11阶完美矩形(共22个)
小学奥数构造、论证与染色、操作问题
第十三讲：构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．例题精讲模块一最佳安排和选择方案【例 1】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【例 2】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【例 3】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【例 4】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？C场比赛，而每场比赛有2【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C×2=12.因为每一队至少分产生，所以4个队的得分总和为24胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。
【试读】《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》
但是，如果排除掉这种情况呢？这仍然是有解的。如下图，我们把一个21×10的长 方形分成了两个六边形，其中小六边形的各边长度分别为1, 2, 4, 8, 5, 10，大六边形 的各边长度分别为2, 4, 8, 16, 10, 20。这两个六边形的形状相同，但是大小不同。
这个问题出自2004年美国奥林匹克数学竞赛试题。原题其实是这样的：对于怎样 的正实数k，我们能够把1×k的矩形划分成两个相似但不全等的多边形？答案非常 出人意料：只要k≠1，满足要求的划分方案都是存在的。
1 几何问题 3
接下来的问题或许更具有挑战性：你能再想出一种与上面给出的所有方案都不同 的方案吗？答案如下图所示。
这里还有一个很有意思的问题：把一个正方形分割成n个小正方形，这对于哪些 n来说是有解的？答案是，除了n=2, 3, 5以外，对于其他所有的n，把一个正方形 分割成n个小正方形都是有可能的。对于n为1, 4, 6, 7, 8的情况，分割方案如下图 所示。
如图，首先，画一个正五边形ADEFG。然后，找出它的中心O，将它分别与A、D、 E、F、G相连。最后，延长AD和FE并交于点B，延长AG和EF并交于点C。那么，整 个大三角形ABC将会成为一个顶角为108°的等腰三角形。这就是一个绝对让人信 服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说 明每个小三角形的确都是锐角三角形。
2019最新版-11阶魔方复原图文教程第1集
2019最新版-11阶魔方复原超详细图文解说（第一集）11阶魔方总共六个表面，11阶魔方放在平面上，可看成自上而下11层组成.内部结构很复杂，建议不要轻易拆开.利用降阶方法可复原11阶魔方。
降阶方法：11阶降为3阶，先复原六个表面中心9×9=81个方块，合成12条棱块，把复原后的六个表面及12个棱块中间九个都看成一个方块，这样11阶魔方就转为三阶魔方，进而复原，所以复原11阶魔方的重点就是复原六个面及12棱.好大好乱的魔方啊，做好长期战斗准备，11阶魔方的复原可锻炼人的空间想象能力、逻辑思维能力、记忆能力.11阶魔方体重大约500克，也是锻炼手力的最好工具.复原工作分三个阶段，第一阶段复原六个表面,第二阶段复原12条棱,第三阶段降为三阶还原（如图）.一、复原六个表面1. 11阶魔方的配色:11魔方的标准配色，六个面六种颜色，红颜色与橙颜色相对，绿颜色和蓝颜色相对，黄颜色与白颜色相对.2.11魔方的特点：11魔方可以任意旋转任意一层，也可以任意多层一起旋转；通过旋转魔方，各个面就出现了杂乱无章的颜色.11阶魔方六个面都有中心块，不管怎么转动魔方，中心块的颜色是永远不变的.3.简单说一下转动魔方的术语：六个表面记为：上面～U，下面～D，左面～L，右面～R，前面～F，后面～B.公式含义：U:表示顺时针转动魔方上面第一层；U#2:表示一起顺时针转动魔方上面两层；U#X：表示一起顺时针转动魔方上面X层；U′:表示逆时针转动魔方上面第一层；U′#2:表示一起逆时针转动魔方上面两层；U′#X：表示一起逆时针转动魔方上面X层；UX：表示只顺时针转动魔方上面第X层；U′X：表示只逆时针转动魔方上面第X层；上面字母U可改为D，L，R，F，B就代表转动魔方的下面，左面，右面，前面，后面转动的情况；X 可以等于2，3，4，5.TL: 表示顺时针转动魔方左面两层；TR:表示顺时针转动魔方右面两层；TU:表示顺时针转动魔方上面两层；TD:表示顺时针转动魔方下面两层；TF:表示顺时针转动魔方前面两层；TB:表示顺时针转动魔方后面两层；T L’:表示逆时针转动魔方左面两层；TR’:表示逆时针转动魔方右面两层；TU’:表示逆时针转动魔方上面两层；TD’:表示逆时针转动魔方下面两层；TF’:表示逆时针转动魔方前面两层；TB’:表示逆时针转动魔方前面两层；→←↑↓：分别表示向右，向左，向前上，向前下方向整体转动魔方90度.4.复原六个面中一个面先观察打乱的11阶魔方的六个表面，以六个表面中心块为标准，同类色居多，复原就从这个表面开始，选好的面记为Ｕ面，首先以Ｕ面中心块为中心.如以红色块为例，观察六个表面的红色块的位置。
完美长方形
製作： 張瑗庭 曹書榕、 張瑗庭、 製作：822張瑗庭、曹書榕、翁浩宸 指導老師： 指導老師：傅淑婷
動機
我們閱讀許多書籍，在文獻中發現這個 流傳很久，且十分困難的老問題，看到 在書《數學是啥玩意》，〈數學頭腦鋪 瓷磚〉，及《迷宮黃金比索馬立方 體(葛老爹的數學遊戲)》，〈正方形分 割正方形〉，有研究與記載一些有關完 美長方形的資料，這題目引發我們極大 的興趣，便決定著手研究。
作圖(1)
D (x+2y) C (11x+y ) F (y) A (x) H (3x+y) I (2x+y)
