11阶完美矩形(共22个)
小学奥数构造、论证与染色、操作问题
第十三讲：构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．例题精讲模块一最佳安排和选择方案【例 1】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【例 2】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【例 3】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【例 4】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？C场比赛，而每场比赛有2【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C×2=12.因为每一队至少分产生，所以4个队的得分总和为24胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。
【试读】《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》
但是，如果排除掉这种情况呢？这仍然是有解的。如下图，我们把一个21×10的长 方形分成了两个六边形，其中小六边形的各边长度分别为1, 2, 4, 8, 5, 10，大六边形 的各边长度分别为2, 4, 8, 16, 10, 20。这两个六边形的形状相同，但是大小不同。
这个问题出自2004年美国奥林匹克数学竞赛试题。原题其实是这样的：对于怎样 的正实数k，我们能够把1×k的矩形划分成两个相似但不全等的多边形？答案非常 出人意料：只要k≠1，满足要求的划分方案都是存在的。
1 几何问题 3
接下来的问题或许更具有挑战性：你能再想出一种与上面给出的所有方案都不同 的方案吗？答案如下图所示。
这里还有一个很有意思的问题：把一个正方形分割成n个小正方形，这对于哪些 n来说是有解的？答案是，除了n=2, 3, 5以外，对于其他所有的n，把一个正方形 分割成n个小正方形都是有可能的。对于n为1, 4, 6, 7, 8的情况，分割方案如下图 所示。
如图，首先，画一个正五边形ADEFG。然后，找出它的中心O，将它分别与A、D、 E、F、G相连。最后，延长AD和FE并交于点B，延长AG和EF并交于点C。那么，整 个大三角形ABC将会成为一个顶角为108°的等腰三角形。这就是一个绝对让人信 服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说 明每个小三角形的确都是锐角三角形。
2019最新版-11阶魔方复原图文教程第1集
2019最新版-11阶魔方复原超详细图文解说（第一集）11阶魔方总共六个表面，11阶魔方放在平面上，可看成自上而下11层组成.内部结构很复杂，建议不要轻易拆开.利用降阶方法可复原11阶魔方。
降阶方法：11阶降为3阶，先复原六个表面中心9×9=81个方块，合成12条棱块，把复原后的六个表面及12个棱块中间九个都看成一个方块，这样11阶魔方就转为三阶魔方，进而复原，所以复原11阶魔方的重点就是复原六个面及12棱.好大好乱的魔方啊，做好长期战斗准备，11阶魔方的复原可锻炼人的空间想象能力、逻辑思维能力、记忆能力.11阶魔方体重大约500克，也是锻炼手力的最好工具.复原工作分三个阶段，第一阶段复原六个表面,第二阶段复原12条棱,第三阶段降为三阶还原（如图）.一、复原六个表面1. 11阶魔方的配色:11魔方的标准配色，六个面六种颜色，红颜色与橙颜色相对，绿颜色和蓝颜色相对，黄颜色与白颜色相对.2.11魔方的特点：11魔方可以任意旋转任意一层，也可以任意多层一起旋转；通过旋转魔方，各个面就出现了杂乱无章的颜色.11阶魔方六个面都有中心块，不管怎么转动魔方，中心块的颜色是永远不变的.3.简单说一下转动魔方的术语：六个表面记为：上面～U，下面～D，左面～L，右面～R，前面～F，后面～B.公式含义：U:表示顺时针转动魔方上面第一层；U#2:表示一起顺时针转动魔方上面两层；U#X：表示一起顺时针转动魔方上面X层；U′:表示逆时针转动魔方上面第一层；U′#2:表示一起逆时针转动魔方上面两层；U′#X：表示一起逆时针转动魔方上面X层；UX：表示只顺时针转动魔方上面第X层；U′X：表示只逆时针转动魔方上面第X层；上面字母U可改为D，L，R，F，B就代表转动魔方的下面，左面，右面，前面，后面转动的情况；X 可以等于2，3，4，5.TL: 表示顺时针转动魔方左面两层；TR:表示顺时针转动魔方右面两层；TU:表示顺时针转动魔方上面两层；TD:表示顺时针转动魔方下面两层；TF:表示顺时针转动魔方前面两层；TB:表示顺时针转动魔方后面两层；T L’:表示逆时针转动魔方左面两层；TR’:表示逆时针转动魔方右面两层；TU’:表示逆时针转动魔方上面两层；TD’:表示逆时针转动魔方下面两层；TF’:表示逆时针转动魔方前面两层；TB’:表示逆时针转动魔方前面两层；→←↑↓：分别表示向右，向左，向前上，向前下方向整体转动魔方90度.4.复原六个面中一个面先观察打乱的11阶魔方的六个表面，以六个表面中心块为标准，同类色居多，复原就从这个表面开始，选好的面记为Ｕ面，首先以Ｕ面中心块为中心.如以红色块为例，观察六个表面的红色块的位置。
完美长方形
製作： 張瑗庭 曹書榕、 張瑗庭、 製作：822張瑗庭、曹書榕、翁浩宸 指導老師： 指導老師：傅淑婷
動機
我們閱讀許多書籍，在文獻中發現這個 流傳很久，且十分困難的老問題，看到 在書《數學是啥玩意》，〈數學頭腦鋪 瓷磚〉，及《迷宮黃金比索馬立方 體(葛老爹的數學遊戲)》，〈正方形分 割正方形〉，有研究與記載一些有關完 美長方形的資料，這題目引發我們極大 的興趣，便決定著手研究。
作圖(1)
D (x+2y) C (11x+y ) F (y) A (x) H (3x+y) I (2x+y)
B (4x) E (7x+y)
G (x+y)
作圖(1)(第2頁)
A、B都有可能變為最小正方形。 假設A會變成邊長為 x 的正方形， F會變成邊長為 y 的正方形， 其他所有長方形也都會變成正方形。 則G的邊長為(x+y)， G (x+y) D的邊長為(x+2y)，I的邊長為(2x+y) H的邊長為(3x+y)，B的邊長為(4x) E的邊長為(7x+y)，C的邊長為(11x+y)
(105,100) (6,13,81) (76,28,1) (7) (20) (48) (72,71,66) (5,61) (1,19,56) (55,18) (37) (85,57,67) (47,10) (77) (59,26) (7,40) (33) (89,49,71) (27,22) (5,88) (32) (70,19) (51) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25)
十一阶幻方的制法
十一阶幻方的制法李明亮把121个数按一定的顺序排成11行11列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这121个数就可以制成十一阶幻方。
下面说一说十一阶幻方的制法。
１．选1、2、3、……121这121个数，把它们按顺序排11行11列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数61为中心），使斜方阵中间行（56、57、58、59、60、61、62、63、64、65、66这一行）和中间列（6、17、28、39、50、61、72、83、94、105、116这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成121个方格（11行、11列），其中有60个空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２。
２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填35和107，后填23和119。
把正方形外面的数填完，幻方即成。
