24.3 圆周角(第3课时)

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人教版九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 (19张PPT)

4、将一个正五边形绕它的中心旋转，至少要旋转_7_2__度，才能与原来的图形位置重合.
互动探究一
若同一个圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边心距分别为 r3,r4,r6,则r3:r4:r6等于多少？
方法归纳交流：正多边形的半径，边心距和边长的一半构成___三勾股定理求解角形，可以用
互动探究二
3
4
的证明思路：
C
D
弦相等→多边形的边相等
弧相等→
圆周角相等→多边形的角相等
这个正多边形就是这个圆的内接正多边形, 这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
二、正多边形的有关概念E
正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心.
F
半径R
. 中心角 O
正多边形的半径:
外接圆的半径（即：中心到顶
点的连线）
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角.
知识点二：一般正n边形的画法
E
B
请根据课本中提供的方法，在右图中画出圆的内接正五边形，并试着总结正多边形的画法。 C
O D
归纳总结：在圆内作相等的___可以等分圆周，顺次连接各分点，即可得到正多边形。
请根据课本中所提供的特殊正多边的画法，在练习本上分别画出圆内接正方形和正六边形
预习自测
1、完成下表：
如图，正八边形ABCDEFGH内接于圆O，点P 是弧GH上任意一点，则∠CPE的度数为（ D）
A.30°
B.15° C.60° D.45°
A
H P
B
G
O
C F
D
E
变式：如图， △ PQR是⊙O的内接正三角
形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
BC∥QR，则∠DOR的度数是

9年级数学(第24章圆)24.3 圆周角(沪科版学习、上课课件)

知1－练
技巧提醒圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题．特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°．由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7，四边形ABCD 内接于⊙ O，连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径，弦BC=BD，若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转︵

沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计

沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是沪科版数学九年级下册第24章的教学内容，主要包括圆周角的定义、圆周角定理及其推论。

通过本节课的学习，学生能理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些几何问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基础知识，具备一定的几何思维能力。

但是，对于圆周角的定义和定理的理解，以及如何运用定理解决实际问题，还需要进一步引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，能运用定理解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。

四. 教学重难点1.重点：圆周角的定义，圆周角定理及其推论。

2.难点：圆周角定理的证明和运用。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生主动探索和发现圆周角的性质。

2.互动法：鼓励学生之间进行讨论和交流，培养团队合作意识。

3.实践法：让学生通过实际操作，加深对圆周角定理的理解。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体设备。

2.学具：学生用书、练习册、圆规、直尺。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基础知识，如圆的定义、圆心角等。

然后提出问题：“什么是圆周角？”，激发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角的定义，并用动画演示圆周角的形成过程。

同时，引导学生观察和思考圆周角与圆心角的关系。

3.操练（10分钟）教师给出一些具体的圆周角例子，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，加深对圆周角的理解。

4.巩固（10分钟）教师提出一些关于圆周角的问题，让学生进行小组讨论和交流，共同解决问题。

同时，教师进行巡视指导，帮助学生克服困难。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考圆周角定理的证明，并分组进行证明实验。

24.3-正多边形和圆市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

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新课讲解
2、正多边形与圆有何关系？思索：将⊙O分成相等5段弧，把这些等分点顺次连接起来，得到是什么图形？为何？
A
B
E
C
D
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1：我们以圆内接正五边形为例证实.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,(等弧对等弦)
2
S正方形ABCD AB BC 2R 2R2
D ·O
E
C
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知一求二练习：若正三角形半径为4，则它边心距是 ____，2边长是____4_。3
重点：正三角形、正方形、正六边形
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例2.有一个亭子，它地基是半径为4m正六边形（如图）求地基周长和面积。
若正多边形周长为l，边
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2. 各边相等圆内接多边形是正多边形?各角
都相等圆内接多边形呢?假如是,说明为何;假
如不是,举出反例.
A６
解答：各边相等圆内接多边形是正多边形. A７
A５
多边形A1A2A3A4…An是⊙O内接多边形,
·
且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An,
An
O
A1
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1An An A1. A２
正方形ABCD 中心
5、正方形ABCD内切圆半径OE叫做
正方形ABCD 边心距
A
D
.O
B EC
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6、⊙O是正五边形ABCDE外接圆，弦AB
弦心距OF叫正五边形ABCDE（边心距），
它是正五边形ABCDE（内切圆）半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE（中心）角，它度数是（ 7）2度 D

