西南大学概率论第二次应用题作业[1]

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(完整版)概率论第二版习题

习题一 1习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”；（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}；（3）如记i A ={第i 枚硬币出现正面}（i =1，2，3），试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C .3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C U ；（7）A C -.4. 在区间]2,0[上任取一数，记112A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，1342B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，求下列事件的表达式：（1）A B U ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B U .5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中至少有一个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于一个事件出现；（7）不多于二个事件出现；（8）三个事件中至少有二个出现.6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设i A 表示事件“第i 次抽到废品”，试用i A 的运算表示下列各个事件：（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2）只有第一次抽到废品；（3）三次都抽到废品；（4）至少有一次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试用321,,A A A 表示下述事件：（1）A ={前两次至少有一次击中目标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}；工程数学概率统计简明教程（第二版）2 （3）C ={三次射击至少命中两次}；（4）D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个白球b 个黑球，从中有放回地抽取r 次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记i A ={第i 次抽到白球}（i ＝1，2，…，r ），试用{i A }表示下述事件：（1）A ={首个白球出现在第k 次}；（2）B ={抽到的r 个球同色}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立：（1）ABC =A ；（2）A B C A =U U .习题二 3习题二1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第一次、第二次都取到红球的概率；（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；（3）两次取得的球为红、白各一的概率；（4）第二次取到红球的概率.3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：（1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，一只是不合格品；（3）至少有1只是合格品.5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A ={其中恰有一位精通英语}；（2）事件B ={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C ={其中有人精通英语}.10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A B U ；（4）)(AB P .12. 设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x =31的左边的概率. 13. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h ，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.工程数学概率统计简明教程（第二版）4 14. 已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：（1）)(),(B P A P ；（2）()P A B U ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）)(B A P .15. 设A ，B 是两个事件，已知P （A ）=0.5，P （B ）=0.7，()P A B U =0.8，试求：P （A -B ）与P （B -A ）.*16. 盒中装有标号为1~r 的r 个球，今随机地抽取n 个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m 个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k 个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？4. 罐中有m 个白球，n 个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某一工厂有A ，B ，C 三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C 生产的概率.9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.12. 设事件B A ,相互独立.证明：B A ,相互独立，B A ,相互独立.工程数学概率统计简明教程（第二版）6 13. 设事件A 与B 相互独立，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：(),(),().P A B P A B P A B U U U14. 已知事件A 与B 相互独立，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P . 15. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n 的座位.今有n 个人（每人持有编号为1~n 的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率.（提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n 个事件12,,,n A A A L ，有1121111111()()(1)()(1)().)k k n nk k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+-++-∑∑∑L LL L L U *18. （波利亚（Pólya ）罐子模型）罐中有a 个白球，b 个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的c 个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k 次取得白球的概率为a a b+（1k ≥为整数）.（提示：记{}k A k =第次取得白球，使用全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n 次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.21. 灯泡耐用时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h 以后最多只有一个坏了的概率.22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；（3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.23. 设在三次独立试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P . *24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a 及b .今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.习题三725. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5，而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号1~4的四个盒子，（1）求恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.工程数学概率统计简明教程（第二版）8 习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1）15i i p =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =. 2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）. 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律.6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律：（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X ),6(~p B ，已知)5()1(===X P X P ，求p 与)2(=X P 的值.8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.9．市120接听中心在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：求：（1）某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率.10．某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X 服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y 为观察到的鸡蛋数，即Y 的分布与给定>0X 的条件下X 的分布相同，今求Y 的分布律.习题四 9 （提示：()(0),1,2,.P Y k P X k X k ===>=L 对于）13. 袋中有n 把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.14. 袋中有a 个白球、b 个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ⎧=⎨⎩0,x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）)5.00(<<X P . 17．设随机变量X 的密度函数为()ex f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ；（2）)10(<<X P ；（3）X 的分布函数. 18．证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -⎧⎪≥=⎨⎪<⎩（c 为正的常数）可作为一个密度函数.19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X （单位：min ）是一个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他. X 为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min 的概率.20. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -⎧=⎨-+⎩,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求方程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：min ）是一随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -⎧⎪=⎨⎪⎩,0,,x >其它.某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他工程数学概率统计简明教程（第二版）10 就离开.（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率.24. 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位：min ），X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -⎧->=⎨⎩其他. 求：（1）X 的密度函数；（2）P （至多等待2 min ）；（3）P （至少等待4 min ）；（4）P （等待2 min 至4 min 之间）；（5）P （等待至多2 min 或至少4 min ）.25. 设随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x =+-∞<<+∞，求：（1）常数A ，B ；（2）(1)P X <；（3）随机变量X 的密度函数.26. 设随机变量X 服从)1,0(N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）)2.2(<X P ;（2）)76.1(>X P ;（3）)78.0(-<X P ;（4）)55.1(<X P ;（5）)5.2(>X P ;（6）确定a ，使得99.0)(=<a X P .27. 设随机变量X 服从)16,1(-N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）)44.2(<X P ;（2）)5.1(->X P ;（3）)8.2(-<X P ;（4）)4(<X P ;（5）)25(<<-X P ;（6）)11(>-X P ;（7）确定a ，使得)()(a X P a X P <=>.28. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且二次方程240t t X ++=无实根的概率为12，求μ的值. 29. 某厂生产的滚珠直径X 服从正态分布)01.0,05.2(N ，合格品的规格规定直径为2.02±，求滚珠的合格率.30. 某人上班路上所需的时间)100,30(~N X （单位：min ），已知上班时间是8：30.他每天7：50分出门，求:（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率.习题五11习题五1. 二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，（2，0），且取这些组值的概率依次为125,121,31,61.求这二维随机变量的分布律，并写出关于X 及关于Y 的边缘分布律.2. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3.从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球.设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同.以Y X ,分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求),(Y X 的分布律及)(Y X P =.