专题九解析几何第二十四讲直线与圆答案

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专题九解析几何第二十四讲直线与圆

2 2 C． ( x 5) y 5
B． ( x 5)2 y 2 5 D． ( x 5)2 y 2 5
二、填空题 32．(2018 全国卷Ⅰ)直线 y x 1 与圆 x 2 y 2 2 y 3 0 交于 A ， B 两点，则 | AB | =__． 33．(2018 天津)在平面直角坐标系中，经过三点 (0, 0) ， (1,1) ， (2, 0) 的圆的方程为__． 34 ． (2018 江苏 ) 在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点，
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2 2 A． x y 2 x 0
B． x 2 y 2 x 0 D． x2 y 2 2x 0
C． x 2 y 2 x 0
31．（2010 广东）若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x 2 y 0 相切，则圆 O 的方程是 A． ( x 5)2 y 2 5
3 3 ，） 3 3 3 3 ， ] 3 3
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A． [2, 6] B． [4,8] C． [ 2,3 2] D． [2 2,3 2]
2．（2016 年北京）圆 ( x 1)2 y 2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为 A．1 B．2 C． 2 D．2 2

9年全国高考文科数学试题分类汇编之专题九解析几何第二十四讲直线与圆及答案

9年全国高考文科数学试题分类汇编之专题九解析几何第二十四讲直线与圆及答案专题九解析几何第二十四讲直线与圆一、选择题1.(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A.[2,6]B.[4,8]C.D.2.（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为3.（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离4.（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A.−43B.−345.（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A.22(1)(1)1x y -+-=B.22(1)(1)1x y +++= C.22(1)(1)2x y +++= D.22(1)(1)2x y -+-= 6.（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是 A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或127.（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A.35B.321C.352 D.348.（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A.[]1,1-B.1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦，9.（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A.20x y +-=B.20x y -+=C.30x y +-=D.30x y -+= 10.（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A.7B.6C.5D.411.（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A.21 B.19 C.9 D.11-12.（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A.]60π，（B.]30π，（C.]60[π，D.]30[π，13.（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A.－2B.－4C.－6D.－814.（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A.B.C.D.15.（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A.45πB.34πC.(6π-D.54π16.（2013山东）过点（3，1）作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB的方程为A.230x y +-=B.230x y --=C.430x y --=D.430x y +-= 17.（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN+的最小值为A.41C.6-18.（2013安徽）直线250x y +-=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A.1B.2C.4D. 19.（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A.(0,1)B.112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭20.（2013陕西）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.不确定21.（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A.12-B.1C.2D.12 22.（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A.0x y +=B.10x y ++=C.10x y +-=D.0x y +=23.（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点.若||3||AF BF =，则l 的方程为A.1y x =-或1y x =-+B.1)3y x =-或1)3y x =--C.1)y x =-或1)y x =-D.(1)2y x =-或1)2y x =--24.（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件25.（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n的取值范围是A.[1B.(,1[1+3,+)-∞∞C.[2-D.(,2[2+22,+)-∞-∞26.（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y xy +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=27.（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 128.（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A.4B.3C.2D.129.（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.（，） B.（，0）（0，）C.[，]D.（-∞，）（，+∞）30.（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 A.2220x y x ++= B.220x y x ++=C.220x y x +-=D.2220x y x +-=31.（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A.22(5x y +=B.22(5x y +=C.22(5)5x y -+=D.22(5)5x y ++= 二、填空题32.(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__.33.(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__. 34.(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 .35.（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 .36.（2017山东）若直线1(00)x ya b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为 .37.（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 .38.（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= 的距离为，则圆C 的方程为__________39.（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =C 的面积为 .40.（2016年全国III 卷）已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.41.（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.42.（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____.43.（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）圆C 的标准方程为 .（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .44.（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .45.（2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线32=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 .46.（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.47.（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.48.（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 .49.（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____.50.（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.51.（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .52.（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______. 53.（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .54.（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 . 55.（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___ 56.(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__. 57.（2010新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 .58.（2010新课标）过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__ 三、解答题59.（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N两点.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：ABM ABN =∠∠.60.（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.61.（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A . （1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.62.（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点.（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN.63.(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO .（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？64.（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.x（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.65.(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线段长为（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =的距离为，求圆P 的方程。

解析几何参考答案

解析几何参考答案解析几何参考答案解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。

通过解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的特征和规律，进而解决各种几何问题。

在学习解析几何的过程中，参考答案是一个非常重要的辅助工具，它可以帮助我们检验和巩固所学的知识。

下面，我们就来解析几何参考答案，探讨一些常见的几何问题。

一、直线与圆的交点在解析几何中，直线与圆的交点是一个常见的问题。

要确定直线与圆的交点，我们可以利用直线和圆的方程进行求解。

以直线的方程为Ax+By+C=0，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

将直线的方程代入圆的方程，可以得到一个关于x和y的二次方程。

通过求解这个二次方程，我们可以得到直线与圆的交点坐标。

二、平面与直线的交点平面与直线的交点也是解析几何中的一个重要问题。

要确定平面与直线的交点，我们可以利用平面和直线的方程进行求解。

以平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的方程为x=x₀+mt，y=y₀+nt，z=z₀+pt，其中(x₀,y₀,z₀)为直线上的一点，m,n,p为方向比例。

将直线的方程代入平面的方程，可以得到一个关于t的一元线性方程。

通过求解这个方程，我们可以得到平面与直线的交点坐标。

三、直线的斜率和截距直线的斜率和截距是解析几何中的基本概念。

直线的斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点位置。

要确定直线的斜率和截距，我们可以利用直线的方程进行求解。

以直线的方程为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

通过观察直线方程的形式，我们可以直接读出直线的斜率和截距。

四、距离和中点公式距离和中点公式是解析几何中的两个重要公式，它们可以帮助我们计算几何图形的距离和中点坐标。

距离公式可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为两点的坐标。

专题九解析几何第二十四讲直线与圆

专题九解析几何第二十四讲直线与圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ． 2．（2016年北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为A ．1B ．2CD ．3．（2016年山东）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离4．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43B ．−34C D ．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=6．（2015安徽）直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或127．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34 8．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦9．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=10．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．411．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-12．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 13．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－814．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．15．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π16．（2013山东）过点（3，1）作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=17．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D18．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．19．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 20．（2013陕西）已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定21．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1222．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=23．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)3y x =-或1)3y x =--C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =- 24．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞-∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞26．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=27．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )()A ()B ()C ()D 128．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y x =的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 29．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．（）B ．（-0）（0C ．[D ．（-∞，+∞） 30．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++= C ．220x y x +-= D ．2220x y x +-=31．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题32．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__． 33．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__．34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为．35．（2017天津）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ∠=︒，则圆的方程为．36．（2017山东）若直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 37．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是．38．（2016年天津）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -= ，则圆C 的方程为__________ 39．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 .40．（2016年全国III 卷）已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.41．（2015重庆）若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．42．（2015湖南）若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于,A B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____．43．（2015湖北）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B在A 的上方），且||2AB =．（1）圆C 的标准方程为．（2）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为．44．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线2mx y m ---10=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．45．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为．46．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．47．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．48．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为．49．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．50．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．51．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .52．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于______.53．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .54．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .55．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___56．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．57．（2010新课标）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为．58．（2010新课标）过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__三、解答题59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：ABM ABN =∠∠．60．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．61．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围．62．（2015新课标1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN ．63．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ．（I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？64．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上.（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.65．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为在y轴上截得线段长为（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =，求圆P 的方程。

直线与圆的课件(含答案)

直线与圆的方程一、重点剖析1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。

例 1 已知与，若两直线平行，则的值为．解析：点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。

例2 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．解析：圆心坐标是，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是，即。

点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致。

易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果。

2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.例3 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（）A ．B ．C ．D ．解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为。

点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。

解题的21:220lx m y m ++=2:3ly x =-m_____2231m m =≠⇒=--2220x x y ++=C 0x y +=()1,0-11y x =+10x y -+=22680x y x y +--=(35)，AC BD ABCD ()3,45()3,51BD AC =ABCD 111022AC BD ⨯⨯=⨯⨯=关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。

本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。

九年级数学上册《第二十四章点和圆、直线和圆的位置关系》同步练习题附答案(人教版)

九年级数学上册《第二十四章点和圆、直线和圆的位置关系》同步练习题附答案(人教版)一、选择题：1．已知 O 的半径为 5cm ，若点 A 到圆心 O 的距离为 3cm ，则点 A （）A ．在 O 内B ．在 O 上C ．在 O 外D ．与 O 的位置关系无法确定2．在△ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，若以A 为圆心3cm 为半径作⊙O ，则BC 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不能确定3．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40o ，则∠OCB 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°4．三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是方程 x 2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是( )A ．4B ．5C ．6D ．85．如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点A ，PO 交O 于点C ；连接BC ，若40P ∠=︒，则B ∠等于（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°6．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 经过AB 的中点D ，CE ∥AB ，点F 在⊙O 上，连接CF ，BF ，下列结论中，不正确的是（）A ．∠F= 12AOC ∠B ．AB ⊥BFC ．CE 是⊙O 的切线D ．AC BC = 7．如图，在ABC 中90ACB ∠=︒，AB=5，BC=4.以点A 为圆心，r 为半径作圆，当点C 在A 内且点B在A 外时，r 的值可能是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，△ABC的边AC经过⊙O的圆心O，BC与⊙O相切于B，D是⊙O上的一点，连接AD，BD，若∠C＝50°，则∠ADB的大小为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题：9．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，那么△PDE的周长为cm10．如图，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是形．11．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．12．如图，AD是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B.若∠A＝32°，则∠B＝°.13．一个边长为4㎝的等边三角形 ABC 与⊙ O 等高，如图放置， ⊙ O 与 BC 相切于点 C ，⊙ O 与 AC 相交于点 E ，则 CE 的长为㎝.14．如图，⊙O 为锐角ABC 的外接圆，已知18BAO ∠=︒，那么C ∠的度数为．三、解答题：15．已知PA 、PB 、DE 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、F ，PO=13cm ，⊙O 的半径为5cm ，求△PDE 的周长．16．如图，平行四边ABCD 中，O 为AB 上的一点，连接OD.OC ，以O 为圆心，OB 为半径画圆，分别交OD ，OC 于点P ，Q ．若OB=4，OD=6，∠ADO=∠A ，=2π，判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．17．如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.（1）求证：∠A=∠ADE ；（2）若AD=16，DE=10，求BC 的长.18．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C 作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．19．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．（1）求证：AP=AB；（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．参考答案：1．A 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 7．B 8．C 9．1610．正方11．(6，2)12．2613．314．72°15．解：连接OA，则OA⊥PA．在直角三角形APO中，PO=13cm，OA=5cm根据勾股定理，得AP=12cm．∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F∴PA=PB，DA=DF，EF=EB∴△PDE的周长=2PA=24cm．16．证明：如图，在⊙O中，半径OB＝4，设∠POQ为n°，则有2π=8π360n．∴n＝90°．∴∠POQ＝90°．∵∠ADO＝∠A，∴AO＝DO=6．∴AB＝10．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝10．∴ CO＝8．过点O作OE⊥CD于点E，则OD×OC＝OE×CD．∴OE＝4.8．∵4.8＞4，∴直线DC与⊙O相离．17．（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠ADE+∠BDO=90°∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°又∵OD=OB∴∠B=∠BDO∴∠ADE=∠A.（2）解：连结CD，∵∠ADE=∠A∴AE=DE∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC∴AE=EC.又∵DE=10∴AC=2DE=20在Rt△ADC中，22201612-= .设BD=x在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202 ∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9∴22+= .1291518．（1）证明：连接OC∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC∵AC平分∠PAE∴∠DAC=∠CAO∴∠DAC=∠OCA∴PB∥OC∵CD⊥PA∴CD⊥OC，CO为⊙O半径∴CD为⊙O的切线（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°∴四边形DCOF为矩形∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6设AD=x，则OF=CD=6﹣x∵⊙O的直径为10∴DF=OC=5∴AF=5﹣x在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25化简得x2﹣11x+18=0解得x1=2，x2=9．∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去∴x=2从而AD=2，AF=5﹣2=3∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点∴AB=2AF=6．19．（1）证明：∵OC=OB∴∠OCB=∠OBC∴AB是⊙O的切线∴OB⊥AB∴∠OBA=90°∴∠ABP+∠OBC=90°∵OC⊥AO∴∠AOC=90°∴∠OCB+∠CPO=90°∵∠APB=∠CPO∴∠APB=∠ABP∴AP=AB（2）解：作OH⊥BC于H．在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3∴2234∵AP=AB=3∴PO=2．在Rt△POC中，22OC OP+5∵12•PC•OH=12•OC•OP∴OH= OC OPPC⋅45∴22OC OH-85∵OH⊥BC∴CH=BH∴165∴PB=BC﹣PC=55﹣555．。

2010-2019十年高考文科数学专题九解析几何第二十四讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十四讲直线与圆答案部分 2019年1.解析由题意和题图可知，当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-. 此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 4βββπ-=+.故选B. 2.解析 24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=. 3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．3.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-．所以圆心为（0，-2），则半径r ==．解法二：由r ==，得2m =-，所以r == 4.解析（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥uuu r uuu r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x .因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC ，故中心为，故ΔABC3=． 8．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．9．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 10．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．11．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．12．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．13．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==2422r a =+=-，故4a =-14．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠102sin()4PAB π=∠+∈．故选B ．15．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 16．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2． 17．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．18．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.19．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B20．B 【解析】点M(a , b )在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．21．C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-。

人教版九年级数学上册第二十四章圆 24.2.2 直线与圆的位置关系(第二课时)课后练习

人教版九年级数学上册第二十四章圆 24.2.2 直线与圆的位置关系（第二课时）课后练习一、选择题1．如图，△ABC 中，∠A=30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD ．若BD 平分∠CD 的长是（）A ．2BC ．32D 2．如图，直线12//l l ，O 与1l 和2l 分别相切于点A 和点B ，点M 和点N 分别是1l 和2l 上的动点，MN 沿1l 和2l 平移，若O 的半径为1，60AMN ∠=，则下列结论不正确的是（）A ．1l 和2l 的距离为2B ．当MN 与O 相切时，AM =C ．MN =D ．当90MON ∠=时，MN 与O 相切 3．如图，已知ABC ∆，AB AC =，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E 若54CD CE ==，，则⊙O 的半径是（）A ．3B ．4C ．56D ．2584．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P ．若AB ，6，BC ，33，则下列结论：①F 是CD 的中点，②⊙O的半径是2，③AE ，92CE ，④S 阴影，3．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为（）A ．3B ．10C ．11D ．236．如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O 与∠BAC 的两边相切，P 为⊙O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 交射线AB，AC 于D，E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为（）A ．3B ．6CD ．7．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（）A ．5B ．8C ．10D ．128．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．2B ．32CD ．9．如图，矩形ABCG （AB ＜BC ）与矩形CDEF 全等，点B ，C ，D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．310．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，，从这点到圆的最短距离为（，A ．B ．1，C ．1，D ．9二、填空题11．如图，AB 为⊙O 的直径，圆周角∠ABC ＝40°，当∠BCD ＝________时，CD 为⊙O 的切线．12．如图，△AOB 中，∠O=90°，AO=8cm ，BO=6cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以4cm/s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以3cm/s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了________ s 时，以C 点为圆心，2cm 为半径的圆与直线EF 相切．13．在ABC ∆中，10AB =，86AC BC ==，，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P Q ，分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是__________，14．如图等边ABC ，以AB 为直径的O 交AC 于E 点，交BC 于P ，PF AC ⊥于F ，下列结论正确的是：________，①P 是BC 中点；②BP PE =，③PF 是O 的切线；④AE EC =，15．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过弧DE (不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为_______．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，圆D 与y 轴相切于点C(0，4)，与x 轴相交于A 、B 两点，且AB ＝6.(1)求D 点的坐标和圆D 的半径；(2)求sin ，ACB 的值和经过C 、A 、B 三点的抛物线对应的函数表达式；(3)设抛物线的顶点为F ，证明直线AF 与圆D 相切．17．如图，AB 是O 的直径，BAC ∠的平分线AQ 交BC 于点P ，交O 于点Q ．已知AC 6=，AQC 30∠=度． ()1求AB 的长；()2求点P 到AB 的距离；()3求PQ 的长．18．已知，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以AC 上一点O 为圆心的⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点D，，1）如图1，若⊙O 与AB 相切于点E ，求⊙O 的半径；，2）如图2，若⊙O 在AB 边上截得的弦FG=2√315，求⊙O 的半径．19．如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C，D 两点,直径AB，CD,点 M 是直线CD 上异于点C，O，D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM，PN，(1)当点M 在⊙O 内部,如图，,试判断PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;(2)当点M 在⊙O 外部,如图，,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;(3)当点M 在⊙O 外部,如图，,，AMO，15°,求图中阴影部分的面积．20．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．21．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题：（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．22．如图，，O的直径AB的长为2，点C在圆周上，，CAB=30°．点D是圆上一动点，DE，AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F，(1)如图1，当DE与，O相切时，求，CFB的度数；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求，CDE的面积．23．，，，，，，y =ax 2+bx +c ，a ≠0，，，，，，，，x =2，，，，，，，A ，-1，0，，C ，0，-5，，，，，x ，，，，B ，，1，，，，y =mx +n ，，B ，C ，，，，，，BC ，，，，，，，，，，2，，，P ，，，，，，，，，，，，，PB ，PC ，，△BPC ，，BC ，，，，，，，，，，，，，，，P ，，，，，3，，，，，，BC ，，，，，，，Q ，，，Q ，，，，⊙Q ，，，⊙Q ，，，BC ，，，，，，，，，，，，，，，，，，⊙Q . ，，，，，，，，，，，⊙Q ，，，，，，，，，，，，，，.【参考答案】1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．C 10．C 11．5012．3413．914．①②③④15．2r16．（1）点D 的坐标为(5，4)，圆的半径为5；（2）sin ∠ACB ＝35，y ＝14x 2－52x ＋4；（3）略17．()1 AB 12=；()2点P 到AB 的距离为()3 PQ = 18．(1) ⊙O 的半径为32;(2) ⊙O 的半径为7419．(1)略；（2）成立，理由略；（3，12，12π，4，20．（1）PC 是⊙O 的切线，理由略；（221．（1）t =1秒或4秒；（2）t ＝0秒或(﹣15+秒.22．（1）75°；（223．（1）y=x-3，y=x2-2x-3，（2）P1，-2，5，，P2，1，-4，（3。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆心，以2242D E F+-为半径的圆。

,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有*y 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。

专题九解析几何第二十四讲直线与圆答案

专题九解析几何第二十四讲直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =，所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ．2．C 【解析】圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.3．B 【解析】由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是，所=2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以MN ==123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．4．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)，1=，解得43a =-，故选A ．5．D 【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=．6．D 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，圆心(1,1)到直线34x y b +=的距离|7|15b -=，所以2b =或12b =． 7．B 【解析】由题意可得，2ABBC AC ，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC 故中心为，故ΔABC223211()3． 8．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M 的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin OMN '∠=< 则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =C ，故选A ．9．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 10．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．11．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r =1212||15C C r r =+==，所以9m =．12．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．13．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d ==2422r a =+=-，故4a =-14．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠102sin()4PAB π=∠+∈．故选B ．15．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y +-=的距离，此时2r =得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 16．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2． 17．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．18．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =，所以最后弦长为4=.19．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =，（2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭，令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >,∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：1122b -<<，选B 20．B 【解析】点M(a , b )在圆.112222>+⇒=+b a y x 外111)00(.22<+==+ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．21．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-。

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (46)

