沪科版 九年级数学上册 21.4二次函数应用尖子生练习题(解析版)
沪科版九年级上二次函数21.1-21.4节测试题(.9)
二次函数测试题（）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1、下列函数是二次函数的是（ ）A ．c bx ax y ++=2 B.3)1(2+-=x y C.2x y =D.1312-+=x xy 2、二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．－43、抛物线3)1(2--=x y 的对称轴是（ ）A ．直线3=x B.直线3-=x C.直线x=1 D.直线1-=x4、若二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向下、顶点为（2－3），则此函数有( ) A ．最小值－3B.最大值－3C.最小值2D.最大值25、将抛物线562+-=x x y 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度时，得到的抛物线解析式是（ ）A ．6)4(2--=x y B.2)4(2--=x y C.2)2(2--=x y D.3)1(2--=x y 6、当0=+c b 时，二次函数c bx x y ++=2的图象一定经过点（ ） A.（－1，－1）B.（1，－1）C.（1,1）D.（－1,1）7、在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与a bx y +=的图象可能是（ ）A ．B.C.D.8、若点（－1，1y ），（－5，2y ），（2，3y ）在函数322-+-=x x y 的图象上，则（ ） A ．312y y y <<B. 231y y y <<C. 123y y y <<D. 321y y y <<9、如图是二次函数c bx ax y ++=2①0<++c b a ；②1>+-c b a ；③0>abc ；④024<+-c b aA ．①② B.①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤10、抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标yA ．抛物线与x 轴的一个交点为（2,0） B.当1≥x 时，y 随x 增大而减小 C.抛物线的对称轴是直线x=0D.函数c bx ax y ++=2的最大值为6二、填空题（每题5分，共20分）11、若抛物线32222--+-=m m x mx y （m 为常数）的图象如图所示，则m ＝_______. 12、已知某二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，且过点（0,3），请任意写出一个符合条件的函数表达式：____________13、如图，根据提供的信息a 、b 、c 、d 用“＜”连接为_____________14、如图，坐标系的原点为O ，点P 是第一象限内抛物线1412-=x y 上任意一点，x PA ⊥轴于点A ，则OP －PA 值为________三、解答题（每题8分，共16分）15、用配方法求抛物线13212+--=x xy 的对称轴、顶点坐标和最值。
21.4 二次函数的应用 沪科版数学九年级上册课后练习(含答案解析)
二次函数的应用一、单选题1．如图，小明以抛物线y=x2-2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB=4，DE=2，则杯子的高CE为（）A．4B．5C．6D．72．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（）A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m23．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为（）A．180m B．200m C．220m D．240m4．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（）．A．B．C．D．5．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A．60B．65C．70D．756．将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．7．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A．米B．8米C．10米D．2米8．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定9．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（ ）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是（）A．B．C．D．11．汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关，在一个限速35km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车，最后还是相撞了事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：S甲，S乙．由此可以推测（ ）A．甲车超速B．乙车超速C．两车都超速D．两车都未超速12．如图，菱形的边长是，，动点P从点A出发，以的速度沿运动至点C，动点Q从点A出发，以的速度沿运动至点C．若P，Q同时出发，设运动时间为，的面积为（当B，P，Q三点共线时，不妨设），则下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（）A．B．B．C．D．二、填空题13．如图，要在夹角为30°的两条小路与形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边和上取点和点，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若和两段篱笆的总长为8米，则当______米时，该花坛的面积最大．14．如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒．15．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．16．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．三、解答题18．用规格长为6m，宽为0.1m的铝合金型材，恰好制作成一个“日”字型窗子的边框（如图1，不计耗损），中间装长x m，宽y m完全一样的两张玻璃．这个窗子要装入最大边长为1.5m的正方形墙洞（如图2）中．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．（2）这个窗子的采光面积（两张玻璃面积之和）存在最大值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．19．一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个高为9米的柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如果抛物线的最高点M离柱形喷水装置1米，离地面12米，若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少米时，才能使喷出的水流不落在池外？20．某商场将一种每件成本价为10元的商品连续加价两次后，以每件24元作为定价售出．已知第二次加价的增长率比第一次加价的增长率多．（1）求第一次加价的增长率；（2）该商场在试销中发现，如果以定价售出，则每天可售出100个．如果销售单价每降低1元，销售量就可以增加10件．那么当销售单价为多少元时，该商场每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？21．在“学习一项体育技能”活动中，小明作为学生代表去观看“青岛黄海足球队”的训练．他看到队员们在做掷界外球训练，甲球员要将足球掷给离他7.5米远的乙球员，掷出足球的运行轨还是一条抛物线，足球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系如图所示，足球出手时离地面的高度为2米，在距离甲球员4米处达到最大高度3.6米．若不计其他因素，身高1.85米的乙球员要能触到足球，他垂直起跳的高度至少要达到多少米？22．如图，是等腰直角三角形，，，点P是边上一动点，沿的路径移动，过点P作于点D，设，的面积为y．（1）当时，求y的值；（2）在这一变化过程中，写出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（3）当x取何范围时，（直接写出结果即可）．参考答案1．C解：∵=（x-1）2+3，∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），∵AB=4，∴BC=2，点B的横坐标为x =3，把x =3代入得y=7，∴CD=7-3=4，∴CE=CE+DE=4+2=6，故选：C.2．A解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是：S=x（12-2x）=，∴当x=3时，S取得最大值，此时S=18，故选：A．3．B解：以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：，，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，，抛物线顶端的坐标为，此抛物线顶端到连桥距离为．故选：B．4．D解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-．∴抛物线的解析式为y=-x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，解得：x=±．∵-（-）=2，∴水面宽度为2m．故选：D．5．C解：每顶头盔降价x元，利润为w元，由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，故选：C．6．B解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：即y=（x-35）（400-5x），故选：B．7．B解：当y＝0时，即＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．C解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.9．D解：A、设石块运行的函数关系式为y=a（x-20）2+11，把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得：，∴解析式为；故A不符合题意；B、当y=0时，；解得x=2+20，∴水流喷射的最远水平距离是2+20米；故B不符合题意；C、当x=20时，y=11，∴11-2=9∴喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9米故C不符合题意；D、向后平移后的解析式为，当x=37时，y=8.58.5-3=5.5＞2.3，∴可以避开对这棵石榴树的喷灌；故选：D10．A解：第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，第三个月的增长率为第一个月投放辆单车，第二个月投放辆第三个月投放量故选：A．11．B解：由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在A点的左侧以及B点的右侧，即或．由，先求出，x的解也就是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标：从图象可得，x是在C点的左侧以及D点的右侧，即或．由于，从而可得：，．经比较：乙车超过限速．故选：B．12．B解：当0≤t≤2时，BQ=4﹣2t，AP= t,点P到AB的距离为t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴该函数图象开口向下，当2＜t≤4时，BQ=4﹣2t，点P在AD上，到BC的距离为×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而增大，当4＜t≤8时，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴该函数图象是线段，且y随x的增大而减小．故选：B．13．4解：设OP=x，则OQ=8-x，过点P作PM⊥OQ,交OQ于点M，如图，∵∴∴∵∴函数图象开口向下，有最大值，为4，故当OP=4时，花坛的面积最大．故答案为：4．14．46解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，∴MN的对称轴为直线x==23，∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．故答案为：46．15．1264解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：126416．7m解：由题意，得当y＝0时，，化简，得：，解得：（舍去），故答案为：7m．17．解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴△BDC≌△AEC，∴∠B=∠CAE，∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，设BD=AE=x，则AD=（2-x），∴，∵，函数开口向下，函数有最大值，当x=1时，．故答案为：．18．（1）y＝﹣0.75x+1.35，1≤x≤1.3；（2）这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2，见解析．解：（1）由题意，得3x+2（2y+0.1×3）＝6，整理，得3x+4y＝5.4，∴y＝﹣0.75x+1.35，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.75x+1.35，由题意，得，解得1≤x≤1.3，即x的取值范围是1≤x≤1.3；（2）设这个窗子的采光面积为Sm2，由题意，得S＝2xy＝2x（﹣0.75x+1.35）＝﹣1.5x2+2.7x，配方，得S＝﹣1.5（x﹣0.9）2+1.215，∵a＝﹣1.5＜0，对称轴为x＝0.9，∴当x＞0.9时，y随x的增大而减小，∵1≤x≤1.3，∴当x＝1时，S有最大值，S最大＝1.2，答：这个窗子的采光面积有最大值，最大值为1.2m2．19．3米解：由题意可得：抛物线顶点坐标为（1，12），A点坐标为（0，9），故设抛物线解析式为：，则，解得：a＝﹣3，故抛物线解析式为：，当y＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3，则水池的半径OB至少为3米时，才能使喷出的水流不落在池外．20．（1）50%；（2）当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元解：（1）解：设第一次加价的增长率为x，由题意得解得：（不合题意，舍去）答：第一次加价的增长率为．（2）解：当销售单价为m元/个时，获得的利润为y元，由题意得∵∴当时，y可取得最大值为1440答：当销售单价为22元/个时，该商场每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1440元．21．他垂直起跳的高度至少要达到米解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，与抛出点的坐标为，设抛物线的解析式为：，顶点坐标代入得：，抛出点坐标代入得：，解得：，∴抛物线得解析式为：，当时，，米，故他垂直起跳的高度至少要达到米．22．（1）；（2）；（3）x的取值范围为：或解：（Ⅰ）是等腰直角三角形，则，因为PD⊥BC ，则为等腰直角三角形，故，则，当时，；（Ⅱ）当点在上运动时，由（1）知，，当点在上运动时，同理可得为等腰直角三角形，则，则，故；（Ⅲ）①当时，则，当时，即，解得（舍去负值），当时，即，解得（舍去负值），故；②当时，则，当时，即=，解得：，当时，即，解得：，故；综上，x的取值范围为：或．。
沪科版九年级上册数学第21章 二次函数与反比例函数含答案(含解析)
沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，图中虚线为抛物线的对称轴，则下列正确的是( )A.a＜0B.b＜0C.c＞0D.b 2-4ac＜02、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.无法确定3、直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B. C. D.4、如图，将直线y=x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2=10，则k 的值是（）A.5B.10C.15D.205、若是反比例函数，则必须满足（）A. B. C. 或 D. 且6、小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个7、若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为（）A.0B.-2C.2D.-68、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A. B. C.D.9、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C.D.10、将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D.先向右平移4个单位，再向下平移1个单位11、将抛物线y＝（x﹣2）2+2向左平移2个单位，得到的新抛物线为（）A.y＝（x﹣2）B.y＝（x﹣2）+4C.y＝x +2D.y＝（x﹣4）+212、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A.b＞0，c＞0B.b＞0，c＜0C.b＜0，c＜0D.b＜0，c＞013、如图，△ABC．的三个顶点分别为A（1，2），B（5，2），C（5，5）．若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A.2≤k≤25B.2≤k≤10C.1≤k≤5D.10≤k≤2514、将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A.y=（x-1）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=（x-1）2-2D.y=（x+1）2-215、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-2，3）、（0，1），将线段AB沿x轴的正方向平移m（m>0）个单位，得到线段A' B'。
初中数学沪科版九年级上册第二十一章《二次函数的应用》练习题(解析版)
初中数学沪科版九年级上册第二十一章21.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是()A. 25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB. 线段CD的函数解析式为s=32t+400(25≤t≤50)C. 5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D. 曲线段AB的函数解析式为s=−3(t−20)2+1200(5≤t≤20)2.二次函数y=x2−8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于1的点P共有()2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读数节活动”，决定降价促销，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=(30−x)(200+40x)B. y=(30−x)(200+20x)C. y=(30−x)(200−40x)D. y=(30−x)(200−20x)4.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为()A. y=(x−40)(500−10x)B. y=(x−40)(10x−500)C. y=(x−40)[500−10(x−50)]D. y=(x−40)[500−10(50−x)]5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=2a(x−1)B. y=2a(1−x)C. y=a(1−x2)D. y=a(1−x)26.为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是18元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x之间的函数关系式是()A. y=36(1−x)B. y=36(1+x)C. y=18(1−x)2D. y=18(1+x2)7.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是()A. y=x2B. y=4−x2C. y=x2−4D. y=4−2x8.矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是()A. y=−x2+6x(3<x<6)B. y=−x2+6x(0<x<6)C. y=−x2+12x(6<x<12)D. y=−x2+12x(0<x<12)9.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)10.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(x2+6x(0≤x≤4)，米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=−32那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是()A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米二、填空题11.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________．12.据权威部门发布的消息，2021年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是____．13.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为x m，菜园ABCD的面积为y m2，则y关于自变量x的函数关系式是___________________________．14.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为______．15.某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量万件与x之间的关系应表示为______．三、解答题16.已知抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0,3)．(1)求b，c的值；(2)直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l//y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．17.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．18.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键.根据函数图象中的信息，利用数形结合求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A.25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000−1200=800m ，故A 正确；B .设线段CD 的函数解析式为s =kt +b ，把(25,1200)，(50,2000)代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b， 解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s =32t +400(25≤t ≤50)，故B 正确；C .在A 点的速度为5255=105m/min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m/min ，速度从快变慢，故C 错误；D .当t =5，20时，由图象可得s =525，1200m ，将t =5，20分别代入s =−3(t −20)2+1200(5≤t ≤20)得s =525，s =1200，故D 正确．故选C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题结合图象的性质考查二次函数的综合应用，难度中等．