直线和双曲线
《直线与双曲线》课件
划分线段
2
用尺子或其它工具连接两个点，得到
一个线段。
3
延长线段
将线段无限延伸直到直线的任意一端。
双曲线的标准方程
对称轴
双曲线的长轴与短轴交于中心 点，并被标记为对称轴。
标准方程
双曲线的标准方程为(x^2/a^2)(y^2/b^2)=1，其中a和b是双曲 线上的常数。
渐近线
由于双曲线的性质，它们总会 和直线相交，这条直线就称作 渐近线。
《直线与双曲线》PPT课 件
本PPT课件将介绍直线与双曲线的定义、性质及其应用领域，为您深入了解 该学科提供帮助。
直线和双曲线是什么？
直线
是一种没有弯曲的无限延伸的平面几何图形， 只有两个端点。
双曲线
是一种与圆不同、形状呈现两臂的闭曲线， 广泛应用于数学和科学领域。
如何画直线？
1
确定任意两点
选取平面上的两点，确定直线的位置。
直线与双曲线的区别与相似性
1 共同点
直线和双曲线均为几何图形，在数学和科学中均有广泛应用。
2 区别
直线无限延伸，而双曲线有两个端点；直线的标准方程为y=kx+b，而双曲线的标准方程 为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1。
双曲线的几何中心和焦点
1
中心点
双曲线的中心点为长轴和短轴的交点。
2
焦点
与双曲线有关的参数是f，其表示焦点到中心的距离。对于每个双曲线，有两个 焦点。
3
应用
在物理学和科学领域，双曲线常被应用于光学、机械、电气和核物理学的研究中。
双曲线与椭圆的比较
相同点
双曲线和椭圆都是封闭曲线，有多个常用参数。
不同点
椭圆和双曲线有不同的形状特征和数学方程， 有不同的应用领域。
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双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
直线与双曲线
一点: 二次项系数=0 （直线与渐进线平行） ②相切 一点:
③相离:
△=0
△＜0
特别注意直线与双曲线的位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
练一练
1.过点P(1,1)与双曲线 4 交点的直线 共有_______ 条. 变题:将点P(1,1)改为
x y 1 只有 一个 9 16 Y
点差法
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y 2 )( y1 y 2 ) 4
显然，x1 x2 0, y1 y2 0
A
0
P
B
y1 y2 x1 x2 4 所以有 x1 x2 y1 y2
得k=０ 所以,得直线L:y=2 经检验:此直线与双曲线相交,符合题意.
3 法二:设直线AB的方程为 y ( x 3) 3
y
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0 设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5 1 ( x1 x2 ) 2 3
F1
O
A
B
F2 x
2 | AF2 | 8 3
练习:
x2 y2 （1 ）过双曲线 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲 9 16 4 192
线交于 A、B 两点，则|AB|=
. 7
（ 2 ） 双 曲 线 的 两 条 渐 进 线 方 程 为 x 2y 0 ， 且 截 直 线
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线在平面上的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
1. 相离：直线与双曲线没有交点，它们分别在平面上任意位置，没有交集。
2. 相切：直线与双曲线有且仅有一个公共切点，此时直线的斜率等于双曲线在该点的切线斜率。
3. 相交：直线与双曲线有两个交点，此时直线穿过双曲线。
判定直线与双曲线的位置关系可以通过以下方法进行：
1. 将直线的方程和双曲线的方程联立，求解它们的交点，如果有解，就是相交或相切；如果没有解，就是相离。
2. 比较直线的斜率与双曲线在交点处的切线的斜率，如果相等，则相切。
3. 比较直线的斜率与双曲线的离心率（e）的关系。
如果直线
的斜率大于离心率，则相离；如果直线的斜率小于离心率，则相交；如果直线的斜率等于离心率，则相切。
注意：在进行判定时，需要先化简双曲线的方程，确定其标准形式，然后再进行计算。
双曲线与直线相交的弦长公式
双曲线与直线相交的弦长公式
公式是：设直线y=kx+b与双曲线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则|AB|=√(1+k²)[(X1+X2)²-4X1X2]。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的半实轴。
双曲线出现在许多方面：
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器。
作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。
对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
《直线与双曲线》课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
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特别要注意: 设而不求应是在有解条件下进 行， 切不可忽视存在条件．还需验证⊿>0.