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (46)1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是BF的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【解析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，再利用圆周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．则OC∥AE，从而得到AE⊥DE；（2）连接BF交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．则CO⊥BF，CF=GF，利用垂径定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到CE的长．（1）证明：连接OC，如图，∵DE切⊙O于C，∴OC⊥DE，∵点C是BF的中点，∴∠BAC=∠EAC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA．∴OC∥AE．∴AE⊥DE；（2）连接BF交OC于G，如图，∵AB是⊙O直径，∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．∴CO⊥BF，CF=GF，∴BG=GF，在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，∴∴∴．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．2．如图，在△ABC中，BC为O的直径，AB交O于点D，DE AC⊥，垂足为点E，延长DE交BC的延长线于点F.若A ABC∠=∠.（1）求证：BD AD=；（2）求证：DF是O的切线；（3）若O的半径为6，3sin5F∠=，求DE的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 4.8DE=. 【解析】（1）连接CD ，由圆周角定理易得CD ⊥AB ，又有AC=BC ，故AD=BD ．（2）连接OD ，根据三角形中角的互余关系可得∠ODF=90°，故DF 是⊙O 的切线．（3）根据三角函数的定义，可得sin ∠F= 353OF＝，进而可得CF=5-3=2，再根据比例的关系，代入数据可得答案．（1）证明：连接CD ，∵BC 是直径，∴90BDC ∠=︒，即CD AB ⊥∵A ABC ∠=∠，∴AC BC =∴BD AD =（2）证明：连接OD ，∵90A B AED BDC ∠=∠∠=∠=︒，，∴ADE DCO ∠=∠.∵OC OD =，∴DCO CDO ∠=∠.∴CDO ADE ∠=∠由（1）得90ADE CDE ∠+∠=︒，∴90CDO CDE ∠+∠=︒.即90ODF ∠=︒∴DF 是O 的切线.（3）在Rt DOF 中， ∴36sin 5OD F OF OF∠===∴10.10648OF CF DF ==-==，由（2）得90DEA ODF ∠=∠=︒，∴//OD AC . ∴CEF ODF ∽ ∴EF CF DF OF = 即84810DE -=. 解得： 4.8DE = 本题考查切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．3．如图，已知在矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，点O 在AB 的延长线上，OB =∠AOE =60°，动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OE 方向运动，以P 为圆心，OP 为半径作⊙P ，同时点Q 从B 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B -C -D 向点D 运动，Q 与D 重合时，P ，Q 同时停止运动，设P 的运动时间t 秒．（1）∠BOC = ，PA 的最小值是；（2）当⊙P 过点C 时，求⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形的面积；（3）当⊙P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，求t 的值．【答案】（1）30°；；（2）89π-（3）上述t 值均在0≤t≤6范围之内，当⊙P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，t 【解析】【解析】（1）在直角△OBC 中，先根据锐角的正切求∠BOC 的度数；根据垂线段最短可知：当AP ⊥OP 时，P A 的值最小，根据三角函数求AP 的最小值；（2）如图2，作辅助线，构建矩形PCBN ，确定⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形是小弓形OM ，根据扇形面积减去三角形面积可得结论；（3）分三种情况：①当⊙P 与矩形ABCD 的边BC 相切时，是（2）问中的情况，此时t =； ②当⊙P 与矩形ABCD 的边AD 相切时，如图3，根据AN +NO =AO 列式可得t 的值；③当⊙P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，如图4，根据PM +PH =BC 列式可得t 的值．（1）如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，∴∠OBC =90°，tan ∠BOC 3BC OB ===，∴∠BOC =30°．当AP ⊥OP 时，P A 的值最小．∵OA =AB +OB在Rt △AOP 中，∵∠AOE =60°，∴sin60AP OA =，∴AP 4=+=（，∴P A 的最小值是．故答案为30°，（2）如图2，由题意得：OP =半径r =2t ，连接PC 、PM ，则PC =PM =PO =r =2t ，∴∠POC =∠PCO =∠BOP ﹣∠BOC =60°﹣30°=30°．∵∠BCO =90°﹣∠BOC =90°﹣30°=60°，∴∠PCB =∠BCO +∠PCO =60°+30°=90°，即半径PC ⊥BC （此时直线BC 与⊙P 相切）．作PN ⊥OM 于N ，∴∠PNB =∠NBC =∠BCP =90°，∴四边形PCBN 是矩形，∴BN =PC =2t ．∵∠NOP =60°，∴在Rt △PNO 中，∠OPN =30°，∴ON 12=OP =t ． ∵BN +ON =BO ，∴2t +t，∴t =，r =∴当t =时，⊙P 经过点C ，S 小弓形OM =S 扇形POM ﹣S △POM ．∵∠POM =60°且PO =PM ，∴△POM 是等边三角形，∴OM =2ON =2t 3=，PN ==2，∴S 小弓形OM 260133602π⋅=-（289=π．答：⊙P 的劣弧与线段OA 围成的封闭图形的面积为89π（3）①当⊙P与矩形ABCD的边BC相切时，是（2）问中⊙P过点C，此时t=②当⊙P与矩形ABCD的边AD相切时，如图3，过P作PF⊥AD于F，过P作PN⊥AO于N，AN=FP=r=2t，ON12=OP=t．∵AN+NO=AO，∴2t+t4，t=③当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，如图4，过PM⊥DC于M，交OA于H，则PM=OP=2t，PH=．∵PM+PH=BC，∴2t=2，t=4﹣综上所述：当⊙P与矩形ABCD的边所在直线相切时t或4﹣．本题是圆的综合题，考查了矩形的性质、垂线段的性质、直角三角形30°角的性质、弓形面积的计算、扇形面积公式、勾股定理、动点问题、直线与圆相切等知识，熟练掌握矩形的性质和直线与圆相切的性质是关键，第三问有难度，采用了分类讨论的思想解决问题，注意不要丢解． 4．如图，AB 是⊙O 的直径．CD 切⊙O 于点C ，BE CD ⊥于E ，连接,AC BC ．（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若⊙O 的半径为2，060A ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE =．【解析】【解析】（1）连接OC ，利用切线的性质和已知条件证明BE ∥OC ，进而得到内错角相等，再利用圆的半径相等得到相等的角即可证明BC 平分∠ABE ；（2）由圆周角定理可知∠ACB=90°，所以∠ABC=30°，由（1）可知∠CBE=30°，利用勾股定理和在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CE 的长．（1）CD 是⊙O 的切线，切点为C ，OC DE ∴⊥，BE DE ⊥，//CO BE ∴，OCB EBC ∴∠=∠，连接OC ，可得OC OB =，OCB OBC ∴∠=∠；OBC EBC ∴∠=∠，BC ∴平分ABE ∠；（2）AB 是⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒，60A ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，⊙O 的半径为2，4AB ∴=，2AC ∴=，BC ∴= BC 平分ABE ∠，30CBE ∴∠=︒，12CE BC ∴== 本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半、切线的性质及圆周角的性质定理，本题综合性较强，熟记且能运用是解答的关键． 5．问题探究：（1）已知：如图①，△ABC 中请你用尺规在BC 边上找一点D ，使得点A 到点BC 的距离最短．（2）托勒密（Ptolemy ）定理指出，圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图②，P 是正△ABC 外接圆的劣弧BC 上任一点（不与B 、C 重合），请你根据托勒密（Ptolemy ）定理证明：PA=PB+PC问题解决：（3）如图③，某学校有一块两直角边长分别为30m 、60m 的直角三角形的草坪，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在点P 处，使P 到A 、B 、C 三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P ？若存在，请作出点P 的位置，并求出这个最短距离（结果保留根号）；若不存在，请说明理由．【答案】（1）过点A 作BC 边的垂线，垂足为D ，点D 即为所求，见解析；（2）证明见解析；（3）点P 到A 、B 、C 三点距离之和的最小值约是．【解析】【解析】（1）过点A 作AD ⊥BC 于D ，点D 即为所求．（2）由托勒密定理得：P A •BC =BP •AC +CP •AB ．再由等边三角形的性质得到AB =BC =AC ，代入即可得到结论．（3）如图③，以BC 为边向外作正ΔBCD ，再作它的外接圆，连接AD ，与外接圆交于点P ，点P 就是所要求作的位置．由托勒密定理得到PD =BP +PC ，而三点A 、P 、D 共线，因此点P 到三个顶点的距离和P A +PB +PC =P A +PD =AD 最短．过点D 作DE ⊥AC ，交其延长线于点E ．由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出结论．（1）过点A 作BC 边的垂线，垂足为D ，点D 即为所求，如图①．（2）如图②，由托勒密定理得：P A •BC =BP •AC +CP •AB ．又∵ΔABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC ，∴AP •BC =（BP +CP ）•BC ．∴AP =BP +PC ．（3）如图③，以BC 为边向外作正ΔBCD ，再作它的外接圆，连接AD ，与外接圆交于点P ，点P 就是所要求作的位置．由托勒密定理得：PD =BP +PC ，而三点A 、P 、D 共线，因此点P 到三个顶点的距离和P A +PB +PC =P A +PD =AD 最短．过点D 作DE ⊥AC ，交其延长线于点E ．∵BC =CD =30，∠DCE =30°，∴DE =15，CE =在RtΔADE 中，由勾股定理得：AD ==P 到A 、B 、C 三点距离之和的最小值约是．本题考查了勾股定理、等边三角形的性质、圆周角定理以及含30°角的直角三角形，解题的关键是利用托勒密定理．6．如图，已知ABC △为等腰三角形. (1)尺规作图：作ABC △的外接圆O (保留作图痕迹，不写作法)；(2)若底边5BC =，腰3AB =，求(1)中ABC △的外接圆O 的半径r .【答案】(1)作图见解析；(2)11. 【解析】【解析】（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作△ABC 的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为△ABC 的外接圆的圆心（设圆心为O ）；以O 为圆心、OB 长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆．（2）连接OB ，连接OA 交BC 于点E ．利用勾股定理构建方程即可解决问题.(1)如图所示.如图O 是所求作的ABC ∆的外接圆.(2)连结OB ，连结OA 交BC 于点E ，∵ABC ∆是等腰三角形，底边5BC =，腰3AB =，∴OA BC ⊥，52BE CE ==.在Rt ABE ∆中，2AE ==.在Rt BOE ∆中，222522r r ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴11r == 此题主要考查的是三角形外接圆的作法，勾股定理等知识，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出外接圆的圆心，重合利用参数构建方程解决问题．7．在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，给出如下定义：若点P 的横、纵坐标均为整数，且到圆心C 的距离d ≤r ，则称P 为⊙C 的关联整点.（1）当⊙O 的半径r =2时，在点D （2，-2），E （-1，0），F （0，2）中，为⊙O 的关联整点的是；（2）若直线4y x =-+上存在⊙O 的关联整点，且不超过7个，求r 的取值范围；（3）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，若直线4y x =-+上存在⊙C 的关联整点，求圆心C 的横坐标t 的取值范围.【答案】（1）E 、F ；（2） r ＜（3）3≤t ≤5+. 【解析】【解析】（1）根据关联整点的定义进行判断即可.（2）首先求出直线4y x =-+上有一个⊙O 的关联整点时，即⊙O 过点G （2,2）时，半径r 的值，再求出直线4y x =-+上有9个⊙O 的关联整点时，即⊙O 过点L （-2,6）时，半径r 的值，即可求解.（3）分别求出当⊙C 过点M （3,1）和⊙C 过点N （5,-1）时，圆心C 的横坐标即可.（1）点D,E,F 的横、纵坐标均为整数，点D 到圆心O 2,=>不满足关联整点的定义.点E 到圆心O 12,=<满足关联整点的定义.点F 到圆心O 22,=≤满足关联整点的定义. 则E,F 为⊙O 的关联整点故答案为：E 、F ；（2）当⊙O 过点G （2,2）时，r =⊙O 过点L （-2,6）时，r =∴ r ＜（3）如图所示：当⊙C过点M（3,1）时，CM=2，MH=1，则CH C的横坐标t=3，当⊙C过点N（5,-1）时，点C的横坐标t=5∴3t≤5+属于圆的综合题，读懂题目中关联整点的定义是解题的关键.8．如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为x cm，B，E两点间的距离为y cm(当点C与点A或点B重合时，y的值为0)．小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小冬的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：经测量m的值为_____；（保留两位小数）(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2时，AC的长度约为cm.【答案】（1）2.76；（2）如图见解析；（3）2.14， 5.61.【解析】【解析】（1）利用测量法即可解决问题；（2）利用描点法画出图形即可解决问题；（3）观察图象，即可求出当BE=2时，AC的长度.(1)经测量m的值是m=2.76；(2)如图；(3)观察图象，当BE=2时，AC的长度约为2.14，5.61.故答案为：2.14， 5.61.属于圆的综合题，解题的关键是理解题意，学会函数图象的画法.9．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，弦BD平分∠ABC交AC于F，弦DE⊥AB于H，交AC于G．①求证：AG＝GD；②当∠ABC满足什么条件时，△DFG是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为145．【解析】【解析】（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan∠ABD34=，cos∠ABD＝45，再求出DF、BF，然后即可求出BC.（1）证明：连接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE=，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF是等边三角形；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，∵AB＝10，sin∠ABD＝35，∴在Rt△ABD中，AD＝AB•sin∠ABD＝6，∴BD＝8，∴tan∠ABD＝34ADBD=，cos∠ABD＝4=5BDAB，在Rt△ADF中，DF＝AD•tan∠DAF＝AD•tan∠ABD＝6×34＝92，∴BF＝BD﹣DF＝8﹣92＝72，∴在Rt△BCF中，BC＝BF•cos∠DBC＝BF•cos∠ABD＝72×45＝145．∴BC的长为：145．此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．10．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3．【解析】【解析】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =，进而得到∠DAC＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可. 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ， ∴BC CD =， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°， ∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE，∴DE ＝AE ＝2， ∵AC ＝7， ∴CE ＝5，∴DC =，∴BC ， ∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°， ∴tan60°＝BFAF，BF 2+CF 2＝BC 2，∴BF ，∴()2227AF +-=，∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AFAB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4， ∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC （SSS ）， ∴∠ADC ＝∠ABC ， ∵ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC ＝180°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去），当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PC 切⊙O 于点P ，过A 作直线AC ⊥PC 交⊙O 于另一点D ，连接PA 、PB ．(1)求证：AP 平分∠CAB ；(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则①当弦AP的长是_____时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；②当AP的长度是______时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．【答案】(1)证明见解析；(2)①②23π或43π．【解析】(1)利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，所以∠1＝∠2；(2)①当∠AOP＝90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP＝；②根据菱形的判定方法，当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD 为等边三角形，然后根据弧长公式计算AP的长度．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，根据弧长公式计算AP的长度．(1)∵PC切⊙O于点P，∴OP⊥PC，∵AC⊥PC，∴AC∥OP，∴∠1＝∠3，∵OP＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP平分∠CAB；(2)①当∠AOP＝90°，四边形AOPC为矩形，而OA＝OP，此时矩形AOPC为正方形，AP OP＝；②当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP＝60°，AP的长度＝602180=23π．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，AP 的长度＝120241803ππ=．故答案为；23π或43π．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形和菱形的判定．12．阅读理解：如果两个正数a ，b ，即a ＞0，b ＞0，有下面的不等式：2a b+≥，当且仅当a ＝b 时取到等号我们把2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．初步探究：（1）已知x ＞0，求函数y ＝x+4x的最小值．问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏围成一个面积为100m 2的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB 经点P （3，4），与坐标轴正半轴相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求△AOB 的内切圆的半径．【答案】初步探究：（1）4；问题迁移：（2）x ＝m 时，y 有最小值，即所用栅栏最短；创新应用：（3）R ＝2．【解析】【解析】（1）根据x ＞0，令a=x ，b=4x，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；（2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200xm ，栅栏总长为ym ，根据题意表示出y 与x 的函数关系式，利用题中的新定义求出y 取得最小值时x 的值即可；（3）设直线AB 解析式为y=kx+b ，把P 坐标代入用k 表示出b ，进而表示出A 与B 坐标，确定出OA 与OB 的长，得出三角形AOB 面积，利用题中的新定义求出三角形AOB 面积最小时k 的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB 内切圆半径．解：（1）令a ＝x ，b ＝4x（x ＞0），由y ＝x+4x 4，当且仅当x ＝4x时，即x ＝2时，函数有最小值，最小值为4；（2）设一直角边为xm ，则另一直角边为200xm ，栅栏总长为ym ，y ＝x+2002002x x x⋅=当且仅当x ＝200x时，即x ＝m 时，y 有最小值，即所用栅栏最短；（3）设直线AB 的解析式是y ＝kx+b ，把P （3，4）代入得：4＝3k+b ，整理得：b ＝4﹣3k ，∴直线AB 的解析式是y ＝kx+4﹣3k ，当x ＝0时，y ＝4﹣3k ；当y ＝0时，x ＝34k k-，即A （0，4﹣3k ），B （34k k-，0）， ∴S △AOB ＝12OB•OA ＝12（4﹣3k ）•34k k -＝12﹣（982k k+），∵要使△AOB 的面积最小， ∴982k k+必须最大， ∵k ＜0， ∴﹣k ＞0，∵982k k --≥6＝12，当且仅当982k k -=-时，取等号，解得：k ＝±43，∵k ＜0，∴k ＝﹣43，即OA ＝4﹣3k ＝8，OB ＝6，根据勾股定理得：AB ＝10，设三角形AOB 的内切圆的半径是R ，由三角形面积公式得：12×6×8＝12×6R+12×8R+12×10R ，解得：R ＝2．圆的综合题，弄清题中新定义“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”是解本题的关键．13．在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，BE ⊥AC 于点E ，点O 是线段AC 上的一点，以AO 为半径作圆O 交线段AC 于点G ，设AO=m ．（1）直接写出AE 的长：AE= ；（2）取BC 中点P ，连接PE ，当圆O 与△BPE 一边所在的直线相切时，求出m 的长；（3）设圆O 交BE 于点F ，连接AF 并延长交BC 于点H ．①连接GH ，当BF=BH 时，求△BFH 的面积；②连接DG ，当tan ∠HFB=3时，直接写出DG 的长，DG= ．【答案】（1）AE=185；（2）95m =，154m =，2720m = ；（3）①185，②DG=5【解析】【解析】（1）证明△ABE ∽△ACB ，根据相似三角形对应边成比例求出AE 的长即可；（2）符合题意的共有圆O 与BE 相切，圆O 与EC 相切，圆O 与EP 相切三种情况，分别算出这三种情况下m 的值即可；（3）①如图，过点F 作FN ⊥AB ，先根据证明△AEF ∽△ABH ，再根据相似比求出EF 的长，证明△AEF ≌△ANF ，得到FN 的长，最后根据S △BFH ＝S △ABH －S △ABF 求解即可；②如图，作一条经过G 点与AB 垂直的直线GM ，与AB 交点为M ，过点G 作QG ⊥AD ，垂足为Q ，先根据tan ∠HFB＝3得到EF ＝13AE ，求出EF 的长，设AO 为m ，则OE ＝185－m ，OF ＝m ，在△OEF 中，根据勾股定理列含m 的等式解出m 的值，进而得到AG 的长度，再根据AM AB AG AC ＝，求出AM 的长，再在△AMG 中，由勾股定理求出GM ，最后根据勾股定理求出DG 即可.（1）∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝ABC ＝90°，又∵∠CAB ＝∠EAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB 2＝AE∙AC ，∴AE ＝3610＝185. （2）如图，共三种情况.①圆O 与BE 相切，则AO ＝m ＝2AE ＝95， ②圆O 与BC 相切，记切点为M 点，连接OM ，则OM CO AB AC＝， ∴106m m m－＝， ∴m ＝154 ， ③圆O 与EP 相切，记切点为M ，连接OM ，∵∠MEO ＝∠CEP ＝∠ECP ＝∠ABE ，又∠OME ＝∠AEB ＝90°，∴△OME ∽△AEB ， ∴OM OE AE AB＝，即1851865m m ＝ ∴m ＝2720. （3）①∵BF ＝BH ，∴∠BFH ＝∠BHF ，又∵∠AFE ＝∠BFH ，∴∠AFE ＝∠AHB ，又∠AEF ＝∠ABH ，∴△AEF ∽△ABH ， ∴AE EF AB BH＝，设EF 的长度为x ，∵AB ＝6，BC ＝8，所以由勾股定理易知AC ＝10，S △ABC ＝1××2AB BC ＝24， ∴BE ＝2ABC S AC＝4.8， ∴AE EF EF AB BH BE x＝＝－，即1856 4.8x x ＝－，解得x ＝95， ∴BF ＝BH ＝BE －EF ＝3，如图，过点F 作FN⊥AB ，∵∠EFA＝∠HFB，∠EFA＋∠EAF＝∠HAB＋∠AHB＝90°，∠HFB＝∠AHB，∴∠EAF＝∠HAB，又因为∠AEF＝∠ANF，AF＝AF，∴△AEF≌△ANF，∴FN＝EF＝95，∴S△BHF＝S△ABH－S△ABF＝11918×3?6?×6 2255－＝.②如图，作一条经过G点与AB垂直的直线GM，与AB交点为M，过点G作QG⊥AD，垂足为Q，∵∠EFA＝∠HFB，∴13 EFAE＝，∴EF＝6 5 ,设AO为m，则OE＝185－m，OF＝m，在△OEF中，由勾股定理有OE2＋EF2＝OF2，即22218655m m⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－＋＝，解得m＝2，∴AO＝2，AG＝4，∵GM∥CB，∴AM ABAG AC＝，∴AM＝125，∴QG＝AM＝125，在△AMG中，由勾股定理有GM165＝，∴DQ＝8－GM＝245，∴在△DQG中，由勾股定理有，DG.本题考查的知识点有圆的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握这些知识，并根据题意灵活运用，掌握数形结合的思想，是解答此类问题的关键.14．如图，点P是圆O直径CA延长线上的一点，PB切圆O于点B，点D是圆上的一点，连接AB，AD，BD，CD，∠P=30°．（1）求证：PB=BC；（2）若AD=6，tan∠DCA=34，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【解析】（1）如图，连接OB，根据切线的性质易得∠POB＝60°，再根据外角的性质求得∠PCB＝30°，则PB＝PC得证；（2）如图过A点作AM⊥BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，再根据锐角三角函数求出DM、AM的长，再由tan∠DCA＝34求出BM的长，即可求出BD的长.（1）如图所示，连接OB.∵PB是切线，∴∠OBP＝90°，∴∠POB＝90°－∠P＝60°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB＝12∠POB＝30°，∴∠P＝∠PCB，∴PB＝PC.（2）如图过A点作AM⊥BD，∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ABD＝∠DCA，∴DM＝ADcos30°＝AM＝ADsin30°＝3，∵tan∠ABD＝tan∠DCA＝34，∴34 AMBM＝，∴BM＝4，∴BD＝BM＋DM＝4＋本题主要考查了切线的性质和圆周角定理等知识点，熟练掌握基础知识并根据题意灵活运用是解答本题的关键.15．如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．（1）在图①中画出格点△ABC，使△ABC是等腰三角形；（2）以AB为斜边作Rt△ABC（见图②），在图②中找出格点D，作锐角△ADC，且使得∠ADC=∠B．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）根据等腰三角形的特征作图即可；（2）利用直角三角形的性质结合外心的性质，作图即可. （1）如图所示.（2）如图所示:本题主要考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.16．如图，CD是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，点A在CD的延长线上，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，且CB平分∠ACE.（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径.【答案】（1）证明略；（2）半径为25 8.【解析】（1）连接OB，由题意可证OB∥CE，由CE⊥AE，可得OB⊥AE，则可证AB是⊙O的切线；（2）连接BD通过△DBC∽△BEC，得到比例式DC BCBC CE=，求出DC即可得结果．解：（1）连接OB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CB平分∠ACE，∴∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC=∠BCE，∴OB∥CE，∵CE⊥AE，∴OB⊥AE，∴直线AB是⊙O的切线；（2）连接BD，∵CE丄AB，∴∠E＝90°，∴BC5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴DC BC BC CE=∴BC2＝DC•CE，∴DC＝254，∴OC＝12CD＝258，∴⊙O的半径＝25 8.本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC；（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF＝2，AF＝5，求BD长．【答案】（1）见解析；（2）DB【解析】【解析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM＝∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF•DA，据此解答即可．（1）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM，又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线；（2）BD CD=，∴∠DBF＝∠DAB，又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2＝DF•DA，∵DF＝2，AF＝5∴DA＝DF+AF＝7 ∴DB2＝DF•DA＝14∴DB．本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E．（1）求证：∠CAB＝∠AEC．（2）若BC＝3．①EC∥BD，求AE的长．②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）若BC＝EC，则BCDACESS∆＝．（直接写出结果即可）【答案】（1）见解析；（2）①AE ＝163，②BD ＝154 ；（3）BCD ACE S S =. 【解析】【解析】（1）利用圆的内接四边形的性质以及等角的余角相等的性质易证明出结论成立；（2）延长AC 交BD 于点F ，利用平行线等分线段和相似三角形对应边成比例求解即可；（3）利用勾股定理和相似三角形分别求出AE 和BD 的长，依据对应边等高三角形的面积比是对应边之比，进而求解；证明：（1）∵四边形BCED 内接于⊙O∴∠AEC ＝∠DBC又∵DB ⊥AB∴∠ABC+∠DBC ＝90°又∵∠ACB ＝90°∴在Rt △ABC 中，∠CAB+∠ABC ＝90°∴∠DBC＝∠CAB∴∠CAB＝∠AEC（2）①如图1延长AC交BD于点F，延长EC交AB于点G．∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3∴由勾股定理得，AC＝4又∵BC⊥AF，AB⊥BF∠AFB＝∠BFC∴Rt△AFB∽Rt△BFC∴CF BC BC AC=∴BC2＝CF•AC即9＝CF•4，解得，CF＝9 4又∵EC∥BD∴CG⊥AB∴AB•CG＝AC•BC即5CG＝4×3，解得，CG＝12 5又∵在Rt△ACG中，AG=16 5又∵EC∥DB∴∠AEC＝∠ADB由（1）得，∠CAB＝∠AEC ∴∠ADB＝∠CAB又∵∠ACB＝∠DBA＝90°∴Rt△ABC∽Rt△DBA∴BC AB AB AD=得AD＝25 3又∵EG∥BD∴AG AE AB AD=得AE＝16 3②当△BDC是直角三角形时，如图二所示∵∠BCD＝90°∴BD为⊙O直径又∵∠ACB＝90°∴A、C、D三点共线即BC⊥AD时垂足为C，此时C点与E点重合．又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°∴Rt△ACB∽Rt△ABD∴AC AB AB AD=得AD＝25 4又∵在Rt△ABD中，BD15 4 =③如图三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝∴BC CE=∴∠ADC＝∠BDC即DC平分∠ADB过C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分别为M、N．，H．∵在Rt△ACB中AB＝5，BC∴AC＝又∵在Rt△ACB中CH⊥AB∴AB•CH＝AC•BC即5CH＝解得，CH＝2∴MB＝2又∵DC平分∠ADB∴CM＝CN又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2∴HB＝1∴CM＝CN＝1又∵在△DCN与△DCM中NDA MDC NDC DMC DC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCN 与△DCM （AAS ）∴DN ＝DM设DN ＝DM ＝x则BD ＝x+2，AD ＝在Rt △ABD 中由AB 2+BD 2＝AD 2得，25+（x+2）2＝（2解得，x＝23∴BD ＝BM+MD ＝又由（1）得∠CAB ＝∠AEC ，且∠ENC ＝∠ACB∴△ENC ∽△ACB ∴2NC AC EN BC== ∴NE ＝2又∵在Rt △CAN 中CN ＝1，AC ＝∴AN＝∴AE ＝AN+NE又∵S △BCD ＝12BD•CM ，S △ACE ＝12AE•CN ，CM ＝CN∴95BCD ACE SBD S AE == 故BCDACES S =95. 本题综合考察了圆内接四边形的性质，以及等弧对等弦，等弧所对的圆周角相等与相似三角形的判定，勾股定理的运用，全等三角形的证明等多个知识点，需要认真分析，属于偏难题型． 19．已知，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，在CD 的延长线上取一点P ，PG 与⊙O 相切于点G ，连接AG 交CD 于点F ．（Ⅰ）如图①，若∠A＝20°，求∠GFP和∠AGP的大小；（Ⅱ）如图②，若E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA＝PF的长．【答案】（Ⅰ）∠GFP＝70°，∠AGP＝70°；（Ⅱ）PF＝4．【解析】【解析】（Ⅰ）连接OG，在Rt△AEF中，∠A＝20°，可得∠GFP＝∠EFA＝70°，因为OA＝OG，所以∠OGA ＝∠A＝20°，因为PG与⊙O相切于点G，得∠OGP＝90°，可得∠AGP＝90°﹣20°＝70°．；（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，证明△OAD为等边三角形，得∠AOD＝60°，所以∠AGD ＝30°，因为DG∥AB，所以∠BAG＝∠AGD＝30°，在Rt△AGB中可求得AG＝6，在Rt△AEF 中可求得AF＝2，再证明△GFP为等边三角形，所以PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．解：（Ⅰ）连接OG，∵CD⊥AB于E，∴∠AEF＝90°，∵∠A＝20°，∴∠EFA＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，∴∠GFP＝∠EFA＝70°，∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠A＝20°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠AGP＝∠OGP﹣∠OGA＝90°﹣20°＝70°．（Ⅱ）如图，连结BG，OG，OD，AD，∵E为半径OA的中点，CD⊥AB，∴OD＝AD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠AGD＝12∠AOD＝30°，∵DG∥AB，∴∠BAG＝∠AGD＝30°，∵AB为⊙O的直径，OA＝，∴∠AGB＝90°，AB＝∴AG＝AB•cos30°＝6，．∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠BAG＝30°，∵PG与⊙O相切于点G，∴∠OGP＝90°，∴∠FGP＝90°﹣30°＝60°，∵∠AEF＝90°，AE＝，∠BAG＝30°，∴AF＝2，∠GFP＝∠EFA＝60，∴△GFP为等边三角形，∴PF＝FG＝AG﹣AF＝6﹣2＝4．本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．解题的关键是掌握圆的切线的性质．20．如图，△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16．（1）作△ABC的外接圆O（用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）（2）求OA的长．【答案】（1）见解析；（2）OA＝253．【解析】【解析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（作其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆）；（2）可通过构建直角三角形来求解．连接OA，OC，OA⊥BC．先在三角形ACD中求出AD的值，然后在三角形ODC中，用半径表示OD，OC，根据勾股定理求出半径．解：（1）如图，点O即为所求的点．（2）连接OA交BC于D，连接OC．因为AB＝AC，所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8．在Rt△ADC中，AD6==.设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6．在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2，得R2＝（R﹣6）2+82，解得R＝253，∴OA＝253．本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法．21．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）AD =（3【解析】【解析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α。

