2020届雅礼中学高三第3次月考试卷(文科数学)

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2020年湖南省雅礼中学高三第3次月考文科数学(含答案)

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炎德英才大联考2020届雅礼中学高三文数(答案)

三解答题
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2020届雅礼中学高三第3次月考试卷(理科数学)含答案

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2020年湖南省雅礼中学高三1-6次月考理科数学、文科数学(含答案)

预计去年消费金额在!$$!'$$(内的消费者今年都将会申请办理普通会员$消费金额在 !!'$$$1#$$(内的消费者都将会申请办理银卡会员$消费金额在!1#$$$2"$$(内的消费者都将会申请办理金卡会员! 消费者在申请办理会员时$需一次性缴清相应等级的消费金额! 该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动$现有如下两种预设方案# 方案!#按分层抽样从普通会员$银卡会员$金卡会员中总共抽取 #& 位-幸运之星.给予奖励#普通会员中的-幸运之星.每人奖励&$$元1 银卡会员中的-幸运之星.每人奖励'$$元1金卡会员中的 -幸运之星.每人奖励"$$元! 方案##每位会员均可参加摸奖游戏$游戏规则如下#从一个装有1个白球%#个红球!球只有颜色不同"的箱子中$有放回地摸三次球$每次只能摸一个球!若摸到红球的总数为#$则可获得#$$元奖励金1若摸到红球的总数为1$则可获得1$$元奖励金1其他情况不给予奖励!规定每位普通会员均可参加!次摸奖游戏1每位银卡会员均可参加#次摸奖游戏1每位金卡会员均可参加1次摸奖游戏!每次摸奖的结果相互独立"! 以方案#的奖励金的数学期望为依据$请你预测哪一种方案投资较少0 并说明理由!
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2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

2023届炎德英才大联考雅礼中学高三月考试卷(三)参考答案

炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ，由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =，由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=，由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=，即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+，解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--，由()52f x x b =-+，得()23ln 102x x x b +-+-=，令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-，则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++，当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-，由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期月考（六）文科数学试卷含解析

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期月考(六)文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A,B,C,D 在同一个球的球面上，AB = BC = y/2, AC = 2>若四面体A3C 刀外接球的球心。

恰好在侧棱ZM 上，DC = 2也,则四面体A3CD 的体积为()也也 2右A. 3 b . 2 C. 3D.右2. 已知抛物线C ： y2=2px(’>0)的焦点为F ,准线为I, I 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,3过点A 作AA'Ll,垂足为A ，.若四边形AA'PF 的面积为14,且cosZFAA'^-,则抛物线C 的方程为( )a . y = 8xb . y = 4工c . y = 2工d ,= x3. 设函数，则 /(x) = sin|2x + ^ j + cos|2x + ^ L 则()A. y = /(x)在0号单调递增，其图象关于直线x = S 对称B. y = /(x)在0号单调递增，其图象关于直线% = |对称C. y = /(x)在［°』单调递减，其图象关于直线x = S 对称「0,司 x = -D. ，= '(》)在］''J 单调递减，其图象关于直线“一对称4.若关于x 的不等式4' -tog fl x<|在上恒成立，则实数a 的取值范围是()「1 "(1"「3 、(3]-,10,--,10,-A.l_4 JB.1 4_C.l_4 JD.1 4」5.如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A.2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B.2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%,在3月最高C.从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D.从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学(理科)试题(含解析)

雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）得分： ____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（）A.B.C. 2D.2. 下列命题中，真命题是（） A. 0x R ∃∈，00xe ≤B. 0a b +=的充要条件是0a b ==C. x R ∀∈0>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1 3. 已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<4. 中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212a c c a <；④1212c ca a >. 其中正确的式子的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5. 函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A. B.C. D.6. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A. 168B. 98C. 108D. 987. 在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A. -2B. -1C. 23-D. 83-8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin 2C A =，则（）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定9. 在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（） A.516B.1132C.2132D.111610. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法； ④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=. A. 1B. 2C. 3D. 411. 关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③12. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.14. 已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.15. 已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 16. 在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n a a S S n N =+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L . 18. 如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，P ，D 为球面上的两点且60DAB PAB ∠=∠=︒，6PD =.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面DAB ；（Ⅱ）求二面角B AP D --的余弦值. 19. 已知函数()sin 1f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（Ⅱ）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.20. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量.（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21. 已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23. 选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥；（Ⅱ）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1-5：ADCDA6-10：DBCAB11-12：CC11. C 【解析】易知①正确，③错误，因此选C.12. C 【解析】由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=，整理得22220b ab a --=.解得1ba=，所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 33 14. 4 15.51216.15. 512 【解析】记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为1220151126S x dx =+⨯⨯=⎰，因此21512S p S ==.16.【解析】法1：设BC x =，DA y =，则111212V =≤12=.令xy t =，()f t =由()0'f t ==得163t =.故max 1639f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以max V =.（此时x y ==法2：设BC x =，DA y =，则112V ==≤=（等号成立当且仅当3x y ==）. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=. 因此{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列.故()*2n n a n N =∈.（Ⅱ）令12231232222n n n nT b b b =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，① 则234111*********n n n n nT +-=+++⋅⋅⋅++，② ①－②得23111111222222n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-，所以2311111122222n n n n T -=++++⋅⋅⋅+-()12222nn ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭.18.【解析】（Ⅰ）在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连接HD .则由Rt APB Rt ADB ∆≅∆，可知DH AB ⊥，且PH DH ==1AH =.又222336PH HD PD +=+==，所以PH HD ⊥，又AB HD H =I ，所以PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABD .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知HB 、HD 、HP 两两垂直，故以H 为原点，HB 、HD 、HP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴所示的空间直角坐标系，则()0,0,0H ，()1,0,0A -，()3,0,0B ，()D ，(P ，()AD =u u u r ，(AP =u u u r.设平面APD 的法向量为(),,m x y z =u r ，则由0m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，得()3,1,1m =-u r ；又平面APB 的法向量为()0,1,0n =r .所以5cos ,551m n m n m n⋅===⨯⋅u r ru r r u r r . 又二面角B AP D --与m u r 、n r的夹角相等，因此，二面角B AP D --的余弦值为55.19.【解析】（Ⅰ）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（Ⅱ）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<， 1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x . ②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增，当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.【解析】（Ⅰ）设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有()2 1.51.512*200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩，目标函数为10001200z x y =+.当12W =时，应用线性规划知识由()*可求得最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.同理，当15W =时，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=；当18W =时，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=. 故最大获利Z 的分布列为()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率()1100000.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有一天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.21.【解析】（Ⅰ）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=.故1C 的方程为22134x y +=，易知2C 的方程为24x y =. （Ⅱ）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k=-+，代入22134x y +=得 ()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t -=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增，因此 139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ，当且仅当3t =即0k =等号成立.故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.22.【解析】（Ⅰ）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（Ⅱ）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==12≤+.等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即22P ⎛- ⎝⎭.因此点P 到直线l 的距离的最大值为12+. 23.【解析】（Ⅰ）由柯西不等式有()2111a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=，所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（Ⅱ）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于 2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)文科数学试题