如图３。
制成的这个十一阶幻方的幻方定数（每一行、每一列、每一对角线上的11个数之和）为（1+121）×121÷2÷11=671。
三、幻方的几个性质：１．幻方制成后，把其中的每一个数都加或乘同一个数后，幻方仍成立。
２．幻方制成后，对称地交换两行或两列（如交换十一阶幻方中的第三行与第九行，或者第第一列与第十列），幻方仍成立。
３．不对称地交换幻方的两行或两列后，再进行一次不对称交换，如果两次交换的“路线”对称（如交换十一阶幻方的第一行、第二行后，再交换第十行、第十一行），那么幻方仍成立（但中间行和中间列都不能交换）。
56 117 46 107 36 97 26 87 16 77 6 7 57 118 47 108 37 98 27 88 17 67 68 8 58 119 48 109 38 99 28 78 18 19 69 9 59 120 49 110 39 89 29 79 80 20 70 10 60 121 50 100 40 90 30 31 81 21 71 11 61 111 51 101 41 91 92 32 82 22 72 1 62 112 52 102 42 43 93 33 83 12 73 2 63 113 53 103 104 44 94 23 84 13 74 3 64 114 54 55 105 34 95 24 85 14 75 4 65 115 116 45 106 35 96 25 86 15 76 5 66。
2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题(解析版)
专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A．48B．72C．64D．96例2．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38例3.30030能被多少个不同的偶数整除类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）A．10B．13C．15D．25例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有____种．例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．例18．在⨯n n的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3f n．n时的一条路径．则f（3）=9；=()例19．某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A ．48B ．72C ．64D ．96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有⨯⨯⨯=424264，不含2的共有⨯⨯=24216，∴正偶数因数的个数有-=641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.例2．5400的正约数有（）个A ．48B ．46C ．36D ．38【解析】=⨯⨯3325400235，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为+⨯+⨯+=(31)(31)(21)48．故选：A ．例3.30030能被多少个不同的偶数整除【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：++++=012345555555+32C C C C C C .类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10B．13C．15D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有⨯=3515种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条【解析】共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：⨯=326（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472（种）⨯⨯=例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出=336A种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有+=24125种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为→→A F HA C H,→→从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和→→→A F G O从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和→→→A C D M从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径⋅4488C C 对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有⋅42106C C 对，因此不同的孤立路一共有⋅-⋅=⨯-⨯=4442881067070210151750C C C C 对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A 到B 共2种走法，从B 到C 共25C 种不同走法，由分步乘法原理，知从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有=25220C 种.故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【解析】-A C 有22A 种方法；-C B 有36C 种方法；-D B 有22A 种方法；共有=23226280A C A 例11．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步→A C 最近走法有2种；第二步→C D 最近走法有=3620C 种；第三步→D B 最近走法有2种，故由→A B 最近走法有⨯⨯=220280种．故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；③从D到B，由①可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有=13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有=2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为-=1037中故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．故选：A ．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①→→A CF B 其中→A C 有5法．→F B 有1法，共有⨯=515法．②→→A DE B ，从A 到D ，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有=2510C 种，从E 到B ，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有=344C 种，∴从→→A DE B 共有⨯=10440法，∴从A 到B 的短程线总共+=54045种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，Q ①→→A CD B 其中→A C 有5法．→D B 有1法，共有⨯=515法．