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (18)

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (18)1．（1）设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=______，其中P=12（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=_________【答案】（1）sp（2）1a+b-c)2（【解析】试题分析：（1）I为△ABC内心，根据S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC列式整理即可得出结论；（2）根据切线的性质得出∠IDC＝∠IEC＝90°，OE＝OD，∠C＝90°得出四边形IDCE是正方形，则CE＝CE＝r，然后根据切线长定理用r表示AF、BF，最后根据AF＋BF＝AB列式整理即可得出r．试题解析：（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，则S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC，∴S＝12c·r＋12a·r＋12b·r＝12(a＋b＋c)r＝Pr，则r＝sp；（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C＝90°，ID＝IE，∴四边形DIEC为正方形，∴CE＝CD＝r，∵⊙I是△ABC的内切圆，∴AD＝AF＝b－r，BE＝BF＝a－r，∴b－r＋a－r＝c，∴r＝12（a＋b－c）．2．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．（1）求证：∠PAB=∠C．（2）如果PA2=PD·PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析（2）3 2【解析】试题分析：（1）过A点作直径AF，连接BF，求得∠ABF＝90°，即∠F＋∠BAF＝90°，P A切⊙O 于点A．得出∠P AF＝90°，即∠P AB＋∠BAF＝90°，从而求得∠P AB＝∠F，根据同弧所对的圆周角相等得出∠F＝∠C，进而求得∠P AB＝∠C；（2）由P A2＝PD•PE求得PE＝4，因为DE＝PE－PD，即可求得圆的直径，从而求得圆的半径．试题解析：（1）证明：过A点作直径AF，连接BF，∴∠ABF＝90°，∴∠F＋∠BAF＝90°，∵P A切⊙O于点A．∴∠P AF ＝90°，∴∠P AB ＋∠BAF ＝90°∴∠P AB ＝∠F ，∵∠F ＝∠C ，∴∠P AB ＝∠C ；（2）解：∴P A 2＝PD •PE ，∵P A ＝2，PD ＝1，∴PE ＝4，∴DE ＝PE －PD ＝4－1＝3，∴OD ＝O E ＝32， ∴⊙O 的半径为32；点睛：本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 3．如图所示，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，点C 在⊙O 上，BD 是⊙O 的弦，∠A =∠CBD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交BD 于点G ，过C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）求证：CG =BG ；（3）若∠DBA =30°，CG =4，求BE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证得BC DC ，根据垂径定理得到OC ⊥BD ，根据CE ∥BD 推出OC ⊥CE ，即可得到结论；（2）根据圆周角定理得出∠ACB =90°，然后根据同角的余角相等得出∠A =∠BCF ，即可证得∠BCF =∠CBD ，根据同角对等边即可证得结论；（3）连接AD ，根据圆周角定理得出∠ADB =90°，即可求得∠BAD =60°，根据圆周角定理得出∠DAC =∠BAC =30°，解直角三角形求得BC AC =tan30°然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE 的值．（1）证明：连接OC ，∵∠A =∠CBD ，∴BC DC =，∴OC ⊥BD ，∵CE ∥BD ，∴OC ⊥CE ，∴CE 是⊙O 的切线；（2）证明：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∵CF ⊥AB ，∴∠ACB =∠CFB =90°，∵∠ABC =∠CBF ，∴∠A =∠BCF ，∵∠A =∠CBD ，∴∠BCF =∠CBD ，∴CG =BG ；（3）解：连接AD ，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，∵∠DBA =30°，∴∠BAD =60°，∵BC DC =，∴∠DAC =∠BAC =12∠BAD =30°，∴BC AC =tan30°=∵CE ∥BD ，∴∠E =∠DBA =30°，∴AC =CE ，∴BC CE ∵∠A =∠BCF =∠CBD =30°，∴∠BCE =30°，∴BE =BC ，∴△CGB ∽△CBE ，∴CG BC=BC CE =3，∵CG =4，∴BC =∴BE =点睛：本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，连结AC 交⊙O 于D ，若8cm BC =，DO ⊥AB ，则⊙O 的半径OA =___________cm ．【答案】4【解析】∵CB 切⊙O 于B ,∴BC ⊥AB ，又∵DO ⊥AB ，又∵点O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，又∵8BC =cm ，∴OD=4cm,又∵OA=OD,∴OA=4cm.故答案是：4.5．△ABC 中，AB =1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程（m +5）x 2-（2m -5）x +12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值．【答案】20.【解析】试题分析：首先根据圆的面积得出圆的半径，从而知道AB 为直径，则221AC BC +=，然后根据韦达定理得出AC+BC 和AC·BC 的值，然后进行代入求出m 的值．试题解析：∵πR 2=4π，∴R=12， ∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径， ∴AC 2+BC 2=1，即（AC+BC ）2-2AC·BC=1， ∴225()5m m -+-2·125m +=1， 2m -18m-40=0，∴m=20或m=-2，当m=-2时，△<0（舍去）， ∴m=20．点睛：本题主要考查的就是垂径定理以及一元二次方程韦达定理的综合应用问题，难度在中等．在解决这个问题的时候，关键就是根据垂径定理得出221AC BC +=，然后利用韦达定理求出m 的值，在最后的时候我们还需要对求出的m 的值进行验证，从而得出最终的答案．在解决综合性问题的时候一定要理清思路，找出知识点之间的联系．6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧AB 上一点，连结CD ，并延长至E ，连结AD ，若AB =AC ，∠ADE =65°，试求∠BOC 的度数．【答案】100°试题分析：首先根据外接四边形的性质求出∠C 的度数，然后根据等腰三角形的性质求出∠BAC 的度数，最后根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出∠BOC 的度数．试题解析：∵四边形ADBC 为圆的外接四边形，∴∠C=∠ADE=65°，∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=65°， ∴∠BAC=50°，∵∠BOC 和∠BAC 是同弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOC=2∠BAC=100°．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 分别在两个半圆上（不与点A 、B 重合），AD 、BD 的长分别是关于x 的方程221(10225)04x m m -+-+=＝0的两个实数根．（1）求m 的值；（2）连接CD ，试探索：AC 、BC 、CD 三者之间的等量关系，并说明理由；（3）若CD ＝AC 、BC 的长．【答案】（1）5；（2）AC ＋BC C D ；(3) AC ＝6，BC ＝8或AC ＝8，BC ＝6．【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程有两个实数根可得:(()22141102254m m --⨯⨯-+≥0,解得()25m -≤0,因为()25m -≥0,所以m ＝5, (2)把(1) m ＝5代入方程得,240b ac -=,所以AD=BD , 将△ADC 绕点D 逆时针旋转90°后得△BDE ,根据圆内接四边形对角互补可得: ∠DAC ＋∠DBC ＝180°,所以∠DBE ＋∠DBC ＝180°,可证△CDE为等腰直角三角形,所以AC ＋BC ＝CE ,(3) 由(2)得,AC ＋BC CD ⨯＝14,由勾股定理可得: AC 2＋BC 2＝102＝100, 联立可解得: AC ＝6,BC ＝8或AC ＝8，BC ＝6.试题解析:（1）由题意,得 b 2－4ac ≥0,∴(()22141102254m m --⨯⨯-+≥0, 化简整理得, 21025m m -+-≥0,∴21025m m -+≤0，即()25m -≤0,又∵()25m -≥0,∴m ＝5,（2）AC ＋BC C D,理由是:如图,由(1)得, 当m ＝5时,240b ac -=,∴ AD ＝B D,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°,将△ADC 绕点D 逆时针旋转90°后得△BDE ,∴△ADC ≌△BDE ,∴∠DAC ＝∠DBE ,∵∠DAC ＋∠DBC ＝180°,∴∠DBE ＋∠DBC ＝180°,∴点C ,B ,E 三点共线,∴△CDE 为等腰直角三角形,∴CE D,即AC ＋BC D,(3)由(1)得,当m ＝5时,b 2－4ac,∴ AD ＝BD ＝,∵∠ACB ＝∠ADB ＝90°,∴AB ＝10,∴AC 2＋BC 2＝102＝100①,由(2)得,AC ＋BC ⨯14②,由①②解得AC ＝6,BC ＝8或AC ＝8,BC ＝6.8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点O，点A（0，6），经过点A、O、B三点的⊙P与直线l相交于点C（7，7），且CA＝CB．⑴求点B的坐标；A O与⊙P的位置关⑵如图2，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°得到△A′O′B．判断直线''系，并说明理由.【答案】⑴点B（8，0）⑵直线A′O′与⊙P相切【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.可以由已知坐标求出AF长，Rt△ACF≌Rt△BCE,可以求出BE＝AF，得到OB长.(2) AB的中点即为圆心P,取OB的中点R，连接RP并延长交A′O′的延长线于点Q,利用旋转条件，RP⊥A′O′.,最终得到四边形RBO′Q是矩形, 圆心P到直线A′O′的距离，和半径相等，所以可以得到直线A′O′与⊙P相切.⑴过点C作CE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.∴∠CFO＝∠CEO＝∠CEB=90°,∵∠AOB＝90°,∴四边形FOEC是矩形,∴∠FCE＝90°,∴∠ACE＋∠ACF＝90°,由点C（7，7）得：CF＝CE＝7,∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OF＝CE＝7，OE＝CF＝7,∴∠CBA＝∠COA＝45°，∠CAB＝∠COB＝45°,∴∠CAB＝∠CBA , ∴AC＝BC.∵点A（0，6）,∴OA＝6,∴ AF＝OF－OA＝7－6＝1 .∵∠AOB＝90° , ∴AB为⊙P的直径,∴ ∠ACE ＋∠BCE ＝90°,∴ ∠ACF ＝∠BCE .在Rt △ACF 和Rt △BCE 中,AC BC CF CE=⎧⎨=⎩, ∴ Rt △ACF ≌Rt △BCE ,∴ BE ＝AF ＝1,∴ OB ＝OE ＋EB ＝7＋1＝8,∴ 点B （8，0） .⑵ 直线A′O′与⊙P 相切.如图2，由AB 是⊙P 的直径可知：AB 的中点即为圆心P ,取OB 的中点R ，连接RP 并延长交A′O′的延长线于点Q,,∴ PR ∥OA ，PR ＝12OA ＝3 , ∵ ∠AOB ＝90° ∴ ∠QRB ＝90°,∵ △A′O′B ′由△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到,∴ ∠OBO′＝90°，BO′＝BO ＝8,∵ ∠AO′B ＝90° ∴ ∠BO′Q ＝90° 即：RP ⊥A′O′.∴ 四边形RBO′Q 是矩形,∴ ∠O′QR ＝90°，RQ=BO′＝8 ,∴ PQ ＝RQ －PR ＝8－3＝5,∵ ⊙P 的直径AB ＝10,∴ 圆心P 到直线A′O ′的距离等于半径长5,∴直线A′O′与⊙P 相切.有旋转)，矩形（由于题目中有坐标系，直角坐标系通常需要作轴的垂线，从而构成矩形），圆的知识，旋转，勾股定理等知识，总体难度较高.9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点F 是CD 延长线上的一点，且AD 平分∠BDF ，AE ⊥CD 于点E.⑴ 求证：AB ＝AC ．⑵ 若BD ＝11，DE ＝2，求CD 的长.【答案】⑴ 证明见解析⑵ 7【解析】试题分析：（1）同弧所对圆周角相等∠BCA =∠ADB,四边形的外接圆性质，可以得∠ADF =∠ABC ,利用AD 平分∠BDF ,可以得到AB=AC.(2)试题解析：过A 作BD 的垂线于G ，构造两个全等三角形AED AGD ≅，AGB ACE ≅ GD ＝ED,BG ＝CE ,可得CD 长.试题解析：⑴ ∵ AD 平分∠BDF ，∴ ∠ADF ＝∠ADB ，∵ ∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADF ＝180°，∴ ∠ADF ＝∠ABC,∵ ∠ACB ＝∠ADB,∴ ∠AB C ＝∠ACB,∴ AB ＝AC .⑵ 过点A 作AG ⊥BD ，垂足为点G .∵ AD 平分∠BDF ，AE ⊥CF ，AG ⊥BD.∴ AG ＝AE ，∠AGB ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AED 和Rt △AGD 中,AE AG AD AD =⎧⎨=⎩, ∴ Rt △AED ≌Rt △AGD （HL ）,∴ GD ＝ED ＝2,在Rt △AEC 和Rt △AGB 中,AE AG AB AC=⎧⎨=⎩, ∴ Rt △AEC ≌Rt △AGB （HL ）,∴ BG ＝CE ,∵ BD ＝11,∴ BG ＝BD －GD ＝11－2＝9 .∴ CE ＝BG ＝9.∴ CD ＝CD －DE ＝9－2＝7.点睛：（1）题目中遇到角平分线，可以做边的垂线，构造全等三角形.如图已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.（2）圆中涉及等腰三角形，内接四边形，同弧所对角，（弦切角），经常要倒角，都是做此类题型需要熟练掌握的知识点.10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AE=2，DC=√3，求圆弧的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2.解：（1）∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，∴OD⊥BC．∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，又∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．∴∠CAD=∠OAD∴AD平分∠BAC（2）过O作OH⊥AC于H，∴∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，∴OH= DC=∴在Rt△ABC中，圆弧的半径OA=11．如图，⊙O是△ABC的内切圆，过点O作DE∥BC，与AB、AC分别交于点D、E.（1）求证：BD+CE＝DE；（2）若∠BAC=70º，求∠BOC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）125°. 【解析】试题分析：（1）利用角平分线和平行线的性质易证DO=BD ，EO=CE,进而得证：BD+CE=DE ；（1）由BO 、CO 是角平分线，可证明∠BOC=90°+12∠A ，即可得出结论. 试题解析：（1）∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠∵DE ∥BC∴,DBO DOB ECO EOC ∠=∠∠=∠∴,BD DO EO EC ==∴BD CE DE +=（2）∵B O 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-（12∠ABC +12∠ACB ）=180°-（90°-12∠A ）=90°+12∠A ∵∠BAC =70º∴∠BOC=90°+35°=125°.12．如图，在等腰△ABC 中，AB=BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 延长线于点E ，垂足为点F ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径R=5，tanC=12，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）8 3【解析】（1）连接圆心和切点，利用平行，DE⊥AB可证得∠ODF=90°；（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）证明：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．∵AB=BC，∴AD=DC．∵OA=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）过D作DH⊥BC于H∵⊙O的半径R=5，tan C=12，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴BC=10，∴k∴BD，CD∴DH=CD BDBC⋅=4，∴OH，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH•OE，∴OE=253，∴BE=103，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴BF BE OD OE=，即1032553 BF=，∴BF=2，∴EF=83．本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解．13．如图，AB是⊙O的弦，点C是在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P.(1)判断△CBP的形状，并说明理由；(2)若⊙O的半径为6，AP=求BC的长.【答案】（1）△CBP 是等腰三角形，理由见解析；（2）8.【解析】【试题分析】（1）等腰三角形，理由：OC ⊥OA ，根据垂直的定义得∠AOC =90°，根据三角形内角和定理∠A +∠APO =90°，因为BC 切⊙O 于点B ,根据切线的性质，∠OBC =90°，即∠OBA +∠CBP =90°，因为OA =OB ,根据等边对等角，得∠A =∠OBA ,等量代换得，∠APO =∠CBP对等角相等得，∠APO =∠CPB ,∠CPB =∠CBP ,根据等角对等边得，CP =CB ，即△CBP 是等腰三角形；（2）OC ⊥OA ，根据勾股定理得，OP 2==设BC =x ,则OC =x +2,利用勾股定理得：222OC OB BC =+，即()22226x x +=+，解得x =8，即BC =8. 【试题解析】等腰三角形，理由：∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠A +∠APO =90°∵BC 切⊙O 于点B ,∴∠OBC =90°，∴∠OBA +∠CBP =90°∵OA =OB ,∴∠A =∠OBA ,∴∠APO =∠CBP∵∠APO =∠CPB ,∴∠CPB =∠CBP ,∴CP =CB△CBP 是等腰三角形；（2）∵OC ⊥OA ，∴OP 2==设BC =x ,∴OC =x +2,∵222OC OB BC =+∴()22226x x +=+，∴x =8，∴BC =8.14．如图，AB 是⊙O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC ⊥OA 于点C ，过点B 作⊙O 的切线交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB=DE;（2）若AB=12，BD=5，求⊙O 的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）152【解析】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin ∠DEF 和sin ∠AOE 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论. 试题解析：（1）∵DC ⊥OA ， ∴∠1+∠3=90°， ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD ， ∴∠2+∠5=90°， ∵OA=OB ， ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中， ∠4=∠5，∴DE=DB.(2)作DF ⊥AB 于F ，连接OE ，∵DB=DE ， ∴EF=12BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ， ∴DF=4=∴sin ∠DEF=DF DE = 45， ∵∠AOE=∠DEF ， ∴在RT △AOE 中，sin∠AOE=45 AEAO=，∵AE=6，∴AO=15 2.【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.15．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．(1)求证：AB与⊙O相切；(2)若AB＝4，求线段GF的长．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M.证明OM等于圆的半径OD即可；（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，由垂径定理得出NG＝NF＝12GF.证出四边形OMBN是矩形，在Rt OBM△利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在Rt ONF中利用勾股定理求得NF，即可得出GF的长．试题解析：()1如图，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴∠ADO＝∠AMO＝90°.∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴∠DAO＝∠MAO，∴OM＝OD.∴AB与⊙O相切；()2如图，过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则NG＝NF＝12GF.∵O是BC的中点，∴OB＝2.在Rt△OBM中，∠MBO＝60°，∴∠BOM＝30°，∴BM＝12BO＝1，∴OM=∵BE⊥AB，∴四边形OMBN是矩形，∴ON＝BM＝1.