直线和双曲线

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《直线与双曲线》课件

划分线段
2
用尺子或其它工具连接两个点，得到
一个线段。
3
延长线段
将线段无限延伸直到直线的任意一端。
双曲线的标准方程
对称轴
双曲线的长轴与短轴交于中心点，并被标记为对称轴。
标准方程
双曲线的标准方程为(x^2/a^2)(y^2/b^2)=1，其中a和b是双曲线上的常数。
渐近线
由于双曲线的性质，它们总会和直线相交，这条直线就称作渐近线。
《直线与双曲线》PPT课件
本PPT课件将介绍直线与双曲线的定义、性质及其应用领域，为您深入了解该学科提供帮助。
直线和双曲线是什么？
直线
是一种没有弯曲的无限延伸的平面几何图形，只有两个端点。
双曲线
是一种与圆不同、形状呈现两臂的闭曲线，广泛应用于数学和科学领域。
如何画直线？
1
确定任意两点
选取平面上的两点，确定直线的位置。
直线与双曲线的区别与相似性
1 共同点
直线和双曲线均为几何图形，在数学和科学中均有广泛应用。
2 区别
直线无限延伸，而双曲线有两个端点；直线的标准方程为y=kx+b，而双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1。
双曲线的几何中心和焦点
1
中心点
双曲线的中心点为长轴和短轴的交点。
2
焦点
与双曲线有关的参数是f，其表示焦点到中心的距离。对于每个双曲线，有两个焦点。
3
应用
在物理学和科学领域，双曲线常被应用于光学、机械、电气和核物理学的研究中。
双曲线与椭圆的比较
相同点
双曲线和椭圆都是封闭曲线，有多个常用参数。
不同点
椭圆和双曲线有不同的形状特征和数学方程，有不同的应用领域。

高二数学直线与双曲线(绝对精品,有答案超好的讲义,自己整理原创)

双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

直线与双曲线的位置关系课件

Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．

直线与双曲线

一点: 二次项系数=0 （直线与渐进线平行） ②相切一点:
③相离:
△=0
△＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
练一练
1.过点P(1,1)与双曲线 4 交点的直线共有_______ 条. 变题:将点P(1,1)改为
x y 1 只有一个 9 16 Y
点差法
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y 2 )( y1 y 2 ) 4
显然，x1 x2 0, y1 y2 0
A
0
P
B
y1 y2 x1 x2 4 所以有 x1 x2 y1 y2
得k=０所以,得直线L:y=2 经检验:此直线与双曲线相交,符合题意.
3 法二:设直线AB的方程为 y ( x 3) 3
y
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0 设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5 1 ( x1 x2 ) 2 3
F1
O
A
B
F2 x
2 | AF2 | 8 3
练习:
x2 y2 （1 ）过双曲线 1 的左焦点 F1 作倾角为的直线与双曲 9 16 4 192
线交于 A、B 两点，则|AB|=

. 7
（ 2 ）双曲线的两条渐进线方程为 x 2y 0 ，且截直线

直线与双曲线的位置关系及判定

直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线在平面上的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。

