξt dξ .
2π −∞
ξ
当 t1 = −a, t2 = a, 为两个根时, 有
δ(t2−a2)
=
δ(t
−
a)
+
δ(t
+
a) ,a
=
0,
a
为常数
2|a|
傅里叶变换的性质
1. 线性性质 设 fˆ(ξ) = F [f (x)] , gˆ(ξ) = F [g(x)].
α, β 是常数; 则 F [αf (x) + βg(x)] = αfˆ(ξ) + βgˆ(ξ).
0
∞
= ϕ(0) = δ(x)ϕ(x)dx
−∞
∞
[H (x) − δ(x)]ϕ(x)dx
−∞
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证毕.
H (x) − δ(x) = 0
性质 4 δ(x − x0) 的傅里叶变换与逆变换
+∞
F [δ(x−x0)] =
δ(x−x0)e−iξxdx = e−iξx0
−∞
特别地, 当 x0 = 0 时有
δˆ(ξ) = F [δ(x)] = 1
=
ε
0
x0 < x < x0 + ε x = x0
δ (x − x0) 有如下的两个性质:
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+∞
(a)
lim
→0+
δ
(x
−
x0)
=
0
x = x0 x = x0
+∞
(b)
lim
→0+
−∞
δ (x − x0)dx = 1
定理(筛选性质) 对在点 a < x0 < b 的邻域内 连续的任意函数 ϕ(x) 有
F −1[αfˆ(ξ) + βgˆ(ξ)] = αf (x) + βg(x).
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2. 位移性质 设
fˆ(ξ) = F [f (x)]
a, x0 均为常数; 则 F [f (x − x0)] = e−iξx0fˆ(ξ).
F −1[f (ξ − a)] = eiaxfˆ(x).
证明 由 F 变换定义, 令 x − x0 = τ 则
1 0
的傅里叶变换 fˆ.
|t| ≤ a |t| > a (a > 0)
解: 由傅里叶变换的定义
1
fˆ(ξ) =
a
e−iξtdt
−a
=
−
1 iξ
e−iξt|a−a
=
2sinaξ ξ
例 2 求 f (x) = 1 傅里叶变换.
例 3 求 f (x) = cosax 傅里叶变换.
例 4 求单边指数衰减函数
+∞
F [f (x)] =
f (x)e−iξxdx
−∞
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+∞
= f (x)e−iξx|∞ −∞ + iξ
f (x)e−iξxdx
−∞
= iξfˆ(ξ)
通过积分号下求导，可得
dfˆ(ξ) d =
∞
e−iξxdx
dξ
dξ −∞
∞
=
[−ixf (x)]e−iξxdx = F [−ixf (x)]
−∞
证毕.
如果取 t = 0, a = 1, 有
另一方面
+∞ sinξdξ = π
0
ξ
2
fˆˆ(x) = 2πf (−x)
g(ξ) = sinaξ = 1 fˆ(ξ) πξ 2π
故 gˆ(ξ) = 1 fˆˆ(ξ) = f (−ξ) = f (ξ) 2π
6
2. 单位脉冲函数 (δ 函数)
在工程和物理现象中，从集中分布的量，如 集中质量，集中点电荷，点热源，单位脉冲, 冲 击力的瞬时作用等的研究中会遇到在原点等于 ∞，在其他地方为 0 的 Dirac 函数. 这种函数 不是高等数学中的普通函数，而是广义函数. 这 种函数在工程和物理中有重要意义.
b
δ(x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
a
当 (a, b) = (−∞, +∞) 时，有
∞
δ(x − x0)ϕ(x)dx = ϕ(x0)
−∞
引理 1 若 f (x) 是广义函数, 若对在 (a, b) 内 的任意连续函数有
b
f (x)ϕ(x)dx = 0
a
则 f (x) = 0.
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性质 1 δ(x) 是偶函数.
3
fˆˆ(x) = F [fˆ(ξ)] =
+∞
fˆ(ξ)e−iξx dξ .