②→→A EF B 其中→A E 有10种方法，→F B 有3法，共有⨯=10330法，∴从A 到B 的短程线总共+=53035种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．【解析】我们把从顶点A 到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．例18．在⨯n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n 表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3n 时的一条路径．则f （3）=9；=()f n ．【解析】由给出的⨯33方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故f （3）==239．由此可推得⨯n n 的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是-1n 个n 的乘积．即-=1()n f n n ．故答案分别为9；-1n n ．例19．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走+-(2)n m 段，而这些段中，必须有东西方向的-(1)n 段，其余的为南北方向的-(1)m 段，∴共有--+-+-=1122m n m n m n C C 种走法．。
2023年江苏省数学竞赛提优教程教案染色问题
第14讲染色问题本节重要讲述用染色的方法解有关的竞赛题．染色，是一种辅助解题的手段，通过染色，把研究对象分类标记，以便直观形象地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就可以当作是奇偶分析的一种表现形式．染色，也是构造抽屉的一个重要方法，运用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理来解题．A 类例题例1⑴有一个6×6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格(边长为1)后，剩下的图形能不能剪成17个1×2的小矩形？⑵剪去国际象棋棋盘左上角2×2的正方形后，能不能用15个由四个格子组成的L 形完全覆盖？分析把棋盘的格子用染色提成两类，由此说明留下的图形不能满足题目的规定． 证明⑴如图，把6×6棋盘相间染成黑、白二色，使相邻两格染色不同．则剪去的两格同色．但每个1×2小矩形都由一个白格一个黑格组成，故不也许把剩下的图形剪成17个1×2矩形．⑵如图，把8×8方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白．这样染色，其中黑格有偶数个．由于每个L 形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L 形一定盖住奇数个黑格，故不也许．说明用不同的染色方法解决不同的问题．例2用若干个由四个单位正方形组成的“L ”形纸片无重叠地拼成一个m n 的矩形，则mn 必是8的倍数．分析易证mn 是4的倍数，再用染色法证mn 是8的倍数．证明：每个L 形有4个方格，故4|mn ．于是m 、n 中至少有一个为偶数．设列数n为偶数，则按奇数列染红，偶数列染蓝．于是红格与蓝格各有12mn 个，而12mn 是偶数．每个L 形或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p 个，后者有q 个．于是红格共盖住3p +q 个即p +q 为偶数，即有偶数个L 形．设有2k 个L 形．于是mn =2k ×4=8k ．故证．说明奇偶分析与染色联合运用解决本题．情景再现1．下面是俄罗斯方块的七个图形：请你用它们拼出(A)图，再用它们拼出(B)图(每块只能用一次，并且不准翻过来用)．假如能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；假如不能拼出来，就说明理由．2．能否用图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为75的正方形？（图中每个小方格的边长都为1）请说明理由．B 类例题例3⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在无穷条长为1的线段，这些线段的端点为同一颜色．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：存在同色的三点，且其中一点为另两点中点．分析任意染色而又规定出现具有某种性质的图形，这是染色问题常见的题型，常用抽屉原理或设立两难命题的方法解．证明⑴取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色．同色两顶点连成线(5)(6)(7)(4)(2)(3)(1)(B)(A )段即为一条满足规定的线段，由于边长为1的等边三角形有无数个，故满足规定的线段有无数条．⑵取同色两点A、B，延长AB到点C，使BC=AB，再延长BA到点D，使AD=AB，若C、D中有一点为红色，例如点C为红色，则点B为AC中点．则命题成立．否则，C、D全蓝，考虑AB中点M，它也是CD中点．故无论M染红还是蓝，均得证．说明⑴中，两种颜色就是两个“抽屉”，三个点就是三个“苹果”，于是根据抽屉原理，必有两个点落入同一抽屉．⑵中，这里事实上构造了一个两难命题：非此即彼，两者必居其一．让同一点既是某两个红点的中点，又是两个蓝点的中点，从而陷入两难选择的境地，于是满足条件的图形必然存在．达成证明的目的．例4⑴以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰三角形．⑵以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰直角三角形．分析⑴同样可以设立两难命题：由于等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，故先选两个同色点连成底边，再在连线的垂直平分线上找同色的点，这是解法1的思绪．运用圆的半径相等来构造等腰三角形的两腰，这是解法2的思绪．运用抽屉原理，任5个点中必有三点同色，只要这5点中任三点都是一个等腰三角形的顶点即可，而正五边形的五个顶点中任三个都是等腰三角形的顶点，这是解法3的思绪．⑵连正方形的对角线即得到两个等腰直角三角形，所以从正方形入手解决相题第2问．⑴证明1任取两个同色点A、B(设同红)，作AB的垂直平分线MN，若MN上(除与AB交点外)有红色点，则有红色三角形，若无红色点，则MN上至多一个红点其余均蓝，取关于AB对称的两点C、D，均蓝．则若AB上有(除交点外)蓝点，则有蓝色三角形，若无蓝点，则在矩形EFGH内任取一点A(2) (1)K (不在边上)若K 为蓝，则可在CD 上取两点与之构成蓝色三角形，若K 为红，则可在AB 上找到两点与之构成红色三角形．证明2任取一红点O ，以O 为圆心任作一圆，若此圆上有不是同一直径端点的两个红点A 、B ，则出现红色顶点等腰三角形OAB ，若圆上只有一个红点或只有同一直径的两个端点是红点，则圆上有无数蓝点，取两个蓝点(不关于红点为端点的直径对称)C 、D ，于是CD 的垂直平分线与圆的两个交点E 、F 为蓝点，于是存在蓝色顶点的等腰三角形CDE ．证明3取一个正五边形ABCDE ，根据抽屉原理，它的5个顶点中，必有三个顶点(例如A 、B 、C)同色，则△ABC 即为等腰三角形．⑵证明任取两个蓝点A 、B ，以AB 为一边作正方形ABCD ，若C 、D 有一为蓝色，则出现蓝色三角形．若C 、D 均红，则对角线交点E 或红或蓝，出现红色或蓝色等腰直角三角形．显然按此作法可以得到无数个等腰直角三角形．(由本题也可以证明上一题．)例5设平面上给出了有限个点(不少于五点)的集合S ，其中若干个点被染成红色，其余点被染成蓝色，且任意三个同色点不共线．求证：存在一个三角形，具有下述性质：⑴以S 中的三个同色点为顶点；⑵此三角形至少有一条边上不含另一种颜色的点．分析要证明存在同色三角形不难，而要满足第⑵个条件，可以用最小数原理．