初、高中数学知识衔接专题八：一元二次不等式的解法

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第八讲一元二次不等式的解法

即x=1或1/2
解（配平方法）x2－2x＋1+2=0即 (x1)2+2=0
即(x1)=- 2 无解
二、复习一元二次函数
一元二次函数:y=ax2+bx+c(a＞0)的图像
y y y
O
x1
x2
x
O
b 2a
x
O
x
0
两个交点
0
一个交点
0
无交点
2 画出函数 y x x 6 的图像。
注意画二次函数简图的一般过程： 1，确定开口（根据a的正负确定） 2,因式分解或求根公式或配平方（求出两个根） 3，标两根，画出简图 y -2 3 x
当x=-2或x=3时，y
＝
0，即x2-x-6 ＝0。
＞
当x＜-2或x＞3时，y 当-2＜x＜3时，y
＜
0，即x2-x-6
＞0
0，即x2-x-6 ＜ 0
一、复习一元二次方程
一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根 0方程没有根
求根的方法：
（1）公式法 X=
b 2 4ac b 2 （2）配方法，化为平方式 ( x ) a 0 2a 4a （3）十字相乘法
例：求x 2 x 3 0的根
1，确定开口 2，标出两根看图说话 5，写出集合 3，画出简图 4，
x≤-1/2或x≥1/2
{x|x≤-1/2或x≥1/2} 最后写成集合，不等式就解完了
小结：一元二次不等式的解法
(1)化成标准形式
1,a>0
ax2+bx+c>0
(a>0)

(完整版)高中数学一元二次不等式及其解法-知识点剖析

一元二次不等式及其解法-知识点剖析一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集1．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：（1）ax 2+bx+c>0（a>0）；（2）ax 2+bx+c<0（a>0）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax 2+bx+c=0的根确定.设Δ=b 2-4ac ，则： ①Δ>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的解x 1、x 2，则不等式（1）的解集为{x|x>x 2或x<x 1}，不等式（2）的解集为{x|x 1<x<x 2}；②Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的解，即x 1=x 2，则不等式（1）的解集为{x|x≠x 1}，不等式（2）的解集为；③Δ<0时，方程ax 2+bx+c=0无实数解，则不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解集为. 2．解一元二次不等式的一般步骤：当a>0时，解形如ax 2+bx+c>0（≥0）或ax 2+bx+c<0（≤0）的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程ax 2+bx+c=0的解；（2）画出对应函数图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集.二、一元二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系由下表可以看出ax 2+bx+c>0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆>，，00a ax 2+bx+c<0对一切x ∈R 都成立的条件为⎩⎨⎧<∆<.00a ，判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x 1，2=aacb b 242-±-有两相等实根x 1=x 2=-a b 2 没有实根一元二次不等式的解集 ax 2+bx+c >0（a>0） {x|x>x 2或x<x 1}{x ∈R |x≠-ab2} Rax 2+bx+c <0（a>0）{x|x 1<x<x 2}φφ三、简单的分式不等式的解法分式不等式同解不等式四、简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f （x ）>0用穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：（1）将f （x ）最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；（4）根据曲线显现出的f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集. 例：解不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0.解：原不等式变为（x+2）（x-1）（x-2）≤0或x=-1，各因式的根为-2，1，2，利用穿根法，原不等式的解集为{x|x≤-2或1≤x≤2或x=-1}. 知识探究问题1：解一元二次不等式应该注意哪些问题?探究：①要将二次项系数化为正，例如：解不等式-x 2-2x-1<0，需首先转化为x 2+2x+1>0求解. ②若一元二次不等式中二次项系数含字母，一般需要对二次项系数进行讨论，当两根的大小不确定时，还应对两根的大小进行讨论.例如：解关于x 的不等式ax 2-（a+1）x+1<0.首先对a 进行讨论，若a=0，原不等式⇔-x+1⇔{x|x>1}；若a<0，原不等式⇔（x-a 1）（x-1）>0⇔{x|x<a 1或x>1}；若a>0，原不等式⇔（x-a1）（x-1）<0.①其解的情况应由a1与1的大小关系进行确定，故当a=1时，式①⇔{x|x ∈}；当a>1时，式①⇔{x|a1<x<1}；当0<a<1时，式①⇔{x|1<x<a1}.注：对上述类型的二次不等式要搞清楚讨论的依据. 问题2：解简单的分式不等式应该注意哪些问题？探究：对于简单的分式不等式不能直接去分母，要把不等号的一边化为0，然后用商的符号法则化为不等式（组）求解.例如：解不等式1x 15x ++<3，应先将不等式转化为1x 15x ++-3<0，即1x 1)2(x +-<0，可化为⎩⎨⎧>+<-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+>-0101x ，x ，（即化为不等式①），也可直接等价于2（x-1）（x+1）<0（转化为不等式）来求.还应注意对含等号的分式不等式，首先保证分母不为0. 例如：解不等式1x 15x ++≤1⇔1x 1)2(x +-≤0⇔⎩⎨⎧>+≤-0101x ，x 或⎩⎨⎧<+≥-0101x ，x 或直接等价于()()⎩⎨⎧≠+≤+-.010112x ，x x 练习请你和你的同学根据下面所给的材料，探究、讨论窗户应设计成怎样的尺寸.要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图3-2-4所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?图3-2-4。