要注意函数求出的各个解是否符合实际．由题可求出MN 的长，即△MNP 的底边已知，要求面积为12，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y 值代入即可解答．【解答】解：y =x 2−8x +15的图象与x 轴交点(3,0)和(5,0)，|MN|=2，设p 点(x,y)，y =x 2−8x +15，面积=12=12|MN|⋅|y|，可得y 1=12，或者y 2=−12，当y =12时，x =8±√62； 当y =−12时，x =8±√22， 所以共有四个点．故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．根据降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，由题意可得等量关系：总销售额为y =销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：设每本降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，根据题意得，y =(30−x)(200+20x)，故选B ．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键．直接利用每千克利润×销量=总利润，进而得出关系式．【解答】解：设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为：y =(x −40)[500−10(x −50)]．故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意得第二次降价后的价格是a(1−x)2．则函数解析式是y=a(1−x)2．故选D．原价为a，第一次降价后的价格是a×(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2．本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2，则函数关系式即可求得．【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2．则函数解析式是：y=18(1−x)2．故选C．7.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：y=−x2+4(0<x<2)，故选：B．根据剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)cm，根据矩形的面积公式即可解答．【解答】解：已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)．则y=x(6−x)化简可得y=−x2+6x，(0<x<6)，故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查列二次函数关系式，得到长方形的另一边长是解决本题的关键点．先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x，∴y=(12−x)⋅x．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：方法一：根据题意，得y=−32x2+6x(0≤x≤4)，=−32(x−2)2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x=−62×(−32)=2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．11.【答案】a(1+x)2【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x)，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元，∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元，即y=a(1+x)2．12.【答案】y=0.75(1+x)2【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于中考常考题型．第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是0.75(1+x)元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为0.75(1+x)2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=0.75(1+x)2．故答案为y=0.75(1+x)2．13.【答案】y=−2x2+40x(11≤x<20)【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式、矩形的面积公式的运用，利用篱笆的总长用含x的代数式表示出平行于墙的边长是解题的关键．先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论；【解答】解：根据题意，AD边的长为x米，则AB边的长为(40−2x)米，∴y=x(40−2x)，即y与x之间的函数关系式为y=−2x2+40x；0<40−2x≤18，11≤x<20，故答案为y=−2x2+40x(11≤x<20)．14.【答案】y=10x2−500x+6000【解析】解：设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为：y=(60−40−x)(300−10x)=10x2−500x+6000．故答案为：y=10x2−500x+6000．直接利用销量×每件利润=总利润，进而得出函数关系式．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量和每件利润是解题关键．15.【答案】y=20+20(x+1)+20(x+1)2【解析】解：y与x之间的关系应表示为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．故答案为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．根据平均增长问题，可得答案．本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键． 16.【答案】解：(1)由题意得：{b2=1c =3， ∴b =2，c =3，(2)①如图1，∵点C 关于直线x =1的对称点为点D ，∴CD//OA ，∴3=−x 2+2x +3，解得：x 1=0，x 2=2，∴D(2,3)，∵抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，∴令y =0，解得x 1=−1，x 2=3，∴B(−1,0)，A(3,0)， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =0b =3，解得：{k =−1b =3， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3，设F(a,−a 2+2a +3)，E(a,−a +3)，∴EF =−a 2+2a +3+a −3=−a 2+3a ，四边形CEDF 的面积=S △EFC +S △EFD =12EF ⋅CD =12×(−a 2+3a)×2=−a 2+3a =−(a −32)2+94， ∴当a =32时，四边形CEDF 的面积有最大值，最大值为94．②当△PCQ∽△CAP 时，∴∠PCA =∠CPQ ，∠PAC =∠PCQ ，∴PQ//AC ，∵C(0,3)，A(3,0)，∴OA =OC ，∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，∴∠BCO=∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴tan∠PCA=tan∠BCO=OBOC =13，设PM=b，则CM=3b，AM=b，∵AC=√OC2+OA2=3√2，∴b+3b=3√2，∴b=34√2，∴PA=34√2×√2=32，∴OP=OA−PA=3−32=32，∴P(32,0)，设直线l的解析式为y=−x+n，∴−32+n=0，∴n=32．∴直线l的解析式为y=−x+32．【解析】(1)根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；(2)由题意先求出D点坐标为(2,3)，求出直线AC的解析式，设F(a,−a2+2a+3)，E(a,−a+3)，则EF=−a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为12EF⋅CD，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；(3)当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ=∠OCA=45°，则PQ//AC，∠BCO=∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(5,0)在抛物线y =ax 2+bx −5上，∴{a −b −5=025a +5b −5=0，解得{a =1b =−4，∴抛物线的表达式为y =x 2−4x −5，(2)设H(t,t 2−4t −5)，∵CE//x 轴，∴点E 的纵坐标为−5，∵E 在抛物线上，∴x 2−4x −5=−5，∴x =0(舍)或x =4，∴E(4,−5)，∴CE =4，∵B(5,0)，C(0,−5)，∴直线BC 的解析式为y =x −5，∴F(t,t −5)，∴HF =t −5−(t 2−4t −5)=−(t −52)2+254，∵CE//x 轴，HF//y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF =12CE ⋅HF =−2(t −52)2+252，∴H(52,−354)；(3)如图2，∵K 为抛物线的顶点，∴K(2,−9)，∴K 关于y 轴的对称点K′(−2,−9)，∵M(4,m)在抛物线上，∴M(4,−5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4,5)，∴直线K′M′的解析式为y=73x−133，∴P(137,0)，Q(0,−133).【解析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；(2)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；(3)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．18.【答案】解：(1)当x=0时，y=x2−2ax−1=−1，∴点A的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y=x2−2ax−1，得：2=1−2a−1，解得：a=−1，∴函数的表达式为：y=x2+2x−1，∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−1，如图1所示：∴当x>−1时，y随x的增大而增大；(3)抛物线y=x2−2ax−1=(x−a)2−a2−1的对称轴为：x=a，顶点坐标为：(a,−a2−1)，当a>0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A(0,−1)，∵图象的最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a−(−1)=2，解得：a=12；当a<0，对称轴在y轴左侧，顶点(a,−a2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2，整理得：(a +1)2=2，解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG 三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ，∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1，∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧，∴PP′=2(a +1)，∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)，解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示：则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ，∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．1、最困难的事就是认识自己。
沪科新版九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试(含解析)
沪科九上数学试卷一、单选题 （本题共计 10 小题，共计40分）1、 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是A ．B ．C ．D ．2、如图，在中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是A ．B ．C ．D ．3、比较二次函数2y x =与2y x =-的图象，下列结论错误的是( ) A ．对称轴相同 B ．顶点相同 C ．图象都有最高点 D ．开口方向相反4、如图，已知函数和的图象交于点、，则根据图象可得关于的不等式的解集是（ ）A ．B ．－3＜x ＜0或C ．D ．5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）6、如图，已知矩形ABCD 中，AB =3，BE =2，EF ⊥BC ．若四边形EFDC 与四边形BEF A 相似而不全等，则CE =（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57、如果23a b =，那么a a b+等于（ ） A ．3:2B ．2:5C ．5:3D ．3:58、如图，△ABC 的顶点A 在反比例函数y ＝(x ＞0)的图象上，顶点C 在x 轴上，AB ∥x 轴，若点B 的坐标为(1，3)，S △ABC ＝2，则k 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．7D ．﹣79、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ．若34AE AC =， AD=9，则AB 等于（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1610、二次函数的图像如图，下列结论：①；②；③；④.正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 （本题共计 4 小题，共计20分）11、已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为______. 12、如图，已知函数y=﹣与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的不等式bx+＞的解集为_____．13、若3a=4b ，则(a-b)：(a+b)的值是_________14、如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >.若1S 表示以BC 为边的正方形的面积，2S 表示长为()AD AD AB =、宽为AC 的矩形的面积，则1S 与2S 的大小关系为__________.三、解答题 （本题共计 9 小题，共计90分）15、泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y (℃)与时间x (min )成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y (℃)与时间x (min )近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． (1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围：(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？16、已知抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D （0，74）作x 轴的平行线交抛物线于E ，F 两点，求EF 的长； （3）当y ≤74时，直接写出x 的取值范围是 ．17、图是5×5的网格图，每个小正方形的边长为1，请按要求作格点图形(图形的每个顶点都在格点上) (1)在图①中以线段PQ 为一边作一个等腰直角三角形；(2)在图②中，作△DEF 相似于△ABC ，且△ABC 与△DEF 的相似比是1：2．18、我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z （元/件）与年销售量x （万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W 万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）（2）求W 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？19、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，Rt △BAP 中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP ，BP 交AC 于点O ，E为AC 上一点，且AE=OC ． （1）求证：AP=AO ； （2）求证：PE ⊥AO ；（3）当AE=AC ，AB=10时，求线段BO 的长度．20、某班“数学兴趣小组”对函数y ＝﹣x 2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3﹣52﹣2﹣10 1 2523 …y …﹣2﹣14m 2 1 2 1﹣14﹣2…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．21、如图，直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，点D为点B（﹣3，0）关于AC的对称点，反比例函数y＝的图象经过点D．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）求反比例函数的解析式；（3）已知在y＝的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．22、如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：△BDE是直角三角形；（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．23、在△ABC中，点E、F在边BC上，点D在边AC上，连接ED、DF，ABAC＝m，∠A＝∠EDF＝120°（1）如图1，点E、B重合，m＝1时①若BD平分∠ABC，求证：CD2＝CF•CB；②若213CFBF=，则ADCD＝；（2）如图2，点E、B不重合．若BE＝CF，=AB DFAC DE＝m，37BEEF=，求m的值．答案解析一、单选题1、【答案】B【解析】∵点（2，-3）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×（-3）=-6． A 、∵2×3=6≠-6，∴此点不在函数图象上； B 、∵3×（-2）=-6，∴此点在函数图象上； C 、∵（-2）×（-3）=6≠-6，此点不在函数图象上； D 、∵（-1）×（-6）=6≠-6，此点不在函数图象上． 故选B ． 2、【答案】C【解析】 【分析】 由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】 A.∵， ∴ ,故不正确；B. ∵， ∴ ,故不正确；C. ∵，∴∽，∽,， ．，故正确；D. ∵， ∴,故不正确；故选：C ． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．3、【答案】C 【解析】二次函数2y x =,开口向上, ∴有最小值,二次函数2y x =-,开口向下, ∴有最大值, 故选C.4、【答案】B【解析】 【分析】观察图象得到当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，函数图象y 1=kx +b 都在的图象上方，即有kx +b ＞．【详解】当﹣3＜x ＜0或x ＞1时，kx +b ＞． 故选B ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察图象的能力．5、【答案】C.【解析】试题分析：观察图形，可知AB=10,AC=2,BC=2,A 选项中的阴影部分三边分别是1，5，22，B 选项中的三边分别是3，2，5，C 选项中的三边分别是1，2，5，D 选项中的三边分别是2，5，13，根据三边的比相等的两个三角形相似，可知选项C 正确.考点：相似三角形的判定.6、【答案】D【解析】【分析】可设CE =x ，由四边形EFDC 与四边形BEF A 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可． 【详解】 设CE =x ．∵四边形EFDC 与四边形BEF A 相似，∴．∵AB =3，BE =2，EF =AB ，∴，解得：x =4.5．故选D ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与四边形BEF A相似得到比例式．7、【答案】B【解析】∵ab=23的两个内项是b、2，两外项是a、3，∴32ba=，∴根据合比定理，得23522a ba++==,即52a ba+=；同理，得aa b+=2：5.故选B.8、【答案】C【解析】∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），∴设点A（a，3）∵S△ABC=（a-1）×3=2，∴a=，∴点A（，3）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴k=7，故选：C．9、【答案】C【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理可以得到AE ADAC AB=，求得AB的长.试题解析：∵DE∥BC，∴AE AD AC AB=，即394AB =，解得：AB=12.故选C.考点：平行线分线段成比例．10、【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为直线x==-1，∴b<0，∴abc>0，故①正确，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac>0，即4ac-b2<0，故②正确，∵=-1，∴a=，∵x=1时，a+b+c<0，∴+b+c<0，即3b+2c<0，故③正确，当x=-1时，a-b+c>0，故④正确，综上所述：正确的结论有①②③④共4个，故选D.二、填空题11、【答案】y=x2-x-2.【解析】将此三个点代入解析式里得{22a b cca b c-+==-++=-解得a=1,b=-1,c=-2,故解析式为y=x2-x-2.12、【答案】x＜﹣3或x＞0．【解析】【分析】所求不等式变形后，可以看做求二次函数的函数值大于反比例函数值时x的范围，由二次函数与反比例函数图象的交点，利用图象即可得到满足题意的x的范围，即为所求不等式的解集．【详解】∵反比例函数与二次函数图象交于点P，且P的纵坐标为1，∴将y=1代入反比例函数y=-得：x=-3，∴P的坐标为（-3，1），将所求的不等式变形得：ax2+bx＞- ，由图象可得：x＜-3或x＞0，则关于x的不等式ax2+bx +＞0的解为x＜-3或x＞0．故答案为：x＜-3或x＞0【点睛】此题考查了二次函数与不等式（组），利用了数形结合的数学思想，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．13、【答案】【解析】∵3a=4b，∴a=b，∴（a-b）：（a+b）= b： b=1：7．故答案为．14、【答案】12S S=【解析】∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1＝BC2，S2＝AC•AB，∴S1＝S2．故答案为：S1＝S2.三、解答题15、【答案】(1)y＝100(8＜x≤9)；y ＝(9＜x≤45)；(2)等待2分钟．【解析】(1)停止加热时，设，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y ＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为(9，100)，∴B点坐标为(8，100)，当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；当停止加热，得y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y ＝(9＜x≤45)；(2)把y＝90代入y ＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．