递归和递推的区别 - 360文档中心

算法总结之递推与递归

算法总结之递推与递归递推算法递归算法⼤致包括两⽅⾯的内容：1）递归起点； 2）递归关系递推起点递归起点⼀般由题⽬或者实际情况确定，不由递归关系推出。

如果⽆法确定递归起点，那么递归算法就⽆法实现。

可见，递归起点是递归算法中的重要⼀笔。

递推关系递归关系是递归算法的核⼼。

常见的递归关系有以下⼏项：1）⼀阶递推；2）多阶递推；3）间接递推；4）逆向递推；5）多维递推。

下⾯通过栗⼦来详细介绍⼀下上述类别的递推关系。

1. ⼀阶递推在计算f(i)时，只⽤到前⾯项中的⼀项，如等差数列。

公差为3的等差数列，其递推关系为：f(i)=f(i-1)+3eg. 平⾯上10条直线最多能把平⾯分成⼏部分？分析：以直线数⽬为递推变量，假定i条直线把平⾯最多分成f(i)部分，则f(i-1)表⽰i-1条直线把平⾯分成的最多部分。

在i-1条直线的平⾯上增加直线i，易得i与平⾯上已经存在了的i-1条直线最多各有⼀个交点，即直线i最多被分成i段，⽽这i段将会依次将平⾯⼀分为⼆，即直线i将最多使平⾯多增加i部分。

所以，递推关系可表⽰为：f(i)=f(i-1)+i易得当0条直线时，平⾯为1部分。

所以f(0)=1为递推起点。

上述分析可⽤下⾯代码表⽰（c++）：#define MAX 100int f[MAX] //存放f（i）int lines(int n){//输⼊n为直线数⽬//输出最多部分数int i;f(0)=1;for(i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+3;}return f[i];}2. 多阶递推在计算f(i)时，要⽤到前⾯计算过的多项，如Fibonacci数列。

eg.求Fibonacci的第10项。

分析：总所周知，Fibonacci数列中的第n项等于第n-1项加上n-2项。

所以递推关系为f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。

C++代码如下：#define MAX 100int f[MAX];int fib(int n){//输⼊n为项数//输出第n个fib数int i;f[0]=0;f[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}return f[n]}3. 间接递推在计算f[i]时需要中间量，⽽计算中间量要⽤到之前计算过的项。

递推与递归

｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝
｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝
｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝
递归的应用举例
考虑一般情况，对于任意的含有n个元素 1、数据元素可以用抽象的公式表示
再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，s(n,k)=1。
a ，a ，……，a 的集合s，放入k个无标号的【讨论1】平面分割问题
{1,2,3,4,5}的情况：
{1},{2},{3},{4},{5},{1,3},{1,4},{1,5},
{2,4},{2,5},{3,5},{1,3,5}
－－－＞f(5)
递推
f(1)=12=1 f(2)=12+22=5 f(3)=f(2)+f(1)*32+32=23 f(4)=f(3)+f(2)*42+42=119 ……… f(n)=f(n-1)+f(n-2)*n2+n2
递推
begin readln(n,m,x,y); fillchar(f,sizeof(f),0); fillchar(g,sizeof(g),true); g[x,y]:=false; for i:=1 to 8 do g[x+dx[i],y+dy[i]]:=false;
递推
if g[0,0] then f[0,0]:=1; for i:=1 to m do
{ g[i,j] = 1 } { j>0，g[0,j] = 0 } { i>0，g[i,0] = 0 } { i>0，j>0，g[i,j] = 0 }
递推
program ex2; const
maxn=20; maxm=20; dx:array[1..8] of integer=(2,1,-1,-2,-2,-1, 1, 2); dy:array[1..8] of integer=(1,2, 2, 1,-1,-2,-2,-1); var f:array[0..maxn,0..maxm] of int64; g:array[-2..maxn+2,-2..maxm+2] of boolean; n,m,x,y:integer; i,j:integer;