雅礼中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科）命题人：审题人：得分:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选才i 题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x|x （x —2）<0}, B = {x|—1<x<1},则 AcB=（）A.1x | -1 ： x ： 2?B. {x | x -1 或x . 2}C. {x|0<x<1}D. {x|x<0或XA 1}2.已知复数亘3是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（）2 -iA. -2B . 2C , -D . -12223 . "2 <m <6"是“方程」一+-y —为椭圆”的（）m -2 6 -mA.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件，E-八■，-14 .如果f （x ）=ax -（2—a ）x +1在区间（-℃|,一上为减函数，则a 的取值（）A. (0,1] B .此1) C. [0,1 D . (0,1)JI< 一）图象相邻两条对称轴之间的距离为2n的图象向左平移一个单位后，得到的图象关于3y 轴对称，那么函数y = f （x ）的图象（）JiC.关于直线X = 一对称A.关于点5.已知函数f (x ) = sin (8x +中X 。

＞0,中 IT—,将函数y = f (x )12 D.关于直线X=— -对称126.bcosC 1 cos2C在|_ABC中，右-------- = -----------ccosB 1 cos2B则［ABC的形状是（）A . 等腰三角形 B.直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7 . 若抛物线 2y =2px（p>0 ）的焦点是椭圆2 22-+上=1的一个焦点，则p3p pA.C. 4 D8.如图所示, 在斜三棱柱ABC—AB1G 中，ZBAC =90°, BC1 .L AC , 则点C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上直线AC上B D.直线BC上C. |_ABC内部9.函数y = Jn x-x-1 的图象大致是（）A .B. 0C. D.10.已知两点A(—1,0 ),2 2 2B(1,0 )以及圆C:(x—3) +(y —4)=r2(r >0 ),若圆C上存在点P ,满足,则r的取值范围是（A, 3,6〕 B .3,5】C. U,5] D . 14,6】11.已知x2 2+ y = 4 ,在这两个实数x,y之间插人三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. 1 加B .廓C. 3J10 D . 2M2 212.已知三棱锥A — BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD _L平面ABC ,上BAC = 90，, AD = 2 ,若球。

2020届湖南省雅礼中学高三第三次诊断考试数学(理)

2020届湖南省雅礼中学高三第三次诊断考试数学(理科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足(1－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数z的模等于A.5C. D.2.已知全集为R，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，12xB xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()UA Bð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a，b)上有最小值”是“存在x0∈(a，b)，满足f’(x0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学试题(理)(解析版)

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（）A.B.C. 2D.『答案』A『解析』由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i iz i i i i ----====-++-，11z i +=-故选：A2. 下列命题中，真命题是（） A. 00,0x x R e∃∈≤B. 0a b +=的充要条件是0a bC. 若0x R ∀∈>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1『答案』D 『解析』00,x e >∴A 假；0,,a b a b +=∴=-∴C 假；无意义，C 假，故选D.3.已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<『答案』C『解析』由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=， 2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C4.中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c ca a >.其中正确的式子的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④『答案』D『解析』由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-，所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D 5.函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A. B.C. D.『答案』A『解析』()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A6.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A. 168B. 98C. 108D. 88『答案』D『解析』由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88．故选D ．7.在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =，3CA CE =，则AD BE ⋅=（） A -2B. -1C. 23-D. 83-『答案』B『解析』边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=设2BC BD =，3CA CE =，()12AD AB AC =+ 23BE AE AB AC AB =-=-，所以AD BE ⋅=()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（） A. a b = B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定『答案』C『解析』由题：在ABC ∆中，120C =︒，A 为锐角，sin C A =，所以2A =，sin 4442A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<，所以,sin sin A B A B >>，根据正弦定理a b >. 故选：C9.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（） A.516B.1132C.2132D.1116『答案』A『解析』用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1，可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=.故选：A10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A. 1B. 2C. 3D. 4『答案』B『解析』根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B11.关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③『答案』C『解析』()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0f f π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==，则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C12.已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=『答案』C『解析』由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=，整理得22220b ab a --=.解得1ba=+所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+. 故选：C第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.『答案』33『解析』由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值，当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故『答案』为：3314.已知()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.『答案』4『解析』由题：()()2*0121,2nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈≥，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去），所以4n =. 故『答案』为：415.已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______.『答案』512『解析』记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰，因此21512S p S ==.故『答案』为：51216.在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.『解析』根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体，其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体，以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，AE DE ==根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ，所以锥体体积()231141664241132A BCD x x x x x V -⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()211316442424f x x '=-+=，0,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递增，4x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，0f x ，函数单调递减，所以()3max11624f x f ⎛ ==-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故『答案』为：27三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<．解：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b =+++=++++，则234111*********n n n n n T +-=+++++，两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭考点：1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18.如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面DAB ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明：在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连HD ．由Rt APB Rt ADB ∆≅∆可知DH AB ⊥，且1PH DH AH ===，又 222336PH HD PD +=+==，∴PH HD ⊥．又AB HD H ⋂=， ∴PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABD ．（2）解：由（1）可知,,HB HD HP 两两垂直，故以H 为原点，,,HB HD HP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()(1,0,0,3,0,0,,A B D P -．设平面APD 的法向量为(),,m x y z = ，则·0·0m AD m AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()(,,0,,0x y z x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令x =1y z ==，∴()m =，又平面APB 的法向量()0,1,0n =，∴·cos ,55?1m n m n m n 〈〉===，而二面角B AP D--与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为5．19.已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明. 解：（1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增，当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022ff ππα⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随的机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利y 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=21.已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅的最小值.解：（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，的()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+AF FB FD CF =+()()123411114422y y y y =+++-⋅- ()()()()1234122444kx kx y y =+++-- ()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故f t 在[)3,+∞单调递增，因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=，当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅的最小值为7.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤+. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l的距离的最大值为12+. 23.（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥；（2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.解：（1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=，所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷(三)数学

