届高三第一次月考数学(文科)试卷
黑龙江省哈尔滨2019届高三第一次月考文科数学试卷(含答案)
2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试题(文科)考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.5sin3π=1.2A -1.2B .2C-2D 2.已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则.A {|0}A B x x =< .B A B =R .C {|1}A B x x => .D A B =∅ 3.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =.11A .5B .11C -.8D -4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是.A y x =.2x B y =.lg C y x=.D y =5.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=1.3A 4.9B 2.3C 8.9D 6.函数2()ln(43)f x x x =-+的单调递增区间是.(,1)A -∞.(,2)B -∞.(2,)C +∞.(3,)D +∞7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a .12A -.10B -.10C .12D 8.已知03x π=是函数()sin(2)f x x =+ϕ的一个极大值点，则()f x 的一个单调递减区间是2.(,)63A ππ5.(,)36B ππ.(,)2C ππ2.(,)3D ππ9.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=.7A .5B .5C -.7D -10.将函数sin(2)6y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是.12A x π=.6B x π=.3C x π=.12D x π=-11.已知函数(),2x x e e f x x R --=∈，若对(0,]2π∀θ∈，都有(sin )(1)0f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是.(0,1)A .(0,2)B .(,1)C -∞.(,1]D -∞12.已知()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是1.(0,)A e .(0,)B e 1.(,)C e e.(,)D e -∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2019a =_________14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则n a =_________15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =______16.已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B b a A C+=-+.(1)求角B 的大小；(2)若b =，3a c +=，求ABC 的面积.18.（本题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎣⎦，上的取值范围．19.(本题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n N n *∈均在函数2y x =+的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .20.(本题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）．21.（本题满分12分）已知函数()()ln R f x ax x a =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：12112ln ln x x +>.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-．(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)已知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()22f x x =-+，()()g x m x m R =∈．（1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围．2018-2019年度高三学年上学期第一次月考数学试卷(文科)答案一．选择题1-6CACDCD7-12BBDADA 二．填空题13.1-14.12n --15.211316.三．解答题17.（1）c a b b a a c+=-+ 2222cos a c b ac ac B ∴+-=-=1cos 2B ∴=-120B ∴=︒（2）22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- 1ac ∴=1sin 24S ac B ∴==18.（Ⅰ）1cos2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．19.2n S n n=+ 22n S n n ∴=+1(1)2,21n n n n a S S n -≥=-=+1(2)1,3n a ==，适合上式21n a n ∴=+1111(2)((21)(23)22123n b n n n n ==-++++11111111111((23557212323236n T n n n ∴=-+-++-=-<+++ 1102063m m ∴≥∴≥m Z ∈ min 4m ∴=20.（1）因为22c e a == ，222a b c =+222a b ∴=∴椭圆方程为222212x y b b∴+=2(1,2在椭圆上221,2b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）因为直线l 与圆2223x y +=3=即223220m k --=由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=．设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，()()()2222121212122212m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴⋅=++=+++=+2222212122222223220121212m m k m k OA OB x x y y k k k ----∴⋅=+=+==+++ OA OB∴⊥21．（1）()()110ax f x a x x x-=-=>'当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()0f x '=，得1x a =10,x a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭都有()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；1,x a ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭都有()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，无单调递增区间；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）函数()f x 有两个零点分别为12,x x ，不妨设12x x <则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-要证：12112ln ln x x +>只需证：12112a x x +>只需证：12122x x a x x +>只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-只需证：22212121ln 2x x x x x x ->只需证：2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭设()11ln 2t t t t φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()222102t t t t φ'--=<，即函数()t φ在()1,+∞单调递减，则()()10t φφ<=，即得12112ln ln x x +>22.解：(1)由直线l的参数方程为12()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数消去参数t ，可得：10x -=圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-.所以圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=则(2,0)C -．所以圆心(2,0)C -到直线l 的距离21322d --==(2)已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B 两点，将312()12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=得：250t ++=设,A B 对应参数为12,t t，则12t t +=-，125t t =因为120t t >，12,t t 是同号．所以1212121111335t t PA PB t t t t ++=+==．23.（1）由()5f x >，得23x ->,即23x -<-或23x ->,1x ∴<-或5x >.故原不等式的解集为{}15x x x <->或（2）由()()f x g x ≥，得2+2≥-x m x 对任意x R ∈恒成立,当0x =时，不等式2+2≥-x m x 成立,当0x ≠时，问题等价于22x m x -+≤对任意非零实数恒成立,22221 , 1x x m x x -+-+=∴ ≥≤，即m 的取值范围是( , 1]-∞.。
河北省大名县第一中学2022届高三(实验班)上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
高三文科数学月考试题学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A. (0,1]B. [1,+∞)C.(0,2] D.2. [2021·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. [2021·哈三中一模]下列结论中正确的个数是()①“x=”是“”的充分不必要条件;②若a>b,则am2>bm2;③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;④函数f(x )=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 44. [2021·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() A. y=e x+e-x B. y=ln(|x|+1) C.y= D. y=x-5. [2021·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C.D.6. [2021·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对B. 2对C. 1对 D. 0对7. [2021·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. [2021·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误．．的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为[-1,3]9. [2022·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC 的面积为()A. 1+B.C.1+ D.10. [2022·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有()A. φ=θB. φ=π-θC.φ=θ-π D. φ=θ-2π11. [2021·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则( )A. 81B. 99C. 108D. 11712. [2021·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C.D.评卷人得分二、填空题13. [2021·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角,,所对的边长分别为,若,则的值为.14. [2021·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sin A=5sin B，则角C= . 15. [2021·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为.16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为.评卷人得分三、解答题17. [2021·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.18. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知数列{a n}满足a1=,a n+1=3a n-1(n∈N*).(1)若数列{b n}满足b n=a n-,求证:{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.19. [2021·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.20. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.21. [2021·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.22. [2021·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.由于x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,依据指数函数的性质知y=2x>0,所以集合A =,B =,则A∩B =,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x ++2kπ或x ++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y =与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x )=-cos x 在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性学问,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排解,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在争辩函数中的应用,解一元二次不等式、确定值不等式,属于难题.∵f(-x )= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x )=恒为正,即函数f(x)在单调递增,∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.6. 【答案】C【解析】本题考查新概念和函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.设f(x )=(x>0)图象上任一点为A(x,y)(x>0,y>0),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不肯定是奇函数,故的图象不肯定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y =2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y =2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍,可得y =2sin+1的图象,故B正确;令x =π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB =90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC =,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ==- () =-cosθ=cos(θ-π).由于θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算力量.,.故选D. 12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算力量.由正弦定理可得=,又由于==,所以=,即, 所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面对量的线性运算及平面对量数量积.在中，，建立直角坐标系,,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 16. 【答案】【解析】由已知可得a n-a n-1=2(n-1),a n-1-a n-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得a n-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴a n=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.17.(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以f(2x)=1+2sin2x.由于函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x )=2sin+1,即g(x )=2sin+1.由于x ∈,所以2x ∈所以sin ∈,所以g(x)∈[0,3],所以函数g(x)的值域为[0,3].(2) 【答案】由于f(A )=+1,所以sin A =,由于A ∈,所以cos A=.又cos A =,a =2,b=2,所以c=4.所以△ABC面积S△ABC=bc sin A =2.18.(1) 【答案】由题可知a n+1=3(n∈N*),从而有b n+1=3b n,b1=a1-=1,所以{b n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 【答案】由第1问知b n=3n-1,从而a n=3n-1+,有S n=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n =.19.(1) 【答案】由，得，由于数列是正项数列，所以.(2) 【答案】由第1问得,，所以.20.(1) 【答案】由于AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又由于AC⊥BC,AC∩AD=A, 所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2) 【答案】由已知可得CD =,取CD中点为F,连接EF,由于ED=EC=AB =,所以△ECD为等腰三角形,从而EF =,S△ECD =,由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD =,令A到平面CED的距离为d,由V A-ECD=·S△ECD·d=V E-ACD=·S△ACD·1,解得d =.所以点A到平面CED 的距离为21.(1) 【答案】由题意得,,, 解得,所以椭圆的方程为.(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由, 解得,设,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则, 又,所以====.综上所述,为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)22.(1) 【答案】,,,,.(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,,.。