数列的递推与递归关系知识点总结

数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。

本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。

数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。

线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。

通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。

非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。

通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。

数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。

递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。

三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。

递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。

实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。

通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。

在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。

解读小学数学中的递推与递归关系

解读小学数学中的递推与递归关系递推与递归是小学数学中的重要概念，它们在数学问题的解决中起着关键的作用。

递推是一种通过给出初始条件和递推关系来确定数列或者数值序列中后续项的方法，而递归则是一种通过函数调用自身来解决问题的方法。

在本文中，我们将解读小学数学中的递推与递归关系，并探讨其在数学学习中的应用。

首先，我们来了解递推关系。

递推关系是指一个数列或者数值序列中的后一项与前面一项之间存在的特定关系。

通过递推关系，我们可以通过已知的初始条件来确定数列或者数值序列中的任意一项。

例如，在计算等差数列的任意一项时，我们可以利用递推关系an = a1 + (n-1)d 来计算。

其中an表示第n个项，a1表示第一个项，d表示公差。

通过递推关系，我们可以轻松地计算出等差数列中的任意一项，从而解决各种问题。

在小学数学中，递推关系经常出现在各种数学题目中，例如数列、图形的生成等。

通过观察数列或者图形的规律，我们可以总结出递推关系，并利用递推关系来解决问题。

例如，有一道经典的数学题目：有一只兔子，从第三个月开始每个月都会生一对小兔子，新生的小兔子在第一个月不会生育，从第二个月开始每个月也会生一对小兔子。

问经过n个月后，一共有多少对兔子？通过观察，我们可以得出递推关系Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示经过n个月后兔子的总数。

利用递推关系，我们可以轻松地计算出经过任意月份后兔子的总数。

接下来，我们来了解递归关系。

递归是指一个函数在执行过程中调用自身来解决问题的方法。

通过递归，我们可以将一个大型复杂的问题分解成一个个相同或类似的子问题，并通过解决子问题来解决整个问题。

递归在解决问题中具有很强的灵活性和高效性，在小学数学中也有着广泛的应用。

在小学数学中，递归关系经常出现在各种数学题目中，例如阶乘、斐波那契数列等。

阶乘是指一个数与除了它自身以外的所有正整数的积，表示为n!。

通过递归关系n! = n * (n-1)!，我们可以轻松地计算出任意正整数的阶乘。

递推法和递归法的区别

递推法和递归法的区别递推法和递归法是程序设计中常用的两种方法，它们都可以用来解决类似于数据处理、计算等问题。

虽然两种方法都可以实现同样的功能，但是它们的实现方式和运行机制却存在很大的不同。

本文将详细探讨递推法和递归法的区别。

一、概念解释递推法（Recursion）是指利用已知条件和递推关系式依次推导出未知结果的过程。

递推法可以理解为“顺着问题的发展过程，从已知的问题处理到未知的结果”。

它可以用于简化问题，使问题的计算过程不用涉及很多变量。

而递归法（Iteration）是指一个函数在定义中调用自己的过程。

递归函数会将问题拆分为一个个子问题，并且通过不断调用自身的方式来解决这些子问题。

递归法可以用于处理数据结构、树形结构等具有递归特性的问题。

二、实现方式递推法通常通过循环来实现，它可以用循环变量来记录已知条件和当前状态。

在每次循环中，根据递推关系式计算出下一次循环的结果。

因此，递推法的运行机制主要是循环和计算，递推法的实现方式更为直接和简单。

递归法则主要是通过函数的调用来实现。

递归函数会将问题拆分成一个个子问题，并通过调用自身的方式来解决这些子问题。

当问题被拆分至最小单元时，函数会返回结果，然后将所有的子问题的结果组合成一个完整的结果。

因此，递归法的实现基于函数的调用和返回，它更加灵活和方便。

三、运行机制递推法的运行机制主要是循环和计算，它可以通过循环变量来记录已知条件和当前状态，然后根据递推关系式计算出未知结果。

因此，递推法的效率通常比递归法更高。

而递归法则主要是基于函数的调用和返回来运行的。

递归函数会将问题拆分成一个个子问题，并通过调用自身的方式来解决这些子问题。

当问题被拆分至最小单元时，函数会返回结果，然后将所有的子问题的结果组合成一个完整的结果。

由于递归法需要使用函数的调用和返回，因此它的效率较低，而且递归深度过深容易导致栈溢出。

四、应用场景递推法适合于序列、条件递推等问题，因为在这些问题中，我们可以通过已知条件、递推关系式和循环变量来计算出未知结果。

数列的递推与递归公式

数列的递推与递归公式数列是数学中常见的一种数值序列，它由一个或多个数字按照特定的规律排列组成。

数列可以通过递推公式和递归公式来定义。

递推公式是指通过前一项或多项数值来计算后一项的公式。

递推公式常用于计算数列的前几项，然后利用这些已知的项来计算后面的项。

例如，斐波那契数列就可以通过递推公式来计算，其递推关系为f(n) =f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n个斐波那契数。