B (4x) E (7x+y)
G (x+y)
作圖(1)(第2頁)
A、B都有可能變為最小正方形。 假設A會變成邊長為 x 的正方形， F會變成邊長為 y 的正方形， 其他所有長方形也都會變成正方形。 則G的邊長為(x+y)， G (x+y) D的邊長為(x+2y)，I的邊長為(2x+y) H的邊長為(3x+y)，B的邊長為(4x) E的邊長為(7x+y)，C的邊長為(11x+y)
(105,100) (6,13,81) (76,28,1) (7) (20) (48) (72,71,66) (5,61) (1,19,56) (55,18) (37) (85,57,67) (47,10) (77) (59,26) (7,40) (33) (89,49,71) (27,22) (5,88) (32) (70,19) (51) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25)
十一阶幻方的制法
十一阶幻方的制法李明亮把121个数按一定的顺序排成11行11列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这121个数就可以制成十一阶幻方。
下面说一说十一阶幻方的制法。
１．选1、2、3、……121这121个数，把它们按顺序排11行11列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数61为中心），使斜方阵中间行（56、57、58、59、60、61、62、63、64、65、66这一行）和中间列（6、17、28、39、50、61、72、83、94、105、116这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成121个方格（11行、11列），其中有60个空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２。
２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填35和107，后填23和119。
把正方形外面的数填完，幻方即成。
如图３。
制成的这个十一阶幻方的幻方定数（每一行、每一列、每一对角线上的11个数之和）为（1+121）×121÷2÷11=671。
三、幻方的几个性质：１．幻方制成后，把其中的每一个数都加或乘同一个数后，幻方仍成立。
２．幻方制成后，对称地交换两行或两列（如交换十一阶幻方中的第三行与第九行，或者第第一列与第十列），幻方仍成立。
３．不对称地交换幻方的两行或两列后，再进行一次不对称交换，如果两次交换的“路线”对称（如交换十一阶幻方的第一行、第二行后，再交换第十行、第十一行），那么幻方仍成立（但中间行和中间列都不能交换）。
56 117 46 107 36 97 26 87 16 77 6 7 57 118 47 108 37 98 27 88 17 67 68 8 58 119 48 109 38 99 28 78 18 19 69 9 59 120 49 110 39 89 29 79 80 20 70 10 60 121 50 100 40 90 30 31 81 21 71 11 61 111 51 101 41 91 92 32 82 22 72 1 62 112 52 102 42 43 93 33 83 12 73 2 63 113 53 103 104 44 94 23 84 13 74 3 64 114 54 55 105 34 95 24 85 14 75 4 65 115 116 45 106 35 96 25 86 15 76 5 66。
2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题(解析版)
专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A．48B．72C．64D．96例2．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38例3.30030能被多少个不同的偶数整除类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）A．10B．13C．15D．25例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有____种．例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．例18．在⨯n n的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3f n．n时的一条路径．则f（3）=9；=()例19．某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A ．48B ．72C ．64D ．96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有⨯⨯⨯=424264，不含2的共有⨯⨯=24216，∴正偶数因数的个数有-=641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.例2．5400的正约数有（）个A ．48B ．46C ．36D ．38【解析】=⨯⨯3325400235，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为+⨯+⨯+=(31)(31)(21)48．故选：A ．例3.30030能被多少个不同的偶数整除【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：++++=012345555555+32C C C C C C .