*3. 从3名数据处理经理、2名高级系统分析师和2名质量控制工程师中随机挑选4人组成一个委员会，研究某项目的可行性.设X 表示从委员会选出来的数据处理人数，Y 表示选出来的高级系统分析师的人数，求：（1）X 与Y 的联合分布律；（2）()P X Y ≥.*4. 盒中有4个红球4个黑球，不放回抽取4次，每次取1个，X ={前2次抽中红球数}，Y ={4次共抽中红球数}，求（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律：（2）给定1X =，Y 的条件分布律.5. 箱子中装有10件产品，其中2件是次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次.定义随机变量Y X ,如下：⎩⎨⎧=10X ,,若第一次取出正品,若第一次取出次品,⎩⎨⎧=10Y ,,若第二次取出正品,若第二次取出次品,分别就下面两种情况（1）放回抽样，（2）不放回抽样.求：（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律; （2）关于X 及关于Y 的边缘分布律;（3）X 与Y 是否独立，为什么？6. 设二维随机变量),(Y X的联合密度函数为01,01,(,)0,x y f x y <<<<=⎩其他.求：（1）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（2）110,022P X Y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭. 7. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中区域D 为x 轴，y 轴及直线y =2x +1围成的三角形区域.求：（1）),(Y X 的联合密度函数；（2）110,044P X Y ⎛⎫-<<<< ⎪⎝⎭；（3）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（4）X 与Y 是否独立，为什么？8. 设二维随机变量),(Y X 服从在区域D 上的均匀分布，其中D 为由直线x +y =1，x +y =-1，工程数学概率统计简明教程（第二版）12x -y =1，x -y =-1围成的区域.求：（1）关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（2）()P X Y ≤；（3）X 与Y 是否独立，为什么？9. 设随机变量X ，Y 是相互独立且分别具有下列分布律：写出表示),(Y X 的联合分布律.10．设进入邮局的人数服从参数为λ的泊松分布，每一个进入邮局的人是男性的概率为p （0<p <1），X 为进入邮局的男性人数，Y 为女性人数，求:（1）关于X 及关于Y 的边缘分布律；（2）X 与Y 是否独立，为什么？11. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，X 服从[0,0.2]上的均匀分布，Y 服从参数为5的指数分布，求：),(Y X 的联合密度函数及)(Y X P ≥.12. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为(34)e (,)0x y k f x y -+⎧=⎨⎩,0,0,x y >>其他,求：（1）系数k ;（2）)20,10(≤≤≤≤Y X P ;（3）证明X 与Y 相互独立.13. 已知二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧-=0)1(),(y x k y x f ,01,0,x y x <<<<其他,，（1）求常数k ;（2）分别求关于X 及关于Y 的边缘密度函数；（3）X 与Y 是否独立？为什么.14. 设随机变量X 与Y 的联合分布律为：且53)01(===X Y P ，求：（1）常数a ，b 的值；（2）当a ，b 取（1）中的值时，X 与Y 是否独立，为什么？*15. 对于第2题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求当2=Y 时X 的条件分布律.习题五13*16. 对于第7题中的二维随机变量),(Y X 的分布，求：（1）1110442P X Y ⎛⎫-<<<< ⎪⎝⎭；（2）当102X x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭时Y 的条件密度函数()Y X f y x . *17. 设二维连续型随机变量),(Y X ，证明：对任何x ，有()()()d ,Y P X x P X x Y y f y y +∞-∞≤=≤=⎰其中()Y f g 为Y 的边缘密度函数.工程数学概率统计简明教程（第二版）14习题六1. 设随机变量X 的分布律为求出:（1）2+X ;（2）1+-X ;（3）2X 的分布律.2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量⎩⎨⎧=10Y ,11.X X ≤>若,若试求随机变量Y 的分布律.3. 设随机变量X 的分布密度为⎩⎨⎧=02)(x x f ,01,,x <<其他,求出以下随机变量的密度函数：（1）X 2；（2）1+-X ；（3）2X .4. 对圆片直径进行测量.测量值X 服从)6,5(上的均匀分布，求圆片面积Y 的密度函数.5. 设随机变量X 服从正态分布），（10N ，试求随机变量函数2Y X =的密度函数)(y f Y .6. 设随机变量X 服从参数1=λ的指数分布，求随机变量函数e X Y ＝的密度函数)(y f Y .7. 设随机变量X 服从)1,0(N ，证明：a X +σ服从),(2σa N ，其中σ,a 为两个常数且0>σ.8. 设随机变量X 在区间]2,1[-上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 0,0,0.X X X >=<，若，若，若试求随机变量函数Y 的分布律.9. 设二维随机变量),(Y X 的分布律:习题六15求以下随机变量的分布律:（1）Y X +;（2）Y X -;（3）X 2;（4）XY . 10. 设随机变量X ,Y 相互独立，且11,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，11,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭:，（1）记随机变量Y X Z +=，求Z 的分布律；（2）记随机变量X U 2=，求U 的分布律.从而证实：即使X ，Y 服从同样的分布，Y X +与X 2的分布并不一定相同.*11. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，给定X k =，Y 的条件分布为参数为k ，p 的二项分布（0<p <1，k 为非负整数）.求:（1）Y 的分布律；（2）X -Y 的分布律；（3）证明：Y 与X -Y 相互独立. （提示：()()(),0,1,.k yP Y y P Y y X k P X k y +∞=======∑L ）12. 设二维随机变量X ，Y 的联合分布律为:求:（1）max(,)U X Y =的分布律；（2）),min(Y X V =的分布律；（3）(,)U V 的联合分布律.13. 设二维随机变量()Y X ,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线0,0==y x ，2,2==y x 所围成的区域，求X Y -的分布函数及密度函数.*14. 设随机变量X ，Y 相互独立，且有相同的分布(0,1)N ，U X Y =-，V X Y =-，求:（1）U 的密度函数；（2）V 的密度函数.15. 设二维随机变量,X Y 的分布密度为),(y x f ，用函数f 表达随机变量Y X +的密度函数.16. 设随机变量2~(,)X N a σ，2~(,)Y N b τ，且X ，Y 相互独立，Z X Y =+，求Z X x =的条件分布密度函数.17. 用于计算机接线柱上的保险丝寿命服从参数2.0=λ的指数分布.每个接线柱要求两个这样的保险丝，这两个保险丝有独立的寿命X 与Y .（1）其中一个充当备用件，仅当第一个保险丝失效时投入使用.求总的有效寿命Z ＝X +Y 的密度函数.（2）若这两个保险丝同时工程数学概率统计简明教程（第二版）16独立使用，则求有效寿命max(,)U X Y =的密度函数.18. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，记Z 是以X ，Y 为边长的矩形的面积，求Z 的密度函数.*19. 设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求X Z Y=的密度函数.（提示：使用1()()()()d ()d Z Y F z P Z z P Z z Y y f y y P X yz y =≤=≤==≤⎰⎰，其中用到X 与Y 的独立性.）习题十二23习题七1. 设随机变量X 的分布律为求：（1）()E X ;（2）)1(+-X E ;（3）)(2X E ;（4）()D X .2. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布（0>λ），且已知((2)(3))2E X X --=，求λ的值.3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望2()E X .4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量.它在[2 000，4 000]（单位：吨）上服从均匀分布.若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元.问应组织多少货源，才能使平均收益最大？5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3.假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()E X 和方差()D X .6. 设随机变量X 有分布律:1()(1,2,),k k p P X k pq k -====L其中01,1p q p <<=-，称X 服从具有参数p 的几何分布，求()E X 和()D X .（提示：由幂级数逐项求导的性质可知211011k kk k kq q q ∞∞-=='⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑,21(1)k k k k q∞-=-=∑3012)11k k q q q q ∞=''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 7. 设随机变量X 的密度函数为1()e 2x f x -=，求:（1）()E X ;（2）)(2X E 的值.8. 某商店经销商品的利润率X 的密度函数为)(x f 2(1)0,x -⎧=⎨⎩,01,x <<其他,求()E X ，()D X .9. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求1(1)E X -+.工程数学概率统计简明教程（第二版）2410. 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，0M >为整数，max(,)Y X M =，求()E Y . *11. 设随机变量X 有分布律：(),0,1,2,,k M N M k n k p P X k k n M N n -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭====∧⎛⎫ ⎪⎝⎭L ，其中min(,)n M n M ∧=. 12(1):.12(1)n n n n n n m m m m m m ⎛--⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭提示使用*12. 将已写好n 封信的信纸随机地装入已写好的n 个收信人的对应地址的信封，若有一封信的信纸的收信人与信封一致时，称之为有一个配对.今X 为n 封已随机装好的信的配对数，求(),()E X D X .111111,:(1,2,,),,(),()0,cov(,),()=()2cov(,).n i i i i j i n n ni j i j i=1i j j i X i n X X E X E X X X X D X D X X X =-==+⎛⎧=== ⎨ ⎩⎝⎫+⎪⎭∑∑∑∑L 第封信配对,提示记有先求其他及使用公式13. 设随机变量X 的概率密度为1e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩求()E X ，)2(X E ，2(e )X E X -+，()D X .14. 设随机向量),(Y X 的联合分布律为:求,(),(),(2),(3),(),(),cov(,),.X Y E X E Y E X Y E XY D X D Y X Y ρ-15. 盒中有3个白球和2个黑球，从中随机抽取2个，X ，Y 分别是抽到的2个球中的白球数和黑球数，求X 与Y 之间的相关系数Y X ,ρ.16. 设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为22e ()0x X f x -⎧=⎨⎩,0,,0,x x >≤44e ()0y Y f y -⎧=⎨⎩,0,,0,y y >≤求)(Y X D +.*17. 设随机变量1,,n X X L 独立，具有公共的（0，1）上的均匀分布，令1min ,i i nY X ≤≤=求(),()E Y D Y .习题十二25*18. 设随机变量X 有密度函数1e ,0,()()0,xx x f x ααλλα--⎧>⎪=Γ⎨⎪⎩其他λα>>（0，0为常数），则称X 服从具有参数αλ（，）的伽玛分布，记为~X αλΓ（，），其中10()e d y y y αα∞--Γ⎰=.有性质：对任意实数x ，有(1)()x x x Γ+=Γ，特别对正整数n 有(1)!n n Γ+=.今设1~(,)Y αλΓ，2~(,)Z αλΓ，且Y 与Z 相互独立，ZW Y=，求()E W 1:()().Z E W E E Z E Y Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭提示使用独立性,有 *19. 设随机变量X 服从参数为（a ，b ）的贝搭分布，即有密度11()(1),01,()()()0,a b a b x x x a b f x --Γ+⎧-<<⎪ΓΓ=⎨⎪⎩其他,求(),()E X D X .[提示：已知贝搭函数1110:(,)(1)d ,.t t t αβαββαββαβαβ--⎛⎫ΓΓ=- ⎪Γ⎝⎭⎰()()提示已知贝搭函数有关系式(,)=(+) 20. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式()(,)d d E X xf x y y x +∞+∞-∞-∞=⎰⎰及按公式()()d E X xf x x +∞-∞=⎰算得的()E X 值相等.这里，),(y x f ,)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度，即证明：()(,)d d E X xf x y y x +∞+∞-∞-∞=⎰⎰()d xf x x +∞-∞=⎰21. 设二维随机变量),(Y X 服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线x +y +1=0所围成的区域，求：（1）()E X ;（2）)23(Y X E +-;（3）)(XY E 的值.22. 设随机变量),(Y X 的联合密度函数为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其他.求()E X ，()E Y ， ()E XY ，22()E X Y +，()D X ，()D Y .23. 设随机变量Y X ,相互独立，且()()1E X E Y ==，()2D X =，()3D Y =.求：（1）22(),()E X E Y ；（2）)(XY D .24. 袋中有2n个外形完全相同的球，其中n k ⎛⎫⎪⎝⎭个标有数字k （k =0，1，…，n ），从中不放回抽取m 次（每次取1个），以X 表示取到的m 个球上的数字之和，求E （X ）.。