递归公式是指一个数列中的某一项可以通过该数列中的其他项来定义的公式。

递归公式常常用于计算数列中的任意一项。

例如，阶乘数列就可以通过递归公式来计算，其递归关系为f(n) = n * f(n-1)，其中f(n)表示n的阶乘。

递推公式和递归公式是数列中两种常见的定义方法，它们可以根据实际情况灵活运用。

在实际应用中，我们常常需要根据问题的要求选择适合的定义方法来计算数列。

数列的递推和递归公式有着广泛的应用。

在数学中，数列的递归公式常用于证明数学定理和解决数学问题。

而在计算机科学中，数列的递推公式常用于编写程序，计算数列的任意一项。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列是指从1开始，后一项是前两项之和的数列。

斐波那契数列的递推关系f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1) = 1，f(2) = 1。

利用递推公式，我们可以计算斐波那契数列的前几项：f(1) = 1f(2) = 1f(3) = f(2) + f(1) = 2f(4) = f(3) + f(2) = 3f(5) = f(4) + f(3) = 5...通过递推公式，我们可以计算出斐波那契数列的任意一项。

递推公式和递归公式是数列中常用的定义方法，它们在解决问题时有着不可替代的作用。

通过递推公式和递归公式，我们可以轻松地计算数列的任意一项。

无论是在数学领域还是在计算机科学领域，数列的递推和递归公式都是不可或缺的工具。

以上是关于数列递推和递归公式的一些介绍和应用。

递归与递推——精选推荐

递归与递推递推递归递归：从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。

递推：从已知道的若⼲项出发，利⽤递推关系依次推算出后⾯的未知项的⽅法，我们称为递推算法。

递推与递归不同：递归是从未知到已知逐步接近解决问题的过程，⽽递推从已知到未知。

递推算法是⼀种⽤若⼲步可重复运算来描述复杂问题的⽅法。

递推是序列计算中的⼀种常⽤算法。

通常是通过计算前⾯的⼀些项来得出序列中的指定项的值。

递推的关系式可以暴枚找规律，也可以化繁为简，例如铺砖问题，最后⼀列砖铺与不铺，以及最后两列砖铺与不铺的情况相加即可求出关系式。

⽽关于递归，就是函数中再次调取函数，从⽽使困难的问题化为“1+1”类型简单的问题，得出结果再还原，操作过程类似于“U”型。

递归的重点是找到递归关系和递归出⼝。

……（概念太多，直接摆题）经典例题统计奇数和偶数个3内存限制：128 MiB时间限制：1000 ms标准输⼊输出题⽬类型：传统评测⽅式：⽂本⽐较题⽬描述在所有的N位正整数中，有多少个数中有偶数个数字3？⼜有多少个数有奇数个3？由于结果可能很⼤，你只需要输出这个答案对12345取余的值。

输⼊格式输⼊⼀个数N(1<=N<=1000)，输⼊形式为⽂件输⼊，以读到0或⽂件末尾结束。

输出格式对于每⼀个N位正整数，输出有多少偶数个3以及多少奇数个3，中间⽤空格隔开。

样例样例输⼊2样例输出73 17数据范围与提⽰分别找出奇数偶数的递推式样例说明：在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73个对于⼀位数，除3外，其他全为含有偶数个三（数组元素初始化），紧接着，对于两位数，13，23，30~39（除33外）【这⾥有9个数，也可以进⾏思考】，43，53，63，73，83，93含有奇数个三，再看三位数（差不多就可以找到规律……）。

声明：a数组存储含奇数个三的个数，b数组⽤于存储偶数i的数值 1 2 3 ……a[i] 1 17 674 ……b[i] 8 73 226 ……So,a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345,b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;#include<cstdio>using namespace std;int main(){int n,a[10005],b[10005];a[1]=1,b[1]=8;for(int i=2;i<=1001;i++){a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345;b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;}while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==0)return 0;printf("%d %d\n",b[n],a[n]);}return 0;}Hanoi塔内存限制：128 MiB时间限制：1000 ms标准输⼊输出题⽬类型：传统评测⽅式：⽂本⽐较题⽬描述问题的提出：Hanoi塔由n个⼤⼩不同的圆盘和三根⽊柱a,b,c组成。

