北师大版高中数学必修5课件：2.2三角形中的几何计算

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数学必修5导学案：2-2 三角形中的几何计算

§2 三角形中的几何计算知能目标解读1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点：应用正、余弦定理解三角形.难点：灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算.学习方法指导一、三角形中的几何计算问题正弦定理、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角有着密切的联系.解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形等，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决，这是化复杂为简单，化未知为已知的化归思想的重要应用.注意：三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.二、正、余弦定理在几何计算问题中的应用规律1.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.2.对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理（后面将要学习）求最值.3.正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明. 知能自主梳理三解形面积公式（1）S =21 ；（2）S =21ab sin C =21 =21 ;(3)S =21²r ² (r 为内切圆半径).［答案］（1）底³高（2）ac sin B bc sin A （3）(a+b+c )思路方法技巧命题方向利用正、余弦定理求边长［例1］如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.［分析］本题的图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD 中，已知两边和其中一边的对角，用余弦定理可求出BD 的长，在△BCD 中，应用正弦定理可求出BC 的长.［解析］在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ²BD ²cos ∠ADB , 设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2³10x cos60°, ∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16. 在△BCD 中，由正弦定理知，BCDBD CDBBC ∠=∠sin sin∴BC =·135sin 16︒sin30°＝82.［说明］解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解. 变式应用1如图所示，在△ABC 中，已知BC =15,AB ：AC =7；8,sin B =734,求BC 边上的高AD 的长.［分析］要求高AD 的长，可先求AB 的长，再在Rt △ADB 中，求出AD 的长. ［解析］在△ABC 中，由已知设AB =7x ,AC =8x ,x >0,由正弦定理，得Bx Cx sin 8sin 7=,∴sin C =23734878sin 7=⨯=xB x .∴∠C =60°或120°.若∠C =120°，由8x >7x ，知∠B 也为钝角，不合题意，故∠C ≠120°. ∴∠C =60°.由余弦定理，得（7x ）2=(8x ) 2+152-2³8x ³15cos60°, ∴x 2-8x +15=0,解得x =3或x =5. ∴AB =21或AB =35. 在Rt △ADB 中，AD =AB sin B =AB ，734∴AD =123或203.命题方向利用正、余弦定理求角度问题［例2］在△ABC 中，已知AB =，ABC ，66cos 364=∠AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值.［分析］要求sin A 的值，需根据“D 是AC 的中点”这个条件，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB ，所以∠ABE +∠BED =180°,根据题目中的条件cos ∠ABC =66,进而求得cos ∠BED =－66.又由ＤＥ 21AB ,得DE ＝21³362664=.在△BDE 中，利用余弦定理可求出BE ，从而BC 可求.再在△ABC中，利用余弦定理可求出AC ，再利用正弦定理即可求出sin A 的值.［解析］如图所示，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB ,且DE =21AB =362.∵cos ∠ABC =66,∴cos ∠BED =-66.设BE ＝x ,在△BDE 中，利用余弦定理，可得BD 2=BE 2+ED 2-2BE ²ED cos ∠BED , 即5=x 2+x 。

高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例

∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平
面内),求两目标A,B之间的距离.
分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中去找关系,
但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中
找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.
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题型一
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题型三
题型四
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO

,
,

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
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Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI

∴a=CD=BC-BD=tan ∠ − tan ∠ .
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=
180°-80°
2
=50°.
∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.故选B.
答案:B
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
2.三角形中的有关公式和结论
(1)直角三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,则有:
HISHISHULI
D典例透析 S随堂演练
HONGNANJUJIAO
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
(2)斜三角形中各元素间的关系.
在△ABC中,若∠A,∠B,∠C为其内角,a,b,c分别表示∠A, ∠B,

高中数学第二章解三角形 2_1_1_2 正弦定理的变形及三角形面积公式课件北师大版必修5

课堂探究互动讲练类型一正弦定理的变形应用 [例 1] 在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求 b 及△ABC 外接圆的半径 R.
【解析】已知 B＝30°，C＝45°，c＝1，
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
a2＋b2－2abcosπ3＝7，所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7，所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解
过程既方便又灵活．
(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适
的面积公式．在解三角形中通常选用S＝
＝
40 6＋
2＝10(
6－
2) (km)．
即 C 到灯塔 A 的距离为 10( 6－ 2) km.
方法归纳
解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
【解析】
(1)因为
3a＝2csinA，所以sianA＝
2c 3.
由正弦定理知sianA＝sincC，
所以sincC＝ 2c3，所以sinC＝
3 2.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为c＝ 7，C＝π3，

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必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。

人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时三角形中的几何计算课件

＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值．解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.

