空间几何二面角解题技巧练习
空间几何二面角解题技巧练习
空间几何二面角解题技巧练习作者: 日期:知识点：二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点•直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。
常用的方法有以下几种：方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线P A 、PB,连接AB,根据三垂线定理 、例题：例1 •在棱长为1的正方体 AC 1中，（1）求二面角A B 1D 1 C 的大小;例2 •如果二面角丨 的平面角是锐角，点P 到，，1的距离分别为2「2,4,4「2,求二面角的大小.（垂面法）。
例3 .在正方体 A C 1中,E 是BC 中点,F 在A A 1上,且A 1F : FA= 1 : 2,求平面 B E F 与底面 A 1B 1C 1D 所成的二面 角•方法四（投影面积法 角为，则S z =Sco s 或 方法五（异面直线法 ,, 2 2 2 2 ）一个平面 上的图形面积为S,它在另一个平面 上的投影面积为 S'，这两个平面的夹 s /c O s =-・S =n, C D =d,则有 A B =m+n + d -2mncos ,故 cos = 在已知二面角两个面上两点间距离说明：原来的公式中 理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角2 2 2 2 =m+n + d 2mnc o s .但二面角可以取钝钝角 方法六（空间向量法）如图5,设n1,n 2,是二面角相交成角，AC B D 分别在、上，且与棱垂直•若AC =m,BD m n d AB） 2mn （即丨AB|）的情况下，可以用此公式来求 •），故根据A 、E 的位置情况公式是 AB ,故只需取“-”号得出公式（1 ）• l 的两个半平面的法向量，其方向一个指向内 侧,另 一个指向外侧，则二面角的平面角 =arccos 締。
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
立体几何中二面角的求法
立体几何中二面角的求法
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
二、垂线法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的
度数。
三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。
（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面； （2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
四、延伸法
中点，
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC
1
求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。
五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。
立体几何二面角解题技巧
立体几何二面角解题技巧
1. 嘿，你知道吗，找二面角的关键之一就是找到垂直啊！就像在迷雾中找到那盏明灯！比如说在一个三棱锥里，一条棱垂直于一个面，那这可就是找到二面角的重要线索啦，可不能错过呀！
2. 哇，观察图形多重要啊！就好比侦探找线索一样。
看到那些边啊角啊，要仔细研究。
像有两个平面相交，在交线上找特殊点，这就是解题的突破口呀，你能忽视吗？
3. 嘿，不要小瞧辅助线的威力呀！它简直就是我们的秘密武器。
比如在一个复杂的图形里，画上那么一条精准的辅助线，二面角不就清晰可见了，这得多厉害呀！
4. 哇塞，定义可不能忘啊！那可是基础呀。
想想看，根据二面角的定义去寻找，有时候答案就呼之欲出了。
就像要去一个地方，知道了路线图，还怕找不到吗？
5. 嘿呀，利用三角函数也是很妙的一招呢！把边和角的关系用三角函数表示出来，就像给二面角穿上了合适的衣服。
比如知道两边和夹角，不就能算出二面角的大小了，多神奇呀！
6. 哎呀，从特殊情况入手也不错哟！有时候先想想特殊的图形或者条件，就像找到了开门的钥匙。
比如正方体里的二面角，那不是很容易找到规律嘛，你还不赶紧试试？
7. 嘿，空间想象力可要好好锻炼呀！把图形在脑子里转起来，就像放电影一样。
当你能清晰地“看”到二面角的时候，解题还会难吗？
8. 哇，多种方法结合起来更是厉害啦！就如同各路英雄一起作战。
观察图形、画辅助线、利用定义等等，一起上，二面角肯定乖乖就范呀！
我的观点就是，只要掌握这些解题技巧，立体几何二面角就不再让人头疼，而是变得有趣又好解决啦！。
求二面角的几何法
3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。
下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD 是矩形，AB =a ，BC =b (a >b)，沿对角线AC 把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC ，证明：平面 ABD ⊥平面BCD 。
证明：由题意可知：AD ⊥BC ，AD ⊥DC∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD例2. 在四棱锥 A-BCDE 中，底面是直角梯形，其中 BC ∥DE ，∠BCD =90°，且 DE =CD =21BC ，又AB =AE =21BC ，AC =AD ， 求证：面ABE ⊥面BCD 。
证明：取BE 的中点M ，CD 的中点N ， 连结 AM ，AN ，MN ，∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中，∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM又 AM ⊥BE ，CD 、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，CB∴ AM ⊥面BCD ， 又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°例4.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
全国高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结
二面角的求法定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱 ，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。
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本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S — AM — B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）;在另一半平面 ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如 GF ）， 这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
例1如图，四棱锥 S ABCD 中，底面ABCD 为矩形,DC SD 2，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60 °（I ） 证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ） 求二面角S AM B 的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形 ABM 中过点B 作BF AM 交AM 于点F ，则点F 为 AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM GF 交AS 于G ，连结 AC ‘•••△\DC 也ZADS , A AS-AC ，且 M 是 SC 的中点， •••AM 丄SC , GF 丄 AM ,「.GF //AS ，又T F 为 AM 的中点， •••GF 是Z AMS 的中位线，点 G 是AS 的中点。
SD 底面 ABCD ，AD 2c残骛楼諍锩瀨濟GC籟。
则GFB即为所求二面角••••$“2，则GF练习1如图，已知四棱锥 P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 丄平面ABCD , ABC 60 ,E , F 分别是BC , PC 的中点•酽锕极額閉镇桧猪訣 锥。
(I)证明：AE 丄PD ;(H)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值6为，求二面角E — AF — C 的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证 AE 丄AD 后推出AE 丄平面APD ，使命题获证，而第 2题，则首先必须 在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二J 15 面角的平面角的顶点 S ,和两边SE 与SC ,进而计算二面角的余弦值。
立体几何篇(空间角之二面角)
立体几何篇（空间角专题之二面角）二面角的定义：在两个平面的交线上任取一点，过该点，在各自的平面内作交线的垂线，两根射线所成的平角即为两个平面的二面角，二面角的范围为ο≤θ或]0≤180,0[π二面角的求法：1、定义法：2、三垂线法：（最重要的方法）3、面积比法：4、垂面法：5、向量法：（建系）例题1、定义法：（当等腰三角形出现的情况下，用定义法）1、求正四面体相邻的两个平面的所成二面角余弦值的大小2、如图，在三棱锥A BCD-中，侧面ABD ACD，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且31AD BD CD===，，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD BC⊥；（2）求二面角B AC D--的余弦值；2、三垂线法（也叫站柱法）三垂线定理：（1）垂直于斜线由垂直于射线；（2）垂直于射线则垂直于斜线。