概率论与数理统计(二)试题及答案.

全国2009年7月自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题小题，，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，，请将其代码填写在题后的括号内请将其代码填写在题后的括号内。

错选错选、、多选或未选均无分选均无分。

1.设A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则有( )A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A B )=1D.P(AUB)=P(A)+P(B)2.设A 、B 相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则下列等式成立的是( )A.P(AB)=0B.P(A-B)=P(A)P(B )C.P(A)+P(B)=1D.P(A | B)=03.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.375D.0.504.设函数f (x)在[a ，b]上等于sin x ，在此区间外等于零，若f (x)可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间[a ，b]应为( ) A.[2π−，0] B.[0，2π] C.[0，π] D.[0，2π3] 5.设随机变量X 的概率密度为≤<−≤<=其它021210)(x x x x x f ，则P(0.2<X<1.2)= ( ) A.0.5B.0.6C.0.66D.0.76.设在三次独立重复试验中，事件A 出现的概率都相等，若已知A 至少出现一次的概率为19／27，则事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A.61 B.41 C.31 D.21 7.221 α β 则有( )A.α=91，β=92 B. α=92，β=91 C. α=31，β=32 D. α=32，β=31 8.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为( )A.-2B.0C.21D.2 9.设μn 是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的ε>0，均有}|{|lim n εµ>−∞→p n P n ( )A.=0B.=1C.>0D.不存在 10.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H 0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是( )A.必接受H 0B.可能接受H 0，也可能拒绝H 0C.必拒绝H 0D.不接受，也不拒绝H 0二、填空题(本大题共15小题小题，，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计习题二答案