16、【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF长为2；（312x≤或32x≥．【解析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx +3，解得：a＝﹣1，b＝2，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y＝74，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝12或32，则EF长312 22⎛⎫=--=⎪⎝⎭；（3）由题意得：当y≤74时，直接写出x 的取值范围是：12x≤或32x≥，故答案为：12x≤或32x≥．17、【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】(1)如图所示，△PQM即为所求；(2)∵AB＝2，BC2=，AC221310=+=，△ABC与△DEF的相似比是1：2．∴2AB BC ACDE EF DF===，∴DE＝22，EF＝2，DF＝210，∴△DEF即为所求．18、【答案】（1）y=x2．z=﹣x+30（0≤x≤100）；（2）年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得毛利润1080万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x的函数关系式，再利用配方法求出最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可.【详解】（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a＝，故y与x之间的关系式为y＝x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx＋b，则，解得：，故z与x之间的关系式为z＝﹣x＋30（0≤x≤100）；（2）W＝zx﹣y ＝﹣x2＋30x ﹣x2＝﹣x2＋30x＝﹣（x2﹣150x）＝﹣（x﹣75）2＋1125，∵﹣＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W ＝﹣（x﹣75）2＋1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，注意二次函数最值的求法，一般用配方法.19、【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BO=．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从而得证；（3）设C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．试题解析：（1）∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠ABP，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠ABP，∴AP=AO；（2）如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，∵AE＝OD，∠AOD＝∠PAE，AP＝AO，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）设AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，由∠CBO=∠ABP，根据轴对称BC=BD=10﹣4k，∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，∴△BCO∽△PEO，∴，即，解得k=1．∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO=．考点：1.相似三角形的判定与性质2.全等三角形的判定与性质3.角平分线的性质4.等腰三角形的判定与性质．20、【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①由图象得：抛物线与x轴有两个交点∴方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根；故答案为：2；②由图象可知：﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，即y＝a时，与图象有4个交点，所以a的取值范围是：1＜a＜2．故答案为：1＜a＜2．21、【答案】（1）证明见解析；（2）反比例函数解析式为y ＝；（3）点M的坐标为（0，）．【解析】（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于点C，A，∴A（0，4），C（2，0），∴AB ＝＝5，BC＝5，∵D为B点关于AC的对称点，∴AD＝AB＝5，CD＝CB＝5，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形.（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，而AD＝5，A（0，4），∴D（5，4），把D（5，4）代入y ＝得k＝5×4＝20，∴反比例函数解析式为y ＝.（3）∵四边形ABMN是平行四边形，∴AB∥NM，AB＝NM，∴MN是AB经过平移得到的，∵点M是点B在水平方向向右平移3个单位长度，∴点N的横坐标为3，代入y ＝中，得：y ＝，∴点M 的纵坐标为﹣4＝，∴点M的坐标为（0，）．22、【答案】（1）证明见解析；（2）相似，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由平行四边形ABCD对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边对等角推知∠BED=∠OEB+∠OED=90°，则DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）利用两角法证得△BDE与△DCE相似．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；（2）△BDE与△DCE相似．理由如下：∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵∠OBE=∠OEB，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DCE.23、【答案】（1）①见解析；②12或23；（2）m＝12．【解析】（1）①∵1ABmAC==，∴AB＝AC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDF+∠CDF，且∠A＝∠BDF＝120°，∴∠ABD＝∠CDF＝∠DBF，且∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBD，∴CD CF BC CD=，∴CD2＝BC•CF；②如图1，过A作AG⊥BC于G，过F作FH⊥BC，交AC于H，∵∠C＝30°，∴CH＝2FH，设FH＝2a，CH＝4a，则CF＝23a，∵213CFBF=，∴BC＝153a，∵CG＝153a，∴AG＝152a，AC＝15a，∴AH＝11a，∵∠BAD＝∠BDF＝∠DHF＝120°，∴∠ADB+∠FDH＝∠ADB+∠ABD＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠FDH，∴△ABD∽△HDF，∴AB ADHD FH=，即152a ADHD a=，设AD＝x，则DH＝11a﹣x，∴30a2＝x（11a﹣x），x2﹣11ax+30a2＝0，（x﹣5a）（x﹣6a）＝0，x＝5a或6a，∴51102AB aCD a==或6293AD aCD a==，故答案为：12或23；（2）如图2，过E作EH∥AB，交AC于H，过D作DM⊥EH于M，过F作FG∥ED，交AC于G，∵BE＝CF，37BEEF=，∴37CFEF=，∵FG∥ED，∴37CF CGEF DG==，∴设CG＝3a，DG＝7a，∵AB DFAC DE=m，∠A＝∠EDF＝120°，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC＝10a，∵FG∥DE，∴∠GFC＝∠DEF＝∠C，∴FG＝CG＝3a，同理由（1）得：△EHD∽△DFG，∴ED DHDG FG=，即1073a DHa a=，DH＝307a，Rt△DHM中，∠DHM＝60°，∴∠HDM＝30°，∴HM＝12DH＝157a，DM153a，∴EM222215365(10)()77DE DM a a a-=-=，∴EH＝657a﹣157a＝507a，∴m＝5017302107aAB EHAC CH a a===+．。
沪科版九年级上册数学 21.4 二次函数应用题
沪科版九年级上册数学二次函数应用题要点提示1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点,当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 典例分析1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（1） （2）3.某广告公司设计一幅长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元。
设矩形的一边长为x 米，面积为s 平方米.(1)求出s 与x 之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费用最多，并求出这个费用；(3)为使广告牌美观大方，要求做成黄金矩形.请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少（精确到元）？基础强化1.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3.益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？4.国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?5.一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？6.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
沪科新版九年级(上) 中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用(13)
沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（13）一、解答题（共30小题）1．如图，抛物线y＝x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x 轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m＝2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．（1）求点B，C所在直线的函数解析式；（2）求△BCF的面积；（3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB＝DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB＝2，连接AC．（1）求出直线AC的函数解析式；（2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；（3）在抛物线上有一点P（m，n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．4．如图，已知一次函数y1＝x+b的图象l与二次函数y2＝﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程＝0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO＝∠α，当tan∠α＝4时，求点P的坐标．7．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究+是否为定值？请说明理由．（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1．若当1＜x ≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．9．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．11．复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．12．如图1，在菱形OABC中，已知OA＝2，∠AOC＝60°，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过O，C，B三点．（Ⅰ）求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式．（Ⅱ）如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P 在直线AG上．（1）当OP+PC的值最小时，求出点P的坐标；（2）在（1）的条件下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y ＝2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．14．如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y＝x2﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A，B，C，D；（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l 与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2．①当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．15．已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB 相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值；（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m 与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．16．如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO＝8．AD ＝10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；（3）直线y＝k（x﹣3）﹣与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣），求证：+为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N （x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|＝）17．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA＝OC＝4，以直线x＝1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y＝x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m＝0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m＝﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B 两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．20．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y＝﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC＝S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．22．已知抛物线y＝x2﹣（k+2）x+和直线y＝（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE ＝CG•AB，求抛物线的解析式．23．如图，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C，点D的坐标为（﹣6，0），且∠ACD＝90°．（1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△P AC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s，求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．24．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC 沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP＝OB＝t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D 依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y＝ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t＝1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t 的取值范围．27．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．28．给定直线l：y＝kx，抛物线C：y＝ax2+bx+1，b≠2k．（1）当b＝1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y＝2交于Q点，O为原点．求证：OP＝PQ．29．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点M是线段OA上的一个动点（不与点O、A重合），过点M作MN∥AC，交OC于点N，将△OMN沿直线MN折叠，点O的对应点O′落在第一象限内，设OM＝t，△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点O′落在AC上时，请直接写出此时t的值；②求S与t的函数关系式；（3）在点M运动的过程中，请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．30．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．沪科新版九年级（上）中考题同步试卷：21.4 二次函数的应用（13）参考答案一、解答题（共30小题）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．（0，3）；（4，3）；（4，﹣1）；（0，﹣1）；15．；16．；17．；18．；19．；20．无数；y＝﹣x2﹣1；21．；22．；23．；24．；25．；26．DNA或△DPA；4﹣t；27．；28．；29．；30．；。
初中数学沪科版九年级上册第二十一章《二次函数的应用》练习题(解析版)
初中数学沪科版九年级上册第二十一章21.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是()A. 25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB. 线段CD的函数解析式为s=32t+400(25≤t≤50)C. 5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D. 曲线段AB的函数解析式为s=−3(t−20)2+1200(5≤t≤20)2.二次函数y=x2−8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于1的点P共有()2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读数节活动”，决定降价促销，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=(30−x)(200+40x)B. y=(30−x)(200+20x)C. y=(30−x)(200−40x)D. y=(30−x)(200−20x)4.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为()A. y=(x−40)(500−10x)B. y=(x−40)(10x−500)C. y=(x−40)[500−10(x−50)]D. y=(x−40)[500−10(50−x)]5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=2a(x−1)B. y=2a(1−x)C. y=a(1−x2)D. y=a(1−x)26.为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是18元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x之间的函数关系式是()A. y=36(1−x)B. y=36(1+x)C. y=18(1−x)2D. y=18(1+x2)7.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是()A. y=x2B. y=4−x2C. y=x2−4D. y=4−2x8.矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是()A. y=−x2+6x(3<x<6)B. y=−x2+6x(0<x<6)C. y=−x2+12x(6<x<12)D. y=−x2+12x(0<x<12)9.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)10.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(x2+6x(0≤x≤4)，米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=−32那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是()A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米二、填空题11.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________．12.据权威部门发布的消息，2021年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是____．13.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为x m，菜园ABCD的面积为y m2，则y关于自变量x的函数关系式是___________________________．14.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为______．15.某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量万件与x之间的关系应表示为______．三、解答题16.已知抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0,3)．(1)求b，c的值；(2)直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l//y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．17.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．18.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键.根据函数图象中的信息，利用数形结合求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A.25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000−1200=800m ，故A 正确；B .设线段CD 的函数解析式为s =kt +b ，把(25,1200)，(50,2000)代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b， 解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s =32t +400(25≤t ≤50)，故B 正确；C .