高中数学：函数的极值与最值共23页文档
函数的极值与最大(小)值 高中数学人教A版2019选择性必修第二册
称极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函
数的局部性质.
思考? 极大值一定比极小值大吗？
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极
小值，哪些是极大值？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6)
附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左
侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0.
y
y = f ( x)
a
O
b
c
d
e
x
我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点 , f(a)叫做函数
y=f(x)的极小值; b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函
数y=f(x)的极大值.
当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表：
x
0
f (x)
f (x)
(0 , 2)
2
0
━
4 单调递减↘
-
(2 , 3)
3
+
4
单调递增↗
3
1
由上表可知，在区间[0, 3]上，当x=2时，函数f(x)有极
小值f(2)= - .
又由于 f(0)=4 , f(3)=1，
所以，函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值4，最小值- .
解: (3) f(x)的大致图像如图所示.
方程 f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数
y=f(x)的图像与直线y=a的交点个数.
由(1)及图可得，当x=-2时，
f(x)有最小值f(-2)=− .
高中数学中的函数的极值与最值分析
高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。
理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。
首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。
函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。
接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。
第一步是寻找函数的驻点。
驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。
通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。
第二步是寻找函数的不可导点。
不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。
对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。
第三步是分析函数的极值。
通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。
通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。
第四步是研究函数的端点。
函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。
通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。
最后，进行整体分析。
将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。
在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。
除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。
数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。
函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。
例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。
在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。
总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。
通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。
这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。
通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
高中数学教案认识函数的极值和最值
高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。
本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。
一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。
函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。
函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。
二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。
局部极大值和极小值统称为局部极值。
例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。
2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。
极值点可以通过求导数或观察图像得到。
例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。
当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。
所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。
3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
当函数的导数变号时，极值点就出现了。
例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。
所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。
三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。
2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。
例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。
3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。
高中数学教案函数的极值和最值
高中数学教案函数的极值和最值高中数学教案：函数的极值和最值一、引言在高中数学中，函数的极值和最值是一个重要的概念和应用。
本教案将以清晰的例子和详细的解释来介绍函数的极值和最值的概念、求解方法和相关练习题。
二、函数的极值和最值的概念1. 极值的定义函数在某个定义域内有极值，是指在该定义域内存在一个或多个函数值最大或最小的点。
2. 最值的定义函数在某个定义域内有最值，是指在该定义域内函数的取值范围的最大值或最小值。
三、求解函数的极值和最值的方法1. 寻找极值点和最值点通过对函数取导数，并找到导数等于零或不存在的点，可以确定函数的极值点和最值点。
2. 判断极值和最值通过二阶导数的正负来判断极值点和最值点的类型。
四、例题讲解1. 求解函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值通过求解函数的导数 f'(x) 和二阶导数 f''(x)，找到函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负确定其类型。
五、练习题1. 练习题一：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7 的极值和最值。
2. 练习题二：求解函数 f(x) = e^x - 2x + 3 的极值和最值。
六、总结函数的极值和最值是数学中的重要概念，可以通过求解函数的导数和二阶导数来确定函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负来确定其类型。
通过学习和练习，我们可以掌握函数的极值和最值的求解方法和技巧。
七、延伸阅读1. 函数的极值和最值在实际生活中的应用。
2. 更复杂的函数极值和最值问题的解法探究。
以上是本教案关于高中数学中函数的极值和最值的简要介绍和讲解，希望能够对学生们理解和掌握相关概念有所帮助。
希望同学们能够通过大量的练习和实践，深入理解函数的极值和最值的概念，提高解决问题的能力。
高中数学备课教案函数的极值与最值
高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。
本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。
二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。
极值分为最大值和最小值两种。
2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。
（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。
（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。
2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。
并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。
（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。
解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。
将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。
高中数学导数的应用之极值和最值
利用导数求函数的极值与最值内容再现1、函数的单调性与其导数正负的关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递减；若恒有，则函数在这个区间内是常函数。
2、利用函数判断函数值的增减快慢：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。