沪科版九年级下册24.3圆周角教学设计(共三课时)

沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。

通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。

所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。

（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。

初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。

二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。

三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。

四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。

学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。

24.3 正多边形和圆教学设计

24.3 正多边形和圆正多边形和圆是在学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容，是前一阶段知识的运用和提高．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性．研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．本课时注意培养学生观察、猜想、推理和迁移的能力以及具体到抽象，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．【情景导入】(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？【说明与建议】说明：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能让学生对古代数学的伟大成就有所了解，增强爱国热情．建议：研究正多边形和圆的时候，可以让学生回顾在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等这两个结论．【复习导入】(1)观察下图中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形，你能说出这些图形的各自特征吗？(2)回顾：等边三角形和正方形的边、角各有什么性质？ (3)正多边形的定义是什么？正多边形和圆有什么关系？【说明与建议】说明：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：为了明确正多边形的概念，可以请同学们举自己在日常生活中见过的正多边形的例子(正三角形、正方形、正六边形……)．命题角度1 与正多边形有关的计算1．(河池中考)如图，在正六边形ABCDEF 中，AC ＝23，则它的边长是(D)A ．1B. 2C. 3D ．22．(广元中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE ︵的一点，则∠CPD 的度数是(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°3．(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B) A ．2B ．1C. 3D.324．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 3命题角度2 画正多边形5．(兰州中考)如图，已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图所示，四边形ABCD 即为所求作．关于圆周率π我们知道，圆的周长C ＝2πR.但是，你知道公式中的π值是怎样算出来的吗？实际上π＝C2R ，式中圆的周长C 是可以用圆内接正多边形的周长p n 来近似代替的．如图，当圆内接正n 边形的边数不断地成倍增大时，它的周长p n 就不断地增大，并会越来越接近于圆的周长C ，于是p n 2R 的值越来越接近C2R的值．如果半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n ，可以求得它的内接正2n 边形的边长这个公式叫倍边公式，利用它就可以算出半径为R 的圆内接正2n 、4n 、8n 、…边形的边长，进而可计算p 2n 2R 、p 4n 2R 、p 8n 2R 、…，这些值就越来越接近于圆的周长与直径的比值C2R ，这个数就是圆周率π.π的精确值是一个无限不循环小数，就是说，π是一个无理数．π＝3.141 592 653 589 793…，应用时根据实际需要，取π的近似值．我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．下表是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．由于C2R＝π，所以C ＝2πR.另外，根据正n 边形的面积S n ＝12r n p n ，当边数n 无限增大时，r n 趋近于R ，p n 趋近于C ，所以圆的面积S ＝12RC ＝12R ·2πR ＝πR 2.我国许多数学家对圆周率的研究做出过很大贡献．在公元前一世纪的《周髀算经》里，已谈到“周三径一”，称之为古率．西汉末年，刘歆定圆周率为3.1547，后人称做歆率．三国时魏刘徽(公元263年)，始创“割圆求周”的方法，他从圆内接正六边形算起，算到正192边形，他取3.14或15750作为圆周率，我们称3.14为徽率．到南朝祖冲之(公元429～500年)求得圆周率在3.141 592 6～3.141 592 7之间，把π＝355113叫做密率，π＝227叫做约率，后人称之为祖率，他所得的结果，精确到了七位小数，在当时世界上是最好的结果．【探究新知】问题1：针对【课堂引入】的问题进行探究．师生活动：教师演示作图，并引导学生从正多边形的定义入手来证明，让学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程．教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BAD ︵＝CAE ︵＝3AB ︵. ∴∠C ＝∠D.同理可证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ， ∴五边形ABCDE 是正五边形． ∵点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各等分点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念(如图)．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？ (3)正多边形的面积如何计算？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：正n 边形的中心角等于360°n ，边长a ，半径R 和边心距r 的关系为(a 2)2＋r 2＝R 2. 活动二：提出问题：如何把一个圆n 等分呢？师生活动：学生小组内讨论，如果把360°的圆心角n 等分，那么弧也被n 等分，即可得到正多边形．教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明相邻两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明相邻半径和边构成的三角形是等边三角形.面积．例2 利用手中的工具求作一个边长为3 cm 的正六边形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，教师鼓励学生勇于探索实践，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图1 图2解：方法一：如图1，以3 cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形．方法二：如图2，以 3 cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3 cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可．【变式训练】在半径为2 cm 的圆上，用量角器作出它的圆内接正七边形．解：(1)作⊙O ，使r ＝2 cm ； (2)计算360°7≈51.4°；(3)用量角器在圆上画一个∠AOB ＝51.4°； (4)在圆上依次截取BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FG ︵＝GA ︵＝AB ︵；(5)依次连接AB ，BC ，…，GA ，则七边形ABCDEFG 为所作正七边形.4．如图，正方形的边长为1 dm ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．解：设正八边形的边长为x ，则被剪掉小直角三角形的直角边为22x ，由题意，得x ＋2·22x ＝1，解得x ＝2－1.所以小直角三角形的直角边为22(2－1)＝1－22. 所以正八边形的面积为12－4×12×(1－22)2＝1－2×(32－2)＝22－2.答：这个正八边形的边长为(2－1)dm ，面积为(22－2)dm 2.。

