第6章 曲线与曲面
道路工程习题第六章 曲线曲面
淮阴工学院工程制图教研组
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《道路工程制图习题集》解
6-4作出由圆周K绕轴O旋
转成的环面的两面投影， 并作出面上点A和点B的另 一投影，共有几解？
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《道路工程制图习题集》解
k'
a'
b1' O' b2'
a1 a2
O
a3 a4
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b
《道路工程制图习题集》解
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《道路工程制图习题集》解
6-3已知圆锥面上各点的
一个投影，求作点的其余 两个投影。
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《道路工程制图习题集》解
(c') b' a' d'
c" b" a" (d")
c'
a b d
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《道路工程制图习题集》解
分析：圆锥面上各点，即属于圆锥表面，有属于 圆锥上的相应的素线，同时还属于圆锥的纬圆。 点A在圆锥左前1/4的位置上，点B在前后对称线 的左部分，点C圆锥左后1/4的位置上，D点在圆 锥的底面上，右前1/4的位置上。 步骤一：纬圆法，根据点的投影三等关系，求点 A的其余两面投影。 步骤二：根据B点的特殊位置，直接求其投影。 步骤三：素线法，根据点的投影三等关系，求点C 的其余两面投影。 步骤四：根据D点的特殊位置，直接求其投影。
图形学第6章曲线曲面
P(0) 2 2 1 P(1) 3 3 2 p(0) 0 0 1 p' (1) 1 0 0
1 P(0) P(1) 1 M h Gh 0 p(0) 0 p' (1)
x(t ) p(t ) y (t ) t n z (t )
a n t 1 a1 a0
cn T C b1 c1 b0 c0 bn
t [0,1]
将边界条件带入该矩阵方程，得
C Ms G
Q(0) P(1)
几何连续性
0阶几何连续性：与0阶参数连续性相同.是指曲线的几何位 置连接，即
p(1) Q(0)
1阶几何连续性：是指一阶导数在相邻段的交点处成比例， 则相邻曲线段在交点处切向量的大小不一定相等。
p (1) Q(0)
2阶几何连续性：是指在相邻段的交点处一阶、二阶导数均 成比例，则相邻曲线段在交点处曲率相等。
要设置足够的边界条件来得到所有系数的值。
描述参数曲线的边界条件有： 端点位置矢量、端点切线矢量、曲率等。对三次参数曲线， 用其端点矢量P(0),P(1).端点切线矢量
则三次Hermite样条曲线：
p (0), p(1)
p(t ) [t 3 t 2
ax b x t 1] cx d x
a y az a b b y bz 3 2 [t t t 1] T C c y cz c dy dz d
对上式求导，得
p(t ) [3 t 2 2t a b 1 0] c d
将边界条件代入，得
第六章 曲线曲面投影方法
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成 的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面
同一曲面可以由多种方法形成，一般应采 用最简单的母线来描述曲面的形成
6.5 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影， 就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成 的曲面将唯一确定。
1） 柱面
一、直线面
1 可展直线面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导 线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面 内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线
直圆柱面
a
a
a
直圆柱面
斜圆柱面
直椭圆柱面
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回 转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍） 纬线圆法
s● (n)
n● s
纬线圆法
●s ●(n)
单叶双曲回转面
一直母线围 绕与之相错的轴 线作回转运动即 形成一单叶双曲 回转面
单叶双曲回转 面的相邻两素线为 相错直线，所以是 不可展曲面
s
条素线。
k
正圆锥面
正圆锥面 斜圆锥面
正椭圆锥面
斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线 相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首 先应画出其导线——圆 柱螺旋线的投影（画法 详见§７），然后沿导 线取若干点，在各点处 作出导线的一系列切线， 即可求出H投影面迹线， 在V面投影上应保留轮廓 线的投影。
高等数学一教材章节