2021-2022学年吉林省白城市洮南一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2021-2022学年吉林省白城市洮南一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，，则A∪∁R B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜3}D．{x|2＜x＜3} 2．下列等式正确的是（）A．0•＝0B．）＝（）•C．a•＝0D．＝03．已知向量＝（2，6），＝（1，λ），若，则λ等于（）A．2B．﹣3C．3D．﹣24．如果a，b为非0实数，则不等式＞成立的充要条件是（）A．a＞b且ab＜0B．a＜b且ab＞0C．a＞b，ab＜0或ab＜0D．a2b﹣ab2＜05．已知向量、，•＝﹣40，||＝10，||＝8，则向量与的夹角为（）A．60°B．﹣60°C．120°D．﹣120°6．已知＝3，则tanα等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．17．已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则+的最小值为（）A．B．C．D．8．已知实数x，y满足：，若z＝x+2y的最小值为﹣4，则实数a＝（）A．1B．2C．4D．89．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）10．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴C．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．函数为奇函数11．已知函数f（x）＝﹣，则函数具有下列性质（）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）12．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（，π）单调递减；③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝．14．设函数f（x）＝，若函数f（x）在（a，a+1）递增，则a的取值范围是．15．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（5）的x的取值范围是．16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．18．已知命题p：关于x的不等式a≥1（a＞0且a≠1）的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2）的定义域为R．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，c＝3点D满足＝+，求△ABD的面积．20．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）﹣f（x2），且当x ＞1时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为单调递减函数．（2）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．22．已知向量＝（cosωx，﹣1），＝（sinωx，cos2ωx）（ω＞0），函数f（x）＝•图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）若x0∈[，]且f（x0）＝﹣，求cos2x0的值．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，，则A∪∁R B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】先求出∁R B＝{x|x＞2}，由此能求出A∪∁R B．解：集合A＝{x|0＜x＜3}，＝{x|x≤2}，∴∁R B＝{x|x＞2}，∴A∪∁R B＝{x|x＞0}．故选：A．2．下列等式正确的是（）A．0•＝0B．）＝（）•C．a•＝0D．＝0【分析】利用向量的基本性质逐一进行判断即可．解：对A：0乘以任何向量等于零向量，故A错误；对B：表示与共线的向量，（）•表示与共线的向量，故B错误；对C：零向量乘一个实数等于零向量，故C错误；对D：零向量乘任意向量的数量积等于0，故D正确；故选：D．3．已知向量＝（2，6），＝（1，λ），若，则λ等于（）A．2B．﹣3C．3D．﹣2【分析】根据平面向量共线的坐标表示列方程求出λ的值．解：向量＝（2，6），＝（1，λ），因为，所以2λ﹣6×1＝0，解得λ＝3．故选：C．4．如果a，b为非0实数，则不等式＞成立的充要条件是（）A．a＞b且ab＜0B．a＜b且ab＞0C．a＞b，ab＜0或ab＜0D．a2b﹣ab2＜0【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解：由＞两边同乘以a2b2，得ab2＞a2b，即a2b﹣ab2＜0，反之由a2b﹣ab2＜0得a2b＜ab2，两边同除以a2b2，得＞．故不等式＞成立的充要条件是a2b﹣ab2＜0，故选：D．5．已知向量、，•＝﹣40，||＝10，||＝8，则向量与的夹角为（）A．60°B．﹣60°C．120°D．﹣120°【分析】利用数量积的定义即可得出．解：∵•＝﹣40，||＝10，||＝8，∴﹣40＝＝，∴＝﹣．∴＝120°．故选：C．6．已知＝3，则tanα等于（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．解：因为＝＝＝3，所以解得tanα＝2．故选：B．7．已知定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，则+的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据偶函数，代入特殊值求出参数，再代入化简f（a）+f（2b）＝m，合理构造，再使用均值不等式可得．解：∵定义在R上的偶函数f（x）＝|x﹣m+1|﹣2，∴f（﹣1）＝|﹣1﹣m+1|﹣2＝f（1）＝|1﹣m+1|﹣2，∴|m|＝|2﹣m|，∴m＝1，∴f（x）＝|x|﹣2，∵正实数a、b满足f（a）+f（2b）＝m，∴f（a）+f（2b）＝a﹣2+2b﹣2＝1，即a+2b＝5，∴+＝（+）（）＝+≥＝，当且仅当4b2＝3a2时，即a＝，b＝取等号故选：B．8．已知实数x，y满足：，若z＝x+2y的最小值为﹣4，则实数a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z＝x+2y的最小值为﹣4，即可确定a的值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵z＝x+2y的最小值为﹣4，∴x+2y＝﹣4，且平面区域在直线x+2y＝﹣4的上方，由图象可知当z＝x+2y过x+3y+5＝0与x+a＝0的交点时，z取得最小值．由，，解得，即A（﹣2，﹣1），点A也在直线x+a＝0上，则﹣2+a＝0，解得a＝2，故选：B．9．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则有f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数，f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得：0＜a≤，即a的取值范围为（0，]故选：C．10．如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，则（）A．函数y＝f（x）的最小正周期为B．直线是函数y＝f（x）图象的一条对称轴C．点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心D．函数为奇函数【分析】由题意根据函数的图象写出函数的解析式，结合函数的解析式判断选项中的命题是否正确．解：对于A，由题意知，根据图像得到，A＝2，，所以选项A错误；对于B，，又，解得，k∈Z，所以，k∈Z，即，计算，所以直线不是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，选项B错误；对于C，，所以点是函数y＝f（x）图象的一个对称中心，选项C正确；对于D，不是奇函数，所以选项D 错误．故选：C．11．已知函数f（x）＝﹣，则函数具有下列性质（）A．函数f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称B．函数f（x）在定义域内是减函数C．函数f（x）的图象关于直线x＝1对称D．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）【分析】根据题意，分析可得f（x）的图象由函数y＝向左平移一个单位，向下平移一个单位得到，结合反比例函数的图象分析选项，综合可得答案．解：根据题意，f（x）＝﹣＝﹣＝﹣1，可以由函数y＝向左平移一个单位，向下平移一个单位得到，而y＝是奇函数，其图象关于点（0，0）对称，则函数f（x）的图像关于点（﹣1，﹣1）对称，故A、C错误；y＝在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上为奇函数，则函数f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递减，在定义域无单调性，故B错误；y＝的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），故D正确；故选：D．12．关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）在区间（，π）单调递减；③f（x）在[﹣π，π]有4个零点；④f（x）的最大值为2．其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②正确，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①②④，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，则|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值，可得+的坐标，从而求得它的模．解：∵平面向量＝（2，﹣1），＝（m，2），且⊥，∴＝2m﹣2＝0，∴m＝1，∴+＝（3，1），则|+|＝＝，故答案为：．14．设函数f（x）＝，若函数f（x）在（a，a+1）递增，则a的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．【分析】求出分段函数各段的单调性，再由条件可得a+1≤2或a≥4，解出即可．解：当x≤4时，y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，则在（﹣∞，2]上递增，（2，4]上递减；当x＞4时，y＝log2x在（4，+∞）上递增．由于函数f（x）在（a，a+1）递增，则a+1≤2或a≥4，解得a≥4或a≤1，故答案为：（﹣∞，1]∪[4，+∞）．15．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（5）的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【分析】直接根据函数的奇偶性和单调性建立不等式|2x﹣1|＞5，进一步解绝对值不等式即可．解：已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则：f（2x﹣1）＜f（5），整理得：|2x﹣1|＞5，解得：x＞3或x＜﹣2故不等式的解集为：x∈（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）16．已知函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，则ω的取值范围是[）．【分析】由题意利用正弦函数的极值点和周期性，求得ω的范围．解：∵函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3个极值点，而ωx+∈[，3ωπ+]，∴≤3ωπ+＜，求得≤ω＜，则ω的取值范围是[），故答案为：[）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．【分析】（1）根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．解：（1）∵tanα＝，∴＝，∵1﹣sinβ＝cos2β＝1﹣2sin2β，β∈（，π），∴．（2）∵，∴cosα＝3sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，α∈（0，），∴，，∵，β∈（，π），∴，∴cos（α﹣β）＝cosα•cosβ+sinα•sinβ＝．18．已知命题p：关于x的不等式a≥1（a＞0且a≠1）的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；命题q：函数f（x）＝lg（a2x2﹣2x+2）的定义域为R．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，求a的取值范围；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．【分析】先求出命题p，q为真命题时a的范围，然后根据题意构造不等式（组）求解．解：不等式a≥1可化为：，则当a＞1时，不等式化为x2﹣2x﹣3≥0，其解集为{x|x≤﹣1或x≥3}，故若p为真命题，则a＞1；若q为真，则a2x2﹣2x+2＞0在R上恒成立，只需，解得，或．（Ⅰ）若命题￢q为假命题，则q为真，故由上可知，；（Ⅱ）若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假，若p真q假，则，无解；若p假q真，则，解得，故a的范围为（）．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，c＝3点D满足＝+，求△ABD的面积．【分析】（1）由正弦定理进行边角转化，将角化成边，可得余弦定理的展开式，即可得到角B的余弦值．（2）先由余弦定理求得a，后边利用向量运算找到BD与BC关系，代入三角形面积公式计算．【解答】（1）因为a sin A+a sin C cos B+b sin C cos A＝b sin B+c sin A，所以由正弦定理和余弦定理得：，化简得：a2+c2−b2＝ac，所以由余弦定理得：，因为B∈（0，π），所以．（2）由余弦定理得：b2＝a2+c2−2ax cos B，所以有：，即：，所以：，因为a＞0，所以．因为，所以所以△ABD的面积为：．20．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．【分析】（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，整理即可求解；（2）由（1）知，s（x）＝tx＝，分离后利用基本不等式可求．解：（1）依题意广告牌的高为tm，则（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，所以，且x＞1，所以广告牌的面积s（x）＝tx＝（x＞1）．（2）由（1）知，s（x）＝tx＝＝+46.25＝61.25，当且仅当，即x＝7号成立．所以s（x）min＝s（7）＝61.25m2，广告牌的面积的最小值为61.25m2．21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）﹣f（x2），且当x ＞1时，f（x）＜0．（1）证明：f（x）为单调递减函数．（2）若f（3）＝﹣1，求f（x）在[2，9]上的最小值．【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（2）通过f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，直接求解函数的最小值即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（2）解：因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，所以f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）．由f（）＝f（x1）﹣f（x2）得，f（）＝f（9）﹣f（3），而f（3）＝﹣1，所以f（9）＝﹣2．所以f（x）在[2，9]上的最小值为﹣2．22．已知向量＝（cosωx，﹣1），＝（sinωx，cos2ωx）（ω＞0），函数f（x）＝•图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）若x0∈[，]且f（x0）＝﹣，求cos2x0的值．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式f（x）＝sin（2ωx ﹣）﹣，由题意可知其周期为π，利用周期公式可求ω，即可得解函数解析式（2）由f（x0）＝﹣，可得sin（2x0﹣）＝．cos（2x0﹣）＝﹣．由cos2x0＝cos[（2x0﹣）+即可计算得解．解：（1）sinωx﹣．＝sin（2ωx﹣）﹣，…∵T＝π，∴ω＝1，即…（2）∵f（x0）＝﹣，∴sin（2x0﹣）＝．∵x0∈[，]，∴2x0﹣∈[，π]，…∴sin（2x0﹣）＝．∴2x0﹣∈[，π]，∴cos（2x0﹣）＝﹣．…∴cos2x0＝cos[（2x0﹣）+]＝cos（2x0﹣）cos﹣sin（2x0﹣）sin＝…。
安徽浮山中学2020届高三数学(文)上学期第一次月考试卷附答案解析
安徽浮山中学2020届高三上学期第一次月考数学文科试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 1,2,3,4},B {x 3}x==<{，则A B =IA.1,2,3}{B.1,2}{C.1x 3}x ≤<{D.1x 3}x <<{ 2.已知复数z满足(1)z i -=，则z =A. 1+B.1C.iD.－i3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为A. 30B. 40C.50D. 80 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.已知a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则A.a∥α，a⊥b，则b⊥αB.a⊥α，a⊥b，则b∥αC.a ⊂α，b ⊂α，a∥β，b ∥β，则α∥βD.a I b ＝A ，a∥α，b ∥α，a∥β，b ∥β，则α∥β 6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A.110 B.15 C. 310 D. 257.已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A.8.要得到函数ysin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象 A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度 9.已知实数x 、y 满足200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A.[－4，2]B. [－4，0]C. [－2，－4] D[－2，4]10.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x xf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 11.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12C.1D.2 12.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，斜率为2直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案
高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。
2022-2023学年四川省内江市威远中学高三年级下册学期第一次月考数学文试题【含答案】
高三下第一次月考文科数学第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集，集合，则A =（ ）{62}U x x =-<<∣{}2230A x x x =+-<∣C U A ．B ．C ．D ．()6,2-()3,2-()()6,31,2--⋃][()6,31,2--⋃2．已知，则（ ）()1i 75iz +=+z =A ．B ．C ．D ．6i-6i+32i-12i-3．素数对称为孪生素数，将素数17拆分成个互不相等的素数之和，其中任选(,2)p p +n 2个数构成素数对，则为孪生素数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．151314124．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有女子善织，日增等尺，三日织9尺，第二日、第四日、第六日所织之和为15尺，则其七日共织尺数为几何？”大致意思是:“有一女子善于织布，每日增加相同的尺数，前三日共织布9尺，第二日、第四日、第六日所织布之和为15尺，问她前七日共织布多少尺？” （ ）A ．28B ．32C ．35D ．425．设，是两个向量，则“”是“且”的．a b a b = ||a b |=|a b A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，椎体体积为6，则该球的表面积为3（ ）A ．B ．C ．D ．32π16π24π20π7．某程序框图如图所示，则输出的S =（ ）A ．8B ．27C ．85D ．2608.已知直线的斜率为，直线的倾斜角为直线的倾斜角的一1l 2l1l半，则直线的斜率为（ ）A ．． C D ．不2l 存在9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质.已知函数的图象可能为sin ()2cos x xf x x =-A．B ．C ．D ．10．函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x π6单位长度，得到函数的图象，则（ ）()g x A ．B ．()sin 2g x x=()cos 2g x x=C ．D ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．10．设，，，则（ ）0.302a =.3log 4b =4log 5c =A ． B ． C ．D ．a b c <<b a c <<c a b<<a c b <<12．已知函数的定义域为R ，且满足，，()f x ()()110f x f x -+-=()()8f x f x +=，，，给出下列结论：()11f =()31f =-()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩①，；②；③当时，的解集为；1a =-3b =-()20231f =[]4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- ④若函数的图象与直线在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是()f x y mx m =-.其中正确结论的个数为（ ）111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题13．若实数、满足，则的取值范围是_________.x y 430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩23x y +14．已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为(4,2)A -224x y +=B AB P ___________．15．数列满足，其前项和为若恒成立，则{}n a 1,N (21)(23)n a n n n *=∈++n n S n S M <的最小值为________________________M 16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为()y f x =(),a b ()f x '()f x '(),a b，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已()f x ''(),a b ()0f x ''<()f x (),a b 知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____43213()1262m f x x x x =--()1,3m 三、解答题（本大题共5小题，共60分.17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．ABC （1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.ABC 18．热心网友们调查统计了柳州市某网红景点在2022年6月至10月的旅游收入y （单位：万元），得到以下数据：月份x678910旅游收入y1012111220(1)根据表中所给数据，用相关系数r 加以判断，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若可以，求出y 关于x 之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由；(2)为调查游客对该景点的评价情况，网友们随机抽查了200名游客，得到如图列联表，请填写2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”喜欢不喜欢总计男100女60总计110，3.162≈注：r 与的计算结果精确到0.001．参考公式：相关系数2K r =线性回归方程：，其中，，ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx =-．