高等数学分段函数积分
高等数学知识点归纳
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
5
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
x0
x
x0 x
(2)左右导:
高等数学微积分笔记
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限: A y n n =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学中有关分段函数分界点问题的探讨
高等数学中有关分段函数分界点问题的探讨作者：夏云来源：《考试周刊》2013年第78期摘要：分段函数是一元函数微积分学中的一类重要函数，本文通过具体的实例分析探讨了关于分段函数的分界点在极限、连续性、可微性（可导性），以及复合函数等方面的问题，帮助学生提高有关分段函数应用的解题技巧.关键词：分段函数分界点可微性（可导性）复合函数注：判断分段函数在分界点处的连续性，应先判断其在分界点处的极限是否存在，若极限不存在，则函数在该点不连续；若极限存在，则要进一步判断极限值是否等于该点的函数值，若相等，则函数在该点连续，否则函数在该点间断.三、分界点处的可微性由于分段函数是一元函数，而一元函数可导与可微是等价的.因此判断分段函数在分段点处的可微性只需判断分段函数在分段点处是否可导即可，那么，如何判断分段函数在分段点处的可导性呢？注：由上例可以看出判定分段函数在分界点处的可导性或可微性通常有两种方法：（1）用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分界点处的导数是否存在；用这种方法解决问题比较准确，并且导数的定义式——极限的存在性，不需讨论或验证一些前提条件，是首选的好办法.因此，在解这类题目的时候，特别是初学时，用这种方法比较合适；（2）可以借助可导与连续的关系来讨论，但此方法只能判别函数在该点处不可导，有一定的局限性.四、两个分段函数的复合函数注：将两个分段函数复合时，复合函数[g（x）]的定义域取决于g（x）的取值情况.以上主要对一元函数中分段函数的极限、连续、可微（可导）、复合函数等问题进行了简单的讨论，其实在多元函数的微积分学中，这些问题也会经常遇到，可见分段函数在高等数学教学中的作用是一般函数难以替代的.因此学习时必须掌握分段函数的特点，同时理解极限、连续、可微（可导）、复合函数的定义，从研究对象的定义入手，简化分段函数在微积分学中的应用问题.参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.[2]陈刚.关于高等数学中极限思想的研究[J].工科数学，2001.。
分段函数的函数列
分段函数的函数列随着数学的不断发展，分段函数的概念逐渐受到越来越多的关注。
分段函数是指由两个或多个不同公式组成的函数，其中每一个公式只在特定的区间内有效。
在实际应用中，分段函数的使用非常广泛，例如物理学、工程学等领域。
分段函数可以表示成一个函数列。
一个函数列是指由一系列函数组成的序列。
每一个函数都可以表示成一条直线、二次函数、指数函数等，这些函数的性质都不同。
函数列的求和主要依赖于每一个函数的性质及定义域。
在介绍函数列的具体求和方法前，有必要先了解一下分段函数的定义和性质。
以一个简单的例子来说明，定义函数f(x)如下：f(x)=$x^2-1$ (x<0)$2x+3$ (x≥0)在绘制这个函数的图像时，需要将其分为两段。
当x小于0时，函数f(x)取的是$x^2-1$这个公式，对应的是一个以原点为顶点向下开口的二次函数。
而当x大于或等于0时，函数f(x)取的是$2x+3$这个公式，对应的是一个斜率为2的一次函数。
接下来我们将具体讨论这个分段函数对应的函数列。
为方便起见，我们将原函数分段，构造函数列。
即$u_n(x)=\begin{cases}x^2-1 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x+3 \qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\ \end{cases}$可以看出，这个函数列有无穷个函数，每一个函数都是由两个公式组成的。
在这个例子中，两个公式代表了不同的函数，分别在不同的区间内有效。
按照函数列的定义，每一个函数u_n(x)都可以被表示成一条直线、二次函数、指数函数等形式。