递归与递推

ijfc(t:=<>n n*ijl)c(tnh-e1n); enbdem;gi-nsearch(t.left);
visit(t);
m-search(l.right); end; end;
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三、递归算法(suàn fǎ)的执行过程
n!1n(n1)!
n0 n0
主程序
=120
Fac(5)
=24
5*Fac(4)
end;
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n皇后(huánghòu)问题
如何记录某个数字是否已经被使用过呢？很容易想到可以用集合或者一维数组来实现。比如我们(wǒ men)用一维数组hash[1..n]来记录的话 hash[i]=1代表i已经被使用过 hash[i]=0代表i没有被使用过
同时我们(wǒ men)使用一个一维数组 result[1..n]来记录生成的全排列
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汉诺塔问题(wèntí)
输入(shūrù)：3 输出：
A->C A->B C->B A->C B->A B->C A->C
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汉诺塔问题(wèntí)
只有一个盘子(pán zi)的移动：A C 两个盘子(pán zi)的移动：A B，A C，
BC n个盘子(pán zi)的移动(n>2)：将上面的n－1个盘子(pán zi)看成一个整体，
end.
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四、应用(yìngyòng)举例—汉诺塔问题
如图所示，我们有三根柱子（A、B、C）和若干大小各异的圆盘，一开始的时候，所有圆盘都在A柱上，且按照从小到大的顺序排列整齐（小的在上，大的在下），现在请你把所有的圆盘从A柱搬到C柱上去。在搬动的时候，一次只能将某柱最顶端的一个(yī ɡè) 圆盘移动到另一柱的最顶端，且在移动的过程中，永远不允许出现大圆盘在小圆盘之上的情况。

递推与递归算法

递推与递归算法递推和递归是编程中常用的基本算法。

在前面的解题中已经用到了这两种方法，下面对这两种算法基本应用进行详细研究讨论。

一、递推递推算法是一种用若干步可重复的简单运算（规律）来描述复杂问题的方法。

[例1] 植树节那天，有五位参加了植树活动，他们完成植树的棵数都不相同。

问第一位同学植了多少棵时，他指着旁边的第二位同学说比他多植了两棵；追问第二位同学，他又说比第三位同学多植了两棵；…如此，都说比另一位同学多植两棵。

最后问到第五位同学时，他说自己植了10棵。

到底第一位同学植了多少棵树？解：设第一位同学植树的棵数为a1，欲求a1，需从第五位同学植树的棵数a5入手，根据“多两棵”这个规律，按照一定顺序逐步进行推算：①a5=10;②a4=a5+2=12;③a3=a4+2=14;④a2=a3+2=16;⑤a1=a2+2=18;Pascal程序：Program Exam1;Var i, a: byte;begina:=10; {以第五位同学的棵数为递推的起始值}for i :=1 to 4 do {还有4人，递推计算4次}a:= a+2; {递推运算规律}writeln(’The Num is’, a);readlnend.本程序的递推运算可用如下图示描述：递推算法以初始{起点}值为基础，用相同的运算规律，逐次重复运算，直至运算结束。

这种从“起点”重复相同的方法直至到达一定“边界”，犹如单向运动，用循环可以实现。

递推的本质是按规律逐次推出（计算）下一步的结果。

二、递归递归算法是把处理问题的方法定义成与原问题处理方法相同的过程，在处理问题的过程中又调用自身定义的函数或过程。

仍用上例的计算植树棵数问题来说明递归算法：解：把原问题求第一位同学在植树棵数a1，转化为a1=a2+2;即求a2；而求a2又转化为a2=a3+2; a3=a4+2; a4=a5+2;逐层转化为求a2,a3,a4,a5且都采用与求a1相同的方法；最后的a5为已知,则用a5=10返回到上一层并代入计算出a4；又用a4的值代入上一层去求a3;...,如此,直到求出a1。

数列的递推式与递归式

数列的递推式与递归式数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

在数列中，递推式和递归式是两种常见的表达方式，它们用于描述数列的生成规律和计算方法。

本文将介绍数列的递推式和递归式，并对其进行详细讨论和比较。

一、递推式递推式是通过前一项或多项来计算下一项的数列表达式。

递推式通常以如下形式表示：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)其中，an表示第n项，f表示确定下一项的函数或运算符，an-1, an-2, ..., an-k表示前一项或多项。

