信号与系统课程讲义lec08_4.1-4.3

4.2 周期信号的傅里叶变换
若 x(t) ejk0t 则 X (j) 2 ( k0)
于是对于表示为傅里叶级数的周期信号
x(t)
a e
jk0t
k k
就有 X ( j) 2
k
ak
(

k0
)
周期信号的傅里叶变换表示
这表明：周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成， 每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其
• 另外，请用matlab产生灰度在水平 方向按正弦信号规律变化的图片， 灰度在水平和垂直方向都按正弦信 号规律变化的图片。
5
4月3日作业讲解
• 3.22 求下面信号的傅里叶级数表示： (b) x(t)的周期为2，且x(t) = e-t, -1 < t < 1
• 解： x(t)
a e
jk t
则 ax(t) by(t) aX ( j) bY ( j)
25
4.3 连续时间傅里叶变换的性质
3. 共轭及共轭对称性: Conjugation and Conjugate Symmetry
若 x(t) X ( j) 则 x*(t) X *( j)
证明：
由 X ( j) x(t)ejtdt 可得 X *( j) x*(t)ejtdt
2
2
2
2 2
)(cos(
3k 2
)

j
sin(
3k 2
))

1 4
1

2(1
2 2
) cos
k 2

a0
3 4
2 , a1
a3

1 4 , a2

2 4
1
,由此可推出ak
实验
• Proj-02: 试用matlab产生如右一幅 200×200个象素的灰度图片，其灰 度在垂直方向按正弦信号规律变化
• 但由于周期信号不满足傅里叶变换的 Dirichlet 条 件，因而不能直接从定义出发，建立其傅里叶变 换表示。
• 考查 X ( j) 2 ( 0 ) 所对应的信号
x(t) 1
2
X ( j)e jtd



(

0
)e
jt d
e j0t

a e j(2 /T )t 1
a1e j(2 /T )t
a5e j5(2 /T )t
a e j5(2 /T )t 5

je j(2 /8)t je j(2 /8)t 2e5 j(2 /8)t 2e5 j(2 /8)t
2sin( t) 4 cos(5 t)
0
(t)
t
X(j) 1

0
这表明 (t)中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的 幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应 h(t)才能 完全描述一个LTI系统的特性， (t)才在信号与系统分析中
具有如此重要的意义。
13
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
X ( j ) 2T1 Sa(T1) 不同脉冲宽度对频谱的影响
3.21有一连续时间周期信号x(t)是实值信号，其基波
周期T 8，x(t)的非零傅里叶级数系数为
a1 a*1 j
a5 a5 2
试将x(t)表示如下形式：

x(t) Ak cos(kt k ) k 0
解：根据综合公式

x(t)
a e jk (2 /T )t k
因为 所以
1 ( )e jtd 1
2
2
(t)F1
1F2 ()
18
4.2 周期信号的傅里叶变换
The Fourier Transformation of Periodic Signals
• 通过建立周期信号的傅里叶变换，可以实现非周 期信号与周期信号的统一数学描述方法，从而对 某些问题的分析带来方便。

1 N
n N
jk 2 n
x[n]e N

1 4
1
(1 sin
jk )e 2
4

(1 sin
)e jk 2

(1 sin
3 4

)e
jk 3 2


1 4
1
(1
2 )(cos( k ) j sin( k )) (1
1
X ( j)
eate jtdt
0

1 a j
0
t
X ( j) 1
X ( j) arctan
a2 2
X ( j) a
X ( j)
1/ a a 0
1 2a
a
/2
a /4
a / 4 / 2
11
%生成水平、垂直方向正弦变化图像 for x = 1:200;
冲激强度为对应的傅里叶级数系数 ak 的2π倍。
20
4.2 周期信号的傅里叶变换
例2：
x(t)

cos0t

1 2
[e j0t
e j0t ]
X ( j ) [ ( 0 ) ( 0 )]

X ( j)

0 0
0
22
4.2 周期信号的傅里叶变换
k k
ak

1 T
x(t)e jktdt 1
T
2
1 et e jkt dt
1
1
1
e(1 jk )t
2 (1 jk )
1 1
1 1 (e1 jk e1 jk ) 2 1 jk
(1)k (e1 e1), [e jk (1)k ] 2(1 jk )
2
-3
-2
-1
模 1/2
0
1
½
k
2
4
-3
-2
-1
相位
k
0
1
2
4
Proj02代码
%生成垂直方向正弦变化图像
for y = 1:200;
f1
f1(y,1:200)=0.5*(cos(2*pi*y/200)+1);
end;
imwrite(f1,'f1.jpg');
若不做尺度处理
for y = 1:200; f1x1(y,1:200)=0.5*(cos(2*pi*y/200)+1);
X ( j) x(t)e jtdt
分析公式
(获得x(t)的频谱)
傅里叶反变换：
x(t) 1 X ( j)ejtd
2
综合公式
(ejωt的线性组合)
– 周期信号的傅里叶级数的系数为其一个周期内信号傅 里叶变换的等间隔采样：
x(t) X ( j) x(t) ak
for y = 1:200; f3(y,x)=0.5*(cos(2*pi*y/200+2*pi*x/200)+1);%方法1 f4(y,x)=0.5*(cos(2*pi*y/200)*cos(2*pi*x/200)+1);%方法2 f5(y,x)=0.5*(cos(2*pi*y/200)*cos(2*pi*x/200+pi)+1);%方法3 f6(y,x)=0.25*(cos(2*pi*y/200)+cos(2*pi*x/200)+2);%方法4
x(t) 1 W ejtd sinWt W Sa(Wt) W sinc(Wt )
2 W
t

