2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学(理)试题

2020届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A
B =（ ） A ．()1,0- B ．()0,1
C ．()1,3
D ．()1,3- 2．若复数z 满足()112z i i +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A ．24
B ．36
C ．48
D ．60 4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．在等比数列{}n a 中，4a 和12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ） A ．32- B ．32 C ．1- D ．±1 6．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( )
A ．−8
B ．−6
C ．6
D ．8
7．下列函数中，在(0,)+∞内单调递减的是（ ）
A ．22x y -=
B ．11x y x -=+
C ．1
21log y x
= D ．22y x x a =-++ 8．函数()()sin f x A x ωφ=+()0,0,22A x R π
πωφ⎛
⎫>>-<<∈ ⎪⎝⎭
的部分图象，如图所示，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．12 B
．2 C ．12- D
． 9．已知：0x >，0y >，且
211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()4,2-
B ．(][),42,-∞-+∞
C ．()2,4-
D ．(][),24,-∞-⋃+∞
10．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角，则过,,,A B C D 四点的球的表面积为
A ．2π
B ．3π
C ．4π
D ．5π
11．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=8x 上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ）
A ．4 B
．C
．D
．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x =
，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
二、填空题
13．已知()61ax -的展开式中3x 的系数为20，则a =________．
14．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
15．ABC 中，a ，b ，c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边，2224ABC a b c S
+-=，则C =_________.
三、双空题
16．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭
，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．
四、解答题
17．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令211
n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点.
(1)求证: BE ⊥平面PAD ；
(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.
19．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布
直方图如图所示
(1) 求a 的值
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率；
（3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.
20．在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为22(1)9x y -+=，圆2C 的方程为22(1)1x y ++=，动圆C 与圆1C 内切且与圆2C 外切.
(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
(2)已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.
21．已知a R ∈，函数()2ln f x a x x
=+ (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若2x =是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()126x x <<处的切线互相平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为1b 、2b ，求12b b -的取值范围.
22．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4cos C ρθ=，2:cos 3C ρθ=．
（1）求1C 与2C 的交点的极坐标；
（2）设点Q 在1C 上，23
OQ QP =，求动点P 的轨迹的极坐标方程． 23．设函数()52f x x a x =-+--.
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；
（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
解不等式得出集合A 、B ，根据并集的定义写出A∪B．
【详解】
集合A ＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x ＜1}，
B ＝{x|x （x ﹣3）＜0}＝{x|0＜x ＜3}，
则A∪B＝{x|﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查集合的运算，是基础题．
2．C
【解析】()()()()()1i 12i,1i 1i 12i 1i z z +=-∴+-=--,
化为13
213i,i 22z z =--∴=--，
∴复数z 在复平面内所对应的点13,22⎛⎫
-- ⎪⎝⎭在第三象限，故选C.
3．A
【解析】
第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有2
2A 种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有23
23A A 种排法；
∴232
23224A A A =
故选：A.
4．A
【分析】
由算筹含义直接求解
【详解】
根据各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，
十位、千位、十万位数用横式表示，知8771用算筹可表示为
， 故选：A.
【点睛】
本题容易，只需找出规律即可求解.
5．C
【分析】
利用韦达定理得到412412
31a a a a +=-⎧⎨
=⎩，再利用数列的性质计算8a . 【详解】 因为412,a a 是方程的根，故41241231
a a a a +=-⎧⎨=⎩且4120,0a a <<， 由{}n a 是等比数列可知241281a a a ==,故81a =±，
因为4120,0a a <<，故80a <，故81a =-
故选：C
【点睛】
一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若*,,,,m n p q N m n p q ∈+=+,则+m n p q a a a a =+；
（2）()1,1,2,...,2
k n k n n a a S k n +-+==且()2121n n S n a -=-; （3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,...n n n n n S S S S S --为等差数列.
6．D
【分析】
由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．
【详解】
∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，
∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．
故选D ．
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
7．A
【分析】
直接根据指数型函数的单调性判断出22
x y -=在R 上递减，求得结果. 【详解】
由题，22
x y -=在R 上递减，所以在()0,+∞内单调递减， 故选A
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.
8．B
【分析】
根据图像，可求出,,A ωφ的值，进而得出解析式，将
3
π代入即可得解. 【详解】
由图可知，()f x 最大值为1，故()10A A => ()22421036T ππππωωω⎛⎫==⨯-=⇒=> ⎪⎝⎭
则sin 166f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为22π
πφ-<<，故3πφ= 即()sin 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
则2sin sin 333f πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
故选：B
【点睛】
根据图像解出三角函数解析式并对其性质进行考查是高考的高频考点，可从最大值点、周期、零点等角度入手，解答时要注意参数取值范围.
9．A
【分析】
若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可.
【详解】
由题,因为211x y
+=,0x >,0y >,
所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭
,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A
【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.
10．D
【解析】
折后的图形可放到一个长方体中， 故其外接球的半径为
，其表面积为5π. 故选：D.