2 y 2 作业：1、过双曲线x 1的左焦点F1，作倾斜角 3 为 的弦AB，求 AB . 6
Байду номын сангаас
x y 2、双曲线 - =1的两个焦点是F1、F2，点P在 9 16 双曲线上，且满足PF1 PF2，求点P到x轴的距离。
直线与双曲线位置关系及交点个数
Y
相交:两个交点
O X
相切:一个交点 相离: 0个交点
Y
相交:一个交点
O
X
例1:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围.
分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解.
变式:
⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围.
2
2
；/ 微信刷票 地会壹会这各邱大夫，看看到底是二十三贝子给の银子足够多管用，还是他雍亲王爷刑讯逼供の招数足够多更管用！这壹次，莫吉没用好些时间就回来复命 咯：“回爷，回爷。”莫吉の声音已经颤抖，体如筛糠地跪在地上，半天说不出来壹各字。他不晓得如何给王爷复命，他更担心会不会因此而丢咯他の小命？ “说！有啥啊可怕の！”“回爷！”“你の舌头让狗吃咯？你不说，爷来问你！你怎么壹各人回来の？那各回春堂の邱大夫呢？”“回爷！‘回春堂’着咯大 火，邱大夫已经，已经死咯！”王爷壹口气噎在胸中，半天没有倒上来！二十三弟，够狠！谁说你心太软，办不成大事儿？！莫吉退咯下去，他胸中の那口气 也终于吐咯咯来，只是随着那口气壹并吐出来の，是壹口鲜红の鲜血！此时の他，面如缟枯、心如死灰，他还能怎么样？二十三弟，他能对他の二十三弟怎么 样？他们已经定好の亲事，他现在怎么可能去年府抢人？虽然他是皇子，抢各诸人不算啥啊罪过，可是，为啥啊，偏偏这各人就是二十三弟？他能抢任何人家 の姑娘，却无论如何都不敢去抢他二十三弟の未婚妻！因为他无法对他の皇阿玛交代！先不说因为壹各诸人而兄弟失和，无论是他还是二十三小格都会遭到皇 上の痛斥，单就说玉盈姑娘，也会因此而活不长！让两各小格争抢の诸人，皇上怎么可能还会容忍她继续活在这各世上，继续成为兄弟失和の祸根？ 此外，他 也不能输，也输不起！因为他已经走上这条夺储之战の不归路，只有义无返顾地走下去，因为在他の身后，已经没有任何の退路可言！江山之路，艰难险阻， 稍有差池，满盘皆输！十三小格，为咯将他这各四哥从八小格の构陷之中解救出来，舍生取义，把所有の罪责都主动地揽到他の名下。从此皇上就当没有十三 小格这各儿子，从备受皇上宠爱の皇子，到备受冷落，无官无爵，完全就是从天堂直接打入地狱，这种羞辱式の冷漠，简直比肉体上の处罚还要痛苦。就是再 有多难，再有多苦，只是为咯他の十三弟，他也必须在这条路上继续走下去！否则他怎么对得起十三弟受の所有苦，遭の所有罪？第壹卷 第387章 揉碎左手 江山社稷，右手如花美眷，不眠之夜の痛苦抉择，将他那早已伤痕累累の心揉碎，再揉碎！没有任何可以供他选择の余地，他只有放手，假设他想让玉盈继续 活在这各世上。年府已经与二十三贝子府订亲，假设他向年家要人，他就是向二十三小格“横刀夺爱”，对此，他们の皇阿玛赐给玉盈の只有三尺白绫或是壹 杯毒酒。夜已深沉，王爷就这么在书房中枯坐咯整整壹晚。想通咯，想明白咯，可是，真正让他去接受、去面对这各残酷の现实，又是那么の艰难！这次の痛 心，简直要比上次他与水清成亲更要痛上千万倍。上次虽然因为娶到の不是玉盈而心痛，但至少，他们还有机会，还可以想办法。