高等数学一教材章节第一章：函数与极限函数的定义与性质函数的概念函数的表示方法函数的分类一元函数的极限极限的定义极限的运算法则极限存在准则函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质连续函数的运算法则第二章：导数与微分导数的概念与运算法则导数的定义导数的几何意义导数的运算法则高阶导数与隐函数的导数高阶导数的概念隐函数的导数高阶导数的计算微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理函数单调性与极值第三章：积分与定积分不定积分不定积分的定义常见函数的不定积分不定积分的基本性质定积分的概念与性质定积分的定义定积分的基本性质定积分的几何意义牛顿-莱布尼茨公式与变限积分牛顿-莱布尼茨公式的推导变限积分的概念与运算法则曲线长度的定积分表示第四章：一元函数的应用或微分方程常微分方程常微分方程的概念一阶线性微分方程一阶齐次线性微分方程微分方程的应用因变量可分离的微分方程可化为一阶线性微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程第五章：多元函数微分学多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义多元函数的连续性定义多元函数的偏导数与全微分多元函数的导数与微分法多元函数的偏导数多元函数的全微分多元函数的隐函数及其导数多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定多元函数的条件极值第六章：重积分与曲线曲面积分二重积分的概念与性质二重积分的定义二重积分的性质与运算法则可求面积与可求平均值的关系三重积分与多重积分三重积分运算法则广义重积分多重积分的应用曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的概念与计算第二类曲线积分的概念与计算曲面积分的概念与计算第七章：向量场与无散场、无旋场向量场的基本概念与性质向量场的概念向量场的性质与分类散度与无散场散度的概念与计算无散场的特点与判定旋度与无旋场旋度的概念与计算无旋场的特点与判定第八章：曲线积分与曲面积分的应用曲线积分的应用曲线积分在物理中的应用曲线积分在工程中的应用曲线积分在电磁学中的应用曲面积分的应用曲面积分在流体力学中的应用曲面积分在电场中的应用曲面积分在热传导中的应用第九章：常微分方程入门常微分方程的基本概念与解法常微分方程的定义与分类分离变量法与齐次方程法一阶线性微分方程的解法高阶微分方程与常微分方程组高阶微分方程的解法常微分方程组的概念与解法常微分方程在物理中的应用第十章：级数与幂级数级数的定义与性质级数的基本概念级数的运算法则级数的比较判别法幂级数的收敛性与展开幂级数的收敛半径幂级数的展开幂级数的应用函数项级数与傅里叶级数函数项级数的定义与性质函数项级数的收敛性傅里叶级数的基本概念与性质。
高等数学6(6)曲面及其方程
用平面 z z1 ( z1 0)去截这曲面, 截痕为圆.
x y 2 pz1 z z1
2 2
当 z1 变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
22
x y z（ p 与 q 同号） 双曲抛物面 2 p 2q (马鞍面)
特点是: 有两个异号的平方项,另一变量
是一次项, 无常数项. 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
绕y轴旋转一周的 旋转曲面方程为
f ( y,
x z )0
2 2
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
) 称为
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程. 解 yOz面上直线方程为
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
x 2 y 2 2 pz
旋 转 椭 球 面
(3) yOz坐标面上的抛物线 y 2 2 pz 绕z轴.
旋转抛物面
9
四、二次曲面
1. 二次曲面的定义
三元二次方程所表示的曲面称为 二次曲面.
2 2 y1 x 2 p z 2q y y 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
20
(3) 用坐标面 yOz ( x 0)及平面 x x1 去截这曲面, 截痕为抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x
7
例4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程.
高等数学三教材目录
高等数学三教材目录第一章极限与连续1.1 数列极限的概念与性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 函数极限的概念与性质1.4 函数的连续性与间断点1.5 极限运算法则与函数连续的判定1.6 无穷小的比较1.7 两个基本极限1.8 极限存在准则1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1.10 初等函数的极限第二章导数与微分2.1 导数的概念2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 微分中值定理2.6 极值与最值2.7 函数的单调性与曲线的凹凸性 2.8 洛必达法则与泰勒公式第三章微分中值定理与导数的应用 3.1 拉格朗日中值定理3.2 积分中值定理3.3 高阶导数的应用3.4 曲率与曲率半径3.5 参数方程与极坐标下的求导 3.6 凹凸性与拐点3.7 渐近线与曲线图形第四章球坐标与柱坐标4.1 三维欧几里得空间的球坐标系 4.2 球坐标与直角坐标的转换4.3 三维欧几里得空间的柱坐标系 4.4 柱坐标与直角坐标的转换4.5 曲线与曲面的参数方程第五章重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算5.3 转换积分的计算5.4 