类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10B．13C．15D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有⨯=3515种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条【解析】共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：⨯=326（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472（种）⨯⨯=例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出=336A种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有+=24125种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为→→A F HA C H,→→从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和→→→A F G O从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和→→→A C D M从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径⋅4488C C 对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有⋅42106C C 对，因此不同的孤立路一共有⋅-⋅=⨯-⨯=4442881067070210151750C C C C 对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A 到B 共2种走法，从B 到C 共25C 种不同走法，由分步乘法原理，知从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有=25220C 种.故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【解析】-A C 有22A 种方法；-C B 有36C 种方法；-D B 有22A 种方法；共有=23226280A C A 例11．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步→A C 最近走法有2种；第二步→C D 最近走法有=3620C 种；第三步→D B 最近走法有2种，故由→A B 最近走法有⨯⨯=220280种．故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；③从D到B，由①可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有=13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有=2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为-=1037中故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．故选：A ．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①→→A CF B 其中→A C 有5法．→F B 有1法，共有⨯=515法．②→→A DE B ，从A 到D ，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有=2510C 种，从E 到B ，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有=344C 种，∴从→→A DE B 共有⨯=10440法，∴从A 到B 的短程线总共+=54045种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，Q ①→→A CD B 其中→A C 有5法．→D B 有1法，共有⨯=515法．②→→A EF B 其中→A E 有10种方法，→F B 有3法，共有⨯=10330法，∴从A 到B 的短程线总共+=53035种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．【解析】我们把从顶点A 到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．例18．在⨯n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n 表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3n 时的一条路径．则f （3）=9；=()f n ．【解析】由给出的⨯33方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故f （3）==239．由此可推得⨯n n 的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是-1n 个n 的乘积．即-=1()n f n n ．故答案分别为9；-1n n ．例19．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走+-(2)n m 段，而这些段中，必须有东西方向的-(1)n 段，其余的为南北方向的-(1)m 段，∴共有--+-+-=1122m n m n m n C C 种走法．。