一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集

等价形式
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、不等式的性质以及数轴等方法，逐步化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平面区域来表示，通过确定临界点和约束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物线的开口方向和顶点坐标来表示，一元高次不等式的解集可以通过相应函数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不等式的解集，有助于解决复杂的不等式问题。
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函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体等问题时，可以通过一元二次不等式来描述物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一元二次不等式可以用来描述波的传播范围以及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为两个一次不等式的乘积形式，从而求解。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。

本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。

一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。

对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。

顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。

3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。

若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。

若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。

二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。

若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。

若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。

若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。

需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。

另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。

解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。

本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。

1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。

我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。

2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。

通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。

3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。

通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。

4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。

通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。

综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。

在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。

初高中衔接之一元二次不等式的解法

第六讲一元二次不等式的解法基础题训练已知二次函数82)(2--=x x x f ，则当__________24x x <->或_____时,y >0, 则当_______24x -<<________时,y <0. 例题讲评例1解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．解：（1）∵Δ＞0，方程x 2＋2x －3＝0的解是 x 1＝－3，x 2＝1． ∴不等式的解为－3≤x ≤1．（2）整理，得x 2－x －6＞0．∵Δ＞0，方程x 2－x －6=0的解为 x 1＝－2，x 2＝3．∴所以，原不等式的解为x ＜－2，或x ＞3．（3）整理，得(2x ＋1)2≥0. 由于上式对任意实数x 都成立， ∴原不等式的解为一切实数．（4）整理，得(x －3)2≤0. 由于当x ＝3时，(x －3)2＝0成立；而对任意的实数x ，(x －3)2＜0都不成立， ∴原不等式的解为x ＝3．（5）整理，得x 2－x ＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．例2、已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．解：由不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解为2,3x x <>或，可知0a <，且方程20ax bx c ++=的两根分别为2和3，∴5,6b c a a-==，即 5,6b ca a=-=．由于0a <，所以不等式20bx ax c ++>可变为20b cx x a a++< ，即－2560,x x ++<整理，得 2560,x x -->所以，不等式20bx ax c +->的解是x ＜－1，或x ＞65．说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．链接高中一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为 x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为 x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b2a ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．例2.解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).分析对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式∆的符号,而这里的∆是关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对∆的符号进行分类讨论.图2.3－2② ③①解: ∆24a =-,①当0,2a a ∆><->即或2时, 10x ax ++=2方程的解是12,22a a x x ---+==所以,原不等式的解集为2a x -<或2a x -+>；②当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式的解为 x ≠－a2；③当0,22,a ∆<-<<即时原不等式的解为一切实数 .综上,当a ≤－2，或a ≥2时，原不等式的解是x <或x >；当22,a -<<时原不等式的解为一切实数．例3、已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．解：∵y ＝(x －a )2＋1－a 2，∴抛物线y ＝x 2－2ax ＋1的对称轴方程是x ＝a ．（1）若－2≤a ≤1，由图2.3-3①可知,当x ＝a 时，该函数取最小值 n ＝1－a 2； (2)若a ＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x ＝-2时，该函数取最小值 n ＝4a +5； (2)若a ＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x ＝1时，该函数取最小值 n ＝-2a +2. 综上,函数的最小值为245,2,1,21,22, 1.a a n a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩能力拓展例1：解下列不等式(1).1<x 2－3x +3≤7； (2)(x 2+4x -5)(x 2-2x +2)>0 (3) (x 2+4x -5)(x 2-4x +4)>0； (4)x 4-x 2-6≥０ (5)+4-1x x >0 ； (6) -3+7x x ≤0 图2.3－3①【参考答案】（1）[1,1)(2,4]-⋃；（2）{}15|>-<x x x 或（3）),2()2,1()5,(+∞--∞Y Y ；（4）),3[]3,(+∞--∞Y （5）),1()4,(+∞--∞Y ；（6）]3,7(- 例2：解关于x 的不等式ax 2－x +1>0 【参考答案】当a =0时，x <1 当a <0时，a a 2411-+<x <aa2411--当0<a <41时，x <a a 2411--或x >a a 2411-+当a =41时，x ≠2 当a >41时，x ∈R综述：略．巩固反思1.不等式(x +5)(3－2x )≥6的解集是 ( )A . 912x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 B . 912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C . 912x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 D . 912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】D2．设k ∈R , x 1 , x 2是方程x 2－2kx +1－k 2=0的两个实数根, 则x 21+x 22的最小值为（） A . —2 B . 0 C . 1 D . 2 【答案】C3．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（）。