2020-2021学年沪科版九年级数学24.3圆周角-知识点+习题同步练习提升

圆周角记忆导图 ⎪⎩⎪⎨⎧圆内接四边形性质定义圆周角考点1 圆周角1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。

2、圆周角的性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，①同弧或等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：①半圆或直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

3、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

考点2 圆的内接四边形1、圆的内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

2、性质：定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。

推论：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。

【同步练习巩固】知识点1圆周角概念、定理及推论1．如图，图中的圆周角有__∠ADB ，∠CAD ，∠CBD ，∠ACB__，CD ︵所对的圆周角有__∠CAD ，∠CBD__.2．(教材P29，练习，T2改编)(安徽模拟)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠C ＋∠O ＝63°，则∠O 的度数是( D )A ．21°B ．27°C ．30°D ．42°3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为88°，30°，则∠ACB 的大小为( C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°4．(江苏无锡中考)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝__15°__.5．(江苏南京鼓楼区期末)如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ︵、BD ︵的度数分别为60°，40°，则∠APC 的度数为__50°__.6．(广西柳州中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( D )A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D7．(江苏南京秦淮区二模)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在半圆AB 上，且AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，连接AC ，AD ，则∠CAD 的度数是__30__°.8．(四川自贡中考)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC. 求证：(1)AD ︵＝BC ︵； (2)AE ＝CE.证明：(1)∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴AD ︵＝BC ︵.(2)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ＝BC. 由同弧所对的圆周角相等，得∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ， ∴△ADE ≌△CBE(ASA)， ∴AE ＝CE.9．如图，以等腰三角形ABC 的腰AB 为直径作圆，交底边于点D ，连接AD ，那么∠1与∠2的关系是( C )A ．∠1＋∠2＝90°B ．∠1>∠2C ．∠1＝∠2D ．∠1<∠210．(安徽芜湖南陵一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 为__66__度．11．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，以BC 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E. (1)求证：AB ＝2AE ； (2)若AE ＝2，CE ＝1，求BC.解：(1)证明：如图，连接BE.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC ＝90°，即∠AEB ＝90°.∵∠A ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∴AB ＝2AE. (2)∵AE ＝2，∴AB ＝2AE ＝4， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝23.∵CE ＝1，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝13.知识点2圆的内接四边形12．(教材P31，练习，T1改编)(陕西西安工大附中三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则∠BAD 的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．(浙江杭州滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则∠D 的大小是( C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°14．(安徽池州青阳六校联考)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AE ︵的度数为40°，则∠B ＋∠D 的度数是__160°__.15．(黑龙江哈尔滨南岗区一模)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 是在CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠DPC 的度数是__135__度．16．(安徽淮南潘集区第二次联考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE.求证：DB ＝DC.证明：∵∠DAC 与∠DBC 是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠DBC.∵AD 平分∠CAE ，∴∠EAD ＝∠DAC ， ∴∠EAD ＝∠DBC.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAD ＝∠BCD ， ∴∠DBC ＝∠BCD ，∴DB ＝DC.【能力培优提升】1．(广西北部湾经济区模拟)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD.则下列结论中错误的是( D )A ．AC ＝CD B.AC ︵＋BD ︵＝BC ︵C ．OD ⊥ABD ．CD 平分∠ACB2．(湖北武汉调研)如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝61，AD ＝10，点C 在BD ︵上移动，连接AC ，H 是AC上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是( D )A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为( B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°5．(河北石家庄一模)如图，点A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，AC ︵＝AE ︵，∠B ＝122°，则∠D ＝( B )A ．58°B ．116°C ．122°D ．128°6．(四川内江模拟)如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知⊙O 的半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是__203__.7．(辽宁辽阳中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__.8．(北京西城区二模)如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是 BD ︵的中点，AB ＝CD.若∠ODC ＝50°，则∠ABC 的度数为__100__°.9．(安徽合肥联考)如图，四边形ABDC 内接于⊙O ，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，连接OB ，OC ，BD ，CD.(1)求证：四边形OBDC 是菱形；(2)若∠ABO ＝15°，OB ＝1，求弦AC 的长．解：(1)证明：如图，连接OD. 由圆周角定理，得∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵AD 平分∠BAC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠BOD ＝∠COD ＝60°.∵OB ＝OD ，OC ＝OD ，∴△BOD 和△COD 是等边三角形， ∴OB ＝BD ＝DC ＝OC ，∴四边形OBDC 是菱形． (2)如图，连接OA.∵OB ＝OA ，∠ABO ＝15°， ∴∠OAB ＝15°，∴∠AOB ＝150°， ∴∠AOC ＝360°－150°－120°＝90°， ∴AC ＝OA 2＋OC 2＝2.10．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ； (2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C.∵点A ，B ，E ，D 都在⊙O 上， ∴∠CDE ＝∠B ， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC.(2)如图，连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC.又AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.∵∠C ＝∠C ，∠CDE ＝∠B ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CD CB ＝CEAC ，∴CE ·CB ＝CD ·CA. 又AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝32.11．(天津南开区一模)如图1，在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E. (1)∠E 的度数为__60°__；(2)如图2，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图3，直径AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．解：(2)如图2，直线AD ，CB 交于点E ，连接OD ，OC ，AC. ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°，∴∠EBD ＝30°. ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠E ＝90°－30°＝60°. (3)如图3，连接OD ，OC.∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠CBD ＝30°. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠BED ＝60°，∴∠AEC ＝60°.。

沪科版九年级(下册)数学：24.3《圆周角》

圆周角教学设计一、教材分析本节教学内容源于沪科版九年级下册“24.3.1圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。

圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。

圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。

圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。

二、教学目标1．理解圆周角的定义。

通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。

2．掌握圆周角定理及其推论。

经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。

三、教学过程设计活动一创设情景，引入概念，发展规律师：（出示圆柱形海洋馆图片）下图是圆柱形海洋馆的俯视图。

海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物。

下图是圆柱形的海洋馆横切面的示意图，弧AB表示圆弧形玻璃窗。

同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E。

师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角。

同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角。

师：观察∠ACB、∠ADB、∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？生1：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交。