在A 点的速度为5255=105m/min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m/min ，速度从快变慢，故C 错误；D .当t =5，20时，由图象可得s =525，1200m ，将t =5，20分别代入s =−3(t −20)2+1200(5≤t ≤20)得s =525，s =1200，故D 正确．故选C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题结合图象的性质考查二次函数的综合应用，难度中等．要注意函数求出的各个解是否符合实际．由题可求出MN 的长，即△MNP 的底边已知，要求面积为12，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y 值代入即可解答．【解答】解：y =x 2−8x +15的图象与x 轴交点(3,0)和(5,0)，|MN|=2，设p 点(x,y)，y =x 2−8x +15，面积=12=12|MN|⋅|y|，可得y 1=12，或者y 2=−12，当y =12时，x =8±√62； 当y =−12时，x =8±√22， 所以共有四个点．故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．根据降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，由题意可得等量关系：总销售额为y =销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：设每本降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，根据题意得，y =(30−x)(200+20x)，故选B ．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键．直接利用每千克利润×销量=总利润，进而得出关系式．【解答】解：设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为：y =(x −40)[500−10(x −50)]．故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意得第二次降价后的价格是a(1−x)2．则函数解析式是y=a(1−x)2．故选D．原价为a，第一次降价后的价格是a×(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2．本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2，则函数关系式即可求得．【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2．则函数解析式是：y=18(1−x)2．故选C．7.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：y=−x2+4(0<x<2)，故选：B．根据剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)cm，根据矩形的面积公式即可解答．【解答】解：已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)．则y=x(6−x)化简可得y=−x2+6x，(0<x<6)，故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查列二次函数关系式，得到长方形的另一边长是解决本题的关键点．先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x，∴y=(12−x)⋅x．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：方法一：根据题意，得y=−32x2+6x(0≤x≤4)，=−32(x−2)2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x=−62×(−32)=2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．11.【答案】a(1+x)2【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x)，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元，∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元，即y=a(1+x)2．12.【答案】y=0.75(1+x)2【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于中考常考题型．第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是0.75(1+x)元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为0.75(1+x)2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=0.75(1+x)2．故答案为y=0.75(1+x)2．13.【答案】y=−2x2+40x(11≤x<20)【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式、矩形的面积公式的运用，利用篱笆的总长用含x的代数式表示出平行于墙的边长是解题的关键．先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论；【解答】解：根据题意，AD边的长为x米，则AB边的长为(40−2x)米，∴y=x(40−2x)，即y与x之间的函数关系式为y=−2x2+40x；0<40−2x≤18，11≤x<20，故答案为y=−2x2+40x(11≤x<20)．14.【答案】y=10x2−500x+6000【解析】解：设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为：y=(60−40−x)(300−10x)=10x2−500x+6000．故答案为：y=10x2−500x+6000．直接利用销量×每件利润=总利润，进而得出函数关系式．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量和每件利润是解题关键．15.【答案】y=20+20(x+1)+20(x+1)2【解析】解：y与x之间的关系应表示为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．故答案为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．根据平均增长问题，可得答案．本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键． 16.【答案】解：(1)由题意得：{b2=1c =3， ∴b =2，c =3，(2)①如图1，∵点C 关于直线x =1的对称点为点D ，∴CD//OA ，∴3=−x 2+2x +3，解得：x 1=0，x 2=2，∴D(2,3)，∵抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3， ∴令y =0，解得x 1=−1，x 2=3，∴B(−1,0)，A(3,0)， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =0b =3，解得：{k =−1b =3， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3，设F(a,−a 2+2a +3)，E(a,−a +3)，∴EF =−a 2+2a +3+a −3=−a 2+3a ，四边形CEDF 的面积=S △EFC +S △EFD =12EF ⋅CD =12×(−a 2+3a)×2=−a 2+3a =−(a −32)2+94，∴当a =32时，四边形CEDF 的面积有最大值，最大值为94．②当△PCQ∽△CAP 时，∴∠PCA =∠CPQ ，∠PAC =∠PCQ ，∴PQ//AC ，∵C(0,3)，A(3,0)，∴OA =OC ，∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，∴∠BCO=∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴tan∠PCA=tan∠BCO=OBOC =13，设PM=b，则CM=3b，AM=b，∵AC=√OC2+OA2=3√2，∴b+3b=3√2，∴b=34√2，∴PA=34√2×√2=32，∴OP=OA−PA=3−32=32，∴P(32,0)，设直线l的解析式为y=−x+n，∴−32+n=0，∴n=32．∴直线l的解析式为y=−x+32．【解析】(1)根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；(2)由题意先求出D点坐标为(2,3)，求出直线AC的解析式，设F(a,−a2+2a+3)，E(a,−a+3)，则EF=−a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为12EF⋅CD，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；(3)当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ=∠OCA=45°，则PQ//AC，∠BCO=∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式． 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(5,0)在抛物线y =ax 2+bx −5上，∴{a −b −5=025a +5b −5=0，解得{a =1b =−4，∴抛物线的表达式为y =x 2−4x −5，(2)设H(t,t 2−4t −5)，∵CE//x 轴，∴点E 的纵坐标为−5，∵E 在抛物线上，∴x 2−4x −5=−5，∴x =0(舍)或x =4，∴E(4,−5)，∴CE =4，∵B(5,0)，C(0,−5)，∴直线BC 的解析式为y =x −5，∴F(t,t −5)，∴HF =t −5−(t 2−4t −5)=−(t −52)2+254，∵CE//x 轴，HF//y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF =12CE ⋅HF =−2(t −52)2+252，∴H(52,−354)；(3)如图2，∵K 为抛物线的顶点，∴K(2,−9)，∴K 关于y 轴的对称点K′(−2,−9)，∵M(4,m)在抛物线上，∴M(4,−5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4,5)，∴直线K′M′的解析式为y=73x−133，∴P(137,0)，Q(0,−133).【解析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；(2)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；(3)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．18.【答案】解：(1)当x=0时，y=x2−2ax−1=−1，∴点A的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y=x2−2ax−1，得：2=1−2a−1，解得：a=−1，∴函数的表达式为：y=x2+2x−1，∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−1，如图1所示：∴当x>−1时，y随x的增大而增大；(3)抛物线y=x2−2ax−1=(x−a)2−a2−1的对称轴为：x=a，顶点坐标为：(a,−a2−1)，当a>0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A(0,−1)，∵图象的最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a−(−1)=2，解得：a=12；当a<0，对称轴在y轴左侧，顶点(a,−a2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2， 整理得：(a +1)2=2，解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG 三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ，∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1，∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧，∴PP′=2(a +1)，∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)，解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示：则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ，∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．1、最困难的事就是认识自己。
沪科版九年级数学上册试题 第21章二次函数与反比例函数章节测试卷(含解析)
第21章《二次函数与反比例函数》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．反比例函数y=k−2x过点(1，2)，则关于一次函数y=kx+k−5说法正确的是（ ）A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大C．一次函数过点(2，9) D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 2．一次函数y=cx−b与二次函数y=a x2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．3．已知抛物线y=x2+(m+1)x−14m2−1（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）A．2+5B．2−5C．2D．−24．已知点A(a,y1)，B(a+2,y2)，在反比例函数y=|k|+1x的图像上，若y1−y2>0，则a的取值范围为（）A．a<0B．a<−2C．−2<a<0D．a<−2或a>05．已知二次函数y=m x2−2mx+2（m≠0）在−2≤x<2时有最小值−2，则m=（ ）A．−4或−12B．4或−12C．−4或12D．4或126．已知二次函数y=−(x+m−1)(x−m)+1，点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是图象上两点，下列说法正确的是( )A．若x1+x2>1，则y1>y2B．若x1+x2<1，则y1>y2C．若x1+x2>−1，则y1>y2D．若x1+x2<−1，则y1<y27．如图，点A是反比例函数y=4x图像上的一动点，连接AO并延长交图像的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C(m,n)，使得AC⊥BC，AC=BC，则m，n满足（）A．mn=−2B．mn=−4C．n=−2m D．n=−4m8．已知抛物线y=a x2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经过点A(1，0)和点B(0，−3)，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a−b+c，则m的取值范围是（ ）A．0<m<3B．−6<m<3C．−3<m<6D．−3<m<09．如图是抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c−a=n；③抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；④当x<0时，a x2+(b+2)x≥0；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（）A．①②③B．①④⑤C．②④⑤D．②③⑤10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为6，BE=2DE，则k的值为（ ）A ．372B ．725C ．965D ．18二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，抛物线y =a x 2+bx +c 与直线y =kx +ℎ交于A 、B 两点，则关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为 ．12．将二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为 ．13．抛物线y =−12x 2+x +4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．(1)则点C 的坐标为 ；(2)若点P 为y 轴的正半轴上的一点，且△BCP 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．14．如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点D 是抛物线上的一个点，作DE ∥AB 交抛物线于D 、E 两点，以线段DE 为对角线作菱形DPEQ ，点P 在x 轴上，若PQ =12DE 时，则菱形对角线DE 的长为 ．15．如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y =1x(x >0)的图象上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1O A 1=∠B 2B 1A 2=∠B 3B 2A 3=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，直线y =x 与双曲线y =1x交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是 ．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△OAB 是等边三角形，且点B 的坐标为(4，0)，点A 在反比例函数y =kx (k >0)的图象上．（1）反比例函数y =kx的表达式为 ；（2）把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1．①若此时另一个反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，则k 和k 1的大小关系是：k k 1（填“<”、“>”或“=”）；②当函数y =kx的图象经△O 1A 1B 1一边的中点时，则a = ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图，一次函数y=x−2与反比例函数y=k(k>0)相交于点A(3，n)，与x轴交于x点B，(1)求反比例函数解析式(2)点P是y轴上一动点，连接PA，PB，当PA+PB的值最小时，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，C为直线y=x−2的动点，连接PC，将点C绕点P逆时针旋转90°得到点D，在C运动过程中，求PD的最小值．18．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c是常数）．(1)当b=−2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,−3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．19．（8分）如图，抛物线y=a x2+bx−5经过A(−1,0)，B(5,0)两点．2(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为(−3,−10)．运2动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，)，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须运动员在空中最高处A点的坐标为(1,54完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN 之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．21．（8分）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=kx(x<0)的图象相交于点B(−3,1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)当y 1随x 的增大而增大，且y 1<y 2时，直接写出x 的取值范围；(3)平行于x 轴的直线l 与函数y 1的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的右边），与函数y 2的图象相交于点E ．若△ACE 与△BDE 的面积相等，求点E 的坐标．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =a x 2+bx −4(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC =4OB ．(1)求直线CA 的表达式；(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n(0<n<4)．当△PCA的面积取最大值时，求点P的坐标；(4)当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．23．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点C(4,m)，D(−2,−4)．(1)求一次函数和反比例函数表达式；(2)点E为y轴正半轴上一点，当△CDE的面积为9时，求点E的坐标；(3)在（2）的条件下，将直线AB向上平移，平移后的直线交反比例函数图象于点F(2,n)，交y 轴于点G，点H为平面直角坐标系内一点，若以点E、F、G、H为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点H的坐标；并写出求解点H的坐标的其中一种情况的过程．答案解析一．选择题1．B【分析】把点(1，2)代入反比例函数y=k−2x，求出k的值，再把k的值代入一次函数y=kx+k−5，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：∵反比例函数y=k−2x过点(1，2)，∴2=k−2，解得k=4，∴一次函数y=kx+k−5的解析式为y=4x−1，∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意；∵4＞0，∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意；∵当x=2时，y=4×2−1=7，∴一次函数不过点(2，9)，故C错误，不符合题意；∵y=4x−1与坐标轴的交点为(0，−1)，(14，0)，∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×14=18，故D错误，不符合题意．故选：B．2．D【分析】先假设c<0，根据二次函数y=a x2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx−b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=a x2 +bx+c的开口方向及对称轴位置确定B，D是否成立．【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=a x2 +bx+c的图象与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；若c>0，b<0，则一次函数y=cx−b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二次函数y=a x2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=−b2a >0，故B错；若a<0，则对称轴x=−b2a<0，则D可能成立．故选：D．3．