可得：$u_n(x)=\begin{cases}x^2-1 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x+3 \qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\ \end{cases} \rightarrowu_n(x)=\begin{cases}x^2 \qquad(x\in(-\infty,-\frac{1}{n}])\\2x\qquad(x\in(-\frac{1}{n},+\infty))\\-1 \qquad(x=\frac{-1}{n})\\\end{cases}$在这个函数列中，每个函数都是样式相同的，它们常数项不同、线性项系数不同、二次项系数不同。
分段函数的若干问题研究
本科生毕业论文题目分段函数的若干问题研究系别数学与应用数学班级112班姓名张伟学号104131231答辩时间2015年5月新疆农业大学数理学院目录摘要 (1)1 分段函数的基本定义 (2)1.1 基本定义 (2)1.2 定义域、值域 (3)1.3 性质 (3)1.3.1 分段函数的单调性 (3)1.3.2 分段函数奇偶性的判断 (4)1.3.3 分段函数周期性的判断 (4)1.4 分段函数的特点 (5)2 分段函数连续性、可导性和可积性 (5)2.1 分段函数连续性 (5)2.2 分段函数在分段点处的可导性 (6)2.2.1 基本定理 (6)2.2.2 导数的计算方法 (7)2.3分段函数的可积性 (9)2.3.1可积性与原函数的存在性 (9)2.3.2 不定积分的求法 (10)2.3.3定积分的例子 (11)3 其他计算问题 (13)3.1幂级数 (13)3.2微分方程 (15)3.3 二元分段函数连续性问题 (15)4 结论 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)分段函数的若干问题研究张伟指导教师：程霄摘要：函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
在自然科学与工程技术中，经常会遇到分段函数。
本文从分段函数的基本性质入手，分析了分段函数的特点。
进而重点总结了分段函数在分段点外的连续性，可导性，可积性等重要性质与计算方法。
同时，还探讨了的分段函数的其它若干计算问题。
关键词：分段函数；连续性：可导性；积分运算函数是高等数学的一个重要内容，而分段函数又是函数中的一个难点。
一般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，并不对分段函数进行严格地定。
对其特征、性质等都没有作出任何说明;并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指出。
正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。
因此，应适当地加强分段函数的讨论，在相关知识中融人分段函数的内容，并给出较详细的说明。
3.1 分段函数的定义
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第三讲 分段函数
3.1 分段函数的定义 3.2 常用的分段函数 3.3 应用丼例
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3.1 分段函数的定义
回顾：函数的表示法主要有三种, 即 表格法、图像法、解析法.
在用解析法表示一个函数时, 有时表示方法是不唯一的.
比如, 函数 y x2 可以表示为 y x
x, x 0, 还可以表为 y x, x 0.
定义 若函数 f(x) 在其定义域内不用统一的一个数学表达
式给出, 即在其定义域的不同子区间内或点处可以用不同的
表达式表示, 则称 f(x) 是一个分段函数.
分段函数的定义域是所有不相交的子区间的并集. 相邻两
个子区间的公共端点称为分段函数的分界点.
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问题 分段函数的分界点一定在其定义域中吗？ 为什么？
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0, x 328,
y 5000, x 328.
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再比如, 快递物件时所付的邮资与快递物件重量的函数关 系及个人所得税的纳税额与个人收入乊间的函数关系都不 能用统一的一个数学表达式给出. 这种函数就是所谓的分段 函数, 它将是高等数学的主要研究对象乊一.
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第三讲 分段函数
分段函数在实际问题中随处可见.
