电磁现象的普遍规律概要
[理学]第一章 电磁现象的普遍规律
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E ds dV
S 0 V
1
V
( E
1
0
)dV 0
f ds fdV
S V
1 E 0
0
E ds EdV
S V
V
EdV dV
0 V
1
0 1 严格说来： E(x) (x) 0
瞬间作用。 局域性质：空间某点邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有 关，而和其他地点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的
dS0是以r为半径的圆锥对应的球面元
是面元dS与球面元dS0间的夹角
闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 2π d cos r r l l l
弧度
0
闭合曲面对面内一点所张的立体角
dS0 d 2 4π r S S
球面度
(2)静电场的散度（divergence of electrostatic field)
z
1 qq F r 3 4 0 r
x
q’
x
o
r
x
q y
r x x
同理，q’受到q的作用力:
注意:
F F 1. 库仑定律只是从现象上给出两电 荷之间作用力的大小和方向。
2. 静止电荷对静止电荷的作用力
可有如下两种物理解释: 1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个 电荷把作用力直接施加于另一电荷上。(错误) 2. 相互作用是通过电场来传递的，而不 是直接的超距作用。(正确)
本章主要内容
电荷和电场 电流和磁场
麦克斯韦方程组
1-电磁现象的普遍规律
E j ' dS E j ' dS cos
S
4 0 E dS ∴ n S Ei dS E j ' dS Qi / 0 Qenc / 0.
S
S i S j
0
V
9
注意这里的函数关系： E(r) , (r’) , j k , i j k , ' i x ' y ' z ' x y z
q R
在上式 [1] 中，让S面趋于一个点，得： E(r ) (r ') / 0 (r ) / 0 , O 这里， E / 0 [2]
0 2 1 J ( x ') dv ' 0 J ( x ). 4 V r
4 ( x x '),
0 J ( x ') A dv ', 4 V r
1 4 (r ) 4 ( x x) r
全空间的总电荷守恒。 2、Biot－Savart定律
dF Idl B
S
dt
V
实验表明， 电流元 Idl 在磁场中受到的作用力为：
B 为磁感应强度。
0 B 4
恒定电流产生的磁场为： V 这个式子称为Biot－Savart定律。 若电流集中在一条细导线上，导线的横截面面积为 Sn
r a
15
散度的局域性质：虽然对任一个包 围着电荷的曲面都有电通量，但是散
度只存在于有电荷分布的区域内，在 没有电荷分布的空间电场的散度为零。
16
§2、电流和磁场
电磁现象的普遍规律
S
dσ
f
vdV
d dt
wdV ,
•相应的微分形式为
S f v w .
t f
v
S
w .
t
山东大学物理学院 宗福建
23
场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式
若V包括整个空间，则通过无限远界面的能
量应为零。这时能量守恒式左边的面积分为
零，因而
f
vdV
d dt
wdV.
此式表示场对电荷所作的功率等于场的总能
15
本讲内容
场和电荷系统的能量守恒定律
场的能量密度
场的能流密度
电磁能量的传输
场和电荷系统的动量守恒定律
场的动量密度
场的动量流密度
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16
电磁场的能量和能流
电磁场是一种物质，它具有内部运动。电磁场的运动和其他物 质运动形式相比有它特殊性的一面，但同时也有普遍性的一面， 即电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。这种普 遍性的反映是各种运动形式有共同的运动量度——能量。我们 对一种新的运动形态的认识是通过它和已知的运动形态的能量 守恒定律来得到的。
1
0
B2
)
山东大学物理学院 宗福建
29
电磁场能量密度和能流密度表示式
例题1：求半径为a，均匀带电导体球和 介质球的总静电能。
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30
电磁场能量密度和能流密度表示式
半径为a，均匀带电导体球Q所激发的电 场强度为 :
E
1
4
0
Q r2
r r
, (r
a)
0, (r a)
山东大学物理学院 宗福建
量减小率，因此场和电荷的总能量守恒。
电磁现象的普遍规律
Q
ε0
证毕
2. 多个点电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在多个点电荷时， 在封闭曲面内，存在多个点电荷时，封闭曲面的电通量
r r r r ∫∫ E • dS = ∫∫ (∑ Ei ) • dS
S S i
r r Q 1 = ∑ ∫∫ Ei • dS = ∑ i =
i S i
ε0
ε0
∑Q
i
i
3.连续分布电荷的高斯公式 连续分布电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为ρ(r), 封闭曲面的电通量为： 封闭曲面的电通量为：
求散度 当r<=a时， 时
r r Qr Q r r r E= = ( xex + yey + zez ) 3 3 4πε 0 a 4πε 0 a
r ∂Ex ∂E y ∂Ez 3Q ρ ∇•E = + + = = 3 ∂x ∂y ∂z 4πε 0 a ε0
当r>a时， 时
r r Q r ∇•E = ∇• 3 = 0 4πε 0 r
r
r r r r r ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ 4πε 0 r − r ′
2.高斯定理和电场的散度 高斯定理和电场的散度
一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。 一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。
r r Q ∫∫ E • dS =
r r r 1 lim ∫∫ E • dS = V ⋅ ∇ • E = ρ (r )V
V →0 S
ε0
r ρ (r ) ∇•E =
ε0
高斯定理的微分形式
对于电力线来说，正电荷点相当于源点， 对于电力线来说，正电荷点相当于源点，负电荷 相当于漏点。只有电荷才激发电场。 相当于漏点。只有电荷才激发电场。
第一章电磁现象的普遍规律
习题：第45页, 1，3，4，7，8，9，11，12，14
44
E
B
H
t
Jf
D t
D f
B 0
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
21
法向分量的跃变
由于柱体的厚度d趋于零，只需要考虑集中分布在界面处的面电荷
D2n
D1n
Qf S
f
P2n P1n P
E2n
E1n
D2n
D1n (P2n
0
P1n )
f
P 0
22
同理
B2n B1n 0
引入电位移矢量D和磁场强度H
D 0E P,
H
B
M
0
介质中微分形式的麦氏方程就表述为
18
E
B
H
t
Jf
D t
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
D f , B 0
P e0E, M M H
B 0(H M ) 0(1 M )H 0r H H
D 0E P 0(1 e )E 0r E E 19
这种不变性称为规范不变性．
(1)库仑规范 A 0
1
(2)洛仑兹规范 A c2 t 0
31
例 1：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场的散度。（第10页）
32
33
例2：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点 的磁场强度，并由此计算磁场的旋度． （第18页）
E dS
1
dV
S
0 V
SB dS 0
微分形式
E
B
B
t
0 J
0 0
E t
第一章：电磁现象的普遍规律.