炎德英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在x ∈Z ，220x x m ++”的否定是()A.存在x ∈Z ，220x x m ++> B.不存在x ∈Z ，220x x m ++>C.任意x ∈Z ，220x x m ++ D.任意x ∈Z ，220x x m ++>2.若集合{}2341,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B ⋂等于()A.{}1- B.{}1 C.{}1,1- D.∅3.已知奇函数()()22cos x x f x m x -=+⋅，则m =()A.-1B.0C.1D.124.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是()A.m l ⊥，m β⊂，l α⊥B.m l ⊥，l αβ⋂=，m α⊂C.m l ，m α⊥，l β⊥ D.l α⊥，m l ，m β5.已知函数()()4cos (0)f x x ωϕω=+>图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭()A.0B.2ϕC.4D.2ϕ6.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线2:30l nx my m n +--=（m ，n ∈R ，220m n +≠）相交于点P ，则PM 的取值范围为()A.1,1⎤-⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤-⎦D.1⎤-+⎦7.P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，120PF PF ⋅= ，点Q 在12F PF ∠的角平分线上，O 为原点，1OQ PF ，且OQ b =.则C 的离心率为()A.12B.33C.63D.328.设集合(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是()A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数()f x 满足()()22f x f x ππ+=-，()()0f x f x ππ++-=，并且当()0,x π∈时，()cos f x x =，则下列关于函数()f x 说法正确的是()A.302f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B.最小正周期2T π=C.()f x 的图象关于直线x π=对称D.()f x 的图象关于(),0π-对称11.若双曲线22:145x y C -=，1F ，2F 分别为左、右焦点，设点P 是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为12PF F △的内心，()0,4A ，则下列说法不正确的是()A.双曲线C 的渐近线方程为045x y±=B.点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C.若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=D.不存在点P ，使得1PA PF +取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为________.13.ABC△各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足1b ca c a b+++，则角A 的取值范围为________.14.对任意的*n ∈N ，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则a 的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21332S a a =+，416a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11b =，1222log log n nn n b a b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -，BC AD ，1AB BC ==，3AD =，点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2DE PE ==.（1）若F 为线段PE 的中点，求证：BF平面PCD ；（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()21ln 2f x x x ax =+-有两个极值点为1x ，()212x x x <，a ∈R .（1）当52a =时，求()()21f x f x -的值；（2）若x 2≥ex 1（e 为自然对数的底数），求()()21f x f x -的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，H 为E 上任意一点，且HF 的最小值为1.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知P 为平面上一动点，且过P 能向E 作两条切线，切点为M ，N ，记直线PM ，PN ，PF 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足123112k k k +=.①求点P 的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为()0,(0)Q λλ>，半径为1的圆，使得过P 可以作圆Q 的两条切线1l ，2l ，切线1l ，2l 分别交抛物线E 于不同的两点()11,A s t ，()22,B s t 和点()33,C s t ，()44,D s t ，且1234s s s s 为定值？若存在，求圆Q 的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量1a ，2a ，3a ，…，n a （N n ∈且3n ），令123n n S a a a a =++++，如果存在{}()1,2,3,,p a p n ∈，使得pn p a S a - ，那么称p a是该向量组的“长向量”.（1）设(),2n a n x n =+，n ∈N 且0n >，若3a是向量组1a，2a，3a的“长向量”，求实数x 的取值范围；（2）若sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，n ∈N 且0n >，向量组1a ，2a ，3a ，…，7a 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“长向量”，其中()1sin ,cos a x x = ，()22cos ,2sin a x x =.设在平面直角坐标系中有一点列1P ，2P ，3P ，…，n P ，满足1P 为坐标原点，2P 为3a的位置向量的终点，且21k P +与2k P 关于点1P 对称，22k P +与21k P +（k ∈N 且0k >）关于点2P 对称，求10151016P P的最小值.。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学(文)试题 Word版含解析

雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（文科）一、选择题 1.复数z 满足()14i z i +=-，则z =（）A. 22i +B. 12i +C. 22i -D. 12i -【答案】C 【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】因为由()14i z i +=-，得()()()41422111i z i i i i -===-++-．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，是基础题． 2.若集合{}1,A x x x R =>∈，{}22,B y y x x R ==∈，则()RA B =（）A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅【答案】C 【解析】【分析】首先求出集合A 、B ，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】解：集合{}1,A x x x R =>∈{1x x =<-，或}1x >，{}|11RA x x =-≤≤，{}{}2|2,|0B y y x x R y y ==∈=≥，则(){}|01RA B x x =≤≤故选：C .【点睛】本题考查集合的混合运算，考查运算能力，属于基础题.3.已知f （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，且在（0，+∞）上递增，则（） A. f （20.7）＜f （﹣log 25）＜f （﹣3） B. f （﹣3）＜f （20.7）＜f （﹣log 25） C. f （﹣3）＜f （﹣log 25）＜f （20.7） D. f （20.7）＜f （﹣3）＜f （﹣log 25）【答案】A 【解析】【分析】利用()()33f f =-，()()22log 5log 5f f -=把大小判断转化为()0,∞+上的大小判断，再利用0.7221log 53<<<及函数单调性可判断它们的大小．【详解】因为()f x 是偶函数，故()()33f f =-，()()22log 5log 5f f -=，又0.7221log 53<<<，因()f x 在()0,∞+是单调增函数，故()()()0.722log 53f f f <<，即()()()0.722log 53f f f <-<-，故选A ．【点睛】一般地，如果()f x 是R 上偶函数，那么()f x 在()0,∞+与(),0-∞上单调性相反；如果()f x 是R 上奇函数，那么()f x 在()0,∞+与(),0-∞上单调性一致．4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确是（）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D 【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．5.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（）A.6B.13C.12【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|m ，故离心率e＝12122223F F c a PF PF m m ===++选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A 【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值为正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A ．【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．7.要得到函数()2sin cos ,f x x x x R =∈，只需将函数2()2cos 1,g x x x R =-∈的图像A. 向左平移2π个单位 B. 向右平移2π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移4π个单位【答案】D 【解析】分析：先利用二倍角公式进行化简，再利用诱导公式和图象变换进行求解．详解：易知2()2cos 1cos 2g x x x =-=，ππ()2sin cos sin 2cos(2)[2()]24f x x x x x cos x ===-=-，则要得到()f x 的图象，只需将()g x 的图象向右平移π4个单位．点睛：本题考查二倍角公式、诱导公式和三角函数的图象变换等知识，本题的易错点在于确定平移的单位长度，如由sin 2y x =变换为πsin 2()2y x =+时，要注意将πsin 2()2y x =+变形πsin[2()]4y x =+，即平移的单位仅相对于自变量""x 而言． 8.已知直线1l ：260ax y ++=和直线2l ：()2110x a y a +-+-=.若12l l //，则a 等于（） A. 2 B. 2或-1 C. -1 D. -2或1【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程解得；【详解】解：由12210A B A B -=，得()1120a a --⨯=，由12210AC A C -≠，得()21160a a --⨯≠，∴()()()21222112020//116016a a a a l l a a a a ⎧⎧--⨯=--=⎪⎪⇔⇔⎨⎨--⨯≠-≠⎪⎪⎩⎩，可得1a =-，故当1a =-时，12//l l .故选C .【点睛】对于直线1:l 1110A x B y C ++=，2:l 2220A x B y C ++=，若12//l l 则1221122100A B A B ACA C -=⎧⎨-≠⎩，若12l l ⊥则12120A A B B +=，属于基础题.9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B 【解析】【分析】列出循环过程中S 与n 的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=33，不满足条件S ≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S ≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24．故选B ．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 10.若直线y=x+b 与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（） A. [12,12]-+B. [12,3]-C. [122,3]-D.[1,12]-+【答案】C 【解析】【详解】如图所示：曲线234y x x =-22(2)(3)4(13,04)x y y x -+-=≤≤≤≤，表示以(2,3)A 为圆心，以2为半径的一个下半圆，由圆心到直线y x b =+的距离等于半径2，2322b--=，解得122b =+122b =-，结合图象可知1223b -≤≤，故选C.11.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b >，a c >.ABC ∆的外接圆半径为1，a =BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=︒，则ABC ∆的面积为（） A.32【答案】C 【解析】【分析】由已知及正弦定理可求sin 2A =，进而可求A ，CAD ∠，BD ，CD，由正弦定理可得21cb c =∠=∠==，可求1sin 2B =，1c =，即可利用三角形面积公式计算得解．【详解】∵ABC ∆的外接圆半径R 为1，a =∴由正弦定理2sin aR A=，可得：sin A =. ∵边BC 上一点D 满足2BD DC =，且90BAD ∠=︒，∴120A =︒，30CAD ∠=︒，23BD a ==，13CD a ==.∴如图，由正弦定理可得：sin 22b=∠可得：212c b c=∠=∠==， ∴BAC ∆是等腰三角形，底角是30，∴1sin 2B =，可得：1c =， ∴1311sin12024ABC S ∆=⨯⨯⨯︒=. 故选：C .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．12.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若16PF OP =，则C 的渐近线方程为（）A. 22y x =±B. 2y x =C. 3y x =D. 3y x = 【答案】B 【解析】【分析】先根据点到直线的距离求出2||PF b =，再求出||OP a =，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||cos PF PF F F PF F F PF O =+-∠3a c =，问题得以解决．【详解】解：双曲线2222:1(0x y C a a b -=>．0)b >的一条渐近线方程为b y x a =，∴点2F 到渐近线的距离22d b a b==+，即2||PF b =，||OP a ∴=，2cos bPF O c∠=，1|||PF OP =，1||PF ∴=，在三角形12F PF 中，由余弦定理可得22212122122||||||2||||PF PF F F PF F F COS PF O =+-∠， 2222222264224343()ba b c b c c b c c a c∴=+-⨯⨯⨯=-=--，即223a c =，222a b ∴=，y ∴=故选：B ．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．二、填空题13.函数()2ln f x x x =的最小值为______.【答案】12e- 【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的极值. 【详解】解：()2ln f x x x =定义域为()0,x ∈+∞，()()2ln 2ln 1f x x x x x x '∴=+=+，令2ln 10x +=，解得12x e -=.则当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()f x 为减函数，当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，即()f x 为增函数，所以12x e-=处的函数值为最小值，且1212f e e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：12e-【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在北偏西15︒的方向上，仰角为75︒，则此山的高度CD =______m .（结果用含根号的式子表示）【答案】60023006 【解析】【分析】在ABC ∆中利用正弦定理求出BC ，再在Rt BCD ∆中求出CD ．【详解】解：在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，45ACB CBE BAC ∠=∠-∠=︒，点E 在AB 的延长线上，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB=∠∠，即600sin 30sin 45BC =︒︒，∴3002BC =在Rt BCD ∆中，75CBD ∠=︒，tan 300275CD BC CBD =∠=︒60023006=故答案为：60023006【点睛】本题考查了正弦定理，考查了转化思想，属于基础题15.已知双曲线()22210x y a a-=>52y ax =的准线方程为______.【答案】12y 【解析】【分析】首先根据双曲线的离心率求出a 的值，再根据抛物线的性质解答.【详解】解：∵双曲线的离心率ce a==c ==12a =，∴212y x =22x y ∴=所以准线为12y . 故答案为：12y【点睛】本题考查抛物线，双曲线的简单几何性质，属于基础题. 16.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30,BAC AC ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．【答案】818【解析】分析：先求出球的半径，再求出三棱锥P ABC -的体积的表达式，最后求函数的最大值. 详解：设球的半径为R,所以29814,.2R R ππ=∴=设AB=x,则AC =，由余弦定理得22223,.BC x x x x BC x =+-⨯=∴= 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,则02,.sin 30xr x r =∴=所以PA=所以三棱锥P ABC -的体积2221118138132322464V x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅-=- =2223813813814()4(4=6422638x x x =-⋅⋅⋅≤⨯）. 当且仅当x=362时取等. 故答案为818点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：3()3a b c abc ++≤，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值. 三、解答题17.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）.规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）.（1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男 16 女 50 合计（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试80分以上的所有人员中，按分层抽样的方式抽取5个人的样本；现从5人样本中随机选取2人，求选取的2人恰好都来自区间[)80,90的概率. 【答案】（1）0.005；（2）联表见解析，能；（3）35【解析】【分析】（1）由频率和为1，列方程求出a 的值；（2）根据题意填写，计算观测值2K ，对照临界值得出结论．