问题: 某商场丼办有奖购物活动, 每购100元商品得到一张
奖券, 每1000张奖券为一组, 编号为1-1000号, 其中只有一张
中特等奖, 特等奖金额5000元, 开奖时, 中特等奖的号码为
328号, 那么一张奖券所得特等奖奖金 y 元与奖券的编号 x
号的函数关系为
y
y x
专题辅导2 一元分段函数的极限、连续、导数与积分
ln(1 + x) ,x >0 x = h( x) = 0, x 0 1 + x − 1 − x , −1 ≤ x < 0 x
2.含有绝对值符号的函数 含有绝对值符号的函数应当先去掉绝对值符号，将其写成分段函数表示，然后再进行讨论. 如 f (= x) x | x( x − = 1) |
选（D） [小结] （1） 判断分段函数在分段点处是否连续， 应当先判断其在分段点处的极限存在与否， 若极限不存在，则函数在该点间断. 尤其值得注意的是当函数在分段点的极限存在时，还要 进一步考察极限值是否等于该点的函数值，仅当极限等于函数值时，函数才在该点连续. （2）当题目要求我们研究分段函数的连续性（并未指明仅仅是研究分段点的连续性）时， 我们不仅要研究其在分段点处的连续性，还要研究其在定义域内其他所有点的连续性.
专题辅导 2
一元分段函数的极限、连续、导数与积分
一元函数微积分学中，关于分段函数性质的研究是一个重要问题.本讲将对常见的分段 函数表示法、分段函数的极限、连续、导数与积分等问题进行研究. 许多分段函数不是初等函数，而那些是初等函数的分段函数我们也把它们“当作”非初 等函数对待，所以，高等数学中许多关于初等函数的理论、方法不能运用于分段函数，而要 对它们单独进行讨论.下面我们将对分段函数的极限、连续、导数、积分问题进行讨论.
x −1 , x ≠ 0 ，求 f −′(0) 及 f +′(0) , 又问 f ′(0) 是否存在？ 例 2.7 设函数 f ( x) = 1 + e x 0, x = 0
解 因为当 x → 0− 时 e x → 0 ；当 x → 0+ 时 e x → +∞ ，
−1 −1
分段函数面积公式
分段函数面积公式摘要：1.分段函数的概念及意义2.分段函数面积公式的推导3.分段函数面积计算实例4.应用分段函数面积公式解决实际问题5.总结与拓展正文：一、分段函数的概念及意义分段函数是指在一个定义域内，根据自变量的取值范围，将函数分为若干个部分，每个部分有一个对应的解析式。
分段函数能够更好地描述实际问题中复杂的函数关系，具有较强的可读性和实用性。
二、分段函数面积公式的推导分段函数的面积可以看作是由若干个简单函数的面积之和。
对于一个分段函数f(x)，在区间[a, b]上的面积可以表示为：S = ∫[a, b] f(x) dx当f(x)在[a, b]上连续时，上式成立。
在不连续点，我们需要根据f(x)的左右极限进行拆分，并在每个区间上求面积。
三、分段函数面积计算实例假设有一个分段函数f(x) = {x^2，x∈[0，1]；2x+1，x∈[1，2]。
我们可以通过以下步骤计算该函数在区间[0, 2]上的面积：1.计算在区间[0, 1]上的面积：S1 = ∫[0, 1] x^2 dx = 1/32.计算在区间[1, 2]上的面积：S2 = ∫[1, 2] (2x+1) dx = 33.将两个面积相加，得到分段函数在区间[0, 2]上的总面积：S = S1 + S2 = 1/3 + 3 = 10/3四、应用分段函数面积公式解决实际问题分段函数面积公式可以帮助我们解决一些实际问题，例如计算曲线与坐标轴所围成的面积、计算工业生产过程中的产量等。