概1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=⨯===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=⨯+⨯=⋃==P X P363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=⨯+⨯+⨯=⋃⋃==P X P ……2P （X 2=1）=P （"1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃）=36112求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P 3、进行重复独立试验。

设每次试验成功的概率为)10(<<p p（1）将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时称X 服从参数为p 的几何分布。

求X 的分布律。

（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服从参数为r 、p 的巴斯卡分布。

求Y 的分布律。

解：（1）{},......2,1,)1(1=-==-k p p k X P k （k-1次未成功，最后一次成功）（2）{},......1,,)1(11+=-==---r r k p p C k X P rk r r k解：（1）是（2）不是，因概率之和不为15、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P .....,2,1,===试确定常数a（2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==k b k X P k试确定常数b（3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!>=⋅==λλk k c k X P k为常数，试确定常数c 解：（1）{}111====∑∑==a Nak X P Nk Nk ， 1=∴a （2）{}1231323211==-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==∑∑∞=∞=b b b k X P k kk ， 21=∴b（3）{}1!==⋅==∑∑∞=∞=λλe c k c k X P k kk ， λ-=∴e c6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15===k kk X P 其分布函数为)(x F ，试求：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ，（2）{}21≤≤X P ，（3）⎪⎭⎫⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521=+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=（2）{}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 51152151=+= （3）⎪⎭⎫⎝⎛51F051=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=X P7、一大楼装有5个同类型的供水设备。

西南大学概率论与数理统计习题集答案

1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。

（A ）∑=-ni iXn122)(μσ是统计量（B ）∑=ni iXn122σ是统计量（C ）∑=--ni i X n 122)(1μσ是统计量（D ）∑=ni i X n12μ是统计量2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2χY ，则YX 3服从（ C ）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χC ）。

)(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）.)(A ∑-=-1111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 21 )(D ∑-=111n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2(0,)N σ的样本，2σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.（A ）3/X σ；（B ）414ii X=∑；（C ）σ-1X ；（D ）4221/ii Xσ=∑6、设总体),(~2σμN X ，1,,n X X 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)B nX N μσ22211()()~()ni i C X n μχσ=-∑(~()D t n7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ）( A ) . 12X X +( B ){}max ,15i X i ≤≤( C ) 52X p +( D )()251X X -8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。

概率论第二章习题解答(全)

概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。

若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。

解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。

在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。

解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。

每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。

因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。

概率论与数理统计及其应用第二版课后答案

kCn(M1)nk。nM
7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。
（1）求3只球至少有1只配对的概率。
（2）求没有配对的概率。
解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为120%30%10%40%；
（2）至少有一种症状的概率为140%60%；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有554100个。（1）该数是奇数的可能个数为44348个，所以出现奇数的概率为
480.48 100
（2）该数大于330的可能个数为24545448，所以该数大于330的概率为
480.48 100
5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
1
概率论与数理统计及其应用习题解答
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为899648，所以所求得概率为
6480.72 900
4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

西南大学《概率统计初步》网上作业及参考答案

第一套作业题一.单项选择题1.设A 、B 是二事件，9.0)(=⋃B A P ，P(A)=0.5 , P(B)=0.8,则P(B-A) = ( ).A 0.4B 0.3C 0.2D 0.12.一部四卷的文集随意摆放到书架上，则恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1，2，3，4的概率为（）。

A241 B 121 C 61 D 313.服从（）分布的随机变量为连续型随机变量。

A 二项B 均匀C 几何D 两点4.设随机变量为X 与Y ，已知DX=25,DY=36,相关系数ρ=0.4,则D(X-Y)=( ). A. 85 B. 61 C. 11 D .37. 二.判断题1．设A 、B 、C 表示三事件，则事件“A 、B 、C 三事件中至多有一个发生”表为A ∪B ∪C 。

【】2.从1，2，3，4，5，6这六个数中随机的、有放回的连续抽取4个，则“取到的4个数字完全不同”的概率为5/18. 【】3.X ～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3). 【】4.随机变量X 、Y 独立，则X 与Y 必不相关。

【】5.某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准重量为每袋500克。

某天从生产的产品中随机抽取9袋，测得平均重量501.3克，样本标准差5.62，假设每袋重量服从正态分布N (a,σ2),检验该天包装机工作是否正常,应用t 检验。

【】三.填空题1.有10个产品其中3个次品，从中任取2个，则取出的2个中恰有1个次品的概率为。

2.设A 与B 为两个随机事件，且P （A ）= 0.3，P （B ）= 0.5，若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）= .3．某城市50％住户订日报，65％订晚报，85％住户至少订有这两种报纸的一种，现随意抽取一住户，则该住户同时订有这两种报纸的概率为 .4．设=≥==)1(,9/4)0(),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若.5. 假设X ，Y 为二随机变量，且D （X ＋Y ）＝7，D （X ）＝4，D （Y ）＝1，则Cov(X,Y)= .四．解答题1.假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率。

西南[0264]概率论20年6月机考大作业参考答案

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教2020年5月课程名称【编号】：概率论【0264】A卷大作业满分：100分要答案：wangjiaofudao本套大作业共有五个大题，请各位学员在其中选做4个大题，满分100分，多做按顺序由前四个题目的得分之和计总分。

所有题目的解答均需给出解题步骤，涉及到计算的请保留小数点后3位一、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题10分，第二小题15分）1、一颗骰子投4次至少得到一个六点与两颗骰子投24次至少得到一个双六，这两件事中哪一件有更多机会遇到？2、设X与Y为相互独立的随机变量,,Y的密度函数为求E(X-Y)、D(X-Y).二、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题10分，第二小题15分）1、在某一男、女人数相等的人群中，已知5％的男性和0.25％的女性患有色盲，今从该人群中随机的抽出一人，求：（1）此人患有色盲的概率；（2）若已知某人患有色盲，则此人是男性的概率为多少？2、若的密度函数为求：（1）常数；（2）。