递推式常用于描述动态规划、计数问题等。

通过递推式，我们可以利用已知的前几项逐步计算得到后续的项。

这种迭代的计算方式使得递推式具有很高的效率。

举个例子来说明递推式的用法。

假设我们要求解斐波那契数列的前n项，其中斐波那契数列的递推式为：fn = fn-1 + fn-2其中，f0 = 0，f1 = 1。

根据递推式，我们可以从f0和f1开始，逐步计算得到后续的项。

例如，要计算第5项，我们可以按照如下方式进行计算：f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5通过递推式，我们成功地计算出了斐波那契数列的前5项。

二、递归式递归式是通过前一项或多项来直接或间接地计算下一项的数列表达式。

递归式通常以如下形式表示：an = f(an-1, an-2, ..., an-k)其中，an表示第n项，f表示确定下一项的函数或运算符，an-1, an-2, ..., an-k表示前一项或多项。

递归式常用于描述分形、树形结构等问题。

通过递归式，我们可以将问题不断地分解成规模更小的子问题，直到达到某个终止条件为止。

然后，我们再通过递归的方式依次求解子问题，从而得到整个问题的解。

举个例子来说明递归式的用法。

假设我们要求解阶乘的递归式，其中阶乘的递归式为：n! = n * (n-1)!其中，0! = 1。

数学中的递归关系与递推公式

在数学中，递归关系与递推公式是两个常常使用的概念。

它们用于描述数列、函数或者其他数学对象之间的关系，并且在数学问题的解决中起到了重要的作用。

在本文中，我们将详细讲述递归关系和递推公式的概念、性质以及应用。

首先，我们来看递归关系。

递归关系通常用于定义一个数列或者函数，它通过将问题分解为更小的子问题来进行定义。

具体来说，一个递归关系由两部分组成：初始条件和递归步骤。

初始条件是一个或一组已知的数值，用于开始递归过程。

递归步骤则描述了如何从已知的值推导出后续的值。

递归过程在每一步都会使用之前的值来计算新的值，直到得到所需的结果为止。

举一个简单的例子来说明递归关系。

考虑斐波那契数列，它定义如下：第一个数字为0，第二个数字为1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字的和。

用递归关系来定义斐波那契数列可以写成：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n≥2）。

我们可以看出，这个递归关系将问题分解为计算前面两个数字的和，这样就可以得到后续的数字。

递归关系的另一个重要应用是在数学归纳法的证明中。

数学归纳法是一种证明思想，用于证明一般情况下的命题。

它主要分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立，而归纳步骤则是假设命题在某个情况下成立，然后通过递归关系证明在下一个情况下也成立。

递归关系在归纳步骤中起到了至关重要的作用，它提供了从一个情况到下一个情况的连接。

与递归关系相对应的是递推公式。

递推公式是一种通过前面的值计算出后续的值的公式。

它不需要进行递归的计算，而是直接使用已知的值进行计算。

递推公式在解决一些数学问题时具有很大的便利性，因为它们可以快速得到所需的结果。

递推公式与递归关系有着密切的联系。

事实上，递推公式可以从递归关系中推导出来，而递归关系也可以通过递推公式来表示。

它们在描述数学对象之间的关系时起到了互补的作用。

最后，我们来看一些常见的应用。

递归关系和递推公式广泛应用于数列、函数、动态规划等数学问题的解决中。

小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法

小学数学中的递推和递归学习递推和递归的基本思想和方法递推和递归是数学中常见的两种求解问题的方法。

在小学数学中，递推和递归的思想和方法被广泛运用，帮助学生理解和解决各种数学问题。

本文将介绍递推和递归的基本概念、思想和解题方法。

一、递推的概念和思想递推是一种基于已知条件来求解未知项的方法。

它利用已知的前一项或前几项，通过确定的规律来求解后一项或后几项。

递推的思想可以用一个简单的公式来表示：an = an-1 + d其中，an表示第n项，an-1表示第n-1项，d表示公差或增量。

通过递推的方法，我们可以简单地找到某个数列中任意一项的值。

例如，给定一个数列1，4，7，10...，我们可以通过递推的思想得到第n项的值为1+(n-1)×3。

递推的优势在于其简单直观的计算方式，对于小学生而言易于理解和掌握。

通过递推的训练，学生可以培养自己的数学思维和观察问题的能力。

二、递归的概念和思想递归是一种通过将问题分解为更小的相似问题并解决它们的方法。

在递归中，问题的解决依赖于其自身的解决方案。

递归的思想可以通过以下公式表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示第n项的值，f(n-1)表示第n-1项的值，f(n-2)表示第n-2项的值。