通过求解分段函数的面积，我们可以更好地了解实际问题的变化规律，为决策提供依据。
五、总结与拓展分段函数面积公式是高等数学中一个重要的应用，掌握其计算方法能够帮助我们解决实际问题。
在学习过程中，要注意理解分段函数的概念，熟练掌握分段函数面积公式的推导和计算方法，并学会将理论知识应用于实际问题。
实例分析分段函数的微积分典型问题
实例分析分段函数的微积分典型问题在高等数学的学习过程中，分段函数作为函数中特殊的一类，对其理解和接受都存在一定难度，同时也是高等数学教学中的重点和难点。
为了突破这一难点，就要掌握分段函数在分界点处的各种性质，进而利用微积分计算等方法进行求解。
1 分段函数和微积分分段函数是指在不同的定义域区间具备不同解析式的函数，即不能用同一解析式进行表达的函数。
归根结底，分段函数也是一个函数，其图像也是唯一的。
而分段函数在分界点的性质变化正是其难点所在，也是其本身特殊性所在，因此为了研究分段函数，首要的研究目标就是分段函数的分界点，而微积分在高等数学中也占据着重要的地位，是研究函数有关概念和性质的数学分支，能够使得分段函数中分界点的相关计算有据可依。
两者的互相补充为高等数学的解题带来了便捷。
2 分段函数微积分问题归类与分析2.1 一元分段函数微积分2.1.1 对一元分段函数在分界点处的极限判断对于一元函数分界点处极限的判断，主要是依据分段函数的表达形式。
若函数表达形式在分界点的左右不同，就可以依据分段函数在分界点处左右极限来判断，当极限存在且相等时，该点存在极限；若不存在或者两者不相等时，则该点不存在极限。
若分界点左右的函数表达方式相同，就可直接运用计算极限的常用方法将极限计算出来。
举例说明：例1：已知函数=，求（1）；（2）。
解析：由分段函数表达式可知，x=1为该分段函数的分界点，当x<1和x>1时，所对应的解析式也不同。
所以针对（1）问，应该讨论当x趋近于1时的左右极限。
因此x时，x<1，此时；而当x时，x>1，此时，因此则有函数的左极限与右极限相等，即=1，因此=1，进而得到。
2.1.2 对一元函数在分界点处的连续性判断函数在某一点具有连续性的充要条件是函数在该点同时满足左连续和右连续。
高等数学中也正是依据这个条件来判断分段函数中分界点处的函数连续性。
其具体解决步骤为：第一步，利用左右连续的定义进行分界点左右连续情况的判断；第二步，根据结果进行判断，当左右都连续则证明该分界点连续，若其中有一个不连续或者左右极限不存在或者函数在该分界点不存在定义，即可判断该点不连续。
关于分段函数定积分的计算
0
0
ln2
ln7
2
Q Q [ ex ] dx + [ ex ] dx =
ln6
ln7
ln2
ln3
ln7
2
Q Q Q Q 1dx + 2dx + ,+ 6dx + 7dx =
0
ln2
ln6
ln7
14 - ln7! .
2. 2 分段有界有无限个间断点函数的情况
E Q n
2kP+
P 2
cosx
k= 0 2kP
f ( x) =
, ,, ,, ,, ,, ,,
f n( x),
x n- 1 [ x [ x n = b,
而 F( x ) 是 f ( x ) 任一原函数, F( x ) 为连续函数, 且
F1( x), a = x 0 [ x < x1,
F2( x), x1 [ x < x2 ,
F( x) =
, ,, ,, ,, ,, ,,
sinx - 1,
- 1 [ x [ 0, 0 < x [ 1.