∵OF＝OM，由勾股定理得NF∴GF＝2NF＝16．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A=25°，求的度数．（2）若BC=9，AC=12，求BD的长．【答案】(1)弧BD 的度数50°；(2) BD=54 5【解析】试题分析：（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．试题解析：解：（1）延长BC交⊙O于N，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠B=65°，∴∠B 所对的弧BDN的度数是130°，∴BD的度数是180°﹣130°=50°；（2）延长AC交⊙O于M，在Rt△BCA中，由勾股定理得：AB=15，∵BC=9，AC=12，∴CM=CE=BC=9，AM=AC+CM=21，AE=AC﹣CE=3，由割线定理得：AD×AB=AE×AM，∴（15﹣BD）×15=21×3，解得：BD=545．点睛：本题考查了勾股定理，割线定理、圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．17．如图，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在BAD上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD AC=BC+CD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用条件易得∠ABD＝∠ADB＝45°，所以可知∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形.(2) 如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E，∠ACB＝45°，CA⊥AE，△ACE为等腰直角三角AC=BC+EB,再证明△ABE和△ADC，EB=CD,=BC+CD.试题解析：（1）∵弧AB＝弧AB，∴∠ADB＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD是该外接圆的直径.（2）如图所示作CA⊥AE，延长CB交AE于点E∵∠ACB＝45°，CA⊥AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴AC＝AE，由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2，∴CE ，由（1）可知△ABD为等腰直角三角形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，又∵∠EAC ＝90°，∴∠EAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ，∴∠EAB ＝∠DAC ，∴在△ABE 和△ADC 中AB AD EAB DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE ＝DC ，∴CE ＝BE ＋BC ＝DC ＋BC．18．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖.对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖.例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.回答下列问题：(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是______ cm;(2)边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm;(3)长为2 cm ，宽为1 cm 的矩形被两个半径均为r 的圆所覆盖，r 的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.．【答案】（1) ；(3) ， 1.【解析】试题分析：（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则r应大于等于正方形对角线的一半，即半径最小为2；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆（3）根据对称性可知两圆的交点分别是AD和BC的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长.（1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r;(2) 边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB＝1，BD＝12，所以AD＝，因为三角形是正三角形，所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝12 OB，设OA＝OB=x，则OD＝12x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，解得：x＝3 .(3)如图：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r两圆心距＝1.19．在学习《2．1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图（1）、（2）所示，△ABC和△DBC中，∠A＝∠D＝90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图（1）、（2）中取BC中点M，连结AM、DM．则有AM＝BM＝CM及DM＝BM＝CM，即AM＝BM＝CM＝DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径的圆上．根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：（1）如图（3），在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，连结DE、DF，若∠BAC＝64°，则∠EDF＝__________°．（2）如图（4），已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合）．若∠EGF＝60°，求证：CD＝12 AB．【答案】52°【解析】试题分析：()1由(2)易得，点,,,F H D B在同一圆上，∴∠1=∠3.由(2)同理可得，点,,,E H D C在同一圆上，∴∠EDH=∠ECH. 可以证得∠2=∠3，求得∠EDF的度数.()2利用探究得出,,,C E O G四点在同一圆上，且,,,D G O F四点在同一圆上，∠OGE＝∠OCE，∠OGF＝∠ODF．∠OCE＋∠ODF＝∠OGE＋∠OGF＝∠EGF＝60°，进一步证明△COD是等边三角形．从而得证.试题解析：()1如图，在四边形 FBDH 中,90BFH BDH ∠=∠=，由(2)易得，点,,,F H D B 在同一圆上，1 3.∴∠=∠在四边形EHDC 中,90HEC HDC ∠=∠=，由(2)同理可得，点,,,E H D C 在同一圆上，.EDH ECH ∴∠=∠90,90FBH FHB ECH EHC ∠+∠=∠+∠=，且FHB EHC ∠=∠， 23∴∠=∠，64,A ∠= 326.∴∠=1226.∴∠=∠=∠EDF ＝52°．()2证明：连结OC ，OD ，OG ．∵OC ＝OD ，G 为CD 的中点，∴OG ⊥CD ．CE AB DF AB ⊥⊥，，90OEC OGC ∴∠=∠=︒，且90OFD OGD ∠=∠=︒． ,,,C E O G ∴四点在同一圆上，且,,,D G O F 四点在同一圆上，∴∠OGE ＝∠OCE ，∠OGF ＝∠ODF ．∴∠OCE ＋∠ODF ＝∠OGE ＋∠OGF ＝∠EGF ＝60°，在Rt △CEO 和在Rt △DFO 中，()()9090,EOC DOF OCE ODF ∴∠+∠=︒-∠+︒-∠()180********OCE ODF =︒-∠+∠=︒-︒=︒，()18060COD EOC DOF ∴∠=︒-∠+∠=︒，又OC OD ＝，COD ∴是等边三角形．12CD OC OD AB ∴===．即12CD AB =． 20．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】试题分析：()1连结OD ，∵AD 平分∠BAC ，∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，得出OD ∥AC ，得到∠ODE ＝90°，从而得证. ()2在Rt △AFO 中，利用勾股定理：AF 2＋OF 2＝AO 2，得出OF 的长，四边形ODEF 是矩形，从而得到DE 的长.试题解析：()1连结OD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠CAD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，即∠AED ＝90°，∴∠ODE ＝90°，即DE ⊥OD ．∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：作OF ⊥AC ，垂足为F ．132AF AC ∴==，在Rt △AFO 中，AF 2＋OF 2＝AO 2，152AO AB ==， ∴32＋OF 2＝52，∴ OF ＝4，∵∠AED ＝∠ODE ＝∠OFE ＝90°，∴四边形ODEF 是矩形，∴DE ＝OF ＝4．21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ．（1）用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连结AO交BC于点H，求证：AH⊥BC；（3）若AB＝AC＝5，BC＝6．求△ABC的外接圆⊙O的半径．【答案】（1）（2）见解析；（3）258．【解析】试题分析：()1AB和AC的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出.()2证明：连结OB OC，，证明ABO ACO≌．由等腰三角形三线合一即可证明.()3在Rt OBH中，利用勾股定理222BH OH BO+=，即可求得外接圆的半径. 试题解析：()1圆O即为所求.()2证明：连结OB OC，，在ABO和ACO△中{AB ACAO AO OB OC ===，ABO ACO ∴≌．BAO CAO ∴∠=∠，AB AC =，AH BC ∴⊥．()356AB AC BC AH BC ===⊥，，．34BH CH AH ∴===，．在Rt OBH 中，222BH OH BO +=，即()22234BO BO +-=，解得：258BO =．即ABC △的外接圆的半径为258．点睛：三角形三条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心. 22．已知扇形OAB 的半径为r ，C 为AB 上的任一点（不与A 、B 重合），CM ⊥OA ，垂足为M ，CN ⊥OB ，垂足为N ，连接MN ．（1）如图①，∠AOB ＝90°，求证MN ＝r ；（2）如图②，∠AOB ＝45°，探索MN 与r 的数量关系．【答案】（1）证明见解析（2）2r【解析】试题分析：()1连接OC ，四边形OMCN 是矩形,即可得证.()2 以O 为圆心，OA 为半径画⊙O ，证明MN 是△CPQ 的中位线,即可得出结果. 试题解析：()1证明：连接OC ，∵CM ⊥OA ， CN ⊥OB ，∴∠CMO ＝∠CNO ＝90°，又∠AOB ＝90°，∴四边形OMCN 是矩形．∴MN ＝OC ＝r .()2 以O 为圆心，OA 为半径画⊙O ，延长CM ，CN 分别与⊙O 交于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，PQ ，OC∵OA ⊥PC ,∴P A ＝AC ，.PA AC =同理CN ＝NQ ，,BC BQ =∴∠POA ＝∠COA ，∠QOB ＝∠COB,∴∠POQ ＝2∠AOB ＝90°,在△CPQ 中,MN 是△CPQ 的中位线,1 2MN PQ ∴=. 在Rt △OPQ 中,PQ ==.MN r ∴= 23．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B 互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B 互余的圆周角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：()1圆内接四边形的对角互补.()2直径所对的圆周角是直角.试题解析：()1如图①，P ∠即为所求．()2如图②，CBQ ∠即为所求．点睛：圆内接四边形的对角互补. 直径所对的圆周角是直角.24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，且AE平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（232π-.【解析】试题分析：()1连接OE．证明OE AC，从而得出∠OEB＝∠C＝90°，从而得证. ()2阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积.试题解析：()1连接OE．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAD，∵OA＝OE，∴∠EAD＝∠OEA，∴∠OEA＝∠CAE，OE AC∴，∴∠OEB ＝∠C＝90°，∴OE⊥BC，且点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠EAB＝30°，∴∠EOD ＝60°，∵∠OEB ＝90°，∴∠B ＝30°，∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，∴BE =OEB S = 扇形OED 的面积3π.2=阴影部分的面积为：3π.22- 25．如图，在⊙O 中．（1）若弧AB=弧AC ，∠ACB ＝70°，求∠BOC 的度数；（2）若⊙O 的半径为13，BC ＝10，求点O 到BC 的距离．【答案】(1)证明见解析；（2）12.【解析】试题分析：()1根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等得：70.ABC ACB ∠=∠=︒根据三角形的内角和求出A ∠的度数，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出BOC ∠的度数.()2作OD BC ⊥，垂足为点.D 根据垂径定理，1 5.2BD BC ==再利用勾股定理即可求出点O 到BC 的距离.试题解析：()1,AB AC =.AB AC ∴=70.ABC ACB ∴∠=∠=︒∴在ABC △中，18040.A ABC ACB ∠=︒-∠-∠-︒280BOC A ∴∠=∠=︒．()2作OD BC ⊥，垂足为点.D,OD BC OD ⊥过圆心1 5.2BD BC ∴== 在Rt BOD 中12.OD ===即点O 到BC 的距离为12.点睛：在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等.26．如图，P 是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于A 点，PB 切⊙O 于B 点，已知OA=1，OP=2，求PB 的长．【解析】试题分析：连接OB ，由切线的性质则可得∠B=90°，在Rt △POB 在，利用勾股定理即可得. 试题解析：连接OB ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠B=90°，∵OA ＝1，∴OB ＝OA ＝R ＝1，∴OP ＝2，∴PB =.27．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）DE=125．【解析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴CD=BD=12 BC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠CED=90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,==4．∵S ACD=12AD•CD=12AC•DE，∴12×4×3=12×5DE．∴DE=125．本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．28．如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；试题解析：(1)连接OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°(0°<α<45°).(2)连接OF交AC于O′，连接CF.∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO,∴CF∥OA,∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°.29．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若点E 为AD 的中点，探究线段BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点E 为AD 的中点，CD ，求DF 与线段BD ，BF 所围成的阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23π-【解析】试题分析：（1）连接OD ，根据题意可得∠ODB ＝∠C ＝90°，从而得到AC ∥OD ，从而可得∠CAD ＝∠ADO ，根据半径相等，可得∠OAD ＝∠ADO ，从而得∠CAD ＝∠OAD ，问题得证；（2）连接DE ，OE ，由点E 为弧AD 的中点，可得 AE ＝DE ，从而得∠CAD ＝∠ADE ，再根据∠CAD ＝∠OAD ，得∠OAD ＝∠ADE ，继而得DE ∥OA ，推导可得四边形OAED 为菱形，继而可得到∠B ＝30°，根据30°角的直角三角形的性质以及菱形的性质即可得；（3）由ODB ODF S S S ∆=-阴影扇形，根据已知得到相关数据代入进行求解即可.试题解析：（1）连接OD ．则∠ODB ＝∠C ＝90°，∴AC ∥OD ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∴∠CAD ＝∠OAD ，即AD 平分∠BAC ；（2）连接DE ，OE ，∵E 为AD 的中点，∴AE DE =，∴AE ＝DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ，∵∠CAD ＝∠OAD ，∴∠OAD ＝∠ADE ，∴DE ∥OA ，又AC ∥OD ，OA ＝OD ，∴四边形OAED 为菱形，∴AE ＝OA ＝OE ．∴∠OAC ＝60°，∵∠C ＝90°，∠CAD ＝∠OAD ，∴∠B ＝90°－∠OAC ＝30°，∠OAD ＝∠CAD ＝30°， ∴12CD AD =，∠B ＝∠OAD ，∴BD ＝AD ＝2CD ；（3）∵AC ∥OD ，∠OAC ＝60°，∴∠DOB ＝∠OAC ＝60°，∵∠ODB ＝90°，∠B ＝30°，∴OB ＝2OD ，∵CD ，BD ＝2CD ，∴BD ＝在Rt △ODB 中，由勾股定理得，(()2222OD OD +=，解得 OD ＝±2（负值舍去），所以OD=2，∴ODB ODF S S S ∆=-阴影扇形＝2160222360π⨯⨯⨯-＝23π ． 30．在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）.设点D 移动的时间为t 秒.试解答下列问题：（1）如图1，当t 为多少秒时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（2）如图1，点D 在运动过程中，四边形DFCE 可能是菱形吗？若能，试求t 的值；若不能，请说明理由；（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ．①在运动过程中，是否存在这样的t 值，使⊙F 正好与四边形DFCE 的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；②若⊙F 与四边形DFCE 至多有两个公共点，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)t1=1，t2=5(2)四边形DFCE能是菱形(3)①3；②≤t＜6【解析】试题分析：（1）设设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF=四边形DFCE的面积，列方程解答即可．（2）因为四边形DECF是平行四边形，所以当DE=DF时，四边形DECF是菱形．列出方程即可解决问题．（3））①存在．当DB=CF时，⊙F与DE相切．列出方程即可解决．②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．（1）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE=AD=2t，试题解析：解：BD=12﹣2t，CF=DE=2t，又∵BD×CF=四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）=20，t2﹣6t+5=0，（t ﹣1）（t﹣5）=0，解得t1=1，t2=5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2．（2）可能是菱形．理由：如图1中，∵DE∥CF，DF∥EC，∴四边形DECF是平行四边形，∴当DE=DF时，四边形DECF是菱形．∵△ADE，△DFB都是等腰直角三角形，∴DE=2t，DF12﹣2t），∴2t12﹣2t），∴t=12﹣.答：t=（12﹣）s时，四边形DECF是菱形；（3）①存在．如图1中，当DB=CF时，⊙F与DE相切．则有12﹣2t=2t，∴t=3．答：当t=3s时，⊙F与DE相切．②如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt△DFB中，∵∠B=90°，AD=DF=CF=2t，BD=BF=12﹣2t，∴2t12﹣2t），∴t=12﹣，由图象可知，当12﹣≤t≤6时，⊙F与四边形DFCE至多有两个公共点．点睛：本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质、菱形的判定和性质、切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，弦AE 平分∠BAC ，ED ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB=10，AC=6，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】试题分析：（1）首先连接OE ，由弦AE 平分∠BAC ，易证得OE ∥AC ，又由ED ⊥AC ，即可证得OE ⊥ED ，继而证得结论；（2）首先过点O 作OF ⊥AC 于点F ，易得四边形OEFD 是矩形，即可得DE =OF ，然后由垂径定理求得OF 的长，即可求得答案．试题解析：（1）证明：连接OE ，∵OA =OE ，∴∠BAE =∠OEA ，∵弦AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠DAE ，∴∠DAE =∠OEA ，∴OE ∥AC ，∵ED ⊥AC ，∴OE ⊥ED ，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：过点O 作OF ⊥AC 于点F ，∵ED ⊥AC ，∴OF ∥ED ，AF =12AC =12×6=3，∵OE ∥AC ，∴四边形OEFD 是矩形，∴OF =DE ，∵OA =12AB =12×10=5，∴OF =4，∴DE =OF =4．。