1. 相离：直线与双曲线没有交点，它们分别在平面上任意位置，没有交集。

2. 相切：直线与双曲线有且仅有一个公共切点，此时直线的斜率等于双曲线在该点的切线斜率。

3. 相交：直线与双曲线有两个交点，此时直线穿过双曲线。

判定直线与双曲线的位置关系可以通过以下方法进行：
1. 将直线的方程和双曲线的方程联立，求解它们的交点，如果有解，就是相交或相切；如果没有解，就是相离。

2. 比较直线的斜率与双曲线在交点处的切线的斜率，如果相等，则相切。

3. 比较直线的斜率与双曲线的离心率（e）的关系。

如果直线
的斜率大于离心率，则相离；如果直线的斜率小于离心率，则相交；如果直线的斜率等于离心率，则相切。

注意：在进行判定时，需要先化简双曲线的方程，确定其标准形式，然后再进行计算。

双曲线与直线相交的弦长公式

双曲线与直线相交的弦长公式
公式是：设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。

在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。

这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

a还叫做双曲线的半实轴。

双曲线出现在许多方面：
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器。

作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时等等。

双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。

对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。

所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。

直线与双曲线的位置关系知识点

直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。

做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。

首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。

它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。

其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。

双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。

那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。

从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。

从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。

再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。

最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。

当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。

所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。

总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。

《直线与双曲线》课件

根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程，因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综合题解析
综合题类型及解题思路
类各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件