解 因为 f ( x ) 在[ - 1, 1] 上有界且只有一个
间断点, 由定理 4 及定积分的性质, 有
1
0
1
Q Q Q f ( x ) dx = x dx + ( sinx - 1) dx =
-1
-1
0
x2 2
0
+ (-
-1
cosx -
Keywords: def init e int egral, piecew ise cont inuous f unct io n, piecew ise bounded funct io n
分段函数在高等数学中的地位与作用
分段函数在高等数学中的地位与作用
分段函数从数学角度来看，是一种在有限个区间内连续变化而每个区间内具有不同的函数表达式的函数。
这种函数的定义域是一个有限的子集，而不是整个实数轴。
分段函数的地位和作用在高等数学中非常重要。
首先，它可以用来描述复杂的函数表达式，通过将函数拆分成若干个简单的表达式，可以使复杂的数学问题变得简单易懂。
其次，它可以用来表达离散的函数，例如，阶跃函数可以用分段函数来表达。
此外，分段函数也可以用来表示抛物线函数，例如，二次函数可以用三段分段函数表示。
此外，分段函数还可以用来描述复杂的物理过程，例如，电势可以通过分段函数来描述。
另外，分段函数还可以用来求取积分，例如，分段函数的积分可以用梯形法求出。
最后，分段函数也可以用来解方程，例如，分段函数方程可以用二分法求解。
总之，分段函数在高等数学中有着重要的地位和作用，它可以用来描述复杂的函数表达式，表达离散的函数，表示抛物线函数，描述复杂的物理过程，求取积分，解方程等。
分段函数的研究和研究对我们了解数学，理解数学问题，解决数学问题都有重要的意义。
高等数学的记忆口诀
高等数学的记忆口诀高数定理、公式、规律有很多需要记忆，多而杂很容易忘记，但是若通过口诀来背，好记也不容易忘。
下面由店铺给你带来关于高等数学的记忆口诀，希望对你有帮助!高等数学的记忆口诀口诀1函数概念五要素，定义关系最核心。
▶口诀2分段函数分段点，左右运算要先行。
▶口诀3变限积分是函数，遇到之后先求导。
▶口诀4奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。
▶口诀5单调增加与减少，先算导数正与负。
▶口诀6正反函数连续用，最后只留原变量。
▶口诀7一步不行接力棒，最终处理见分晓。
▶口诀8极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。
▶口诀9幂指函数最复杂，指数对数一起上。
▶口诀10待定极限七类型，分层处理洛必达。
▶口诀11数列极限洛必达，必须转化连续型。
▶口诀12数列极限逢绝境，转化积分见光明。
▶口诀13无穷大比无穷大，最高阶项除上下。
▶口诀14n项相加先合并，不行估计上下界。
▶口诀15变量替换第一宝，由繁化简常找它。
▶口诀16递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。
▶口诀17函数为零要论证，介值定理定乾坤。
▶口诀18切线斜率是导数，法线斜率负倒数。
▶口诀19可导可微互等价，它们都比连续强。
▶口诀20有理函数要运算，最简分式要先行。
▶口诀21高次三角要运算，降次处理先开路。
▶口诀22导数为零欲论证，罗尔定理负重任。
▶口诀23函数之差化导数，拉氏定理显神通。
▶口诀24导数函数合(组合)为零，辅助函数用罗尔。
▶口诀25寻找ξη无约束，柯西拉氏先后上。
▶口诀26寻找ξη有约束，两个区间用拉氏。
▶口诀27端点、驻点、非导点，函数值中定最值。
▶口诀28凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。
▶口诀29数字不等式难证，函数不等式先行。
▶口诀30第一换元经常用，微分公式要背透。
▶口诀31第二换元去根号，规范模式可依靠。
▶口诀32分部积分难变易，弄清u、v是关键。
▶口诀33变限积分双变量，先求偏导后求导。
▶口诀34定积分化重积分，广阔天地有作为。
分段函数在微积分中的应用
%
－ １２
ρ
ρ →０ ｙ＝ｋｘ
ｘ２ｙ２ ＝ｌｉｍ ｘ２ｙ２ ＝ｌｉｍ ｋ２ｘ４ ２ ２ ２ ４ ２ ２ →０ （ｘ ＋ｙ ） ｘ→０ ｘ （１＋ｋ ） （ｘ２＋ｙ２）２ ρ
ｙ＝ｋｘ