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (63)

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (63)41．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的△O与BC相交于点E，与AC相交于点F，△B=△BAE=30°．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若AC=3，求△O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为2；（3）四边形OAFE是菱形，理由见解析.【解析】分析：（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出⊙AOE=60°，进而得出⊙BEO=90°，即可得出结论；（2）先求出⊙AEC=60°，利用锐角三角函数求出AE，最后用三角函数即可得出结论；（3）先判断出⊙AOF是等边三角形，得出OA=AF，⊙AOF=60°，进而判断出⊙OEF是等边三角形，即可判断出四边相等，即可得出结论．详解：（1）如图1，连接OE，⊙OA=OE，⊙⊙BAE=⊙OEA，⊙⊙BAE=30°，⊙⊙OEA=30°，⊙⊙AOE=⊙BAE+⊙OEA=60°，在⊙BOE 中，⊙B=30°，⊙⊙OEB=180°-⊙B-⊙BOE=90°，⊙OE⊙BC ，⊙点E 在⊙O 上，⊙BC 是⊙O 的切线；（2）如图2，⊙⊙B=⊙BAE=30°，⊙⊙AEC=⊙B+⊙BAE=60°，在Rt⊙ACE 中，AC=3，sin⊙AEC=AC AE ，⊙AE=360AC sin AEC sin ==∠︒连接DE ，⊙AD 是⊙O 的直径，⊙⊙AED=90°，在Rt⊙ADE 中，⊙BAE=30°，cos⊙DAE=AE AD，⊙AD=4AE cos BAE ==∠， ⊙⊙O 的半径r=12AD=2；（3）以A 、O 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在Rt⊙ABC 中，⊙B=30°，⊙⊙BAC=60°，连接OF，⊙OA=OF，⊙⊙AOF是等边三角形，⊙OA=AF，⊙AOF=60°，连接EF，OE，⊙OE=OF，⊙⊙OEB=90°，⊙B=30°，⊙⊙AOE=90°+30°=120°，⊙⊙EOF=⊙AOE-⊙AOF=60°，⊙OE=OF，⊙⊙OEF是等边三角形，⊙OE=EF，⊙OA=OE，⊙OA=AF=EF=OE，⊙四边形OAFE是菱形．点睛：此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，三角形的外角的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，求出⊙AEC=60°是解本题的关键．42．如图，已知AB是△O的直径，P是BA延长线上一点，PC切△O于点C，CG是△O的弦，CG△AB，垂足为D．（1）求证：△PCA=△ABC．（2）过点A作AE△PC交△O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos△P=45，CF=10，求BE的长【答案】（1）证明见解析；（2）BE=24．【解析】分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊙PC，由圆周角定理得：⊙ACB=90°，所以⊙PCA=⊙OCB，再由同圆的半径相等可得：⊙OCB=⊙ABC，从而得结论；（2）先证明⊙CAF=⊙ACF，则AF=CF=10，根据cos⊙P=cos⊙FAD=45，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos⊙EAB=AEAB，可得AE的长，从而计算BE的长.详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，⊙PC是⊙O的切线，⊙OC⊙PC，⊙⊙PCO=90°，⊙⊙PCA+⊙ACO=90°，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙⊙PCA=⊙OCB，⊙OC=OB，⊙⊙OCB=⊙ABC，⊙⊙PCA=⊙ABC；（2）⊙AE⊙PC，⊙⊙CAF=⊙PCA，⊙AB⊙CG，⊙=AC AG，⊙⊙ACF=⊙ABC，⊙⊙ABC=⊙PCA，⊙⊙CAF=⊙ACF，⊙AF=CF=10，⊙AE⊙PC，⊙⊙P=⊙FAD，⊙cos⊙P=cos⊙FAD=45，在Rt⊙AFD中，cos⊙FAD=ADAF，AF=10，⊙AD=8，，⊙CD=CF+FD=16，在Rt⊙OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，⊙AB=2r=40，⊙AB是直径，⊙⊙AEB=90°，在Rt⊙AEB中，cos⊙EAB=AEAB，AB=40，⊙AE=32，=24．点睛：本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．43．如图，四边形ABCD内接于△O，△BAD=90°，点E在BC的延长线上，且△DEC=△BAC．（1）求证：DE是△O的切线；（2）若AC△DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC的长为5．【解析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊙DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊙BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出⊙BCD⊙⊙DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出⊙CFD⊙⊙BCD，即可得出结论．（1）如图，连接BD，⊙⊙BAD=90°，⊙点O必在BD上，即：BD是直径，⊙⊙BCD=90°，⊙⊙DEC+⊙CDE=90°．⊙⊙DEC=⊙BAC，⊙⊙BAC+⊙CDE=90°．⊙⊙BAC=⊙BDC，⊙⊙BDC+⊙CDE=90°，⊙⊙BDE=90°，即：BD⊙DE．⊙点D在⊙O上，⊙DE是⊙O的切线；（2）⊙DE⊙AC．⊙⊙BDE=90°，⊙⊙BFC=90°，⊙CB=AB=8，AF=CF=12 AC，⊙⊙CDE+⊙BDC=90°，⊙BDC+⊙CBD=90°，⊙⊙CDE=⊙CBD．⊙⊙DCE=⊙BCD=90°，⊙⊙BCD⊙⊙DCE，⊙BC CD CD CE=，⊙82CD CD=，⊙CD=4．在Rt⊙BCD中，，同理：⊙CFD⊙⊙BCD ， ⊙CF CD BC BD=， ⊙8CF =，⊙CF=5，⊙AC=2CF=5．考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC ＝8是解本题的关键．44．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），△M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点．（1）请直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E ，求证：直线EA 与△M 相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1) 2115(2)(8)4442y x x x x =--=-+;(2)见解析;(3)存在，点P 的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．理由见解析. 【解析】【解析】（1）连接AM ，MC ，设ME 交x 轴于点D ，由M 点的坐标可求得MC 、MD 的长，可求得C 点坐标，在Rt△ADM 中可求得AD ，则容易求得A 、B 坐标；（2）由A 点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME 的长，由勾股定理的逆定理可判定⊙AME 为直角三角形，则可证得结论；（3）可设P 点坐标为（5，t ），则可表示出PB 、CP 、结合BC 的长，当⊙PBC 为等腰三角形时，则有PB=BC ，CP=BC ，PC=PB 三种情况，分别求解即可；解：（1）A ，B ，C 的坐标分别是A （2 ，0 ），B （8 ，0 ），C （0 ，4 ）；设抛物线解析式为()()28y a x x =--，将（0,4）代入得416a =即14a =⊙()()2115284442y x x x x =--=-+. （2）证明：把215442y x x =-+化为y=（x ﹣5）294-， ⊙E （5，﹣），⊙DE=，⊙ME=MD+DE=4+=，EA 2=32+（）2=，⊙MA 2+EA 2=52+=，ME 2=， ⊙MA 2+EA 2=ME 2，⊙⊙MAE=90°，即EA⊙MA ，⊙EA 与⊙M 相切；（3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：⊙当PB=PC 时，点P 在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合，⊙P （5，4）；⊙当BP=BC=4时，如图2所示： ⊙PD===， ⊙P （5，）；⊙当PC=BC=4时，连接MC ，如图3所示：则⊙PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，⊙PD=4+， ⊙P （5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使⊙PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E 点的坐标，求得ME、AE的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．45．如图，AB是△O的直径，AC BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交△O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是△O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．．【答案】（1）证明见解析；（2）BD=5【解析】（1）连接OC，由已知可得⊙BOC=90°，根据SAS证明⊙OCE⊙⊙BFE，根据全等三角形的对应角相等可得⊙OBF=⊙COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线；（2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF 的长，然后由S ⊙ABF =11··22AB BF AF BD =，即可求出解：（1）连接OC ，⊙AB 是⊙O 的直径，AC BC =，⊙⊙BOC=90°，⊙E 是OB 的中点，⊙OE=BE ，在⊙OCE 和⊙BFE 中，OE BE OEC BEF CE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙OCE⊙⊙BFE （SAS ），⊙⊙OBF=⊙COE=90°，⊙直线BF 是⊙O 的切线；（2）⊙OB=OC=2，由（1）得：⊙OCE⊙⊙BFE ，⊙BF=OC=2，==⊙S ⊙ABF =11··22AB BF AF BD =，即，本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．46．如图，BE 是圆O 的直径，点A 和点D 是△O 上的两点，过点A 作△O 的切线交BE 延长线于点C,（1）若△ADE=25°，求△C 的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求△O半径的长．【答案】（1）⊙C=40°；（2）⊙O的半径为2．【解析】【解析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接OA，⊙AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，⊙OA⊙AC，⊙⊙OAC=90°，⊙AE AE=,⊙ADE=25°，⊙⊙AOE=2⊙ADE=50°，⊙⊙C=90°﹣⊙AOE=90°﹣50°=40°；（2）⊙AB=AC，⊙⊙B=⊙C，⊙AE AE=，⊙⊙AOC=2⊙B，⊙⊙AOC=2⊙C，⊙⊙OAC=90°，⊙⊙AOC+⊙C=90°，⊙3⊙C=90°，⊙⊙C=30°，⊙OA=12OC ，设⊙O 的半径为r ，⊙CE=2， ⊙r=12(r+2)，解得：r=2，⊙⊙O 的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.47．小明家房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A 、B 、C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若ABC ∆中，AB=8米，AC=6米，90BAC ∠=︒，试求小明家圆形花坛的面积.【答案】（1）见解析（2）25π米2【解析】(1)运用线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆；（2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积.解: (1)如图所示：(2)⊙⊙BAC ＝90°，⊙BC 是⊙O 的直径．⊙AB ＝8米，AC ＝6米，⊙BC ＝10米，⊙⊙ABC 外接圆的半径为5米，⊙小明家圆形花坛的面积为25π米2.本题考核知识点：求三角形的外接圆.解题关键点：利用直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点. 48．如图，AB是△O的直径，DO△AB于点O，连接DA交△O于点C，过点C作△O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交△O于点G．填空：△当△D的度数为时，四边形ECFG为菱形；△当△D的度数为时，四边形ECOG为正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙30°；⊙22.5°.【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得⊙1+⊙4=90°，再利用等腰三角形和互余证明⊙1=⊙2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）⊙当⊙D=30°时，⊙DAO=60°，证明⊙CEF和⊙FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；⊙当⊙D=22.5°时，⊙DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出⊙COE=45°，利用对称得⊙EOG=45°，则⊙COG=90°，接着证明⊙OEC⊙⊙OEG得到⊙OEG=⊙OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．详解：（1）证明：连接OC，如图，.⊙CE为切线，⊙OC⊙CE，⊙⊙OCE=90°，即⊙1+⊙4=90°，⊙DO⊙AB，⊙⊙3+⊙B=90°，而⊙2=⊙3，⊙⊙2+⊙B=90°，而OB=OC，⊙⊙4=⊙B，⊙⊙1=⊙2，⊙CE=FE；（2）解：⊙当⊙D=30°时，⊙DAO=60°，而AB为直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙B=30°，⊙⊙3=⊙2=60°，而CE=FE，⊙⊙CEF为等边三角形，⊙CE=CF=EF，同理可得⊙GFE=60°，利用对称得FG=FC，⊙FG=EF，⊙⊙FEG为等边三角形，⊙EG=FG，⊙EF=FG=GE=CE，⊙四边形ECFG为菱形；⊙当⊙D=22.5°时，⊙DAO=67.5°，而OA=OC，⊙⊙OCA=⊙OAC=67.5°，⊙⊙AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，⊙⊙AOC=45°，⊙⊙COE=45°，利用对称得⊙EOG=45°，⊙⊙COG=90°，易得⊙OEC⊙⊙OEG，⊙⊙OEG=⊙OCE=90°，⊙四边形ECOG为矩形，而OC=OG，⊙四边形ECOG为正方形．故答案为30°，22.5°．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．49．如图，在△ABC中，以AB为直径作△O交BC于点D，△DAC=△B．（1）求证：AC是△O的切线；（2）点E是AB上一点，若△BCE=△B，tan△B=12，△O的半径是4，求EC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CE=5．【解析】【解析】（1）欲证明AC是切线，只要证明AB⊙AC即可；（2）设EC=EB=x，在Rt⊙AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】（1）⊙AB是直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙B+⊙BAD=90°，⊙⊙DAC=⊙B，⊙⊙DAC+⊙BAD=90°，⊙⊙BAC=90°，⊙BA⊙AC，⊙AC是⊙O的切线．（2）⊙⊙BCE=⊙B，⊙EC=EB，设EC=EB=x，在Rt⊙ABC中，tan⊙B=AC1=AB2，AB=8，⊙AC=4，在Rt⊙AEC中，⊙EC2=AE2+AC2，⊙x2=（8﹣x）2+42，解得x=5，⊙CE=5．【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．50．已知:等边三角形△ABC内接于△O，点D在AC上，连接AD、CD、BD，（1）如图1，求证：△ADB=△BDC=60°；（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.（3）【解析】分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，推出⊙BDC=⊙BAC=60°，⊙ADC=⊙ACB=60°即可解决问题．（2）如图2中，在BD 上截取DH=DC ，作EN⊙AD ，EM⊙CD 垂足分别为N 、M ．由⊙ACD⊙⊙BCH 推出BD=DA+DC ，结合条件推出AD=2DC ，再根据1•2211•2ADE EDC AD EN SAE S EC CD EM ===，即可证明．（3）如图3中，连接AO ，由此AO 交BC 于M ，连接OE ，作EN⊙BC 于N ，设OE=x ．用x 表示BN 、EN ，在Rt⊙EBN 中，利用勾股定理列出方程即可．详解：（1）证明：如图1中，⊙⊙ABC 是等边三角形，⊙⊙BAC=⊙ACB=60°，⊙⊙BDC=⊙BAC ，⊙ADC=⊙ACB ，⊙⊙ADB=⊙BDC=60°．（2）如图2中，在BD 上截取DH=DC ，作EN⊙AD ，EM⊙CD 垂足分别为N 、M ．⊙⊙HDC=60°，DH=DC ，⊙⊙DHC 是等边三角形，⊙HC=DC ，⊙CHD=60°，⊙⊙BCA=⊙HCD=60°，⊙⊙BCH=⊙ACD ，在⊙BCH 和⊙ACD 中，AC BC ACD BCH CD CH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊙⊙ACD⊙⊙BCH ，⊙BH=AD ，⊙BD=BH+HD=AD+CD ．⊙BD=3CD ，⊙3CD=AD+CD ，⊙AD=2CD ，⊙⊙ADB=⊙BDC ，EN⊙DA ，EM⊙DC ，⊙EN=EM ， ⊙1•2211•2ADE EDC AD EN SAE S EC CD EM ===， ⊙AE=2CE ．（3）如图3中，连接AO ，由此AO 交BC 于M ，连接OE ，作EN⊙BC 于N ，设OE=x ．⊙O 是等边三角形的外心，⊙OA=2OM ，⊙AE=2EC ，⊙OA AEOM EC=， ⊙OE⊙CM ，⊙AM⊙BC ，⊙AO⊙OE ，⊙⊙OAE=12⊙BAC=30°，⊙AE=2x ，EC=x ，CN=12x ，BN=52x ，在Rt⊙BNE 中，⊙BE 2=BN 2+EN 2，⊙142=（52x ）2+（2x ）2， ⊙x 2=28，⊙x ＞0，．．点睛：本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会把问题转化为方程去思考． 51．如图，AB 是△O 的直径点F 、C 是半圆弧ABC 上的三等份点，连接AC ，AF ，过点C 作CD△AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D ．（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若△O 的半径为4，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）连接OC ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC 与AD 平行，由CD 与AD 垂直，得到CD 与OC 垂直，即可得证；（2）连接OF ，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出⊙OCB 的度数，在直角三角形OCE 中，求出CE 的长，利用角平分线性质得到CD=CE ，即可求出CD 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，⊙OA=OC，⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙FC CB=，⊙⊙DAC=⊙CAB，⊙⊙OCA=⊙DAC，⊙OC⊙AD，⊙CD⊙AD，⊙CD⊙OC，则CD为圆O的切线；（2）连接OF，过C作CE⊙AB，⊙AF FC CB==，⊙⊙AOF=⊙FOC=⊙COB=60°，在Rt⊙OCE中，OC=4，⊙OCE=30°，⊙AC平分⊙DAB，CD⊙AD，CE⊙AB，点睛：此题考查了切线的判定，圆心角、弧及弦之间的关系，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．52．