证明由于S 中至少有五点，这些点染成两种颜色，故必存在三点同色．且据已知，此三点不共线，故可连成三角形．取所有同色三角形，由于S 只有有限个点，从而能连出的同色三角形只有有限个，故其中必有面积最小的．其中面积最小的三角形即为所求．一方面，这个三角形满足条件⑴，另一方面，若其三边上均有另一种颜色的点，则此三点必可连出三角形，此连出三角形面积更小，矛盾．说明最小数原理，即极端原理．见第十二讲．例6将平面上的每个点都染上红、蓝二色之一，证明：存在两个相似的三角形，其相似ABCD比为1995，且每一个三角形的三个顶点同色．(1995年全国联赛加试题)分析把相似三角形特殊化，变成证明相似的直角三角形，在矩形的网格中去找相似的直角三角形，这是证法1的思绪．证法2则是研究形状更特殊的直角三角形：含一个角为30˚的直角三角形．证明可以找到任意边长的这样的三角形，于是对任意的相似比，本题均可证．证法3则是考虑两个同心圆上三条半径交圆得的三组相应点连出的两个三角形一定相似，于是只要考虑找同心圆上的同色点，而要得到3个同色点，只要任取5个只染了两种颜色的点就行；而要得到5个同色点，则只要取9个只染了两种颜色的点即行． 证明1一方面证明平面上一定存在三个顶点同色的直角三角形．任取平面上的一条直线l ，则直线l 上必有两点同色．设此两点为P 、Q ，不妨设P 、Q 同着红色．过P 、Q 作直线l 的垂线l 1、l 2，若l 1或l 2上有异于P 、Q 的点着红色，则存在红色直角三角形．若l 1、l 2上除P 、Q 外均无红色点，则在l 1上任取异于P 的两点R 、S ，则R 、S 必着蓝色，过R 作l 1的垂线交l 2于T ，则T 必着蓝色．△RST 即为三顶点同色的直角三角形．下面再证明存在两个相似比为1995的相似的直角三角形． 设直角三角形ABC 三顶点同色(∠B 为直角)．把△ABC 补成矩形ABCD (如图)．把矩形的每边都提成n 等分(n 为正奇数，n >1，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD 提成n 2个小矩形．AB 边上的分点共有n +1个，由于n 为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A 、B 异色)，不妨设相邻分点E 、F 同色．考察E 、F 所在的小矩形的另两个顶点E '、F '，若E '、F '异色，则△EFE '或△DFF '为三个顶点同色的小直角三角形．若E '、F '同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P 、Q ，则考察PQ 所在的小矩形，同理，若P 、Q 所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，l lPQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH 为顶点同色的直角三角形．由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．证明2一方面证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若Array圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．下面证明：存在边长为a，3a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足规定的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足规定的蓝色三角形．下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，3a，2a及1995a，19953a，1995⨯2a 的两个同色三角形，满足规定．证明3以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，其中必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A'，B'，C'，D'，E'，则此五点中必存在三点同色，设为A'、B'、C'．则∆ABC与∆A'B'C'为满足规定的三角形．情景再现3．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定存在一个矩形，它的四个顶点同色．4．以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色．证明：一定可以找到无穷多个顶点全为同一种颜色的全等三角形．5．图中是一个6×6的方格棋盘，现将部分1×1小方格涂成红色。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
2023-2024学年江苏省南京市八年级(下)第一次月考数学试卷+答案解析 (1)
2023-2024学年江苏省南京市八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.为了解我县初中2012级8300名学生的体育成绩，抽查了其中1700名学生的体育成绩进行统计分析．下面叙述正确的是()A.8300名学生是总体B.每名学生是总体的一个个体C.1700名学生的体育成绩是总体的一个样本D.以上调查是普查3.关于矩形的性质，下面说法错误的是()A.矩形的中点四边形是菱形B.两条对角线相等的平行四边形是矩形C.菱形的两条对角线互相垂直平分D.两组对角分别相等且一组邻边也相等的四边形是正方形4.投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是()A.两枚骰子向上一面的点数和大于1B.两枚骰子向上一面的点数和等于3C.两枚骰子向上一面的点数和等于7D.两枚骰子向上一面的点数和大于125.如图，四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形各边的中点E、F、G、，则说法正确的是()A.EFGH是菱形B.EFGH是正方形C.EFGH是矩形D.EFGH是平行四边形6.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是，点E、分别在边、上，，若EO 平分则E点的横坐标是()A.2B.3C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.下面调查中，最适合采用普查的是__________填序号①对全国中学生心理健康现状的调查②对菏泽市中学生视力情况的调查③对《新闻联播》节目收视率的调查④对某校七年班同学身高情况的调查8.如图，一张圆桌共有3个座位，甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上，则甲和乙相邻而坐为__________事件填“确定”或“随机”9.一个不透明的袋子里装有3个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，取出__________球的可能性最大．10.如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为__________米．11.如图，四边形ABCD中，，要使四边形ABCD为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是：__________.12.如图，菱形ABCD的对角线、相交于点O，过点A作于点H，连接若，，则OH的长为__________.13.如图，在四边形ABCD中，，垂足为点若四边形ABCD 的面积为13，则__________.14.如图，在中，，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D 分别作于点E，于点F，则线段EF的最小值为__________.15.如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则的最小值为_________________.16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，的周长为__________.三、解答题：本题共10小题，共80分。