人教版-数学-九年级上册-24.3正多边形和圆表格式

24．3 正多边形和圆观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？教师演示课件或展示图片，提出问题1．学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．教师关注：（1）学生能否从这些图案中找到正多边形；（2）学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．教师提出问题2，引导学生观察、思考．学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注:学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．问题1将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．教师关注：（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．教师带领学生完成证明过程．教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题．教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．教师根据学生的回答给以总结：将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．教师提出问题3，学生讨论，思考回答．教师关注：（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．教师讲评．学生观看课件，理解概念．例题 1 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．教师关注：（1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；（2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究．长和面积（精确到0.1 m2）．例题2 完成教材第117页习题24．3第1题．（3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．教师让学生独立完成例题2，教师巡视，个别辅导．给出正确答案．学完这节课你有哪些收获？作业1．教科书第117页习题24．3第3、5、6题．2．思考题问题1：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？问题2：正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：（1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；（2）学生面对探究性问题的解决方法．。

人教版九年级数学上册第二十四章24.3正多边形和圆教案

其次，在正多边形与圆的关系方面，我觉得可以结合生活中的实例，让学生了解这些几何图形在实际应用中的价值。例如，通过探讨为什么蜂巢是正六边形，让学生认识到正多边形与圆的结合在自然界中的奇妙运用。
在实践活动方面，我发现学生们在分组讨论和实验操作中表现出了很高的积极性。但也有一些小组在讨论过程中出现了一些方向性的错误，这提醒我在今后的教学中，要加强对学生的引导，确保他们能够在正确的方向上进行探索。
3.正多边形与圆的关系：探讨正多边形与圆之间的联系，如正多边形的中心角、半径、边长等之间的关系。
4.正多边形的面积计算：引导学生运用所学的几何知识，求解正多边形的面积。
5.实际应用：通过实际生活中的例子，让学生了解正多边形和圆在实际应用中的价值，提高学生的几何素养。
本节课将以上述内容为核心，结合教材实例，帮助学生深入理解和掌握正多边形和圆的相关知识。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正多边形和圆的基本概念。正多边形是指所有边长和角度都相等的多边形，它在几何图形中有着特殊的地位。圆则是我们熟悉的曲线图形，与正多边形结合可以产生许多有趣的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以正六边形为例，探讨它如何与圆完美结合，以及这种结合在实际中的应用，如蜂巢的结构。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对正多边形和圆的概念掌握得还算不错，但在具体的性质推导和应用上，部分学生还存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重培养学生的逻辑思维能力和实际问题解决能力。
首先，关于正多边形的性质推导，我觉得可以尝试用更直观的方式展示，比如利用实物模型或动态图示，让学生更直观地感受正多边形的性质。此外，通过引导学生主动参与推导过程，让他们在实践中掌握几何证明的方法。

24.3 正多边形和圆人教版数学九年级上册说课稿

正多边形和圆说课稿尊敬的各位评委、各位老师:大家好！我是号选手.我说课的内容是人教版数学教材九年级上册第二十四章第三节：正多边形和圆（板书）。

根据教材编排,本节课分两课时完成。

在此，我说第一课时。

下面，我将从教材分析、教法和学法、教学过程、板书设计四个方面对本课时的设计进行说明。

首先来说教材分析.教材所处的地位和作用正多边形是和圆是在学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容,是前一阶段知识的运用和提高。

正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性；研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础。