D【分析】当x=0时，可求得B为(0，−14m2−1)，由OA=OB可得A为(−14m2−1，0)或(1 4m2+1，0)，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x−14m2−1，进行计算即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，∴抛物线与y轴的交点B为(0，−14m2−1)，∵OA=OB，∴抛物线与x轴的交点A为(−14m2−1，0)或(14m2+1，0)，∴(−14m2−1)2+(m+1)(−14m2−1)−14m2−1=0或(14m2+1)2+(m+1)(14m2+1)−14m2−1=0，∴(−14m2−1)(−14m2−1+m+1+1)=0或(14m2+1)(14m2+1+m+1−1)=0，∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，∵m为整数，∴m=−2，故选：D．4．D【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．【详解】解：∵|k|+1>0，∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，∵y1−y2>0，∴ y1＞y2，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，∵y1＞y2，i.当在第一象限时，∴0<a<a+2，解得a>0；ii.当在第三象限时，∴a<a+2<0，解得a<−2；综上所述：a<−2或a>0；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，∵y1＞y2，∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，故选：D．5．B【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数y=m x2−2mx+2=m(x−1)2−m+2，∴对称轴为直线x=1，①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=−m+2=−2，解得：m=4；②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在−2≤x<2时有最小值−2，∴x=−2时，有最小值y=9m−m+2=−2，解得：m=−12．故选：B．6．A【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x=12，然后根据函数图像上点的坐标与对称轴的关系即可得到答案；【详解】解：∵y=−(x+m−1)(x−m)+1=−x2+x+m2−m+1∴函数图像开口向下，对称轴为x=12当x1+x2=1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y1=y2；当x1+x2>1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此时y1>y2；当x1+x2<1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，此时y1<y2；由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；7．B【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质得出OC=OA，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出ΔAOE≅ΔCOF，根据全等三角形的性质，可得出A(−m,n)，进而得到−mn=4，进一步得到mn=−4．【详解】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示：∵由直线AB与反比例函数y=4x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO，又∵AC⊥BC，AC=BC，∴CO⊥AB，CO=12AB=OA，∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴ΔAOE≅ΔCOF(AAS)，∴OE=OF，AE=CF，∵点C(m,n)，∴CF=−m，OF=n，∴AE=−m，OE=n，∴A(n,−m)，图像上，∵点A是反比例函数y=4x∴−mn=4，即mn=−4，故选：B．8．B【分析】由顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，可得出：a>0，−b<0，即可2a得出0<a<3，又由于m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，求出3a−6的范围即可．【详解】∵抛物线y=a x2+bx+c过点(1,0)和点(0,−3)，∴c=−3，a+b+c=0，即b=3−a，∵顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，−3)，∴a>0，−b<0，2a∴b>0，∴b=3−a>0，∴a<3，∴0<a<3∵m=2a−b+c=2a−(3−a)+(−3)=3a−6，∵0<a<3，∴0<3a<9∴−6<3a−6<3，∴−6<m<3．故选：B．9．D【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为(1，n)，则其对称轴为x=1，即−b2a=1，所以b=−2a，所以①错误；②当x=1时，y=n，所以a+b+c=n，因为b=−2a，所以c−a=n，所以②正确；③因为抛物线的对称轴为x=1，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，所以抛物线另一个交点(m，0)在−2到−1之间；所以③正确；④因为a x2+(b+2)x≥0，即a x2+bx≥−2x，根据图象可知：把抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线y=a x2+bx(a≠0)的图象，所以当x<0时，a x2+bx<−2x，即a x2+(b+2)x<0．所以④错误；⑤一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0，Δ=(b−12)2−4ac，因为根据图象可知：a<0，c>0，所以−4ac>0，所以Δ=(b−12)2−4ac>0，所以一元二次方程a x2+(b−12)x+c=0有两个不相等的实数根．所以⑤正确．综上，正确的有②③⑤，故选：D．10．C【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由勾股定理构造方程求出DE=125，BE=DF=245，再根据反比例函数图像同时经过顶点C、D,即可解答．【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵点C的横坐标为6，，∴BC=6．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=6．C∵BE=2DE，∴设DE=x，则BE=2x．∴DF=BE=2x，BF=DE=x，FC=BC−BF=6−x．在Rt△DCF中，∵D F2+C F2=C D2，∴(2x)2+(6−x)2=62．解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=125，∴DE=125，BE=DF=245．设OB=a，则D(125,a+245)，C(6,a)∵反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图像同时经过顶点C，D，∴k=125×(a+245)=6a．解得：a=165．∴k=6a=965．故选C．二．填空题11．x <2或x >4【分析】根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，进而结合函数图象得出x 的取值范围．【详解】解：根据题意得出：当a x 2+bx +c >kx +ℎ时，则a x 2+(b −k )x +c >ℎ，由图象可得：关于x 的不等式a x 2+(b −k )x +c >ℎ的解集为：x <2或x >4，故答案为：x <2或x >4．12．−8【分析】设设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n 4,再进行变形得出(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,再代入可得m 2−1616=8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标【详解】∵二次函数y =4x 2+mx +n （m ，n 为常数）的图像沿与x 轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x 轴截出长为22的线段，∴翻折前两交点间的距离不变，设翻折后图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−m4,x 1x 2=n4,∴|x 1−x 2|=22,∴(x 1−x 2)2=8,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8,∴(−m4)2−4×n 4=8,∴m 2−1616=8,又∵y =4x 2+mx +n 的纵坐标为4×4n −m 24×4=16n −m 216，∴16−m 216=−8,即该二次函数图像顶点纵坐标为−8故答案为：−813．(2,4)(0,2)，(0,1)2【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=−1x2+x+4上，2∴y=4，∴C(2,4)，故答案为：(2,4)；（2）令y=0，则−1x2+x+4=0，2解得：x=4或x=−2．∵抛物线y=−1x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，2∴B(4,0)．∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，过点C作CD⊥OB于点D，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CD=4，OB=4，OD=2，∴CD=OB．在Rt△BPO和Rt△BCD中，{BP=BCOB=DC，∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，∴OP=BD．∵OB=4，OD=2，∴BD=OB−OD=2，∴OP=BD=2，∴P(0,2)；②当BP=PC时，如图，过点C作CE⊥y轴于点E，∵C(2,4)，B(4,0)，∴CE=2，OE=4，OB=4，设点P(0,a)，∵点P为y轴的正半轴上的一点，∴OP=a,EP=4−a，∵BP=PC，∴B P2=P C2，∴E P2+C E2=O P2+O B2，∴(4−a)2+22=a2+42，，解得：a=12)．∴P(0,12综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0,1)．2故答案为：(0,2)或(0,1)．214．1+652或−1+652【分析】设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM= 12PQ ，设点D 的横坐标为t ，由此表示出DE 的长，PM 的长，进而可得PQ 的长，根据PQ = 12DE 建立方程，求解即可．【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y =x 2−2x −3的对称轴为直线x =1，设菱形DPEQ 对角线的交点为M ，则PQ ⊥DE ，PM = 12PQ ，∵点D 是抛物线上的一个点，且DE ∥AB ，设点D 的横坐标为t ，∴D (t ，t 2−2t −3)，∵DE ∥AB ，∴点D ，点E 关于对称轴对称，∴点P 和点Q 在对称轴上，∴E(2−t ，t 2−2t −3)，∴DE =(2−2t)，PM=|t 2−2t −3|，∴PQ =2PM =2|t 2−2t −3|，∵PQ =12DE ，∴2|t 2−2t −3|=12(2−2t )，解得t 1= 5−654，t 2= 5+654(舍去)，t 3= 3−654，t 4= 3+654(舍去)，∴DE =2−2t = 1+652或−1+652．故答案为：1+652或−1+652．15．(0,2n )【分析】如图，过A1作A1H⊥y轴于H，求解A1(1,1)，结合题意，△O A1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出O B1，O B2，O B3，O B4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【详解】解：如图，过A1作A1H⊥y轴于H，∵{y=1x y=x，其中x>0，解得：{x=1y=1，即A1(1,1)，∴OH=A1H=1，∴∠A1OH=45°，∵B1A1⊥O A1，∴△O A1B1是等腰直角三角形，∴O B1=2；同理可得：△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，同理设A2(m,m+2)，∴m(2+m)=1，解得m=2−1，（负根舍去）∴O B2=2+22−2=22，同理可得：O B3=23，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴O Bn=2n，∴Bn(0,2n)．故答案为：(0,2n)．16．y=43x<1或3【分析】（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A (2，23)，再利用待定系数法求解即可；（2）求出A1(2+a，23)，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；（3）分当函数y=kx 的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，∵(4，0)，∴OB=4，∵△AOB是等边三角形，∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，∴AC=O A2−O C2=23，∴A(2，23)，∵点A在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，∴23=k2，∴k=43，∴反比例函数y=kx 的表达式为y=43x，故答案为：y=43x；（2）①∵把△OAB 向右平移a 个单位长度，对应得到△O 1A 1B 1，∴A 1(2+a ，23)，∵反比例函数y =k 1x的图象经过点A 1，∴23=k 12+a，∴k 1=23(2+a )，∵a >0，∴2+a >2，∴k 1>43=k ，故答案为：<；（3）当函数y =kx 的图象经过O 1A 1的中点时，∵O 1(a ，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =kx 的图象经过点(a +a +22，232)，∴3=43a +1，∴a =3；当函数y =kx 的图象经过A 1B 1的中点时，∵B 1(a +4，0)，A 1(a +2,23)，∴函数y =k x 的图象经过点(a +4+a +22，232)，∴3=43a +3，∴a =1，故答案为：1或3．三．解答题17．（1）解：∵点A (3，n )在一次函数y =x −2的图象上，∴n =3−2=1，∴点A (3，1)，∵点A (3，1)在反比例函数y =kx (k >0)的图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数解析式为y =3x ；（2）解：作点B 关于y 轴的对称点B '，连接A B '交y 轴于点P ，此时PA +PB 的值最小，令y =0，则0=x −2，解得x =2，∴点B (2，0)，点B '(−2，0)，设直线A B '的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =1−2k +b =0，解得{k =15b =25，∴直线A B '的解析式为y =15x +25，令x =0，则y =25，∴P 点坐标为(0，25)；（3）解：由旋转的性质知PC =PD ，当PC ⊥AB 时，PC 有最小值，此时PD的值最小，设直线AB交y轴于点E，令x=0，则y=0−2=−2，，点E(0，−2)，∴OE=2，OB=2，∴BE=22+22=22，∵S△PBE =12PE×OB=12BE×PC，∴PC=(25+2)×222=625，∴PD的最小值为625．18．（1）解：当b=−2，c=3时，y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，∴此时该函数图象的顶点坐标为(−1,4)；（2）解：∵该函数图象经过点(1,−3)，∴−1+b+c=−3，则c=−2−b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=−b2×(−1)=b2，n=4×(−1)×c−b24×(−1)=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=−2−2m，∴n=−2−2m+4m24，即n=m2−2m−2；（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=−x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c +12≤2即−12≤c ≤32时，该函数的最大值为4×(−1)×c −(2c +1)24×(−1)=c +(2c +1)24=8，即4c 2+8c −31=0，解得c 1=−1+352（不合题意，舍去），c 2=−1−352（不合题意，舍去）；当c +12<0即c <−12时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =0时，y 有最大值为c =8，不合题意，舍去；当c +12>2即c >32时，0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，y 有最大值为−22+2(2c +1)+c =8，解得c =2，符合题意，综上，满足条件的c 的值为2．19．（1）解：∵抛物线y =a x 2+bx −52经过A (−1,0)，B (5,0)两点，∴{a −b −52=025a +5b −52=0，解得：a =12，b =−2，∴此拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52；（2）如图，连接BC ，交对称轴于点P ，∵拋物线的解析式为y =12x 2−2x −52，∴其对称轴为直线x =−b2a =−−22×12=2，当x =0时，y =−52，∴C (0,−52)，又∵B (5,0)，∴设BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，∴{5k +b =0b =−52，解得：k =12，b =−52，∴ BC 的解析式为y =12x −52，当x =2时，y =2×12−52=−32，∴P (2,−32)，∴PA +PC =(−1−2)2+(32+0)2+(0−2)2+(−52+32)2=552；（3）存在，如图所示：①当点N 在x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为x =2，C (0,−52)，∴N 1(4,−52)，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点N 2作N 2D ⊥x 轴于点D ，在△A N 2D 和△M 2CO 中，{∠N 2AD =∠C M 2OA N 2=C M 2∠N 2DA =∠CO M 2，∴△A N 2D ≌△M 2CO (ASA )， ∴N 2D =OC =52，即N 2点的纵坐标为52∴12x 2−2x −52=52，解得：x =2+14或x =2−14，∴N 2(2+14,52)，N 3(2−14,52)，综上所述符合条件的N 的坐标有(4,−52)，(2+14,52)，(2−14,52)．20．（1）解：设抛物线的解析式为y =a 0(x −1)2+54将(0,0)代入解析式得：a 0=−54∴抛物线的解析式为y =−54(x −1)2+54令y =−10，则−10=−54(x −1)2+54解得：x 1=−2(舍去),x 2=4∴入水处B 点的坐标(4，−10)（2）解：距点E 的水平距离为5米，对应的横坐标为：x =5−32=72将x =72代入解析式得：y =−54×(72−1)2+54=−10516∵−10516−(−10)=5516<5∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN =272，点E 的坐标为(−32,−10)∴点M 、N 的坐标分别为：(9,−10),(12,−10)∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y =a （x −ℎ）2+k ，顶点C 距水面4米y =a (x −132)2−14，∴当抛物线经过点M时，把点M(9,−10)代入得：a=1625同理，当抛物线经过点N(12,−10)时，a=14由点D在MN之间可得：14≤a≤162521．（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图像与反比例函数y2=kx(x>0)的图像相交于点B(−3,1)，∴(−3)2−3m+1=1，k−3=1，解得m=3，k=−3，∴二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，反比例函数的解析式为y2=−3x(x>0)．（2）∵二次函数的解析式为y1=x2+3x+1，∴对称轴为直线x=−32，由图象知，当y1随x的增大而增大，且y1<y2时，−32≤x<0（3）由题意作图如下：∵当x=0时，y1=1，∴A(0,1)，∵B(−3,1)，∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，当x=−32时，y2=2，∴E(−32,2)．22．（1）解：令x=0，则y=−4，∴C(0，−4)，∴OC=4，∵OA=OC，∴AO=4，∴A(4，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，∴{4k+b=0b=−4，解得{k=1b=−4，∴y=x−4；（2）解：∵OC=4OB，∴OB=1，∴B(−1，0)，将A(4，0)，B(−1，0)代入y=a x2+bx−4，∴{16a+4b−4=0a−b−4=0，解得{a=1b=−3，∴y=x2−3x−4，∵y=x2−3x−4=(x−32)2−254，a=1>0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=32，∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x<32；（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，∵点P 的横坐标为n ，∴ P (n ，n 2−3n −4)，则Q (n ，n −4)，∴ PQ =n −4−(n 2−3n −4)=−n 2+4n ，由（1）得A (4，0)，C (0，−4)，∴ S △PCA =S △PCQ +S △PAQ=12QP (x P −x C )+12QP (x A −x P )=12QP (x P −x C +x A −x P )=12QP (x A −x C )=12×4×(−n 2+4n )=−2(n −2)2+8，∵ 0<n <4，∴当n =2时，△PCA 的面积有最大值，此时P (2，−6)；（4）解：当32≤m ≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，∵ y =x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴抛物线的对称轴为直线x =32，①当−1<m <32时，x =−1，y 有最大值0，x =m ，y 有最小值m 2−3m −4，∴ 0−(m 2−3m −4)=−m 2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m 的变化而变化；②当32≤m ≤4时，x =32，y 有最小值−254，x =−1，y 有最大值0，∴0−(−254)=254，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；③当m>4时，x=32，y有最小值−254，x=m，y有最大值m2−3m−4，∴m2−4m−4+254=m2−3m+94，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；综上所述：32≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．23．（1）∵点C(4,m)，D(−2,−4)在反比例函数图象上，∴4m=(−2)×(−4)，解得m=2，∴C(4,2)，∴反比例函数的解析式为y=8x；设一次函数的解析式为y=kx+b，∴{−2k+b=−44k+b=2，解得{k=1b=−2，∴一次函数的解析式为y=x−2；（2）直线y=x−2与y轴的交点B(0,−2)，设E(0,t)，t>0，∴EB=t+2，∴SΔCDE =12×BE×(4+2)=9，∴3(t+2)=9，解得t=1，∴E(0,1)；（3）设直线AB向上平移后的函数解析式为y=x−2+ℎ，∵F(2,n)在反比例函数图象上，∴n=4，∴F(2,4)，将F点代入y=x−2+ℎ，则ℎ=4，∴平移后的直线解析式为y=x+2，∴G(0,2)，设H(x,y)，①当HE为平行四边形的对角线时，x=2，y+1=6，∴H(2,5)；②当HF为平行四边形的对角线时，x+2=0，y+4=3，∴H(−2,−1)；③当HG为平行四边形的对角线时，x=2，y+2=5，∴H(2,3)；综上所述：H点坐标为(2,5)或(−2,−1)或(2,3)．。
沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题
21.4.1利用二次函数模型解决最值问题一、选择题1．某汽车出租公司一天的租车总收入y (元)与每辆出租车的日租金x (元)满足函数表达式y ＝－35(x －120)2＋19440(0≤x ≤200)，则该公司一天的租车总收入最多为( )A ．120元B ．200元C ．1200元D ．19440元2．]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图1所示的三处各留1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m ，则能建成的两间饲养室总面积最大为 ( )图1A ．75m2B. 752m 2 C ．48m2D. 2252m 23．某超市的小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y (千克)和当天的售价x (元/千克)之间满足y ＝－20x ＋200(3≤x ≤5)，若要使该种苹果当天的利润W 达到最高，则其售价应为( )A ．5元/千克B ．6元/千克C ．3.5元/千克D ．3元/千克4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y (单位：万元)与销售量x (单位：辆)之间分别满足：y 1＝－x 2＋10x ，y 2＝2x .若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元二、填空题5．某商品的利润y (元)与单价x (元/件)之间的函数表达式为y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润是________.6．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y (元/平方米)是楼层数x (楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则________楼房子最贵，且价格为________元/平方米．7．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.8．一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价________元．三、解答题9．直线l过点A(a，0)和点B(0，b)，其中a＞0，b＞0，若a＋b＝12，点O为原点，△AOB的面积为S，则当b为何值时，S取得最大值？并求出这个最大值．10．某种商品每天的销售利润y(元)与每个商品的售价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx －75，其图象如图2所示．(1)当每个商品的售价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)每个商品的售价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．图211.某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为y＝⎩⎨⎧－2x ＋140()40≤x <60，－x ＋80()60≤x ≤70. (1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元)，请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？12．如图3，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m 2的花圃，那么AB 的长是多少米？(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．图313 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图4所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图4答案1．D2．[解析]A 设垂直于现有墙的一边长为x m ，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x ＝(30－3x)m ，则饲养室的总面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故能建成的饲养室的最大面积为75m 2.3．[解析]A W ＝(x －2)(－20x ＋200)＝－20(x －6)2＋320，因为3≤x ≤5，当x ≤6时，W 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，W 取最大值．故选A .4．[解析]D 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润W ＝ y 1＋y 2＝－x 2＋10x ＋2(15－x)＝－x 2＋8x ＋30＝－(x －4)2＋46，故能获得的最大利润为46万元．5．[答案]5元[解析]当x ＝1时，函数有最大值5，且1在0.5≤x ≤2的范围内，所以当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润为5元．6．[答案]四 5200[解析]设y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)， 解得y ＝－30(x －4)2＋5200. 当x ＝4时，y ＝5200. 7．[答案]12.5[解析]设这两个正方形的边长分别为x cm 和y cm ，它们的面积之和为S cm 2.根据题意，得4x ＋4y ＝20，S ＝x 2＋y 2，所以y ＝5－x ，S ＝x 2＋(5－x)2＝2x 2－10x ＋25＝2(x 2－5x)＋25＝2(x －52)2＋252.所以当x ＝2.5时，这两个正方形的面积之和最小，最小是12.5cm 2.8．59．解：∵a ＋b ＝12，∴a ＝12－b.又∵S ＝12ab ，∴S ＝12(12－b)b ＝－12b 2＋6b ＝－12(b －6)2＋18.又∵－12＜0，∴当b ＝6时，S 取得最大值，最大值为18.10．解：(1)函数y ＝ax 2＋bx －75的图象过点(5，0)，(7，16)，则⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20， 则y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25，故函数图象的顶点坐标是(10，25)． ∵a ＝－1＜0，∴当x ＝10时，y 最大值＝25.故当每个商品的售价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． (2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象的对称轴为直线x ＝10， ∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)． 又∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16.即每个商品的售价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 11．解：(1)当40≤x ＜60时，W ＝(x －30)(－2x ＋140)＝－2x 2＋200x －4200， 当60≤x ≤70时，W ＝(x －30)(－x ＋80)＝－x 2＋110x －2400. (2)当40≤x ＜60时，W ＝－2x 2＋200x －4200＝－2(x －50)2＋800， ∴当x ＝50时，W 取得最大值，最大值为800；当60≤x ≤70时，W ＝－x 2＋110x －2400＝－(x －55)2＋625， ∴当x ＞55时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 取得最大值，最大值为－(60－55)2＋625＝600. ∵800＞600，∴当x ＝50时，W 取得最大值800.答：该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．12．解：(1)S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x(143≤x<8)．(2)当S ＝45时，有－3x 2＋24x ＝45. 解得x 1＝3，x 2＝5. ∵143≤x<8， ∴x ＝5， 即AB 的长为5m .(3)能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，∴在143≤x<8的范围内，当x ＝143时，S 取得最大值，S 最大值＝1403.即最大面积为1403m 2，此时AB ＝143m ，BC ＝10m .13 解：(1)方法一：设AE ＝a m ．由题意，得AE ·AD ＝2BE ·BC ，AD ＝BC ，所以BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋a ＝80，所以a ＝20－12x ，所以y ＝AB ·BC ＝32a ·x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12x x ，即y ＝－34x 2＋30x ，其中0<x<40.方法二：根据题意，得CF ·x ＝y 3，CF ＝y 3x ，DF ·x ＝2y 3，DF ＝2y 3x ，所以2x ＋2×y 3x ＋3×2y3x ＝80，整理得y ＝－34x 2＋30x ，其中0＜x ＜40.(2)y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300，因为－34＜0，所以抛物线开口向下．又因为0＜x ＜40，所以当x ＝20时，y 取得最大值，最大值为300.。
21.4二次函数的应用练习2021-2022学年沪科版数学九年级上册
二次函数的应用1.某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，售价每涨1元，月销量就减少10件.设售价为每件x(x≥50)元，月销量为y件，月销售利润为w元．(1)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式;(2)商店要在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，售价应定为每件多少元⋅(3)当售价定为每件多少元时会获得最大利润⋅求出最大利润．2.某超市购进一种商品，进货单价为10元，在销售过程中，超市规定，销售单价不低于10元且不高于19元.如果该商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)满足一次函数关系式y=−2x+40，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x(单位：元)定为多少时，日销售利润最大⋅最大利润是多少元⋅3.某超市经销一种商品，每千克成本为50元.经试销发现，该种商品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售价、销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售价应定为多少⋅(3)当销售价定为多少时，才能使当天的销售利润最大⋅最大利润是多少⋅4.某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)销售单价定为多少时，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大⋅最大利润是(3)若该商店想使销售该商品每天获得的利润不低于800元，请直接写出此时x的取值范围．5.某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．6.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件)11 19日销售量y(件)18 2请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？7.为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆⋅共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．8.我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投入市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y(千克)与销售单价每千克x(元)之间函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？(3)某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，若要求每天销售获得的利润最大，能否销售完这批草莓？请说明理由．9.超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．(1)请写出y与x之间的函数表达式；(2)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？10.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．(1)求k，b的值；(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．11.某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？12.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(2,0)，与y轴交于点C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．(1)若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？(2)这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．.下14.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？15.某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为x，面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)设计费能达到24000元吗？为什么？(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？16.毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大⋅最大利润是多少⋅x2+2与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，17.如图，抛物线y=−12点B在x轴的负半轴上．(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标;(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≅△OAC?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由．18.端午节前夕.某超市调研一种进价为4元/个的粽子的销售情况.当每个售价为6元时，每天能卖出1400个，在此基础上售价每上涨0.1元，每天销售量将减少10个.根据物价局规定，售价不能超过进价的300%．(1)若要实现每天6000元的销售利润，售价应定为多少？(2)若按照物价局规定的最高售价，每天的利润会超过6000元吗？请说明理由．19.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．(1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(不需要求自变量取值范围)(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？20.新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？答案1、【答案】解：(1)由题意得y =500−10(x −50)=1000−10x ，w =(x −40)(1000−10x)=−10x 2+1400x −40000．(2)由题意得−10x 2+1400x −40000=8000，解得 x 1=60，x 2=80，当x =60时，成本=40×[500−10×(60−50)]=16000元>10000元，不符合要求，舍去;当x =80时，成本=40×[500−10×(80−50)]=8000元<10000元，符合要求，∴售价应定为每件80元．(3)∵w =−10x 2+1400x −40000=−10(x −70)2+9000，−10<0，∴当x =70时，w 取最大值，为9000，故售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．2、【答案】解：根据题意得w =(−2x +40)(x −10)=−2x 2+60x −400=−2(x −15)2+50，∴当x =15时，w 取得最大值，最大值为50．∴当该商品的销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润是50元．3、【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将(55,70)、(60,60)代入得{55k +b =70,60k +b =60,解得{k =−2,b =180.∴y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得(x −50)(−2x +180)=600，整理得x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80．答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵−2<0，∴当x =70时，w 最大值=800．故销售价定为70元/千克时，当天的销售利润最大，最大为800元．4、【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，将(30,100)、(45,70)代入得{100=30k +b,70=45k +b,解得{k =−2,b =160,故y =−2x +160．(2)由题意得w =(x −30)(−2x +160)=−2(x −55)2+1250，∵−2<0，∴w 有最大值，∴当x =55时，w 有最大值，此时，w =1250，故销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润为1250元．(3)由题意得(x −30)(−2x +160)≥800，解得40≤x ≤70，故x 的取值范围为40≤x ≤70．5、【答案】解：设y =ax 2+4(a ≠0)，∵图象经过(−2,2.4)，∴4a +4=2.4，解得：a =−0.4，∴表达式为y =−0.4x 2+4．6、【答案】解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得：{3a +2b =602a +3b =65，解得：{a =10b =15．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x +b 1，将(11,18)，(19,2)代入得：{11k1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40．∴y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +40(11≤x ≤19)．(3)由题意得：w =(−2x +40)(x −10)=−2x 2+60x −400=−2(x −15)2+50(11≤x ≤19)．∴当x =15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．7、【答案】解：如图，以BD 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P 的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)，设抛物线的解析式为y =a(x −1)2+3.6，将点A(0,2)代入，得：a +3.6=2，解得：a =−1.6，则抛物线的解析式为y =−1.6(x −1)2+3.6，当y =0时，有−1.6(x −1)2+3.6=0，解得：x =−0.5(舍)或x =2.5，∴BD =2.5，答：水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m ．8、{12k +b =40014k +b =350， 解得{k =−25b =700， ∴y 与x 的函数关系式为y =−25x +700；由题意知{−25x +700≥0x ≥10， ∴10≤x ≤28．(2)设每天的销售利润为w 元，由题意知：w =(x −10)(−25x +700)=−25x 2+950x −7000=−25(x −19)2+2025∵a =−25<0，∴当x =19时，w 取最大值，为2025．当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元．(3)能销售完这批草莓．当x =19时，y =−25×19+700=225，225×30=6750>6000∴按照(2)中的方式进行销售，能销售完这批草莓．9、【答案】解：(1)根据题意得，y =−12x +50；(2)根据题意得，w =(40+x)(−12x +50)=−12x 2+30x +2000 =−12(x −30)2+2450，∵a =−12<0，∴当x <30时，w 随x 的增大而增大，∵该种玩具每件利润不能超过60元，∴x 的最大值为：60−40=20，∴当x =20时，w 最大=2400，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．10、【答案】解：(1)由题意可得：{30=50k +b 10=70k +b， ∴{k =−1b =80， 答：k =−1，b =80；(2)∵w =(x −40)y =(x −40)(−x +80)=−(x −60)2+400，∴当x =60时，w 有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．11、【答案】解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y =kx +b 得 {25=15k +b 20=20k +b ，解得{k =−1b =40故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y =−x +40(2)依题意，设利润为w 元，得w =(x −10)(−x +40)=−x 2+50x +400整理得w =−(x −25)2+225∵−1<0∴当x =25时，w 取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元． 12、【答案】解：(1)∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，设抛物线表达式为：y =a(x +1)(x −2)，将C 代入得：4=−2a ，解得：a =−2，∴该抛物线的解析式为：y =−2(x +1)(x −2)=−2x 2+2x +4；(2)连接OP ，设点P 坐标为(m,−2m 2+2m +4)，m >0，∵A(−1,0)，B(2,0)，C(0,4)，可得：OA =1，OC =4，OB =2，=−2(m −1)2+8，当m =1时，S 最大，最大值为8．13、【答案】解：(1)设每件衬衫应降价x 元，由题意得：(0.1x +20)(120−x)=2070，解得：x 1=−110(舍去)，x 2=30．答：每件衬衫应降价30元．(2)这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：设盈利为w 元，由题意得：w =(0.1x +20)(120−x)=−0.1(x +40)2+2560，∵x ≥0，∴当x =0时，w 取得最大值，此时w =2400．即最高盈利是2400元．14、【答案】解：(1)设淡季每间的价格为x 元，酒店豪华间有y 间，{x(y −10)=24000x(1+13)y =40000， 解得，{x =600y =50， ∴x +13x =600+13×600=800， 答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y =(800+x)(50−x 25)=−125(x −225)2+42025，∴当x =225时，y 取得最大值，此时y =42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．