三、（本题满分25分）设的联合密度函数为,（1）求的边际密度函数，的边际密度函数，并说明与是否独立？（2）求及它们的相关系数。

三、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题15分，第二小题10分）1、有两门同型号的高射炮，已知它们击中敌机的概率均为0.6，现同时向敌机开炮，求：（1）敌机被击中的概率；（2）恰好一门炮击中敌机的概率；（3）若只用两门炮，要保证击中敌机的概率不低于0.99，则该高射炮的命中率应达到多少？2、设是单调非降函数，且，对随机变量，若，证明：对任意的五、（本题共两个小题，满分25分，其中第一小题15分，第二小题10分）1、若服从分布，求的密度函数。

2、设随机变量服从泊松分布，求的特征函数；并用特征函数证明：若与相互独立，且，则。

概率论与数理统计第二章习题及答案

概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P XP C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=qk －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

春西南大学概率论作业答案全

精品文档判断题3：随机变量X 的方差DX 也称为X 的二阶原点矩。

错误4：掷硬币出现正面的概率为P , 掷了n 次，则至少出现一次正面的概率为1-(1-p)n. 正确 5：随机变量X 的取值为不可列无穷多，则X 必为连续型随机变量。

错误 6：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0，则A 与B 必相互独立. 错误 7： “ABC ”表示三事件A 、B 、C 至少有一个发生。

错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是X 与Y 的协方差等于0。

正确 9：设X 、Y 是随机变量，若X 与Y 相互独立，则E(XY)=EX •Ey. 正确 10：连续型随机变量均有方差存在。

错误11： A.B 为任意二随机事件，则P(A ∪B)=P(A)+P(B). 错误12：设A 、B 、C 为三事件，若满足：三事件两两独立,则三事件A 、B 、C 相互独立。

错误 4：设事件为A 、B ，已知P(AB)=0,则A 与B 互不相容.错误5：随机向量（X,Y ）服从二元正态分布，则X 的边际分布为正态分布，Y 的边际分布也为正态分布. 正确 6：若X ～B(3,0.2),Y ～B(5,0.2),且X 与Y 相互独立，则X+Y ～B(8,0.2). 正确 7： X 为随机变量，a,b 是不为零的常数，则D(aX+b)=aDX+b. 错误8：设X 、Y 是随机变量，X 与Y 不相关的充分必要条件是D(X+Y)=DX+DY. 正确 2： C 为常数，则D(C)=0. 正确3：若X 服从二项分布B(5,0.2),则EX=2. 错误4： X 服从正态分布，Y 也服从正态分布, 则随机向量（X,Y ）服从二元正态分布。

错误5：若X 服从泊松分布P(10),Y 服从泊松分布P(10),且X 与Y 相互独立，则X+Y 服从泊松分布P(20). 正确 6：cov(X,Y)=0等价于D(X+Y)=DX+DY. 正确7：随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。

西南大学0264(概率论)

的密度函数为。
（2）。
（3）的密度函数。
三、（15分）设的联合密度函数为
（1）求的边际密度函数；（2）是否相互独立？为什么？（3）求条件密度函数 .
解答：（1）
（2）因为，故与不独立。
（3）当0<y<1时，条件密度函数。
四、（10分）设随机变量服从参数为的泊松分布，即
，
（1）求出的特征函数；（2）利用的特征函数证明： .
解：（1）书架有左右两边的旁边位置，因此，第一卷出现在旁边的的概率。
有左边 +右边，因此概率为0.4。
（2）第一卷及第五卷出现在旁边，包括第一卷在左边、第五卷在右边，及第一卷在右边、第五卷在左边。
有左边 +右边，因此概率为0.1。
2、设随机变量X的概率密度为
且，求k、b的值。
解答：由得
又因得
所求概率为
即有15个或更多终端在使用的概率约为0.1814.
联立两组方程得
3、，，，求 .
解答：
由
得，原式=
4、一机器生产的某型号螺栓长度为（单位：cm）服从正态分布，按规定螺栓长度在范围内为合格，（1）求一螺栓不合格的概率；（2）现抽取了这台机器生产的三个螺栓，求它们均合格的概率。
解答：
（1）一螺栓不合格的概率为
=
（2）由上题可知，一螺栓合格的概率为0.9544
解答：（1）求出的特征函数；
（2）由
所以
又因
从而得，得证。
五、（10分）某计算机系统有120个终端，每个终端有10%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，利用中心极限定理求出有15个或更多终端在使用的概率。