根据新课标要求，结合教材特点，我把教学目标定为以下三个方面。

知识与技能让学生经历正多边形的形成过程;理解正多边形的有关概念及正多边形和圆的关系;掌握正多边形的有关计算方法。

过程与方法通过正多边形定义的教学，培养学生的归纳能力;通过正多边形与圆的关系教学,培养学生观察、猜想、推理、迁移能力,以及从具体到抽象，从特殊到一般,从部分到整体的认识事物规律的能力.情感态度与价值观通过“寻找生活中的正多边形”等活动，使学生在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点,培养学生细心观察生活的习惯,使学生了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.同时，向学生渗透“特殊到一般”再“一般到特殊”的唯物辩证法思想．再来看教学重点和难点本节课的教学重点是:了解正多边形的有关概念；理解正多边形和圆的关系；掌握有关正多边形的计算方法。

难点是：对正多边形和圆的关系的理解及正多边形相关概念计算的准确性.教法学法按照新的课程理论和九年级学生的特点，我确定如下教法学法：教法：本节课我采用发现式教学法,让学生经历正多边形的定义以及正多边形和圆的关系的探索过程，并积极为学生创设再发现的机会和条件，在探索发现过程中培养学生的思维能力和创新精神的培养。

学法:采用自主探索、合作交流的学习方法，并在此过程中培养学生动脑、动口的能力，发展学生的形象思维。

24.3圆周角定理(教案)

另一个让我感到惊喜的是，学生在小组讨论中能够积极思考，提出自己的观点，并与其他同学进行交流。这种积极的课堂氛围有助于学生更好地理解和吸收知识。但同时，我也意识到在讨论过程中，需要适时引导学生，避免讨论偏离主题，确保每个学生都能跟上课堂进度。
此外，实践活动中的实验操作环节，虽然能够让学生们亲身体验到圆周角定理的应用，但我也发现部分学生在操作过程中存在一些细节问题，如量角不准确、计算错误等。针对这些问题，我打算在接下来的课程中增加一些关于测量和计算技巧的讲解，以提高学生们的实践操作能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆周角定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆周角定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角定理的基本概念。圆周角定理指的是圆周角等于其所对圆心角的一半。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆内接四边形的性质，展示圆周角定理在实际中的应用，以及如何用它来解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了圆周角定理这一章节。我发现学生们在理解圆周角定理的基本概念和应用方面表现得相当不错。他们对于圆周角与圆心角的关系有了直观的认识，而且能够通过小组讨论和实验操作，将理论知识应用到实际问题中。
不过，我也注意到在证明圆周角定理的过程中，有一部分学生感到困惑。这可能是因为几何证明需要较强的逻辑推理能力，而这一点对于他们来说还不是很熟练。在未来的教学中，我需要更加注重培养学生的逻辑思维能力，通过更多的例题和练习，帮助他们逐步掌握证明方法。