15、【答案】解：(1)∵矩形的一边为x 米，周长为16米，∴另一边长为(8−x)米，∴S =x(8−x)=−x 2+8x ，其中0<x <8；(2)能，∵设计费能达到24000元，∴当设计费为24000元时，面积为24000÷2000=12(平方米)，即−x 2+8x =12，解得：x =2或x =6，∴设计费能达到24000元．(3)∵S =−x 2+8x =−(x −4)2+16，∴当x =4时，S 最大值=16，∴当x =4米时，矩形的最大面积为16平方米，设计费最多，最多是32000元．16、【答案】(1)设函数解析式为：y =kx +b ，根据题意，代入(12,28)和(15,25)得：{28=12k +b,25=15k +b,解得：{k =−1,b =40,∴函数解析式为：y =−x +40(10≤x ≤20)．(2)根据题意得：W =(x −10)y=(x −10)(−x +40)=−x 2+50x −400或−(x −25)2+225，∵该函数开口向下，∴当x ≤25时，W 随x 的增大而增大，∵10≤x ≤20，∴当x =20时，W 有最大值，且最大值为200．答：当每件售价为20元时，每天的销售利润最大，且最大利润是200元．17、【答案】解：(1)抛物线的对称轴是y 轴，顶点C 的坐标为(0,2)．(2)不存在.理由如下：由已知条件易得点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(−2,0)，则OA =OB =OC =2，故△OAC 是等腰直角三角形．假设存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ，因为AC 为公共边，OA =OC ，所以点M 和点O 关于直线AC 对称，因此四边形OAMC 是正方形，所以点M 的坐标为(2,2)，当x =2时，y =−12x 2+2=−12×22+2=0≠2，所以点M 不在抛物线y =−12x 2+2上，所以在抛物线上不存在一点M ，使得△MAC ≌△OAC ．18、【答案】解：(1)设售价为x 元，由题意得：(x −4)(1400−x−60.1×10)=6000 解得x =10或x =14∵售价不能超过进价的300%．∴x ≤4×300%，即x ≤12∴x =10答：若要实现每天6000元的销售利润，售价应定为10元．(2)设售价为x 元，利润为y 元，由题意得y =(x −4)(1400−x −60.1×10) =−100x 2+2400x −8000=−100(x −12)2+6400∵x ≤12∴当x =12时，函数能取得最大值，最大值为6400元．答：按照物价局规定的最高售价，每天的利润会超过6000元，最大利润是6400元．19、【答案】解：(1)∵依题意，得：y =50+(100−x)×12×10=−5x +550，∴y 与x 的函数关系式为y =−5x +550；(2)∵依题意得：y(x −50)=4000，即(−5x +550)(x −50)=4000，解得：x 1=70，x 2=90，∵70<90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；(3)设每月总利润为w ，依题意得w =y(x −50)=(−5x +550)(x −50)=−5x 2+800x −27500=−5(x −80)2+4500，∵−5<0，此图象开口向下，∴当x =80时，w 有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．20、【答案】解：(1)设A 、B 两种花苗的单价分别是x 元和y 元，则{3x +5y =2104x +10y =380，解得{x =20y =30， 答：A 、B 两种花苗的单价分别是20元和30元；(2)设购买B 花苗x 盆，则购买A 花苗为(12−x)盆，设总费用为w 元，由题意得：w =20(12−x)+(30−x)x =−x 2+10x +240(0≤x ≤12)，∵−1<0.故w 有最大值，当x =5时，w 的最大值为265，当x =12时，w 的最小值为216，故本次购买至少准备216元，最多准备265元．。
沪科版数学《二次函数》章节练习题(精析版)
21.1二次函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列表达式中是二次函数的是()A. y=3−x2B. y=x2−1xC. y=(x−3)2−x2D. y=x3−2x2+1【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义即可作答．【解答】解：A.是二次函数，A正确；B.含有分式1，所以不是二次函数，B错误；xC.化简后得到y=−6x+9，是一次函数，C错误；D.自变量x的最高次数大于2，不是二次函数，D错误．故选A．2.下列函数中，自变量的取值范围是全体实数的是()．B. y=x2+2x+3A. y=−12−xC. y=√x+1D. y=√xx【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数、零指数幂有意义的条件.根据二次根式的性质、分式的意义、零指数幂有意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，底数不等于0，就可以求解．【解答】解：∵y=x2+2x+3没有根式及分母等，∴其中自变量x的取值范围是全体实数．故选B．3.关于x的函数y=(m−1)x m2+1+4x−2为二次函数，则m的值为()A. m=1B. m=−1C. m=±1D. m=0【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为零是解题关键.根据二次函数的定义：y=ax2+bx+c是二次函数，可得答案．【解答】解：∵关于x的函数y=(m−1)x m2+1+4x−2为二次函数，∴m2+1=2且m−1≠0，解得m=−1．故选B．4.在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/ℎ的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(ℎ)有函数关系．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)也叫做二次函数的一般形式．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断即可．【解答】解：①依题意得：y=x2，属于二次函数关系，故正确；②依题意得：y=12x(x−1)=12x2−12x，属于二次函数关系，故正确；③依题意得：y=6x2，属于二次函数关系，故正确；④依题意得：y=120x，属于一次函数关系，故不正确；综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C．5.据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是()A. y=7.9(1+2x)B. y=7.9(1−x)2C. y=7.9(1+x)2D. y=7.9+7.9(1+x)+7.9(1+x)2【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式.根据第二季度GDP总值约为7.9千亿元，第三季度GDP总值约是7.9(1+x)千亿元，第四季度安徽省GDP总值约为7.9(1+ x)2千亿元，则函数解析式即可求得．【解答】解：平均每个季度GDP总值增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=7.9(1+x)2．故选C．6.用长为30厘米，宽为20厘米的矩形纸板，四个角上各剪去一个边长为x厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为y平方厘米的无盖的长方体盒子，则y 与x之间的函数解析式为()．A. y=(30−x)(20−x)(0<x<10)B. y=30×20−4x2(0<x<10)C. y=600+4x2(0<x<10)D. y=(30−2x)(20−2x)(0<x<10)【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．利用长30厘米，宽为20厘米的矩形纸板，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长与宽，进而得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：设小正方形边长为xcm，由题意可得：现在底面长为(30−2x)cm，宽为(20−2x)cm，则y=(30−2x)(20−2x)(0<x<10)．故选D．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.若函数y=(m−1)x m2+1−2mx+1的图象是抛物线，则m的值为____________。
数学沪科版九年级上册21.1 二次函数 同步练习(解析版)
2019-2019学年数学沪科版九年级上册21.1 二次函数同步练习一、选择题1.下列函数属于二次函数的是（）A. y=2x﹣1B. y=C. y=x2+2x﹣3 D. y=2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a+b=16，则Rt△ABC的面积S关于边长a的函数关系式为( )．A. B. C. D.3.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A. y=﹣2x2B. y=2x2C. y=﹣x2 D. y= x24.下列函数中，是二次函数的有（）①y=1﹣x2②y= ③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个5.若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A. a≠0B. a≠2C. a＜2 D. a＞26.下列关系中，是二次函数关系的是（）A. 当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。
B. 在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。
C. 圆的面积S与圆的半径r之间的关系。
D. 正方形的周长C与边长a之间的关系。
7.函数（是常数）是二次函数的条件是（）A.B.C.D.8.是二次函数，则m的值为（）A.0,-3B.0,3C.0D.-3二、填空题9.在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是________．10.某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式________，它________(填“是”或“不是”)二次函数．11.函数是二次函数，则K=________；12.当m＝________时，函数是二次函数．三、解答题13.王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量 (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为y (元).求y与x之间的函数关系式．14.原来公园有一个半径为1m 的苗圃，现在准备扩大面积，设当扩大后的半径为x m时,则增加的环形的面积为y m 2 .（1）写出y与x的函数关系式；（2）当半径增大到多少时面积增大1倍；（3）试猜测半径是多少时，面积是原来的3、4、5、…倍.15.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．16.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC上一点，F为CD上一点，且AE＝AF.设△AEF的面积为y，CE＝x.（1）求y关于x的函数表达式．（2）当△AEF为正三角形时，求△AEF的面积．17.已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？18.如图2 - 4所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．（1）写出y与x的函数关系式；（2）上述函数是什么函数?（3）自变量x的取值范围是什么?19.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式．答案解析部分一、<b >选择题</b>1.【答案】C【考点】二次函数的定义【解析】【解答】解：A、y=2x﹣1是一次函数，故A错误；B、y= +3自变量的次数是﹣2，故B错误；C、y=x2+2x﹣3是二次函数，故C正确；D、y= 是反比例函数，故D错误．故选：C．【分析】依据二次函数的定义回答即可．2.【答案】B【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】a+b=16,∴b=16-a故答案为：B.【分析】利用Rt△ABC的面积S=ab，就可得出S关于边长a的函数关系式。
度第一学期沪科版九年级数学_第21章_21.4_二次函数的应用_同步课堂检测(有答案)
2021-2021学年度第一学期泸科版九年级数学_第21章_21.4_二次函数的应用_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕1.发射一枚炮弹，经xs后的高度为ym，且高度y与时间x的函数关系式为y=ax2+bx，假设此炮弹在第6s与第14s时的高度相等，那么炮弹到达最大高度的时间是〔〕A.第8sB.第10sC.第12sD.第15s2.如图，点A(a, b)是抛物线y=12x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B(c, d)．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=−bd；③△AOB 的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有〔〕A.4个B.3个C.2个D.1个3.抛物线y=−23x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A，顶点B在直线y=√33x上，那么关于△OAB的判断正确的选项是〔〕A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．假设此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，那么在以下哪一个时间的高度是最高的〔〕A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒5.如下图，斜坡OA所在直线的解析式为y=14x，在坡脚O处抛出的小球运行的轨迹是y=−x2+334x，那么小球落在斜坡上A点时，小球距O点的间隔等于〔〕A.0或8B.8C.7.75D.2√176.如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状〔抛物线所在平面与墙面垂直〕．假如抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，那么水流落地点B离墙的间隔OB是〔〕A.2mB.3mC.4mD.5m7.如图，二次函数y=−x2+2x+m+1的图象交x轴于点A(a, 0)和B(b, 0)，交y轴于点C，图象的顶点为D．以下四个命题：①当x>0时，y>0；②假设a=−1，那么b=4；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2√10；④图象上有两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，假设x1<1<x2，且x1+x2>2，那么y1>y2，其中真命题的个数有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个8.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．假设此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，那么在以下时间中炮弹所在高度最高的是〔〕A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒9.如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度ℎ〔单位：米〕与小球运动时间t〔单位：秒〕的函数关系式是ℎ=9.8t−4.9t2．假设小球的高度为4.9米，那么小球运动时间为〔〕A.0.6秒B.1秒C.1.5秒D.2秒10.抛物线y=23x2+2bx与x轴的两个不同交点是O和A，顶点B在直线y=kx上，假设△OAB是等边三角形，那么b=( )A.±√3B.±3C.±√33D.±13二、填空题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕11.体育测试时，初三一名学生推铅球，铅球所经过的道路为抛物线y=−112x2+x+12的一局部，该同学的成绩是________．12.飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)，假设此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，那么炮弹在最高处的时间是第________秒．13.二次函数y=x2−4ax+4a2+a−1〔a为常数〕，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系〞．如图分别是当a=t1，a=t2，a=t3，a=t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，那么这条直线的解析式是________．14.如图，P是抛物线y2=x2−6x+9对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．假设△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，那么t=________．15.消费季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一消费季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=−n2+14n−24，那么该企业一年中应停产的月份是________．16.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，那么每天可以多售出4件．要使每天获得的利润最大，那么每件降价的钱数为________．第 1 页17.一位运发动推铅球，球行进的高度y(m)与程度间隔 x(m)之间的关系y=−112x2+23x+53，此运发动能把铅球推出________m．18.抛物线y=a(x−1)(x+2a)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，假设△ABC为等腰三角形，那么a的值是________．19.某市广场中心标志性建筑处有上下不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管所喷出水柱的最大高度为3米，此时喷水程度间隔为12米．假设水柱是抛物线形，在如下图的坐标系中，那么这支喷泉最远能喷________米．〔结果保存根号〕．20.如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1, 0)、B(4, 0)，∠OCA=∠OBC．(1)抛物线的解析式为________；(2)是否存在这样的点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，那么点M的坐标为________；假设不存在，那么理由为：________；(3)假设⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标．三、解答题〔共 6 小题，每题 10 分，共 60 分〕21.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，且抛物线经过A(−1, 0)、C(0, −3)两点，与x轴交于另一点B．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的间隔与到点C的间隔之和最小，并求出此时点M的坐标．22.某校局部团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进展销售，并将所得利润捐给慈善机构．这种许愿瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y〔个〕与销售单价x 〔元/个〕之间的对应关系如下图：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)按照上述市场调查的销售规律，当利润到达1200元时，恳求出许愿瓶的销售单价x；(3)请写出销售利润w〔元〕与销售单价x〔元/个〕之间的函数关系式；假设许愿瓶的进货本钱不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．23.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m〔件〕与每件的销售价x〔元〕满足关系：m=140−2x．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y〔元〕与x〔元〕间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)假设商场要使每天获得的利润最大，每件商品的售价定为多少？24.如下图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．(1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．25.某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如下图，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−110x2+c且过顶点C(0, 5)〔长度单位：m〕(1)直接写出c=________；(2)该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由；(3)为了车辆平安快速通过隧道对该隧道加固维修，维修时需搭建的“脚手架〞为矩形EFGH．使H、G点在抛物线上，E、F点在地面AB上．施工队最多需要筹备多少材料，〔即求出“脚手架〞三根木杆HE、HG、GF的长度之和的最大值〕26.市“健益〞超市购进一批20元/千克的绿色食品，假如以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经历知，每天销售量y〔千克〕与销售单价x〔元〕(x≥30)存在如以下图所示的一次函数关系．(1)试求出y与x的函数关系式；(2)设“健益〞超市销售该绿色食品每天获得利润为P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围〔直接写出〕．答案1.B2.B3.A4.C5.D6.B7.A8.B9.B10.A11.6+6√512.10.513.y=12x−1第 3 页14.4±2√215.1月、2月、12月 16.5元 17.10 18.2或43或1±√5219.2+√6420.y =12x 2−52x +2(3, 2)、(−3, 2)、(5, −2)存在 21.解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，那么有：{a −b +c =0c =−3−b2a =1， 解得：{a =1b =−2c =−3，所以抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；(2)令x 2−2x −3=0，解得x 1=−1，x 2=3，所以B 点坐标为(3, 0)．设直线BC 的解析式为y =kx +b ， 那么{3k +b =0b =−3，解得{k =1b =−3，所以直线解析式是y =x −3． 当x =1时，y =−2．所以M 点的坐标为(1, −2)．22.许愿瓶的销售单价x 为10元或16元；(3)w =(x −6)(−30x +600)=−30x 2+780x −3600 即w 与x 之间的函数关系式为w =−30x 2+780x −3600． 由题意得6(−30x +600)≤900，解得x ≥15，w =−30x 2+780x −3600图象对称轴为x =−7802×(−30)=13， ∵a =−30<0，∴抛物线开口向下，当x ≥15时，w 随x 增大而减小，∴当x =15时，w 最大=1350．即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 23.解：(1)由题意得： y =(x −20)(140−2x) =−2x 2+180x −2800． ∵x −20≥0， ∴x ≥20． 又∵m ≥0，∴140−2x ≥0，即x ≤70．∴20≤x ≤70．(2)y =−2x 2+180x −2800 =−2(x 2−90x)−2800 =−2(x −45)2+1250． 当x =45时，y 最大=1250．那么当定价为45元时，利润最大．24.解：(1)∵A(−3, 0)，B(1, 0)，C(0, 3)，∴设二次函数的解析式为：y =a(x +3)(x −1)(a ≠0)， 将点C(0, 3)代入函数解析式得：3=−3a ， ∴a =−1，∴此二次函数的解析式为：y =−(x +3)(x −1)=−x 2−2x +3=−(x +1)2+4， ∴此二次函数的对称轴为：x =−1，∵点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点， ∴D(−2, 3)，∴设直线BD 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)， ∴{k +b =0−2k +b =3， 解得：{k =−1b =1，∴此一次函数的解析式为：y =−x +1；(2)根据图象得：一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围为：x <−2或x >1． 25.5．(2)把x =3代入得y =−110x 2+5=4.1>4， 故能平安通过；(3)设F(x, 0)那么G(x, −110x 2+5)，∴HE =FG =−110x 2+5，GH =EF =2x ， ∴HE +FG +GH =−15x 2+2x +10 =−15(x −5)2+15(0<x <5√2)，∴x =5时有最大值为15．26.解：(1)设y =kx +b ，由图象可知， {30k +b =40040k +b =200 解之，得{k =−20b =1000∴y =−20x +1000〔30≤x ≤50，不写自变量取值范围不扣分〕．(2)p =(x −20)y =(x −20)(−20x +1000) =−20x 2+1400x −20000． ∵a =−20<0， ∴p 有最大值．当x =−14002×(−20)=35时，p 最大值=4500．即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．(3)31≤x ≤34或36≤x ≤39．〔写对一个得1分〕。