2023年江苏省数学竞赛提优教程教案染色问题
第14讲染色问题本节重要讲述用染色的方法解有关的竞赛题．染色，是一种辅助解题的手段，通过染色，把研究对象分类标记，以便直观形象地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就可以当作是奇偶分析的一种表现形式．染色，也是构造抽屉的一个重要方法，运用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理来解题．A 类例题例1⑴有一个6×6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格(边长为1)后，剩下的图形能不能剪成17个1×2的小矩形？⑵剪去国际象棋棋盘左上角2×2的正方形后，能不能用15个由四个格子组成的L 形完全覆盖？分析把棋盘的格子用染色提成两类，由此说明留下的图形不能满足题目的规定． 证明⑴如图，把6×6棋盘相间染成黑、白二色，使相邻两格染色不同．则剪去的两格同色．但每个1×2小矩形都由一个白格一个黑格组成，故不也许把剩下的图形剪成17个1×2矩形．⑵如图，把8×8方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白．这样染色，其中黑格有偶数个．由于每个L 形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L 形一定盖住奇数个黑格，故不也许．说明用不同的染色方法解决不同的问题．例2用若干个由四个单位正方形组成的“L ”形纸片无重叠地拼成一个m n 的矩形，则mn 必是8的倍数．分析易证mn 是4的倍数，再用染色法证mn 是8的倍数．证明：每个L 形有4个方格，故4|mn ．于是m 、n 中至少有一个为偶数．设列数n为偶数，则按奇数列染红，偶数列染蓝．于是红格与蓝格各有12mn 个，而12mn 是偶数．每个L 形或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p 个，后者有q 个．于是红格共盖住3p +q 个即p +q 为偶数，即有偶数个L 形．设有2k 个L 形．于是mn =2k ×4=8k ．故证．说明奇偶分析与染色联合运用解决本题．情景再现1．下面是俄罗斯方块的七个图形：请你用它们拼出(A)图，再用它们拼出(B)图(每块只能用一次，并且不准翻过来用)．假如能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；假如不能拼出来，就说明理由．2．能否用图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为75的正方形？（图中每个小方格的边长都为1）请说明理由．B 类例题例3⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在无穷条长为1的线段，这些线段的端点为同一颜色．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：存在同色的三点，且其中一点为另两点中点．分析任意染色而又规定出现具有某种性质的图形，这是染色问题常见的题型，常用抽屉原理或设立两难命题的方法解．证明⑴取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色．同色两顶点连成线(5)(6)(7)(4)(2)(3)(1)(B)(A )段即为一条满足规定的线段，由于边长为1的等边三角形有无数个，故满足规定的线段有无数条．⑵取同色两点A、B，延长AB到点C，使BC=AB，再延长BA到点D，使AD=AB，若C、D中有一点为红色，例如点C为红色，则点B为AC中点．则命题成立．否则，C、D全蓝，考虑AB中点M，它也是CD中点．故无论M染红还是蓝，均得证．说明⑴中，两种颜色就是两个“抽屉”，三个点就是三个“苹果”，于是根据抽屉原理，必有两个点落入同一抽屉．⑵中，这里事实上构造了一个两难命题：非此即彼，两者必居其一．让同一点既是某两个红点的中点，又是两个蓝点的中点，从而陷入两难选择的境地，于是满足条件的图形必然存在．达成证明的目的．例4⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰三角形．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰直角三角形．分析⑴同样可以设立两难命题：由于等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，故先选两个同色点连成底边，再在连线的垂直平分线上找同色的点，这是解法1的思绪．运用圆的半径相等来构造等腰三角形的两腰，这是解法2的思绪．运用抽屉原理，任5个点中必有三点同色，只要这5点中任三点都是一个等腰三角形的顶点即可，而正五边形的五个顶点中任三个都是等腰三角形的顶点，这是解法3的思绪．⑵连正方形的对角线即得到两个等腰直角三角形，所以从正方形入手解决相题第2问．⑴证明1任取两个同色点A、B(设同红)，作AB的垂直平分线MN，若MN上(除与AB交点外)有红色点，则有红色三角形，若无红色点，则MN上至多一个红点其余均蓝，取关于AB对称的两点C、D，均蓝．则若AB上有(除交点外)蓝点，则有蓝色三角形，若无蓝点，则在矩形EFGH内任取一点A(2) (1)K (不在边上)若K 为蓝，则可在CD 上取两点与之构成蓝色三角形，若K 为红，则可在AB 上找到两点与之构成红色三角形．证明2任取一红点O ，以O 为圆心任作一圆，若此圆上有不是同一直径端点的两个红点A 、B ，则出现红色顶点等腰三角形OAB ，若圆上只有一个红点或只有同一直径的两个端点是红点，则圆上有无数蓝点，取两个蓝点(不关于红点为端点的直径对称)C 、D ，于是CD 的垂直平分线与圆的两个交点E 、F 为蓝点，于是存在蓝色顶点的等腰三角形CDE ．