45
总结边值关系：
n
(E2
E1 )
0
n
(
H
2
H1)
f
n
(D2
D1)
f
n (B2 B1) 0
场方程在边界 面上的体现！
46
3、磁化强度矢量 M的切向边值关系：
n
(M2
M1)
一、电荷守恒定律：
1、电流： 电流强度：I dq
电流密度：
J
dt dI
n
dS
dI JdS JdS cos J dS
I SJ dS
12
2、电荷守恒定律 (实验定律）
I
SJ
dS
d dt
V
dV
VS
由高斯散度定理： J dS JdV
毕萨定律： dB
0 4
Idl
r
r3
由Idl JdSdl JdV
dB
0 4
J r r3
dV
17
积分形式： 由微分形式对整个载流导体积分
B( x, y,z)
0 4
V
J (x, y,z) r3
r
dV
18
三、磁场的旋度和散度
28
麦克斯韦方程组的几点推论： 1、电磁场可相互激发； 2、预言电磁波的存在； 3、电磁场可脱离场源而存在。
第一章 电磁现象的普遍规律
第一章 电磁现象的普遍规律在《电磁学》已经学习了许多电磁现象，在那里的数学语言比较简单，比如，通常只利用到积分运算，不涉及微分运算。
在《电动力学》中，我们将使大量使用矢量微分运算等较为复杂的数学工具。
本章中，我们将利用矢量运算的语言简要回顾一下 Maxwell 方程组，为以后章节中利用这组方程继续深入了解各种电磁现象打下基础。
§1.1 电荷与电场一、库仑定律（Coulomb ’s law)关于静电力理论的发展：1767年，普利司特利（英国）第一次提出r -2成正比；1769年，罗比生（苏格兰）验证吸引力n 略小于2，排斥力 2.06n =；1772-1773，卡文迪许验证平方反比定律；1785年，库仑发表电力平方反比定律。
卡文迪许静电学实验① 先给外球充电；② 取下外球后，测量内球带电为零；③ 给内球充一部分电，反复充放电，直至电位计刚好不偏转，此时的充电量为误差电量.结论：内球带电量不会超过外球的1/60.()21/501F r ±∝ (1.1)其中，+表示内球为正电，-表示为负电。
其理论依据：如果粒子间的吸引力随着它们之间的距离平方成反比，那么一个质量分布均匀的空心球壳对其内部的任意一质点引力合力为零（牛顿）。
卡文迪许生前未发表的电学手稿：① 关于电作用定律和电荷沿导体表面分布；② 关于电容量的确定和表示；③ 关于电介常数的测定；④ 关于导电能力的研究。
库仑定律库仑定律是描写真空中两个静止的点电荷q’和q 之间相互作用力的定律。
201ˆ4qq F r F r πε''==- (1.2)意义：使人们对电现象由定性的研究过渡到定量的研究。
其物理意义包括了：牛顿第三定律、向心力、平方反比、同性相斥异性相吸。
以下定理或事实与2r-密切相关： 高斯定理光子的静止质量为零导体内部没有净电荷……现代物理实验证实：精确程度：如果把库仑定律写成：21/F r ε+，ε的值（极限）为（2.7±3.1)×10-16. 适用尺度：r >10-16m 时，F ~r -2成立；r <10-16m 时，F ~r -2有偏差，原因：电子和质子不再是点电荷. 参见费曼、Jackson 的书讨论：库仑力① 强度：如果两个人有1%的电荷不平衡，相距1m ，他们之间的作用力多大？（1026N ）② 原子的稳定性：电子为何不落入原子核（后叙）③ 原子核的稳定性：核力短程力，下降比1/r 2更急剧. 如果核子数过多，原子核变成不稳定。
电磁现象普遍规律
第四节 介质的麦克斯韦方程组
介质的概念 从电磁学的观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内
部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。研究宏观电磁 现象时，所讨论的物理量是一个包含大数目分子的小体积内 的平均值，称为宏观物理量。
在外场下，介质的带电粒子受到作用，分子电偶极矩的 取向以及分子电流的取向呈现一定的规则性，即介质的极化 和磁化。由于极化或磁化，介质内部及表面出现宏观电荷、 电流分布，称为束缚电荷、磁化电流；它们又反过来激发附 加的宏观电磁场，外场与附加电磁场叠加即为总电磁场。
▪（电）介质的极化
电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得很紧，
即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原子核有一微观的位
移，而不象导体中的电子能够脱离所属原子作宏观运动。因而电
介质亦称绝缘体。在外电场作用下达到静电平衡时，电介质内部
的场强也可以不等于零。
1. 电介质的分类
a) 有极分子：如氯化氢(HCl)、水(H2O)、氨(NH3)、甲醇