九年级数学上册《第二十一章二次函数的应用》同步练习题附答案-沪科版
九年级数学上册《第二十一章二次函数的应用》同步练习题附答案-沪科版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y 个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．()21y a x =+ B ．()21y a x =- C ．()21y x a =-+ D ．2y x a =+ 2．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为21381055y x x =-++，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．85米B ．8米C ．10米D ．2米3．烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是22201h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．4sB ．5sC ．6sD ．10s4．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为()20y ax bx c a =++≠、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒5．竖直向上发射的小球的高度h （m ）关于运动时间t （s ）的函数解析式为h=at 2+bt ，若小球在发射后第3秒与第9秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）A ．第4.2秒B ．第5.8秒C ．6.4秒D ．第7.1秒6．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x （0＜x ＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．2y x =B ．2y 4x =-C ．2y x 4=-D ．y 42x =-7．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为y=-n 2+14n -24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A ．5月B ．6月C ．7月D ．8月8．某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的路S （米）与时间t （秒）间的关系式为S=10t+t 2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( )A ．24米B ．12米C ．123米D ．11米9．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，AC+BD=10，设AC=x(0<x<10)，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=x(10－x)B ．y=12x(10－x) C ．y=12x(10+x) D ．y=12(10－x)210．如图，矩形ABCD 中2cm AB =，4cm AD =动点P 从点A 出发，以1/s cm 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2/s cm 的速度沿折线AD DC CB →→向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是()s x 时，APQ △的面积是()2y cm ，则能够表示y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．一架飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是260 1.5s t t =-，飞机着陆后滑行 米才能停下来．12．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()26y a x h =-+．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.24m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h 的取值范围是 ．13．一小球以15 m/s 的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系式：h ＝15t －5t 2，当t ＝ 时，小球高度为10 m ．小球所能达到的最大高度为 m ．14．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x (m)与面积y (m 2)满足函数关系y ＝－(x －12)2＋144(0＜x ＜24)，那么该矩形面积的最大值为 m 2 ．15．若关于x 的方程2440ax ax --=（a ≠0）有两个不相等的实数根，且这两根的值都在1，3之间（含l ，3），则a 的取值范围是 ．三、解答题16．商场准备采购一批特色商品，经调查，用8000元采购A 型商品的件数是用3000元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多1元．(1)求一件A 型，B 型商品的进价分别为多少元？(2)市场调查发现：将2件A 型商品和1件B 型商品捆绑成1件C 型商品销售情况较好．当每件C 型商品的售价是20元时，每天可以销售500件；当售价每涨价1元，每天少销售10件．设每件C型商品的售价是x x 且x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；元（20(3)在（2）条件下，由于物价局限定，每件C型商品的售价不得超过30元，求商场每天销售C型商品的最大利润．17．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙长＞50m)，中间用一道墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；(2)若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？18．我县某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品，现投放市场进行试销，其每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当该工艺品的销售单价定为多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？(3)根据工厂的实际，每天销售该工艺品的利润不得低于8000元，请结合二次函数的大致图象，求出该工艺品销售单价的范围．19．2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）2m高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为4m的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为6m．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题：(1)求该抛物线的解析式．(2)当滑雪人员距滑雪台高度为2m ，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为0m ． 20．某公司计划购进多种优质特产水果加工成水果套餐进行销售，以3万元/吨的价格买入，包装后直接销售，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）是销售数量x （210x ≤≤，单位：吨）的一次函数，并且当2x =时12y =，当8x =时9y =，已知包装费用为1万元/吨．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当销售数量为多少时，该经营这批套餐所获得的毛利润（w ）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入－进价总成本－包装总费用）参考答案：1．A2．B3．B4．C5．B6．B7．C8．B9．B10．A11．60012．83h ≥13． 1或2454 14．14415．413a -≤<- 16．(1)一件A 型商品的进价为4元，则一件B 型商品的进价为3元；(2)w =-10x 2+810x -7700；(3)7600元17．(1)y=13x 2+503x ，(0＜x ＜50)；(2) 各道墙长分别为20米、10米或30米、203米；占地面积不可能达到210平方米；18．(1)10800y x =-+(2)销售单价定为50元时，每天获得利润最大，最大为9000元(3)当该工艺品销售单价4060x ≤≤时，每天销售该工艺品的利润不低于8000元19．(1)抛物线的解析式为21(4)64y x =--+ (2)他继续滑行的水平距离为(264)m -时，可以使他距滑雪台的高度为0m20．(1)1132y x =-+（210x ≤≤） (2)当销量为9吨时利润最大，为40.5万元。
沪科版数学九年级上册21.4二次函数应用同步练习含
试卷精选21.4二次函数的应用一、选择题（共 2 题）1.已知原点是抛物线y=(m+1)x2 的最高点 ,则 m 的取值范围是()A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>-22.某酒店有100 张床位 ,每床每晚收费10 元时 ,床位可所有租出.若每床每晚收费每提升2 元 ,则租出的床位减少10 张 .以每次提升 2 元的这类方法变化下去,该酒店为投资最少而获利最大,每床每晚收费应提升()A.4 元或 6 元B.4 元C.6 元D.8 元二、填空题（共 2 题）3.每年六、七月份某市荔枝大批上市,今年某水果商以 5 元/kg 的价钱购进一批荔枝进行销售 ,运输过程中质量消耗5%,运输花费是0.7 元 /kg, 假定不计其余花费.(1)水果商要把荔枝售价起码定为才不会赔本 ;(2)在销售过程中 ,水果商发现每日荔枝的销售量m(kg) 与销售单价x(元 /kg) 之间知足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为时,每日获取的收益w 最大 .4.销售某种手工艺品,若每个赢利x 元,一天可售出(8-x)个 ,则当x=时 ,一天销售该种手工艺品的总收益y 最大 .三、计算与解答题（共 6 题）5．图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是侧壁上各有一盏距离水面1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是 5 m，桥洞两4 m 的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．(1)求抛物线的分析式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．6．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB为平距离为6 米，到地面的距离AO 和 BD 均为 0.9 米，身高为1 米的点 F 处，绳索甩到最高处时恰好经过她的头极点1.4 米的小丽站在距点O 的水E.以点 O 为原点成立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的分析式为y＝ax2＋ bx＋ 0.9.(1)求该抛物线的分析式；(2)假如小华站在OD 之间，且离点O 的距离为 3 米，当绳索甩到最高处时恰好经过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)假如身高为 1.4 米的小丽站在OD之间，且离点O 的距离为t 米，绳索甩到最高处时超出她的头顶，请联合图象，求t 的取值范围．7．在NBA篮球大赛中，一位运动员在距篮下 4 m处跳起投篮，球运转的路线是抛物线，当球运转的水平距离是 2.5 m时，达到最大高度 3.5 m ，而后正确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 m.(1)成立以下列图所示的平面直角坐标系，求抛物线的分析式；(2)该运动员身高 1.8 m，在此次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问球出手时，他距离地面的高度是多少？8．以下图，一单杠高 2.2 m，两立柱间的距离为 1.6 m，将一根绳索的两头拴于立柱与铁杠的联合处 A、 B，绳索自然下垂，呈抛物线状，一个身高 0.7 m 的儿童站在距立柱处，其头部恰好触上绳索的 D 处，求绳索的最低点 O 到地面的距离． 0.4 m9．如图，某地道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为 6 米，底部宽度为12 米．现以O 点为原点， OM 所在直线为x 轴成立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线极点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数分析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C、D点在抛物线上，A、 B 点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？10．某水产品养殖公司为指导该公司某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖状况进行了检查．检查发现这类水产品的每千克售价y1(元 )与销售月份x(月 )知足关系式 y＝3y2(元 )与销售月份 x(月 )知足的函数关系以下图．x ＋36，而其每千克成本8(1)试确立 b、 c 的值；(2)求出这类水产品每千克的收益y(元 )与销售月份x(月 )之间的函数关系式；(3)五“·一”以前，几月份销售这类水产品每千克的收益最大？最大收益是多少？参照答案1.A原点是最高点 ,图象张口向下 ,所以 m+1<0,即 m<-1.2.C设每床每晚收费提升x 元时 ,赢利为 y 元 ,则 y=(10+x)=-5x2+50x+1 000=-5(x-5)2+1 125,即当提升 5 元时 ,可获取最大收益 ,为 1 125 元,但题目要求提升的价钱为 2 的倍数 ,因此选用与 5 靠近的 4 元或 6 元可获取较大收益,而题意想投资少赢利大 ,即想床位租出少而获较大收益,此时床位价钱提升 6 元最适合 ,应选 C.3.(1)6 元(2)9 元 /kg(1)设荔枝售价定为y 元 /kg 时,水果商才不会赔本 .由题意得 y(1-5%)≥ 5+0.7,解得 y≥ 6所.以 ,水果商把荔枝售价起码定为 6 元 /kg 才不会赔本 .(2)由(1)可知 ,每千克荔枝的均匀成本为 6 元,由题意得 w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2 +90.所以 ,当 x=9 时 ,w 有最大值 .所以 ,当销售单价定为 9 元 /kg 时,每日获取的收益w 最大 .4.4 元由题意 ,得 y=(8-x)x=-x2+8x,当 x=-=4 时,y 最大值 =16.5. 解： (1) 抛物线的极点坐标为 (5,5)，与 y 轴交点坐标是 (0,1) ．设抛物线的分析式是y＝ a(x－ 5)2＋5(a ≠0)，把点 (0,1)代入 y＝ a(x－ 5)2＋ 5，得 a＝4.25∴ y＝4(x－5)2＋ 5(0 ≤x≤10)．25(2)由已知，得两景观灯的纵坐标都是4，∴4＝4(x－5)2＋ 5. 25∴4(x－5)2＝ 1. 25∴x1＝15， x2＝5. 22∴ 两景观灯间的距离为155|x － x | ＝＝ 5(m) ．12226. 解： (1) 小丽头顶处 E 点的坐标为E(1,1.4)， B 的坐标为 (6,0.9)，试卷精选a＋b＋0.9＝1.4，代入分析式，得36a＋6b＋0.9＝0.9，a＝－ 0.1，解得b＝0.6，∴函数分析式为y＝－ 0.1x2＋ 0.6x＋0.9(0 ≤x≤．6)(2)由 y＝－ 0.1x2＋ 0.6x＋0.9，配方，得 y＝－ 0.1(x－ 3)2＋ 1.8，当 x＝3 时， y＝ 1.8，∴小华的身高为 1.8 米．(3)当 y＝ 1.4 时，得－ 0.1x2＋ 0.6x＋ 0.9＝1.4，解得 x1＝1， x2＝ 5，∴当 y＞1.4 时， 1＜ t＜ 5.7.解： (1) 由题图知，极点为 (0,3.5)，篮圈坐标为 (1.5,3.05)，设函数分析式为 y＝ ax2＋ 3.5(a ≠，0)将 (1.5,3.05) 代入，得 a＝－ 0.2，故篮球运转轨迹所在的抛物线的分析式为y＝－ 0.2x2＋ 3.5.(2)当 x＝－ 2.5 时， y＝－ 0.2 ×(－2.5)2＋ 3.5＝ 2.25，故跳投时，距地面的高度为 2.25－ 1.8－0.25＝ 0.2(m) ．8. 解：以下图，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，成立直角坐标系，设抛物线的分析式为y＝ ax2(a ≠ 0)．设 A、 B、 D 三点坐标挨次为 (x A， y A)、 (x B， y B)、 (x D，y D)，由题意，得 AB＝ 1.6，∴ x A＝－ 0.8， x B＝0.8，得 x D＝11.6 0.4 ＝－0.4. 2∴当 x＝－ 0.8 时， y A＝a·(－ 0.8)2＝0.64a；当 x＝－ 0.4 时， y D＝ a·(－ 0.4)2＝ 0.16a.∴y A－ y D＝ 2.2－ 0.7＝ 1.5.∴0.64a－ 0.16a＝1.5.25∴ a＝.8∴抛物线分析式为y＝25x2 . 8当 x＝－ 0.4 时， y D＝25×(－0.4)2＝ 0.5，8∴0.7－ 0.5＝ 0.2(m) ．答：绳索的最低点距地面0.2 m.9. 解： (1)M(12,0) ， P(6,6)．(2)设此函数关系式为y＝ a(x－ 6)2＋ 6(a ≠0)，∵函数 y＝a(x－ 6)2＋ 6 经过点 (0,3)，∴3＝ a(0－ 6)2＋ 6，即 a＝1 . 12∴ 此函数分析式为y＝1(x－6)2＋ 6＝1x2＋x＋3(0≤x≤．12)1212(3)设A(m,0)，则B(12－m,0)、 C 12 m, 1 m2m 3、12D m, 1 m2m 3 ，12∴ “支撑架”总长 AD＋ DC＋ CB＝1m2m3＋ (12－ 2m)＋1m2m 3＝12121m2＋18.6∵ 此二次函数的图象张口向下，∴当 m＝ 0 时， AD＋ DC＋ CB 有最大值为18.251323b c,8241424b c,810.解： (1)由题意，得b 15, 8c 59. 2解得(2)y＝ y1－ y2＝ 3 x36 1 x215 x598882＝ 1 x2 3 x13.822(3)y＝1x23x13822＝1(x 2－ 12x＋ 36)＋913822＝1(x－ 6)2＋ 11. 81∵ a＝＜0，8∴ 抛物线张口向下．在对称轴 x＝6 左边 y 随 x 值的增大而增大．由题意 x＜ 5，∴在 4 月份销售这类水产品每千克的收益最大．最大收益＝1(4－6)2＋11＝21(元 )．82。
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二次函数的应用（尖子生加强版）
1﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）
A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元
2﹒羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－1
4
x2+
3
4
x+1的一部分，
如图所示（单位：m），则下列说法不正确的是（）
A.出球点A离地面点O的距离是1m
B.该羽毛球横向飞出的最远距离是3m
C.此次羽毛球最高可达到25 16
m
D.当羽毛球横向飞出3
2
m时，可达到最高点
3．已知点P为抛物线y=x2+2x﹣3在第一象限内的一个动点，且P关于原点的对称点P′恰好也落在该抛物线上，则点P′的坐标为（）
A. （﹣1，﹣1）
B. （﹣2，﹣）
C. （﹣，﹣2﹣1）
D. （﹣，﹣2）
4．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前x 增加到（x+10%），则x是（）
A. 12%
B. 15%
C. 30%
D. 50%
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）
A. B. C. D.
6.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间
有一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材
料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为
________m2.
7.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽为4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离
水面2米，水面下降1米时，水面宽度为________米.
8．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.
9．某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现，月销售量夕(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系
(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)
(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大?并求这个最大值
(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支，)
(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元
10．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合），在同一平面内，把线段AP、BP 分别折成等边△CDP和△EFP，且D、P、F三点共线，如图所示．
（1）若DF=2，求AB的长；
（2）若AB=18时，等边△CDP和△EFP的面积之和是否有最大
值，如果有最大值，求最大值及此时P点位置，若没有最大值，说明理由．
11.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数
关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
12.如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开始以相同速度
沿边BC，CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF，对应边EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上.
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
二次函数的应用(答案及解析)
1﹒某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）
A.30万元
B.40万元
C.45万元
D.46万元。