三重积分的概念与计算第六章曲线与曲面积分6.1 曲线积分的概念与性质6.2 第一类曲线积分的计算6.3 第二类曲线积分的计算6.4 曲面积分的概念与性质6.5 曲面积分的计算6.6 广义积分的收敛性与计算第七章多元函数的微分学7.1 多元函数的偏导数与全微分7.2 多元复合函数的求导法则7.3 隐函数的求导与参数方程的求导7.4 多元函数的高阶导数第八章向量值函数的导数与曲线积分 8.1 向量值函数的极限与连续性8.2 向量值函数的导数与微分8.3 曲线的切线与法平面8.4 曲线积分与曲线的势函数第九章多元函数的积分学9.1 重积分的概念与性质9.2 重积分的计算9.3 曲线积分与曲面积分的应用9.4 奇点解析法与共面分析法第十章向量场的微分学10.1 向量场与无旋场10.2 向量场的流量与发散10.3 向量场的旋度与环量10.4 无散无旋场与保守场10.5 有界闭区域上无散无旋场的判定第十一章广义积分与曲线曲面积分11.1 广义积分的概念与性质11.2 广义积分的判敛法则11.3 广义积分的计算11.4 曲线积分的陈述及计算11.5 曲面积分的陈述及计算第十二章向量场的应用12.1 力场与位场12.2 梯度场与势函数12.3 向量场的环量与流量12.4 黑塞尔定理与能量积分第十三章多元函数的应用13.1 参数方程与空间曲线的长度13.2 曲面积分在物理学中的应用13.3 双重积分在平面图形的面积和质心13.4 三重积分在物理学中的应用以上即为《高等数学三》教材的目录，希望对您有所帮助。
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
UG NX 12.0机械设计教程(高校本科教材)_PPT教案第6章 曲面设计
一张曲面。在创建直纹面时只能使用两组线串，这两组线串可 以封闭，也可以不封闭。
用户可以通过选择下拉菜单“插入”|“网格曲面”|“直 纹…”命令来创建。
选取截面线串2
选取截面线串1 a）曲线串
b）创建的直纹面
图6.2.7 直纹面的创建
图6.2.8 “直纹”对话框
a）拉伸特征1
b）截面草图
图6.11.6 拉伸特征1
Step4. 创建图6.11.8所示的草图1。 Step5. 创建图6.11.9所示的基准平面2。 Step6. 创建图6.11.10所示的草图2。
图6.11.7 基准平面1
图6.11.8 草图1
图6.11.9 基准平面2
图6.11.10 草图2
图6.11.12 通过曲线组曲面1
图6.11.13 通过曲线组曲面2
Step10. 创建图6.11.14所示的拉伸特征2（取出收敛点）。 Step11. 创建图6.11.15所示的通过网格曲线曲面2。 Step12. 创建图6.11.16所示的其余3个通过网格曲线曲面。
图6.11.14 拉伸特征2
图6.11.15 网格曲面特征2
Step7. 创建图6.11.11所示的通过网格曲线曲面1。 Step8. 创建图6.11.12所示的通过曲线组曲面1。图6.11.11 网格 曲面特征1图6.11.12 通过曲线组曲面1图6.11.13 通过曲线组曲 面2 Step9. 创建图6.11.13所示的通过曲线组曲面2。
图6.11.11 网格曲面特征1
用户可以通过选择下拉菜单“插入”|“关联复制”|“抽取几 何特征”命令进行复制。
a）抽取前
图6.4.1 抽取区域曲面
第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面-曲面的切平面及法线)
6.3.2 曲面的 切平面及法线
小结
一般方程的曲面的切平面及法线 特殊方程的曲面的切平面及法线 求切平面及法线习例5-10
一、空间曲线的切线与法平面
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点(x0, y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y
y0
割线 MM 的方程 :
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
此处要求(t0 ), (t0 ), (t0 )不全为0,
如个别为0, 则理解为分子为 0 . 切线的方向向量:
T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
高等数学A
第6章 多元函数微分学
6.3 多元函数微分的应用
6.3.1 空间曲线的切线及法平面 6.3.2 曲面的切平面及法线
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.3 多元函数微分的应用
曲曲 面线 的的 切切 平线 面及 及法 法平 线面
6.3.1 空间曲线的 切线及法平面
切线及法平面的概念 曲线方程为参数方程的情况 习例1-3 曲线为一般式的情况 习例4
T 1, (x0 ), (x0 )
x
yz
1
,
1 J
(F (z
, G) , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
或
T
(F, ( y,
G) z)
, (F,G) M (z , x)
M
6.1.自由曲线曲面的表示
从而得到平面上圆的方程为：x2 + y2 = R2 但是这个式子不方便CAGD的计算机 表示，在空间曲面的直角坐标系下的表示中 也存在同样的弊病，这种过去常用的表示曲 线与曲面的显式或隐式的表达示形式存在着以下 缺点： （1）与坐标轴相关； （2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； （3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的 非参数化函数表示； （4）不便于计算机编程. 因此，在CAGD中对所研究的曲线曲面通常 采用参数方程.