位移电流的实质是电场 的变化率，由麦克斯韦 首先引入
vv
vv
B 0J 0(J JD )
r JD
0
r E t
r JD
0
r E t
r
洛仑兹公式
场对处于其内的电荷体系的作用：
库仑定律 安培定律
v
v
dFe dV E 电荷系统单 v
v vv
v v v 位体积所受 f E J B
S
V
对任意体积V均成立，则 被积函数相等，有：
v
E 0/0
高斯定理微分形式的物理意义：静电场中，电荷是电场的源，在没有电荷分 布的地点，既无电场线发出，也无电场线终止，但可以有电场线连续通过该 处。而对于运动电荷，即非静电场，远处的场不能再用库仑定律，但高斯定 理微分形式仍然适用。
电动力学第一章 电磁现象的普遍规律总结
I 与 J 的关系： 通过面元 dS 的电流强度： dI J dS 通过任意曲面的电流强度： I SJ dS
v 电荷密度为 的带电粒子以速度 运动，则电流密度： J v
四、静电场的基本方程
微分形式： 积分形式：
E
0
0
E 0
S
Q E dS
E dl 0
L
物理意义：反映了电荷激发电场以及静电场内部联系的规律。
物理图像：电荷是电场的源（通量源），电场线源于正电荷， 止于负电荷，在自由空间连续通过；静电场是有源无旋场。
库仑定律
电磁运动中的基本关系：电荷和电场、电流和磁场、电荷和电流、电场和磁场。
Copyright by Beilei Xu
第一节 电荷和电场
内容
一、库仑定律和电场强度 二、高斯定理与电场的散度 三、静电场的环路定理与旋度 四、静电场的基本方程
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律（静电现象的基本实验定律）
3）只适用于静电情形。
2. 静电场的旋度方程
L
E dl E dS 0
S
E 0
1）说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。 Байду номын сангаас）仅适用于静电场。
3）在介质分界面上 E 一般不连续，旋度方程不适用。
4）有三个分量方程，但其中只有两个独立，因为 E 0 。
F Q r E Q 4 0 r 3
第一章 电磁现象的普遍规律
三、高斯定理与静电场的散度
(3)注意电场散度的局域性 电场中某点的电场强度的散度，只与该点的电荷
密度有关，即散度只存在于有电荷分布的区域内。 (4)高斯定理的微分形式及积分形式在非稳恒情况下 也成立。
§1 电荷和电场
库仑定律 电场 高斯定理和静电场的散度 静电场的环路定理和旋度 小结
一、库仑定律
1、库仑定律的内容 在真空中，静止点电荷Q对
另一个静止点电荷Q′的作用力 F为
F
1
4 0
QQ r3
r
一、库仑定律
F
1
4 0
QQ r2
e
r
其中F 是Q′受到的力。r 是由Q指向Q′的矢量，r是
B 0
(2.12)
(1)静磁场是有旋无源场 磁场的散度方程和旋度方程各自从一个侧面反映
了静磁场的性质
三、磁场
B 0 ，说明B 的散度处处为零，磁场为
无源场。这说明不存在自由磁荷（磁单极），磁感 线总是闭合的。
B 0J ，说明磁场是涡旋场，稳恒电流激
发了静磁场。 （2）安培环路定理相当于静磁场的旋度方程
二、电荷守恒定律的数学表达式
（2）若
t
0 ，即电荷的体密度在减小，J 表 0示
该点有散发通量之正源。有电流线散发，即有电流
线从内向外穿出。
d dt
V
dV
0
表示在全空间的总电荷守恒。
二、电荷守恒定律的数学表达式
在稳恒电流场中，一切物理量不随时间变化，因 而 0 ，因此得
t
J 0
二、电荷守恒定律的数学表达式
电动力学第一章 电磁现象的普遍规律
0 J ( x ) r ' B dV B d S B dV ' 3 S V 4π V r ' 0 J( x ) r ' ( ) dV dV ' 3 4π V V r
0
证毕
2、磁场的散度方程
B dS 0
第一章第二节
电流与磁场
§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
dI J 两者关系： dS cos dI J cos dS J dS
0 Ir 1 (r )e z 0 J 2 r r 2 π a
S
dV V t
一般情况微分形式
J 0 t
J 0
⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系, ⑵ 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。
二、磁场以及有关的两个定律
磁场：通电导线间有相互作用力。与静电场类比假定 导线周围存在着场，该场与永久磁铁产生的磁场性质 类似，因此称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用 磁感应强度来描述。
