空间几何二面角解题技巧练习

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空间几何二面角解题技巧练习

空间几何二面角解题技巧练习作者: 日期:知识点：二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点•直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。

常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。

方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线P A 、PB,连接AB,根据三垂线定理、例题：例1 •在棱长为1的正方体 AC 1中，（1）求二面角A B 1D 1 C 的大小;例2 •如果二面角丨的平面角是锐角，点P 到，，1的距离分别为2「2,4,4「2,求二面角的大小.（垂面法）。

例3 .在正方体 A C 1中,E 是BC 中点,F 在A A 1上,且A 1F : FA= 1 : 2,求平面 B E F 与底面 A 1B 1C 1D 所成的二面角•方法四（投影面积法角为，则S z =Sco s 或方法五（异面直线法 ,, 2 2 2 2 ）一个平面上的图形面积为S,它在另一个平面上的投影面积为 S'，这两个平面的夹 s /c O s =-・S =n, C D =d,则有 A B =m+n + d -2mncos ,故 cos = 在已知二面角两个面上两点间距离说明：原来的公式中理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角2 2 2 2 =m+n + d 2mnc o s .但二面角可以取钝钝角方法六（空间向量法）如图5,设n1,n 2,是二面角相交成角，AC B D 分别在、上，且与棱垂直•若AC =m,BD m n d AB） 2mn （即丨AB|）的情况下，可以用此公式来求 •），故根据A 、E 的位置情况公式是 AB ,故只需取“-”号得出公式（1 ）• l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧,另一个指向外侧，则二面角的平面角 =arccos 締。

二面角四种求法_5个例题解决二面角难题

四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。

（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

注：o 点在棱上，用定义法。

(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。

注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。

(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。

注：点O 在二面角内，用垂面法。

(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。

（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。

解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。

设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。

（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。

立体几何中二面角的求法

立体几何中二面角的求法
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。

二、垂线法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的
度数。

三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。

（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面；（2）求二面角A 1-EC-D 的大小。

四、延伸法
中点，
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC
1
求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。

五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。

立体几何二面角解题技巧

立体几何二面角解题技巧
1. 嘿，你知道吗，找二面角的关键之一就是找到垂直啊！就像在迷雾中找到那盏明灯！比如说在一个三棱锥里，一条棱垂直于一个面，那这可就是找到二面角的重要线索啦，可不能错过呀！
2. 哇，观察图形多重要啊！就好比侦探找线索一样。

看到那些边啊角啊，要仔细研究。

像有两个平面相交，在交线上找特殊点，这就是解题的突破口呀，你能忽视吗？
3. 嘿，不要小瞧辅助线的威力呀！它简直就是我们的秘密武器。

比如在一个复杂的图形里，画上那么一条精准的辅助线，二面角不就清晰可见了，这得多厉害呀！
4. 哇塞，定义可不能忘啊！那可是基础呀。

想想看，根据二面角的定义去寻找，有时候答案就呼之欲出了。

就像要去一个地方，知道了路线图，还怕找不到吗？
5. 嘿呀，利用三角函数也是很妙的一招呢！把边和角的关系用三角函数表示出来，就像给二面角穿上了合适的衣服。

比如知道两边和夹角，不就能算出二面角的大小了，多神奇呀！
6. 哎呀，从特殊情况入手也不错哟！有时候先想想特殊的图形或者条件，就像找到了开门的钥匙。

比如正方体里的二面角，那不是很容易找到规律嘛，你还不赶紧试试？
7. 嘿，空间想象力可要好好锻炼呀！把图形在脑子里转起来，就像放电影一样。

当你能清晰地“看”到二面角的时候，解题还会难吗？
8. 哇，多种方法结合起来更是厉害啦！就如同各路英雄一起作战。

观察图形、画辅助线、利用定义等等，一起上，二面角肯定乖乖就范呀！
我的观点就是，只要掌握这些解题技巧，立体几何二面角就不再让人头疼，而是变得有趣又好解决啦！。

求二面角的几何法

3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。

下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。

例1. 如图 ABCD 是矩形，AB =a ，BC =b (a >b)，沿对角线AC 把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC ，证明：平面 ABD ⊥平面BCD 。

证明：由题意可知：AD ⊥BC ，AD ⊥DC∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD例2. 在四棱锥 A-BCDE 中，底面是直角梯形，其中 BC ∥DE ，∠BCD =90°，且 DE =CD =21BC ，又AB =AE =21BC ，AC =AD ，求证：面ABE ⊥面BCD 。