x = a cosθ y = a sin θ 求参数方程为： b = z 2π
，即所
2. 曲面的参数表示 在三维空间中，设想一条曲线随着时间 连续的变化，可以想象这一系列连续变化 着的曲线形成一个曲面，其中每一点可以由 曲线经过该点时的时间和该点在曲线上的参数来区 分，假如把曲线的参数方程换成两个变量的任意矢 量函数则可以表示曲面，写成分量形式为：
− ∞ < t < +∞
例6.1.2
解：由于 M 绕原点作圆周运动，以向量 OM 与 X 轴的夹角为参数，且设 OM 长度为 a，有：
x = a cos θ y = a sin θ
，M 在 Z 轴上作匀速
b 2π
运动，故 z = kθ ，由于 θ = 2π 时 z = b 则： k =
a1 t 3 + a 2 t 2 + a 3 t + a 4 P= 3 2 b t + b t + b t + b 2 3 4 1
t ∈[0, 1]
它有8个系数可用来控制此曲线的形状。
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行 变换，必须对曲线、曲面上的每个型值 点进行几何变换；而对参数表示的曲线、 曲面可对其参数方程直接进行几何变换； （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因 此而中断计算 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量 是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于 用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理 几何分量；
pro5.0第六章曲面建模
第6章曲面建模曲面建模是用曲面构成物体形状的建模方法，曲面建模增加了有关边和表面的信息，可以进行面与面之间的相交、合并等方法。
与实体建模相比，曲面建模具有控制更加灵活的优点，有些功能是实体建模不能做到的，另外，曲面建模在逆向工程中发挥着巨大的作用。
曲面特征的建立方式与实体特征的建立方式是基本相同的，不过它具有更弹性化的设计方式，如由点、线来建立曲面。
本章中主要介绍简单曲面特征的建立方式，对于通过点、曲线来建立的高级曲面特征，我们可通过实例，介绍其建模步骤。
6.1 曲面造型简介曲面特征主要是用来创建复杂零件的，曲面被称之为面就是说它没有厚度。
在ProE中首先采用各种方法建立曲面，然后对曲面进行修剪、切削等工作，之后将多个单独的曲面进行合并，得到一个整体的曲面。
最后对合并的来的曲面进行实体化，也就是将曲面加厚使之变为实体。
6.2 曲面基础特征常用的造型方法简介本节简单的地介绍曲面建模过程中常用的命令。
6.2.1 Extrude(拉伸)Extrude(拉伸曲面)是指一条直线或者曲线沿着垂直于绘图平面的一个或者两个方向拉伸所生成的曲面。
其具体建立步骤如下：1．选择特征生成方式为拉伸，单击，将拉伸方式确定为曲面。
2．选择FRONT面作为草绘平面，按照系统默认的参照，单击“草绘”。
系统自动进入草图绘制，绘制曲线如图6-1所示；图6-1 曲面截面曲线图6-2 生成的曲面3．→单击→距离定义方式选择为盲孔；在信息区输入生长深度：20，单击→Ok(确定)，创建曲面如图6-2所示。
6.2.2 Revolve(旋转)Revolve(旋转曲面)是一条直线或者曲线绕一条中心轴线，旋转一定角度(0-360度)而生成的曲面特征。
1．选择特征生成方式为旋转，单击，将拉伸方式确定为曲面。
2．在位置选项卡中定义绘图平面为FRONT面，按照系统默认的参照，单击“草绘”进入草绘界面，绘制如图6-3所示的草图与旋转中心线。
3．→单击→选择旋转角度为270→确定，创建曲面如图6-4所示；图6-3绘制曲线和旋转中心轴线图6-4旋转曲面6.2. 3 Sweep(扫描)Sweep(扫描) 曲面是指一条直线或者曲线沿着一条直线或曲线扫描路径扫描所生成的曲面，和实体特征扫描一样，扫描曲面的方式比较多，扫描过程复杂。
东南大学建筑制图课程 第六章 曲线和曲面
第六章 曲线与曲面
§6-5 平螺旋面
1. 平螺旋面的形成：P168图6-53 2. 平螺旋面的投影：P168图6-54 3. 平螺旋面的应用：螺旋梯投影图的画法，P171图6-57
第六章 曲线与曲面
§6-4 非回转直纹曲面
可展直纹曲面：P161 不可展直纹曲面（扭面）：P161
一、锥面：P161图6-37 正圆锥面、椭圆锥面、斜圆锥面：P162图6-38
二、柱面：P162图6-40 正圆柱面、椭圆柱面、斜圆柱面：P163图6-41
三、双曲抛物面：P164图6-43 双曲抛物面的作图：P165，图6-44
第六章 曲线与曲面
§6-1 曲线
一、曲线的投影特性 P147 图6-3
二、圆的投影 P148 图6-5
三、圆柱螺旋线 P149 图6-7
第六章 曲线与曲面
§6-2 曲面的形成
曲面的形成：P149 如圆柱、圆锥、球、环母线（素线），约束条件（导线、 导平面）。
回转面、非回转面、直纹曲面、双向曲面：P150
第六章 曲线与曲面
§6-3 回转面