S
B dl B dS
L
B 0 J
旋度方程
B 0 J
1）稳恒磁场为有旋场。 2）应用该公式必须在电流连续分布区域， 不连续区只有用环路定理； 3）该方程可直接由毕萨定律推出(看书13页） 4）它只对稳恒电流磁场成立。
2π rB 0 I
0 r a
2
B
第一章电磁现象的普遍规律
∇⋅B = 0 (1.1.23) 这个结果显示，恒定磁场是无散场，这与静电场不相同。从 恒定磁场的无散特性可以推断，它的场线必定是闭合的，由 此导致恒定磁场的旋度必定与静电场的不相同。事实上，利 用安培环路定理和斯托克斯公式就可以导出恒定磁场的旋 度满足的微分方程。安培环路定理说，静磁场对任意闭合曲 线的环路积分只与曲线所围的总电流有关：
如果导线的截面很小， 而所研究的范围又较广， 那 图 1.1.6 导线 么， 导线截面的大小可以忽略， 对导线截面积分近 似地不涉及源的位置。在这种情况下，单独对截面积分后， 就可以将上述磁感应强度积分表达式中的 jdτ ′ 用 Idl 代 替，并只对导线的长度积分：
静止的带电粒子会产生电场， 运动的带电粒子还会产生 磁场。不随时间改变的电场和磁场叫做静电场和静磁场，静 磁场也称恒定磁场。静电场和恒定磁场遵从四条重要规律：
L
∫ E ⋅ dr = −磁场强度两个辅助物理量， 麦克斯韦方程 组的其中两个方程可以改写成如下形式：
L
∫ B ⋅ dr = μ ∫∫ ⎢ j + ε ⎣
0 S
0
∂E ⎤ ⋅ dσ ∂t ⎥ ⎦
(1.2.1)
∫∫ D ⋅ dσ = ∫∫∫ ρ dτ
0 S V
∫∫ E ⋅ dS = ε
Q
0
，
∫ E ⋅ dr = 0
0
∫∫ B ⋅ dS = 0 ， ∫ B ⋅ dr = μ I
积分形式的规律反映了带电粒子对电磁场的作用的整体关 系。对应的局域关系则由它们的微分形式给出：
B (r ) =
μ0 4π
∫∫∫
j ( r ′ ) dS n dl × ( r − r ′ ) r − r′
E (r ) =
电动力学知识点总结
第一章电磁现象的普遍规律 一、 主要内容：电磁场可用两个矢量一电场强度电Z,zQ 和磁感应强度B{x r y r zfy 来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出丘，歹所满足的偏微分方程组 一麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电 磁学的基础上从实验定律岀发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律：使学生掌握 麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到 一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过 渡。
二、 知识体系：介质磁化规律:能量守恒定律n 线性介质能量密度:I 能流密度:洛仑兹力密度；宇二应+" x B三、内容提要:1. 电磁场的基本实验定律: (1) 库仑定律:库仑定理：壮丿=[*虫1厶 电磁感应定律:市总•屋=-—[B-dSdV f區 dt k涡旋电场假设介质的极化规律：V- 5 = /? VxZ=比奥-萨伐尔逹律: D = s Q S + PJdVxr边值关系位移电流假设V-> = 0J+ —B =其中:第2页，共37页对E 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和, 即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）B = ^[^L（3）电磁感应定律②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律①反映空间某点Q 与了之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
空二0月•了二0②若空间各点Q 与£无关，则別为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），°, 7均与北无关，它产生的场也与上无关。
2、电磁场的普遍规律一麦克斯韦方程微分形式di——diV • D = p方二勺宜+戶，H = —-MAo积分形式[f] E dl =-\ --dSSJs 冼[fl H-df = I + -\D -d§S念J血 Q/40①生电场为有旋场（鸟又称漩涡场），与静电场堤本质不同。
第一章 电磁现象的普遍规律
理、库仑定律、毕奥萨伐尔定律、电磁感应定律）的基础出发，进行概括提高，得到时变的所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组（描述电磁场的质的电磁性质及电磁场的能量。