证明：取BE 的中点M ，CD 的中点N ，连结 AM ，AN ，MN ，∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中，∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM又 AM ⊥BE ，CD 、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，CB∴ AM ⊥面BCD ，又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。

当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。

1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。

例3.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ，又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，易求 ∠PAC =30°例4.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ，求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。

全国高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

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本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S — AM — B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）;在另一半平面 ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如 GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

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例1如图，四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD 为矩形,DC SD 2，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60 °（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B 的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形 ABM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为 AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM GF 交AS 于G ，连结 AC ‘•••△\DC 也ZADS , A AS-AC ，且 M 是 SC 的中点， •••AM 丄SC , GF 丄 AM ,「.GF //AS ，又T F 为 AM 的中点， •••GF 是Z AMS 的中位线，点 G 是AS 的中点。

SD 底面 ABCD ，AD 2c残骛楼諍锩瀨濟GC籟。

则GFB即为所求二面角••••$“2，则GF练习1如图，已知四棱锥 P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 丄平面ABCD , ABC 60 ,E , F 分别是BC , PC 的中点•酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

(I)证明：AE 丄PD ;(H)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值6为，求二面角E — AF — C 的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证 AE 丄AD 后推出AE 丄平面APD ，使命题获证，而第 2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二J 15 面角的平面角的顶点 S ,和两边SE 与SC ,进而计算二面角的余弦值。

立体几何篇(空间角之二面角)

立体几何篇（空间角专题之二面角）二面角的定义：在两个平面的交线上任取一点，过该点，在各自的平面内作交线的垂线，两根射线所成的平角即为两个平面的二面角，二面角的范围为ο≤θ或]0≤180,0[π二面角的求法：1、定义法：2、三垂线法：（最重要的方法）3、面积比法：4、垂面法：5、向量法：（建系）例题1、定义法：（当等腰三角形出现的情况下，用定义法）1、求正四面体相邻的两个平面的所成二面角余弦值的大小2、如图，在三棱锥A BCD-中，侧面ABD ACD，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且31AD BD CD===，，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD BC⊥；（2）求二面角B AC D--的余弦值；2、三垂线法（也叫站柱法）三垂线定理：（1）垂直于斜线由垂直于射线；（2）垂直于射线则垂直于斜线。

ABCD例3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正切值；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C所成角的正切值．例4、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, AB ∥CD ,∠DAB = 60,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(Ⅰ).求证: BD ⊥平面AED .(Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值.E F BA C D3、面积比法原射S S =θcos例5、1111D C B A ABCD -是长方体，侧棱1AA 长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求面DE C 1与底面CDE 所成二面角的正切值。

例6、E 为正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，求平面E AB 1的底面1111D C B A 所成锐角的余弦值。

4、垂面法通过作二面角棱的垂面得到平面角的方法叫垂面法。

例7、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.Pβα lC B A。

解二面角问题三种方法(习题及答案)

解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1：如图，立体图形 V — ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角它的度数。

例2:在三棱锥 P-ABC 中，N APB=Z BPC* CPA=60,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体 ABC — A 1B 1G D 中，找出二面角 B — AC — B i 的平面角并求出它的度数。

2、 .边长为a 的菱形ABCD ，/ ACB=60,现沿对角线BD 将其折成才60°的二面角，贝U A C 之间的距离为 _______ 。

（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC — ABQ 的底面边长是4,过BC 的一个平面与 AA 交于D,若A[=3,求二面角D-BC — A 的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。

并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。

在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。

至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

V — AB — C 的平面角并求出CAD B1D(2)三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。

解答二面角问题的三种措施

备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。

定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。

证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。

则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG FGFG∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-例2. （2010全国I 理，19题，12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又.故ADE ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接AF,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.所以，AFG ∠是二面角A DE C --的平面角. 连接AG,A G=2,2263FG DG DF =-=, 2221cos 22AF FG AG AFG AF FG +-∠==-,所以，二面角A DE C --的大小为120°.例3（2010浙江省理，20题，15分）如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成'A EF ，使平面'A EF BEF ⊥平面.（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长.练习（2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，60ABC∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面P AD所成最大角的正切值为62，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。