ABCD例3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正切值；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C所成角的正切值．例4、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, AB ∥CD ,∠DAB = 60,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .(Ⅰ).求证: BD ⊥平面AED .(Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值.E F BA C D3、面积比法原射S S =θcos例5、1111D C B A ABCD -是长方体，侧棱1AA 长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求面DE C 1与底面CDE 所成二面角的正切值。
例6、E 为正方体1111D C B A ABCD -的棱1CC 的中点，求平面E AB 1的底面1111D C B A 所成锐角的余弦值。
4、垂面法通过作二面角棱的垂面得到平面角的方法叫垂面法。
例7、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小.Pβα lC B A。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角 的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几 个例子来说明。
例1：如图，立体图形 V — ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角 它的度数。
例2:在三棱锥 P-ABC 中，N APB=Z BPC* CPA=60,求二面角 A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、 在正方体 ABC — A 1B 1G D 中，找出二面角 B — AC — B i 的平面角并求出它的度数。
2、 .边长为a 的菱形ABCD ，/ ACB=60,现沿对角线BD 将其折成才60°的二面角，贝U A C 之间的距离为 _______ 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、 正三棱柱ABC — ABQ 的底面边长是4,过BC 的一个平面与 AA 交于D,若A[=3,求二面角D-BC — A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面 角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何 体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等 等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这 角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角 形的知识去求解。
V — AB — C 的平面角并求出CAD B1D(2)三垂线法： 是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
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知识点： 二面角的求法
一、思想方法
求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。
常用的方法有以下几种：
方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。
方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。
方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）.
方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/
S S
.
方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂
直.若AC=m ，BD=n, CD=d ，则有AB 2=m 2+n 2+d 2-2mncos θ，故cos θ=2
2
2
2
2m n d AB
mn ++- （1）
在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ.
说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况公式是AB 2=m 2+n 2+d 2±2mncos θ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）.
方法六（空间向量法）如图5，设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个
指向内．侧，另一个指向外．侧，则二面角l αβ--的平面角α=12
12arccos ||||
n n n n ⋅。
二、例题：
例1．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小；
（2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小
例2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为22,4,42，求二面角的大小（垂面法）。
例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角.
例4．矩形ABCD 的两边AB=1，AD=
3，以BD 为棱折成二面角，使AC=
72
.求二面角A-BD-C 的大小.
例5．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小．
图12
D
C
F
H
B
A
E 例6．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --
的正弦值
例7．如图，在空间四边形ABCD 中，BCD ∆是正三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，且90BAD ∠=，又二面角A BD C --为直二面角，求二面角A CD B --的大小
三、课堂练习题
1. 如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1所成二面角的正切值等于（ C ）
2. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，Q 是PC 中点．
AC ，BD 交于O 点．
（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小：90° （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小．60°
3. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，34===BC AC AB ，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD =8． ①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ；
③求二面角B －AC －D 的正切值．3
4tg ==∠BF
BD BFD
4. 如图，△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =
∠DBC =120°，求
(1) A 、D 连线和直线BC 所成角的大小； (2) 二面角A －BD －C 的大小
90°．π－arctg2．
5. 正方形ABCD 中，以对角线BD 为折线，把ΔABD 折起，使二面角A ˊ-BD-C 为60°，求二面角B-A ˊC-D 的余弦值。
-7
1
D
A
B
C
6. 如图平面SAC ⊥平面ACB ，ΔSAC 是边长为4的等边三角形，ΔACB 为直角三角形，∠ACB=90°，BC=24，求二面角S-AB-C 的余弦值。
11
22
课后练习：
1. 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=900
，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成300
角，求二面角B-B 1C-A 的正弦值。
二面角B-B 1C-A 的正弦值为
3
6。
2. 已知菱形ABCD 边长为a ，且其一条对角线BD ＝a ，沿对角线BD 将∆A B D 折起与∆B C D 所在平面成直二面角，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点。
(1)求AC 与平面AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角A －EF －B 的正切值。
3. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900
，AB=a,AD=3a,sin ∠ADC=
5
5
,又PA ⊥平面ABCD ，PA=a ，求二面角P-CD-A 的大小。
（答案：arctg 3
5
）
A
B
C
B 1
C 1
A 1
N
Q
4.在直三棱柱ABC—A′B′C′中，∠BAC＝90°，AB＝BB′＝1，直线B′C与平面ABC成30°的角.(如图所示) (1)求点C′到平面AB′C的距离；(2)求二面角B－B′C—A的余弦值.。