直线与双曲线

第57课直线与双曲线●考试目标主词填空1.双曲线的定义与方程①双曲线的第一定义：已知F 1、F 2是平面内两个定点，P 是动点，当且仅当它们满足条件|PF 1|－|PF 2|=±2a ，正常数2a <|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线.②双曲线的第二定义：设F 为定点，l 是定直线，P 是动点，P 、F 及l 共面，当且仅当它们满足条件距离到是是常数e P d e e e dPF ,)1(||>=时，P 的轨迹是双曲线. ③中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程是12222=-b y a x ；中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线标准方程是12222=-bx a y .2.双曲线的几何性质设双曲线方程为：b 2x 2－a 2y 2=a 2·b 2(a >0，b >0，c 2=a 2+b 2)，其范围是x |≥a ，y ∈R ，对称轴是坐标轴，对称中心是原点，顶点坐标是 (±a ，0)，焦点坐标是 (±c ，0)，离心率是ac，准线方程为c a x 2±=，渐近线方程是x aby ±=.3.点与双曲线的位置关系设双曲线方程为：2222by a x -=1，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则：P 在双曲线上的充要条件是122022=-b y a x ，P 在双曲线右支所包含的区域(不包括边界线)内的充要条件是220y b ba x +>. 4.直线与双曲线的位置关系设直线为l ：Ax +By +C =0，双曲线方程为C ：b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2，联立l 与c 消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，那么：l 与c 相离的充要条件是Δ<0； l 与c 相切的充要条件是Δ=0；l 与c 相交于不同两点的充要条件是Δ>0. 5.双曲线方程的确定求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a 、b 、c 中只须确定两个字母(因c 2=a 2+b 2)，常用的方法是列方程组，解关于a 、b 、c 的方程组，从而确定系数a 、b 、c .6.弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，从而|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-=f (k )(k 为直线P 1P 2的斜率，若k 不存在，则更易计算).●题型示例点津归纳【例1】根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)两准线间的距离是2，焦距为6；(2)与椭圆x 2+2y 2=2共准线，且离心率为2； (3)已知P 点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P 到两焦点的距离分别为4和2，过P 作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点.【解前点津】 (1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由2c =6及2·c a 2=2即可确定a 、b 、c ，(2)由条件可选择方程形式为2222by a x -=1，(3)有两种形式.【规范解答】 (1)由2c =6及2·ca 2=2得：a 2=3，b 2=c 2－a 2=9－3=6，故双曲线方程为1631632222=-=-x y y x 或(2)由条件知双曲线的准线方程是x =±2，故得方程组：2,22==c a a c ，解之：a =4，c =8从而b =43，故双曲线方程为：481622y x -=1； (3)当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为：2222by a x -=1，焦点为F (c ，0)由条件可设P (c ，m )22)2(m c +⇒=4 ①m =2及14222=-ba c ②解方程组得a 2=1，b 2=2，故此时双曲线方程为x 2－22y =1，同理可得，当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 2－22x=1.【解后归纳】求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质，列出关于a 、b 、c 的方程，解方程组即可确定.【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积.【解前点津】因e =2，所以c 2=2a 2=a 2+b 2⇒a 2=b 2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x 2－y 2=λ(λ≠0).【规范解答】 (1)∵e =2，∴c 2=2a 2=a 2+b 2 ⇒ a 2=b 2，∴双曲线方程可设为：x 2－y 2=λ，∵点(4，－10)在双曲线上，∴16－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x 2－y 2=6.(2)由(1)知：F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴3129,323,323222121m m k k m k m k MF MF MF MF -=-=•-=+=， ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2=6，m 2=3，故21MF MF k k •=－1，∴MF 1⊥MF 2. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=43，F 1F 2的高h =|m |=3，∴S 21MF F ∆=6.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m ·x 2+n ·y 2=1(mn <0).【例3】已知双曲线2222by a x -=1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?【解前点津】从假设存在这样的P 点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果. 【规范解答】设在左支上存在P 点，使|PF 1|2=|PF 2|·d ，由双曲线第二定义得：,||||||121e PF PF d PF ==即|PF 2|=e ·|PF 1| ① 又由双曲线的第一定义得：|PF 2|－|PF 1|=2a ② 从①②中解得：|PF 1|=12-e a ，|PF 2|=12-e ae，因△PF 1F 2中有|PF 1|+|PF 2|≥2c ， ∴1212-+-e aee a ≥2c ③ 而e =ac，故由③得：e 2－2e －1≤0解之：1－2≤e ≤1+2，∵e >1，∴1<e ≤1+2这与e >1+2相矛盾，∴符合条件的P 不存在.