（3）根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：（1）根据频率和为1，列方程得：()20.0200.0300.040101a +++⨯=，解得0.005a =；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=；填写列联表如下：计算观测值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()21001641934 2.613 2.07250502575⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，对照临界值得，能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由分层抽样知：从[)80,90中选4人，从[]90,100中选1人； 5人中取2人共有10种取法，4人中取2人共有6种取法，所以()63105P A ==. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验及古典概型的概率问题，属于基础题. 18.在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足32a =，132435225a a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当1212n S S S n++⋯+取最大值时，求n 的值．【答案】（1）42n n a -=；（2）6或7.【解析】【分析】（1）由题意有12q =，18a =，再由等比数列通项公式可得解；（2）由题意可得{}n b ，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由等差数列前n 项和公式运算即可得解. 【详解】解：（1）132435225a a a a a a ++=，可得2222244242()25a a a a a a ++=+=，由32a =，即212a q =，①，可得10a >，由01q <<，可得0n a >，可得245a a +=，即3115a q a q +=，② 由①②解得1(22q =舍去），18a =，则1418()22n nn a --==；（2）2log n n b a ==42log 2n-=4n -，即{}n b 为以3为首项，-1为公差的等差数列，可得217(34)22n n n S n n -=+-=，72n S n n -=，则125731222n S S S nn -++⋯+=++⋯+ 221713113169(3)()2244216n n n n n --=+==--+，可得6n =或7时，1212n S S S n ++⋯+取最大值212．故n 的值为6或7．【点睛】本题考查了等比数列的通项及等差数列前n 项和公式，属中档题.19.如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，平面PAC 垂直圆O 所在平面，直线PC 与圆O 所在平面所成角为60︒，PA PC ⊥.（1）证明：AP ⊥平面PBC ；（2）求点C 到平面ABP 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）3217【解析】【分析】（1）证明BC ⊥平面PAC 得出BC PA ⊥，再结合PA PC ⊥即可得出AP ⊥平面PBC ；（2）利用等体积法计算即可；【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，C 为圆周上一点， ∴BC AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，∴BC ⊥平面PAC ，又AP ⊂平面PAC ， ∴BC AP ⊥，又PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AP ⊥平面PBC .（2）6AB =， 3BC =，AC ∴==由（1）AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC .AP PB ∴⊥，222AB PB AP ∴=+，222AC PC AP =+，222PB PC BC =+解得PC =，92AP =，PB =由C ABP B APC V V --=，119222APC S AP PC ∆∴=⋅=⨯=119222ABP S AP PB ∆∴=⋅=⨯=设点C 到平面ABP 的距离为C ABP d - 则1133C ABP ABP APC d S BC S -∆∆⋅⋅=⋅⋅即11333C ABP d -⋅=⨯得C ABP d -=【点睛】本题考查了线面垂直的判定，锥体的体积计算问题，属于中档题．20.如图，已知椭圆221:14x C y +=的左、右顶点为1A ，2A ，上、下顶点为1B ，2B ，记四边形1122A B A B 的内切圆为2C . （1）求圆2C 的标准方程；（2）已知圆2C 的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆1C 于P ，M 两点. （i ）求证：OP OM ⊥；（ii ）试探究2211OP OM +是否为定值.【答案】（1）2245x y +=；（2）（i ）详见解析；（ii ）是定值54.【解析】【分析】（1）由已知可得：直线21A B 的方程为：22x y +=，利用四边形1122A B A B 的内切圆为2C 可求得内切圆的半径5r =，问题得解．（2）（i ）设切线()()1122:(0),,,,l y kx b k P x y M x y =+≠，联立直线方程与椭圆方程可得：1222122214114kbx x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩，即可求得221221414k b y y k -+=+，所以12120OP OM x x y y ⋅=+=，问题得证．（ii ）①当直线OP 的斜率不存在时，221154OP OM +=，②当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为：1y k x =，联立直线方程与椭圆方程可得：221414x k =+，即可求得：()212214114k OP k +=+，同理可得：()221122211141414114k k OM k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，问题得解．【详解】（1）因为2A ，1B 分别为椭圆221:14x C y +=的右顶点和上顶点，则2A ，1B 坐标分别为(2,0),(0,1)，可得直线21A B 的方程为：22x y += 则原点O 到直线21A B的距离为d ==，则圆2C的半径r d ==，故圆2C 的标准方程为2245x y +=. （2）（i ）可设切线()()1122:(0),,,,l y kx b k P x y M x y =+≠，将直线PM 的方程代入椭圆1C 可得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-=⎪⎝⎭，由韦达定理得： 1222122214114kbx x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩则()()()22221212121221414k b y y kx b kx b k x x kb x x b k -+=++=+++=+，又l 与圆2C 相切，可知原点O 到l的距离d ==22514k b =-，则2122114b y y k -=+，所以12120OP OM x x y y ⋅=+=，故OP OM ⊥.（ii ）由OP OM ⊥知1||||2OPM S OP OM =△， ①当直线OP 的斜率不存在时，显然||1,||2OP OM ==，此时221154OP OM +=； ②当直线OP 的斜率存在时，设直线OP 的方程为：1y k x =代入椭圆方程可得222114x k x +=，则221414x k =+，故()()212222212141114k OP x y kxk+=+=+=+，同理()221122211141414114k k OM k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则()()221122221114411544141k k OP OM k k +++=+=++. 综上可知：221154OP OM +=为定值. 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系，还考查了点到直线距离公式，考查了韦达定理及向量垂直的数量积关系，考查分类思想及计算能力，属于难题． 21.已知函数()sin axf x e x =.（1）若()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设1a ≥，若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx ≤成立，求2b e a -的最小值. 【答案】（1）[)1,-+∞；（2）22e π-【解析】【分析】（1）由()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，可得()'0f x ≥在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恒成立，利用分离参数法求出a 的范围即可；（2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据条件求出b 的范围后，根据2222b e a e a e a ππ-≥-，可得2b e a -的最小值.【详解】解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，由()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，可得()'0f x ≥在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恒成立，即sin cos 0a x x +≥在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恒成立，当0x =时，a R ∈；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则1tan a x≥-，∴1a ≥-， ∴a 的取值范围为[)1,-+∞. （2）设()()sin ax bx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()'sin cos ax g x ea x xb =+-. 设()()sin cos ax h x e a x x b =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a eb ππ≤， ∴22a b e ππ≥，从而222a ae b ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此2222a b e a e e a ππ-≥-. 设()222a G a e e a ππ=-，则()22'a e a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>， ∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， ∴2b e a -的最小值为22e π-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O ，且AB =α的值.【答案】（1）1C ：()2224x y -+=，2C ：()2224x y +-=；（2）7π12α=或1112π 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用极径和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．【详解】解：（1）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.转换为直角坐标方程为：()2224x y +-=. （2）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=.所以：4sin ρθθα=⎧⎨=⎩，4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，整理得：124AB πρρα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 解得：7π12α=或1112π. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，属于基础题．23.已知函数f(x)＝|x|＋|x ＋a|.(1)若存在x 使得不等式f(x)≤3a－1成立，求实数a 的取值范围；(2)若不等式f(x)≤3a－1的解集为[b,b+3]，求实数a ，b 的值．【答案】（1）12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；（2）413,36a b ==-．【解析】【分析】 ⑴运用绝对值的性质进行化简求出结果⑵分类讨论化简()f x ，结合图像求出结果【详解】(1)对()()x R f x x x a x x a a ∈=++≥-+=，，当且仅当()0x x a +≤时取等号，故原条件等价于31a a ≤-，即3131a a a -+≤≤-，解得12a ≥，故实数a 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. (2)由(1)知实数a 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故0a -<，故()2020x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，，的图象如图所示，由图可知()2312331b a a b a a --=-⎧⎨++=-⎩,解得4313.6a b ，⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，运用绝对值的和的性质进行求解，以及分类讨论去绝对值，本题属于中档题．。