－ ６４ ｘ
ｘ ｅ （－ ２３ ） ｘ
２
ｅ
ｘ
２
ｘ→０
１
３ ＝ｌｉｍ ｘ１ ＝ｌｉｍ
ｘ→０
３ ｘ２
１ ｘ ｅ （－ ２３ ） ｘ
因 ０≤ 讨论二远函数在分界点处是否可偏导时 ， 应该根据偏导数的定义 判别 ， 而不能直接对分界点所对应的函数值关于 ｘ，ｙ 求导 ， 否则可能导 致错误。同时应该注意 ， 二元函数连续、 可偏导是可微的必要条件。 例４ 设 ｆ（ｘ，ｙ）＝ （ｘ２＋ｙ２） ２
ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ｘ２＝０ ， ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ （－ ｘ）＝０ ；
２ ｆ＇ ＋（０）＝ｌｉｍ ｘ ＝０，ｆ＇ ＝（０）＝ｌｉｍ － ｘ ＝－ １， 故左右导数存在但不等 ， 从而不 ｘ ｘ→０ ｘ ｘ→０
＋ －＋
如果一个函数存在间断点 ， 那么此函数在其间断点所在的区间上 就不一定存 在 原 函 数 ， 所 以 在 求 分 段 函 数 的 不 定 积 分 时 ， 一 定 要 注 意 考虑间断点处的情况。 例５ 设 ｆ（ｘ）＝ ｘ＋１，０≤ｘ≤１ 求
再证 ｆ（ｘ）在任何非零点 ｘ０ 均不连续。分别取有理数 ｛ｒｎ｝收敛于 ｘ０， 再取无理数 ｛ａｎ｝收敛于 ｘ０。则 ｌｉｍ ｆ（ｒｎ）＝ｌｉｍ ｒｎ（１－ ｒｎ）＝ｘ０（１－ ｘ０）， ｌｉｍ ｆ（ａｎ）＝ｌｉｍ ａｎ（１＋ａｎ）＝ｘ０（１＋ｘ０），
ｎ→∞ ｎ→∞ ｎ→∞ ｎ→∞
一、 分段函数的连续性、 可微性
分段函数极限运算的误区分析及策略探讨——以分段函数分段点为例
2018.NO2429摘 要:本文以具体习题为例，对125名学生的解题思路进行探析，将学生在运算过程中出现的误区大致归为三类:函数概念混淆、符号意识欠缺、数学语言使用不当，并分别针对三个误区提出相应策略。
关键词:分段函数 极限运算 分段点 误区 策略一、问题提出极限作为高等数学教学中非常重要的概念，是微积分的灵魂，也是运用微积分解决问题贯穿始终的基本方法。
高等数学的主要研究对象是函数，而分段函数作为一类特殊且重要的函数，也是高等数学教学中不可忽略的重难点之一。
分段函数可以理解为在定义域的不同部分有不同对应法则的函数，是一类非初等函数[1]，它在其分段点处的极限、导数、积分等运算对学习高等数学有举足轻重的作用。
但是通过对学生在分段函数相关问题的表现来看，学生往往在讨论分段函数的性质时会容易出错，尤其是在分段点处的性质学生常因思路不清造成错误。
因此，对分段函数分段点处的极限运算进行研究非常必要。
本研究通过分析学生在分段函数分段点处极限运算的表现，收集学生在此问题上的常见误区，并对误区类型进行归类探析，旨在探索出关于分段函数分段点极限运算的教学建议，为学生的数学学习及教师的数学教学提供参考，以促进学生数学能力的更好提升。
二、研究设计本研究主要针对分段函数分段点处极限运算的思路和方法进行归纳讨论，主要采用统计分析法，根据笔者授课的三个班级中125名学生对习题(下文简称习题*)解答过程进行微观分析，找出学生在分段函数极限运算过程(特别是分段点)中存在的问题，使教师和学生们对于分段函数性质的讨论有更深刻的认识。
习题如下:三、研究结果(一)解题数据通过对习题*的解题结果进行统计分析，得出如下研究结果:(二)正确解答参考在上述解题数据的支撑下，以下针对正确率较低的问题(2)，即在分段函数分段点处的极限运算问题，对学生解答过程中所反应的问题进行误区类型归类，以期对学生的数学学习及教师教学提供切实帮助。
误区类型1:函数概念混淆型。
高等数学分段函数教学设计
高等数学分段函数教学设计引言:分段函数是高等数学中一种重要的函数类型，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过教学设计和实施，可以帮助学生理解分段函数的概念、性质和应用，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
本文将介绍一个针对高等数学分段函数的教学设计，旨在帮助学生全面掌握分段函数的知识和技能。
一、教学目标1. 理解分段函数的概念和性质；2. 掌握分段函数的基本图像和特点；3. 能够应用分段函数解决实际问题；4. 培养学生的数学思维能力和创新意识。