r为由Q指向'Q的矢径，在静电学范围两者都能给出相同的结果。
但在运动电荷情况下，特别是电荷的对于点电荷的情形，点电荷定律指出点电荷激发的电场强度为r 为由源点（电荷Q 实验才能认为是正确的，不要想当然认为它是正确的。
式中i r 为由电荷i Q 指向场点如图取坐标系，设()'r x dV ρ'其中(-',-',r x x y y z 则坐标为(x x ,y ,z P 处的电场强度为04Vr πε⎰）。
根据库仑定律和场的叠加原理，即高斯定理和静电场环路定理。
S⎰由库仑定律可推出关于电通量的高斯定理0SQE dS ε⋅=⎰， 我们仅对点电荷Q 的场证明上式包围此点电荷．．．．．．， 所在处为坐标原点，计算通过面元2第一章 电磁现象的普遍规律220000cos 444S S S S r r πεπεεπε===⎰⎰⎰⎰若闭合曲面．．．．．S ．不包围电荷．．．．．Q ．，从物理上看，则Q 发出的电力线穿入该曲面后再穿出来，因而对电通量没有贡献。
从数学上看，两个小面积元对源点所张的立体角为零（大小相等，一正一负）。
即是公式等号两边都等于零，高斯定理得证。
0S ε=∑⎰0SVdV ρε=⎰⎰SVE dS EdV ⋅=∇⋅⎰⎰dV是任意取的闭曲面，因而V 是任意体积（这点很重要，否则无法得出被积函数相等），这就是高斯定理的微分形式。
过，无发起无终止。
体现出散度概念的局域性。
虽然对任一个包围电荷的曲面高斯定理的积分形式给出了计算对称分布电场的一个简单办法。
对于不对304LL r πε=⋅⎰⎰cos r dl rdr θ== 2001()44LL L dr Q d r r πεπε==-⎰⎰⎰ 一周时，1r回到原值1()0d r =⎰L⎰容易看出对于点电荷系上述结论成立若是电荷的连续分布，每一电荷元(可看成点电荷叠加后总电场的环量也是零。
第一章 电磁现象的普遍规律
本章要点概述1.1麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式以电荷守恒定律、库仑定律、安培定律、毕奥一萨伐尔定律和法拉第定律为主要实验基础的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式,集中地反映了电磁相互作用的普遍规律,是电动力学最主要的理论基础.电荷守恒定律电荷守恒是物理和化学过程都遵从的基本规律,其微分形式(1.1)称为电流连续性方程.其中电荷体密度ρ表示单位体积内的净电量,电流密度矢量J 的方向表示电流的流向,其数值等于单位时间垂直通过单位面积的电量.在稳恒情形下，(1.1)式变为,即稳恒电流(直流电流)是无源的,其流线是连续、闭合的曲线.库仑定律与静电场库仑定律是关于静电力的实验定律——两个静止点电荷的互作用力与它们的电量乘积(1.2)是电荷在电场中受到的作用力, 是所在点的电场强度.在国际单位制中,孤立的点电荷在其周围空间任一点激发的电场强度为(1.3)是真空电容率.电场遵从叠加原理,若体积V 内电荷密度函数为,则任一点的电场强度,是所有电荷元在该点的电场强度之矢量和,即(1.4)r是电荷分布点到场点的矢径,是两者的距离,积分遍及全部电荷分布区域V .从(1.4)式可导出静电场两个微分方程，(1.5)散度方程表示电荷只直接激发它附近的电场,其积分形式是电场的高斯定理；旋度方程表示静电场是无旋场,线始发于正电荷并终止于负电荷,即线无涡旋状结构,这方程的积分形式表示静电场是保守力场.安培定律、毕奥一萨伐尔定律与静磁场安培定律是关于稳恒电流之间互作用力的实验定律.电流之间的互作用实质上通过电流的磁场传递,稳恒电流中一个电流元(或)在磁场中受到的力为(1.6)是电流元所在处的磁感应强度.毕奥一萨伐尔定律是稳恒电流激发磁场的规律,若体积V 内电流密度函数为,则任一点χ的磁感应强度为(1.7)为真空磁导率,r是电流分布点到场点的矢径,r 是两者的距离,积分遍及全部电流分布区域V ,这意味着磁场也遵从叠加原理.从(1.7)式可导出静磁场两个微分方程，(1.8)旋度方程表示电流只直接激发它附近的磁场,线在电流分布点周围形成涡旋状结构,其积分形式为安培环路定理；散度方程及其积分形式表明静磁场的线总是连续的,即磁通有连续性.由于迄今仍未找到自由磁荷(磁单极)存在的可靠证据,电荷是电磁场唯一的激发源,因此方程对于时变磁场也成立.法拉第定律与感应电场法拉第定律的物理本质是随时间变化的磁场激发电场,感应电场强度沿任意闭合回路L 的积分,正比于通过该回路所围面积S 的磁通量之时变率:(1.9)其微分形式(1.10)表示变化磁场激发的电场是有旋场,线呈涡旋状结构,这一性质与电荷直接激发的电场有明显差别.