2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷附详细答案精选全文
可编辑修改精选全文完整版2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=0 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形 3.一元二次方程x 2=4的解为( )A.x =2B.x =4C.x 1=−2，x 2=2D.x 1=−4，x 2=4 4.如图，若四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论中错误的是( ) A.当AC ⊥BD 时，它是菱形 B.当AC=BD 时，它是矩形 C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AB=BC 时，它是正方形5.已知关于x 的一元二次方程x 2+b x +c=0有一个非零实数根c ，则b+c 的值为( )ADCBOA.1B.−1C.0D.26.如图，把一张矩形纸片ABCD 按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC 边上得到DA ´，折痕为DM ，连接A ´M ，CM ，第二次将△MBC 沿着MC 折叠，MB 边恰好落在MD 边上.若AD=1，则AB 的长为( )A.32 B.√2 C.√3 D.√2−1 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.把一元二次方程x (x −3)=4化成a x 2+b x +c=0的一般形式，其中a=1，则常数项c=______.8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ADB=25°，那么∠AOB 的度数为______.9.若关于x 的方程x 2−2x +1−k=0有两个相等的实数根，则k 的值为______. 10.若关于x 的一元二次方程a x 2=b(ab ＞0)的两个根分别为m 与2m −6，则m 的值为______.11.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，四边形ABCO 是正方形，已知点A 的坐标为(2，1)，则点C 的坐标为______.12.如图，在菱形ABCD 中，AB=20，∠A=45°，点E 在边AB 上，AE=13，点P 从点A第8题图ADCBO第12题图A D BCPE第11题图ACDB出发，沿着A →D →C →B 的路线向终点B 运动，连接PE ，若△APE 是以AE 为腰的等腰三角形，则AP 的长可以是______.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)解方程：x 2−2x −1=0.(2)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∠A=30°，BC=2，求CD 的长.14.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线交AB 的延长线于点E.求证：AC=CE.15.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若OB=2，S 菱形ABCD =4，求AE 的长.16.如图，△ACB 和△CED 都是等腰直角三角形，点B ，C ，E 在同一直线上，且E 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图(保留作图痕迹). (1)在图1中，作□ABMC. (2)在图2中，作正方形ACBN.ADBEO ABCDEOADBC17.如图，矩形绿地的长为12m ，宽为9m ，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m 2，求绿地的长、宽增加的长度.四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.设关于x 的一元二次方程为x 2+b x +c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=−1；④b=−3，c=2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.19.定义：如果关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c=0(a ≠0)满足b=a+c ，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号) ①x 2−4x +3=0；②2x 2+x +3=0；③2x 2−x −3=0.(2)已知3x 2+m x +n=0是关于x 的“完美方程”，若m 是此“完美方程”的一个根，求m 的值.20.如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的点，连接BE ，DF ，BE 与DF 交于点P ，BE=DF.添加下列条件之一使□ABCD 成为菱形：①CE=CF ；②BE ⊥CD ，DF ⊥BC. (1)你添加的条件是_______(填序号)，并证明.图1ADCBEA图2CDE B(2)在(1)的条件下，若∠A=45°，△BFP 的周长为4，求菱形的边长.五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.【阅读】解方程：(x −1)2−5(x −1)+4=0.解：设x −1=y ，则原方程可化为y 2−5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4. 当y=1时，即x −1=1，解得x =2；当y=4时，即x −1=4，解得x =5. 所以原方程的解为x 1=2，x 2=5. 上述解法称为“整体换元法”. 【应用】 (1)若在方程x−1x−3xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为整式方程：________.(2)请运用“整体换元法”解方程：(2x −3)2−(2x −3)−2=0.22.如图1，在□ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，AE=CF ，DE ⊥AC ，过点D 作DG ∥AC 交BF 的延长线于点G. (1)求证：四边形DEFG 是矩形.(2)如图2，连接DF ，BE ，当∠DFG=∠BEF 时，判断四边形 DEFG 的形状，并说明理由.图1E F ABCDG图2ABDGCFE AFCDE P B六、解答题(本大题共12分) 23.【课本再现】(1)如图1，在正方形ABCD 中，F 为对角线AC 上一点，连接BF ，DF.你能找出图中的全等三角形吗？结论猜想：图中的全等三角形有__________ (不必证明). 【知识应用】(2)如图2，P 为DF 延长线上一点，且BP ⊥BF ，DP 交BC 于点E.判断△BPE 的形状，并说明理由. 【拓展提升】(3)如图3，过点F 作HF ⊥BF 交DC 的延长线于点H. ①求证：HF=DF.②若AB=√3+1，∠CBF=30°，请直接写出CH 的长.2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷参考答案▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后图1AB CDFA图2B PDC EF图3ABDHCF括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=01.解：A 是一元一次方程，B 当a ≠0时是一元二次方程，C 是一元二次方程，D 是二元二次方程，故选C 。