X ( j)
1

W 0 W
x(t)
W /

W
t
0
与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在
一种对偶关系。
16
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
6. 若 x(t) 1 则有 X ( j) 2 ()
T1

T1

2T1
Sa(T1
)

2T1
sinc(T1
)
显然，将 X(j) 中的
周期信号的频谱
代之以
k0 再乘以
1 ，即是相应 T
ak

2T1 T
Sa(k 0T1 )
14
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
5.
X(j)
1， W 0， W
(理想低通滤波器)
Properties of the Continuous-Time Fourier Transform
• 掌握傅里叶变换的性质，有助于深入理解信号时 域特性与频域特性之间的关系，某些情况下可以 简化傅里叶变换对的计算。 1. 线性: Linearity
若 x(t) X ( j), y(t) Y ( j)



ak

1 T
X ( j)
k0
10
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
2. x(t) ea t , a 0
X ( j) 0 eatejtdt eatejtdt

0
1 1 2a a j a j a2 2
x(t)
x(t)
1
t
T1 0 T1
X ( j)
2 T1

T1

0
x(t)
1
t
2T1
0 2T1
X ( j)
4T1

2 T1

0
可见，信号宽度在时域和频域之间有一种相反的关系。 15
对偶关系可表示如下:
x(t)
1
t
T1 0 T1
X ( j)
2 T1

T1

0
x(t) W /
W
0
X ( j)
1
f2
end;
imwrite(f2,”f2.jpg”);
7
本章的主要内容
• 连续时间傅里叶变换; • 傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系; • 傅里叶变换的性质; • 系统的频率响应及系统的频域分析。
9
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
• 三. 常见信号的傅里叶变换：
x (t )
1. x(t) eatu(t), a 0
f1x1
end;
imwrite(f1x1,'f1x1.jpg');
for y = 1:200;
f1x2(y,1:200)=0.5*(cos(2*pi*y/200)+1);
end; imwrite(f1x2,'f1x2.jpg');
f1x2
6
%生成水平方向正弦变化图像
for x = 1:200;
f2(1:200,x)=0.5*(cos(2*pi*x/200)+1);
t

W 0 W
如果 W ，则 x(t) 将趋于一个冲激，反之，
如果 T1 ，则 X(j) 将趋于一个冲激。
17
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
4. 矩形脉冲: x(t) 1, t T1 0, t T1
x(t)
1
t
T1
T1
X ( j) T1 e jtdt 2 sin T1 2T1 sin T1
4
4

2
cos(
t


)

4 cos(5
t)

2 cos(
t


)

4 cos(5
t)
42
4
42
4
3.28对下面每一离散时间周期信号求其傅里叶级数系数，
并画出每一组系数ak的模和相位。 (c) x[n]的周期为4，且有
x[n] 1 sin n , 0 n 3 4
解：
ak
例4. 周期性矩形脉冲
x(t)
1
ak

2T1 T
Sa( k
2T1 ) T
t
T 2
T1
0
T1
T 2
X ( j ) 4 T1 Sa( k 2T1 ) ( k 2 )
T k
T
T
X( j)

2T1 1 T2

2

T
24
4.3 连续时间傅里叶变换的性质
1
t
0
对此例有 X (j) X (j) X ( j) 0
结论：实偶信号的傅里叶变换是 实偶函数。此时可以用一幅图表 示信号的频谱。
2 1a
X ( j)
a

a
a
ຫໍສະໝຸດ Baidu12
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
3. x(t) (t)
X ( j ) (t )e jt dt 1
end; end; imwrite(f3,'f3.jpg'); imwrite(f4,'f4.jpg'); imwrite(f5,'f5.jpg'); imwrite(f6,'f6.jpg');
f3
f4
f5
f6 8
4.1 非周期信号的表示—连续时间傅里叶变换
– 傅里叶变换对： 傅里叶变换（傅里叶积分）：
这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。
19
4.2 周期信号的傅里叶变换
例1：
x(t)

sin 0t

1 [ej0t 2j

e j0t
]
X
(
j)

j
[
(

0
)


(

0
)]
X ( j)
j
0 0
0

j
21
4.2 周期信号的傅里叶变换
例3：
x(t)



(t
nT )
n
均匀冲激串
ak

1 T
T
2

j2
(t)e T
kt
dt

1
T 2
T
T
2 (t)dt

1
T 2
T
X ( j) 2 ( 2 k)
T k
T
x(t)
X ( j)
1
2
T
t
2T T 0 T 2T

2 /T 02 /T 23