递归的思想与递推相比，更注重将问题分解为更小、更简单的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。

通过递归的方法，我们可以解决一些相对复杂的问题，比如斐波那契数列等。

递归在小学数学中的应用更多地体现在解决一些较为复杂、具有迭代关系的问题上，培养学生的逻辑思考和问题分解的能力。

三、递推和递归的解题方法1. 递推的解题方法递推的解题方法相对简单明了。

首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律和增量。

然后，根据已知的前一项，利用所确定的规律来求解后一项。

以求解等差数列为例，我们可以通过观察得到等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)×d，其中a1为首项，d为公差。

递推和递归

2 递推法递推法是根据具体问题,建立递推关系,再通过递推关系求解的方法。

其中递推关系是表示关于正整数参变量的一类特殊关系,它从给定的初值出发,通过这种关系一步一步地通过递推获得所需结果。

这种递推通常采用循环迭代的方法,如循环累乘、循环累加等。

[3]例如阶乘计算,假设要求5的阶乘。

C程序对应如下:#include "stdio.h"main(){ int n,s=1;for(n=1;n<=5;n + +){ s=s*n; /*1的阶乘为1,1的阶乘乘以2就是2的阶乘,2的阶乘乘以3就是3的阶乘,以此类推,直到求出5的阶乘*/}printf("5!=%d",s);}3 递归法程序调用自身的编程技巧称为递归。

一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法,它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解,递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算,大大地减少了程序的代码量。

例如计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项。

斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即:fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1) fib(n-2) (当n>1时)。

用C语言写成递归函数为:int fib(int n){ if (n==0) return 0;if (n==1) return 1;if (n>1) return fib(n-1) fib(n-2); /*递归调用*/}递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。

在递推阶段,就是为了得到问题的解,将它推到比原问题更简单的问题求解。

例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。

也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。

小学数学中的递推与递归

小学数学中的递推与递归递推与递归在小学数学中的应用递推和递归是数学中常用的概念和方法。

在小学数学中，递推和递归被广泛地应用于数列、图形推理和问题解决中。

本文将重点介绍递推和递归在小学数学中的应用。

一、数列与递推数列是一组具有特定规律的数字按一定顺序排列而成的序列。

递推是通过已知数列的前几项来找出数列的通项公式，进而计算任意项的值。

例如，给定一个数列：1，2，4，7，11，...其中第一项是1，第二项是2，后面的每一项都是前面两项之和加1。

我们可以通过递推的方法来找出这个数列的通项公式。

假设数列的通项公式是an，表示第n项的值。

首先确定前两项的值：a1=1，a2=2。

然后我们观察后面每一项与前两项之间的关系，可以发现第n项与第n-1项和第n-2项之间存在着等差数列的关系。

即an =an-1 + an-2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以计算任意项的值。

通过递推的方法，我们可以更加方便地计算数列中任意项的值，同时也可以更好地理解数列中的规律和特点。

二、图形推理与递推除了数列，递推也可以在图形推理中起到重要的作用。

图形推理即通过观察图形的规律，找出图形中的隐藏规律，从而推理出下一个图形。

在小学数学中，图形推理是培养学生观察力、推理能力和逻辑思维的重要手段之一。

递推方法可以帮助学生更好地理解和推理图形中的规律。

例如，给定一组图形序列：△，▢，△△，▢▢▢，△△△△△，...其中，△表示三角形，▢表示正方形，我们需要找出下一个图形。

通过观察前面每两个图形之间的关系，我们可以发现正方形的个数是递增的，而三角形的个数是递减的，同时整个图形序列中的图形总数依次为1，2，4，7，11，...。

我们可以利用这个递推关系，预测下一个图形为▢▢▢▢▢▢▢▢。

图形推理中的递推关系可以培养学生的观察力和推理能力，帮助他们理解图形中的规律与逻辑。

三、问题解决与递归在小学数学中，递推和递归也常常用于解决问题。

递归是指一个问题可以分解为同样类型的子问题，通过解决子问题来解决原问题的方法。

递归算法和递推算法的原理

递归算法和递推算法的原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述递归算法和递推算法是编程中常用的两种算法思想，它们都是一种问题解决的方法论。