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)数学(理)试题 Word版含解析

雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数的除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z .【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--，故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合{}{}/10,/A x x B x x a =-<<=≤,若A B ⊆,则a 的取值范围为( ) A. (,0]-∞ B. [0,)+∞C. (),0-∞D. ()0,∞+【答案】B 【解析】【分析】画出集合,A B 的数轴表示,利用数轴解题.【详解】画出集合A,B 的数轴表示,因为A B ⊆,所以0a ≥,故选B. 考点：集合包含关系判断及其应用3.在ABC △中,(BC uuu r +BA u u u r )·AC u u u r =|AC u u u r|2,则ABC △的形状一定是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】由(BC uuu r +BA u u u r)·AC u u u r =|AC u u u r |2,得AC u u u r ·(BC uuu r +BA AC -u u u r u u u r )=0,即AC u u u r ·(BC uuu r +BA u u u r +CA u u u r )=0,∴2AC u u u r ·BA u u u r =0,∴AC u u u r ⊥BA u u u r,∴A =90°.即ABC V 的形状一定是直角三角形. 本题选择C 选项.4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似的不难得到11111+=++⋅⋅⋅（）51-- 51- 51+ 51-+ 【答案】C 【解析】分析：通过类比推理的方法，得到求值的方法：列方程，求解（舍去负根）即可.详解：由已知代数式求值方法，列方程，求解，舍负根. 可得 11(0)x x x+=> 解得x x ==（舍）故选C.点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理.通过类比推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度.5.()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A. 35- B. 5-C. 5D. 35【答案】A 【解析】【分析】将二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示为()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得出其通项，令x 的指数为零，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出展开式中的常数项.【详解】()666221111x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，展开式通项为()()626628266661111krk r k k r r k k rr C x x C x C x C x x x ----⎛⎫⎛⎫⋅⋅--⋅⋅-=⋅-⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令620820k r -=⎧⎨-=⎩，得34k r =⎧⎨=⎩，因此，二项式()6211x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为346635C C --=-，故选：A.【点睛】本题考查二项式展开式中指定项系数的计算，解题的关键就是写出二项展开式的通项，根据指数求出参数的值，进而求解，考查计算能力，属于中等题.6.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（） A. ②③ B. ①②C. ①②③D. ②【答案】D 【解析】【分析】通过举反例可判断出命题①的正误；利用平面与平面平行的性质定理以及直线与平面平行的性质定理可判断出命题②的正误；通过实例判断出命题③的正误.【详解】对于命题①，如果这两点在该平面的异侧，则直线与该平面相交，命题①错误；对于命题②，如下图所示，平面//α平面β，A α∈，C α∈，B β∈，D β∈，且E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过点C 作//CG AB 交平面β于点G ，连接BG 、DG .设H 是CG 的中点，则//EH BG ，BG ⊂Q 平面β，EH ⊄平面β，//EH ∴平面β. 同理可得//HF 平面β，EH HF H =Q I ，∴平面//EFH 平面β. 又Q 平面//α平面β，∴平面//EFH 平面α，EF ⊂Q 平面EFH ，//EF ∴平面α，//EF 平面β，命题②正确；对于命题③，如下图所示，设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，E 为AB 上一点，过点E 作//a a '，//b b '，当点E 不与点A 或点B 重合时，a '、b '确定的平面α即为与a 、b 都平行的平面；若点E 与点A 或点B 重合时，则a α⊂或b α⊂，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查线线、线面、面面平行关系的判定与性质，解题时要注意这三种平行关系的相互转化，考查推理能力与空间想象能力，属于中等题.7.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A. s≤34?B. s≤56?C. s≤11 12?D. s≤25 24?【答案】C 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s=++=（此时6k=），因此可填1112s≤，故选C.考点：程序框图及循环结构.8.若01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是（）A. (-∞B. (⎤⎦C. 92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. {}3【答案】A 【解析】【分析】由题意得知，全称命题“1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥”是真命题，利用参变量分离法得出12x x λ≤+，然后利用基本不等式求出12x x+的最小值，可得出实数λ的取值范围.【详解】因为01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得200210x x λ-+<成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥恒成立是真命题，即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，12x xλ≤+恒成立是真命题，当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，由基本不等式得12x x +≥=1,222x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，等号成立，λ∴≤λ的取值范围是(-∞，故选：A.【点睛】本题考查利用特称命题的真假求参数的取值范围，在求参数的取值范围时，可灵活利用参变量分离法，转化为函数的最值求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（）A. ),2πB. π⎡⎤⎣⎦C.}D. ,2π⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤，由过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，明确β能取到2π，从而明确轴截面的中心角为α的范围，进而得到结果. 【详解】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=，又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin22α=∈ ∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈),2π 故选：A.【点睛】本题考查圆锥侧面展开图扇形圆心角的计算，解题时要弄清楚圆锥底面圆的周长与侧面展开图扇形的互相相等来建立等量关系，考查空间想象能力，属于中等题.10.已知()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，a 为非正的常数，且当0x >时，()2f x ax x =-.若存在实数m n <，使得()f x 的定义域与值域都为[],m n ，则实数a 的取值范围是（） A. ∞(-,1) B. (]1,0-C. (],0∞-D. ∅【答案】B 【解析】【分析】由题意得出函数()y f x =在R 上单调递减，结合题意得出0m n <<，由题意得出22am m nan n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得出0m n +=，可得出1a m =--，从而可得出实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，适合()2f x ax x =-.当0a ≤且0x ≥时，函数()2f x ax x =-为减函数.设0x <，则0x ->，()()()22f x a x x x ax -=⋅---=--，此时，()()2f x f x x ax =--=+，且该函数在(),0-∞上单调递增，所以，函数()y f x =在实数集R 上单调递减，由题意可得()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则点(),m n 和点(),n m 在函数()y f x =的图象上，且这两点关于直线y x =对称.若0m n <<，则这两点均为第二象限，都在直线y x =的上方，不可能关于直线y x =对称；若0n m >>，则这两点均为第四象限，都在直线y x =的下方，不可能关于直线y x =对称. 因此，0m n <<.由()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得22am m n an n m⎧+=⎨-=⎩，两式相加得()()()220a m n m n m n ++--+=，即()()10m n a m n ++--=，10a n m ∴=-+>（舍去）或0m n +=，则n m =-. 代入2am m n +=，得2am m m +=-，11a m ∴=-->-，又0a ≤Q ，10a ∴-<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查函数的定义域与值域问题，解题时要分析出函数的单调性及其他基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.椭圆与双曲线共焦点1F 、2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F 、2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则（）A.222212cos sin 1e e θθ+= B. 222212sin cos 1e e θθ+=C. 2212221cos sin e e θθ+=D. 2212221sin cos e e θθ+=【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出1a 、2a 关于c 的等式，从而可得出1e 、2e 的关系式. 