一元二次不等式的解法ppt课件

_______
x∈R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法．
－c_≤
ax__
＋_b__≤
c
①|ax＋b|≤c⇔____
____
___；
≥_c__
或__ax
b≤－
c
②|ax＋b|≥c⇔__ax
__＋
__b
___
__＋
_____
___．
绝对值不等式的解法
不等式3≤|5－2x|＜9的解集为 ( D )
x－1≠0，
1
{x|x≥1或x<0}
不等式x ≤1 的解集为______________.
解析
xx－1≥0，
x－1
1
∴x≥1 或 x<0.
∵x ≤1，∴ x ≥0，∴x≠0，

分式不等式的解法
分式不等式的解法：
先通过移项、通分整理，再化成整式不等
式来解.
如果能判断出分母的正负，直接去分母即
A．[－2,1)∪[4,7)
B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7)
D．(－2,1]∪[4,7)
下
课
啦
解二次不等式
① x 2x 3 0
判别式
△> 0
2
② 9x 6x 1 0 ③ x 4x 5 0
2
2
△= 0
△< 0
y
y
方程的根
图
像
开
口
y
O
含参问题
练. 设a∈R，解关于x的不等式 x2＋ax+2>0.
解含参数的一元二次不等式的步骤

解一元二次不等式的基本步骤

解一元二次不等式的基本步骤1. 认识一元二次不等式一元二次不等式，这个名字听起来就像是一道复杂的数学题，但其实，咱们可以把它拆开来看，就像拆解一份大礼物，里面的东西并没有那么复杂。

简单来说，一元二次不等式就是形如 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 或者 ( ax^2 + bx + c leq 0 ) 的不等式，其中的( a )、( b )、( c ) 是常数，( x ) 是你要解决的未知数。