如图，AB是△O的直径，E为弦AC的延长线上一点，DE与△O相切于点D，且DE△AC，连结OD，若AB=10，AC=6，求DE的长．【答案】4【解析】分析：连结BC，如图，BC与OD相交于点F，利用圆周角定理得到BC⊙AE，则BC⊙DE，再利用切线的性质得到OD⊙DE，接着利用垂径定理得到CF=12BC，接下来判定四边形CEDF是矩形得到DE=CF=12BC，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到CF和DE的长．详解：连结BC，如图，BC与OD相交于点F，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC⊙AE，又⊙DE⊙AC，⊙BC⊙DE，⊙DE是⊙O的切线，⊙OD⊙DE，⊙OD⊙BC，⊙CF=12 BC，⊙BC⊙AE，DE⊙AC，DE⊙AC，⊙四边形CEDF是矩形．⊙DE=CF=12 BC，在Rt⊙ACB中，⊙ACB=90°，=8，⊙CF=4，⊙DE=4．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．53．已知：如图，在四边形ABCD中，AD△BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为△DAB 和△CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作△O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，△O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin△AGF= 4，求△O的半径．5【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到⊙AGF=⊙AEB，根据sin⊙AGF的值，确定出sin⊙AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：⊙AD⊙BC，AD=BC，⊙四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）⊙AD⊙BC，⊙⊙DAB+⊙CBA=180°，⊙AE与BE分别为⊙DAB与⊙CBA的平分线，⊙⊙EAB+⊙EBA=90°，⊙⊙AEB=90°，⊙AB为圆O的直径，点F在圆O上，⊙⊙AFB=90°，⊙⊙FAG+⊙FGA=90°，⊙AE平分⊙DAB，⊙⊙FAG=⊙EAB，⊙⊙AGF=⊙ABE，⊙sin⊙ABE=sin⊙AGF=45AEAB ，⊙AE=4，⊙AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．54．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△BAD=△CAD，CE△AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）⊙ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52．【解析】（1）证明AD为⊙BCE的中位线得到CE=2AD=6；（2）过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，证明⊙ACD⊙⊙FBD，从而得到AC=BF，⊙CAD=⊙BFD，再结合⊙BAD=⊙CAD，得到BA=BF，等量代换后即可证得结论；（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt⊙PBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R=256，则PD=76，再利用面积法求出r=43，即QD=43，然后计算PD+QD即可．（1）解：⊙AD是边BC上的中线，⊙BD=CD，⊙CE⊙AD，⊙AD为⊙BCE的中位线，⊙CE=2AD=6；（2）证明：过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，则⊙ACD=⊙FBD, ⊙ADC=⊙FDB，又⊙BD=CD，⊙⊙ACD⊙⊙FBD，⊙AC=BF，⊙CAD=⊙BFD，又⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙⊙BAD=⊙BFD，⊙BA=BF,⊙AB=AC,⊙⊙ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，在Rt⊙ABD中，，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在Rt⊙PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=256，⊙PD=PA-AD=256-3=76，⊙S⊙ABQ+S⊙BCQ+S⊙ACQ=S⊙ABC，⊙12×r×5+12×r×8+12×r×5=12×3×8，解得r=43，即QD=43，⊙PQ=PD+QD=76+43=52．答：⊙ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为52．本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．55．如图，CD是△O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：△CAD=△BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．【解析】分析：（1）连接OD，由OB=OD可得出⊙OBD=⊙ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出⊙CAD=⊙BDC；（2）由⊙C=⊙C、⊙CAD=⊙CDB可得出⊙CDB⊙⊙CAD，根据相似三角形的性质结合BD=2 3AD、AC=3，即可求出CD的长．详（1）证明：连接OD，如图所示．⊙OB=OD，⊙⊙OBD=⊙ODB．⊙CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙⊙ODB+⊙BDC=90°．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，⊙⊙OBD+⊙CAD=90°，⊙⊙CAD=⊙BDC．（2）⊙⊙C=⊙C，⊙CAD=⊙CDB，⊙⊙CDB⊙⊙CAD，⊙BD CD AD AC．⊙BD=23AD ， ⊙23BD AD =， ⊙2=3CD AC ，又⊙AC=3，⊙CD=2．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角的余角相等证出⊙CAD=⊙BDC ；（2）利用相似三角形的性质找出2=3CD AC ． 56．如图，D 为△O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且△CDA=△CBD ，（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若BC=6，tan△CDA=23，求CD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】分析：（1）连接OD ，如图，先证明⊙CDA=⊙ODB ，再根据圆周角定理得⊙ADO+⊙ODB=90°，则⊙ADO+⊙CDA=90°，即⊙CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由于⊙CDA=⊙ODB ，则tan⊙CDA=tan⊙ABD=23，根据正切的定义得到tan⊙ABD=23AD BD =，接着证明⊙CAD⊙⊙CDB ，由相似的性质得23CD AD BC BD ＝＝，然后根据比例的性质可计算出CD 的长．详（1）证明：连接OD ，如图，⊙OB=OD ，⊙⊙OBD=⊙BDO ，⊙⊙CDA=⊙CBD ，⊙⊙CDA=⊙ODB，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，即⊙ADO+⊙ODB=90°，⊙⊙ADO+⊙CDA=90°，即⊙CDO=90°，⊙OD⊙CD，⊙CD是⊙O的切线；（2）⊙⊙CDA=⊙ODB，⊙tan⊙CDA=tan⊙ABD=23，在Rt⊙ABD中，tan⊙ABD=23 ADBD，⊙⊙DAC=⊙BDC，⊙CDA=⊙CBD，⊙⊙CAD⊙⊙CDB，⊙23 CD ADBC BD＝＝，⊙CD=23×6=4．点睛：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．57．如图，AB是△O的直径，ED切△O于点C，AD交△O于点F，△AC平分△BAD，连接BF．（1）求证：AD△ED；（2）若CD=4，AF=2，求△O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O【解析】【解析】（1）连接OC，如图，先证明OC⊙AD，然后利用切线的性质得OC⊙DE，从而得到AD⊙ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到⊙AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，⊙CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．（1）证明：连接OC，如图，⊙AC平分⊙BAD，⊙⊙1=⊙2，⊙OA=OC，⊙⊙1=⊙3，⊙⊙2=⊙3，⊙OC⊙AD，⊙ED切⊙O于点C，⊙OC⊙DE，⊙AD⊙ED；（2）解：OC交BF于H，如图，⊙AB为直径，⊙⊙AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，⊙FH=CD=4，⊙CHF=90°，⊙OH⊙BF，⊙BH=FH=4，⊙BF=8，在Rt⊙ABF中，⊙⊙O．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．58．如图，△A=△B=50°，P 为AB 中点，点M 为射线AC 上（不与点A 重合）的任意点，连接MP ，并使MP 的延长线交射线BD 于点N ，设△BPN=α．（1）求证：△APM△△BPN ；（2）当MN=2BN 时，求α的度数；（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．【解析】【解析】（1）根据AAS 即可证明⊙APM⊙⊙BPN ；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN ，所以PN=BN ，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：⊙BPN 是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．（1）⊙P 是AB 的中点，⊙PA=PB ，在⊙APM 和⊙BPN 中，A B APM BPN PA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APM⊙⊙BPN ；（2）由（1）得：⊙APM⊙⊙BPN ，⊙PM=PN ，⊙MN=2PN ，⊙MN=2BN ，⊙BN=PN ，⊙α=⊙B=50°；（3）⊙⊙BPN的外心在该三角形的内部，⊙⊙BPN是锐角三角形，⊙⊙B=50°，⊙40°＜⊙BPN＜90°，即40°＜α＜90°．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.59．根据问题进行证明：（1）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ△BE于点Q，DP△AQ于点P，求证：AP=BQ．（2）如图，已知AB是△O的直径，AC是△O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D且△A=△D．求△D的度数．【答案】见解析【解析】分析：（1）由正方形的性质知AD=BA、⊙BAD=90°，由AQ⊙BE、DP⊙AQ知⊙BAQ=⊙ADP、⊙AQB=⊙DPA=90°，即可证⊙AQB⊙⊙DPA得AP=BQ；（2）由切线的性质知⊙OCD=90°即⊙COB+⊙D=90°，由圆周角定理知⊙COB=2⊙A，结合⊙A=⊙D 可得答案．详解：（1）⊙四边形ABCD为正方形，⊙AD=BA，⊙BAD=90°，即⊙BAQ+⊙DAP=90°，⊙DP⊙AQ，⊙⊙ADP+⊙DAP=90°，⊙⊙BAQ=⊙ADP，⊙AQ⊙BE于点Q，DP⊙AQ于点P，⊙⊙AQB=⊙DPA=90°，在⊙AQB和⊙DPA中，⊙BAQ ADP AQB DPA AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊙⊙AQB⊙⊙DPA （AAS ），⊙AP=BQ ；（2）如图，连接OC ，⊙CD 是⊙O 的切线，⊙OC⊙CD ，⊙⊙OCD=90°，⊙⊙COB+⊙D=90°，由圆周角定理得⊙COB=2⊙A ，⊙⊙A=⊙D ，⊙2⊙A+⊙A=90°，⊙⊙A=30°，⊙⊙D=30°．点睛：本题主要考查正方形的性质、切线的性质、圆周角定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、切线的性质是解题的关键．60．如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点D作DF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点G .（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知BD =2CF =，求AE 和BG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）10 3【解析】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊙BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD⊙AC，从而由DG⊙AC可得OD⊙FG，即可得证；（2）连接BE．BE⊙GF，推出⊙AEB⊙⊙AFG，可得AB AEAG AF=，由此构建方程即可解决问题；详解：（1）如图，连接OD，AD，⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ADB=90°，即AD⊙BC，⊙AB=AC，⊙BD=CD，又⊙OA=OB，⊙OD⊙AC，⊙DG⊙AC，⊙OD⊙FG，⊙直线FG与⊙O相切，即DF是⊙O的切线；（2）如图，连接BE．⊙CD＝BD＝⊙CF=2，=4，⊙BE=2DF=8，⊙cos⊙C=cos⊙ABC，⊙CF BD CD AB=，AB=，⊙AB=10，6=，⊙BE⊙AC，DF⊙AC，⊙BE⊙GF，⊙⊙AEB⊙⊙AFG，⊙AB AE AG AF=，⊙106 1026BG=++，⊙BG=103．点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．61．如图，已知AB是△O的直径，C是△O上一点，△ACB的平分线交△O，作PD△AB，交CA的延长线于点P，连结AD，BD．求证：（1）PD是△O的切线；（2）△PAD△△DBC【答案】见解析【解析】分析：（1）根据角平分线的定义得出⊙1=⊙3，得出弧AD=弧BD，根据垂径定理可得出OD⊙AB，再根据PD⊙AB，就可证得OD⊙PD，即可得证；（2）根据圆内接四边形的定理，可证得⊙2=⊙CBD，再根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质，可证得⊙ADP=⊙1，然后根据相似三角形的判定定理，可证得结论.详解：（1）证明：如图，连接OD⊙CD平分⊙ACB⊙⊙1=⊙3⊙弧AD=弧BD⊙OD⊙AB⊙PD⊙AB⊙OD⊙PD⊙OD是半径⊙PD是⊙O的切线（2）证明：⊙四边形ADBC是圆的内接四边形，⊙⊙CAD+⊙CBD=180°⊙⊙2+⊙CAD=180°⊙⊙2=⊙CBD⊙AB是圆的直径⊙⊙ADO+⊙BDO=90°，⊙1+⊙3=90°，即⊙1=45°⊙弧AD=弧BD，OD⊙AB⊙AD=BD⊙⊙ADO=45°⊙⊙ADO+⊙ADP=90°⊙⊙ADP=45°=⊙1⊙⊙PAD⊙⊙DBC点睛：本题考查切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．62．已知：△O是正方形ABCD的外接圆，点E在AB上，连接BE、DE，点F在AD上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分△EDF．（1）如图1，求证：△CBE=△DHG；（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK△BN交DE于点K，过点E作EP△BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交△O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为74，求线段BR的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3.【解析】分析：（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；（2）如图2，过H作HM⊙KD，垂足为点M，根据题意确定出⊙BEP⊙⊙HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到⊙BED⊙⊙DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊙BD，垂足为S，根据⊙BER的面积与⊙DHK的面积的差为74，求出a的值，即可确定出BR的长．详解：（1）证明：如图1，⊙四边形ABCD是正方形，⊙⊙A=⊙ABC=90°，⊙⊙F=⊙A=90°，⊙⊙F=⊙ABC，⊙DA平分⊙EDF，⊙⊙ADE=⊙ADF，⊙⊙ABE=⊙ADE，⊙⊙ABE=⊙ADF，⊙⊙CBE=⊙ABC+⊙ABE，⊙DHG=⊙F+⊙ADF，⊙⊙CBE=⊙DHG；（2）如图2，过H作HM⊙KD，垂足为点M，⊙⊙F=90°，⊙HF⊙FD，⊙DA平分⊙EDF，⊙HM=FH，⊙FH=BP，⊙HN=BP，⊙KH⊙BN，⊙⊙DKH=⊙DLN，⊙⊙ELP=⊙DLN，⊙⊙DKH=⊙ELP，⊙⊙BED=⊙A=90°，⊙⊙BEP+⊙LEP=90°，⊙EP⊙BN，⊙⊙BPE=⊙EPL=90°，⊙⊙LEP+⊙ELP=90°，⊙⊙BEP=⊙ELP=⊙DKH，⊙HM⊙KD，⊙⊙KMH=⊙BPE=90°，⊙⊙BEP⊙⊙HKM，⊙BE=HK；（3）解：如图3，连接BD，⊙3HF=2DF ，BP=FH ，⊙设HF=2a ，DF=3a ，⊙BP=FH=2a ，由（2）得：HM=BP ，⊙HMD=90°，⊙⊙F=⊙A=90°，⊙tan⊙HDM=tan⊙FDH ， ⊙23HM FH DM DF ==， ⊙DM=3a ，⊙四边形ABCD 为正方形，⊙AB=AD ，⊙⊙ABD=⊙ADB=45°，⊙⊙ABF=⊙ADF=⊙ADE ，⊙DBF=45°-⊙ABF ，⊙BDE=45°-⊙ADE ，⊙⊙DBF=⊙BDE ，⊙⊙BED=⊙F ，BD=BD ，⊙⊙BED⊙⊙DFB ，⊙BE=FD=3a ，过H 作HS⊙BD ，垂足为S ， ⊙tan⊙ABH=tan⊙ADE=23AH AB =，⊙设m ，m ，AB=6m ，m ，⊙sin⊙ADB=2HS DH =， ⊙HS=m ，，⊙BS=BD-DS=5m，⊙tan⊙BDE=tan⊙DBF=15 HSBS=，⊙⊙BDE=⊙BRE，⊙tan⊙BRE=15 BPPR=，⊙BP=FH=2a，⊙RP=10a，在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：⊙BEP=⊙HKD，⊙⊙BET⊙⊙HKD，⊙⊙BTE=⊙KDH，⊙tan⊙BTE=tan⊙KDH，⊙23BPPT=，即PT=3a，⊙TR=RP-PT=7a，⊙S⊙BER-S⊙DHK=74，⊙12BP•ER-12HM•DK=74，⊙12BP•（ER-DK）=12BP•（ER-ET）=74，⊙12×2a×7a=74，解得：a=12（负值舍去），⊙BP=1，PR=5，则=点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：正方形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．63．在△O 中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，△ACB=120°，点I是△ABC的内心，CI的延长线交△O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若△O的半径为2，点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分⊙ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据⊙ACB=120°，⊙ACD=⊙BCD，可求出⊙BAD的度数，再根据AD=BD，可证得⊙ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明⊙BID=⊙IBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E，F是弧AB ⊙的三等分点，⊙ABD是等边三角形，可证得⊙DAI1=⊙AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：⊙点I是⊙ABC的内心⊙CI平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD⊙弧AD=弧BD⊙AD=BD（2）AB=DI理由：⊙⊙ACB=120°，⊙ACD=⊙BCD⊙⊙BCD=×120°=60°⊙弧BD=弧BD⊙⊙DAB=⊙BCD=60°⊙AD=BD⊙⊙ABD是等边三角形，⊙AB=BD，⊙ABD=⊙C⊙I是⊙ABC的内心⊙BI平分⊙ABC⊙⊙CBI=⊙ABI⊙⊙BID=⊙C+⊙CBI，⊙IBD=⊙ABI+⊙ABD⊙⊙BID=⊙IBD⊙ID=BD⊙AB=BD⊙AB=DI（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧。