高中二面角经典例题

高中二面角经典例题
高中二面角是几何中的一个重要概念，掌握二面角的概念和计算方法对于理解空间几何和解题都具有重要意义。

下面介绍一些经典的高中二面角例题，供大家练习和参考。

1.已知四面体ABCD中，AB=3，AC=4，AD=5，BC=6，CD=8，BD=7，求角ABC和角BAD的二面角。

2.已知直角棱锥ABCDE，以AD为底面对角线，EA为高，
AB=AC=AD=10，BC=BD=CD=5，求角EAB和角EAC的二面角。

3.已知正四面体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，求角A和角A1的二面角。

4.已知正方体ABCDA1B1C1D1E1F1E，F在平面ABC上，以AF为底面对角线，求角FA1B1和角FA1C1的二面角。

5.已知正八面体ABCDEFGH，以AB为底面对角线，求角E和角H 的二面角。

以上这些例题都是比较典型的高中二面角例题，需要运用几何相关知识和计算方法进行解答。

希望同学们能够认真学习和练习，掌握二面角的概念和计算方法，提高几何解题能力。

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利用传统方法解决二面角问题(五大题型)(学生版)

利用传统方法解决二面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：三垂线法题型三：射影面积法题型四：垂面法题型五：补棱法【方法技巧与总结】二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角α-l -β的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可)．法二：三垂线法在面α或面β内找一合适的点A ，作AO ⊥β于O ，过A 作AB ⊥c 于B ，则BO 为斜线AB 在面β内的射影，∠ABO 为二面角α-c -β的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A ，作AO ⊥β于O ；②过点(与①中是同一个点)做交线的垂线；即过A 作AB ⊥c 于B ，连接BO ；③计算：∠ABO 为二面角α-c -β的平面角，在Rt △ABO 中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos θ=S 射S 斜=S △A 'B 'C 'S △ABC，如图2)求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线(称为补棱)，然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．【典型例题】题型一：定义法1.(2024·高一·江西宜春·期末)如图(1)，六边形ABCDEF 是由等腰梯形ADEF 和直角梯形ABCD 拼接而成，且∠BAD =∠ADC =90°，AB =AF =EF =ED =2,AD =CD =4，沿AD 进行翻折，得到的图形如图(2)所示，且∠AEC =90°.(1)求证：CD ⊥平面ADEF .(2)求二面角C -AE -D 的余弦值；2.(2024·高一·全国·随堂练习)如图，在圆锥PO 中，已知PO =2，⊙O 的直径AB =2，点C 在AB上，且∠CAB =30°，点D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD(2)求二面角P -AC -O 的正弦值．3.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2 .求：(1)求二面角B-PA-C的大小．(2)求二面角A-PD-C的大小.(3)求二面角B-PD-A的大小的正弦值．题型二：三垂线法1.(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC.(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；(2)设AB=PC=2，AC=1，求二面角B-PA-C的余弦值．2.(2024·高一·江苏南京·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：AC⊥面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．3.(2024·高二·江苏南京·阶段练习)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=4，E为AD的中点．(1)求证：平面PCE⊥平面PAD；(2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．题型三：射影面积法1.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．2.(2024·新疆和田·高一校考期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．3.(2024·高一课时练习)直角三角形ABC的斜边在平面α内，两条直角边分别与平面α成30°和45°角，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成的锐二面角的余弦值为．1.(2024·高一·云南玉溪·期末)如图，三棱锥P-ABC的底面△ABC是等腰直角三角形，其中AB=AC=PA=PB=2，平面PAB⊥平面ABC，点E，N分别是AB，BC的中点．(1)证明：EN⊥平面PAB；(2)求二面角C-PB-A的余弦值．2.(2024·高一·安徽芜湖·期末)如图，在三棱台ABC-DEF中，∠ACB=90°，BF⊥AD，BC=2，BE=EF=FC=1．(1)求证：平面BCFE⊥平面ABC；(2)若直线AE与平面BCFE所成角为π3，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．1.(2024·山东淄博·高一统考期末)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为棱BB1、BC的中点．(1)证明：直线DN⎳平面AMD1；(2)设平面AMD1与平面ABCD的交线为l，求点M到直线l的距离及二面角D1-l-C的余弦值．2.(2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC.(1)从三棱锥P-ABC中选择合适的两条棱填空：⊥，则三棱锥P-ABC为“鳖臑”；(2)如图，已知AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(i)证明：平面ADE⊥平面PAC；(ii)设平面ADE与平面ABC交线为l，若PA=23，AC=2，求二面角E-l-C的大小.3.