北师大版必修5高中数学第二章三角形中的几何计算及实际应用举例要点分析素材

三角形中的几何计算及实际应用举例一、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。

（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。

（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。

二、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）（i ）大角对大边：,,,A B a b B C b c C A c a >⇒>>⇒>>⇒>（ii ）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===，（R 是三角形外接圆的半径）（iii ）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- （iv ）三角形的面积S △ABC 111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C pr ====4abc R = 2. 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。

（3）解决实际问题的步骤。

（i ）理解题意分清已知与未知。

（ii ）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。

（iii ）作答。

3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i ）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii ）sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin 2222A B C A B C A B C A B C +++=+=-== （iii ）tantan tan tan tan tan 1222222A B B C A C ++=。

北师大版必修5高中数学2.2三角形中的几何计算(1)导学案

高中数学 2.2三角形中的几何计算（1）导学案北师大版必修5【学习目标】 1、能够运用正弦定理、余弦定理解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

【学习重点】 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

[A] 2 请同学们写出余弦定理及其变形形式。

（一）学习探究探究一 [A] 在ABC ∆中，已知14b =，30A =，120B =，求a 及ABC ∆的面积S 。

（温馨提示：先由正弦定理求出a ，再结合三角形内角和定理及三角形面积定理求出ABC ∆的面积S ）个性笔记探究三[C] 在ABC ∆中，三边长为连续整数，最大角是最小角的两倍，求ABC ∆的三边a 、b 、c 。

（其中a b c <<）（温馨提示：,1,2,,a n b n c n n N +==+=+∈再由已知条件结合正余弦定理求出三边。

）（二）当堂检测[ A ]1.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）（A ）90 （B ）120 （C ）135 （D ）150[ B ]2．在△ABC 中，AB=4，AC=8，BC 边上的中线AD=3，则BC 的长是（）（A ）213 （B ）231 （C ）231+ （D ）213+[ B ]3.设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1cos 3A =,,5,sin C=4B b π==则，ABC ∆的面积S = 。

[ B ]4.在△ABC 中，2545,10,cosC=.5B AC ==（1）求边BC 的长.（2）记AB 的中点为D ,求中线CD 长.教与学的反思。

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北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》教学设计

如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的
a Bb A 定义，有 CD=
s i ns i n,则
a sinA
b sinB
，
同理可得
c sinC
b sinB
，
从而
a sinA
b sinB
c sinC
C
b
a
A
c
B
当 ABC 是钝角三角形时，类似可以证明请同学们补充。
八、课后反思：
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》第一课时 §2.1.1 正弦定理
教学反思
周至县第三中学马周科
2011 年 9 月，陕西教育学院、陕西教育科学研究研究所的教学专家来我校进行新课程及高校课堂视导，我作为我校数学教师代表上了一节课。这节课我选择了高中数学北师大版必修 5 第二章《解三角形》第一棵时“正弦定理”，基于我校“联勤互助-高效课堂”的教学模式设计了导学案和教学设计。导学案提前下发，让学生先进行预习；上课时，先进行教学目标展示，指出本节课的学习目标；然后引导学生进行预习成果展示，通过提问方式检查学生预习情况；再通过教师根据学生情况进行适当引导和讲解，进行分组探析新课；分组探析例题；分组进行课堂练习；最后引导学生小结本节内容；安排课后训练等环节，组织学生学习活动。课后，省教科所专家马亚军老师高屋建瓴，给予了非常详尽评价和指导，本组同志也提出了宝贵的意见。使我很受启发，为此对这节课进行反思。
高中数学北师大版必修 5 第二章解三角形（教学设计）周至县第三中学数学组马周科
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》教学设计第一课时 §2.1.1 正弦定理周至县第三中学马周科

北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)

方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0，故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝＝aa11＋＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2，即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458，所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分段式表示．

高中数学必修5：1.2.2 几何计算问题(人教版高中数学必修5第1章解三角形)