【解后归纳】对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.【例4】是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.(1)渐近线方程为x ±2y =0；(2)点A (5，0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为6.【解前点津】讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.【规范解答】假设存在同时满足题中两条件的双曲线.(1)若双曲线焦点在x 轴上，可设双曲线方程为12222=-b y a x ，因渐近线为y =±x a b x ±=21，∴a b=21，双曲线方程可化为：22224by b x -=1.设动点P 的坐标为(x ，y )，则 |AP |=22225)4(45)5(b x y x -+-=+-(x ≥2b 或x ≤－2b ). 由条件②，若2b ≤4即b ≤2，则当x =4时，|AP |m i n =16522-=⇒=-b b ，这是不可能的.若2b >4即b >2时，则当x =2b 时，|AP |m i n =|2b －5|=6，解之 b =265+(其中265-<2应舍去). 此时存在双曲线方程为： 1265)65(2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+y x(2)若双曲线焦点在y 轴上，可设双曲线方程为22224bx b y -=1(x ∈R )，∴|AP |=5)4(4522++-b x ，∵x ∈R ，∴当x =4时，|AP |m i n =652=+b ， ∴b 2=1，此时存在双曲线方程为 y 2－42x =1.【解后归纳】给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.若双曲线的两条渐近线是y =±23x ，焦点是F 1(－26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是 ( ) A.26138 B.26134 C.262318 D.261392.曲线2x 2－y 2+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则P 点到较远的准线的距离为( )A.4634+ B.4364364+或 C.62 D.46262+或3.与椭圆244922y x +=1有相同焦点且以y =±34x 为渐近线的双曲线方程是 ( ) A.91622y x -=1 B.116922=-y x C.191622=-x y D.116922=-x y 4.设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ( ) A.34 B.38 C.316 D.232 5.双曲线5922y x -=1与椭圆112522y x +=1，一定有 ( ) A.两离心率之积为1 B.相同的两条准线 C.相同的两个焦点 D.实轴长=长轴长6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.26D.32 7.准线方程为x +y =1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是 ( )A.x 2－xy －y 2=21B.x 2+xy －y 2=21C.xy =－21D.xy =218.平面内动点P 到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值是常数2a ，则动点P 的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.双曲线或两条射线 C.两条射线 D.椭圆9.设θ是第三象限角，方程x 2+y 2si n θ=c os θ表示 ( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线10.设双曲线2222by a x -=1(0<a <b )的半焦距为c ，设直线l 过(a ，0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.322二、思维激活11.对于双曲线2222by a x -=1(a >0，b >0，c =22b a +)而言，它的准线与渐近线的交点到中心的距离等于，它的虚轴的端点到顶点的距离等于 .12.双曲线91622y x -=1上有点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2=3π，则△F 1PF 2的面积是.13.过双曲线2222b y a x -=1的焦点F (c ，0)作渐近线y =a bx 的垂线，则垂足的坐标是 .14.已知双曲线2222by a x -=1(a >0，b >0)的左右两个顶点分别为A 、B ，过双曲线右焦点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于两点P 、Q ，若∠APB =a r c t an 23，b =1，则a = . 三、能力提高15如图，已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、 F 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围.16.A 、B 两点分别在双曲线2222by a x -=1的两条渐近线上，O 为原点，且|OA |·|OB |=a 2+b 2=c 2，求线段AB 中点M 的轨迹方程.17.在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动，设|BC |=a ，当三角形三内角满足：|si nC －si nB |=21·si nA 时，求点A 的轨迹方程.18.设－2<m <0，在直角坐标系中，通过点M (m ，0)的直线l 与双曲线x 2－y 2=4有惟一的交点P ，而与双曲线的渐近线交于A 、B 两点. (1)求直线l 的方程；(2)当m 变化时，求△ABO 的重心轨迹方程.第2课直线与双曲线习题解答1.A 由条件知c =26且269)26(826983222232222a b b c c a a b -==⎪⎭⎫ ⎝⎛•=•⇒=，故269)26(826222a a -=•解之a 2=8⇒2·13268268222=⨯=a . 2.A 化双曲线为6322y x +-=1即3622x y -=1故a =6，b =3准线方程为 y =±2，e =2663=由双曲线第二定义知：4=⇒=126d 最远距离为 d 1+2·463422682+=⨯+=c a . 3.B c =2449-=5又34=a b ① 且c 2=a 2+b 2=25 ② 联立①②解之：a 2=9，b 2=16.4.C 由条件知，圆心不在双曲线的另一个顶点上，设圆心坐标为P (x ，y )，左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为A 1，A 2，由A 2(3，0)，F 2(5，0)知圆心横坐标为x =21(3+5)=4，故y 2=16×3169716169722=⨯+=+⇒y x . 