【详解】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，并设1PF m =，2PF n =，焦距为2c ，在12PF F ∆中，由余弦定理得()2222cos22m n mn c θ+-=，由椭圆和双曲线的定义得1222m n a m n a +=⎧⎨-=⎩，解得1212m a a n a a =+⎧⎨=-⎩.代入()2222cos22m n mn c θ+-=，得()()()()222121212122cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，即()222221221cos 22a a a a c θ++-=，()()222121cos21cos22a a c θθ∴-++=，即22222122sin 2cos 2a a c θθ+=，22221222sin cos 1a a c c θθ∴+=，因此，222212sin cos 1e e θθ+=. 故选：B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.在ABC ∆sin sin A B C +的最大值为（）12B. 2【答案】B 【解析】【分析】解法1：利用()sin sin A C B =+，得出sin sin A B C +=)sin sin cos C C B C B +，然后利用辅助角公式以sin sin A B C +的最大值；解法2：sin sin A B C +=()()cos cos 2B C B C A --++，然后利用()cos 1B C -≤sin sin A B C +的最大值. 【详解】法1：()sin sin sin sin A B C C B B C +=++cos sin sin sin C B C B B C =+)sin sin cos C C B C B =++≤=2=≤=，当且仅当sin sin B C ==sin A 时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B ；法2：()()cos cossin sin 2B C B C A B C A --++=+1cos 111cos 22222A A A A ++=++≤=≤，当且仅当sin sin 3B C ==，sin 3A =时，等号成立，sin sin A B C +的最大值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等变换中的一些变形技巧，解题时要注意化异角为同角，充分利用辅助角公式来求解，考查运算求解能力，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数sin xy e x =的图象在原点处的切线方程是__________．【答案】0x y -= 【解析】【分析】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，利用导数求出切线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，可得出所求切线方程.【详解】易知原点在函数sin xy e x =的图象上，()sin cos xy e x x '=+，当0x =时，1y '=.因此，所求切线方程为y x =，即0x y -=，故答案为：0x y -=.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数图象的切线方程，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足32NF MN =，则NMF ∠为 . 【答案】【解析】【详解】过N 作NH 垂直准线，垂足为H ，则|NF|=|NH|，因为32NF =，所以32NH =， 3cos cos NH NMF MNH MN∴∠=∠==6NMF π∴∠=，故答案为6π.15.已知函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且()1,2ω∈，则函数()f x 的最小正周期为__________．【答案】65π 【解析】【分析】由题意得出()62k k Z ππωππ-=+∈，可得出ω的表达式，结合()1,2ω∈可求出ω的值，然后利用正弦型函数的周期公式2T πω=可得出函数()y f x =的最小正周期.【详解】由函数()()2sin 16f x x x R πω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭图象的一条对称轴为x π=. 可得62k ππωππ-=+，k Z ∈，23k ω∴=+，又()1,2ω∈，53ω∴=.因此，函数()y f x =的最小正周期为26553T ππ==，故答案为：65π. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称轴求参数，同时也考查了正弦型函数周期的计算，要结合题意得出参数的表达式，结合参数的取值范围求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.已知实数a 、b 、c 满足a b c <<，6.9a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩下列命题中：①01a <<；②13b <<；③34c <<；④()()55b c --的最小值是154，所有真命题为__________．【答案】①②③④ 【解析】【分析】构造函数()()()()3269x f x x a x b x c x x abc =-+=----，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()3 0f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出命题①、②、③的正误，由题中条件得出6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断出命题④的正误.【详解】令()()()()f x x a x b x c =---，则()3269f x x x x abc =-+-.()()() '313f x x x =--，()()()3 0f x f abc f ==-=极小值，()()()14 4f x f abc f ==-=极大值，如下图所示：易知函数() y f x =的三个零点分别为a 、b 、c ，由于a b c <<，由图象可知，01a <<，13b <<，34c <<，则命题①、②、③正确；由题中条件可知6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-. 因此()()()()()2255253562545b bc b c a a a a c -=-++=---+=-+-=211515244a ⎛⎫ ⎪+≥⎝⎭-，命题④也为真命题，故答案为：①②③④.【点睛】本题考查不等式真假的判断，解题的关键就是根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点，在考查函数的综合问题时，要充分利用导数研究函数的单调性，考查函数方程思想，属于难题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:60分.17.已知数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，12n n S a a a =+++L . （1）若n S 、98、1n a -成等差数列，求n 的值；（2）证明*n N ∀∈，有312112231222112n n n n a a a S S S S S S ++++++<-L . 【答案】（1）3n =；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）先利用等比数列的通项公式和前n 项和公式分别求出n a 、n S ，由题意条件得出194n n S a -+=，即为111292224n n ---+=，从而解出n 的值；（2）将112k k k a S S ++裂项为()111112222k k k k k k k k k S S a S S S S S S +++++-==-，利用裂项法求出31212231222n n n a a a S S S S S S +++++L ，再利用放缩法可得出所证不等式. 【详解】（1）由等比数列的通项公式得1111122n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，由等比数列的前n 项和公式得11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--， n S Q 、98、1n a -成等差数列，所以，194n n S a -+=，即121192224n n ---+=，化简得11124n -=，解得3n =；（2）()()1111122221,2,3,kkkk k k k k kS SakS S S S S S+++++-==-=⋅⋅⋅Q，且11212nn nS++-=，因此，31212231122311122222222222nn n n n na aaS S S S S S S S S S S S S S++++++⋅⋅⋅+=-+-++-=-L111121121121212nn n n++++=-=-<---.【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知在正方体1111ABCD A B C D-中E，F分别是1,DD BD的中点，G在棱CD上，且14CG CD=．（1）求证：1EF B C⊥；（2）求二面角1F EG C--的余弦值．【答案】(1)见解析；（2）二面角1F EG C--的余弦值为1414-.【解析】【详解】试题分析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz-，设正方体棱长为4，则求出相应点和相应向量的坐标可证1EF B C⊥；（2）平面11D DCC的一个法向量为()4,0,0BC=-u u u v，设并求出平面EFG的一个法向量(),,n x y z=v，应用向量的夹角公式，最后由图可知，二面角为钝角，可得到二面角1F EG C--的余弦值．试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系O xyz -，设正方体棱长为4，则()()()()()()()110,0,2,2,2,0,0,4,0,4,4,0,0,4,4,4,4,4,0,3,0E F C B C B G ()()12,2,2,4,0,4EF B C =-=--u u u v u u u v，∴()()()12420240EF B C ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=u u u v u u u v∴1EF B C ⊥u u u v u u u v，∴1EF B C ⊥（2）平面11D DCC 的一个法向量为()4,0,0BC =-u u u v设平面EFG 的一个法向量为(),,n x y z =v∴00n EF n FG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩∴23y x z x =⎧⎨=⎩令1x =，则2,3y z ==，∴可取()1,2,3n =v∴14cos ,144n BC n BC n BC⋅===-⨯⋅u u u v v u u u v vu u u v v 如图可知，二面角为钝角，∴二面角1F EG C --的余弦值为1414-19.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：预计去年消费金额在(] 0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在(]1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(] 3200,4800内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） . 以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由. 【答案】（1）1933（2）预计方案2投资较少.详见解析【解析】【分析】（1）由题意，随机变量X 的可能值为“0,1,2”，得(1)(1)(2)P X P X P X ≥==+=，即可求解。