概率论与数理统计第二章随机变量及其概率分布练习题答案详解

第二章随机变量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题答案与提示（答案在最后）1．一盒零件中有9个合格品和3个废品，现从中任取一个零件，如果是废品不再放回，而从其余剩下的零件中另取一个，如此继续下去，直到取得合格品为止，求取出的废品个数ξ的分布律．2．在汽车行进路上有四个十字路口设有红绿灯，假定在第一．第三个路口汽车遇绿灯通行的概率为6.0，在第二．第四个路口通行的概率为5.0，并且各十字路口红绿灯信号是相互独立的．求该汽车在停下时，已通过的十字路口数的概率分布．3．把4个球任意放到3个盒中，每个球都以同样的概率31落到任一个盒中，用ξ表示落到第一个盒中的球的个数，求ξ的分布律．4．设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是01.0，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小．5．设在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为002.0，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取赔付费2000元．试问：(1) 一年内保险公司亏本的概率是多少？(2) 一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 6．某盒产品中有8件正品，2件次品，每次从中任取一件进行检查，直到取得正品为止．分别按不放回抽样和有放回抽样，求所需抽取次数的分布律．7．从一批有90个正品和10个次品的产品中任取5个，求抽得的次品数ξ的概率分布．8．通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为0001.0=p ，假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间内发生两次以上事故的概率．9．设某种晶体管的寿命ξ（单位：小时）的概率密度函数为=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>,100,0,100,1002x x x (1) 若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间少于200小时的概率是多少？(2) 若一个电子仪器中装有三个独立工作的这种晶体管，在使用150小时之后恰有一个管子损坏的概率是多少？10．设随机变量ξ在)6,0(上服从均匀分布，求方程04522=-++ξξx x有实根的概率．11．以下哪个可以是随机变量的分布函数：(1) =)(x F 211x+， (2) =)(x F arctgx π2143+ (3) =)(x F x －e ， (4) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<．，，，，，1 1112121 03x x xx12．设随机变量ξ的概率分布为==)(k P ξk a2， ,3,2,1=k ，求：(1) 常数a ； (2) )(为偶数ξP ； (3) )5(≥ξP ．13．已知ξ的分布律为==)(k P ξkck 6.0， ,3,2,1=k ，求常数c ．14．设随机变量ξ的分布律为ξ 0 1 2 P31 61 21 求ξ的分布函数，并求：(1) )21(≤ξP ；(2) )231(≤<ξP ；(3) )231(≤≤ξP .15．设随机变量ξ的分布律为ξ 2- 0 2 3P71 73 72 71求ξ的分布函数．16．一个靶子是一个半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并假设每次射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，求随机变量ξ的分布函数．17．已知一本书中每页上的印刷错误ξ服从参数为2.0的泊松分布，试求(1) ξ的概率分布；(2) 求每页上印刷错误不多于一个的概率．18．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=，，，，，，，　，41415.0112.010)(x x x x x F求ξ的分布律．19．下列哪一个函数可能成为随机变量ξ的密度函数： (1) =)(x f x-e， +∞<<∞-x ；(2) =)(x f )1(12x +π， +∞<<∞-x ；(3) =)(x f ⎩⎨⎧≤其它；，，，011x(4) =)(x f ⎩⎨⎧<<其它．，，，00sin πx x20．若)(x f ，)(x g 均在同一区间],[b a 上是概率密度函数，证明： (1) )(x f +)(x g 不是这区间上的概率密度函数；(2) 对任一数k (10<<k )，)()1()(x g k x kf -+是这个区间上的概率密度函数．21．已知连续型随机变量ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+=-000e )(x x B A x F x ，，，λ (0>λ为常数)，求：(1) 常数A ，B ；(2) 密度函数)(x f ．22．设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-，，，，000e )(22x x B A x F x 求:(1) 常数A ，B ；(2) )21(<<ξP ；(3) ξ的密度函数)(x f ．23．设随机变量ξ的密度函数为)(x f xc λλ-=e(0>λ为常数)，求：(1) 常数c ；(2) ξ的分布函数；(3) )21(<ξP ．24．某加油站每周补充油料一次，如果它的周出售量ξ（单位：千加仑）是一个随机变量，密度函数为=)(x f ⎩⎨⎧<<-其它，，，，010)1(54x x 要使在给定的一周内油库被吸光的概率是01.0，这个油库的容量应该是多少千加仑？25．设随机变量ξ的概率密度为=)(x f ，其它，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<0211102x x x ax 求:(1) 常数a ；(2) 分布函数)(x F ；(3) )35.0(<<ξP ．26．某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数为5的泊松分布，问该商店月初应库存多少件此种商品，才能以999.0的概率满足顾客的需要？27．已知某自动车床生产的零件，其长度ξ（单位：厘米）服从正态分布)75.0,50(~2N ξ，如果规定零件长度在5.150±厘米之间的为合格品，求：(1) 零件的合格率；(2) 生产三只零件，至少有一只是不合格的概率． 28．某数学竞赛中的数学成绩)10,65(~2N ξ，若85分以上者为优秀，试问数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？29．某地抽样调查考生的英语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数%3.2，求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率．30．设随机变量ξ服从参数为2，p 的二项分布，即),2(~p B ξ，随机变量η),3(~p B ，若95)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP ． 31．已知ξ服从参数为λ的Poisson 分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP ．32．已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ 1 2 3 4 5P 51 51 51 51 51 求：(1) 12+=ξη；(2) 2)2(-=ξη的分布律．33．设随机变量ξ的分布律为ξ 2π-2ππP 2.0 3.0 4.0 1.0求：(1) 2ξη=；(2) ξηcos =的分布律．34．设某球直径的测量值为随机变量ξ，若已知ξ在],[b a 上服从均匀分布，求该球体积36ξπη=的概率密度．35．设)1,0(~N ξ，求ξη=的概率分布密度． 36．设随机变量ξ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，求随机变量ξηsin =的分布密度)(x f ．答案详解1． ξ 0 1 2 3P 43 4492209 22012． ξ 0 1 2 3 4P 4.0 3.0 12.0 09.0 09.0 3．把一个球放入盒中看作一次试验，每个球落到第一个盒中的概率都为31，4个球放入（3个）盒中可以看作4重贝努里试验，所以落入第一个盒中的球数)31,4(~B ξ，即ξ的分布律为:)(k P =ξ=kk k C -44)32()31(，4,3,2,1,0=k4．按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修的设备数为ξ，则)01.020(~，B ξ．这里设备发生故障时不能及时维修的事件，也就是一个工人负责的20台设备中至少有两台发生了故障，其概率为)2(≥ξP -=-=)0(1ξP )1(=ξP20002099.001.01⋅⋅-=C 1912099.001.0⋅⋅-C 2.00!02.01--≈e 2.01!12.0--e =-=-2.02.11e 0175231.0．上述近似计算是用了泊松定理，其中参数2.0==np λ.按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需要维修的设备数为η，则)01.080(~，B η，这里设备发生故障时不能及时维修的事件，就是80台中至少有4台发生故障，其概率为)4(≥ηP =∑=--30808099.001.0C 1k k k k∑=--≈308.0!8.01k k e k 00908.0≈，比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能节省人力，又能把设备管理得更好．5．(1) 000069.0， (2) 986305.06．不放回抽样，所需抽取次数的分布律为:ξ 1 2 3P 54 458 451放回抽样，所需抽取次数的分布律为:==P )(k ξ54)51(1⋅-k ， ,3,2,1=k7．==)(k P ξ510059010C C C k k -⋅， 5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=k 8．0045.09．(1) 41， (2) 9410．5.011．(4)12．(1) 1=a ， (2) 31， (3) 16113．由分布律的性质可知:∑∞====1)(1k k P ξ∑∞=16.0k kk c ，为了求级数∑∞=16.0k kk 的和，令)(x f =∑∞=1k k k x ，逐项求导，得)(x f '=∑∞=-11k k x =x -11，从而 ⎰'xx x f 0d )(=⎰-x x 0d x 11，即)(x f －)0(f =)1ln(x --，又因)0(f =0，从而)(x f =)1ln(x --，令6.0=x ，得=)6.0(f 25ln 4.0ln =-，从而1)2ln 5(ln --=c14．=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<212121103100x x x x ，，，，，，， (1) 31； (2) 0； (3) 6115．=)(x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<3 ,1,32,76,20,74,02,71,2,0x x x x x 16．=)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<2,1,20,4,0,02x x xx 17．(1) ==)(k P ξ2.0e !2.0-k k ， ,2,1,0=k ， (2) 983.0)1(=≤ξP 18． ξ 1- 1 4P 2.0 3.0 0.5 19．(2) 20．略21．(1) 1=A ，1-=B (2) =)(x f ⎩⎨⎧<≥-0,0,0 ,e x x x λλ22．(1) 1=A ，1-=B ， (2) 4712.0， (3) =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,0,0,e 22x x x x23．(1) 21， (2) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-,0,e 211,0 ,e 21x x x xλλ (3) 2e 1λ--24．设油库的容量为x 千加仑，据题意，01.0)(=>x P ξ，即99.0)(=≤x P ξ，=≤)(x P ξ⎰-xdx 04x )(15=--=5)1(1x 99.0，从而01.0)1(5=-x ，3981.01=-x ，解得6019.0=x （千加仑）25．(1) 1， (2) =)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<,2,1,21,123,10,2,0,02x x x x x x (3) 875.026．1327．(1) 9545.0， (2) 1304.0 28．%3.229．设考生的英语成绩为ξ，则ξ),72(~2σN ，由题意知，=≥)96(ξP 023.0)729672(=-≥-σσξP ，故977.0)24()2472(=Φ=<-P σσσξ，查表得，224=σ，所以12=σ，因此，)12,72(~2N ξ，从而所求概率为=≤≤)8460(ξP )1272841272127260(-≤-≤-ξP )1()1(-Φ-Φ=6824.0= 30．=<)1(ξP 94951=-，即94)1(C )0(2002=-==p p P ξ，解得31=p ，从而=≥)1(ηP )1(1<-ηP )0(1=-=ηP =--=3003)1(1p p C 271931．2e 32-32．(1) η 3 5 7 9 11 (2) η 0 1 4 9P 51 51 51 51 51 P 51 52 51 5133．(1) η 0 42π 2πP 3.0 0.6 0.1(2) η 1- 0 1P 1.0 6.0 3.034．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其它－,0,66,92133323b y a y a b πππ 35．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,e 222y2y y －π36．ξ的密度函数为=)(x f ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,,0,22,1其它πππx由于x y sin =在]2,2[ππ-内严格单调增加，因此存在反函数y x arcsin =，其导数为:211y x y -='，x y sin =在]2,2[ππ-上的最大值为1，最小值为1-，利用随机变量的单调函数的分布密度的公式，得η的密度函数为:=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<-',,0,11)(arcsin )(arcsin 其它，y y y f ξ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,0,11,112y yπ。