这种不等式的特点是，变量 ( x )的最高次方是2，这就是“二次”这个词的由来。

看吧，记住这个结构，你就离破解它更近一步了。

2. 解一元二次不等式的步骤2.1 找到一元二次方程的根首先，你得找到那个二次方程的根。

这一步就像在挖掘宝藏，要找出方程的“秘密位置”。

你需要解方程 ( ax^2 + bx + c = 0 )，这个方程是它的“标准形”。

可以用公式法，公式是这样的：( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。

你只要把 ( a )、( b )、( c ) 代进去，算出来的就是方程的根了。

如果你用的是平方根法或者配方法，算出来的也一样。

2.2 判断不等式的解集找到了根之后，接下来的步骤就是判断不等式的解集。

简单点说，就是你需要知道哪些 ( x ) 的值会让不等式成立。

想象一下，一条直线把数轴分成了几个区域，你的任务就是找出不等式在哪些区域里成立。

要做到这一点，你可以选择一个测试点，代入到不等式中，看看它的值是符合要求的还是不符合的。

3. 绘制图像并总结解集3.1 绘制抛物线为了更直观地理解不等式的解集，绘制抛物线是个好主意。

二次方程的图像是一条抛物线，开口朝上还是朝下取决于 ( a ) 的符号。

把根标在图像上，然后看一下哪些区域是在不等式成立的区域。

这就像是看电影的时候，你要留意剧情的发展，找到那个让你感到满意的结局。

3.2 总结解集最后，你要总结解集。

这个步骤就像是在电影结束后的讨论，你要把所有的信息整理好，把“好”的区域记录下来。

【第397期】一元二次不等式的解法

【第397期】一元二次不等式的解法滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！一元二次不等式的解法一元二次不等式是“三个二次”的中间力量，它承上启下，在函数和方程的转化中起到桥梁作用.求解一元二次不等式，本质就是对一元二次函数的特殊化处理，同时也是对一元二次方程的求解考察.对于一元二次不等式的求解在高中阶段主要掌握以下四类基本模型.一、解一元二次不等式一元二次不等式的解方法相对固定，具体为以下三个步骤：1.解不等式对应的一元二次方程，求得其根；2.作出不等式对应的一元二次函数的函数图像（草图）；3.利用图像结合一元二次函数性质写出不等式的解集.这是常规的一元二次不等式解题步骤，实际问题中题目会发生变化，但是其解题的原理不变，只需要抓住问题的本质或者进行简单的换元即可实现问题的求解.二、含参一元二次不等式含参一元二次不等式的关键在于参数影响了对应方程的根，使得一元二次函数的图像不易确定，进一步影响了不等式的解集.对此一般来说可从以下几个角度进行逐层分类：首先是二次项系数，它影响到函数的开口方向；其次是判别式，它决定方程是否有解，即函数图像与坐标轴的交点情况；三是方程根的大小，这点决定解集的范围.具体问题中的参数的含义不同，需要结合题意进行分析转化.三、高次不等式高次不等式实际上是一元二次不等式解法的推广，在此基础上适当的总结，得出了“穿针引线”的方法，实质就是数轴标根法,其步骤为:1.移项整理化为标准型，即保证最高项系数为正；2.求根，即求出不等式所对应方程的所有根；3.标根，在数轴上按从左到右依次标出各根；4.穿根引线，从右至左，从上到下，奇穿偶不穿；5.写出不等式的解集，注意对含有等号的根的取舍.四、恒成立问题一元二次函数的图像恒在坐标系中横轴上方或下方，对应了一元二次不等式的恒成立问题.在此基础上，通过换元变换等方法将一元二次不等式的求解变成了新的问题，即所谓的恒成立.此类问题可采用化归转化变化为我们熟悉的模型.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【经典回顾】【第43期】初高中知识衔接——一元二次不等式【第45期】初高中知识衔接——分式不等式与高次不等式【第132期】同步复习篇——不等式的性质【第133期】同步复习篇——一元二次不等式【第134期】同步复习篇——基本不等式【第225期】一轮复习篇——不等关系与不等式【第226期】一轮复习篇——不等式的解法【第227期】一轮复习篇——线性规划【第228期】一轮复习篇——基本不等式以上内容，纯属个人观点，只为抛砖引玉，让学习更高效！由于才疏学浅，难免有不足之处，欢迎大家批评指正，不胜感激！此外，公众号内容仅供学习交流，不得他用！。

学习技巧掌握解一元二次不等式的完整步骤

学习技巧掌握解一元二次不等式的完整步骤学习技巧：掌握解一元二次不等式的完整步骤解一元二次不等式是数学中的重要知识点，掌握其解题方法和技巧对于学生的学习和应试都具有重要意义。

本文将介绍解一元二次不等式的完整步骤，并提供一些学习技巧，帮助读者更好地掌握这个知识点。

一、一元二次不等式的定义和性质首先，我们来回顾一下一元二次不等式的定义和性质。

一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。

一元二次不等式的解即是满足不等式的x的取值范围。

在解一元二次不等式时，我们需要注意以下性质：1. 若a>0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向上（或向下）的抛物线所围成的区域。

2. 若a<0，则一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）表示的是一个开口向下（或向上）的抛物线所围成的区域。

3. 一元二次不等式的解可以用区间表示，例如(x1, x2)表示的是解集合[x1, x2]内的所有实数。

二、解一元二次不等式的步骤接下来，我们将介绍解一元二次不等式的完整步骤。

步骤1：将一元二次不等式转化成标准形式首先，将一元二次不等式转化成标准形式，即将不等式右侧移到左侧，得到ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）。