5.C 在双曲线中：a =3，b =5，c =14，149,3142==c a a c ，在椭圆中：a =5，b =11，c =14，1425,5142==c a a c ，比较即得.6.B 由2·312=c a ·2c 得3=ac.7.D 因双曲线是等轴双曲线，所以离心率e =2，设P (x ，y )是此双曲线上有流动坐标，由双曲线的第二定义得：2|1|2)1()1(22-+•=-+-y x y x 平方之：x 2+1－2x +y 2+1－2y =(x 2+y 2+1+2xy －2x －2y )化简得xy =21. 8.B 当2a =|F 1F 2|是两条射线.9.D ∵sin θ<0，cos θ<0，∴θθ•+θcos sin cos 22y x =1是双曲线.10.A l ：222222316431111bc a c c b a b y a x +=⇒•+=⇒=+ 222222221316e e e a c c a c +-+=-+=解之：e 2=4或34即e =2或32 又∵0<a <b ，∴a 2<b 2，∴c 2=a 2+b 2>2a 2，∴22>⎪⎭⎫⎝⎛a c ，∴e >2，舍去32. 11.取一条准线x =c a 2，取一条渐近线y =⇒x a b交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab c a ,2它到中心的距离为 22222b ac a c ab c a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 虚轴端点取为(0，b )顶点取(a ，0)⇒距离为c b a =+22.12.不妨设P 在左右支上，F 1为左焦点，则由定义得：|PF 1|－|PF 2|=8，又|F 1F 2|=10在△PF 1F 2中由余弦定理得：|PF 1|2+|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°=100.由方程组⎩⎨⎧=-•+=+8||||||||100||||21212221PF PF PF PF PF PF得2|PF 1|·|PF 2|=36+|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|=36，故△F 1PF 2面积为S =21|PF 1|·|PF 2|·sin60°=93. 13.渐近线的垂线方程为：y =(－ba)(x －c )解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==))((c x b a y x a b y 得垂足坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab c a ,2. 14.如图所示，因b =1，故双曲线方程为：222y ax -=1，故F (12+a ，0)，A (－a ，0)，P (aa 1,12+)，B (a ，0)，因为：k P A =a1(12+a －a )，k PB =)1(12a a a ++故由两直线的夹角公式得：22211)1(1)1(123aa a a a a a +-+-++=，解之：a =3.15.设双曲线方程为2222by a x -=1，∵双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称. 依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，E (x 0，y 0)，其中c =21|AB |，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得： x 0=h h y c +λ=λ+•-λ1,)1(2)2(0，∵点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线方程得：2224b h e -=1 ① e 2·22222)1(4)2(b h λ-+λ-λ·(λ+1)2=1 ②由①得4222e bh =－1代入②得： λ=43322122≤λ≤+-又e e 得：43213222≤+-≤e e 解之：107≤≤e ， ∴双曲线离心率的取值范围是[]10,7.16.设线段AB 中点M (x ，y )，点A 在直线y =a b x 上，点B 在直线y =－x a b 上，则A (x 1，abx 1)，B (x 2，－abx 2)，由中点坐标公式知： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+•=+=2121212122)(21)(21x x b ay x x x x x a b y x x x|OA |=a c x ab x 212221+|x 1|；|OB |=a c x ab x =+222222|x 2|，∴|OA |·|OB |=22a c |x 1·x 2|=c 2，∴x 1x 2=±a 2，又①2－②2得：4x －2224b y a =4x 1x 2，∴x 2－222b y a =±a 2，∴2222by a x -=±1为线段AB 中点M 的轨迹方程.17.由正弦定理得：|c －b |=21a ，故动点A 到两定点B 、C 距离之差的绝对值是常数21a ，由双曲线定义得：A 在双曲线上移动，以BC 中点为坐标原点，① ②BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，因半焦距为2a ，实半轴长为4a，故虚轴长为 2234222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ，故双曲线方程为)0(1434222≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y a y a x . 18 (1)∵l 过M (m ，0)，∴不妨设l 为：x =ky +m 代入x 2－y 2=4消去x 得：(ky +m )2－y 2=4，依y 聚项整理得：(k 2－1)y 2+2mky +(m 2－4)=0因k 2－1≠0，∴Δ=0即(2mk )2－4(k 2－1)·(m 2－4)=0，解之：k =±412m -.故l 为：y =±242m-(x －m ).(2)分别从方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧--==)(42)(422m x m y xy m x m y x y 及中求得：A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+m m m m B m m m m 442,424424,4242222及. 设△ABO 的重心为G (x ，y )，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==m m y m x 244383中消去m 得：3y ·2384438⎪⎭⎫⎝⎛-•=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，化简得：x 2－y 2=916(x <0，且y ≠0).。