部编数学九年级上册24.3垂直于弦的直径垂径定理(知识讲解)(人教版)含答案

专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明：　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，点M 在O e 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O e 的直径；（2）若M D Ð=Ð，求D Ð的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数．解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴222(4)8r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是20．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M DÐ=Ð，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：e中，弦AB长50mm．求：【变式1】如图，在半径为50mm的OÐ的度数；（1）AOB（2）点O到AB的距离．【答案】（1）60°；（2）【分析】V是等边三角形，从而可得结论；（1）证明AOBAC BC再利用勾股定理可（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解,,得答案.解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又∵AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝12AB ＝25mm ，在Rt △OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，∴OC mm ），即点O 到AB 的距离是．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，AB 是O e 的直径，E 为O e 上一点，EF AB ^于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ^于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．【答案】6【分析】设OE =x ，根据勾股定理求出x ，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD =OF =3，根据垂径定理得到答案．解：设OE =x ，则OF =x -2，由勾股定理得，OE 2=OF 2+EF 2，即x 2=（x -2）2+42，解得，x =5，∴OF =3，∵AC ∥OE ，OD ⊥AC ，∴OD ⊥OE ，∠A =∠EOF ，∵OA =OE ，EF ⊥AB ，∴△ADO ≌△OFE ，∴AD =OF =3，∵OD ⊥AC ，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析【分析】（1）根据AC^AB，OD^AB，OE^AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA，由勾股定理可得．(1)证明：∵AC^AB，OD^AB，OE^AC，∴四边形ADOE是矩形，12AD AB=，12AE AC=，又∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，∴112OE AE AC===cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：OA==，即⊙O cm．【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF【分析】根据垂径定理进行解答即可．解：∵E为AB中点，MN过圆心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD．【分析】过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得到AE=BE ，同理得到CE=DE ，又因为AE-CE=BE-DE ，进而求证出AC=BD ．解：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE=DE ，AE=BE ，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦3．如图，∠AOB 按以下步骤作图：①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆弧PQ ，交射线OB 于点D ；②连接CD ，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交圆弧PQ 于点M 、N ；③连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA 垂直平分MD .(2)若30AOB Ð=°，求∠MON 的度数.(3)若20AOB Ð=°，6OC =，求MN 的长度．【答案】(1)证明见分析；(2)90MON Ð=°；(3)6MN =．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，得出60MON Ð=°，根据等边三角形得判定可得OMN n 为等边三角形，即可得出结果．(1)证明：如图所示，连接MD ，由作图可知，CM CD =，∴»ºCM C D =，∵OA 是经过圆心的直线，∴OA 垂直平分MD ；(2)解：如图所示，连接ON ，∵CM CD DN ==，∴»º»CM C D D N ==，∴30COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴90MON COM COD DON Ð=Ð+Ð+Ð=°，即90MON Ð=°；(3)解：由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴60MON Ð=°，∵OM ON =，∴OMN n 为等边三角形，∴6MN OM OC ===．【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．举一反三：【变式1】如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，OAE COD AEO ODC OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图所示，直线=y x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x 轴于D ，交△ABO 的外接圆⊙M 于C ，已知∠COD ＝∠OBC ．（1）求证：MC ⊥OA ；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）见分析；（2）y=【分析】（1）利用弧弦角转化得¼¼OC AC=，由垂径定理即可得MC⊥OA；（2）由直线=y x与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，∴¼¼OC AC=，∵点M是圆心，∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；（2）解：∵MC⊥OA，∴OG＝GA＝12OA，∵点M是圆心，∴BM＝AM，∴GM是△AOB的中位线，∴GM，∵=y x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y y＝0时，x＝3，∴B（0，A（3，0）∴OB OA＝3，∴MG OG＝32，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝∴GC=∵点C 在第三象限，∴C （32，）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，∴32k b =+解得：k b ìïíïî，直线BC的解析式为：y =【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．