回转面：P151 回转体：回转面包容的空间。 纬圆、赤道圆、颈圆、子午线（经线）：P151图6-12
一、圆柱面 投影：P152图6-13，注意重影，转向轮廓线，积聚 例6-2：P153，图6-14
第六章 曲线与曲面
§6-3 回转面
二、圆锥面 投影：P154 图6-18，注意锥面无积聚性，但会重影。 例6-3：P154 图6-20，素线法，纬圆法。
三、球体 投影：P156图6-23（a），注意三投影圆的空间情况。 例6-4：图6-24（b）（c）。
第六章 曲线与曲面
§6-3 回转面
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6.3 回转面及其表面上的点和线
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。由直母线旋转生成的称为旋转直纹面，例如
圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生成的称为
旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线 素线 下底圆
土木工程制图
正平圆
正垂圆
例1：已知铅垂圆对V面的倾角β=60°，圆 直径=40mm，求作该圆的两面投影。
土木工程制图
X
X
O
O
四、圆柱螺旋线
土木工程制图
1、圆柱螺旋线的形成： 当一动点M沿一直线作等速移动，而该直线同时绕与它 平行的一轴线O等速旋转，则点M的轨迹为圆柱螺旋线。
土木工程制图
Hale Waihona Puke 1）左螺旋线：螺旋线从右向左经过圆柱面的前面而上升； 2）右螺旋线：螺旋线从左向右经过圆柱面的前面而上升； 3）导程：当直线旋转一周时，动点在该直线上移动的距离。
2.圆柱面上点的投影
b'
b"
a"
B A
a'
c' C
c"
b(a)(c) b(a)(c)
(a)
圆柱面上的一点
(b) 投影图
圆柱面上的点的投影
土木工程制图
p
a
p
a
p a
利 用 积 聚 性 来 求
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
土木工程制图
常 见 的 基 本 立 体
平 面 立 体 曲 面 立 体
棱柱
棱锥
圆柱
圆锥
圆球
圆环
土木工程制图
无锡卫东双曲拱桥
土木工程制图
曲面实例
6.1
曲线
土木工程制图
研究曲线和曲面的形成、投影特点及图示方法 一、曲线的形成和分类 1、形成：一点运动的轨迹或一系列点的组成。 2、分类： 1）平面曲线：曲线上所有点都在同一平 面上的曲线。如：圆、椭圆、抛物线、 双曲线等。 2）空间曲线：曲线上四个连续的点不在 同一平面上的曲线。如圆柱螺旋线。
素线法
a'
A b' B a b b a
a"
b"
素线法
土木工程制图
s n
k f m f
s n
k
过 锥 顶 作 一 条 素 线
f
m k
s `n
纬圆法
A
a'
a"
a
a
(a) 圆锥面上一点
(b) 影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上曲线
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二、曲线的投影
土木工程制图
1）曲线的投影一般仍是曲线； 2）当平面曲线所在的平面垂直于投影 面时，曲线在该投影面的投影为直线。 3）当平面曲线所在的平面平行于投影 面时，曲线在该投影面的投影为实形。
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A
a
(a) 投影为实形
(b) 投影为直线
(c) 投影为变形曲线
(a) 投影为实形
(b) 投影为直线 平面曲线的投影
画平螺旋面
土木工程制图
土木工程制图
12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 10 9 8 11 7 12 0 6 1 5 2 3 4
螺旋楼梯的画法
土木工程制图
螺旋楼梯的画法
章 后 小 结
土木工程制图
(1) 曲线的投影作图与其性质和特殊点的 选择密切相关，曲面的投影作图与其 性质、几何要素和轮廓线也密不可分， 因此选择合适的点，有利于作图。 (2) 曲线与曲面在工程结构物中是非常普 遍的表达形式，所以熟练地掌握曲线 与曲面的投影作图，将更有利于今后 专业课的学习及应用。
土木工程制图
6.2
曲面的形成和分类
土木工程制图
一、曲面的形成 一条动线按一定约束条件移动的轨迹称为曲面。该动线称 为母线；曲面轨迹中任一位置的母线统称为素线；控制或约束 母线运动的点、线、面，分别称为定点、导线、导面。导线可 以是直线或曲线，导面可以是平面或曲面。
二、曲面的分类：
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(1) (2) (3) (4)
1
a
2.圆锥面
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圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA称 为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