3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值，是极大值点。
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值点。
4、（1）函数的闭区间上的最值：如果在闭区间上函数的图像是一条曲线，则该函数在上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。
（2）求函数在区间上的最值的步骤：求函数在的；将函数的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
三、巩固练习1、已知函数在区间内可导，且，则( )(A) (B) (C) (D)2、函数在区间 ( )(A) 上单调递减 (B) 上单调递减(C) 上单调递减 (D) 上单调递增3、已知在上有最小值，则在上，的最大值是4、已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值五、典型例题1、一个物体的运动方程为其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A、 7米/秒B、6米/秒C、 5米/秒D、 8米/秒DCxOA By 2、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ） A ．长102米，宽米B ．长150米，宽66米C ．长宽均为100米D ．长100米，宽米4、过抛物线y=x 2-3x 上一点P 的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积是5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。
高中数学教案学习函数的极值与最值
高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。
通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。
一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。
极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
它分为两种类型：极大值和极小值。
1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。
1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。
二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。
常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。
对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。
而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。
2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。
如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。
2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。
如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。
三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。
3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。
高中数学函数的极大值和极小值
典例剖析题型一 函数极值的求法例1 已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值． (1) 求,a b 的值； (2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值；分析：可导函数在0x 点取到极值时，0)(0=x f ；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。
解：（1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′(x )＝0的解．－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1．∴f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋1．x （－∞，－23）（－23，1）（1，＋∞）f ′(x )＋－＋∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12．评析：列表求单调区间和极值不容易出错。
题型二例2 设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间．分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。
分析;从图上可得0=x 是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x 轴相切于（0，0）点，可先求出,,a b c 的值。
解：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c=0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y =3x 2+2ax +b ∴ 0=3×02+2a ×0+b ，得b =0 ∴ y =x 3+ax 2，'y =3x 2+2ax当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y > 当x =a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-a a a ，得a =－3（2）'y =3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）评析：求出,,a b c 的值后，利用导数就可求出单调区间。
高中数学教案函数的极值与最值
高中数学教案函数的极值与最值高中数学教案：函数的极值与最值一、引言函数的极值与最值是数学中重要且常见的概念。
通过求解函数的导数和解方程，我们可以确定函数在特定区间内的极值和最值。
本教案将介绍如何理解和求解函数的极值与最值。
二、概念解释1. 极值：函数在某个区间内取得的最大值或最小值称为极值。
极大值是最大值，极小值是最小值。
2. 最值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为最值。
最大值是所有极大值中的最大值，最小值是所有极小值中的最小值。
三、求解过程1. 确定定义域：首先确定函数的定义域，即函数的取值范围。
2. 求导数：对函数进行求导，得到函数的导数表达式。
3. 求导数为零的点：将导数表达式等于零，求解方程，得到导数为零的点，即可能的极值点。
4. 求导数不存在的点：在导数表达式中寻找导数不存在的点，即可能的极值点。
5. 确定极值点：将求解得到的导数为零和导数不存在的点代入原函数，求出对应的函数值。
6. 比较大小：通过比较极值点对应的函数值，确定极大值和极小值。
四、示例教学在具体教学中，可以通过以下步骤和实例来引导学生理解和掌握函数的极值与最值。
步骤一：引入问题利用一个实际问题，例如一个汽车行驶的距离和时间的关系，通过绘制图像或给出函数公式，展示函数的变化趋势，并引出极值和最值的概念。
步骤二：概念解释在引入问题后，对极值和最值进行简单而清晰的解释，帮助学生理解这两个概念的含义，并区分极值和最值之间的区别。
步骤三：求解过程演示通过具体的函数例子，例如二次函数或三角函数，演示求解函数的极值与最值的过程。
引导学生理解每一步骤的目的和意义。
步骤四：学生练习提供一些练习题目，让学生自己应用所学的求解方法，求解给定函数的极值与最值。
逐步增加难度，让学生独立思考和解决问题。
步骤五：总结与巩固结合课堂练习的结果，对函数的极值与最值进行总结，强化学生对这一概念的理解和应用能力。
五、教学评估在教学过程中，可以进行以下一些评估方式：1. 课堂练习：通过课堂练习题目的完成情况，评估学生对函数极值与最值的理解和应用能力。
高中数学文科之函数的极值和最值(文)知识梳理
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
高中函数的极值与最值问题
高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。
本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。
一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。
极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。
最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。
1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。
类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。
2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。
类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。
二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。
具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。
2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。
具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。
3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。
具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。
三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。
【高中数学】导数与函数的极值、最值
高中数学学科
t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
所以 f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为 f(0)＝1，
所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(2)设 h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则 h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
N＝－19，M－N＝1－(－19)＝20.