(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设PC=2AB=4，求二面角E-l-C大小的取值范围.【过关测试】1.(2024·高一·广西玉林·阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°,2AB=2BC=CC1=2，D是棱CC1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求平面AB1D与侧面BB1C1C所成锐角的正切值.2.(2024·高一·河南商丘·阶段练习)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为棱AA1的两个三等分点．(1)求证：CE∥平面BDF；(2)求二面角C1-BD-F的余弦值．3.(2024·高一·山东淄博·阶段练习)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD．(1)证明：平面PBD⊥平面ACE；(2)证明：OE⊥PD(3)求二面角D-AC-E的余弦值4.(2024·高一·陕西西安·阶段练习)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B，A1C的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C.(1)求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；(2)若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1-B1C-C1的平面角的正切值.5.(2024·高一·广东云浮·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，PA=2，∠ABC=60°，E为PC中点．(1)证明：PA⎳平面BED；(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值．6.(2024·高一·山东枣庄·阶段练习)如图，E是直角梯形ABCD底边AB的中点，AB=2DC=2BC，将△ADE沿DE折起形成四棱锥A-BCDE.(1)求证：DE⊥平面ABE；(2)若二面角A-DE-B为60°，求二面角A-DC-B的余弦值.7.(2024·高一·北京怀柔·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．(1)证明：CD1⎳平面A1BD；(2)证明：BD⊥平面A1AC；(3)求二面角A1-BD-A的正弦值．8.(2024·高一·广西·期末)如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，∠BAD=∠BCD=π2，AB=BC= 2，PA=BD=4，过点C作直线AB的平行线交AD于F，G为线段PD上一点．(1)求证：平面PAD⊥平面CFG；(2)求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值．9.(2024·高一·辽宁葫芦岛·期末)如图，在多面体ABCDEF中，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3．(1)在线段FC上确定一点H，使得平面BDH⎳平面AEF；(2)设G是线段EC的中点，在(1)的条件下，求二面角A-HG-B的大小．10.(2024·高一·贵州毕节·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB=3,AD=2，侧面PAD是等腰三角形，且PA=PD=2，侧面PAD⊥底面ABCD.(1)求证：AP⊥平面PCD；(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值.11.(2024·高一·内蒙古包头·期末)如图，已知AB是圆的直径，且AB=4,PA垂直圆所在的平面，且PA=3,M是弧AB的中点．(1)求点A到平面PBM的距离；(2)求二面角A-BM-P的正弦值．12.(2024·高一·辽宁·期末)如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=π2，D，E分别是AC，AB的中点，F为线段CD上一点(不含端点)，将△ADE沿DE翻折到△A1DE的位置，连接A1C，A1B，得到四棱锥A1-BCDE，如图2所示，且A1F⊥CD．(1)证明：A1F⊥平面BCDE；-BD-C的平面角的正切值．(2)若直线A1E与平面BCDE所成角的正切值为155，求二面角A113.(2024·高一·安徽宣城·期末)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形．(1)若AB=22，求直线AB和CD所成角的余弦值；(2)若点E在棱AD上，AE=1AD且三棱锥A-BCD的体积为4，求二面角E-BC-D平面角大小的3正弦值．14.(2024·高一·福建福州·期末)如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点.(1)求证：DM⊥PC；(2)在线段PB上是否存在一点Q使得MQ⎳平面PNC，存在指出位置，不存在请说明理由.(3)求二面角B-PC-N的正弦值．。

空间向量与立体几何用坐标法求二面角

B1(2，2，2)，O(1，1，0)。所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
D O
A
B1O (1，1， 2)
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
所以B1O MA ， B1O MC 即B1O MA ， B1O MC。又MA
6。 6
例练习四：如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C = 900,
SA

平面ABCD,
SA

AB

BC

1,
AD

1 2
, 求面zSCD与面SBA
所成二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
S
A (0,0,0), C (- 1,1,0), D (0,1 ,0),
2
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
P
(3)求二面角C-PB-D的大小。
E F
D
C
A
G
B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
Z
11
E(0, , ) 22
P
E F
D
C Y
A
G
B
X
（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB (1,1,1)
又DE (0, 1 , 1),故PB DE 0 1 1 0
22
22
所以PB DE
Z
由已知EF PB,
且EF DE E,