西南大学《概率统计》网上作业题及答案

[0068]《概率统计》网上作业题答案第一次作业 [论述题]作业1 参考答案：答案1第一章作业答案1：设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件：(1) C B A (2) C B A (3) C B A (4) C B A (5) C B A (6) C B C A B A (7) C B A (8) CA BC AB2： 0.5 0.33：已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。

求下列事件的概率：(1) 两只都是正品； (2) 两只都是次品；(3) 一只是正品，一只是次品； (4) 第二次取出的是次品。

解：（1）452821028=P P （2）45121022=P P（3）451622101218=P P P （4）459210221218=+P P P P4：在3题中若将不放回抽样改为有放回抽样，所求概率分别为多少？解：（1）64.0101088=⨯⨯ （2）04.0101022=⨯⨯（3）32.010108228=⨯⨯+⨯ （4）2.010102228=⨯⨯+⨯5：在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小号码为5的概率。

（2）求最大号码为5的概率。

解：（1）12131025=C C (2)20131024=C C6：从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：21131410141618110=-P P P P P （用逆事件）7：在11张卡片上分别写上probability 这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability 的概率。

0000024.041111221711711==⨯⨯⨯⨯⨯⨯P P8：已知41)(=A P ，31)|(=AB P ，21)|(=B A P ，求)(B A P 。

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)

西大2014《概率论》作业答案(6次作业-已整理)西南大学2014年秋季学期《概率论》作业答案（6次作业,已整理）第一次作业1：[判断题]"A∪B∪C”表示三事件A、B、C至少有一个发生。

参考答案：正确2：[判断题]从一堆产品中任意抽出三件进行检查，事件A 表示"抽到的三个产品中合格品不少于2个”，事件B表示"抽到的三个产品中废品不多于2个”，则事件A与B是互为对立的事件。

参考答案：错误3：[判断题]已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,则P(A∪B)=0.6参考答案：正确4：[判断题]设A、B、C为三事件，若满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P (C),则三事件A、B、C必然相互独立。

参考答案：错误5：[判断题]每一个连续型随机变量均有方差存在。

参考答案：错误6：[判断题]设X、Y是随机变量，若E(XY)=EX•EY,则X 与Y相互独立.参考答案：错误7：[判断题]X为随机变量，a,b是不为零的常数，则E(aX+b)=aEX+b.参考答案：正确8：[判断题]X～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3).参考答案：正确9：[判断题]任意随机变量均存在数学期望。

参考答案：错误10：[判断题]一批产品有10件正品，3件次品，现有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品为止，假定每件产品被取到的机会相同，用随机变量ξ表示取到正品时的抽取次数，则ξ服从几何分布。

参考答案：正确11：[单选题]设X是随机变量，且EX=DX,则X 服从（）分布。

A：二项B：泊松C：正态D：指数参考答案：B12：[单选题]（）是离散型随机变量的分布。

A：正态分布B：指数分布C：均匀分布D：二项分布参考答案：D13：[填空题]一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）"第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为；（2）"第一卷出现在旁边”的概率为。