证明3取一个正五边形ABCDE ，根据抽屉原理，它的5个顶点中，必有三个顶点(例如A 、B 、C)同色，则△ABC 即为等腰三角形．⑵证明任取两个蓝点A 、B ，以AB 为一边作正方形ABCD ，若C 、D 有一为蓝色，则出现蓝色三角形．若C 、D 均红，则对角线交点E 或红或蓝，出现红色或蓝色等腰直角三角形．显然按此作法可以得到无数个等腰直角三角形．(由本题也可以证明上一题．)例5设平面上给出了有限个点(不少于五点)的集合S ，其中若干个点被染成红色，其余点被染成蓝色，且任意三个同色点不共线．求证：存在一个三角形，具有下述性质：⑴以S 中的三个同色点为顶点；⑵此三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点．分析要证明存在同色三角形不难，而要满足第⑵个条件，可以用最小数原理．证明由于S 中至少有五点，这些点染成两种颜色，故必存在三点同色．且据已知，此三点不共线，故可连成三角形．取所有同色三角形，由于S 只有有限个点，从而能连出的同色三角形只有有限个，故其中必有面积最小的．其中面积最小的三角形即为所求．一方面，这个三角形满足条件⑴，另一方面，若其三边上均有另一种颜色的点，则此三点必可连出三角形，此连出三角形面积更小，矛盾．说明最小数原理，即极端原理．见第十二讲．例6将平面上的每个点都染上红、蓝二色之一，证明：存在两个相似的三角形，其相似ABCD比为1995，且每一个三角形的三个顶点同色．(1995年全国联赛加试题)分析把相似三角形特殊化，变成证明相似的直角三角形，在矩形的网格中去找相似的直角三角形，这是证法1的思绪．证法2则是研究形状更特殊的直角三角形：含一个角为30˚的直角三角形．证明可以找到任意边长的这样的三角形，于是对任意的相似比，本题均可证．证法3则是考虑两个同心圆上三条半径交圆得的三组相应点连出的两个三角形一定相似，于是只要考虑找同心圆上的同色点，而要得到3个同色点，只要任取5个只染了两种颜色的点就行；而要得到5个同色点，则只要取9个只染了两种颜色的点即行． 证明1一方面证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l ，则直线l 上必有两点同色．设此两点为P 、Q ，不妨设P 、Q 同着红色．过P 、Q 作直线l 的垂线l 1、l 2，若l 1或l 2上有异于P 、Q 的点着红色，则存在红色直角三角形．若l 1、l 2上除P 、Q 外均无红色点，则在l 1上任取异于P 的两点R 、S ，则R 、S 必着蓝色，过R 作l 1的垂线交l 2于T ，则T 必着蓝色．△RST 即为三顶点同色的直角三角形．下面再证明存在两个相似比为1995的相似的直角三角形． 设直角三角形ABC 三顶点同色(∠B 为直角)．把△ABC 补成矩形ABCD (如图)．把矩形的每边都提成n 等分(n 为正奇数，n >1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD 提成n 2个小矩形．AB 边上的分点共有n +1个，由于n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A 、B 异色)，不妨设相邻分点E 、F 同色．考察E 、F 所在的小矩形的另两个顶点E '、F '，若E '、F '异色，则△EFE '或△DFF '为三个顶点同色的小直角三角形．若E '、F '同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P 、Q ，则考察PQ 所在的小矩形，同理，若P 、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，l lPQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH 为顶点同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．证明2一方面证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若Array圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．下面证明：存在边长为a，3a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足规定的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足规定的蓝色三角形．下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，3a，2a及1995a，19953a，1995⨯2a 的两个同色三角形，满足规定．证明3以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，其中必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A'，B'，C'，D'，E'，则此五点中必存在三点同色，设为A'、B'、C'．则∆ABC与∆A'B'C'为满足规定的三角形．情景再现3．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在一个矩形，它的四个顶点同色．4．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点全为同一种颜色的全等三角形．5．图中是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1小方格涂成红色。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。