二、教学内容与方法1. 教学内容：(1) 分段函数的定义和表示方法；(2) 分段函数的性质和特点；(3) 分段函数的图像和应用。
2. 教学方法：(1) 归纳法：通过举例和归纳总结的方式引入分段函数的概念。
(2) 比较法：将分段函数与其他类型的函数进行比较，帮助学生理解分段函数的特点。
(3) 图像展示法：通过图像展示分段函数的图像，让学生直观地了解分段函数的性质。
(4) 解决问题法：引导学生通过实际问题解决过程中的分段函数的应用，培养他们的问题解决能力。
三、教学步骤1. 引入分段函数的概念：通过一个具体的例子，比如温度和时间的关系，引导学生思考函数在不同区间内的定义及其图像、性质的变化。
2. 分析分段函数的性质和特点：通过比较线性函数、二次函数等其他类型的函数，帮助学生理解分段函数的定义和特点。
3. 展示分段函数的图像：通过计算和图像展示一些常见的分段函数，让学生直观地了解分段函数的图像和性质。
4. 应用分段函数解决实际问题：选择一些实际问题，比如货车运输费用和距离的关系，引导学生应用分段函数解决问题，培养他们的问题解决能力。
5. 练习与巩固：设计一些练习题，包括计算题和应用题，让学生巩固所学的知识和技能。
四、教学评价与反思1. 教学评价方式：(1) 学生作业：评价学生对分段函数知识的理解和掌握程度。
(2) 课堂讨论：评价学生参与教学活动的积极性和深度思考能力。
高等数学-一-微积分-考试必过归纳总结-要点重点
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续〔包括级数〕 第二部分 导数及其应用〔包括多元函数〕第三部分 积分计算及其应用 〔包括二重积分和方程〕第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、 极限与连续 常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数___________.知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
定积分的分段函数法
定积分的分段函数法定积分是高等数学的一个重要分支，其作用广泛，可以用于求曲线下面的面积、质心、转动惯量等问题。
本文主要介绍定积分中的分段函数法，着重讲解如何利用分段函数法求解复杂问题。
1. 分段函数的定义分段函数指的是在自变量的定义域内，函数值由不同的公式或分支组成的函数。
通常情况下，我们用一条垂直于x轴的直线把自变量的定义域分成若干段，每一段内采用不同的函数公式。
假设f(x)在[a,b]区间内是一个分段函数，可以表示为f(x) = {f1(x) (x∈[a,x1)){f2(x) (x∈[x1,x2))...{fn(x) (x∈[xn,b])其中，[a,x1)，[x1,x2)，...,[xn,b] 是定义区间，f1(x), f2(x),...,fn(x) 是在对应的定义区间上定义的函数公式。
2. 分段函数法求解定积分在计算定积分时，当被积函数为分段函数时，就可以采用分段函数法对其进行求解。
我们以一个简单的例子来说明如何使用分段函数法求解定积分。
例：计算 $\int_0^2 |x-1|dx$由于|x-1|在不同的定义区间上取值不同，在[0,1] 和 [1,2]两个区间内，可以分别采用不同的函数公式进行计算。
因为在[0,1] 区间上，$|x-1|=1-x$，在[1,2] 区间上$|x-1|=x-1$，因此可以得到$\int_0^2 |x-1|dx = \int_0^1 (1-x)dx +\int_1^2 (x-1)dx$化简得到$\int_0^2 |x-1|dx=\int_0^1 dx-\int_0^1 xdx+\int_1^2 xdx -\int_1^2 dx$简化后得到$\int_0^2 |x-1|dx= [\frac{1}{2}x^2-x]_0^1 +[\frac{1}{2}x^2-x]_1^2$计算得到$\int_0^2 |x-1|dx=1$3. 复杂问题的分段函数法解法在实际问题中，被积函数往往比较复杂，可能包含多个分支和多个定义区间。
关于《高等数学》中分段函数性质的教学探讨
关于《高等数学》中分段函数性质的教学探讨
李嘉