2．(2018·梅州期末)函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1,3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
高中数学学科
B．(3,5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
高中数学学科
导数与函数的极值、最值
一、基础知识
1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0； 而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0； 而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b 叫做函数 y＝f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是高中数学中的重要知识点，也是数学分析中的基础内容。
导数可以帮助我们分析函数的变化趋势，而极值与最值则能帮助我们找到函数的局部极大值和最大值。
本文将对导数与函数的极值与最值进行总结和介绍。
一、导数的定义与求法1.导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，可以理解为函数图像在该点的斜率。
若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数表示为f'(x)，可以用极限的形式来定义，即：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h2.导数的求法常见函数的导数求法有以下几种方法：（1）利用导数定义进行求解，使用极限的性质来计算；（2）使用基本导数公式，如常数函数导数为0，幂函数导数为幂次减1等；（3）使用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等；（4）利用复合函数、反函数和参数方程的求导法则；（5）利用隐函数求导法则，将函数的表达式转化为关于x和y的方程，然后进行求导等。
二、函数的极值与最值1.极值的定义函数f(x)在点x=a处的极值，指的是函数在该点的函数值最大或最小。
如果存在f(a) > f(x)（或f(a) < f(x)）对于x在a的某个邻域内成立，则称f(a)是函数的极大值（或极小值）。
2.函数极值的判定条件对于函数f(x)，有以下判定条件可以帮助我们确定其极值：（1）一阶导数的零点：若f'(x) = 0，则该点可能为函数的极值点；（2）二阶导数的符号：若f''(x) > 0，则该点为函数的极小值点；若f''(x) < 0，则该点为函数的极大值点；（3）导数的单调性：若f'(x)在某个区间上始终保持正（或负）号，则该区间上的极值点为极小值（或极大值）点；（4）端点：函数在区间的端点上也可能存在极值。
3.最值的定义与求法函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值称为最值。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
高中数学中的函数的极值与最值的计算
高中数学中的函数的极值与最值的计算函数是数学中一个非常重要的概念，而函数的极值与最值的计算则是数学中的一大难题。
本文将介绍高中数学中函数的极值与最值的计算方法。
一、函数的极值与最值的定义在介绍计算方法之前，首先需要明确函数的极值与最值的概念。
对于一个函数而言，极值是指函数在某个区间内的最大值和最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值和最小值。
二、函数极值的计算方法1. 极值的必要条件一个函数的极值点必须满足函数导数为零或不存在。
根据这一条件，我们可以通过以下步骤来计算函数的极值：（1）确定函数的定义域和导数的定义域；（2）求出函数的导数；（3）解方程f'(x) = 0，求得极值点的x坐标；（4）将x坐标带入原函数，得到极值点的y坐标。
2. 极值的充分条件当函数的二阶导数存在时，可以通过二阶导数的正负性来判断极值的类型。
（1）当f''(x) > 0时，函数在该点取得极小值；（2）当f''(x) < 0时，函数在该点取得极大值。
（3）当f''(x) = 0时，结论不确定，需要进一步分析。
三、函数最值的计算方法1. 最值的必要条件函数在整个定义域内取得最值的点，必须是函数在该点的极值点或者是端点。
因此，可以通过以下步骤来计算函数的最值：（1）找出函数的所有的极值点及端点；（2）计算函数在这些点的取值，并比较得到最大值和最小值。
2. 最值的充分条件当函数在定义域的两个端点上都取到定义域内的最大值或最小值时，可以判断函数在整个定义域内取得最值。
四、例题解析以函数f(x) = x^2 - 2x + 1为例进行极值与最值的计算：首先求出导数：f'(x) = 2x - 2；令f'(x) = 0，解方程得到极值点的x坐标：x = 1；将x = 1代入原函数，得到极值点的y坐标：f(1) = 0；因此，函数f(x) = x^2 - 2x + 1在x = 1处取得极小值0。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
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1
g(x) x3 , g'(0)不存在, 但 x0不是 g( x) 的极值点.
3.极值的判别法
定理2(第一判别法) 设 f ( x) 在 x 0 的一个去心邻域 内可导, 且在 x 0 处连续.
(1) 若当 x由小到大经过 x 0 时, f '(x)的符号由正变负 则 f ( x0 ) 是极大值.
mm f( x i1 ) n f, ( x 2 { ),f( .x k .)f ., ( a ,)f, ( b )}
例3 求函数 y2x33x21x 214 在 [3,4] 上的最大值和最小值。
解 y2x33x21x 21在 4[3,4]上连续 它[在 3,4]上一定有 M和 最最 大m 小 值 . 值
记 f(x)2x33x21x 2 14
f'(x)6x26x126(x2)x (1)
令 f'(x)0 解得 x2, 1
x5 x 3
f ( x) 的极小值点: x1 x 2 x 3 f ( x) 的极大值点: x4 x 5
x
b
2.极值点的必要条件
定理1
若 f ( x) 在 x 0 处取得极值, 且
f ( x) 在 x 0 处可导, 则 f'(x0)0
证 不妨设 f ( x0 )是极大值.
按定义,
0
存在去心邻域 U ( x0 , )
(2) 若当 x由小到大经过 x 0 时, f '(x)的符号由负变正 则 f ( x0 ) 是极小值.