1.圆锥面的投影
2.圆锥面上点的投影
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素线法
纬圆法
特殊位置点可直接求得。 一般位置点可用素线法或纬圆法两种方法求得。
(c) 投影为变形曲线
三、圆的投影
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1、投影面平行圆 在所平行的投影面上投影为实形圆； 另两投影为直 线，长等于圆的直径。 2、投影面垂直圆 在所垂直的投影面上投影为直线，长等于直径；另 两投影为椭圆，椭圆的长轴为垂直于圆所垂直的投影面 的直径，短轴为平行于圆所垂直的投影面的直径。 3、一般位置圆 三投影均为椭圆，长轴为平行于投影面的直径，短 轴为与长轴直径垂直的直径。
纬圆
赤道圆
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b) 投影图
一、圆柱面
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圆柱面是一直母线沿圆周绕与它平行的轴线旋转而成。
1、圆柱面的投影
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圆柱由圆柱面和上、 下两底面组成。
圆柱面可看成是由 直线AA1绕与它平行的 轴线旋转而成。
直线AA1称为母线。
圆柱面上与轴线平 行的任一直线称为圆柱 面的素线。
圆柱面投影的画法
强调
求出所有特殊点，尤其 是与中心轴线及轮廓素线相 交的点
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以 它的直径为回转轴旋转而 成。
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三个投影图均为与圆球的直径相等的圆， 它们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
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2.圆球面上点的投影—纬圆法
m' m"
M
m
圆球面上点的投影
四. 圆环面
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一圆母线绕其所在平面内的一条轴线 作回转运动，即形成圆环面。
内环面 分界圆 母线
外环面
1. 圆环的投影
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2.圆环表面上取点
1' 2' （n'） m'
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1
2
m
平螺旋面
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是由直母线的一端沿曲导线，另一端沿直导 线移动，但始终平行于与轴线垂直的平面而形成。
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注意：轮廓线的投影与曲面可见性的判断
a B A ( c ) b (b) a
c
(C)
圆的半径？
(c) b a
纬圆法
3.圆球面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' a'' 1'' c'' 2''
(b'')
a 1 c 2 b
圆球面上的曲线
土木工程制图
强调
求出所有特殊点，尤 其是与中心对称线及轮廓 素线相交的点。
第6章 曲线与曲面
土木工程制图
教学提示：本章通过对常用工程曲线、曲面及其投 影的分析和综合，使学生了解曲线与曲 面的概念、分类及图示特点。教学难点 在于用辅助线法、纬圆法找到曲面上的 点。 学习要求：通过本章的学习，学生应了解曲线和曲 面的种类和特点；熟悉曲面立体投影特 点及在其表面取点、取线的具体方法； 重点掌握正圆柱螺旋线的形成及作图方 法和回转面上定点的方法及步骤。
(5)
根据曲面和母线的性质、形成方法等的不同， 曲面的分类如下： 按母线的形状分，曲面可分为直纹面和曲线面。 按母线的运动方式分，曲面可分为回转面和非 回转面。 按母线在运动中是否变化分，曲面可分为定母 线和变母线面。 按曲面是否能无折皱地摊平在一个平面上来曲 面可分为可展曲面和不可展曲面。 按母线运动是否有规律来分，曲面可分为规则 曲面和不规则曲面。
螺旋线投影的画法
1.把圆周12等分，同时把正 面投影中的导程h也12等 分。 2.过圆周上各等分点向正面 投影作竖直线，与正面投 影中相应的水平线相交， 得到相应的交点。 3.把这些交点连接成光滑的 曲线即得到圆柱螺旋线的 正面投影.
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12 11 109 87 65 43 21 0 7 6 5 8 4 3 9 2 10 11 12 0 1