类型四、利用垂径定理推论求进行证明4．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且»»CFCB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【分析】证法一：连接CB ，可证»»CFGB =，从而可证明CE ＝BE ；证法二：作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ，证明△ONE ≌△ODE ，可得NE ＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．解：证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴»»CB GB=,∵»»CF BC=，∴»»CF GB=，∴∠C＝∠CBE，∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴»»CB BG=，∵»»CB CF=，∴»»»CF BC BG==，∴BF＝CG，ON＝OD，∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE（HL），∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵»»=，CF BC∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∴»»=，BG BC∴»»»==，CF BG BC=，∴»»BF CG=，ON OD∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD，又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．解：设AB，CD交于点P,连接OP，假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，∴OP⊥AB，OP⊥C D，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，所以AB与CD不能互相平分【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．【变式2】如图，已知在⊙O中，»»»＝＝，OC与AD相交于点E．求证：AB BC CD（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据»»=得到BC=CD，从而证明菱形．BC CD解：（1）连接BD，∵»»»==，AB BC CD∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠CBF ，∵»»BCCD =，∴BC =CD ，∴BF =DF ，又∠DFE =∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE =BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．类型五、垂径定理及推论解决其他问题5．如图，AB 为O e 的一条弦，连接OA 、OB ，请在O e 上作点C 使得ABC V 为以AB 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，交O e 于点C ，则问题可求解．解：如图所示：【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为．【答案】（1）见分析；（2）90°【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD 的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由（1）可知D 点坐标为（2，0），A 点坐标为（0，4）∴OD =2，OA =4，AD ==∴圆D 的半径为∵点（6，﹣2）到圆心D =∴点（6，﹣2）到圆心D 的距离等于半径的长，∴点（6，﹣2）在⊙D 上．∵D （2，0），C （6，2），A （0，4），∴CD ==，AC ==，∴222CD AD AC +=，∴∠ADC =90°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．【变式2】如图，O e 中，P 是»AB 的中点，C 、D 是PA 、PB 的中点，过C 、D 的直线交O e 于E 、F ．求证：EC FD =．【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是»AB的中点，可得¼¼AP BP=，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是PA、PB的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．解：连结OC，OD，OP交EF于G，∵P是»AB的中点，∴¼¼AP BP=，∴AP=BP，∵C、D是PA、PB的中点，∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，∴OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线，∴CG=DG，∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，∴EG=FG，∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．∴EC= DF．【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．类型六、利用垂径定理及推论的实际应用6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O e 的半径．【答案】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，根据垂径定理，可得132AE AB ==，由折叠得： 12OE OA =，然后在Rt AEO V 中，利用勾股定理即可求得结果．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，∴132AE AB ==，由折叠得：12OE OA =，设=2OE x OA x =，则，∴在Rt AEO V 中，由勾股定理得：222=OE AE OA +，即：2223=4x x +解得： x 1x 2＝∴2x答：O e 的半径为【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键．举一反三：【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；AB=，水面最深地方的高度（即»AB的中点(2)若这个输水管道有水部分的水面宽16cm到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析(2)10cm【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，AB＝8 cm，点C为AB n的中点，则AD＝12进而，CD＝4 cm．设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4）cm．在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，解得r＝10．即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，AB＝15（m），∴AM＝12在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取紧急措施．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．。