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k ≥0.0100.0050.0010 k 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，，45BAD∠=1,AD AB ==是正三角形，平面平面PBD .PADPAD ⊥(1)求证：；PA BD⊥(2)求三棱锥P -BCD 的体积.20．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：MN 222(0)x y b x +=>M ，N ，F 三点共线的充要条件是．||MN 21．已知函数．()()21ln 2f x x a x a R =-∈(1)若，求函数在处的切线方程；2a =()f x ()()11f ，(2)若函数在上为增函数，求的取值范围；()f x ()1+∞，a (3)若，讨论方程的解的个数，并说明理由．0a ≠()0f x =四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐xOy 12cos 22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是.cos 2sin 40ρθρθ-+=(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段的中点为Q ，求的值.(4,0)P -AB ||PQ [选修4—5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 均为正数，且，证明：22243a b c ++=(1)；23a b c ++≤(2)若，则．2b c =113a c +≥高2023届第六学期第一次月考试题文科数学参考答案选择题 1-5 DBBCA 6-10 BCCAA 11-12 DC1．D 因为，A=.故选：D.{}}{223031A x x x x x =+-<=-<<∣U ][()6,31,2--⋃2．B 因为，所以.故选：B.()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-6i z =+3．B 素数，可拆成4个互不相等的素数，在4个互不相等的素数中，任取172357=+++两个的所有情况为共6种，其中为孪生素数的情况有2{}(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)种，分别是,，所以孪生素数的概率为．故选：B ．{(3,5)(5,7)}2163=4．C 解：由题知，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记为，设其每日增加的尺数{}n a 为，其前项和为，所以，，即，解得，，d n n S 123246915a a a a a a ++=⎧⎨++=⎩113393915a d a d +=⎧⎨+=⎩112d a =⎧⎨=⎩所以，她前七日共织布尺.故选：C71721142135S a d =+=+=5．A 【详解】由“”可推出“且”；但反之不成立．所以“”是“且”a b = ||||a b =a b a b = a b = a b的充分而不必要条件．选．A 6．B 设正四棱锥底面边长为，则()0a a >2136,3a a ⨯⨯==，则，解得，则球的表面积为.r ()2223r r -+=2r =24π16πr =故选：B7．C 由图可知,初始值；第一次循环，，不成2,1S k ==112,3228k S =+==⨯+=23k =>立；第二次循环，，不成立；第三次循环，213,38327k S =+==⨯+=33k =>，成立；退出循环，输出的值为.故选：C.314,327485k S =+==⨯+=43k =>S 858. C 由直线的斜率为，设其倾斜角为，则1l1θ1tan θ=由直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，设直线的倾斜角为，则，2l 1l 2l 2θ212θθ=，，解得212222tan tan tan 21tan θθθθ===-)(221tan 0θθ+=2tan θ=由倾斜角的取值范围为，则故选：C.[)0,p 2tan θ=2l9．A 解：由题意可得，所以函数为偶函数，排()sin()sin ()()2cos()2cos x x x xf x f x x x ---===---()f x 除B 、C 当略大于0时，，，所以，排除D 故选：A.x sin 0x x >2cos 0x ->()0f x >10．A 结合图像，易得，则，所以由得，所以，17πππ41234T =-=πT =2πT ω=2ππω=2ω=又，所以，则，又因为落在上，所以0ω>2ω=()()sin 2f x x ϕ=+7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ，即，所以，得7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7π3π2π,Z62k k ϕ+=+∈，ππ,Zk k ϕ=+∈23因为，所以当且仅当时，满足要求，所以，π2ϕ<0k =π3ϕ=()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，()f x π6()g x 所以.故选：A.()ππsin 2sin 263xg x x ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎣⎦=⎝⎭11．D 因为单调递减，所以，又与均单调递0.2x y =0.3002021..a =<=3log y x =4log y x =增，故，，其中，33log 4log 31b =>=44log 5log 41c =>=3ln 4log 4ln 3b ==，4ln 5log 5ln 4c ==，其中，故，2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 5ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=⋅ln 30,ln 40>>ln 3ln 40⋅>其中，故，2222ln 3ln 5ln15ln16ln 3ln 5ln 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ln 4ln 5ln 4ln 3ln 50ln 3ln 4ln 3ln 4-⋅-=>⋅所以，即，故.故选：D ln 4ln 5ln 3ln 4>b c >a c b <<12．C 【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，()()110f x f x -+-=()()f x f x -=-()f x .因为，所以的周期为8.又()00f =()()8f x f x +=()f x ，所以，所以，，()()21111f a =-++=10a +=1a =-()3311f b =+-=-所以，故①正确.3b =-因为，，故②错误.()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-易知，作出函数在上的图象，()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩()f x []0,4根据函数为奇函数，及其周期为8，得到函数在R 上的图象，如图所示，()f x ()f x 由的图象知，当时，的解集为，故③正确.()f x []4,6x ∈-()0f x <()()2,02,4- 由题意，知直线恒过点，与函数的图象在y 轴右侧有3个()1y mx m m x =-=-()1,0()f x 交点根据图象可知当时，应有，即，且同时满足，0m >51m m ⨯-<14m <()mx m f x -=无解，即当时，，无解，所[]8,10x ∈[]8,10x ∈()()()108f x x x =--()()108x x mx m--=-以，解得，所以.当时，应有Δ0<1616m -<<+1164m -<<0m <，即，且同时满足，无解，即当时，31m m ⨯->-12m >-()mx m f x -=[]6,8x ∈[]6,8x ∈，()()()68f x xx =--无解，所以，解得，所以()()58x x mx m --=-Δ0<1212m --<<-+综上，或④错误.故选：C.1122m -<<-+1164m -<<1122m -<<-+13．设，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：0,11⎡⎤⎣⎦23z x y =+430x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩联立，可得，即点，平移直线，当该直线经过34y x x y =⎧⎨+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3A 23z x y =+可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，A 23z x y =+x z 即，当直线经过原点时，该直线在轴上的截max 213311z =⨯+⨯=23z x y =+x 距最小，此时取最小值，即，因此，的取值范围是.z min 0z =23x y +0,11⎡⎤⎣⎦14．设线段中点为，， 则，22(2)(1)1x y -++=AB (,)P x y (,)B m n 42m x +=22ny-+=即，因为点为圆上的点，所以24m x =-22n y =+B 224x y +=224m n +=所以，化简得：故答案为：22(24)(22)4x y -++=22(2)(1)1x y -++=22(2)(1)1x y -++=15．，()()1111212322123n a n n n n ⎛⎫==-⎪++++⎝⎭则，因为恒成立，所以，1112121111111123557233236n S n n n --++ +⎛⎫⎛⎫=-+-++=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ n S M <16M ≥即的最小值为 故答案为：M 161616因为，，由题意在上恒成立，即321()332mf x x x x '=--2()3f x x mx ''=--()0f x ''<()1,3在上恒成立，分离参数，而在上的最大值为2，230x mx --≤()1,33m x x ≥-3y x x =-()1,317.（1）由正弦定理可得：，222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，.()0,A π∈ 23A π∴=（2）由余弦定理得：，2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=即.()29AC AB AC AB +-⋅=（当且仅当时取等号），22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ AC AB =，()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭解得：（当且仅当时取等号），AC AB +≤AC AB =周长周长的最大值为ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+18.（1）由已知得，，67891085x ++++==1012111220135y ++++==，，，()52110ii x x =-=∑()52164ii y y =-=∑()()5120iiix y y x =-=-∑所以，0.791r ===≈因为，||0.791[0.75,1]r ≈∈说明y 与x 的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，设线性回归方程为，ˆˆˆybx a =+∴，．2020ˆ1b ==ˆˆ13163a y bx =-=-=-则y 关于x 线性回归方程为；23y x =-（2）由题可得2×2列联表，喜欢不喜欢总计男7030100女4060100总计11090200，()222007060403018.18210.82810010011090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关联”．19.（1）证明：取中点，连接，PD E AE 因为是边长为1正三角形，所以，PAD AE PD ⊥又因为平面平面PBD ，平面平面PBD ，所以平面PAD ⊥PD =PAD ⋂⊥AE PBD ，又因为平面PBD ，所以①，又因为在中，，BD ⊂AE BD ⊥ABD △45BAD∠=，所以1,AD AB ==2222cos 451BD AD AB AD AB =+-⋅⋅⋅︒=,所以②，又因为③，由①②③2222BD AD AB +==AD BD ⊥AE AD A ⋂=可得平面，又因为平面，所以；BD ⊥PADPA ⊂PAD PA BD ⊥（2）解：取中点，连接，AD F PF 因为是边长为1正三角形，所以且(1)可知PAD PF AD ⊥PF =平面，BD ⊥PAD 平面，所以，又因，所以平面，即有PF ⊂PAD BD ⊥PF BD AD D Ç=PF ⊥ABCD 平面，所以为三棱锥P -BCD 的高，又因为ABCD 为平行四边形，所以PF ⊥BCD PF,111122BCD ABD S S ==⨯⨯= 所以111332P BCD BCDV S PF -=⋅=20.（1）由题意，椭圆半焦距，所以c=c e a ==a =2221b a c =-=椭圆方程为；2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，当直线的斜率不存在时，直线，221(0)x y x +=>MN :1MN x =不合题意；当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M x y N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kx y --=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅==所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以或，所以直线或，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b=-⎧⎪⎨=⎪⎩:MNy x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =21（1） 时，， ， ，2a =()212ln 2f x x x =-()'2f x x x ∴=-()'11k f ∴==-又，函数在处的切线方程为：；()112f =∴()f x ()()11f ，2230x y +-=（2）函数在上为增函数，则 在恒成立，()f x ()1+∞，()'0a f x x x =-≥()1x ∈+∞，即在恒成立，故，经检验，符合题意，2a x ≤()1x ∈+∞，1a ≤；1a ∴≤（3），()'af x x x =-时， 在上恒成立，在是增函数，0a <①()'0f x >()0+∞，()f x \()0+∞，取，，11x =212eax =由， ，()10f >11121121111e e ln e e e 102222a a a aa f a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在时存在唯一零点，即时，方程有唯一解；12e ,1a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0a <()0f x =时，，0a >②()'af x x x =-=在递减，在递增，()f x\(0)+∞ ，()min 1()1ln 2fx fa a ∴==- 时，，此时方程无解，0e a <<0f>()0f x = 时， ， 时方程存在一个解，e a >()110,02f f =><(x ∴∈()0f x =又 ，()211e e e e e 22a a a a a f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令 ，即 是增函数，()()'e 1111e ,e 1,e,e 1e 102222a a a p a a p a a =-=->∴->-> ()p x ，即 ，即 时，()()e e 121111e e e e e 1e e 10222p a p --⎛⎫⎛⎫>=-=->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()e 0a f >)ax ∈方程存在一个解；()0f x =所以： 时，无解，0e a <<()0f x =或 时，有唯一解，0a <e a =()f x时，有个解；e a >()0f x =2综上， 时，无解，或 时，有唯一解， 时，0e a <<()0f x =0a <e a =()f x e a >有个解；()0f x =222.（1）由（为参数），得，故曲线C 的普通方程为12cos ,22sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩α22(1)(2)4x y ++-=.由，得，故直线l 的直角坐标方程22(1)(2)4x y ++-=cos 2sin 40ρθρθ-+=240x y -+=为；240x y -+=（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为（t 为参数），4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得，25450t -+=，(245453800∆=-⨯⨯=>设A ，B 对应的参数分别为，则12,t t 12t t+=故122t t PQ +==23.（1）由柯西不等式有，()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦所以，当且仅当时，取等号，所以.23a b c ++≤21a b c ===23a b c ++≤（2）证明：因为，，，，由（1）得，2b c =0a >0b >0c >243a b c a c ++=+≤即，所以，043a c <+≤1143a c ≥+由权方和不等式知，()22212111293444a c a c a c a c ++=+≥=≥++当且仅当，即，时取等号，124a c =1a =12c =所以.113a c +≥所以实数的取值范围是.m [)2,+∞。
贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案
江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟 总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （ ）A 。
()3,1B 。
()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。
则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（ ） A 。
()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （ ）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（ ） A.B.C 。
D 。
7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。
安徽省黄山市田家炳实验中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试卷 Word版含解析
2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x34．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 07．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C ． D．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x轴的交点个数是．15．已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．2022-2021学年安徽省黄山市田家炳试验中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规章解出A∩（∁R B）即可得出正确选项解答：解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（∁R B）=（3，4）故选B点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，娴熟把握运算规章是解解题的关键2．若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断；不等关系与不等式．专题：简易规律．分析：由于“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．解答：解：∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a ＜”或“0＞b ＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a ＜”或“b ＞”．“a ＜”或“b ＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a ＜”或“b ＞”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查充分分条件、必要条件和充要条件，解题时要留意基本不等式的合理运用．3．下列函数中既是奇函数，又在区间（﹣1，1）上是增函数的为（）A． y=|x| B． y=sinx C． y=e x+e﹣x D． y=﹣x3考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：对于A，C均是偶函数；对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数．解答：解：对于A，C均是偶函数，故不满足题意对于B，C均是减函数，B在区间（﹣1，1）上是增函数，D在区间（﹣1，1）上是减函数所以B满足题意故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．4．若函数f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（） A． [，1） B．（0，] C．（1，） D． [）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．解答：解：令y=log a t，t=2﹣ax，∵a＞0∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减∵f（x）=log a（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增∴函数y=log a t是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立∴∴0＜a ≤故选B．点评：本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论争辩其单调性，再求参数的范围．本题简洁忽视t=2﹣ax＞0的状况导致出错．5．奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1﹣x），则在（﹣∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A． f（x）=﹣x（1﹣x） B． f（x）=x（1+x） C． f（x）=﹣x（1+x） D． f（x）=x（x﹣1）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：把x∈（﹣∞，0）的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化求出函数f（x）在（0，+∞）上的解析式．解答：解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），由于函数f（x）是奇函数，故f（x）=﹣f（﹣x）=x（1+x）．故选B点评：已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是依据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用．6．函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5）=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B． 9 C．﹣3 D． 0考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x﹣1）是奇函数、f（x）是偶函数，可得f（x）=f（x﹣4），从而求得f（8.5）=f（0.5），即可得到答案．解答：解：∵f（x﹣1）是奇函数，故有f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（﹣x）=﹣f（x﹣2）．又∵f（x）是偶函数，得f（x）=﹣f（x﹣2），f（x﹣4）=f（x）对任意x∈R恒成立，可得f（x）的最小正周期为4，∴f（0.5）=f（8.5）=9．故选：B．点评：本题综合考查抽象的函数奇偶性、周期性的应用，属于基础题．7．定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（）函数． A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的推断；进行简洁的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最终看f（x）与f（﹣x）的关系得结论．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，所以f（x）==，则f（﹣x）==﹣（）=﹣f（x），故f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．故选 A．点评：本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查，关于新定义的题，关键在于理解新定义，并会用新定义解题，属于易错题题．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A． B． C． D．考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，我们易推断出a，b与0，±1的关系，依据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论．解答：解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象可得b＜﹣1＜0＜a＜1则函数g（x）=a x+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的且与Y轴的交点在X轴下方分析四个答案只有A符合故选A点评：本题考查的学问点是指数函数的图象变换，其中依据已知推断出a，b与0，±1的关系，进而分析出函数图象的单调性及特殊点是解答本题的关键．9．若log a（a2+1）＜log a2a＜0，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．（，1） D．（0，1）∪（1，+∞）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；转化思想；对应思想．分析：由题意，可得出a2+1＞1，结合log a（a2+1）＜0，可得出a∈（0，1），再由log a2a＜0得出2a＞1，即可解出a的取值范围，选出正确选项解答：解：∵log a（a2+1）＜log a2a＜0，a2+1＞1∴a∈（0，1），且2a＞1∴a ∈（，1）故选C点评：本题考查对数函数的单调性，考察了对数数符合与真数及底数取值范围的关系，解题的关键是确定出a2+1＞1，由此打开解题的突破口，本题考察了观看推理的力量，题目虽简，考查学问的方式很奇妙．10．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，） D．（，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f （x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a ∈（，2）．故选D．点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质依据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，则m 的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．考点：命题的真假推断与应用．专题：综合题；转化思想．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分别出﹣m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4≥0”是假命题，∴命题“∀x∈（1，2）时，满足不等式x2+mx+4＜0”是真命题，∴在（1，2）上恒成立令x∈（1，2）∵∴f（x）＜f（1）=5，∴﹣m≥5，∴m≤﹣5．故答案为：（﹣∞，﹣5]点评：将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．12．函数f（x）=lg|x+m|关于直线x=1对称，则m= ﹣1 ．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题；转化思想．分析：本题争辩的是一个对数型的函数，其可以看作是由函数g（x）=lg|x|图象向右平移了一个单位而得到，由同一性的思想方法就可以求出m的值．解答：解：由于函数g（x）=lg|x|图象关于直线x=0对称，函数g（x）=lg|x|图象向右平移一个单位后所得函数为r（x）=lg|x﹣1|，其对称轴方程为x=1由题设条件知f（x）=r（x）=lg|x﹣1|，故m=﹣1故答案为﹣1点评：本题考点是函数图象的对称性，考查函数图象本身的对称性及图象变换后所得函数图象的对称性，及利用变换规章求参数，本题旧考点新考法，较好．13．已知函数f（x）=的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是[0，1]∪[9，+∞）．考点：函数的值域；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：当m=0时，检验合适； m＜0时，不满足条件； m＞0时，由△≥0，求出实数m的取值范围，然后把m的取值范围取并集．解答：解：当m=0时，f（x）=，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣3）2﹣4m≥0，∴m≤1或 m≥9，综上，0≤m≤1或 m≥9，∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞）；故答案为[0，1]∪[9，+∞）．点评：本题考查函数的值域及一元二次不等式的应用．14．定义在R上的偶函数y=f（x），当x＞0时，y=f（x）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0．则函数y=f （x）的图象与x 轴的交点个数是 2 ．考点：函数零点的判定定理；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：函数的单调性和奇偶性、函数零点的判定定理，可得函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，在（﹣∞，0）上有唯一零点，可得函数f（x）在R上有2个零点，从而得出结论．解答：解：依据当x＞0时，y=f（x ）是单调递增的，f（1）•f（2）＜0，∴函数y=f（x）在（0，+∞）上有唯一零点．又∵函数f（x）时R 上的偶函数，图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）在（﹣∞，0）上有唯一零点．综上可得，函数f（x）在R上有2个零点，即函数y=f（x）的图象与x轴的交点个数是2．故答案为：2．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数零点的判定定理、函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．15．已知函数f（x）=（a∈R ），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是a ≥﹣．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；综合题．分析：由于x∈N *，可将f（x）=≥3转化为a≥﹣﹣x+3，再令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），利用其单调性可求得g（x）max，从而可得答案．解答：解：∵x∈N *，∴f（x）=≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立，∴ax≥﹣x2﹣8+3x，又x∈N*，∴a≥﹣﹣x+3恒成立，∴a≥g（x）max，令g（x）=﹣﹣x+3（x∈N*），再令h（x）=x+（x∈N*），∵h（x）=x+在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，而x∈N*，∴h（x）在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，∵h（2）=6，h（3）=，h（2）＞h（3），∴当x∈N*时，h（x）min=．又g （x）=﹣﹣x+3=﹣h（x）+3，∴g（x）max=﹣+3=﹣．∴a≥﹣．点评：本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥﹣﹣x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设集合，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；（2）若A⊇B，求m的取值范围．考点：子集与真子集；集合的包含关系推断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由x∈Z，知={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．由此能求出A的非空真子集的个数．（2）由A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，知，或，由此能求出m的取值范围．解答：解：（1）∵={x|﹣2≤x≤5}，∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254．（2）∵A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}．A⊇B，∴，或，解得﹣1≤m≤2，或m不存在．故m的取值范围{m|﹣1≤m≤2}．点评：本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，认真解答．17．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．考点：确定值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；分类争辩．分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式，代入函数y=f（x）可得g（x）的解析式．（Ⅱ）不等式可化为 2x2﹣|x﹣1|≤0，分类争辩，去掉确定值，求出不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g （x）的图象上，且，即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故，g（x）=﹣x2+2x．（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x ≤．因此，原不等式的解集为[﹣1，]．点评：本题考查求函数的解析式的方法以及解确定值不等式的方法，体现了分类争辩的数学思想，属于基础题．18．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题；应用题．分析：先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数争辩此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．解答：解：方法1：导数法设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x≥10，x∈Z+），令f'（x）=0得x=15当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则，当且进行，即x=15时取等号．答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：本小题主要考查应用所学导数的学问、思想和方法解决实际问题的力量，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础学问．19．已知函数（a为常数）．（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．考点：对数函数的定义域；函数单调性的性质．专题：计算题；综合题．分析：（1）由对数函数的性质知其真数必需大于0，对字母a进行分类争辩：当0＜a＜2时，当a＜0时，即可求得求f（x）的定义域；（2）由题意知函数f（x）是由y=和复合而来，由复合函数单调性结论，只要u（x）在区间在（2，4）上为增且为正即可．解答：解：（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，当a＜0时，解得．故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为{x|x＜1或}当a＜0时，f（x）的定义域为{x|}．（2）令，由于为减函数，故要使f（x）在（2，4）上是减函数，则在（2，4）上为增且为正．故有．故a∈[1，2）．点评：本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，整体思想是解决本类问题的根本．20．定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证f（x）为奇函数；（2）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数奇偶性的推断．专题：计算题；证明题．分析：（1）欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x可得f（0）=f（x）+f（﹣x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f （0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．（2）先将不等关系f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0转化成f（k•3x）＜f（﹣3x+9x+2），再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最终利用分别系数法即可求实数k的取值范围．解答：解：（1）证明：f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．令y=﹣x，代入①式，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）．即f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．（2）解：f（3）=log23＞0，即f（3）＞f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由（1）f（x）是奇函数．f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），k•3x＜﹣3x+9x+2，令t=3x＞0，分别系数得：，问题等价于，对任意t＞0恒成立．∵，∴．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的力量，属于中档题．说明：问题（2）本题解法：是依据函数的性质．f（x）是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f（t）=t2﹣（1+k）t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f（t）进行争辩求解．21．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，也称f（x）在区间D上有不动点．（1）证明f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点；（2）若函数在区间[1，4]上有不动点，求常数a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）依据“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”，令F （x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线，利用F（1）•F（4）＜0可确定函数F （x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，从而得到结论；（2）依题意，存在x∈[1，4]，使，争辩将a分别出来，利用导数争辩出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．解答：解：（1）依题意，“f（x）在区间D上有不动点”当且仅当“F（x）=f（x）﹣x在区间D上有零点”（2分），F（x）=f（x）﹣x=2x﹣3x﹣3在区间[1，4]上是一条连续不断的曲线（3分），F（1）•F（4）=﹣4×1＜0（4分），所以函数F（x）=f（x）﹣x在区间（1，4）内有零点，f（x）=2x﹣2x﹣3在区间（1，4）上有不动点（5分）．（2）依题意，存在x∈[1，4]，使当x=1时，使（6分）；当x≠1时，解得（8分），由（9分），得x=2或（，舍去）（10分），x （1，2） 2 （2，4）a′ + 0 ﹣a ↗最大值↘（12分），当x=2时，（13分），所以常数a 的取值范围是（14分）．点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数争辩最值等有关学问，属于中档题．。
2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2021-2022学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合P＝{x|x＞﹣1}，集合Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知p，q是两个命题，若（￢p）∨q是假命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题5．已知函数，则f（f（﹣3））等于（）A．1B．2C．3D．46．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c7．若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2] 8．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足5f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f （x）＝log2（x+1），则f（2021）等于（）A．1B．﹣1C．0D．log2310．已知函数，且f（a2）+f（3a﹣4）＞2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣1，4）11．已知f（x）＝（x2+ax+b）•lnx，（a，b∈R），当x＞0时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为（）A．﹣2≤a＜0B．a≥﹣1C．﹣1＜a≤0D．0≤a≤112．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A⊆B，则实数a的取值范围为．14．若函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）＝log a（x+m）的单调增区间为．15．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是．16．在下列命题中，正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）＝0；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．（1）求集合C；（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．18．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）＜3．20．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．22．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）•f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g（x）＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m，n]（m，n∈N，且m＞1）上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，求实数s的取值范围．参考答案一、选择题1．设集合P＝{x|x＞﹣1}，集合Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}解：∵P＝{x|x＞﹣1}，Q＝{x|﹣2＜x＜2}，∴P∩Q＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：D．2．已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个解：由题意：M＝∅，{7}，{4，7}，{7，8}，{4}，{8}，六个故选：D．3．