【期刊名称】《西南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)010
【摘要】Aiming at the problems which the students encounter in the discussion of the piecewise-defined functions ,the methods for how to discuss the continuity ,derivatives and integration have been given , w hich enable the students to have a better understanding on these problems and relative theorems .%针对学生在讨论分段函数的连续性、导数、积分等性质时容易产生的问题，结合实例分别对其进行了归纳总结，使学生对这些问题及相关定理有更深刻的认识。
【总页数】4页(P162-165)
【作者】李嘉
【作者单位】西南大学数学与统计学院，重庆400715
【正文语种】中文
【中图分类】G420
【相关文献】
1.一个分段函数性质的探讨 [J], 吕端良
2.关于分段函数在分段点处导数的教学探讨 [J], 李杰红
3.分段函数定积分解法在高等数学一题多解中的应用 [J], 许永鑫
4.“自动控制原理”课程的传递函数性质部分教学探讨 [J], 王家林;尹洋;杨宣访;
5.分段函数中函数性质及其图象变换的探究 [J],
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2 2
max{ 1, x } d x 2
max{ 1, x } d x
2
1d x 2 x2 d x 2 1 0 2 3 2 20 1 ． 2x 0 x 1 3 3
相关例题3
设 f x 是连续的单调减少函数，
F x
不会利用换元法简化被积函数，产生运算
错误．
方法总结
先通过换元简化被积函数，再利用积分区间
的可加性求得定积分的值．
相关例题1
设 f x min sin x , cos x ，求
0
f x d x
．
解答：
由于
sin x , f x cos x ,
其中 在 0 与 x 之间．
相关例题3
当 x 0 时， x ，故 f x f ，于是
F x 0
；
当 x 0 时， x ，故 f x f ，于是
F x 0
．
又 F x 为连续函数，因此由单调性判别法 知， F x 在 , 上单调减少．
题
目
设
1 , 1 x f x 1 , 1 e x x 0, x 0 ,
求
2 0
f x 1 d x
．
解题方法1
先通过换元简化被积函数，再利用积分区间
的可加性求得定积分的值．
解题步骤1
令 u x 1 ，则
2 0
f x 1 d x
x x x
x x x
f t d t f t d t
，
相关例题4
由于 f x 可积，故 f x 在 a , b 上有界，设
f x M
，则有
x x x
f t d t M x
．
于是当 x 0 时，
x x x 0 ，
2 t x f t d t ，
0
x
证明 F x 也是单调减少函数．
解答：
x d x F x 2 tf t d t x f t d t 0 dx 0
xf x
x 0
f t d t
x f x f ，
1 1
0 1f u d u1 源自 eudu
1 0
1 1 u
du
1
0 1
u e 1 u 1 e
du
0 1
1 1 u
1
du
0
u ln 1 e
ln 1 e ．
u
ln 1 u 0
常见错误
0 x
4
,
4
故
x ,
0
f x d x
4 0
f x d x
f x d x
4
4
sin x d x
0
cos x d x
1
2
．
4
相关例题2
求
2 2
max 1, x
2
d x ．
解答：
由于
1, x 1 , f x 为一偶函数，故 2 x , x 1
故 x 在 a , b 上连续．
相关例题4
设 f x 在 a , b 上可积， x 又
x a
f t d t
，
证明 x 是 a , b 上的连续函数．
解答：
x a , b ，设 x
取得增量 x ， x x 仍
在 a , b 内，则有
x x x