沪科版九年级下册数学24.3：圆周角定理及其推论-课件-(共20张PPT)

B O·
B
C
AO·ຫໍສະໝຸດ A CO·C A（1） √
A
顶点（不2）在圆上 B
B 边AC（没3有）和圆相交
CC
O·
A O·
·O
A B
B
C
顶点不在圆上
（5）√
√ （6）
圆周角定理
合作探究问题1 如图，点A、B、C、D都是☉O 上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角?分别指出对应哪条弧？是同一条弧吗？
圆心角：∠BOC
x 60 °
B
x
D 20
°
E
30 °
A FC
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么? (2)求证：BD DE .
B
A
E DC
课堂小结
定义
1.顶点在圆上； 2.两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
圆
周
定理
角
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
明理由.
D
同弧所对的圆周角相等
问题2 如图，若 CD EF，∠A与∠B相等吗？ A B
E O
反过来，若∠A=∠B，那么等弧所对的圆周角相等
C
F
D
CD EF 成立吗？
圆周角定理推论
推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等. A B
D
E
O
C
F
D
C1
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；
2
2
A
O
DAC1DOC
2
C

24.3正多边形和圆课件公开课

二. 正多边形有关的概念
E
D
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
F
.半径R
O
中心角
C
正多边形的半径:
边心距r
外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__
圆与___内__切___圆的圆心。
思考3: 过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切
线的交点为顶点的多边形是正多边形吗??
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB
PA T
∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB
8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的__中__心___角，它的度数是_7_2_度_____
D
E
C
.O
A FB
9、它图的中度正数六是边_形__A6_B_0C_度_D_E_;F的中心角是_∠__A_O__B_;
10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。（ × ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形（ × ）
2、证明题。
求证：顺次连结正六边形
A
F
各边中点所得的多
B
E
边形是正六边形。
C
D
3.求证：正五边形的对角线相等。 A