“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵|x﹣1|＜1⇒0＜x＜2．log2x＜1⇒0＜x＜2，∴“|x﹣1|＜1”是”log2x＜1”的充要条件．故选：C．4．已知p，q是两个命题，若（￢p）∨q是假命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解：结合复合命题的真假关系，由（￢p）∨q是假命题可知￢p为假，q是假，故p真q假，故选：A．5．已知函数，则f（f（﹣3））等于（）A．1B．2C．3D．4解：∵函数，∴依题意得f（﹣3）＝1，f（f（﹣3））＝f（1）＝log2（3+1）＝2．故选：B．6．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c 解：∵a＝π﹣2＝，∴0＜a＜1，∵b＝﹣log25＝log2，c＝log2，＜，∴log2＜log2，即b＜c＜0．∴a＞c＞b，故选：C．7．若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；故选：A．8．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（x）＞0恒成立，排除C，D，当x＞0时，f（x）＝＝xe x，当x→0，f（x）→0，排除B，故选：A．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足5f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f （x）＝log2（x+1），则f（2021）等于（）A．1B．﹣1C．0D．log23解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），则f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），故f（x）的周期为4，则f（2021）＝f（505×4+1）＝f（1），而当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），所以f（1）＝log2（1+1）＝1，则f（2021）＝1．故选：A．10．已知函数，且f（a2）+f（3a﹣4）＞2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．（﹣1，4）解：令g（x）＝，则f（x）＝g（x）+1，∵f（a2）+f（3a﹣4）＞2，∴g（a2）+g（3a﹣4）＞0，∵g（﹣x）＝＝﹣（），∴g（x）是R上的奇函数，∴g（a2）+g（3a﹣4）＞0可化为g（a2）＞g（4﹣3a），又∵g（x）＝＝1﹣+3x，g′（x）＝，所以g（x）在R上是增函数，∴a2＞4﹣3a，解得，a＜﹣4或a＞1，故选：B．11．已知f（x）＝（x2+ax+b）•lnx，（a，b∈R），当x＞0时，f（x）≥0，则实数a的取值范围为（）A．﹣2≤a＜0B．a≥﹣1C．﹣1＜a≤0D．0≤a≤1解：设g（x）＝x2+ax+b，h（x）＝lnx，则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（1）＝0，若当x＞0时f（x）≥0，则满足当x＞1时，g（x）≥0，当0＜x＜1时，g（x）≤0，即g（x）必需过点（1，0）点，则g（1）＝1+a+b＝0，即b＝﹣1﹣a，此时函数g（x）与h（x）满足如图所示：此时g（x）＝x2+ax﹣1﹣a＝（x﹣1）[x+（a+1）]，则满足函数g（0）＝﹣a﹣1≤0，即a≥﹣1，故选：B．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）解：设m＝f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m＝f（x）有两个根，当m＜1时，m＝f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t＝0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m＝1时，t＝﹣2，此时由m2+m﹣2＝0得m＝1或m＝﹣2，满足f（x）＝1有两个根，f（x）＝﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）＝m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A＝{x|2＜x≤11}，B＝{x|2x﹣a＞0}．若A⊆B，则实数a的取值范围为（﹣∞，4]．解：由已知可得，因为A⊆B，所以，即a≤4，故答案为：（﹣∞，4]．14．若函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）＝log a（x+m）的单调增区间为（1，+∞）．解：∵函数f（x）＝（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），∴m+2＝1，且2α＝4，求得m＝﹣1，α＝2，可得f（x）＝x2，则函数g（x）＝log a（x+m）＝log2（x﹣1）的单调增区间为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．15．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是[，）．解：∵f（x）是减函数，∴函数在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是减函数，且满足条件，得，得≤a＜，即实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．16．在下列命题中，正确命题的序号为②③④（写出所有正确命题的序号）．①函数的最小值为；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）＝0；④已知函数f（x）＝x﹣sin x，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．解：①，函数f（x）＝x+（x＞0）中，当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；②，∵f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（4﹣x）＝f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，∴f（4）＝f（0）＝0；f（7）＝f（8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1），∴f（1）+f（4）+f（7）＝f（1）+0﹣f（1）＝0，故③正确；④，∵f（x）＝x﹣sin x，∴f′（x）＝1﹣cos x≥0，∴f（x）＝x﹣sin x为R上的增函数，又f（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣（x﹣sin x）＝﹣f（x），∴f（x）＝x﹣sin x为R上的奇函数；∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b＝﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0，故④正确．综上所述，正确的命题序号为：②③④．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣2＜x+1＜3}，集合B为整数集，令C＝A∩B．（1）求集合C；（2）若集合D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，求实数a的值．解：（1）∵A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝Z，∴C＝A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}；（2）∵C＝{﹣2，﹣1，0，1}，D＝{1，a}，C∪D＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴a＝2．18．函数f（x）＝lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|（x﹣3）（x+1）＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，B＝{y|y＝2x﹣a，x≤2}＝{y|﹣a＜y≤4﹣a}．（Ⅱ）∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，∴a≤﹣3或a＞5，即a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（5，+∞）．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）在R上的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）＜3．解：（1）由题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x，由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x，且f（0）＝0，综上：．（2）（i）当x＞0时，﹣x2+2x＜3恒成立；（ii）当x＝0时，0＜3显然成立；（iii）当x＜0时，x2+2x＜3，即x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，此时﹣3＜x＜0，综上x＞﹣3，综上：不等式的解集为（﹣3，+∞）．20．设二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1）．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，求实数c的值．解：（1）根据题意，二次函数f（x）＝ax2+2x+c（a，c∈R），并且∀x∈R，f（x）≤f（1），则二次函数f（x）开口向下，其对称轴为x＝1，则有﹣＝1，解可得a＝﹣1；（2）函数g（x）＝f（e x），设t＝e x，若x∈[0，1]，则1≤t≤e，函数g（x）＝f（e x）在x∈[0，1]的最大值是1，且∀x∈R，f（x）≤f（1）．则x＝0时，g（x）取得最大值1，即g（0）＝f（1）＝﹣1+2+c＝1，解可得c＝0；故c＝0，21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711）．解：（1）函数y＝ka x（k＞0，a＞1）与在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y＝ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝ka x（k＞0，a＞1）符合要求．根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36，∴，解得．故该函数模型的解析式为，1≤x≤12，x∈N*；（2）当x＝0时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是m2，由＞10•，得＞10，∴x＞＝≈5.9，∵x∈N*，∴x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．22．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）•f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g（x）＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m，n]（m，n∈N，且m＞1）上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，求实数s的取值范围．解：（1）对于函数g（x）＝2x的定义域R内任意的x1，取x2＝﹣x1，则g（x1）g（x2）＝1，且由g（x）＝2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g（x）＝2x是“依赖函数”；（2）因为m＞1，f（x）＝（x﹣1）2在[m，n]递增，故f（m）f（n）＝1，即（m﹣1）2•（n﹣1）2＝1，由n＞m＞1，得（m﹣1）（n﹣1）＝2，故n＝，故m+n＝m+＝m﹣1++2≥2+2＝2（+1），（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+1），+∞）；（3）因a＜，故f（x）＝（x﹣a）2在[，4]上单调递增，从而f（）•f（4）＝1，即（﹣a）2（4﹣a）2＝1，进而（﹣a）（4﹣a）＝1，解得a＝1或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，使得对任意的t∈R，有不等式（x﹣1）2≥﹣t2+（s﹣t）x+8都成立，即t2+xt+x2﹣（2+s）x﹣7≥0恒成立，由△＝x2﹣4（x2﹣（2+s）x﹣7）≤0恒成立，故2+s≤（x﹣）max，x∈[，4]，由y＝x﹣在[，4]递增，故x＝4时，y取最大值，y的最大值是，故2+s≤，故s≤﹣，即s的取值范围是（﹣∞，﹣]．。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题
HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。
河南省开封市2023届高三一模考试 文科数学试题(后附参考答案)
开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x -1<x <3 ,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2 B .-1,0 C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若a +4i 4-3i 是纯虚数,则实数a =A .-2B .2C .-3 D.34.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23A B ңB .23A C ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)9.已知数列a n 的前n 项和S n =n 2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p +a q =10.已知F1,F2是椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,点M在C上,则|M F1|㊃|M F2|A.有最大值4B.有最大值3C.有最小值4D.有最小值311.如图,在正方体A B C D-A 1B1C1D1中,点M,N分别是A1D,D1B的中点,则下述结论中正确的个数为①MNʊ平面A B C D;②平面A1N Dʅ平面D1M B;③直线MN与B1D1所成的角为45ʎ;④直线D1B与平面A1N D所成的角为45ʎ.A.1B.2C.3D.412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f(x)=a e x-x为 不动点 函数,则实数a的取值范围是A.-ɕ,1eB.-ɕ,2eC.(-ɕ,1]D.(-ɕ,e]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点A(1,0),B(2,2),C(0,3),则A Bң㊃A Cң=.14.已知函数f(x)=3s i n x-c o s x,则f5π12=.15.3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m,下底直径为9c m,高为9c m,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n中,a1=1,a n+2+(-1)n a n=2(nɪN*).记S n是数列a n的前n项和,则S20=.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)同时从甲㊁乙㊁丙三个不同地区进口某种商品的数量分别为240,160,160(单位:件),工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取7件样品进行检测.(1)求抽取的7件商品中,来自甲㊁乙㊁丙各地区的数量;(2)设抽取的7件商品分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中再随机抽取2件做进一步检测.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(i i)设M为事件 抽取的2件商品来自不同地区 ,求事件M发生的概率.18.(12分)在әA B C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a c o s B+C2=b s i n A,2a=3b.(1)求c o s B的值;(2)若a=3,求c.19.(12分)如图,әA B C是正三角形,在等腰梯形A B E F中,A BʊE F,A F=E F=B E=12A B.平面A B Cʅ平面A B E F,M,N分别是A F,C E的中点,C E=4.(1)证明:MNʊ平面A B C;(2)求三棱锥N-A B C的体积.20.(12分)已知函数f(x)=2s i n x-a x,aɪR.(1)若f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,求g(x)=f(x)-l n x在0,π2 上的最小值.21.(12分)图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=2|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处可画出椭圆,记该椭圆为C 1.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求椭圆C 1的方程;(2)以椭圆C 1的短轴为直径作圆C 2,已知直线l 与圆C 2相切,且与椭圆C 1交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,若S =223,求直线l 的斜率.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDBACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.515.16.110三、解答题（共70分）17.（1）由已知，从甲、乙、丙三个不同地区进口某种商品的数量之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7件商品，因此应从甲、乙、丙三个不同地区进口的某种商品中分别抽取3件，2件，2件．……4分（2）（i）从抽取的7件商品中随机抽取2件商品的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．……8分（ii）由（1），不妨设抽取的7件商品中，来自甲地区的是A，B，C，来自乙地区的是D，E，来自丙地区的是F，G，则从抽取的7件商品中随机抽取的2件商品来自相同地区的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．……10分所以，事件M 发生的概率为()516=12121P M -=．……12分18.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.……7分ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF ∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……8分设1====2AF EF EB AB a，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB .……9分由题意=60FAB ∠ ，M 到AB 的距离3sin602h AM = 即为M 到ABC 平面的距离……10分又MN ABC ∥平面，111===4=2.3322N ABC M ABC ABC V V S h --∆∴⨯⨯⨯……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……2分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……4分（2）由已知可得：1()2cos 1g x x x'=--，令()=()h x g x '，21()2sin h'x x x=-+在(0,2π上单调递减，……6分又因为0)6(1)6(2>+-='ππh ，016sin211sin 2)1(=+-<+-='πh ，所以存在)16(0，π∈x 使得0)(='x h ，即2001sin 2x x =，从而20400214cos x x x -=……8分则有x),0(0x )2,(0πx )(x h '正负)(x g '递增递减则有)(x g '最大值为：)(0x g '011cos 2x x --=02401114x x x ---=0240114x x x --<1=1x -0<，所以)(x g '0<，……10分则)(x g 在(0,2π上单调递减，所以最小值为)2ln(222(πππ--=g .……12分21.（1）由题意可得2=1ND DM =，，所以椭圆1C 的长半轴长为2，短半轴长为1，……2分所以椭圆1C 的方程为：22+=14x y .……4分（2）若直线l 的斜率不存在，依题意，=1l x ±：，带入1C方程可得AB，此时3S ≠，所以直线l 的斜率一定存在，设=+l y kx m ：，l 与圆2C22=+1m k ，即，……6分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，()()2222=641614100k m k m k ∆-+->≠由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分由=3S得==33AB ，即42511+2=0k k -，解得==5k k ±……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+…6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
山东省邹平双语学校二区2022届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