人教版九年级数学第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (23)

第二十四章第2节《点和圆、直线和圆的位置关系》解答题专题复习(精选解析版) (23)40．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊙PO于E，若⊙EAC=⊙CAP，求证：PA是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】【解析】连接OA．欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊙AP即可．证明：连接OA⊙OA=OC⊙⊙OCA=⊙OAC⊙AB⊙PO⊙⊙AEC=90°⊙⊙OCA+⊙BAC=90°⊙⊙EAC=⊙CAP⊙⊙OAC+⊙CAP=90°⊙OA⊙AP⊙PA是⊙O的切线．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．41．如图，AB是⊙O的直径，⊙ABT＝45°，AT＝AB＝2，BT交⊙O于C点．(1)求证：AT是⊙O的切线；(2)求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【解析】（1）先利用AT＝AB得到⊙ATB＝⊙ABT＝45°，则利用三角形内角和定理得到⊙BAT＝90°，然后根据切线的判定定理可判断AT是⊙O的切线；（2）连接AC，先根据圆周角定理得到⊙ACB=90°，由⊙ABC＝⊙CAB得到AC BC=，然后利用弓形BC的面积等于弓形AC的面积得到阴影部分的面积=S⊙ACT．(1)证明：⊙AT＝AB，⊙⊙ATB＝⊙ABT＝45°，⊙⊙BA T＝90°，⊙AT是⊙O的切线；（2）如图，连接AC，⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，即AC⊙BT，又⊙⊙ABC＝45°，⊙⊙CAB＝45°，⊙⊙ABC＝⊙CAB，⊙AC BC=，于是由圆的轴对称性可知阴影部分的面积等于⊙ACT的面积，而AT＝AB，AC⊙BT，⊙BC＝CT，⊙S阴影＝S⊙ACT＝12S⊙ABT＝12×12×2×2＝1.本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．42．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．【答案】⊙FDE的度数为55°．【解析】【解析】连接IE，IF，根据切线的性质，可得出⊙AEI和⊙AFI等于90°，再由⊙A=70°，从而得出⊙EIF，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得⊙FDE．连接IE，IF，⊙内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，⊙⊙AEI=⊙AFI=90°，⊙⊙A=70°，⊙⊙EIF=110°，⊙⊙FDE=12⊙EIF=55°，答：⊙FDE的度数为55°．本题考查了三角形的内切圆与内心，综合运用了圆周角定理以及切线的性质定理和四边形的内角和定理，正确添加辅助线并熟练运用相关的知识是解题的关键.43．如图，AB为⊙O的直径，直线l经过⊙O上一点C，过点A作AD⊙l于点D，交⊙O于点E，AC平分⊙DAB．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若DC＝4，DE＝2，求线段AB的长．【答案】（1）详见解析；（2）AB＝10．【解析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到⊙OAC=⊙OCA，然后利用角平分线的性质可以证明⊙DAC=⊙OCA；随之利用垂直即可解答.(2) 连接BE交CO于M,得出四边形DEMC是矩形，利用勾股定理即可解答.（1）证明：连接OC，⊙AC平分⊙DAB，⊙⊙DAC＝⊙OAC，又⊙OA＝OC，⊙⊙OCA＝⊙OAC，⊙⊙DAC＝⊙OCA，又⊙CD⊙AD，即⊙ADC＝90°，⊙⊙DAC+⊙DCA＝90°，⊙⊙OCA+⊙DCA＝90°，即⊙OCD＝90°，⊙OC⊙CD，则CD是圆O的切线；（2）解：连接BE交CO于M，⊙AB为⊙O的直径，⊙四边形DEMC是矩形，⊙OC⊙BE，⊙BM＝EM＝CD＝4，在Rt⊙OMB中，BM2+OM2＝OB2，⊙42+（r﹣2）2＝r2，⊙r＝5，⊙AB＝10．本题考查切线的判定，一般利用线段垂直或者证明直角三角形的方法来解决.44．如图，在平面直角坐标系中，Rt⊙ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．（1）求证：AE平分⊙BAC；（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F的半径；（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．【答案】（1）详见解析；（2）⊙F的半径为52；（3）y＝﹣38x2+32．【解析】（1）连接FE，先根据切线的性质知⊙FEC＝90°，结合⊙C＝90°证FE⊙AC得⊙EAC＝⊙FEA，根据F A＝FE知⊙F AE＝⊙FEA，从而得⊙F AE＝⊙CAE，即可得证；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据FD2＝（AF﹣AO）2+OD2知r2＝（r﹣1）2+22，解之可得；（3）根据圆的对称性得出点M的坐标，设抛物线的交点式，将点F坐标代入计算可得．（1）连接FE，⊙⊙F与边BC相切于点E，⊙⊙ACB＝90°，⊙⊙FEC+⊙ACB＝180°，⊙FE⊙AC，⊙⊙EAC＝⊙FEA，⊙F A＝FE，⊙⊙F AE＝⊙FEA，⊙⊙F AE＝⊙CAE，⊙AE平分⊙BAC；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，⊙A（0，﹣1），D（2，0），⊙OA＝1，OD＝2，在Rt⊙FOD中，FD2＝（AF﹣AO）2+OD2，⊙r2＝（r﹣1）2+22，解得：r＝52，⊙⊙F的半径为52；（3）⊙F A＝r＝52，OA＝1，FO＝32，⊙F（0，32），⊙直径AG垂直平分弦MD，点M和点D（2，0）关于y轴对称轴，⊙M（﹣2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），将点F（0，32）代入，得：﹣4a＝32，解得：a＝﹣38，则抛物线解析式为y＝﹣38（x+2）（x﹣2）＝﹣38x2+32．本题是二次函数的综合问题，涉及了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键.45．如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，⊙B＝2⊙CAD，在BC的延长线上有一点P，使得⊙P＝⊙ACB，弦AD交直径BC于点E．（1）求证：DP与⊙O相切；（2）判断⊙DCE的形状，并证明你的结论；（3）若CE＝2，DE，求线段BC的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）⊙DCE是等腰三角形，证明见解析；（3）10.【解析】【解析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到⊙DOP=2⊙DAC，等量代换得到⊙COD=⊙B，根据圆周角定理得到⊙BAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理和三角形的内角和即可得到结论；（3）根据相似三角形的性质得到CD OCCE CD＝，于是得到OC=2CDCE=5，即可得到结论．（1）连接OD，⊙⊙DOP＝2⊙DAC，⊙⊙B＝2⊙CAD，⊙⊙COD＝⊙B，⊙⊙P＝⊙ACB，⊙⊙ODP＝⊙BAC，⊙BC是⊙O的直径，⊙⊙BAC＝90°，⊙⊙ODP＝90°，⊙DP与⊙O相切；（2）⊙DCE是等腰三角形，理由：⊙⊙B＝⊙COD，⊙BOD＝180°﹣⊙COD，⊙BAD+⊙AEB＝180°﹣⊙B，⊙⊙BOD＝⊙BAD+⊙AEB，⊙⊙BAD＝12⊙BOD，⊙⊙AEB＝12⊙BOD，⊙⊙BAD＝⊙AEB，⊙⊙DCE＝⊙BAE，⊙CED＝⊙AEB，⊙⊙CED＝⊙DCE，⊙⊙DCE是等腰三角形；（3）⊙OC＝OD，⊙⊙OCD＝⊙ODC，⊙DE＝DC，⊙⊙OCD＝⊙CED，⊙⊙DEC＝⊙DCE＝⊙OCD＝⊙ODC，⊙⊙DCE⊙⊙OCD，⊙CD OC CE CD＝，⊙CE＝2，DE，⊙CD＝DE，⊙OC＝2CDCE＝5，⊙BC＝2OC＝10．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，切线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．46．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D为半径OC上异于O，C的点，过点D作AB⊙OC，交⊙O 于A，B，点E在线段AB上，AE＝CE，点P在线段EC的延长线上，PB＝PE．（1）若OD＝2，求弦AB的长；（2）当点D在线段OC（不含端点）上移动时，直线PB与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（3）点Q是⊙O上的一个动点，若点D为OC中点时，线段PQ的最小值为多少？请说明理由．【答案】（1）（2）PB与⊙O相切；（3）6．【解析】【解析】（1）连接OB，由OB=OC=6，OD=2，利用勾股定理可得BD的长，根据垂径定理可得答案；（2）连接OB，OA，OE，先证⊙AOE⊙⊙COE得⊙OAE=⊙OCE，结合⊙OBA=⊙OAB知⊙OCE=⊙OBA，根据PB=PE知⊙PBE=⊙PEB，根据⊙OCE+⊙PEB=90°得⊙OBA+⊙PBE=90°，由切线的判定可得答案；（3）先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．（1）如图1，连接OB，⊙OB=OC=6，OD=2，==则（2）如图2，连接OB，OA，OE，⊙OB=OA=OC，⊙⊙OBA=⊙OAB，又⊙OE=OE，AE=CE，⊙⊙AOE⊙⊙COE（SSS），⊙⊙OAE=⊙OCE，⊙⊙OCE=⊙OBA，⊙PB=PE，⊙⊙PBE=⊙PEB，⊙AB⊙CD，⊙⊙OCE+⊙PEB=90°，⊙⊙OBA+⊙PBE=90°，即⊙PBO=90°，⊙OB⊙PB，又OB是⊙O的半径，⊙PB与⊙O相切；（3）线段PQ的最小值为-6，理由如下：⊙D为OC的中点，⊙OD=12OC=12OB，在Rt⊙OBD中，⊙OBD=30°，⊙⊙BOC=60°，⊙OB=OC，⊙⊙BOC是等边三角形，⊙Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，⊙Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，⊙A=12⊙COB=30°，⊙⊙PEB=2⊙A=60°，⊙ABP=90°-30°=60°，⊙⊙PBE是等边三角形，Rt⊙OBD中，，设AE=x，则CE=x，，Rt⊙CDE中，x2=32+（-x）2，解得：Rt⊙OPB中，==，则线段PQ的最小值是-6．本题是圆的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．47．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB⊙DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA 上的切点．（1）求证：AB+CD=AD+BC（2）求⊙AOD的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90°.【解析】【解析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，通过证明⊙OAE⊙⊙OAN，得到⊙OAE=⊙OAN．同理：⊙ODN=⊙ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出⊙AOD的度数．（1）证明：⊙⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，⊙AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，⊙AB+DC=AD+BC（2）连OE、ON、OM、OF，⊙OE=ON，AE=AN，OA=OA，⊙⊙OAE⊙⊙OAN，⊙⊙OAE=⊙OAN．同理，⊙ODN=⊙ODF．⊙⊙OAN+⊙ODN=⊙OAE+⊙ODE．又⊙AB⊙DC，⊙EAN+⊙CDN=180°，⊙⊙OAN+⊙ODN=12×180°=90°，⊙⊙AOD=180°﹣90°=90°．本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形．48．在⊙ABC中，⊙A=90°，AB=3，AC=4．以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线与点D，求CD的长．【答案】625．【解析】【解析】延长AB、BA分别交圆A于点E，F，根据相交弦定理得BC•BD=BE•BF，从而求出BD，即可得出CD．延长AB、BA分别交圆A于点E，F，如图，⊙AB=3，AC=4．，⊙BE=AE﹣AB=1，BF=AF+AB=7，⊙BC•BD=BE•BF，⊙5BD=7，⊙BD=75，⊙CD=BD+BC=75+5=625．本题考查了圆的有关知识，以及勾股定理、相交弦定理，是基础知识要熟练掌握．49．在直角坐标系xOy 中，已知点P 是反比例函数y (x ＞0)图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ． (1)如图1，当⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKPA 的形状，并说明理由；(2)如图2，当⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为点B 、C ．当四边形ABCP 是菱形时，求出点A 、B 、C 的坐标；(3)在(2)的条件下，求出经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．【答案】(1)四边形OKP A 是正方形，理由见解析；(2)A (0，B (1，0)，C (3，0)；(3)yx 2x 【解析】【解析】（1）先证明四边形OKP A 是矩形，又P A ＝PK ，故可得四边形OKP A 是正方形；（2）证明⊙PBC 为等边三角形；在Rt⊙PBG 中，⊙PBG ＝60°，设PB ＝P A ＝a ，BG ＝2a ，由勾股定理得：PG ＝2a ，所以P （a ，2a ），将P 点坐标代入y ＝x，求出PG P A ＝BC ＝2，又四边形OGP A 是矩形，P A ＝OG ＝2，BG ＝CG ＝1，故OB ＝OG ﹣BG ＝1，OC ＝OG +GC ＝3，即可求解；（3）设二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx +c ，将（2）中三点坐标分别代入，利用待定系数法进行求解即可.(1)四边形OKP A 是正方形，理由：⊙⊙P 分别与两坐标轴相切，⊙P A ⊙OA ，PK ⊙OK ，⊙⊙P AO ＝⊙OKP ＝90°，又⊙⊙AOK ＝90°，⊙⊙P AO ＝⊙OKP ＝⊙AOK ＝90°，⊙四边形OKP A 是矩形，又⊙P A ＝PK ，⊙四边形OKP A 是正方形；(2)连接PB ，过点P 作PG ⊙BC 于G ，⊙四边形ABCP 为菱形，⊙BC ＝P A ＝PB ＝PC ，⊙⊙PBC 为等边三角形，在Rt⊙PBG 中，⊙PBG ＝60°，设PB ＝P A ＝a ，BG ＝2a ，由勾股定理得：PG，所以P (a)，将P 点坐标代入y，解得：a ＝2或﹣2(舍去负值)，⊙PGP A ＝BC ＝2，又四边形OGP A 是矩形，P A ＝OG ＝2，BG ＝CG ＝1，⊙OB ＝OG ﹣BG ＝1，OC ＝OG +GC ＝3．⊙A (0，B (1，0)，C (3，0)；(3)二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx +c ，根据题意得：0920c a b c a b c ⎧=⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：a c b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，⊙二次函数的解析式为：y＝3x 2﹣3x本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、切线的性质、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关的性质定理以及待定系数法是解题的关键.50．已知，如图，在⊙ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊙AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【解析】（1）连结CD，根据圆周角定理，由BC为直径得到⊙BDC=90°，然后根据等腰三角形的性质得AD=BD，得出点D是AB的中点.（2）连结OD，先得到OD为⊙ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD⊙AC，而DE⊙AC，则DE⊙OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．（1）证明：连结CD，如图，⊙BC为直径，⊙⊙BDC＝90°，⊙CD⊙AB，⊙AC＝BC，⊙AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，⊙AD＝BD，OC＝OB，⊙OD为⊙ABC的中位线，⊙OD⊙AC，而DE⊙AC，⊙DE⊙OD，⊙DE为⊙O的切线．本题考查了等腰三角形的相关性质和圆切线的判定定理，掌握此性质和该判定定理是解答本题的关键.51．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．（1）如图1，若⊙PCB＝⊙A．⊙求证：直线PC是⊙O的切线；⊙若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．【答案】(1) ⊙见解析；(2)3.【解析】【解析】（1）⊙由等腰三角形的性质和圆周角定理可得OC⊙CP，即可得出结论；⊙根据圆周角定理及三角形内角和定理得出⊙P=30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得出结论；（2）根据圆周角定理可证⊙AMC⊙⊙NMA，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．（1）⊙⊙OA=OC，⊙⊙A=⊙ACO．⊙⊙PCB=⊙A，⊙⊙ACO=⊙PCB．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACO+⊙OCB=90°，⊙⊙PCB+⊙OCB=90°，即OC⊙CP．⊙OC是⊙O的半径，⊙PC是⊙O的切线．⊙⊙CP=CA，⊙⊙P=⊙A，⊙⊙COB=2⊙A=2⊙P．⊙⊙OCP=90°，⊙⊙P=30°．⊙OC=OA=2，⊙OP=2OC=4，⊙PC（2）连接MA、MB．⊙点M是弧AB的中点，⊙AM=BM，⊙⊙ACM=⊙BAM．⊙⊙AMC=⊙AMN，⊙⊙AMC⊙⊙NMA，⊙AM CMNM AM=，⊙AM2=MC•MN．⊙MC•MN=9，⊙AM=3，⊙BM=AM=3．本题考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．是一道综合性的题目，难度中等偏上．52．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且⊙EBF＝45°．⊙ABE的外接圆O与BC、BF分别交于点G、H．（1）在图1中作出圆O，并标出点G和点H；（2）若EF⊙AC，试说明BG与GH的大小关系，并说明理由；（3）如图2所示，若圆O与CD相切，试求⊙BEF的面积．【答案】（1）详见解析；（2）BG GH=，证明详见解析；（3）25 14.【解析】【解析】（1）根据题意利用同一圆中相等的弦所对的圆周角相等画出图形即可；（2）连接BD、EG、EH，先由已知得出BD为EF的中垂线，再得出⊙BEG=22.5°=⊙HBG，即可得出BG GH=；（3）将⊙BCF绕点B逆时针旋转90°到⊙BAP，过点B作BQ⊙EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，由已知得出⊙BPE⊙⊙BFE，进而得出⊙AEB⊙⊙QEB，可得C⊙EFD=4，再利用中位线出a的值，利用直角三角形得出b的值，即可求出⊙BEF的面积．（1）如图1，（2）如图2，连接BD、EG、EH，⊙EF⊙AC，⊙DE=DF，又⊙BD平分⊙EDF，⊙BD为EF的中垂线，⊙BE=BF，BD平分⊙EBF，又⊙⊙EBF=45°=⊙DBC，⊙⊙EBD=⊙DBF=⊙HBG=22.5°，⊙⊙EBG=67.5°，又⊙⊙EGB=90°，⊙⊙BEG=22.5°=⊙HBG，⊙BG GH，（3）如图3，将⊙BCF绕点B逆时针旋转90°到⊙BAP，过点B作BQ⊙EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，在⊙BPE 与⊙BFE 中，BP BF PBE EBF BE BE ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，⊙⊙BPE⊙⊙BFE （SAS ），⊙⊙AEB=⊙BEQ ，PE=EF ，由⊙AEB=⊙BEQ 可知，在⊙AEB 和⊙QEB 中，BAE BQE AEB BEQ BE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊙⊙AEB⊙⊙QEB （AAS ），⊙BQ=AB=2，由PE=EF 可知，C ⊙EFD =ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，设AE=a ，DF=b ，则DE=2-a ，⊙O 为BE 中点，且MN⊙AD ， ⊙ON=22AE a =， ⊙OM=2-2a ，又BE=2OM ，，解得a=32， ⊙ED=12，又⊙C ⊙EFD =4，DF=b ， ⊙EF=4-b-12=72-b ，在Rt⊙EDF中，（12）2+b2=（72-b）2，解得b=127，⊙EF=72-127=2514，⊙S⊙BEF=125252= 21414⨯⨯．本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形全等及方程灵活的求解．53．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin⊙AOC＝45，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊙OA时，求t的值；（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．【答案】（1）t＝3；（2）P（35t+2，45t﹣4）；（3）t的值为209秒或4秒或16秒或1609秒【解析】【解析】（1）如图1，过点C作CP⊙OA，交x轴于点P．就可以求出OP的值，由勾股定理就可以求出的OP值，进而求出结论；（2）t＜10时，P在OA或AB上运动，所以分两种情况：⊙当0≤t≤5时，如图1，点P在OA 上，OP=t，可得P的坐标；⊙当5＜t＜10时，如图2，点P在AB上，构建直角三角形，根据三角函数定义可得P的坐标；（3）设切点为G，连接PG，分⊙P与四边相切，其中P在AB和BC时，与各边都不相切，所以分两种情况：⊙当P在OA上时，根据三角函数列式可得t的值；⊙当P在OC上时，同理可得结论．（1）如图1，当CP ⊙OA 时，sin⊙AO 45CP C OC＝＝， 4455CP CP 即＝，＝，在Rt⊙OPC 中，OC ＝5，PC ＝4，则OP ＝3， ⊙331t ＝＝（2）当0≤t ≤5时，如图1，点P 在OA 上，⊙P （t ，0）；当5＜t ＜10时，如图2，点P 在AB 上，过P 作PH ⊙x 轴，垂足为H ，则⊙AOC ＝⊙P AH ，⊙sin⊙P AH ＝sin⊙AO 45C ＝， 44 4555PH PH t t ∴=-即＝﹣， ⊙333255HA t OH OA AH t ++＝﹣，＝＝， ⊙34P t+2t 455（，﹣）；（3）设切点为G ，连接PG ，分两种情况：⊙当P 在OA 上时，如图3，⊙P与直线AB相切，⊙OC⊙AB，⊙⊙AOC＝⊙OAG，⊙sin⊙AOC＝sin⊙OA45PGGAP＝＝，t45-t5 ＝，⊙209t＝；⊙P与BC相切时，如图4，则PG＝t＝OP＝4；⊙当点P在OC上时，⊙P与AB相切时，如图5，⊙OP＝PG＝4，⊙4×5﹣t＝4，t＝16，⊙P与直线BC相切时，如图6，⊙PG⊙BC，⊙BC⊙AO，⊙⊙AOC＝⊙GCP，⊙sin⊙AOC＝sin⊙GC45PGPPC＝＝，⊙OP＝PG＝20﹣t，⊙42051tt-=-，⊙1609t＝，综上所述，t的值2016041699为秒或秒或秒或秒本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解答时运用等角的三角函数列方程是关键，并注意运用分类讨论的思想，做到不重不漏．54．如图，O为Rt⊙ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的圆与斜边AB相切于点D，P是弧CD上任意一点，过点P作⊙O的切线，交BC于点M，交AB于点N，已知AB＝5，AC＝4．（1）⊙BMN的周长等于多少；（2）⊙O的半径．【答案】（1）⊙BMN的周长为6，（2）⊙O的半径为1.5．【解析】【解析】（1）由勾股定理可求得是BC，再证得BC为圆的切线，则可求得BC和BD的长，由切线长定理可求得PM=CM、PN=ND，则可求得答案；（2）连接OD，设半径为r，则AO=4-r，AD=2，在Rt⊙AOD中，由勾股定理可列方程，可求得r．（1）在Rt⊙ABC中，AB＝5，AC＝4，⊙BC＝3，⊙AC⊙BC，⊙BC为⊙O的切线，⊙AB为⊙O的切线，⊙BD＝BC＝3，⊙MN为⊙O的切线，⊙PM＝CM，PN＝DN，⊙BM+BN+MN＝BM+PM+BN+PN＝BM+MC+BN+ND＝BC+BD＝3+3＝6，即⊙BMN的周长为6，故答案为：6；（2）如图，连接OD，⊙AB为⊙O的切线，⊙OD⊙AB，设半径为r，则AO＝AC﹣r＝4﹣r，AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，在Rt⊙AOD中，由勾股定理可得r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝1.5，⊙⊙O的半径为1.5．本题考查了圆的切线的性质和判定、切线长定理、以及勾股定理，熟练掌握灵活运用相关的知识是本题的关键55．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：（1）⊙PCD的周长；（2）若⊙P＝50°，求⊙COD的度数．【答案】(1)12;(2) 65°.【解析】【解析】（1）根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；（2）连接OE，根据切线的性质得出⊙P+⊙AOB=180°，由切线长定理得⊙COD= 12⊙AOB，即可得出结果．解：（1）⊙PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，⊙PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；⊙⊙PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；（2）连接OE，如图所示：由切线的性质得，OA⊙PA，OB⊙PB，OE⊙CD，⊙⊙OAC＝⊙OEC＝⊙OED＝⊙OBD＝90°，⊙⊙AOB+⊙P＝180°，⊙⊙AOB＝180°﹣⊙P＝130°，由切线长定理得：⊙AOC＝⊙EOC，⊙EOD＝⊙BOD，⊙⊙COD＝12⊙AOB＝12×130°＝65°．本题考查的知识点是切线的性质、切线长定理；解题关键是熟记运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．56．已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点．过⊙O上一点B作BD⊙AM于点D，BD交⊙O 于点C，OC平分⊙AOB．（1）求⊙AOB的度数；（2）当⊙O的半径为4cm时，求CD的长．【答案】（1）⊙AOB＝120°；（2）EC＝2．【解析】【解析】（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等；再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，然后利用等量代换得到⊙BOC=⊙OBC=⊙OCB=60°，从而得出答案；（2），过点O作OE⊙BD于点E，如图，进而得出四边形OADE是矩形，再结合（1）的解答过程进行推理，即可得出DC的长.（1）⊙AM为圆O的切线，⊙OA⊙AM，⊙BD⊙AM，⊙⊙OAD＝⊙BDM＝90°，⊙OA⊙BD，⊙⊙AOC＝⊙OCB，⊙OB＝OC，⊙⊙OBC＝⊙OCB，⊙OC平分⊙AOB，⊙⊙AOC＝⊙BOC，⊙⊙BOC＝⊙OCB＝⊙OBC＝60°，⊙⊙AOB＝120°；（2）过点O作OE⊙BD于点E，⊙⊙BOC＝⊙OCB＝⊙OBC＝60°，⊙⊙OBC是等边三角形，⊙BE＝EC＝2，⊙⊙OED＝⊙EDA＝⊙OAD＝90°，⊙四边形OADE是矩形，⊙DE＝OA＝4，⊙EC＝DC＝2．本题考查的知识点是圆的切线垂直于过切点的半径，两直线平行，内错角相等，三角形的角平分线定义，等腰三角形的性质，角平分线所在的直线是它的对称轴，解题的关键是熟练的掌握圆的切线垂直于过切点的半径，两直线平行，内错角相等，三角形的角平分线定义，等腰三角形的性质，角平分线所在的直线是它的对称轴.57．如图，I是⊙ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交⊙ABC的外接圆于点E．(1)BE与IE相等吗？请说明理由．(2)连接BI，CI，CE，若⊙BED=⊙CED=60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】(1)IE=BE，理由见解析；(2)四边形BECI是菱形，证明见解析.【解析】【解析】（1）连接IB，只需证明⊙IBE=⊙BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；（2）如图2，由⊙BED=⊙CED=60°，可得⊙ABC=⊙ACB=60°，可得BE=CE，再由I是⊙ABC的内心，可得⊙4=⊙ICD，从而可得BI=IC，再由(1)证得IE=BE，可得BE=CE=BI=IC，继而可得四边形BECI是菱形．(1)如图1，连接BI，⊙I是⊙ABC的内心，⊙⊙1=⊙2，⊙3=⊙4，⊙⊙BIE=⊙1+⊙3，⊙IBE=⊙5+⊙4，而⊙5=⊙1=⊙2，⊙⊙BIE=⊙IBE，⊙IE=BE．(2)四边形BECI是菱形，如图2，⊙⊙BED=⊙CED=60°，⊙⊙ABC=⊙ACB=60°，⊙BE=CE，⊙I是⊙ABC的内心，⊙⊙4=12⊙ABC=30°，⊙ICD=12⊙30°，⊙⊙4=⊙ICD，⊙BI=IC，由(1)证得IE=BE，⊙BE=CE=BI=IC，⊙四边形BECI是菱形．本题考查了三角形的内心、菱形的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握三角形的内心的性质是解题的关键.58．如图1，在圆O中，直径CD⊙弦AB于点E，点P是CD延长线上一点，连接PB、BD．（1）若BD平分⊙ABP，求证：PB是圆O的切线；（2）若PB是圆O的切线，AB＝4，OP＝4，求OE的长；（3）如图2，连接AP，延长BD交AP于点F，若BD⊙AP，AB＝，OP＝4，求tan⊙BDE 的值．【答案】（1）见解析;（2）OE＝2；（3）tan⊙BDE＝．【解析】【解析】（1）连接BC，BO，根据圆周角定理得到⊙CBD＝90°，根据等腰三角形的性质得到⊙OBC＝⊙C，于是得到结论；（2）设OB＝r，OE＝x，证⊙OBE⊙⊙OPB得OB OEOP OB，即r2＝4x，在Rt⊙OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得关于x的方程，解之可得答案；（3）连接BC，BO，根据已知条件得到AP⊙BC，根据平行线的性质得到⊙C＝⊙APC，根据垂径定理得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到CE＝PE，设OE＝x，CO＝BO＝r，根据勾股定理即可得到x的值，进一步可得DE的长，根据三角函数的定义可得答案．解：（1）连接BC，BO，⊙CD是⊙O的直径，⊙⊙CBD＝90°，⊙CD⊙AB，⊙⊙DBE＝⊙C＝90°﹣⊙CDB，⊙OB＝OC，⊙⊙OBC＝⊙C，⊙⊙PBD＝⊙EBD，⊙⊙PBD＝⊙OBC，⊙⊙PBO＝90°，⊙PB是⊙O的切线；（2）设OB＝r，OE＝x，⊙PB为⊙O的切线，CD⊙AB，⊙⊙OBP＝⊙OEB＝90°，又⊙⊙BOE＝⊙POB，⊙⊙OBE⊙⊙OPB，则OB OEOP OB=，即4r xr=，⊙r2＝4x，⊙AB＝4，CD⊙AB，⊙AE＝BE＝2，在Rt⊙OBE中，由OB2＝OE2+BE2可得4x＝x2+4，解得：x＝2，即OE＝2；（3）如图2，连接BC，BO，⊙CD是⊙O的直径，⊙BC⊙BD，⊙BD⊙AP，⊙AP⊙BC，⊙⊙C＝⊙APC，⊙CD是⊙O的直径，CD⊙AB，⊙AE＝BE，⊙AP＝BP，⊙⊙APC＝⊙BPC，⊙⊙C＝⊙BPC，⊙CE＝PE，设OE＝x，CO＝BO＝r，⊙r+x＝4﹣x，⊙r＝4﹣2x，⊙AB ＝⊙BE ＝12AB ，在Rt⊙BEO 中，BO 2＝OE 2+BE 2，即（4﹣2x ）2＝x 2+2，解得：x ＝1或x ＝133（不合题意，舍去）， ⊙OE ＝1、OD ＝OB ＝4﹣2＝2，则DE ＝OD ﹣OE ＝1，⊙tan⊙BDE ＝BE DE．考查了圆的综合问题，解题的关键是掌握切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．59．如图，Rt⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，连接OD 并延长，交BC 延长线于点F ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若EC⊙CF ＝3⊙2，⊙O 的半径为6，求DF 的长．【答案】(1)证明见解析；(2)4.【解析】【解析】（1）因为AB 为⊙O 的直径，得到⊙BAD 是直角三角形，⊙BCD 也是直角三角形，在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出⊙ODB=⊙OBD ，又因为OD=OB ，可得⊙ODB=⊙OBD ，进而利用等量代换求得⊙ODE 是90°，得到答案。