步骤2：确定一元二次函数的图像形状根据一元二次不等式的性质，确定一元二次函数的图像形状是开口向上还是开口向下，以及开口的方向。

步骤3：求出一元二次函数的零点将一元二次函数ax^2+bx+c=0转化成一元二次方程，求出其根或零点。

此处注意：一元二次不等式的解集是以零点为界限的某个区间。

步骤4：根据图像形状和零点确定解集根据一元二次函数的图像形状和零点，确定不等式的解集。

注意，需要考虑到原不等式的等号部分（大于、小于或等于）对解集的影响。

步骤5：将解集用区间表示最后，将解集用区间的形式表示出来，即得到不等式的解。

解不等式一元二次不等式

解不等式一元二次不等式
一元二次不等式是指只有一个未知数，且这个未知数的最高次方是2的不等式。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程的方法类似，但要注意一些不同之处。

首先，要将不等式化为标准形式，即将所有项移至等式左侧，使右侧仅剩下一个常数。

然后，根据二次项系数的正负性与常数项的正负性，分别讨论不等式的性质。

若二次项系数大于0，且常数项小于0，则不等式的解集为$xin(-infty,x_1]cup[x_2,+infty)$，其中$x_1$和$x_2$分别为不等式左侧的两个根。

若二次项系数大于0，且常数项大于0，则不等式的解集为$xin[x_1,x_2]$，其中$x_1$和$x_2$分别为不等式左侧的两个根。

若二次项系数小于0，且常数项小于0，则不等式的解集为$xin[x_1,x_2]$，其中$x_1$和$x_2$分别为不等式左侧的两个根。

若二次项系数小于0，且常数项大于0，则不等式的解集为$xin(-infty,x_1]cup[x_2,+infty)$，其中$x_1$和$x_2$分别为不等式左侧的两个根。

需要注意的是，解一元二次不等式时，需要将解集写成区间的形式，以便更好地表示解的范围。

同时，要注意判断二次项系数和常数项的正负性，以确定不等式的性质。

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一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法xx年xx月xx日•一元二次不等式的概述•一元二次不等式的解法•一元二次不等式解法的应用•一元二次不等式解法的总结与展望目录01一元二次不等式的概述带有二次项、一次项和常数项的不等式可以用 ax²+bx+c 表示一元二次不等式的定义ax²+bx+c > 0 ax²+bx+c < 0一元二次不等式的基本形式与一元二次方程的根有关可能存在两个解、一个解或无解利用二次函数图像辅助解题一元二次不等式解的特点02一元二次不等式的解法总结词通过将一元二次不等式化成完全平方的形式，求解出不等式的解详细描述将一元二次不等式ax²+bx+c>0（a≠0）化成(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a>0的形式，然后通过求解完全平方得到不等式的解配方法总结词通过一元二次方程的求根公式，求解出不等式的解详细描述将一元二次不等式ax²+bx+c>0（a≠0）化成方程ax²+bx+c=0，然后通过求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a得到不等式的解公式法通过画出函数y=ax²+bx+c的图像，观察图像与x轴的交点，求解出不等式的解总结词将一元二次不等式ax²+bx+c>0（a≠0）转化成y=ax²+bx+c 的图像在x轴上方，然后观察图像与x轴的交点，得到不等式的解详细描述图象法03一元二次不等式解法的应用数学分析一元二次不等式的解法是数学分析中的基础内容之一，它可以用来求解函数的单调区间、极值等问题。

代数一元二次不等式可以用来解决代数方程的求解问题，同时也可以通过判别式、韦达定理等代数知识来解决。

在数学学科的应用量子力学在量子力学中，一元二次不等式可以用来描述粒子的波函数取值范围。

热力学在热力学中，一元二次不等式可以用来描述热力学系统的平衡条件和相图等。

高中数学一元二次不等式的解法

高中数学一元二次不等式的解法高中数学里的“一元二次不等式”听起来有点吓人，但其实它跟我们日常生活中遇到的很多事情都息息相关。

想象一下，咱们要去买一块蛋糕，心里想着“我能吃多少？”这时候就得考虑一下自己的胃口和蛋糕的大小了。

这种“我能不能”的感觉，其实跟不等式有点类似。

说到一元二次不等式，大家最常见的形式就是像 ( ax^2 + bx + c < 0 ) 这样的。

不管怎样，咱们要先把这些符号里的内容捋一捋，看看它们到底在说什么。

咱们得明确什么是“不等式”。

简单来说，就是我们在比较大小，比如说“5 > 3”，这就是个不等式。

而一元二次不等式，它涉及的就是“二次”这个概念。

啥是二次呢？就是有个 ( x^2 ) 的存在，像我们熟悉的 ( x^2 + 3x 4 < 0 )。

它就像个大魔王，隐藏在方程的背后，等着咱们去挑战。

说到这，可能有人就会问：“这玩意儿跟我有啥关系？”嘿，别急，听我说完。

咱们在解这种不等式的时候，首先得找到它的“根”，也就是把等式变成 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