邹平双语学校2021—2022第一学期第一次月考试题(1、2区) 高三 班级 数学（文科）试题（时间：120分钟，分值：150分）一．选择题（每题5分，共12小题）1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A ∪B=（ ） A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4} 2．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．3．命题p ：“∃x 0∈R“，x 02﹣1≤0的否定￢p 为（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣1＞0 C ．∃x 0∈R ，x 02﹣1＞0 D ．∃x 0∈R ，x 02﹣1＜0 4．函数y=sin2x +cos2x 的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π5．已知函数f （x ）=a x （a ＞0，a ≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（ ） A ．⊥B ．||=||C ．∥D ．||＞||7．已知函数f （x ）=3x ﹣（）x ，则f （x ）（ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数 8．设函数f （x ）=cos （x +），则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y=f （x ）的图象关于直线x=对称C ．f （x +π）的一个零点为x=D ．f （x ）在（，π）单调递减9．已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，且f′（x ）=2f （x ），则tan2x 的值是（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．10．已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x +），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 211．函数y=f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则函数y=f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数y=的部分图象大致为（ ）A ．B.C ．D ．二．填空题（每题5分，共4小题）13．已知集合A={1，2}，B={a ，a 2+3}．若A ∩B={1}，则实数a 的值为 ． 14．设f （x ）=xlnx ，若f′（x 0）=2，则x 0的值为 ．15．函数f （x ）=sin 2x +cosx ﹣（x ∈[0，]）的最大值是 ．班级：____________ 姓名：_____________ 考号：________________________16．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的条件．三．解答题（共6小题，70分）17．（10分））已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分））已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．20．（12分）．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知，，且．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积，求a的值．21．（12分））某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p2=，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．22．（12分））已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．邹平双语学校2021—2022第一学期第一次月考试题(1、2区) 高三班级数学（文科）试题答案一．选择题（共12小题）1．设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可并集的定义直接求出两集合的并集．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}故选A．【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规章，是集合中的基本概念型题．2．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=﹣=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．3．命题p：“∃x0∈R“，x02﹣1≤0的否定￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣1≤0 B．∀x∈R，x2﹣1＞0C．∃x0∈R，x02﹣1＞0 D．∃x0∈R，x02﹣1＜0【分析】直接写出特称命题的否定得答案．【解答】解：命题p：“∃x0∈R“，x0﹣1≤0为特称命题，其否定为全称命题，∴￢p为∀x∈R，x2﹣1＞0．故选：B．【点评】本题考查特称命题的否定，留意命题的否定的格式是关键，是基础题．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A ．B ．C．πD．2π【分析】利用帮助角公式，化简函数的解析式，进而依据ω值，可得函数的周期．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x +），∵ω=2，∴T=π，故选：C【点评】本题考查的学问点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】依据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．【解答】解：依据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．∵a＞0，a≠1，∴a=2．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的性质的运用，属于基础题．6．设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A ．⊥B．||=||C ．∥D．||＞||【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．【点评】本题考查两个向量的关系的推断，是基础题，解题时要认真审题，留意向量的模的性质的合理运用．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，认真解答．7．已知函数f（x）=3x ﹣（）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f （x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，结合“增”﹣“减”=“增”可得答案．【解答】解：f（x）=3x ﹣（）x=3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=（）x为减函数，故函数f（x）=3x ﹣（）x为增函数，故选：A．【点评】本题考查的学问点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．8．设函数f（x）=cos（x +），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x ）在（，π）单调递减【分析】依据三角函数的图象和性质分别进行推断即可．【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x +）=cos （+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f （+π）=cos （+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C 正确，D ．当＜x＜π时，＜x +＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假推断，依据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．9．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，且f′（x）=2f（x），则tan2x的值是（）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【分析】求出f（x）的导函数，依据f′（x）=2f（x）列出关系式，计算即可求出tan2x的值．【解答】解：求导得：f′（x）=cosx+sinx，∵f′（x）=2f（x），∴cosx+sinx=2（sinx﹣cosx），即3cosx=sinx，∴tanx=3，则tan2x===﹣．故选C【点评】此题考查了三角函数的化简求值，以及导数的运算，娴熟把握求导公式是解本题的关键．10．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x +）=cos（2x +）=sin（2x +）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算力量．11．函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】依据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，依据函数图象，即可推断函数的单调性，然后依据函数极值的推断，即可推断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最终单调递增，排解A，C，且其次个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排解B，故选D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的推断，考查数形结合思想，属于基础题．12．函数y=的部分图象大致为（）A ． B ．C D ．【分析】推断函数的奇偶性排解选项，利用特殊值推断即可．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排解选项B，当x=时，f （）==，排解A，x=π时，f（π）=0，排解D．故选：C．【点评】本题考查函数的图形的推断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是推断函数的图象的常用方法．二．填空题（共4小题）13．已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意交集定义及性质的合理运用．14．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0的值为e．【分析】先依据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可．【解答】解：f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1则f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e【点评】本题主要考查了导数的运算，以及乘积函数的导数公式的运用，属于基础题之列．15．函数f（x）=sin2x +cosx ﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题16．A：x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根；B：x1+x2=﹣，则A是B的充分条件．【分析】A⇒B验证充分性x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，可推出x1+x2=﹣，而必要性不肯定成立，故得是充分条件【解答】解：由题意若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，由根与系数的关系肯定可以得出x1+x2=﹣，故A⇒B成立；若x1+x2=﹣，成立，不能得出x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，由于此方程有根与否要用推断式进行推断，须考虑a，b，c三个字母，故B⇒A不肯定成立；故可得，A是B的充分条件故答案为充分【点评】本题考查必要条件充分条件充要条件的推断，求解的关键是正确理解充分条件与必要条件的定义，以及二次方程有根的条件．三．解答题（共6小题）17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=∅，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；（Ⅱ）把p 是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x ＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R ，得，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2；（Ⅱ）因p 是q的充分条件，所以A ⊆B，且A ≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．18．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】利用二倍角公式及帮助角公式化简函数的解析式，（Ⅰ）代入可得：f（）的值．（Ⅱ）依据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查的学问点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．19．已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到曲线在点P（1，1）处的切线方程；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，即可求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【解答】解：（1）y=x3的导数为y′=3x2，则曲线在点P（1，1）处的切线斜率为3，即有曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，∴直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=．【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查直线方程的求法，考查运算力量，属于基础题．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c ，已知，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC 的面积，求a的值．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，列出方程，通过两角和与差的三角函数，化简求解角A的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积，求出c，然后利用余弦定理求解a即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=s in（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0∴2cosA=1，即又0＜A＜π∴，（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴．【点评】本题考查向量与三角函数相结合求解三角形的几何量，考查余弦定理的应用，是基础题．21．某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+x3（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p2=，生产100件这样的产品单价为50万元．（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．【分析】（1）由题可知生产100件这样的产品单价为50万元，所以把x=100，P=50代入到p2=中求出k的值确定出P的解析式，然后依据总利润=总销售额﹣总成本得出L（x）即可；（2）令L′（x）=0求出x的值，此时总利润最大，最大利润为L（25）．【解答】解：（1）由题意有，解得k=25×104，∴，∴总利润=；（2）由（1）得，令，令，得，∴t=5，于是x=t2=25，则x=25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L（25）≈﹣416.7+2500﹣1200≈883．答：产量x定为25件时总利润L（x）最大，约为883万元．【点评】考查同学依据实际问题选择函数关系的力量，及利用导数求函数最值的方法的力量．22．已知函数．（1）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．【分析】（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m 转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行争辩，求出新函数的最值，求出a的范围．【解答】解：（I）当a=1时，，可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为，要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m 的取值范围是（2）已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即恒成立．设．即g（x）的最大值小于0.（1）当时，，∴为减函数．∴g（1）=﹣a ﹣≤0∴a ≥﹣∴（2）a≥1时，．为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当时，g（x ）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a 的取值范围是．【点评】解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．第页，共页第页，共页。
2020届雅礼中学高三第1次月考试卷-文科数学
题!!答!!要!!不!!内!!线!!封!!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""密!号!学!名!姓!级!班!校!学炎德 英才大联考雅礼中学#$#$届高三月考试卷!一"数!学!文科"#李!斑!!审题人#丁正光得分#!!!!!!!!!本试卷分第 卷!选择题"和第 卷!非选择题"两部分$共"页%时量!#$分钟%满分!%$分%第 卷一&选择题#本大题共!#个小题$每小题%分$共&$分!在每小题给出的四个选项中$只有一个选项是符合题目要求的!!!已知集合"''###!#(#"$$($$''##(!$#$!($则"%$')*'##(!$#$#(+*'###$(!或#&#(,*'##$$#$!(-*'###$$或#&!(#!已知复数%./#(/是纯虚数!/是虚数单位"$则实数%等于)*(#+*#,*!#-*(!0!)#$&$&*是)方程##&(#.'#&(&'!为椭圆*的)*充分不必要条件+*必要不充分条件,*充要条件-*既不充分也不必要条件1!如果(!#"'%##(!#(%"#.!在区间(2$!+!#上为减函数$则%的取值范围是)*!$$!++*,$$!",*,$$!+-*!$$!"%!已知函数(!#"'3/4! #. " &$$ $ !"#图象相邻两条对称轴之间的距离为 #$将函数''(!#"的图象向左平移 0个单位后$得到的图象关于'轴对称$那么函数''(!#"的图象)*关于点 !#$!"$对称+*关于点( !#$!"$对称,*关于直线#' !#对称-*关于直线#'( !#对称&!在'"$)中$若*563)+563$'!.563#)!.563#$$则'"$)的形状是)*等腰三角形+*直角三角形,*等腰直角三角形-*等腰三角形或直角三角形7!若抛物线'#'#,#!,&$"的焦点是椭圆##0,.'#,'!的一个焦点$则,')*#+*0,*1-*""!如图所示$在斜三棱柱"$)("!$!)!中$($")'8$9$$)!)")$则点)!在底面"$)上的射影-必在)*直线"$上+*直线$)上,*直线")上-*'"$)内部8!函数'':#;4##(##(!#的图象大致是)*+*,*-*!$!已知两点"!(!$$"$$!!$$"以及圆)#!#(0"#.!'(1"#'.#!.&$"$若圆)上存在点/$满足*+"/-*+/$'$$则.的取值范围是)*,0$&++*,0$%+,*,1$%+-*,1$&+!!!已知##.'#'1$在这两个实数#$'之间插入三个实数$使这五个数构成等差数列$那么这个等差数列后三项和的最大值为)*!#槡槡!$+*!$,*0#槡槡!$-*#!$!#!已知三棱锥"($)0的所有顶点都在球1的球面上$"0)平面"$)$($")'8$9$"0'#$若球1的表面积为#8$则三棱锥"($)0的侧面积的最大值为槡)*%#.#%1槡+*%#.槡%1!1槡,*&0.#7#槡-*!$#.#%#选择题答题卡题!号!#1%&7"8!$!!!#答!案第 卷本卷包括必考题和选考题两部分!第!0 #!题为必考题$每个试题考生都必须作答!第##�题为选考题$考生根据要求作答!二&填空题#本大题共1小题$每小题%分$共#$分!!0!已知向量 '!#$0"$ '!0$#"$则# ( #'!!!!!!1!在曲线(!#"'#0(1#的所有切线中$斜率最小的切线方程为!!!!!!%!已知 ,$$ !"#$#3/4# '563# .!$则3/4 '!!!!!!&!奇函数(!#"是定义在 上的单调函数$若函数2!#"'(!##".(!%(####"恰有1个零点$则%的取值范围是!!!!!三&解答题#本大题共7$分!解答应写出文字说明&证明过程或演算步骤!!7!!本小题满分!#分"已知数列'%3(是等差数列$且%"'!$4!&'#1!!!"求数列'%3(的通项公式%3.!#"若数列'*3(是递增的等比数列$且*!.*1'8$*#*0'"$求!%!.*!".!%0.*0".!%%.*%"./.!%#3(!.*#3(!"!如图$四棱锥4("$)0中$40)底面"$)0$"$-)0$"0)0)$"$' "0'!$0)'#$40槡'#$5为棱4$的中点!!!"求证#4))平面"05.!#"求点$到平面"5)的距离$某市房管局为了了解该市市民#$!"年!月至#$!8年!月期间购买二手房情况$首先随机抽取其中#$$名购房者$并对其购房面积&!单位#平方米$&$.&.!0$"进行了一次调查统计$制成了如图!所示的频率分布直方图$接着调查了该市#$!"年!月(#$!8年!月期间当月在售二手房均价'!单位#万元0平方米"$制成了如图#所示的散点图!图中月份代码!(!0分别对应#$!"年!月至#$!8年!月"!!!"试估计该市市民的平均购房面积/&.!#"现采用分层抽样的方法从购房面积位于!!$$,+!0$的1$位市民中随机抽取1人$再从这1人中随机抽取#人$求这#人的购房面积恰好有一人在!#$$,+!0$的概率.!0"根据散点图选择6''6%.6槡*#和6''6+.67;4#两个模型进行拟合$经过数据处理得到两个回归方程$分别为6''$!80&8.$!$#"%槡#和6''$<8%%1.$!$0$&;4#$并得到一些统计量的值$如表所示#6''$!80&8.$!$#"%槡#6''$!8%%1.$!$0$&;4#0!08'!'8(6!"'#$!$$$%8!$!$$$!&10!08'!'8(1!"'#$!$$&$%$请利用相关指数9#判断哪个模型的拟合效果更好$并用拟合效果更好的模型预测#$!8年&月份的二手房购房均价!精确到$!$$!"!参考数据#;4#2$!&8$;402!!!$$;4!72#!"0$;4!82#<81$槡#2!<1!$槡02!!70$槡!721!!#$槡!821!0&!参考公式#相关指数9#'!(038'!'8(6'!"8#038'!'8(1!"'#!从抛物线'#'0&#上任意一点/向#轴作垂线段$垂足为:$点;是线段/:上的一点$且满足*+/;'#*+;:!!!"求点;的轨迹)的方程.!#"设直线#'&'.!!&, "与轨迹)交于"$$两点$<为)上异于"$$的任意一点$直线"<$$<分别与直线#'(!交于0$5两点$以05为直径的圆是否过#轴上的定点1若过定点$求出符合条件的定点坐标.若不过定点$请说明理由!已知函数(!#"'##(##(%;4#$2!#"'%#!!!"求函数=!#"'(!#".2!#"的极值.!#"对#3$恒成立$求%的取值范围! !#"若不等式3/4##.563#.2!!请考生在第##�两题中任选一题作答!注意#只能做所选定的题目!如果多做$则按所做的第一个题目计分!##!!本小题满分!$分"选修1(1#坐标系与参数方程在直角坐标系#1'中$倾斜角为 的直线>的参数方程为#'#.?563 $'槡'0.?3/4456 !?为参数"!在以坐标原点为极点$#轴正半轴为极轴的极坐标系中$曲线)的极坐标方程为 #'# 563 ."!!!"求直线>的普通方程与曲线)的直角坐标方程.!#"若直线>与曲线)交于"$$两点$且"$槡'1#$求直线>的倾斜角!#0!!本小题满分!$分"选修1(%#不等式选讲已知函数(!#"'##(##.###.1#!!!"解不等式#(!#"3(0#.1.!#"若函数(!#"的最小值为%$且&.3'%!&&$$3&$"$求!&.!3的最小值!。