递归算法通过将一个大问题分解为一个或多个相同的小问题来解决，而递推算法则是通过给定初始条件，通过逐步推导出后续结果来解决问题。

递归算法是一种自调用的算法，它将一个问题划分为更小规模的相同子问题，并通过调用自身来解决这些子问题。

每个子问题的解决方案被合并以形成原始问题的解决方案。

递归算法具有简洁的代码结构和易于理解的逻辑。

它在一些问题上能够提供高效的解决方案，例如树的遍历、图的搜索等。

递推算法则是从已知的初始条件开始，通过根据给定的递推公式或规则，逐步计算出后续的结果。

递推算法是一种迭代的过程，每一次迭代都会根据已知条件计算得出下一个结果。

递推算法常应用于数学问题，求解斐波那契数列、阶乘等等。

递归算法和递推算法在解决问题时的思路不同，但也存在一些相似之处。

它们都能够将大问题分解成小问题，并通过解决这些子问题来获得问题的解决方案。

而且递归算法和递推算法都有各自适用的场景和优缺点。

本文将详细介绍递归算法和递推算法的原理、应用场景以及它们的优缺点。

通过比较和分析两者的差异，帮助读者理解和选择合适的算法思想来解决问题。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的整体框架和各个章节的内容概要。

根据给出的目录，可以编写如下内容：文章结构：本文主要探讨递归算法和递推算法的原理及其应用场景，并对两者进行比较和结论。

文章分为四个部分，下面将对各章节的内容进行概要介绍。

第一部分：引言在引言部分，我们将对递归算法和递推算法进行简要概述，并介绍本文的结构和目的。

进一步，我们将总结递归算法和递推算法在实际问题中的应用和重要性。

第二部分：递归算法的原理在第二部分，我们将详细讨论递归算法的原理。

首先，我们会给出递归的定义和特点，探索递归的本质以及递归算法的基本原理。

其次，我们将展示递归算法在不同的应用场景中的灵活性和效果。

数列的递推与递归

数列的递推与递归数列是数学中常见的概念，广泛应用于各个领域。

而数列的递推与递归是数列研究中的两个重要概念。

本文将探讨数列的递推和递归的含义、特点以及其应用。

一、数列的递推数列的递推是指通过前一项或前几项来确定后一项的方法。

递推关系通常是数列的定义式，可以通过运算操作或公式得出。

递推关系常见的形式有线性递推和非线性递推。

1.1 线性递推线性递推是指数列中的项与前一项之间存在线性关系。

常见的线性递推关系是通过数列的差分算子来表示的。

例如，一个数列的线性递推关系为an = an-1 + d，其中an表示第n个项，d为公差。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列中的项与前一项之间存在非线性关系。

这种关系常见于一些特殊的数列，如Fibonacci数列和Lucas数列。

非线性递推的定义通常需要借助递推关系表达式或者递推公式。

二、数列的递归数列的递归是指通过前面的项来定义后一项的方法。

递归关系通常是用数列前一项的表达式来表示的。

递归关系是数列的重要定义方式，可以描述数列的规律与特性。

2.1 线性递归线性递归是指数列的每一项都由前面的有限个项来确定的递归关系。

例如，斐波那契数列就是一个线性递归数列，其递推关系为Fn = Fn-1+ Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1为初始条件。