麦克斯韦方程组麦克斯韦将上述实验定律推广到普遍情形,并引入位移电流假设,得出一组描述电磁现象普遍规律的方程.这组方程现在写成，，(1.11)在的旋度方程中,就是“位移电流密度”,其实质是随时间变化的电场激发磁场.在激发源之外的真空中,这组方程表现为，，(1.12)它揭示了变化的电场与磁场互相激发转化的规律,这是时变电磁场可以脱离作为激发源的电荷电流,并以波的形式独立运动的原因.从这组方程可以导出和的齐次波动方程.电磁波在真空中的传播速度为(1.13)若将,代入(1.12)中的散度和旋度方程,将给出的散度和旋度方程,这表明,变化的电场与磁场本质上存在着对称性和统一性.洛伦兹力公式洛伦兹将库仑定律和安培定律推广到普遍情形，给出带电粒子在电磁场中受力的规律(1.14)q是粒子的电量,ν是其运动速度.电荷系统在电磁场中受到的力密度为(1.15)为电流密度.电磁场对电荷系统作的功率密度为(1.16)这表明磁场并不直接对电荷做功.麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式所描写的电磁相互作用理论,是一个线性理论,而且是局域作用理论——即电荷电流只与其所在处的和直接发生作用.1.2 电磁场的能量和动量经典理论把电磁场描述成连续分布的物质,它以波的形式运动.设想体积V 内存在电荷,电磁场通过V 的界面S 向V 内运动,由麦克斯韦方程组(1.11)和洛伦兹力公式(1.15),可以导出电磁场与电荷系统相互作用的能量守恒表达式(1.17)和动量守恒表达式(1.18)相应的微分形式为(1.19)(1.20)电磁场的能量密度,能流密度S ,动量密度g 和动量流密度张量分别是(1.21)(1.22)(1.23)(1.24)(1.21)式表明,电磁场的能量密度与和的平方成正比.从(1.22)和(1.23)两式可看出,电磁场的能流密度S 与动量密度g 不仅空间取向一致,而且数值上也紧密关联,即 .事实上,真空中电磁波的能量和动量都以光速c沿着波的传播方向转移.从(1.18)式看到,电磁场动量流密度张量与作用在单位面积上的力有相同的量纲,因此也称之为电磁场应力张量,其表达式(1.24)中的是(1.21)式表示的电磁场能量密度,为单位张量. 的分量(1.25)表示单位时间通过垂直于坐标系轴的单位面积上电磁场动量流的分量,即作用在单位面积上的电磁场应力,当电磁场作用于宏观物体时,它描写物体表面受到的电磁场应力,包括法向应力和切向应力,例如静电场对导体表面施加的法向张力,磁场对磁性体表面的压力(磁压),电磁波对物体表面的辐射压力(光压).1.3 介质中的场方程与介质的电磁性质电磁场作用于介质,是场与介质内大量微观带电粒子相互作用相互制约的过程.经典电磁理论对介质极化与磁化的描述,并未涉及其中的微观动力学机制,仅以两个唯象模型——分子电偶极矩和分子电流磁矩为基础.介质极化强度和磁化强度分别定义为，(1.26)表示介质内任意一个小体积,和分别表示这体积内总的分子电偶极矩和分子磁矩.介质内束缚(极化)电荷体密度和磁化电流密度分别由下述两式描述，(1.27)当电磁场随时间变化时,将引起介质分子内束缚电荷的振动而形成极化电流.由电流连续性方程(1.1)和(1.27)的第一式,得极化电流密度(1.28)一般地,介质内电荷体密度电流密度 ,,是自由电荷密度,是传导电流密度.为使不容易被实验直接测量的,和不出现在麦克斯韦方程组中,定义辅助场量——电位移矢量和磁场强度:，(1.29)即、和有相同的量纲,、和有相同的量纲.将(1.27)、(1.28)和(1.29)代入(1.11),得介质中的麦克斯韦方程组，，(1.30)这组方程虽然形式上与真空中的麦氏方程组(1.11)相似,但它出现四个场量,,和，即使给定和的分布函数,以及一定的初条件和边界条件,从这组方程也无法解出电磁场,因而它不是完备的.原因是介质内与,与的关系没有给定,这些关系需由实验测量.在各向同性的线性介质内,实验给出，(1.31)，(1.32)介质的极化率和相对电容率均为无量纲的比例系数,是介质的电容率.介质的磁化率和相对磁导率也是无量纲的比例系数,是介质的磁导率.在电磁场作用下,导体内大量自由电子漂移运动的宏观效应使它显示出导电性.各种介质的导电性能由实验测定.线性均匀导体的导电规律由欧姆定律(1.33)描述,是导体的电导率.电磁场还使导体分子中的束缚电荷极化和磁化,因此导体也有其电容率和磁导率.各向异性介质,例如晶体,即使作用电磁场的强度相同,若和的方向不同,其极化与磁化的取向也不同,极化率和磁化率表现为张量.铁磁质和的关系是非线性而且是非单值的,需由实验测定磁化曲线和磁滞回线才能确定两者的函数关系.非线性介质的极化与磁化效应,不仅与场强和的一次幂有关,与场强的二次幂甚至高次幂也有关.从介质中的场方程(1.30),以及自由电荷受到的力密度,可以导出如同(1.19)那样的能量关系式(1.34)这里是场对介质内自由电荷作的功率密度,这部分能量通常转化成介质的热损耗.