这一步就像挖掘宝藏，找到这几个数以后，咱们就可以把整个方程的“地图”画出来了。

接下来用求根公式 ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a ) 来找根。

有些同学一听到公式就头疼，实际上这就像调配一杯咖啡，先把原料准备好，然后按照步骤来，最后的结果可是香喷喷的。

找到根之后，咱们还得考虑一下这个二次函数的开口方向。

开口向上还是向下，这就跟二次项的系数 ( a ) 有关系。

如果 ( a > 0 )，那开口就像盛满了奶油的蛋糕，向上翘；如果 ( a < 0 )，那就像个翻了的碗，向下凹。

这时候就得想象一下，咱们的根是怎么分布的。

根在数轴上把它们一分为二，咱们要找的就是这些区间里，哪部分是满足不等式的。

再说说不等式的解集，咱们得把它们连起来，看看到底是哪一块地方是我们的“乐土”。

知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础

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因而不等式 x2 5x 0 的解集是{x | 0 x 5} .
（2）方法一：
因为 0 ，方程 x2 4x 4 0 的解为 x1 x2 2 .
函数 y x2 4x 4 的简图为：
所以，原不等式的解集是{x | x 2} 方法二： x2 4x 4 (x 2)2 0 （当 x 2 时， (x 2)2 0 ）所以原不等式的解集是{x | x 2}
照 0 ， 0 ， 0 可分三种情况，相应地，二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像与 x 轴的位
置关系也分为三种情况 . 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0) 或
抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分 0, 0, 0 三种情况，得到一元二次不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c 0
当 0＜a＜1 时，解集为{x | x a2或x a} ；
当 a=1 时，解集为{x | x 1}；
【变式 3】（2015 春房山区校级期中）解关于 x 的不等式 56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[x ( a)]( x a) 0 。 78
∴原不等式的解集是 .
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

一元二次不等式及解法

课堂小结
求解一元二次不等式一般步骤：
1、变形：变为ax2+bx+c>0、即一端为零且二次项系数化为正；
2、计算判别式
3、当 0 时解方程，求根：
4、写解集：
解集规则：小于在中间，大于在两边支持
附PPT常用图标，方便大家提高工作效率
生活
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1.ax2+bx+c>0的解集是 x< x1或 x>x2;
口诀：大于在两边，大于大根或小于小根
2. ax2+bx+c<0的解集是 x1<x<x2 。
口诀：小于在中间，大于小根小于大根
例：x2 2x1
一般步骤：
1、变形：变为ax2+bx+c>0、即一端为零且二次项系数化为正；
2、计算判别式
学点三一元二次不等式解集的逆向思维
已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是
xx或2
,求xa，12b的值.
【分析】由于不等式的解集已知，那么-2,- 就应是方
程ax2+bx+c=0的两根.
1
2
讲解范例:
例4. 已知一元二次不等式 (m－2)x2＋2(m－2)x＋4＞0的解集为R，求m的取值范围．
3、当 0 时解方程，求根：
4、写解集：
讲解范例:
例1. 求下列不等式的解集.
(1) x2－3x－4＞0 (3) 4x2－4x＋1＞0
(5) x2－2x＋3＞0
(2) x2－5x＋6≤0 (4)－x2＋2x－3＞0
学点二含参数的不等式的解法
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.

高三数学一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法步骤；能熟练地求出一元二次不等式的解集。

2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。

二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是：ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)【评注】1.一元二次不等式的一般式中；严格要求a＞0；这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。

2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一；当a1＜0时；将不等式乘－1就化成了“a＞0”。

例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。

【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L；则不等式ax2+bx+c＞0；ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方；在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的横坐标。

【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系；通常称为“三个二次问题”；我们要深刻理解、牢牢掌握；并灵活地应用它。