【十年高考(文数)2010-2019】九解析几何第二十四讲直线与圆(附答案)

一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅲ)直线 x + y + 2 = 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x − 2)2 + y2 = 2 上，则△ABP 面积的取值范围是
A．[2, 6]
B．[4,8] C．[ 2, 3 2]
D．[2 2,3 2]
2．（2016 年北京）圆 (x +1)2 + y2 = 2 的圆心到直线 y = x + 3 的距离为
6．（2015 安徽）直线 3x + 4 y = b 与圆 x2 + y2 − 2x − 2 y +1 = 0 相切，则 b 的值是
A．－2 或 12 B．2 或－12
C．－2 或－12
D．2 或 12
7．（2015 新课标 2）已知三点 A(1,0) ， B(0, 3) ，C(2, 3) ，则 ∆ABC 外接圆的圆心到原
（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．
1 千里之行始于足下
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4.（2019 浙江 12）已知圆 C 的圆心坐标是 (0, m) ，半径长是 r .若直线 2x − y + 3 = 0 与圆 C 相切于点 A(−2, −1) ，则 m =_____， r =______.
A．1
B．2
C． 2
D．2 2
3．（2016 年山东）已知圆 M： x2 + y2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与圆 N：（x-1）2 + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是

人教版数学第二十四章圆之直线与圆的位置关系(附答案)

人教版数学第二十四章圆之直线与圆的位置关系（附答案）一、选择题1.已知在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标为(4,5)，半径为3个单位长度，把圆P沿水平方向向左平移d个单位长度后恰好与y轴相切，则d的值是()A． 1B． 2C． 2或8D． 1或72.已知⊙O的半径R＝√3cm，点O到直线l的距离为d，如果直线l与⊙O有公共点，那么() A．d≤√3cmB．d＜√3cmC．d≥√3cmD．d＞√3cm3.已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是()A． 1B． 2C． 3D． 54.如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8 cm，则l 沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是()A． 1 cmB． 2 cmC． 8 cmD． 2 cm或8 cm5.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x,0)，且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是()A．－1≤x≤1B．－√2≤x≤√2C．－√2＜x＜√2D．0≤x≤√26.圆心为P(m，n)，半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交，则m＋n的值可能是() A．－2B． 2C．－12D． 37.如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO＝10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为()A． 10B．212C． 11D．4348.欣赏著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系()A．相离B．相切C．相交D．无法确定9.如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是()A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交D．当BC不为1时，l与⊙O不相切10.如图，平面直角坐标系中，已知P(6,8)，M为OP中点，以P为圆心，6为半径作⊙P，则下列判断正确的有()①点O在⊙P外；②点M在⊙P上；③x轴与⊙P相离；④y轴与⊙P相切．A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个二、填空题11.已知点M到直线m的距离是3 cm.若⊙M与m相切，则⊙M的直径是________．12.矩形ABCD边AB＝6 cm，AD＝8 cm，若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A________，直线CD与⊙A________.13.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O 相切时，m的值为________．14.在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝120°，若⊙A与底边BC相切，则⊙A的半径r为________；若⊙A与底边BC有两个交点，则⊙A的半径r的取值范围为________．三、解答题15.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，且r，d都是关于x的一元二次方程x2－2√2x＋m－2＝0的实数根．求当圆与直线相切时，m的值？16.在△ABC中，BC＝6 cm，∠B＝30°，∠C＝45°，以A为圆心作⊙A，当半径为多长时，所作的⊙A与BC：(1)相切；(2)相交；(3)相离．17.在同一平面内，已知点O到直线l的距离为6，以点O为圆心，r为半径画圆．(1)当r＝________时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于2；(2)若⊙O上有且只有2个点到直线l的距离为2，则r的取值范围是________．(3)随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围．18.如图所示，P是直线y＝2x的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为(x，y)．(1)求当x为何值时，⊙P与直线y＝3相切，并求点P的坐标．(2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y＝3相交、相离．答案解析1.【答案】D【解析】当⊙P 在原点右侧与y 轴相切时，x －d ＝r ，∴d ＝x －r ＝1.当⊙P 在原点左侧与y 轴相切时，x ＋r ＝d ，∴d ＝7，所以d 的值是1或7.2.【答案】A【解析】如果直线l 与⊙O 有公共点，可以考虑有一个公共点或两个公共点，有一个公共点时，直线与圆相切，此时d ＝√3；有两个公共点时，直线与圆相交，此时d ＜√3，由此可得结论d ≤√3. 3.【答案】C【解析】①若d ＞5时，直线与圆相离，则m ＝0，故正确；②若d ＝5时，直线与圆相离，则m ＝1，故正确；③若1＜d ＜5，则m ＝2，故错误；④若d ＝1时，直线与圆相交，则m ＝3，故错误；⑤若d ＜1时，直线与圆相交，则m ＝4，故正确．4.【答案】D【解析】连接OB ，∵AB ⊥OC ，∴AH ＝BH ，∴BH ＝12AB ＝12×8＝4，在Rt △BOH 中，OB ＝OC ＝5，∴OH ＝√OB 2−BH 2＝3，又∵将直线l 通过平移使直线l 与⊙O 相切，∴直线l 垂直过C 点的直径，垂足为直径的两端点，∴当向下平移时，直线l 平移的距离＝5－3＝2 cm ；当向上平移时，直线l 平移的距离＝5＋3＝8 cm.5.【答案】B【解析】作OH ⊥AB 于H ，如图，∵OP ＝|x |，∠OPH ＝45°，∴OH ＝√22|x |， ∵AB 与⊙O 有公共点，∴OH ≤1，即√22|x |≤1， ∴－√2≤x ≤√2.6.【答案】D【解析】如图，∵P (m ，n )，∴OB ＝|m |，PB ＝|n |，∵PA ＝1，∴|m |＜1，|n |＜1，∵|2|＝2，|－2|＝2，|－12|＝12，|3|＝3，当m ，n 同号，则|m ＋n |＜2，故m ＋n 不可能A ，B ，D ，当m ，n 异号，则|m ＋n |＜1，故m ＋n 不可能A ，B ，D.7.【答案】B【解析】如图所示．连接OA 、OC (C 为切点)，过点O 作OB ⊥AP .设AB 的长为x ，在Rt △AOB 中，OB 2＝OA 2－AB 2＝16－x 2，∵l 与圆相切，∴OC ⊥l .∵∠OBD ＝∠OCD ＝∠CDB ＝90°，∴四边形BOCD 为矩形．∴BD ＝OC ＝4.∵直线l 垂直平分PA ，∴PD ＝BD ＋AB ＝4＋x .∴PB ＝8＋x .在Rt △OBP 中，OP 2＝OB 2＋PB 2，即16－x 2＋(8＋x )2＝102，解得x ＝54.PA ＝2AD ＝2×(54＋4)＝212. 8.【答案】C【解析】根据在那个地方出现了太阳的小半边脸，可知直线和圆此时是相交的位置关系． 9.【答案】D【解析】A.∵BC ＝0.5，∴OC ＝OB ＋CB ＝1.5；∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，AO ＝12OC ＝0.75＜1，∴l 与⊙O 相交，故A 错误；B ．∵BC ＝2，∴OC ＝OB ＋CB ＝3；∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，AO ＝12OC ＝1.5＞1，∴l 与⊙O 相离，故B 错误；C ．∵BC ＝1，∴OC ＝OB ＋CB ＝2；∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，AO ＝12OC ＝1，∴l 与⊙O 相切，故C 错误；D ．∵BC ≠1，∴OC ＝OB ＋CB ≠2；∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，AO ＝12OC ≠1，∴l 与⊙O 不相切，故D 正确．10.【答案】C【解析】过P 点作PA ⊥x 轴于A ，作PB ⊥y 轴于B ，∵P (6,8)，∴PA ＝8，PB ＝6，在Rt △OAP 中，根据勾股定理可得OP ＝√62+82＝10，∵M为OP中点，∴PM＝5，∵⊙P的半径是6，∴①点O在⊙P外；②点M在⊙P内；③x轴与⊙P相离；④y轴与⊙P相切．故正确的有3个．11.【答案】6 cm【解析】∵点M到直线m的距离是3 cm.⊙M与m相切，∴⊙M的直径是3 cm，∴⊙M的直径是6 cm.12.【答案】上相离【解析】∵矩形ABCD边AB＝6 cm，AD＝8 cm，∴若以A为圆心，6 cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A上，直线CD与⊙A相离．13.【答案】4【解析】∵d、R是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实根，∴Δ＝16－4m＝0，解得，m＝4.14.【答案】44＜r≤8【解析】如图1，连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝12∴在直角△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝1AB＝4，2∴⊙A的半径r为4，如图2，∵AB＝8，AD＝4，若⊙A与底边BC有两个交点，∴⊙A的半径r的取值范围为：4＜r≤8.15.【答案】解∵圆与直线相切，∴r＝d，∴Δ＝(－2√2)2－4(m－2)＝0，解得m＝4，即当圆与直线相切时，m的值为4.【解析】根据直线与圆的位置关系得到圆与直线相切时r＝d，则根据判别式的意义得到Δ＝(－2√2)2－4(m－2)＝0，然后解关于m的一次方程即可．16.【答案】解过点A作AD⊥CB于点D，设AD＝x cm，∵∠B＝30°，∠C＝45°，∴DC＝AD＝x cm，BD＝√3x cm，∴BC＝AD＋BD＝(√3＋1)x＝6，解得：x＝3√3－3，(1)当半径为(3√3－3) cm时，⊙A与BC相切；(2)当半径大于(3√3－3) cm时，⊙A与BC相交；(3)当半径小于(3√3－3) cm时，⊙A与BC相离．【解析】根据题意画出图形，过点A作AD⊥CB于点D，求得AD的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．17.【答案】解(1)r＝6－2＝4，故答案为：4；(2)4＜r＜8；(3)当0＜r＜4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为0，当r＝4时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为1，当4＜r＜8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为2，当r＝8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为3，当r＞8时，⊙O上到直线l的距离等于2的点的个数为4.【解析】(1)根据垂线段最短，则要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于2，则该点是点O 到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径6－2＝4；(2)根据点O到直线l的距离为6，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于2，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是2的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是6＋2＝8；(3)结合上述两种特殊情况即可对此题进行分情况考虑：当0＜r＜4时，或当r＝4时，或当4＜r＜8时，或当r＝8时，或当r＞8时．18.【答案】解(1)设点P的坐标为(x，y)，∵P是y＝2x上的一点，∴y＝2x，∵⊙P与直线y＝3相切，∴P点纵坐标为：2，∴P点横坐标为：1，∵⊙P′与直线y＝3相切，∴P点纵坐标为：4，∴P点横坐标为：2，∴x＝1或2，P的坐标(1,2)或(2,4)；(2)结合图象，即可得出：当1＜x＜2时，⊙P与直线y＝3相交，当x＞2或x＜1时，⊙P与直线y＝3相离．【解析】(1)利用切线的性质以及正比例函数的性质即可得出，P点的坐标应该有两个求出即可；(2)利用函数图象进而得出符合要求的答案．。

直线与圆-习题

专题九平面解析几何9.1 直线与圆考点一直线的方程1.(2014四川文,9,5分)设m ∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( ) A.[√5,2√5] B.[√10,2√5] C.[√10,4√5] D.[2√5,4√5]答案 B 直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).①当m=0时,过定点A 的直线方程为x=0,过定点B 的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|PB|=4.②当m ≠0时,直线x+my=0的斜率为-1m ,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵-1m×m=-1,∴两条直线互相垂直,即点P 可视为以AB 为直径的圆上的点.当点P 与点A 或点B 重合时,|PA|+|PB|有最小值√10.当点P 不与点A,点B 重合时,△PAB 为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知|PA|+|PB|≤2√|PA|2+|PB|22=2√5,∴|PA|+|PB|∈[√10,2√5]. 综合①②得|PA|+|PB|∈[√10,2√5].评析本题考查直线的方程、两直线垂直及不等式的性质,解答本题的关键是找到点P 的轨迹.属中档题. 2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 是边AB 上异于A,B 的一点.光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P(如图).若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( )A.2B.1C.83D.43答案 D 以AB 为x 轴,AC 为y 轴建立如图所示的坐标系,由题可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC 的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0<t<4),由对称知识可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4-t),点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(-t,0),根据反射定理可知P 1P 2就是光线RQ 所在直线.由P 1、P 2两点坐标可得直线P 1P 2的方程为y=4−t 4+t (x+t),设△ABC 的重心为G,易知G (43,43).因为重心G (43,43)在光线RQ 上,所以有43=4−t 4+t (43+t ),即3t 2-4t=0.所以t=0或t=43,因为0<t<4,所以t=43,即AP=43,故选D.3.(2012浙江理,3,5分)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax+2y-1=0与直线l 2:x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 由l 1∥l 2,得-a 2=-1a+1,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件,故选A.评析本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.4.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= . 答案 1解析依题意m ≠0,所以由(−2m )×12=-1,得m=1. 评析本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.考点二圆的方程1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|=( ) A.2√6 B.8 C.4√6 D.10答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3−72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1−1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6.2.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.√213C.2√53 D.43答案 B 在平面直角坐标系xOy 中画出△ABC,易知△ABC 是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D (1,2√33).因此|OD|=√12+(2√33)2=√73=√213.故选B.3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D 由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.4.(2016天津文,12,5分)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C 上,且圆心到直线2x-y=0的距离为4√55,则圆C 的方程为 . 答案 (x-2)2+y 2=9解析设圆C 的方程为(x-a)2+y 2=r 2(a>0),由题意可得{√5=4√55,(−a)2+(√5)2=r 2,解得{a =2,r 2=9,所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=9.方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键. 5.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .答案 (x −32)2+y 2=254解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x-y-3=0.令y=0,得x=32,所以圆心坐标为(32,0),则半径r=4-32=52.故该圆的标准方程为(x −32)2+y 2=254.评析本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.6.(2014陕西理,12,5分)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 . 答案 x 2+(y-1)2=1解析根据题意得点(1,0)关于直线y=x 对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C 的标准方程为x 2+(y-1)2=1.考点三直线与圆的位置关系1.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c ≠1),结合题意可得√5=√5,解得c=±5.故选A.2.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线所在直线与圆相切,∴√k +1=1,解得k=-43或k=-34.评析本题主要考查直线和圆的位置关系.3.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a ∈R)是圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( ) A.2 B.4√2 C.6 D.2√10答案 C 圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l 是圆C 的对称轴,知直线l过点C,所以2+a ×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=√|AC|2−22=√40−4=6.故选C.4.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x 0,1),若在圆O:x 2+y 2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( )A.[-1,1]B.[−12,12]C.[-√2,√2]D.[−√22,√22]答案A过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,使∠OMN=45°,则∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x0≤1,故选A.评析本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.5.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=√2−a,圆心到直线x+y+2=0的距离d=√2=√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.6.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.(0,π6] B.(0,π3] C.[0,π6] D.[0,π3]答案D过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(−√3)2+(−1)2√3,OA=1,因此∠OPA=π6,由对称性知,直线PB的倾斜角为π3.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[0,π3].故选D.7.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离答案B由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=√2=√a2−2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.思路分析利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a 的方程,从而求出圆M 的圆心及半径,根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.8.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C 上存在点P,使得∠APB=90°,则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4答案 B 若∠APB=90°,则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆,其方程为x 2+y 2=m 2.由题意知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x 2+y 2=m 2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m ≤6,故m 的最大值为6.选B.9.(2013重庆理,7,5分)已知圆C 1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C 2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ) A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17 答案 A 圆C 1,C 2如图所示.设P 是x 轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC 1|-1,同理可得|PN|的最小值为|PC 2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC 1|+|PC 2|-4.作C 1关于x 轴的对称点C'1(2,-3),连接C'1C 2,与x 轴交于点P,连接PC 1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|+|PC 2|的最小值为|C'1C 2|,则|PM|+|PN|的最小值为5√2-4.选A.评析本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化思想.把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键.10.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ) A.-43 B.-34C.√3D.2答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为√2=1,解得a=-43.故选A.思路分析将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程,解方程即可求得a 的值.11.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.2C.√2D.2√2答案 C 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d=√1+(−1)=√2.故选C.易错警示在应用点到直线的距离公式d=0√A +B 2时,一定要将直线方程化成一般形式,正确写出A,B,C 的值,此处符号易出现错误.12.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的面积为 . 答案 4π解析把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB|2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π.13.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x轴交于C,D 两点.则|CD|= . 答案 4解析圆心(0,0)到直线x-√3y+6=0的距离d=√1+3=3,|AB|=2√12−32=2√3,过C 作CE ⊥BD 于E,因为直线l 的倾斜角为30°,所以|CD|=|CE|cos30°=|AB|cos30°=√3√32=4.14.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x 2+y 2=12交于A,B 两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点.若|AB|=2√3,则|CD|= . 答案 4解析由题意可知直线l 过定点(-3,√3),该定点在圆x 2+y 2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|=2√3,r=2√3,所以圆心到直线AB 的距离为d=√(2√3)2−(√3)2又由点到直线的距离公式可得d=√3|√2=3,解得m=-√33,所以直线l 的斜率k=-m=√33,即直线l 的倾斜角为30°.如图,过点C 作CH ⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2√3,在Rt △CHD 中,∠HCD=30°,所以|CD|=2√3cos30°=4.解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解. 15.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 答案 (x-1)2+y 2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m ∈R 知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为√(2−1)2+(−1−0)2=√2,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y 2=2.16.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= . 答案 4±√15解析易知△ABC 是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB 的距离为√3,即√a 2+1=√3,解得a=4±√15.经检验均符合题意,则a=4±√15.评析本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要求较高. 17.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解析 (1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1. 因为l 与C 交于两点,所以√1+k2<1.解得4−√73<k<4+√73. 所以k 的取值范围为(4−√73,4+√73).(5分) (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k 2)x 2-4(1+k)x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k)1+k2,x 1x 2=71+k 2.(7分)OM⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =4k(1+k)1+k 2+8.由题设可得4k(1+k)1+k 2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.(12分)18.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.解析 (1)圆C 1的方程x 2+y 2-6x+5=0可化为(x-3)2+y 2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≠x 2),M(x 0,y 0), 则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22. 由题意可知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y=tx. 将上述方程代入圆C 1的方程,化简得(1+t 2)x 2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t 2)>0(*),x 1+x 2=61+t 2, 所以x 0=31+t 2,代入直线l 的方程,得y 0=3t 1+t 2. 因为x 02+y 02=9(1+t 2)2+9t 2(1+t 2)2=9(1+t 2)(1+t 2)2=91+t 2=3x 0, 所以(x 0−32)2+y 02=94.由(*)解得t 2<45,又t 2≥0,所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x −32)2+y 2=94(53<x ≤3). (3)由(2)知,曲线C 是在区间(53,3]上的一段圆弧.如图,D (53,2√53),E (53,−2√53),F(3,0),直线L 过定点G(4,0). 联立直线L 的方程与曲线C 的方程,消去y 整理得(1+k 2)x 2-(3+8k 2)x+16k 2=0. 令判别式Δ=0,解得:k=±34,由求根公式解得交点的横坐标为x H,I =125∈(53,3],由图可知:要使直线L 与曲线C 只有一个交点,则k ∈[k DG ,k EG ]∪{k GH ,k GI },即k ∈[−2√57,2√57]∪{−34,34}.19.(2014课标Ⅰ文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点,线段AB 的中点为M,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.解析 (1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x,2-y).由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83. 又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165. 评析本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用图形的几何性质可简化运算.20.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线l:y=2x-4. 设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M,使MA=2MO,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.第 11 页共 11 页解析 (1)由题意知,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3,由题意得,√k +1=1,解得k=0或-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,所以点M 在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤CD ≤2+1,即1≤√a 2+(2a −3)2≤3. 由5a 2-12a+8≥0,得a ∈R; 由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0,125]. 评析本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.。

专题九 解析几何第二十四讲 直线与圆答案

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解析几何参考答案

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2010-2019十年高考文科数学专题九 解析几何第二十四讲 直线与圆答案

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