【精品】2014-2015年四川省巴中市平昌县得胜中学高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2014-2015学年四川省巴中市平昌县得胜中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）sin2的值（）A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在2．（5分）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB与CD所成的角为60°B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB∥CD3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．94．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（）A．48B．64C．80D．1206．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．197．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=t•5n﹣2﹣，则实数t的值为（）A．4B．5C．D．8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4C．D．59．（5分）设f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．10．（5分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=的定义域为．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=；|a1|+|a2|+…+|a n|=．13．（5分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．14．（5分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．15．（5分）等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，前n项和为S n，给出下列四个命题：①数列{（）}为等比数列；②若a2+a12=2，则S13=13；③S n=na n﹣；④若d＞0，则S n一定有最大值．其中正确命题的序号是．三、解答题（16-19各12分，20题13分，21题14分）16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g （x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，E是PC的中点，已知AB=2，AD=PA=2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（13分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin （+C）﹣csin（+B）=a，（1）求证：B﹣C=（2）若a=，求△ABC的面积．2014-2015学年四川省巴中市平昌县得胜中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）sin2的值（）A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在【解答】解：∵，∴2为第二象限的角，∴sin2＞0．故选：B．2．（5分）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB与CD所成的角为60°B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB∥CD【解答】解：将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线，∴AB与CD所成的角为60°故选：D．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a 4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．4．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（）A．48B．64C．80D．120【解答】解：三视图复原的几何体是正四棱锥，它的底面边长为：8cm，斜高为：5cm，所以正三棱柱的侧面积为：=80 cm2故选：C．6．（5分）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【解答】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n=t•5n﹣2﹣，则实数t的值为（）A．4B．5C．D．【解答】解：由题意可得a1=S1=t﹣，a2=S2﹣S1=t，a3=S3﹣S2=4t，∴（t）2=（t﹣）•4t，解得t=5，或t=0（舍去）故选：B．8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4C．D．5【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选：C．9．（5分）设f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值为（）A．0B．1C．﹣1D．【解答】解：∵f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）=f（cos60°）=cos180°=﹣1，故选：C．10．（5分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=的定义域为{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z} ．【解答】解：∵，∴2cosx﹣1≥0，﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z函数的定义域为{x|﹣+2kπ≤x＜≤+2kπ，k∈Z}故答案为：{x|﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z}．12．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=﹣2；|a1|+|a2|+…+|a n|=．【解答】解：q===﹣2，|a1|+|a2|+…+|a n|==故答案为：﹣2，13．（5分）若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（，m）三点共线，则m的值为．【解答】解：由题意可得K AB=K AC，∴=，∴m=，故答案为．14．（5分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣15．（5分）等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，前n项和为S n，给出下列四个命题：①数列{（）}为等比数列；②若a2+a12=2，则S13=13；③S n=na n﹣；④若d＞0，则S n一定有最大值．其中正确命题的序号是①②③．【解答】解：①为常数，所以数列{（）}为等比数列；正确．②在等差数列中，a2+a12=a1+a13=2，所以S13=，所以正确．③在等差数列中，以a n为首项，此时数列的公差为﹣d，S n=na n+=na n﹣；所以正确．④若d＞0，则等差数列为递增数列，此时S n没有有最大值．所以④错误．故答案为：①②③三、解答题（16-19各12分，20题13分，21题14分）16．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=35，a5和a7的等差中项为13．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N﹡），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=5a3=35，a5+a7=26，所以，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+×2=n2+2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，所以b n==…（8分）=，…（10分）所以T n=．…（12分）17．（12分）已知函数f（x）=2sin（+）cos（+）﹣sin（x+π）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g （x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）=（2分）==．（4分）所以f（x）的最小正周期为2π．（6分）（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．（8分）∵x∈[0，π]时，，（10分）∴当，即时，，g（x）取得最大值2．（11分）当，即x=π时，，g（x）取得最小值﹣1．（13分）18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AC，E是PC的中点，已知AB=2，AD=PA=2，求异面直线BC与AE所成的角的大小．【解答】解：∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABCD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，C（2，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1），B（2，0，0），A（0，0，0），=（0，2，0），=（1，1，1），设异面直线BC与AE所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|===．∴θ=arccos．∴异面直线BC与AE所成的角为arccos．20．（13分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．21．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C ）﹣csin （+B ）=a ，（1）求证：B ﹣C=（2）若a=，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）证明：由bsin （+C ）﹣csin （）=a ，由正弦定理可得sinBsin （+C ）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （）﹣sinC （）=．整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1，即sin （B ﹣C ）=1，由于0＜B ，C ，从而B ﹣C=． （2）解：B +C=π﹣A=，因此B=，C=， 由a=，A=，得b==2sin，c==2sin ， 所以三角形的面积S==cossin=．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。