2019最新版-11阶魔方还原超详细图文教程—第二集
20.最后两面复原完成，到此魔方六个面就都完成了，重新检查一下魔方六面，看是否完全一致，没问题，进入下一阶段复原棱块。
如下图：公式： ，R′#6-F′-L’-F-R#6.21.橙蓝色的块就复原完成了，橙蓝色的棱块还有七块，可将七块复原成3+4或2+5形式，再与前两块复原完整一条棱。
本例以黄橙色4+5式为例，与两块复原类似，复原公式： -R'#5-U'-R'-Ｕ-R#5。
22.用此公式复原出四条棱，做好的四条棱转动到魔方一侧，为下一步复原第五条棱腾出更大的空间，为了不改变已经复原好的棱，复原好的棱放在L面，要复原的两部分放到Ｕ面。
右面R与底面D交汇的棱不能放复原好的棱块，（观察灰粉相间的棱，在最后合成橙黄棱时被断开了）23.继续合棱，只有三条棱没有被复原的时候。
转动魔方到相应的位置，运用如下公式,即可复原所有的12条棱，公式： -R'#4-U'-R'-U-R#4。
24:可以利用的空间越来越小，可以复原的颜色块越来越少。
若只有两条棱没复原，转动魔方到对应位置,应用公式：R'#4-Ｕ2；重复以上两步，直到Ｕ面还原为一色（本例为红色），再利用前面方法，即可复原所有棱。
25.其实，我们复原12个棱块的时候，同样可以不用公式，根据自己玩魔方的经验，完全可以靠积累的经验完成10个棱块的复原，只是在完成最后两个棱块的的过程中为了保持已经完成的10个棱块不被破坏，处理用的步骤稍微复杂一点，下面介绍的就是4个这样的公式，其实也就是一点点小小的技巧，很多朋友估计不看公式也是这样来完成的，在此，我们仅仅是提供一种思路，其中的一些技巧，大家可活学活用。
A,B,D图统一公式：R1#4-U2,反复应用，直到U面出现一色中心面（本例为红面），利用23步就可以复原。
C图公式：U1#4-F2, 反复应用，直到F面出现一色中心面（本例为绿面），利用23步就可以复原。
当我们完全的正确的复原了6面的中心块和12个棱块以后，我们就可以把11阶魔方完全的当作三阶魔方，运用三阶的复原公式来复原五阶魔方了，初学的时候，会稍微有一点点不习惯，一般来说，慢慢的复原上两遍以后，就完全的理解了高阶魔方降阶法复原的核心思想了。
矩形顶点删减法
矩形顶点删减法概说遇到了高级、困难级的数独谜题，使得唯一候选数法和隐性唯一候选数法黔驴技穷的时候，就是各种删减法上场的时机了。
在各种的删减法中，哪一个要先用是随个人之喜好的，并无限制。
本页介绍的例子当然可用其他删减法完成解题，且本删减法成立的条件和其他方法相比稍嫌繁杂，但为了介绍，在进行解题时还是要以矩形顶点删减法优先啰！<图 1>请看<图 1>的第 1 列及第 9 列，数字 8 都只出现在第 5、8 行的宫格候选数中；这时矩形顶点删减法的条件已成立了！这表示第 5 行及第 8 行的数字 8 将只能被填到第 1 列及第 9 列了，因为：第 1 列的数字 8 只出现在(1, 5)及(1, 8)，所以数字 8 只能填到这两个宫格；同样的，第 9 列的数字 8 只出现在(9, 5)及(9, 8)，所以数字 8 也只能填到这两个宫格；先假设第 1 列的数字 8 将被填到(1, 5)，第 5 行就不能再填数字 8 了，所以第 9 列的数字 8 只好填到(9, 8)；另外，假设第 1 列的数字 8 将被填到(1, 8)，第 8 行就不能再填数字 8 了，所以第 9 列的数字 8 只好填到(9, 5)；不论哪一种情况发生，第 5 行及第 8 行的数字 8 都已被填入，别的宫格已不能再使用数字 8 来填入了，所以若其他宫格的候选数中还有数字 8，全部是多余无用的，可以毫不考虑的把它们删减掉。
于是(3, 5)、(6, 5)和(3, 8)、(7, 8)这四个宫格候选数中的 8 都可被安全的删减掉；其中(6, 5)的候选数少了数字 8，将使得(6, 6)出现列隐性唯一候选数 8 ，于是可用隐性唯一候选数法来填入下一个解了。
整理一下：∙当某个数字在某两列仅出现在相同的两行时，就可以把这两行其他宫格候选数中的该数字删减掉。
∙同理，当某个数字在某两行仅出现在相同的两列时，就可以把这两列其他宫格候选数中的该数字删减掉。
《完美矩形》课件
使用专业绘图软件
如Adobe Illustrator、Sketch等 ，用户可以轻松绘制完美矩形，
并对其进行精确调整。
使用编程语言和库
如OpenGL、DirectX等图形库 ，开发者可以使用编程语言（如 C、Python等）绘制完美矩形。
数学计算
通过计算矩形的四个顶点坐标， 可以绘制出完美矩形。这需要一
实际应用场景
完美矩形在实际生活中有广泛的 应用，如建筑设计、室内装修、
机械制造等。
测量工具
使用测量工具来测量实际物体，以 确定其是否接近完美矩形。
近似方法
对于非完美矩形物体，可以采用近 似方法来处理，如四舍五入、取整 等，以方便计算和应用。
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CATALOGUE
完美矩形与计算机图形学
完美矩形在计算机图形学中的应用
1 2
图形渲染
完美矩形可用于高效地渲染和计算图形，特别是 在需要精确几何形状的场景中，如游戏、电影特 效等。
图像识别
完美矩形有助于提高图像识别的准确性和效率， 特别是在人脸识别、物体检测等领域。
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虚拟现实和增强现实
完美矩形在虚拟现实和增强现实中用于构建逼真 的三维场景，提供更真实的视觉体验。
使用计算机图形学工具绘制完美矩形
定的数学知识和编程能力。
计算机图形学中的其他几何形状与完美矩形的关系
圆形
完美矩形与圆形在几何学中具有密切关系，它们在某些计算和渲染 过程中可以互相转换。
多边形
多边形是比完美矩形更一般的几何形状，它可以由多个顶点定义。 在计算机图形学中，多边形常用于构建更复杂的形状和模型。
曲线和曲面
完美矩形是二维几何中的基础形状，而曲线和曲面则是三维几何中的 基础形状，它们在计算机图形学中也有广泛的应用。
八年级数学下册《完美矩形》教案、教学设计
2.介绍完美矩形的判定条件：矩形的对角线相等且垂直平分。
3.教师通过几何画板演示完美矩形的性质，如对角线互相垂直、平分等，让学生直观感受完美矩形的特点。
4.分析完美矩形在实际应用中的优势，如设计美观、节省材料等。
5.教师讲解完美矩形性质的应用，如计算周长、面积等，让学生理解完美矩形在实际问题中的解决方法。
c.应用题：运用矩形性质解决实际问题，如计算给定完美矩形的周长和面积。
2.设计作业：请学生自行设计一个完美矩形，要求如下：
a.图形美观，比例协调。
b.在设计过程中，运用所学的完美矩形判定条件。
c.计算所设计完美矩形的周长和面积，并说明计算过程。
3.探究作业：分组进行探究，讨论以下问题：
a.完美矩形在生活中的应用实例。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.完美矩形的判定条件是什么？
b.如何计算完美矩形的周长和面积？
c.你能举出生活中遇到的完美矩形的例子吗？
2.学生在小组内进行讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.各小组派代表分享讨论成果，教师对学生的回答进行点评，纠正错误，补充遗漏。
4.教师引导学生在讨论中学会倾听、尊重他人意见，培养团队协作能力。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断哪些图形是完美矩形，并说明理由。
b.给定一个完美矩形，计算其周长和面积。
c.设计一个完美矩形，并说明其特点。
3.学生在规定时间内完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
6.情感态度与价值观的培养
几何图形中找规律形试题(学生版)