介质中的能流密度S 和能量密度的时变率分别为(1.35)(1.36)将,代入(1.36)式,得线性均匀介质内的电磁能量密度(1.37)由和的定义(1.29),上式为(1.38)右方第一项是介质内电磁场的能量密度,第二项是极化能量密度,第三项是磁化能量密度.1.4 电磁场的边值关系微分形式的麦氏方程组(1.30)适用于连续的介质内部.由于不同介质有不同的电磁性质,介质分界面上一般会出现面电荷和面电流分布,使得界面两边的场量发生跃变,因而微分形式的麦氏方程组在界面上不再适用.将这组方程的积分形式，，(1.39)应用于两种介质的分界面上,可得到电磁场的边值关系，，(1.40)是从介质1指向介质2的法向单位矢量, 为界面上的自由电荷面密度,为传导电流面密度.第一式表示界面两边的法向分量跃变由界面上的引起,第二、三式分别表示界面两边的切向分量和的法向分量连续,第四式表示界面两边的切向分量跃变由界面上的引起.将(1.27)两式相应的积分形式，，( 1.41)应用到界面上,可得界面两边极化强度与磁化强度的跃变关系，(1.42)是界面束缚(极化)电荷面密度,是磁化电流面密度.将电流连续性方程(1.1)的积分形式应用于界面,可得边值关系(1.43)σ是界面上包括自由电荷与极化电荷的面密度.电流稳恒时,(1.43)式成为 .。
电动力学电磁现象的普遍规律
电动力学复习资料第一章 电磁现象的普遍规律第一节 电荷和电场不是。
点电荷的概念是一种理想的概念，实际上不存在真正的点电荷，而是当r >> 电荷线度l 时，我们可以把电荷看成点电荷。
而当0→r 时，电荷不能再看成点电荷，也就是不能应用点电荷场强公式。
场点：欲求场的地点。
源点：激发场的地点。
不必须，如求均匀带电球内部的场强。
1、 点电荷的场强公式304Q rE rπε= ,当r →0时,E →∞,事实是否真的如此？2、 关于场点和源点，你能说些什么？它们是否必须位于不同区域内？3、 静电场是有源场还是无源场？是有旋场还是无旋场？静电场是有源无旋场。
第二节 电流和磁场1、通过导体中各处的电流密度不同，那么电流能否是恒定电流？为什么？举例说明。
可以是恒定电流。
如恒定电流通过粗细不均的导体，导体中各处的电流密度不同2、 电荷守恒定律0J tρ∂∇+=∂ 是一个普遍成立的公式，在稳恒电流情况下，它变成什么形式？0=∙∇'J 。
因为稳恒情况下0=∂∂t ρ。
3、稳恒电流的磁场是有旋还是无旋，是有源还是无源？并讨论非稳恒电流磁场的情况。
稳恒电流的磁场是有旋无源场 非稳恒电流的磁场也是有旋无源场第三节 麦克斯韦方程组1、简述麦克斯韦方程组的建立过程。
① 由高斯定理和库仑定律得真空中静电场的微分方程：0ερ=∙∇E ， 0=⨯∇E② 由毕奥——萨伐尔定律得真空中静磁场的微分方程：0=∙∇B， J B 0μ=⨯∇③ 加上电磁感应定律和位移电流假设得真空中麦克斯韦方程：0ερ=∙∇E ， t B E ∂∂-=⨯∇ ，0=∙∇B ， t EJ B ∂∂+=⨯∇000εμμ 。
2、考察真空中的麦克斯韦方程组，总结电场、磁场的产生方式及性质。
电场有两种产生方式：① 电荷产生的电场是有源无旋场，② 变化的磁场产生的电场是无源有旋场。
磁场有两种产生方式：① 电流产生的磁场是有旋无源场，② 变化的磁场产生的电场是有旋无源场。
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三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理
⑴ ⑵ 证明
1
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。 说明在回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。
r E dl dV x dl 3 L L r 4 0 V
r x dV 3 dS 0 S 4 0 V r 1
J 0
⑴ 反映空间某点电流与电荷之间的关系，电流线一般不闭合 ⑵ 若空间各点电荷与时间无关，则为稳恒电流。
二、磁场以及有关的两个定律
磁场：通电导线间有相互作用力。与静电场类比假定导
毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）
闭合导线 闭合导体
0 Idl r dB 4 r 3
0 Idl r B L 4 r3
Qr E , 3 4 0 a
2
Qr E a3 0
3
r a
（1.12）
现在计算电场的散度，当 r a 时 E 应取 （1.11）式，在这区域 r 0 ，由直接计算可得
r 3 0, r
ห้องสมุดไป่ตู้
r 0
0.