它是函数与方程思想的应用范例。

应用这“三个二次”的关系；不但能直接得到“二次不等式的解集表”；而且还能解决“二次问题”的难题。

例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。

【解】一元二次不等式的解集表：记忆图分类△＞0△=0△＜0ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集（－∞；x1）∪（x2,＋∞）（－∞；x）∪（x；＋∞）Rax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集(x1；x2)【评注】1.不要死记书上的解集表；要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。

2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。

例4、写出一元二次不等式的解法步骤。

【解】一元二次不等式的解法步骤是：2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。

一元二次不等式的求解步骤

一元二次不等式的求解步骤求解一元二次不等式（形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0）的基本步骤如下：1. 标准化不等式首先，确保不等式是一元二次的，并且二次项系数a不为零（如果a=0，则不等式退化为一元一次不等式）。

2. 计算判别式计算判别式Δ=b2−4ac。

这个值将决定二次方程的根的性质（即实数根、重根或无实数根）。

3. 求解二次方程。

求解对应的二次方程ax2+bx+c=0的根。

使用求根公式x=−b±√Δ2a●如果Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1和x2。

●如果Δ=0，方程有一个重根x1=x2。

●如果Δ<0，方程无实数根。

4. 利用数轴标根法确定解集●当Δ≥0时，将根x1和x2（如果它们存在且不相等）按从小到大的顺序排列在数轴上。

●如果不等式是ax2+bx+c>0，则解集是两根之外的区间（即x<x1或x>x2，如果Δ>0；或x≠x1，如果Δ=0）。

注意，当a<0时，解集会反过来，因为二次函数开口向下。

●如果不等式是ax2+bx+c<0，则解集是两根之间的区间（即x1<x<x2，如果Δ>0；或无解，如果Δ≤0和a>0；或所有实数，如果Δ<0和a< 0）。

●当Δ<0时，不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0）的解集是整个实数集（或空集），具体取决于a的符号（因为此时二次函数没有实数根，且图像在x轴上方或下方）。

5. 验证解的正确性（可选）最后，可以通过选取解集中的一些点代入原不等式来验证解的正确性。

但这通常不是必需的，因为上述步骤已经足够严谨。

示例考虑不等式x2−4x+3<0。

1.判别式Δ=(−4)2−4∙1∙3=16−12=4>0。

2.解二次方程x2−4x+3=0，得到根x1=1和x2=3。

3.因为不等式是x2−4x+3<0且a=1>0，所以解集是两根之间的区间，即1<x<3。

一元二次不等式的解法和技巧

一元二次不等式的解法和技巧大家好，今天咱们聊聊一元二次不等式的解法。

别担心，我会把它讲得简单明了，让你不至于觉得像看天书一样。

话不多说，咱们直接进入正题。

1. 一元二次不等式的基本概念1.1 什么是“一元二次不等式”？简单来说，一元二次不等式就是这样的：它的形状像个大写的“U”，我们通常看到的格式是“ax² + bx + c < 0”（或者“> 0”、“≤ 0”、“≥ 0”）。

这里的a、b、c都是数字，而x是未知数。

听起来有点复杂，但别急，慢慢来，我们一步一步搞定它。

1.2 为什么要解一元二次不等式？解这些不等式的目的，就是找出使得不等式成立的x的值。

说白了，就是找出符合条件的x的范围。

比如，咱们想知道在什么情况下，一辆车的速度会低于60公里每小时。

这些条件就可以通过解不等式来找出。

2. 解一元二次不等式的步骤2.1 先把不等式转化为标准形式首先，要把一元二次不等式的两边整理得干干净净。

比如，给你一个不等式“x² 4x 5 < 0”，你要确保它的右边是0。

这就像整理房间，把东西都摆放整齐一样。

把它整理成“x² 4x 5 < 0”这个标准形式。

2.2 求出对应的方程的根接下来，我们要找出与这个不等式相关的方程的根。

也就是把它变成一个等式：“x² 4x 5 = 0”。

要找出x的值，可以使用因式分解法或者求根公式。

这就像是解一个谜题，找出那些关键的线索。

因式分解法：如果一元二次方程比较简单，可以尝试因式分解。

比如，“x² 4x 5”可以分解成“(x 5)(x + 1) = 0”，所以它的根是x = 5和x = 1。

求根公式：对于复杂一点的方程，我们可以用求根公式。

公式是这样的：“x = [b ± √(b² 4ac)] / 2a”。

记得要代入方程中的a、b、c值，解出x的值。

2.3 确定不等式的解集有了方程的根之后，我们就得确定不等式的解集。