且满足 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B ，求△ABC 面积的最大值．
解由正弦定理得 a2 c2 ( 2a b)b ，即 a2 b2 c2 2ab
由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2＝ 2ab＝ 2，
2ab
2ab 2
∴C＝π4.
∴S＝12absin C
例 3 在△ABC 中，内角 A, B, C 对边的边长分别为 a, b, c，已知 c＝2，C＝π3.
(1) 若△ABC 的面积等于 3，求 a，b；
(2) 若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积．
解 (2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，
高中数学必修5
第一章解三角形
设计：学霸兔
高中数学必修5
1.2 应用举例
设计：学霸兔
高中数学必修5 1.2.2 几何计算问题
设计：学霸兔
三角形的面积公式
S 1 hc 1 bsin A c 1 bc sin A
22
2
S 1 ca sin B 1 absin C
h
2
2
D
例 1 在△ABC 中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝31，且 BD＝AD， 32
(2) 若 sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC 的面积．有关的综合问题
解 (1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－1ab cosC＝4， 2
又因为△ABC 的面积等于 3，所以 12absin C＝ 3，得 ab＝4.
联立方程组
a2＋b2－ab＝4， ab＝4，
解得
a＝2， b＝2.
求△ABC 的面积．

2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)

3 cosA=0, 2
∴sin(A-30°)=0, ∴A=30°. 答案：30°
三、解答题（每题8分，共16分） 7.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，角 A、B满足：2sin(A+B)- 3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
【解析】由2sin(A+B)∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B=120°,C=60°,
8
【解析】选C.c2＝a2+b2-2abcosC=9,c=3，B为最大角，
cosB=- 1 .
7
2.（2010·营口高二检测）已知△ABC中，AB= 3 ，AC=1，且
B=30°，则△ABC的周长等于(
（A）3+ 3 （B） 3 +1 （C）2+ 3 或 3 +1 （D）3+ 3 或2+ 3
)
【解析】选D.由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB，即12=BC2+(
2ab
又0°＜C＜180°，所以C＝45°.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.在△ABC中,A=120°,a= 21 ,S△ABC= 3 ,则b=__________. 1 【解析】S= bcsin120°= 3 ,得bc=4 ①
2
又a2=b2+c2-2bccos120°=21，得b2+c2＝17
4
（2）求sin(2A+C)的值.
【解题提示】
【解析】（1）由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =4+1-2×2×1× ∴AB= 2 .
3 =2, 4
9.（10分）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝

【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.2 三角形中的几何计算

§2 三角形中的几何计算[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培育同学分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)设等边三角形的边长为a ，则这个三角形的面积为． (2)梯形的四个内角中，两角和为180°的内角有对． (3)圆内接四边形的一组对角的和为．(4)设△ABC 三边的长分别为a ，b ，c ，△ABC 内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝ . 答案 (1)34a 2 (2)2 (3)180° (4)12(a ＋b ＋c )r [预习导引]1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ； (3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．要点一求平面几何图形中线段的长度例1 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.规律方法在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键．跟踪演练1 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.要点二实际问题向几何问题的转化例2 要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．答故A 、B 之间的距离为 5 km.规律方法解决实际生活问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把一个抽象、概括的问题建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正弦、余弦定理加以解决．跟踪演练2 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观看点C 、D ，在某天10∶00观看到该轮船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该轮船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠BDC ＝90°. ∴△CDB 为等腰直角三角形， ∴BD ＝CD ＝1，在△ACD 中，由正弦定理得：AD sin (60°＋45°)＝1sin 45°.∴AD ＝3＋12，在△ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝12＋(3＋12)2－2×3＋12×cos 60°＝32， ∴AB ＝62，则船速为64千米/分钟．要点三计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值．解 (1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2. 在△ABD 中，由余弦定理可知：BD 2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ，于是四边形ABCD 的面积S ＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S ＝32＋sin(θ－π3)，0＜θ＜π. (2)由S ＝32＋sin (θ－π3)及0＜θ＜π，得－π3＜θ－π3＜2π3.当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.规律方法最值问题是高考的重点之一，我们要能娴熟运用三角形基础学问，正弦、余弦定理，面积公式及三角函数公式协作，通过等价转化解答这类综合问题，并留意隐含条件的挖掘．跟踪演练3 已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积．解连接BD ，则四边形的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴S ＝16sin A ＝8 3.1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( ) A.3和 5 B ．23和2 5 C.3和15 D.5和15答案 C解析两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3答案 B解析 ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.3．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长．解如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277，由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将全部的条件集中到某个三角形之中，会使问题更简洁解决．2．我们常用正弦定理、余弦定理来解决三角形问题，但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的帮助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决．一、基础达标1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．2．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 B解析设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.4．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为．答案 65解析由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°， ∵BD 2＝392＋522＝652，∴BD ＝65.5．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝ . 答案 4 3解析 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 45° ＝(43)2＋(46)2－2×43×46·cos 45°＝48. 从而AD ＝BC ＝4 3.6．在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BD 交AC 边于点D .求证：BA BC ＝AD DC .证明如图所示，在△ABD 中，利用正弦定理，得AB AD ＝sin ∠ADBsin ∠ABD .①在△CBD 中，利用正弦定理，得BC CD ＝sin ∠BDCsin ∠DBC.②∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ，又∵∠ADB ＋∠CDB ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，由①②，得AB AD ＝BC CD ，即BA BC ＝ADDC成立. 7．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求证：BC 边上的中线MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.证明如图所示，BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，由余弦定理得 c 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a 2·cos ∠AMB .在△ACM 中，由余弦定理得 b 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a2·cos ∠AMC ， ∵cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，以上两式相加，得b 2＋c 2＝2MA 2＋a 22.即MA 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，∴MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.二、力量提升8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A ．50 m B ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 是BC 上的一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 ∵BD →＝3－12BC →，BC ＝8，∴BD ＝4(3－1)．又∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB sin 45°＝BC sin 75°，∴AB ＝sin 45°sin 75°×BC ＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos 60°＝48(3－1)2， ∴AD ＝4(3－3)．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．答案27π5解析不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5. 11．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314，∴sin ∠CAB ＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠BACsin 60°＝5.且cos ∠BAC ＝1－sin 2∠BAC ＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝25，即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)(AB －3)＝0， ∴AB ＝8或AB ＝3. 在△ABC 中，∵sin ∠BAC ＝5314<32＝sin 60°， ∴∠BAC <60°，∴∠ACB 最大，即AB 为最大边，故AB ＝3应舍去，∴AB ＝8.12．一条直线上有三点A ，B ，C ，点C 在点A 与点B 之间，P 是此直线外一点，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β.求证：sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .证明 ∵S △ABP ＝S △APC ＋S △BPC ， ∴12P A ·PB sin(α＋β) ＝12P A ·PC sin α＋12PB ·PC sin β. 两边同除以12P A ·PB ·PC ，得sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .三、探究与创新13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin(A ＋π6)；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴C ＝120°－A ，∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin(A ＋π6)＝5714.(2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24.∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。

1.2.2三角形当中的几何计算(1)

sin(A B) sin C; cos(A B) cosC; tan(A B) tan C;
(5)sin(A－B)＝0⇔A＝B；
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7)sin sin 或若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
.
[解]
证法一(角化边）：左边＝ab－－ccab22＋＋22abcccc22－－ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RR
sin sin
Hale Waihona Puke B A＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△A BC 外接圆的半径．
∴ab－－ccccooss
B A
＝ssiinn
B A
.
[针对训练 2]
人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
1.2.2三角形中的几何计算
学习目标
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论； 2．会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，余弦定理的推论计算三角形中的一些量
难点：探寻解题的思路与方法.
知识点梳理 1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
【典例 3】
(3)∵|A→B＋A→C |＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C |2＋2A→B·A→C ＝6，即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△A B C 为正三角形． ∴S△ABC＝ 43×( 2)2＝ 23.

【北师大版】高中数学必修五：第2章《解三角形》2-1-14【ppt课件】

答案：D
第二章 · §1 · 第14课时
第10页
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45分钟作业与单元评估
二合一
3．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝29° ，则此三角形解的情况是( ) A．无解 C．有两解 B．有一解 D．有无数个解
第二章 · §1 · 第14课时
第11页
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二合一
解析：sinA＝sin75° ＝sin(30° ＋45° )＝sin30° cos45° ＋sin45° cos30° ＝ 2＋ 6 ，所以B＝30° ，sinB＝ 4 .由a＝c＝ 6 ＋ 2 可知，C＝A＝75°
2＋ 6 1 1 a sinB＝ × ＝2，故选A. 2.由正弦定理得b＝sinA· 2＋ 6 2 4
第二章 · §1 · 第14课时
第5页
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基础训练作业设计
第二章 · §1 · 第14课时
第6页
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二合一
一、选择题(每小题6分，共36分) 1．在△ABC中，已知A＝75° ，B＝60° ，c＝2，则b等于( A. 2 C. 6 B. 3 8 D.3 )
第18页
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二、填空题(每小题6分，共18分) 7．在△ABC中，若b＝12，A＝30° ，B＝120° ，则a＝________.
第二章 · §1 · 第14课时
第19页
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《基本不等式》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修5(北师大版)】