几何图形中找规律形试题一.考情分析规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新概念、新规则、新材料来创设新情境、提出新问题，要求学生运用它去解决新问题，并以此考查学生自学能力和阅读理解能力、知识迁移能力等综合素质． 因此，这两个考点成为北京市中考填空压轴题的热点．一、等差数列、等差数列的实质是一次函数。
或者用通项公式d n a a n )1(1-+=例题一：如图，∠AOB ＝45°，过OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，…。
观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S ＝_______________。
练习一：1、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( ) . A. 669 B. 670 C.671 D. 6722:、如图3，在图（1）中，A 1、B 1、C 1分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，在图（2）中，A 2、B 2、C 2分别是形的个数是 ．二：二阶式经过几次出现等差数列，就是几次函数，一般二次函数比较普遍。
例题二．如图，点A 1，A 2 ，A 3 ，…，点B 1，B 2 ，B 3 ，…，分别在射线OM ，ON 上．OA 1=1，A 1B 1=2O A 1，A 1 A 2=2OA 1，A 2A 3=3OA 1，A 3 A 4=4OA 1，…．A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥…．则A 2B 2= ，A n B n = （n 为正整数）．第1题图(3)(2)C 3B 3A 3A 2C 1B 1A 1CBAC 2B 2B 2C 2ABC1B 1C 1A 2…图32、如图，在平面直角坐标系中，B 1(0，1)，B 2(0，3)，B 3(0，6)，B 4(0，10)，…，以B 1B 2为对角线作第一个正方形A 1B 1C 1B 2，以B 2B 3为对角线作第一个正方形A 2B 2C 2B 3，以B 3B 4为对角线作第一个正方形A 3B 3C 3B 4，…，如果所作正方形的对角线B n B n +1都在y 轴上，且B n B n +1的长度依次增加1个单位，顶点A n 都在第一象限内（n ≥1，且n 为整数），那么A 1的纵坐标为，用n 表示A n 的纵坐标3、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2013=（ ） A ．（45，77） B ．（45，39） C ．（32，46） D ．（32，23）练习1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A ）15 （B ）25 （C ）55 （D ）12252．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n 个图案需要 枚棋子．3．（2013江西，11，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为…4NM A 1A 2A 3A 4321（用含n 的代数式表示）．3．（2013•重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）A ．51B ．70C ．76D ．81三：等比数列，等比数列通项公式11a -=n n q a ，套公式即可，但要分清楚哪项是首项。
11阶立方体魔方阵的制作及原理(精)
11 階立方體魔方陣的製作及原理摘要：在這篇報告中，我們將0~1330中每一個正整數，先將每一個數都連續除以11兩次，再把每一個數的餘數以及商，分別取出來，再將每一個數都表示成a×112+b×11+c，其中a、b、c都是0~10的正整數，再將這些數轉化成座標形式(a、b、c)，再利用等差數列的觀念，從原點分別向X軸、Y軸、Z軸增加一定的座標量，希望11 階立方體陣中，每一個平面上它們的橫線、直線、對角線，及立方體的四條對角線，他們的x座標、y座標及z座標0~10均只出現一次，如此一來，將這些座標換算回所對的數，會出現每一個面的直線、橫線、對角線及方體中四條對角線上面的數字總和相等的結果。
研究動機：在上學期學習「數量關係」，曾經提到一種以相同大小增加或減少的數列，老師提到可以用這種觀念來解釋平面上的魔方陣.在「有趣的魔方陣」這本書中，我們又看到了有關於魔方的各種製作方法及各式各樣的變形魔方，其中所介紹的立體方陣引起了我們的興趣，但是我們發現書本所記的立體方陣都只提到2階，3階或者12面體的立體方陣（見圖）的製作及結果，但是這本書的介紹僅限於此，並沒有再提到任何立體方陣的敘述，所以我們就想到了一個問題:”能不能用類似的手法創造一個與正方形魔方類似的立體方陣?”，也就是在它的格子中填入一些數字，使它裡面的每一面橫、直、對角線的總和均相等且立方體內的四條對角線總和也與前述相等，基於這項原因經過多次的實驗及推理觀察，我們將對11階的立方體進行觀察研究。
研究目的：發展一個製作11階立方體魔方的方法，使它能滿足研究動機中的結論，並推測是否還有其他立體方陣存在。
研究方法：根據85年度嘉義中小學科展作品「奇數階的製作及原理」我們以11階的平面魔方陣為例，重新觀察它的製作過程，現在我們的問題是:”將0－120的每一個正整數填入（如圖）11×11的正方形空格中，使它的直、橫、及對角線總和均相等”，面對這個問題，我們先將0－120的每個數都除以11，找出商及餘數，並表示成座標得到詳細結果如下：0÷11＝0 ……0（0，0）1÷11＝0……1（0，1）2÷11＝0……2（0，2）3÷11＝0 ……3（0，3）4÷11＝0……4（0，4）5÷11＝0……5（0，5）6÷11＝0 ……6（0，6）7÷11＝0……7（0，7）8÷11＝0……8（0，8）9÷11＝0 ……9（0，9）10÷11＝0……10（0，10）11÷11＝1……0（1，0）12÷11＝1 ……1（1，1）13÷11＝1……2（1，2）14÷11＝1……3（1，3）15÷11＝1 ……4（1，4）16÷11＝1……5（1，5）17÷11＝1……6（1，6）18÷11＝1 ……7（1，7）19÷11＝1……8（1，8）20÷11＝1……9（1，9）21÷11＝1 ……10（1，10）22÷11＝2……0（2，0）23÷11＝2……1（2，1）24÷11＝2 ……2（2，2）25÷11＝2……3（2，3）26÷11＝2……4（2，4）27÷11＝2 ……5（2，5）28÷11＝2……6（2，6）29÷11＝2……7（2，7）30÷11＝2 ……8（2，8）31÷11＝2……9（2，9）32÷11＝2……10（2，10）33÷11＝3 ……0（3，0）34÷11＝3……1（3，1）35÷11＝3……2（3，2）36÷11＝3 ……3（3，3）37÷11＝3……4（3，4）38÷11＝3……5（3，5）39÷11＝3 ……6（3，6）40÷11＝3……7（3，7）41÷11＝3……3（3，8）42÷11＝3 ……9（3，9）43÷11＝3……10（3，10）44÷11＝4……0（4，0）45÷11＝4 ……1（4，1）46÷11＝4……2（4，2）47÷11＝4……3（4，3）48÷11＝4 ……4（4，4）49÷11＝4……5（4，5）50÷11＝4……6（4，6）51÷11＝4 ……7（4，7）52÷11＝4……8（4，8）53÷11＝4……9（4，9）54÷11＝4 ……10（4，10）55÷11＝5……0（5，0）56÷11＝5……1（5，1）57÷11＝5 ……2（5，2）58÷11＝5……3（5，3）59÷11＝5……4（5，4）60÷11＝5 ……5（5，5）61÷11＝5……6（5，6）62÷11＝5……7（5，7）63÷11＝5 ……8（5，8）64÷11＝5……9（5，9）65÷11＝5……10（5，10）66÷11＝6 ……0（6，0）67÷11＝6……1（6，1）68÷11＝6……2（6，2）69÷11＝6 ……3（6，3）70÷11＝6……4（6，4）71÷11＝6……5（6，5）72÷11＝6 ……6（6，6）73÷11＝6……7（6，7）74÷11＝6……8（6，8）75÷11＝6 ……9（6，9）76÷11＝6……10（6，10）77÷11＝7……0（7，0）78÷11＝7 ……1（7，1）79÷11＝7……2（7，2）80÷11＝7……3（7，3）81÷11＝7 ……4（7，4）82÷11＝7……5（7，5）83÷11＝7……6（7，6）84÷11＝7 ……7（7，7）85÷11＝7……8（7，8）86÷11＝7……9（7，9）87÷11＝7 ……10（7，10）88÷11＝8……0（8，0）89÷11＝8……1（8，1）90÷11＝8 ……2（8，2）91÷11＝8……3（8，3）92÷11＝8……4（8，4）93÷11＝8 ……5（8，5）94÷11＝8……6（8，6）95÷11＝8……7（8，7）96÷11＝8 ……8（8，8）97÷11＝8……9（8，9）98÷11＝8……10（8，10）99÷11＝9 ……0（9，0）100÷11＝9……1（9，1）101÷11＝9……2（9，2）102÷11＝9 ……3（9，3）103÷11＝9……4（9，4）104÷11＝9……5（9，5）105÷11＝9 ……6（9，6）106÷11＝9……7（9，7）107÷11＝9……8（9，8）108÷11＝9 ……9（9，9）109÷11＝9……10（9，10）110÷11＝10……0（10，0）111÷11＝10 ……1（10，1）112÷11＝10……2（10，2）113÷11＝10……3（10，3）114÷11＝10 ……4（10，4）115÷11＝10……5（10，5）116÷11＝10……6（10，6）117÷11＝10 ……7（10，7）118÷11＝10……8（10，8）119÷11＝10……9（10，9）120÷11＝10 ……10（10，10）現在我們想將這些數對填入空格中，而且我們希望能讓我們的橫、直、對角線的x座標及y座標總和均相等，我們所利用的方法如下：從左下角開始填入（0，0）分別向下每跳一格加上(1，1) ，(2，3)我們可先得到如下圖結果：因為（6，9）再加（2，3）得到（8，12），我們將12除以11取其餘數一可得座標（8，1）再將其向填入空格中，其餘的座標填法均如上所述，所以我們將所有座標填入後所得到下圖結果（見圖3）觀察上述結果，因為橫、直、對角線他們的x座標及y座標均從0－10出現一次，所以我們可以推測將座標還原成原先代表的數字能夠得到我們要的結論，還原的結果如下：上述方法的優點是:1.我們將原本相當多且複雜的數轉換成座標後,每一個座標所要考慮的對象都變少了(只要考慮0~10)2.因為從(0,0)向x軸、向y軸增加一定的座標。
2019最新版-11阶魔方复原图文教程第1集
2019最新版-11阶魔方复原超详细图文解说（第一集）11阶魔方总共六个表面，11阶魔方放在平面上，可看成自上而下11层组成.内部结构很复杂，建议不要轻易拆开.利用降阶方法可复原11阶魔方。
降阶方法：11阶降为3阶，先复原六个表面中心9×9=81个方块，合成12条棱块，把复原后的六个表面及12个棱块中间九个都看成一个方块，这样11阶魔方就转为三阶魔方，进而复原，所以复原11阶魔方的重点就是复原六个面及12棱.好大好乱的魔方啊，做好长期战斗准备，11阶魔方的复原可锻炼人的空间想象能力、逻辑思维能力、记忆能力.11阶魔方体重大约500克，也是锻炼手力的最好工具.复原工作分三个阶段，第一阶段复原六个表面,第二阶段复原12条棱,第三阶段降为三阶还原（如图）.一、复原六个表面1. 11阶魔方的配色:11魔方的标准配色，六个面六种颜色，红颜色与橙颜色相对，绿颜色和蓝颜色相对，黄颜色与白颜色相对.2.11魔方的特点：11魔方可以任意旋转任意一层，也可以任意多层一起旋转；通过旋转魔方，各个面就出现了杂乱无章的颜色.11阶魔方六个面都有中心块，不管怎么转动魔方，中心块的颜色是永远不变的.3.简单说一下转动魔方的术语：六个表面记为：上面～U，下面～D，左面～L，右面～R，前面～F，后面～B.公式含义：U:表示顺时针转动魔方上面第一层；U#2:表示一起顺时针转动魔方上面两层；U#X：表示一起顺时针转动魔方上面X层；U′:表示逆时针转动魔方上面第一层；U′#2:表示一起逆时针转动魔方上面两层；U′#X：表示一起逆时针转动魔方上面X层；UX：表示只顺时针转动魔方上面第X层；U′X：表示只逆时针转动魔方上面第X层；上面字母U可改为D，L，R，F，B就代表转动魔方的下面，左面，右面，前面，后面转动的情况；X 可以等于2，3，4，5.TL: 表示顺时针转动魔方左面两层；TR:表示顺时针转动魔方右面两层；TU:表示顺时针转动魔方上面两层；TD:表示顺时针转动魔方下面两层；TF:表示顺时针转动魔方前面两层；TB:表示顺时针转动魔方后面两层；T L’:表示逆时针转动魔方左面两层；TR’:表示逆时针转动魔方右面两层；TU’:表示逆时针转动魔方上面两层；TD’:表示逆时针转动魔方下面两层；TF’:表示逆时针转动魔方前面两层；TB’:表示逆时针转动魔方前面两层；→←↑↓：分别表示向右，向左，向前上，向前下方向整体转动魔方90度.4.复原六个面中一个面先观察打乱的11阶魔方的六个表面，以六个表面中心块为标准，同类色居多，复原就从这个表面开始，选好的面记为Ｕ面，首先以Ｕ面中心块为中心.如以红色块为例，观察六个表面的红色块的位置。
N皇后问题及答案解
N皇后问题及答案解题⽬在⼀张N∗N的国际象棋棋盘上，放置N个皇后，使得所有皇后都⽆法互相直接攻击得到，（皇后可以直接攻击到她所在的横⾏，竖列，斜⽅向上的棋⼦），现在输⼊⼀个整数N，表⽰在N∗N的棋盘上放N个皇后，请输出共有多少种使得所有皇后都⽆法互相直接攻击得到的⽅案数。
例如下⾯这样的摆法，是4皇后的⼀个解 （1代表有皇后，0代表没有）0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0输⼊⼀个整数N，代表皇后的个数输出输出⽅案数样例输⼊样例输⼊14样例输⼊28样例输出样例输出12样例输出292⼀、DFS+回溯(1)设已经放好的皇后坐标为(i,j),待放⼊的皇后坐标为(r,c)，则它们满⾜以下关系：（1）不同⾏，即 i ≠ r；（2）不同列，即 j ≠ c；（3）不在斜对⾓线上，即 |i-r| ≠ |j-c|.可以在⼀⾏逐列尝试，这样就不⽤考虑（1）了。
#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;int n, tot = 0;int col[15] = {0}, ans[15] = {0}; //col[i]的值为第i⾏的皇后的列数的值，即j,ans[]数组⽤来存放结果bool check(int c, int r) //检查是否和已经放好的皇后冲突{for (int i = 0; i < r; i++)if (col[i] == c || (abs(col[i] - c) == abs(i - r))) //因为是逐⾏放置，所以只考虑纵向和斜向return false;return true;}void dfs(int r,int m) //在第r⾏放皇后,m表⽰⾏数{if(r==m){ //r==m,即皇后放到最后⼀⾏，满⾜条件，tot++,返回;tot++;return;}for(int c=0;c<m;c++) //在此⾏逐列尝试if(check(c,r)){ //检查是否冲突col[r]=c; //不冲突就在此列放皇后dfs(r+1,m); //转到下⼀⾏继续尝试}}int main(){cin>>n;for (int i = 0; i <= 13; i++) //算出所有N皇后的答案，先打表，不然会超时{memset(col, 0, sizeof(col)); //清空col，准备计算下⼀个N皇后问题tot = 0;dfs(0,i);ans[i] = tot;}cout << ans[n] << endl;return 0;}在上述程序中，dfs()⼀⾏⾏放置皇后，时间复杂度为O(N!)；check()判断冲突，时间复杂度为O(N)，总的为O(N*N!)！⾮常的⾼。