知识讲解直线与双曲线的位置关系(理)

直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（1）利用定义转化（2）利用双曲线的几何性质（3）转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。

直线与双曲线

y -热身练习x2y21．与双曲线16 4第十七讲直线与双曲线= 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 的双曲线方程为．2．与双曲线 x 9- y 216 = 1有共同的渐近线，且过点 P (-3,2 3) 的双曲线方程为．x 2 23．设 P 为双曲线 - 16 9= 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若 PF 2 = 9 ，则 PF 1 =．4．已知 P 为双曲线 x 4 为．-y 2 = 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若∠F 1 PF 2 = 60，则 ∆F 1PF 2 的面积5．判断方程(k - 3)x 2+ (9 - k ) y 2= (k - 3)(9 - k ) 所表示的曲线，如果有焦点，求出焦点坐标．知识梳理2 2例题解析一、直线与双曲线的位置关系⎧ y = kx + m ⎪ 一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎨ x 2 - y 2 =的解的个数进行判断.⎪⎩ a 2 b 21 将直线方程代入双曲线方程中得(b 2 - a 2k 2)x 2 - 2a 2mkx - a 2m 2 - a 2b 2= 0 .当b 2- a 2k 2= 0 ，即 k = ± b时，若 m ≠ 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一a点.若 m = 0，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点.当b 2- a 2k 2≠ 0 ，即 k ≠ ± b时，a∆ = (-2a 2mk )2- 4 (b 2 - a 2k 2 )(-a 2m 2 - a 2b 2 )；∆ > 0 ⇔ 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； ∆ = 0 ⇔ 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； ∆ < 0 ⇔ 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.【例 1】（1）过点 P ( 7, 5) 与双曲线的方程。

x 2 - y 2 =7 251有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们（2）直线 y = kx +1与双曲线3x 2- y 2= 1相交于 A 、B 两点，当 k 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当 k 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？【例 2】已知双曲线方程为 x 2 - y 4= 1，过 P （1， 0）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（）A ．4 条B ．3 条C ．2 条D ．1 条2-= 2【例 3】若双曲线 x 2－y 2＝1 的右支上一点 P （a ，b ）到直线 y =x 的距离为 A.－1 B.1 C.±1 D.±2，则 a +b 的值为22 2【例 4】已知直线 y = kx - 2 与双曲线 x 2 - y 2= 1只有一个交点，则 k 的取值范围是2 【例 5】过点 P ( 7, 5) 与双曲线 x y 1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方725程.【巩固训练】1．已知直线 y = kx -1与双曲线 x 2- y 2= 4 .（1）若直线与双曲线没有公共点，求 k 的取值范围；（2）若直线与双曲线有两个公共点，求 k 的取值范围；（3）若直线与双曲线只有一个公共点，求 k 的取值范围.2y 2 2.如果直线 y = k (x -1) 与双曲线 x 2 - y 2= 4 没有交点，则 k 的取值范围是3．已知双曲线 x 9 2- = 1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为5，则 m =m4．若直线 y ＝kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是5．直线 y = ax + 1与双曲线3x 2- y 2=1交于 A 、 B 两点. ①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？ ②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？二、交点及弦长直线 l : y = kx + m (k ≠ 0)与双曲线x- y 2= 1(a > 0, b > 0 ) a 2b2相交于两个不同的点A (x 1, y 1 )，B (x 2 , y 2 )，则线段 AB 叫做双曲线的弦，AB == x - x 1 22y或 AB == y - y . 1 2【例 6】斜率为2 的直线l 与双曲线 x2 - = 1交于 A , B 两点，且 AB = 4 ，求直线l 的方程.3 2【例7】已知双曲线 x 2－ y 3＝1，过 P （2，1）点作一直线交双曲线于 A 、B 两点，并使 P 为 AB 的中点，则直线 AB 的斜率为【例8】过双曲线 x 2- y 3= 1的左焦点 F ，作倾斜角为π的弦 AB ，求⑴ AB ；⑵ ∆F AB 的周长1 6 2（ F 2 为双曲线的右焦点）。