(3) 若当 x由小到大经过 x 0 时, f '(x)的符号不改变 则 f ( x0 ) 不是极值.
f (x)
(
x0
x0
(1) f'(x)
+
)
x
x0
f ( x0 ) 是极大值
f (x)
(
f(x)在[a,b]上连续 f(x)在 [a,b]上一定有M最 和大 最值 小 m. 值
求法:
(1) 在(a,b)内,求出f'使 (x)0及导数不存 , 记为: x1,x2,...,.xk
(2) 计算f(x)在上述各点处的及函 f(a数 ),f值 (b)
(3) Mm f( a x 1 )f x , (x 2 ) {,f( .x k .)f ., ( a ,)f, ( b )}
从而 f '(x) 0
当 x0xx0时 , xf '(
x x
)
0
0
从而 f '(x) 0
f (x0)是极大值(第一判别法)
(2) 类似可证.
例2 求函数 f(x)sixncoxs的极值.
解 f ( x) 是周期函数，T2
只需考虑 f ( x) 在区间 [0,2] 上的情况.
f '(x) coxss ixn
x (,0) 0 (0,4) 4 (4,6) 6 (6,)
f '(x)
-
不 存
+
0
-
不 存
-
在
在
f (x)
极
极
非
小
大
极
值
值
值
(4) 极小值: f (0) 0 极大值: f (4) 2 3 4
说明 如果由 f '(x) 的表达式不易确定它在驻点
附近的符号, 那么, 用极值的第一判别法就不好求
极值了. 但是,这时若函数 f ( x) 在驻点处的
(2)
f'(x)
1
(6x2
x3
2
)3
4 (12x3x2)
3
4
x 3
2
(6 x ) 3 x(4x)
1
x3
2
(6 x ) 3 (4x)
4x
3 x 3 (6 x)2
令 f'(x)0 解得 x4 x0,x6时, f '(x) 不存在
(3)讨论单调性
4 x f'(x)
3 x 3 (6 x)2
limf'(x)f'(x0)
xx0
xx0
lim x x0
f '(x) x x0
f''(x0)0
lim
x x0
f '(x) x x0
0
(f'(x0)0)
由函数极限的局部保号性得: 0,
当 0|xx0|时 ,就有
f '(x) 0 x x0
. 于是,
当 x0xx0时 , xf
'(
x x
)
0
0
一、函数的极值
1.定义 如果存在 x 0 的一个去心邻域, 对于该去心邻域 内的任一点 x, 都有
f(x)f(x0) ()
成立, 则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极大值, 称 x 0 为函数 f ( x) 的极大值点. (极小值)
(极小值点)
y yf(x)
a x1 x4 o x 2
这类问题称为“最优化问题” 在数学上，这类问题可归结为：
求某个函数的最大值或最小值的问题 （简称最值问题）
这里，我们只研究一些较简单的最值问题。
1. 设函数f ( x) 是闭区间 [a, b] 上的连续函数, 且在
(a, b) 内只有有限个导数为0或不存在的点.
求 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上的最值.
令 f '(x) 0 解得 x , 5
44 f''(x) sixncoxs
极 极ff'''大 小'((544值 值)) ff((445ss)ii n)n454 2cco2os445s 22
0
0
二、 函数的最大值和最小值
在实际中，经常遇到这样的问题： 怎样使产品的用料最省？成本最低？生产时间最短？ 怎样使生产的效益最高？利润最大？
x0
x0
(2) f'(x)
-
)
x
x0
+
f ( x0 ) 是极小值
f (x)
(
x0
x0
(3) f'(x)
+
)
x
x0
+
f ( x0 ) 不是极值
f (x)
f '(x)
(
x0
x0
-
)
x
- x0 f ( x0 ) 不是极值
例1 求 f(x)3 6x2x3 的极值.
解 (1)定义域: (,)
使得
0
对于任意 xU(x0,), 都有 f(x)f(x0)
即：对于任意 xU(x0,),都有 f(x)f(x0)
又 f(x)在x0处可导 由费马引理得: f'(x0)0
定义 若 f'(x0)0 , 则称 x 0 是函数 f ( x) 的驻点.
注: 由定理1得: 若 x 0 是函数 f ( x) 的极值点, 则 f'(x0)0 或 f '( x0 ) 不存在. 反之不然. 反例:
二阶导数存在且不为零,则可用下面的定理来求极值.
定理3(第二判别法) 设 f ( x) 在x 0 处二阶可导, 且 f'(x 0)0 ,f''(x 0)0 ,则 (1)当 f''(x0)0时, f ( x0 )是极大值
(2)当 f''(x0)0时, f ( x0 )是极小值
证 (1) 按定义
f
''(x0)