OcB
随堂练习
结论：（1） 2 11 ab
ab a b 2
a2 b2 2
2 ab (a b)2
2
3 ab a2 b2
2
随堂练习
例 2 已知 x，y 都是正数，求证：
(1) y x 2 xy
(2) (x＋y)(x2＋y2 )(x3＋y3 ) 8x3 y3
证明：(1)∵x，y 都是正数，
CD AB交圆 O 上半圆于点 D ，过点 C 作
A
CE OD 交 OD 于点 E
在 RtOCD 中，由射影定理知 DC2 DE OD
即： DE DC 2 ab 2 OD a b 1 1 2 ab
由于 DC DE 得 ab 2 ，当且仅当 a b 时，等号成立 11 ab
D
E
北师大版·统编教材高中数学必修5
第三单元·不等式
基本不等式
新课学习
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。
新课学习
2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，比较 4 个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
新课学习
不等式： a2 b2 2ab ,当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形 EFGH 缩为一个点时，有 a2 b2 =2ab
新课学习
（2）总结结论：一般的，如 a,b R,那么a2 b2 2ab当且仅当a b时“=”成立
（3）推理证明：作差法。
新课学习
重要不等式：如果 a、b∈R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a＝b 时取“＝”号）
∴ x 0, y 0. y x 2 y x 2 ，即 y x 2

高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

第二十一页，共38页。
【解】设每件提高x元(0<x<10)，即每件获得利润(2＋x)元，则每天可销售(100－10x)件，每天获总利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋ 80x＋200.
∵0<x<10，∴当x＝4时，y取得最大值360元， ∴当售价定为14元时，每天所获得利润最大，为360元．要使每天所获得的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－ 6<x<4＋ 6. 故每件定价在(14－ 6)元到(14＋ 6)元之间时，能确保每天的利润在300元以上．
第十九页，共38页。
1．根据题意列出不等式是解题的关键，解完不等式后，要将结论回归到实际问题中．
2．解不等式应用题，一般可按以下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回扣实际问题．
第二十页，共38页。
阶
阶
段
段
(j
(j
iē
iē
d
d
u
u
à
à
n)
n)
一
2.2 一元二次不等式的应用
三
阶
段 (j iē d u à
学业分层测评
n)
二
第一页，共38页。
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点) 2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
第二页，共38页。
[基础·初探]
第七页，共38页。
(1)设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则f(x)的图像与x轴交点的个数为________． (2)(x＋1)(x－2)(x－3)＞0的解集为________．

高中数学第2章解三角形22三角形中的几何计算课件北师大版必修5

第2页
1．与传统的三角形面积的计算方法相比，用两边及其夹角正弦值之积的一半求三角形的面积有什么优势？
第3页
答：主要优势是不必计算三角形的高，只要知道三角形的 “基本量”就可以求其面积．
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2．求三角形面积的常用公式．答：(1)S＝21aha(a 为 BC 的边长，ha 为 BC 边上的高)． (2)S＝a4bRc(R 是三角形外接圆的半径)． (3)S＝2R2sinAsinBsinC(R 是三角形外接圆的半径)．
第8页
【解析】 ∵tanB＝12，∴0<B<π2 .
∴sinB＝
55，cosB＝2 5
5 .
又∵tanC＝－2，∴π2 <C<π.
∴sinC＝2
5 5，cosC＝－
5 5.
第9页
则 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝ 55×(－ 55)＋255×255＝35.
∵sinaA＝sibnB，∴a＝bssiinnBA＝
∴S＝12absinC＝2
3 3.
第15页
题型二正、余弦定理的综合问题与方程思想例 2 在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，AB＝ 14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求 BC 的长．
第16页
【思路分析】欲求 BC，在△BCD 中，已知∠BCD，∠BDC 可求，故需再知一条边；而已知∠BDA 和 AB，AD，故可在△ABD 中，用正弦定理或余弦定理求得 BD.这样在△BCD 中，由正弦定理可求 BC.
第31页
2．等腰三角形的周长为 8，底边为 2，则底角的余弦值等于
()
2 A. 4
B．2 2
1

高中数学第二章解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件北师大版必修5

∴本题有一解.
∵sin B=
sin

=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.

当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.

由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为