直线与双曲线二级结论

直线与双曲线二级结论
在几何学中，直线和双曲线是两种不同类型的曲线。

下面是关于直线和双曲线的二级结论：
1.直线的性质：
o直线是一条无限延伸的曲线，由无数个点组成。

o直线上的任意两点可以连成一条直线段，且直线段长度是两点之间的最短距离。

o两条直线如果没有公共点，它们被称为平行线。

o任意一点到直线的距离始终保持一致。

2.双曲线的性质：
o双曲线是一种对称曲线，其形状类似于一个开口的对称曲线。

它与一个点（焦点）和一条直线（准线）
的关系密切。

o双曲线上的每一点到焦点和准线的距离之差是一个常数，被称为离心率。

o双曲线具有两支，每支具有相同的形状和性质，但具有不同的方向和焦点。

3.直线和双曲线的关系：
o直线可以与双曲线相交、相切或不相交。

o如果一条直线与双曲线相交于两个点，那么这条直线被称为双曲线的切线。

o双曲线的焦点和准线分别位于直线上的两个焦点和
准线上的两个切点之间。

直线也可以通过双曲线的
顶点。

这些结论描述了直线和双曲线在几何学中的基本性质和关系。

直线与双曲线

P
P
当点P在双曲线上时，当点P在双曲线上时，能作3条直线与双曲线只有一个公共点。一个公共点。
P
当点P在渐近线上（当点P在渐近线上（中心除外）、）、含焦点区域内除外）、含焦点区域内只能作2 时，只能作2条直线与双曲线只有一个公共点。曲线只有一个公共点。
当点P在其中一条渐近当点在其中一条渐近线上（中心除外）线上（中心除外）时，一条是切线，一条是切线，一条是与另一条渐近线平行。另一条渐近线平行。
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的显然这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 这条直线与双曲线的渐进线是平行的也就是相交.把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程,看也就是相交把直线方程代入双曲线方程看 ห้องสมุดไป่ตู้判别式如何? 看判别式如何
b x y l : y = x + m , c : 2 − 2 =1 a a b
总结一
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系一个交点却包括了两种位置关系: 一个交点却包括了两种位置关系相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ?
P
当点P 当点P在含焦点区域中心时，内、中心时，不可能作出双曲线的切线。作出双曲线的切线。
P P P
过点P 过点P且与双曲线只有一个公共点的直最多有线最多有4条
也就是说过点P 也就是说过点P作与双曲线只有一个公共点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
当点P 当点P在含焦点区域外的黄色和绿色区域时，的黄色和绿色区域时，能作4 能作4条直线与双曲线只有一个公共点。只有一个公共点。

双曲线与直线联立的万能公式

妙趣横生的双曲线与直线联立的万能公式在初学数学时，我们都学过一些基础的函数，比如直线函数、二次函数等。

今天，我们就来谈谈双曲线函数，并介绍一个让它与直线联立的万能公式。

双曲线函数，是指具有二次项和常数项，但是一次项系数为负的函数。

它的函数图像呈现出两个分别对称于坐标轴的曲线。

当我们要分析它与直线的交点时，单独分析往往比较麻烦。

因此，我们有必要寻求一个更为高效的方法。

假设双曲线函数为y=a/x+b·x+c，直线函数为y=kx+d，其中a,b,c,k,d皆为实数，且a,c,k不为零。

我们希望找到它们联立的万能公式。

首先，将直线函数代入双曲线函数中，得到：a/k+b·k+c=k·(a/k+d)+c整理化简后得：ak^2+bdk+ck-adk=0接着考虑这个方程的解。

我们有两种情况：①当k=0时，直线函数为常数函数，与双曲线交点只有一点，此时用方程y=a/x+b·x+c=k·(a/k+d)+c化简，即可求出交点坐标；②当k≠0时，该方程的两个根为k1=(a-d）/c，k2=a/b，且有k1×k2=a/c。

由此，可求出双曲线与直线的交点坐标为：(x1,y1)=(k1,(a+k1b+c/k1)/2)，(x2,y2)=(k2,(a+k2b+c/k2)/2)此即为双曲线与直线联立的万能公式。

经过上述分析，我们不难发现，这个联立公式可以极大地简化我们计算交点坐标的时间。

不论是实际问题还是理论分析，都能带来方便和效率。

希望以上的解析能帮助到那些学习双曲线函数的同学，并激发出更多的思考，探索数学更深层的奥秘。

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