概率论与数理统计第二次习题课解答

I−2+|u|≤v≤2−|u|dv
−∞
2 − |u| = 4 I|u|≤2.
然后，再象解法 1 中那样求出 FX+Y 。解法 3：直接计算 X + Y 的概率分布函数
FX+Y (z) = P∫ ∫(X + Y ≤ z) = fX,Y (x, y)dxdy
x+∫y∫≤z 1 + xy(x2 − y2)
题 3 求区间 [a, b] 上取值的随机变量可能达到的最大方差？何时达到？
题 4 设随机变量 X, Y 的联合概率密度函数为
1 + xy(x2 − y2)
fX,Y (x, y) =
, 4
求 X + Y 的概率分布函数 FX+Y 。
题 5 投掷一枚公平的硬币，记正面为 T 、反面为 T ，
|x| ≤ 1, |y| ≤ 1.
两个随机变量是二元正态分布时，不相关才与独立等价。）
题 7 设 X 为一连续型随机变量，求实数 c，使得 E|X − c| 达到最小.
题 8 设随机变量 X，Y 独立，都服从标准正态分布 N (0, 1)，(X, Y ) 的联合密度函数记为 f (x, y)；
{
xy
1. 证明；函数 g(x, y) =
∫∞
x
p(t)dt
=
∫∞
0
p(t)dt
∫t
0
nxn−1
dx
=
∫∞
0
tnp(t)dt
=
E (X n .)
题 3 求区间 [a, b] 上取值的随机变量可能达到的最大方差？何时达到？
解：E((X
−
E (X ))2
≤
E((X

概率论习题2答案

习题22.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次，以X 表示前后两次出现点数之和，求X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。

2.1解：样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω，且每个样本点出现的概率均为361，X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 {}{}{}363)2,2(),1,3(),3,1()4(,362)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(=========P X P P X P P X P类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,361)12(,362)11(====X P X PX 的概率分布为36118112191365613659112118136112111098765432kp X 满足：1362/652636543212366)(122=⨯⨯+=+++++==∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}kP X k ae -==， k=1，2,…，试确定常数.a2.2解：由于11111)(1--∞=-∞=-====∑∑e e a aek X P k kk ，故1111-=-=--e e e a2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：（1）两人投中的次数相同；（2）甲比乙投中的次数多。

2.3解：设Y X ,分别为甲、乙投中的次数，则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ，因此有2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k kk k k（1）两人投中次数相同的概率为∑======23142.0)()()(k k Y P k X P Y X P（2）甲比乙投中次数多的概率为5628.0)]1()0()[2()0()1()()()(2==+==+===<==>∑=Y P Y P X P Y P X P k Y P k X P Y X P k 2.4设离散随机变量X 的概率分布为 {}12k P X k ==， k=1，2，….求（1）{}2,4,6,...P X =；（2）{}2.5P X ≥；2.4解：（1）{}4.015615321)3()2()1(31==++==+=+==≤≤X P X P X P X P （2）{}2.01531521)2()1(5.25.0==+==+==<<X P X P X P2.5设离散随机变量X 的概率分布为 {}15kk X P ==， k=1，2，3，4，5.求（1）{}13P X ≤≤；（2）{}0.5 2.5P X <<；2.5解：（1）{}314/114/14121)2(,...6,4,21121=-======∑∑∑∞=∞=∞=k k k k k k X P X P （2）25.0412/118/121)()3(33==-====≥∑∑∞=∞=k kk k X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率为0.4，当A 发生3次或3次以上时，指示灯发出信号，求下列事件的概率.（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号；（2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；2.6解：设X 为4次独立试验时事件A 发生的次数，设Y 为5次独立试验时事件A 发生的次数，则有)4.0,5(~),4.0,4(~B Y B X （1）所求概率为：1792.04.06.04.04)4.01(4.0)4.01(4.0)4()3()3(434444434334=+⨯⨯=-+-==+==≥--C C X P X P X P（2）所求概率为：31744.04.06.04.056.04.010)4.01(4.0)4.01(4.0)4.01(4.0)5()4()3()3(5423555554544535335=+⨯⨯+⨯⨯=-+-+-==+=+==≥---C C C Y P Y P Y P Y P2.7 某城市在长度为t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。

概率论与数理统计(二)试题

概率论与数理统计（二）自考试题(2004年7月)一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题2分，共12分）1.设随机事件A与B互不相容，且有P（A）>0，P（B）>0，则下列关系成立的是（）。

A. A，B相互独立B. A，B不相互独立C. A，B互为对立事件D. A，B不互为对立事件2.已知P（A）=0.3，P（B）=0.5，P（A∪B）=0.6，则P（AB）=（）。

A. 0.15B. 0.2C. 0.8D. 13.设随机变量X～B（100，0.1），则方差D（X）=（）。

A. 10B. 100.1C. 9D. 34.设随机变量X～N（-1，5），Y～N（1，2），且X与Y相互独立，则X-2Y服从（）分布。

A. N（-3，1）B. N（-3，13）C. N（-3，9）D. N（-3，1）5.设随机变量X的概率密度为f（x）=则区间（a，b）是（）。

A. （0，）B. （- ，0）C. （-π，π）D. （- ，）6.设随机变量X～U（0，2），又设Y=e-2X，则E（Y）=（）。

A.（1-e-4）B.（1-e-4）C.- eD. -4在以下计算中，必要时可以用Φ（）表示计算结果，这里Φ（x）是标准正态N（0，1）的分布函数。

二、填空题（每空2分，共30分）7.已知P（A）=0.3，P（B）=0.5，P（A∪B）=0.8，那么P（）=______，P（）=______.8.一袋中装有两种球：白色球和花色球。

已知白色球占总数的30%，又在花色球中有50%涂有红色。

现从袋中任取一球，则此球涂有红色的概率为______.9.观察四个新生儿的性别，设每一个出生婴儿是男婴还是女婴概率相等，则恰有2男2女的概率为______.10.同时掷3颗骰子，则至少有一颗点数为偶数的概率为______.又若将一颗骰子掷100次，则出现偶数点的次数大于60次的概率近似为______.11.设X～N（5，4），若d满足P（X>d）=Φ（1），则d=______.12.已知X服从两点分布，其分布列为X 0 1pk 0.4 0.613.袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有6无4的概率为______.14.设随机变量X有密度f（x）=则K=______15.设总体X～N（μ，），X1，X2，X3，X4是来自X的样本，是样本均值，S2是样本方差，则～______，～________，Cov（2X1，X3）=________，E（S2）=________，E ［（X1-X2）2］=______.三、计算题（第16小题8分，第17、18小题各10分，共28分）16.设电流I（安）的概率密度为f（x）=电阻R的概率密度为g（y）=设I2与R相互独立。

概率论与数理统计第2章作业题解(初稿)(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解：并且，361)12()2(====X P XP ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10()1kkk k aea e ∞∞--====∑∑，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P)5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P(2))2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P}3{)2(≥X P 解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2)(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。