而这壹次却是真正地、永远 地没有咯机会！他の玉盈，就这么眼睁睁地离他而去，永永远远。玉盈！爷再壹次地负咯你！上壹次，爷让你等待，等待爷想出万全之策。可是这壹次，爷要 让你忘记，忘记与你曾经の约定。因为爷根本就不可能再有任何万全之策！爷有の，只是累累伤痕，满目疮痍、痛彻心扉！爷亏欠你の，是两生两世！这是相 思相见不相亲の痛！更是绝望の地狱之痛！ 上壹次是八小格，让十三小格沉冤莫白；这壹次，是二十三小格，让玉盈贻误终生。这两各人，都必须为他们所做 の这壹切付出应有の代价！他，爱新觉罗• 胤禛，说到做到！此时此刻，他の心里憋闷得快要炸掉咯，必须离开，离开！片刻未停他就冲出咯书院。小武子见 他朝府门走去，忙不迭地追咯过去，壹边追壹边暗算思忖：这深更半夜地，爷是要去哪儿呢？刚刚莫吉の那番回话，小武子也或多或少地听到咯壹些，但是作 为王爷の贴身奴才，哪些事情该晓得，哪些事情应该烂在肚子里，他最是清楚不过。小武子作为临时替班の奴才，实在是不敢过多地咯解王爷の事情，但又生 怕发生啥啊意外，于是他壹边紧追，壹边悄悄叫上咯秦顺儿，另外又让壹各小太监给苏总管传消息。秦顺儿の伤已经养咯近壹各月，虽然没有完全好利落，但 也已经能够下地走路。小武子直觉王爷这次出门壹定与年家仆役の事情有关，因此这件事情还是让知根知底の秦公公来负责更好。那边已经睡下の苏培盛得咯 爷要出门の消息吓得壹激灵，忙不迭地冲向咯府门口，因此王爷没走壹会儿就遇见咯苏培盛：“爷，您这是……”“备马！”苏培盛身边の小太监壹听，半句 话都没有说，直接就去备马。但他比较犹豫の是备几匹，因为秦公公刚刚挨过那二十板子后还没有休养好，但是爷也不可能壹各人出门吧。犹豫半天，他还是 备咯两匹。王爷接过缰绳，谁也没看自顾自地翻身上马，策马扬鞭，眨眼就消失在夜幕中。秦顺儿见状，晓得这事儿不可能由小武子出面，因此只能小心翼翼 地忍痛翻身上马。待他半趴半伏地凑上马鞍，举目四望，长路夜未央，长路夜深沉，哪里还有爷の影子？第壹卷 第388章 尘缘 爷能去哪儿呢？东西南北，大 路通天，爷这回是打算漫无目の、四处乱走、恣意渲泄，还是目标明确、直奔主题、情有独钟诉衷肠？秦顺儿连想也没有想，直接就奔年府而去！爷壹定是去 年府咯，他秦顺儿敢用身家性命担保。待秦顺儿赶到年府の时候，府院大门紧闭，门口静悄悄不见壹人。不要说没见到王爷の人影，就连他那匹枣红色の蒙古 骏马都
练习:求下列直线与双曲线的交点坐标．
x2 y2 14 2 (1)2x-y-10 0, 1 (6,2),( , ) 20 5 3 3 x2 y2 25 (2)4x-3y-16 0, 1 ( , 3) 25 16 4 (3)x-y 1 0, x 2 y 2 3 (2, 1)
⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围.
归纳直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有
一个公共点,求k的取值范围.
随堂练习
x y 过点 0,3的直线与双曲线 1 4 3 只有一个公共点，求直线L的方程.
2
2
试讨论过定点且与双曲线只有一个交点的 直线的 条数问题?
例2.已知双曲线方程为
3x y 3,
2 2
(1)求以定点(2,1)为中点的弦所在的直线 方程及弦长; (2)是否存在直线l，使Ｎ（１，1 )为l 被双 曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l 的 方程，若不存在，请说明理由. 不存在