新人教版2高三数学上学期第一次月考试题文科版
数学（文）一．选择题：本大共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合2{1},{M x y x N y y ==+==，则M N =（ ）A. {(0,1)}B. {1}x x ≥-C. {0}x x ≥D. {1}x x ≥2、复数31i z i=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数122i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =-D ．复数z 的模1||2z = 3. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的 条件 A.充要B.充分而不必要C.必要而不充分D.既不充分也不必要4.已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.1B.2D.125．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变. C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.6. 三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为A. B.7. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值为 A.6πB.3πC. 566ππ或D.233ππ或8.已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为9．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p ,q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15-10．若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A B ．8C ．D ．2二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
高三第一次月考文科数学试卷
高三第一次月考文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1.222()22i -=（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i2.函数(21)y f x =-的定义域为[0,1] ，则()y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B ．1[,1]2C ．[0,1]D ．[1,0]-3.一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x 的方差为1，则121x -、221x -、321x -、421x -、521x -、621x -的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.若函数2()sin 22sin sin 2f x x x x =-⋅，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．14πB ．12πC ．8πD ．16π6.满足()f x x '=的()f x （ ）A ．存在且有无限个B ．存在且只有有限个C ．存在且唯一D ．不存在7.若等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 错误！未找到引用源。
成等差数列，则3q 等于（ ）A ．1错误！未找到引用源。
B ． 12- C ．错误！未找到引用源。
或1 D ．错误！未找到引用源。
8.面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积不小于14的概率是（ ）A ．错误！未找到引用源。
15B ．12C ．13D ．14错误！未找到引用源。
9.已知双曲线方程:C 22221x y a b-= (0)b a >>的离心率为1e ，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆G 的四个顶点重合，椭圆G 的离心率为2e ，一定有（ ） A ．22122e e += B ．2212112e e += C ．222212122e e e e +=+ D ．12122e e e e +=+ 10.如图，已知正方体1111D C B A ABCD -上、下底面中心分别为21,O O ，将正方体绕直线21O O 旋转一周，其中由线段1BC 旋转所得图形是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设(2,4)a = ，(1,1)b = ，若()b a mb ⊥+，则实数m =________． 12.执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．13.记不等式2y x xy x ⎧≥-⎨≤⎩所表示的平面区域为D ，直线1()3y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是________14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，有下列结四个论：① ()31f =；②函数()f x 在[]6,2--上是增函数；③函数()f x 关于直线4x =对称；④若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -= 在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是________(写出所有正确命题的序号) 15.若关于实数x 的不等式2|1||2|3x x a a ---≤--的解集是空集, 则实数a 的取值范围是____________．三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．DC B A O 2O 1C 1D 1C B 1A 1A BD16.（本小题满分12分）已知函数()4cos sin()6f x x x a π=++的最大值为2.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）在坐标纸上做出()f x 在[0,]π 上的图像．17.（本小题满分12分）某种产品按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该产品中 随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 12 3 45频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个产品中，等级为5的恰有2个，求m ,n ；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有产品中，任意抽取2个，求抽取的2个产品等级恰好相同的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正数，满足22(1)0n n na n a n +--=．（1）计算12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD PA -，⊥平面ABCD ， 底面ABCD 为直角梯形，90BAD ∠=，且AB CD ∥,12AB CD =. （1）点F 在线段FC 上运动，且设PF FCλ=，问当λ为何值时，BF ∥平面PAD ，并证明你的结论；（2）当BF ∥面PAD ，且4PDA π∠=，23AD CD ==，求四棱锥F BCD -的体积.20.（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 在x 轴上，离心率32e =，点2(2)2Q ,在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k (0)k ≠的直线n 交椭圆C 与A 、B 两点，且OA k 、k 、OB k 成等差数列， 点M （1,1），求ABM S ∆的最大值.21.（本小题满分14分）设321()2x e f x x ax e=++.（1）若3(,)2x ∈ +∞时，()f x 单调递增，求a 的取值范围； （2）讨论方程()|ln |0f x x ax b +--=的实数根的个数.参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DADACABBCD11. 3- 12. 43- 13. 16[]37- , 14. 15.12a -<< 解答题16.解：（1）()2sin(2)16f x x a π=+++ 最大值为2∴1a =- T π=（2）如右图 17.解：（1）0.35m =,0.1n =（2）等级为3的有3个，等级为5的有2个， 由枚举得，共有10种取法，抽取的2个产品等级恰好相同的取法有4种，故概率为2518.解： （1）11a = 22a =∵ 22(1)0n n na n a n +--= ⇒ (1)()0n n na an +-= 又 ∵ 数列{}n a 各项均为正数 ∴ n a n =（2）231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+ 2112321222n n nS -=+++⋅⋅⋅+ ∴2111121222222n n n n n n S -+=+++⋅⋅⋅+-=-19.解：（1）当1PFFC λ==时，取PD 中点G ，连接AG 、FG ，则1CD AB 2FG ∥∥ ∴BF AG ∥ 且 BF ⊆/平面PAD ∴BF ∥平面PAD（2）∵PA ⊥平面ABCD 且 4PDA π∠= ∴PDA ∆为等腰直角三角形∴11113213232F BCD BCD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯= 20.解 1)1422=+y x ……………………(4分)2) 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为mkx y +=1122(,),(,)P x y Q x y 满足22440y kx m x y =++-=⎧⎨⎩ ，消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=．2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，．因为直线OB AB oA ,,的斜率依次成等差数列，所以，k x y x y 22211=+，即2112212x kx y x y x =+，又m kx y +=，所以0)(21=+x x m ，即m=0． ……………………(9分)联立kx y y x ==+⎩⎨⎧1422 易得弦AB 的长为224141k k ++又点M 到kx y =的距离112+-=k k d所以11414121222+-++=k k k k s 24112kk +-=平方再化简求导易得41-=k 时S 取最大值5……………………(13分)21.解：（1）∵ 321()2x e f x x ax e =++ ∴ 3()x e f x x a e'=+-∵ 当3(,)2x ∈ +∞时，()f x 单调递增 ∴当3(,)2x ∈ +∞时，3()0xe f x x a e '=+->∴3x e a x e >- 函数3()x e g x x e =- 在3(,)2x ∈ +∞上递减 ∴33()22a g ≥=-（2）()|ln |0f x x ax b +--= ∴ 321|ln |2x e x x b e ++=令321()|ln |2x e h x x x e=++① 当1x >时 31()x e h x x e x '=-+∵ 12x x+≥ 32x e e e ≤< ∴()0h x '>即()h x 在(1,) +∞递增② 当01x <≤时 31()x e h x x e x'=--∵ 10x x-< 30x e e > ∴()0h x '<即()h x 在(0,1] 递减∵121(1)2h e =+当0x →时 321()|ln |2x e h x x x e=++ → +∞当x →+∞时 321()|l n |2x e h x x x e=++ → +∞ ∴① 当1212b e <+时，方程无解② 当1212b e =+时，方程有一个根③ 当1212b e >+时，方程有两个根。
2023届陕西省安康市高三上学期第一次质量联考(一模)文科数学试题(含答案)
绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则||z =（ ）A ．2BC ．D ．2．记集合{||2}M x x =>，{N x y ==∣，则M N =（ ）A ．{}2|x x <-B ．{}2|x x >C ．2|}0{x x ≤<D ．2{|}2x x -<≤3．若4sin()5πα+=-，则cos(2)πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．725 D ．725-4．函数25()1x f x x -=+的图象在点()(0)0f ，处的切线方程为（ ）A ．750x y ++=B ．750x y +-=C ．750x y --=D ．750x y -+= 5．设c ∈R ，则a b >成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．22ac bc > B ．c ca b< C ．22a c b c ++> D ．2c a b ->- 6．设函数()2tan (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的一个最小正周期是（ ） A ．2π B ．13π C ．213π D ．27π7．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ）A ．18B ．19C ．21D ．228．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8cos 17A =，3cos 5B =，且ABC 外接圆的周长为10π，则ABC 的周长为（ ）A ．20B ．36017C ．27D ．440179．已知O 是ABC 内一点，230OA OB mOC ++=，若AOB 与ABC 的面积之比为47，则实数m 的值为（ ） A ．103-B ．103C ．203-D ．20310．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x 恒有(2)()1f x f x ++…，1(1)()2f x f x ++…，且(2)2f -=，则()2024f 的值为（ ）A ．2026B ．1015C ．1014D ．101311．若函数2()e 3xf x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(2e,0)- D ．36,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1324a a -=-，记m b 为{}n a 中在区间()(0,]m m *∈N中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =（ ）A ．109B ．111C ．114D ．116二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南师大附中2012-2013学年高三第一次月考数学试卷(文科)
2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．﹣ ﹣﹣﹣=2．（5分）（2012•北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（ ） IF a ＜10 THEN y=2+a ELSE y=a*a4．（5分）设函数，且函数f （x ）为偶函数，则g （﹣2）=（ ）解：∵6．（5分）函数，g （x ）=3x﹣1，则不等式f[g （x ）]≥0的解集为（ ）①②，解得7．（5分）点，则x 2+y 2的取值范围是（ ）解：约束条件==，的取值范围∠ADC=30°，则斜坡AD 的长为（ ）C |AC|=|AC|====|AD|=a 半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．现在请你研究：如果对正10．（5分）（2012•湖北）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ．若（a+b ﹣c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=．cosC==C=．故答案为：11．（5分）（2012•上海）已知y=f （x ）+x 2是奇函数，且f （1）=1，若g （x ）=f （x ）+2，则g （﹣1）=13．（5分）已知函数f （x ）=x 2+ax+b ﹣3，f （x ）的图象恒过点（2，0），则a 2+b 2的最小值为 ．a++，﹣，﹣时，的最小值为．故答案为：．14．（5分）（2012•黑龙江）已知向量夹角为45°，且，则= 3．解：∵，=1∴=|2|====解得3下列关于函数f （x ）的命题； ①函数f （x ）的值域为[1，2]；②函数f （x ）在[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[﹣1，t ]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点． 其中真命题为 ② （填写序号）16．（12分）已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+2sinxcosx （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）求f （x ）在[﹣，]上的值域．=cos2x+sin2x=sin 2x+﹣≤2x+≤+﹣≤+﹣]）∵﹣，∴﹣≤2x+≤，∴≤2x+，]1111（1）证明：BC⊥AC1；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．AM=2，，所成角的正弦值为18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，Sn是其前n项的和，且a3=5，S3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列{b n}，使a1b 1+a2b2+L+a n b n=5+（2n﹣3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列{b n}的前n）由题意可得，解得==1+万件，则可获利﹣lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润m=，则企业获得利润是lnx+﹣时，都有﹣+﹣，﹣+﹣，则﹣+﹣﹣+﹣上的最小值为≤与椭圆相交于不同的两点代入椭圆，可得与椭圆相交于不同的两点﹣，= =+==x+﹣x+x+x+x+﹣+≥=，≥，∴。
内蒙古呼和浩特市2023届高三年级第一次质量监测丨文数答案