2.2 非线性递归非线性递归是指数列的每一项都由前面的无限项来确定的递归关系。

这种递归关系常见于一些特殊的数列，如康托尔集合和自然数集合等。

三、递推与递归的应用递推与递归在数学中有广泛的应用，特别是在数列和函数的研究中起到重要作用。

3.1 数列模型递推和递归可以用来建立数列的模型，通过递推或递归关系可以简洁地描述数列的变化规律。

这种模型常用于解决实际问题中的数学建模和计算机算法等领域。

3.2 函数拟合递推和递归可以应用于函数拟合问题。

通过数列的递推或递归关系，可以得到一组函数值，从而拟合出数学函数表达式，用来描述实际问题中的规律和趋势。

递归与递推的概念

递归与递推的概念1. 嘿，亲爱的编程小伙伴们！今天咱们来聊两个特别有意思的概念：递归和递推。

别看这两个名字听着挺唬人，其实它们就像是两个性格不同的双胞胎，一个爱往回看，一个喜欢往前冲！2. 咱们先说说递归，它就像是一个特别爱回忆的人。

打个比方，你问一个递归控："你现在有多少钱？"，他不会直接告诉你，而是会说："等我问问昨天的自己有多少钱，再加上今天赚的就知道了。

"然后他又去问昨天的自己，昨天的自己又去问前天的自己。

直到问到最初的时候才开始往回算。

3. 来看个有趣的例子： "妈妈，咱家祖上几代人都姓张啊？" "得问问你奶奶。

" "奶奶，咱家祖上几代人都姓张啊？" "得问问你太奶奶。

" 这就是典型的递归思维！4. 递归就像是套娃，一个套一个，一层套一层。

每次都要往更小的问题钻，钻到最底层，再一层层往回冒。

有时候可把程序员愁坏了，因为套得太多容易把电脑内存给撑爆！5. 再说说递推，这家伙可就直接多了，是个实在人。

它不会像递归那样绕来绕去，而是踏踏实实地一步一步往前走。

就像盖房子，先打地基，再一层层往上盖，每一步都基于前面的结果。

6. 举个生动的例子： "小明，你知道你的零花钱是怎么算的吗？" "知道啊！每天比前一天多一块钱，昨天是5块，今天就是6块，明天就是7块。

" 这就是标准的递推思维！7. 递推特别适合那种知道起点，要算后面的值的问题。

比如兔子生兔子的问题，知道一开始有一对兔子，每个月都按固定规律生，要算第十个月有多少对，递推就特别好使。

8. 有意思的是，很多问题既可以用递归解决，也可以用递推解决。

就像爬楼梯，你可以从上往下想递归，也可以从下往上算递推。

选哪个全看你喜欢哪种思维方式！9. 不过要说哪个更省电脑资源，那肯定是递推了。

递归虽然写起来简单，但是总要存储很多中间状态，就像是搬家时非要把路上经过的每个地方都记下来一样，太费劲了！10. 递推就实在多了，只记住需要用到的状态，其他的都扔掉。

离散数学中的递归与递推知识点区分

离散数学中的递归与递推知识点区分递归和递推作为离散数学中的重要概念，常常被混淆使用。

虽然两者都涉及到数列或函数的定义和计算，但它们在思想和方法上存在一些明显区别。

本文将从定义、特点和应用等方面对递归和递推进行深入探讨，以期帮助读者准确理解并运用两者。

一、递归的基本概念和特点递归是指在数学中，一个定义中出现对所定义对象本身的描述。

简而言之，就是一个问题的解能够通过不断地调用相同问题的解来进行求解。

举一个简单的例子，阶乘的递归定义如下：n！ = n * (n-1)！从上述定义可以看出，阶乘的计算通过不断地调用相同问题的解来进行求解。

递归具有以下几个基本特点：1. 终止条件：递归定义中必须包含一个或多个终止条件，以避免无限递归的发生。

在阶乘的例子中，当n等于0或1时，阶乘的值已经确定，不需要再进行递归调用。

2. 自相似性：递归定义中的每一步都与问题本身具有相同的性质，即通过不断缩小问题的规模来求解。

在上述阶乘的例子中，每一步的计算都与整个阶乘的计算过程相同，只是问题规模减少了。

3. 递归调用：在递归中，问题的解不断地通过调用相同问题的解来获得。

在阶乘的例子中，计算n的阶乘需要先计算(n-1)的阶乘。

二、递推的基本概念和特点递推是指通过已知的初始条件和规则，根据已知的项计算后续的项。

递推是用迭代的方式进行计算，其中每一步的计算仅依赖于之前的计算结果。

举一个简单的例子，斐波那契数列的递推定义如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0， F(1) = 1递推具有以下几个基本特点：1. 初始条件：递推定义中必须包含一个或多个初始条件，以确定计算的起点。

在斐波那契数列的例子中，初始条件是F(0)和F(1)的取值。

2. 依赖关系：递推定义中每一项的计算都依赖于之前的计算结果。

在斐波那契数列的例子中，要计算第n项，需要先计算第n-1项和第n-2项。

3. 迭代计算：递推通过迭代计算的方式来求解问题，每一步都可以通过已知的计算结果得到下一步的计算结果。