2020届湖南省雅礼中学高三第三次诊断考试数学(文)

2020届湖南省雅礼中学高三第三次诊断考试数学(文科)★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期模拟(三)数学试题

湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期模拟（三）数学试题一、单选题1．若集合{}2,1,3,5A =--，{}24B x x x =<，则A B =I （） A ．{}1- B ．{}3 C ．{}2,1-- D ．{}2,1,3-- 2．若i 13i z z +=+，则zz =（）A ．2B ．1CD ．53．已知点()00,A x y 是抛物线()220y px p =>上一点，且它在第一象限内，焦点为,F O 坐标原点，若32p AF =，AO = ） A ．4x =-B ．3x =-C ．2x =-D ．=1x -4．已知函数()f x 满足()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，求()f x 在π4x =的导数（）A 1B 1C ．2-D 5．函数()e 21x x y x -=- 的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．6．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则当42m =时，则使1n a =需要的雹程步数为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩()~78,9X N ，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A ，B ，C ，D 四个等级，则A 等级的分数线应该是（）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.68P X μσ-≤≈，()20.96P X μσ-≤≈. A ．69 B ．81 C ．87 D ．968．如图，在两条异面直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥.已知6,3,4,7AA A E AF EF ==='='，则异面直线,a b 所成的角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i =L 组成的一个样本，得到经验回归方程为ˆ20.4yx =-，且2x =，去除两个样本点()2,1-和()2,1-后，得到新的经验回归方程为ˆˆ3yx b =+．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（）．A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．新的经验回归方程为ˆ33yx =- C ．随着自变量x 值增加，因变量y 值增加速度变小D ．样本()4,8.9的残差为0.1-10．当实数m 变化时，关于x y ，的方程()()222211m x my m m ++=+可以表示的曲线类型有（）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线11．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、DA 上的动点，，则（）A ．若1PQ =，则APQ △1B ．若1PQ =，则APQ △的面积最大值为14C ．若APQ △的周长为定值2，则PCQ ∠的大小为30oD ．若APQ △的周长为定值2，则PQ 长度的最小值为2三、填空题12．()5(12)13x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第三项为．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点，用向量AB u u u v ，AD uuu v 表示向量RT u u u v ，则RT =u u u v .14．已知正三棱柱11,ABC A B C -的侧面积为.四、解答题15．如图，在ABC V 中，已知3,6,AB AC A ==为锐角，,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点,P ABC V .(1)求BC 的长度；(2)求APB ∠的余弦值.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在1BB ，1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥．(1)求证：1AC ⊥平面AEF ； (2)当4AB =，3AD =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值． 17．一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个白球，6个黄球，从中随机地摸4个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数，Y 表示样本中黄球的比例.（1）若有放回摸球，求X 的分布列及数学期望；（2）（i ）分别就有放回摸球和不放回摸球，求Y 与总体中黄球的比例之差的绝对值不超过0.2的概率；（ii ）比较（i ）中所求概率的大小，说明其实际含义.18．已知双曲线22149x y -=与直线3:()2l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M . (1)若点()2,9N 在直线l 上，求直线l 的方程；(2)过点M 且与直线l 垂直的直线分别交x 轴于1(,0)A x ，y 轴于1(0,)B y 两点.是否存在定点G ，H ，使得M 在双曲线上运动时，动点11(,)P x y 使得PG PH -为定值.19．已知函数()2()e xx a f x +=． (1)讨论()f x 的单调性；(2)设,m n 分别是()f x 的极小值点和极大值点，记()()()(),,,M m f m N n f n ．（i ）证明：直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 外另一点P ；（ii ）在（i ）结论下，判断是否存在定值(),1t a a ∈+且Z a ∈，使MN t PN =，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.。

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