因而
Q r E 3 4 0 r
r a
dQr dE 3 40 r
P
x r E(x) dS 3 S 4 0 r
r
dQ
dE
x r E( x) dl 3 L 4 0 r
对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
若已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能 积分 , 可近似求解或数值积分。但是在许多 实际情况 x 不总是已知的。例如，空间 存在导体介质，导体上会出现感应电荷分布， 介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布 一般是不知道或不可测的，它们产生一个附 加场 ，总场为 。因此要确定 E总 =E E E 空间电场，在许多情况下不能用上式，而需 用其他方法。
+
2. 静电场的散度方程
1 S E dS V EdV 0 V xdV
E 0
它又称为静电场高斯定理的微分形式。 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷 体密度有关，与其它点的无关。 它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况。 它仅适用于连续分布的区域，在分界面上，电场 强度一般不连续，因而不能使用。 由于电场强度有三个分量，仅此方程不能确定， 还要知道静电场的旋度方程。
I 0 因而 B
B dl 2rB 0 I
，写成矢量式为
2r 0 I B e , 2r
r a
（2.19）
式中 e 为圆周环绕方向单位矢量。
若 r a ，则通过圆内的总电流为 2
r J r I
2 2
r I 2 2 a a
应用安培环路定律得
§1. 电荷和静电场 一、 库仑定律和电场强度 F 1. 库仑定律 r 1 QQ
F
40 r
2
ˆ r
Q’
Q
描述一个 静止点电 荷对另一 静止点电 荷的作用 力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用力 为 F F ；⑶ 两种物理解释: 超距作用：一个点电荷不需中间媒介 直接施力与另一点电荷。 场传递：相互作用通过场来传递。
注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能 单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有 宏观静电场）。
例 电流 I 均匀分布于半径为 a 的无穷长直导线 内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋 度。
解 在与导线垂直的平面上作一半径为 r 的圆，圆 心在导线轴上。由对称性，在圆周各点的磁感强度有 相同数值，并沿圆周环绕方向。当 r a 时，通过圆 内的总电流为 I，用安培环路定律得
四、磁场的通量和散度方程
1、磁场的通量
S
BdS 0
毕奥--萨伐尔 定律
S
BdS
V
J x' r 0 dV 'dV B dV ' 3 V V 4 r
0 4
' r ' r ' 3 J x dV dV 0 V V ' J x r 3 r
语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对 于开放系统，单位时间流出区域V的电荷总量等于V 内电量的减少率。 dQ QC 全空间总电量不随时间变化 dt 0 一般情况积分形式
S
J dS
V
dV t
流出为正，流入 为负
一般情况微分形式
J 0 t
高斯定理的证明
1 r x dS 3 dV S E dS 4 0 V S r 1 r x 3 dV dV V 4 0 V r
x 1 E rdV 3 4 0 V r
二、高斯定理与静电场的散度方程
1.高斯 定理
S
Q E dS
0
dS
n
E
Q xdV
V
静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷 与真空介电常数比值。 它适用求解对称性很高情况下的静电场。 它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内 的关系，不反应电场的点与点间的关系。 静电场是有源场，源为电荷。
第一章
电磁现象的普遍规律
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实 验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程。 本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。
主要内容： 讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场 能量、能流并讨论电磁能量的传输。
Q
当 r a 时 E 应取得（1.12）式，由直接计算得
由这例子我们看出散度概念的局域性质，虽 然对于任一个包围着电荷的曲面都有电通量，但 是散度只存在于有电荷分布的区域内，在没有电 荷分布的空间中电场电散度为零。
第一章第二节
电流与磁场
§2 电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
用柱坐标的公式（附录 I.36）求 B 的旋度，当 r a 时 式得 由 （2.19）
r a
（2.21）
（2.22）
B 2 r 0 I
0 Ir B e 2 2 a
I 2 r a ： B 2 r 0 2 r a 0 Ir B e 2 2 a
3Q E r . r a 3 3 4 0 a 0 4 0 a Q r r a : E 3 0 ; 4 0 r Q r a : E r 0 . 3 4 0 a 由此验证，对于静电场 E 0 对于本题是成立的。
式中I 为 L 所环连的电流强度 它反应了电流与磁感应强
J
S
度在某区域内的关系，对
于某些具有较高对称性的 问题可利用该定理求解。
L
2、旋度方程
B 0 J
1）稳恒磁场为有旋场。 2）应用该公式必须在电流连续分布区域， 不连续区只有用环路定理； 3）该方程可直接由毕萨定律推出（见教 材P16－18）； 4）它只对稳恒电流磁场成立。
2、磁场的散度方程
B 0
1）静磁场为无源场（相对通量而言） 2）它不仅适用于静磁场，也适用于变化磁场。
五．静磁场的基本方程
微分形式： 积分形式：
B 0 J
B 0
L
B dl 0 I
S
BdS 0
反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。它 的激发源仍然是运动的电荷。
dB
4
Id l 0 Jdv r
r3
J r dV 3 r
dB
0 B 4
r
V
3、安培作用力定律 闭合导线 闭合导体
dF Idl B
F
dF Jdv B
F
L
Idl B
V
J BdV
三、安培环路定理和磁场的旋度方程
1、环路定理
L
B dl 0 I
3．场的叠加原理（实验定律）
Qi ri E( x) E i 3 i 1 4 0 r i 1 i
E
Q1
n
n
r 1
Qn
Q1
Q2
E2
P
E
E1
Qi
平行四边型法则
电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系 的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
4．电荷密度分布
Q dQ x lim dV V 0 V
2、旋度方程
L
E dl E dS 0
S
E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。
⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。 ⑶ 在分界面上电场强度一般不连续，旋度方程 不适用，只能用环路定理。
四、静电场的基本方程
微分形式 积分形式 物理意义：反 映电荷激发电 场及电场内部 联系的规律性
1 r x x 3 4 r
E
dS
Q 1 x x x dV dV V 0 0 V
利用点电荷可以验证高斯定理
1 x 4 x x dV dV V 4 0 V
对静电情 况两种观 点等价