呼和浩特市2023届高三年级第一次质量普查考试文科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案BCDCCABBDADB二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．)题号13141516答案533①③32)6(22=+-y x （或041222=++-y x x ）（2分）246+（3分）三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(Ⅰ)证明：由题意得：n n n q a a 311=⋅=-∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2分)(公式1分，结果1分))13(2311-=--=nn n q q a a S ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)(公式1分，结果1分))1(23-=∴n n a S ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知：nn a a a b 32313log log log +⋅⋅⋅++=2)1(21+=+⋅⋅⋅++=n n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(8分)111(2)1(21+-=+=∴n n n n b n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)nn b b b T 11121⋅⋅⋅++=∴12111(2111(2)3121(2211(2+=+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(12分)18．解：(Ⅰ) 男生10500人，女生4500人，∴抽取女生占总人数的比例为103∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1分)又 分层抽样收集300位学生∴女生样本数据应收集为90300103=⨯∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2分)(Ⅱ)由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为75.02)025.0075.0125.015.0(=⨯+++∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)(Ⅲ)由(Ⅱ)根据计算可得列联表如下：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(7分)841.3762.4211009021075225300)604530165(22>≈=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)∴有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(12分)19．解：(Ⅰ)当a =时，()32=3 1.f x x x ++2()33f x x -'=+.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1分)令2()330f x x =-+>'得11x x <-+或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(3分)令2()330f x x =-+<'11x -<+，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)综上所述：()f x 的单调递增区间是(1)-∞和1,)+∞，单调递减区间是1)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(6分)(Ⅱ)由(2)0f ≥得54a -≥∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(8分)当54a -≥，(2,)x ∈+∞时，2251()3(21)3(1)3()(2)022f x x ax x x x x =++-+=--'>≥∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()(2)0f x f ≥≥∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(11分)综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(12分)(注：由其他做法做对可酌情给分)20．解：(Ⅰ)证明：方法一：因为E 、F 、G 分别是棱AB 、AP 、PD 的中点，所以EF //BP ，//GF AD ，又EF ⊄平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1分)又因为底面ABCD 为平行四边形，所以//AD BC ，则//GF BC ，又GF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//GF 平面PBC ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2分)因为GF EF F ⋂=，,GF EF ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PBC ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(3分)又PC ⊂平面PBC ，所以//PC 平面EFG ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)方法二：取AC 的中点H ，连接FH ，HE ，取AC 的中点H ，连接FH ，HE ，GH ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1分)因为E 、H 分别是棱AB 、AC 的中点，所以EH //BP =，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2分)同理可知FG //AD =所以EH //FG =所以E 、H 、G 、F 四点共面∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(3分)同理可知//FH PC又PC ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ，所以//PC 平面EFG ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)(Ⅱ)取AC 的中点H ，连接FH ，HE ，则//////EH BC AD FG 且EH FG =，所以EFH EFG S S = ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(5分)因为PD =，2AD AP ==，所以222PD AD AP =+，即PA AD ⊥，同理可得PA AC ⊥、AD AC ⊥，又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，所以AC ⊥平面PAD ，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ，所以EH ⊥平面PAC ，HF ⊂平面PAC ，所以EH HF ⊥，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(7分)因为112EH BC ==，12FH PC ==所以1122EFH EFG S S ==⨯=，11111222AFG S AF FG =⋅=⨯⨯= ，112HA AC ==∙∙∙∙∙∙∙(9分)设A 到平面EFG 的距离为d ，又A EFG E AFG V S --=，所以1133AFG EFG S HA S d ⋅=⋅，则d =，又因为H 为AC 中点，所以A 、C 到平面EFG 的距离相等，所以C 到平面EFG∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(12分)21．解：(Ⅰ)由已知2=c ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(1分)又离心率36==a c e 得26==b a ，所以椭圆方程为12622=+y x ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4分)(Ⅱ)方法一：由题可知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的方程为m kx y +=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(5分)设点),(),(2211y x Q y x P ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12622得，0636)13(222=-+++m kmx x k ，满足0Δ>时，有，1363,1362221221+-=+-=+k m x x k km x x ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(7分)由BM AM =可得,0=+MQ MP k k ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(8分)即，031312211=-++-+x y x y 即，031312211=-+++-++x m kx x m kx 化简得，0)1(32))(31(22121=+-+-++m x x k m x kx 代入韦达定理，可得，0)1(3)2(3332=++++m m k k ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)又点)1,3(-M 不在直线PQ 上，因此013≠++m k ，所以33033-==+k k ，即，故直线PQ 的斜率为定值33-.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(12分)方法二：令，则)0,0(',1'3'M y y x x ⎩⎨⎧-=+=则椭圆'C 方程12)1'(6)3'(22=-++y x 即椭圆'C ：0632322=-++y x y x ，设直线PQ 的方程为，1=+ny mx 则nmk x y k x y k PQ QM PM -===,,2211，联立可得0)(6)(32322=+-+++ny mx y ny mx x y x ，即0)632()63()132(22=-+-++xy m n y n x m 即0)132()632()(63(2=++-+-m x ym n x y n ，0366322211=--=+=+n mn x y x y k k QM PM ，即0632=-m n ，则.33-=-=n m k PQ 方法三：已知)1,3(-M ，设点)0,32()0,(x B x A -，,设直线AM 的方程为)3(1-=+x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧--==+1)3(12622x k y y x 可得，，06)13(3)13(6)13(222=-+++-+k x k k x k 由韦达定理知，13)13(6221++=+k k k x x 即，133633221+-+=k k k x 代入直线可得131323221+--=k k k y ，即点)1313231336332222+--+-+k k k k k k P ，（，用k -替换k 可得)1313231336332222+-++--k k k k k k Q ，（,则.331234-=-=k k k PQ (注：解法二、解法三及其他做法做对可酌情给分)22．解：(Ⅰ)由题意得，半圆1C 的极坐标方程为4cos (02πρθθ= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(3分)圆2C 的极坐标方程为2sin (0)ρθθπ= ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(5分)(注：由其他做法做对可酌情给分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得，|||||4cos2sin |44M N MN ππρρ=-=-=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(7分)显然当P 点到直线MN 的距离最大时，△PMN 面积最大．此时P 点为过2C 且与直线MN 垂直的直线与圆2C 的一个交点，如图，，设2PC 与直线MN 垂直于点H ，在2Rt OHC 中，222||||sin42HC OC π==，∴点P 到直线MN 的最大距离为2212C d HC r =+=+，∴△PMN 面积的最大值为111||(1).2222MN d +⋅=+=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)23．解：(Ⅰ)①当1x - 时，原不等式化为216x x -+--≤，即25x -≥，解得52x -≥512x ∴-- 时，不等式成立；②当12x -<<时，原不等式化为216x x -+++≤，即36≤，恒成立，12x ∴-<<时，不等式恒成立③当2x 时，原不等式化为216x x -++≤，即27x ≤，解得7;2x ≤722x ∴ 时，不等式成立综上，不等式的解集为57|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(5分)(注：由其他做法做对可酌情给分)(Ⅱ)()|2||1||(2)(1)|3(f x x x x x =-++--+= 当且仅当12x - 时“=”成立)3m ∴=即3a b c ++=，由柯西不等式可得：2222222[(1)(2)(3)](111)(123)81a b c a b c ++++++++++++= ，当且仅当123a b c +=+=+，即2a =，1b =，0c =时“=”成立，所以222(1)(2)(3)27a b c +++++ ，即222(1)(2)(3)a b c +++++的最小值是27∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10分)。
2023届江西省抚州市金溪县第一中学高三上学期第一次月考文科数学(含答案)
金溪一中2023届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合A ={x|log 12x ≥0}，集合B ={x|1<x <2}，则A ∪B =( ) A. {x|x <2} B. {x|0<x <2} C. {x|0<x ≤1}D. ⌀2. 已知角α的终边上的一点P(1,2)，则sin(α+π2)+3sinα2cosα+sin(π−α)的值为( )A. 14B. 34C. 54D. 743. 若z =1+2i i，则复数z =( )A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i4. 在ΔABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ=( ) A. 2 B. −2C. 12D. −125. 已知α，β均为锐角，cos(α+β)=−513，sin(β+π3)=35，则cos(α+π6)=( )A. −3365B. −6365C. 3365D. 63656. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y =f (x +π6)取得最小值时x 的集合为( )A. {x |x =kπ−π6,k ∈Z} B. {x |x =kπ−π3,k ∈Z} C. {x |x =2kπ−π6,k ∈Z} D. {x|x =2kπ−π3,k ∈Z}7. 已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数y =f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (x )为奇函数，则( )A. f (x )的图象关于点(π6,0)对称 B. f (x )的图象关于点(−π6,0)对称 C. f (x )在(−π6,π3)上单调递增D. f (x )在(−2π3,−π6)上单调递增8. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若a 2−a 2cos 2B +b 2sin 2A =2abcos Acos B ，则△ABC 的形状是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形9. 如图：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a −b)(sinA +sinB)=(c −b)sinC ，c =4，点D 是BC 边的中点，且AD =√7，则△ABC 的面积为( )A. √3B. 2√3C. 2√7D. 4√710. 已知函数f(x)=(2x +2−x )ln|x|的图象大致为( )A.B.C.D.11. 在△ABC 中，设|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心12. 若α∈[0,π],β∈[−π4,π4],λ∈R,且(α−π2)3−cosα−2λ=0,4β3+12sin2β+λ=0，则cos(α2+β)的值为( )A. 0B. 12C. √22 D. √32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30∘，且|a ⃗ |=1，|2a ⃗ −b ⃗ |=1，则|b ⃗ |=__________． 14. 若a⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−4,7)，则a ⃗ 在b ⃗ 上的投影为________．15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=m.16.若函数f(x)=13x3+x2−23在区间(a,a+5)上存在最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
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2011届高三第一次月考数学（文科）试卷（2010年10月6号）本试卷共20道题。
总分：150分；时量：120分钟。
一、 选择题（共10题，每题5分。
每题有且只有一个正确答案，请选出并按规定填涂在答题卡上。
） 1．化简=+-ii13 A. 1+2i B . 1-2i C. 2+i D. 2-i 2、下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是 A.3y x = B cos y x = C 21y x =D ln y x = 3、如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为A.B . C. 2D.12 4、将函数x x y cos 3sin -=的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a >0），所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ）. A.67π B. 2π C.3π D.6π 5、已知f(x)定义在)0,(-∞上是减函数，且f(1-m)<f(m-3),则m 的取值范围是A ．m<2B ．0<m<1C ．0<m<2D ．1<m<2 6、已知直线a 、b 和平面M ，则a b //的一个必要不充分条件是（ ） A.a Mb M ////， B.a Mb M ⊥⊥，C. a M b M //，⊂D. a b 、与平面M 成等角7、已知⎩⎨⎧<<--≥=)02).....((log )0.......(2)(2x x x x f x ，则=-)]2([f fA ．2 B.2- C.21 D.21-8、在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3,b=1，则c=A ．1 B.2 C.3－1 D.39、函数2()log 21f x x x =+-的零点所在的区间为A. 1(0,)2B. 11(,)42C. 1(,1)2D. (1,2) 10、将直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转︒30，所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相交但不过圆心C.直线与圆相离D. 直线过圆心二、 填空题（共4题，每题5分。
请将最简正确答案填在答卷的横线上）11.过曲线x x y 23+=上一点)3,1(的切线方程是____________12、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线的焦点的距离为5，则点P的横坐标为________________13、如图，一个空间几何体的主视图和左视图 都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那 么这个几何体的侧面积为___________ 14. 已知ααπ2sin ,31)4cos(则=+的值为________三、 解答题（共615.(12分) 已知tan 2α=2，求（I ）tan()4πα+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．16.（14分）已知函数R x x x x f ∈+-=),2cos(cos )(π.（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的最大值及相应的x 的值； （3）求)(x f 的单调增区间。
17.(12分) 如图所示，在长方体1111,ABCD A B C D -中111,2,,AB BC BB AC BD ===连结 (1)求证:1AC BD ⊥ (2)求三棱锥1A BCD -的体积18.（14分）已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为, 求a 的值, 并求过圆心C 且与直线:30l x y -+=垂直的直线的方程.19. （14分）已知32()31f x ax x x =+-+，R a ∈．（Ⅰ）当3-=a 时，求证：()f x 在R 上是减函数；（Ⅱ）如果对R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离A1C1B1DCBA ED1心率e ＝2，左右两个焦分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交M 、N 两点，且|MN|=2．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，是否存在直线l ：y x m =+，使点B 关于直线l 的对称点落在椭圆C 上，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.2011届东莞实验中学第一次月考文科数学答题卷一、选择题（本题共10题，每小题5分，共50分，）（涂在答题卡上）二、填空题：（本题共4题，每小题5分，共20 分） 11、________ ______ 12、____ _、____ __ __ 14、三、解答题（本大题共6个小题，满分80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
） 15、（12分）解：16、 16.（14分）解：17、（12分）解：D1A1C1B118、（14分）解：19、（14分）解：20、（14分）解：高三第一次月考数学（文科）参考答案BDBDD DABCA11. 5x-y-2=012. 4或－4 13. 1214.9715.解：（I ）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==-- =41134713-+=-+；（II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.16.解： )4sin(2sin cos )(π+=+=x x x x f(1) )(x f 的最小正周期为ππ212==T . (2)当)(224,1)4sin(Z k k x x ∈+=+=+ππππ即，42ππ+=k x 时，)(x f 有最大值2.(3)22422πππππ+≤+≤-k x k 令 得)(42432Z k k x k ∈+≤≤-ππππ令。
所以单调增区间为))(42,432(Z k k k ∈+-ππππ。
17.(1)略 (2)1113A BCD BCD V S AA -∆=⋅13=18.解：解: 圆心(,2)C a , 半径为2, 所以当直线l 被圆C截得的弦长为, 圆心到直线的距离为1.1=,1a ∴=- 又0a > ,1a ∴=-因此圆心为(1C -.所求直线的方程为2(1y x -=-+即10x y +-=.19.解：（Ⅰ）当3-=a 时，32()331f x x x x =-+-+∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤ ∴()f x 在R 上是减函数（Ⅱ）∵R x ∈∀不等式()4f x x '≤恒成立即R x ∈∀不等式23614ax x x +-≤恒成立 ∴R x ∈∀不等式23210ax x +-≤恒成立当0=a 时，R x ∈∀ 210x -≤不恒成立当0a <时，R x ∈∀不等式23210ax x +-≤恒成立即4120a ∆=+≤∴13a ≤-当0a >时，R x ∈∀不等式23210ax x +-≤不恒成立综上所述，a 的取值范围是1(]3-∞-，20．解：(Ⅰ)∵2MF x ⊥轴，∴2||1MF =,由椭圆的定义得：1||12MF a +=，∵221||(2)1MF c =+，∴22(21)41a c -=+，又e得2212c a = ∴2240,2a a a -==，∴2222b a c =-=，∴所求椭圆C 的方程为12422=+y x ． (Ⅱ)设满足条件的直线l 存在，由（Ⅰ）知点B 为（0,B 关于直线l 的对称点为00'(,)B x y，则由轴对称的性质可得：00001,22y y x m x =-=+，解得：00,x m y m ==∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴22()142m m +=，整理得2320m +-=解得3m =或m = ∴直线l的方程为3y x =+或y x =经检验3y x =+和y x =∴满足条件的直线l存在，其方程为3y x =+或y x =。