点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 11．C
【分析】
由已知条件，结合抛物线性质求出A 点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B ，由|PO |＝|PB ，|知|P A |+|PO |的最小值为|AB |，由此能求出结果． 【详解】
抛物线y 2=8x 的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，
∴A 到准线的距离为6，即A 点的横坐标为4，∵点A 在抛物线上，不妨设为第一象限，
∴A 的坐标A （4，）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B （-4，0），
∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：=．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 12．D 【解析】
函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的零点就是函数()y f x =与函数1
()h x x π
=
-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-
∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2
x π=
又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称． 函数1
()h x x π
=
-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），
根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称．
所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32π
π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．
点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用． 13．1- 【分析】
根据二项式定理求解3x 的系数再求解a 即可. 【详解】
易得()6
1ax -中含3x 的项为()3
3
3336120C ax a x ⋅⋅-=-,故320201a a -=⇒=-.
故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查了二项式定理求项的系数与参数的问题,属于基础题. 14．2y x = 【分析】
先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】
2222101
y k y x x =
∴==∴=+'+ 【点睛】
求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 15．
4
π 【分析】 由222
1sin 24
+-==
ABC
a b c S
ab C ，结合余弦定理得到tan 1C =求解. 【详解】 因为222
1sin 24
+-==
ABC
a b c S
ab C ， 所以222
sin cos 2a b c C C ab
+-==，
即：tan 1C =， 因为()0,C π∈， 所以4
C
π
，
故答案为：4
π 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式与余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．20192a = 2020 【分析】
利用函数与数列的关系求出通项公式，即可求出；列出求和公式找到规律即可求出. 【详解】
由题可知，222019201912019220192201921
2019
n n
n n a f n n n ⋅
⎛⎫====+ ⎪--⎝⎭⋅-
则20192019
12220192019
a =+
=⨯-
2019201920192019
11 (12201942019220192019)
S =+
+++++
--⨯- 即()()()20191201822017100910102019...S a a a a a a a =+++++++
2100922020=⨯+=
故答案为：20192a = 2020 【点睛】
本题综合考查函数、数列的相关性质，难度较易. 17．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)
n
n +．
【解析】
试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3
577,26a a a =+=可得
1127
{21026
a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111
()41
n b n n =
-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
1127
{21026
a d a d +=+=， 解得1
3,2a d ==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)
3222
n n n S n n n -=+
⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+， 所以2
2111111
()1(21)14(1)41
n n b a n n n n n =
===--+-++， 所以11111111(1)(1)4223
1414(1)
n n
T n n n n =
-+-++
-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)
n n
T n =
+.
考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和
18．（1）见解析；（2【分析】
(1) 连接BD ，根据几何关系得到PE AD ⊥, 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面
ABCD ，进而得到PE BE ⊥,再由三角形ABE 的角度及边长关系得到BE AD ⊥，进而得
到结果;(2)建立空间坐标系得到面PAB 的法向量为n ，面PBC 的一个法向量为m ，根据向量夹角运算可得结果 【详解】
（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=，所以BE AD ⊥，从而BE ⊥平面PAD .
（2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，(P ，
()()()
1,0,0,,A B C -，有()(1,0,3,0,3,PA PB =-=，
(
PC =-，令平面PAB 的法向量为n ，由00
PA n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得一个(
)
3,1,1n =
，
同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1m =，所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面
角的余弦值为10m n m n
⋅=
. 【点睛】
本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可. 19．(1) 0.035a = (2) 21
50
（3）()12.5E X = 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图求出a 的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，由条件概率公式得到所求概率；（3）X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X 的分布列与期望. 试题解析：
（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，
（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.
设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ， 则
()()()
12
27
3
121221
210210312
21
|.50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为4
,5
P =
X 的可能取值为0，1，2，3. ()3
03
41015125P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，()1
2
1344121155125
P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
1
2344482155125P X C ⎛⎫
⎛⎫==-= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，()3
3346435125
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ 所以X 的分布列为
4~3,5X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，()4123.55E X np ==⨯=
20．(1) 22
1(2)43
x y x +=≠- (2)6
【解析】
试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心C 的轨迹E 的方程；（2）设l 的方程为
1x my =+，联立可得()
2234690m y mx ++-=，通过根与系数的关系表示弦长进而得到
四边形APBQ 面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可. 试题解析：
(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知123,1CC r CC r =-=+
从而有124CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，
并去 除点()2,0-，从而轨迹E 的方程为()22
1243
x y x +=≠-.
（2）设l 的方程为1x my =+，联立22
143
1x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去x 得()
2
2
34690m y mx ++-=，设点()()1122,,,A x y B x y ，
有12122269,,3434m y y y y m m --+==++
则()
2212134
m AB m +==+， 点()2,0P -到直线l
()2,0Q 到直线l
从而四边形APBQ 的面积(
)
2
22121123434m S m m +=⨯=++
令1t t =≥，有22424
1313t S t t t
=
=++
，函数13y t t
=+在[)1,+∞上单调递增， 有134t t
+≥，故22424
61
313t S t t t
==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6. 21．（1）见解析；（2）2ln203⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 【分析】
（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，
（2）由x ＝2是f （x ）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得11141b lnx x =
+-，同理，222
4
1b lnx x =+-．求出b 1﹣b 2，再构造函数， 利用导数，即可求出b 1﹣b 2的取值范围 【详解】 （1）()222a ax 2f'x x x x
-=-
+=， ①当a ≤0时，f'（x ）＜0在x ∈（0，+∞）上恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减；
②当a ＞0时，2x 0a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时f'（x ）＜0，2x a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，时，f'（x ）＞0，
即f （x ）在2x 0a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递减，在2x a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭
，
单调递增； （2）∵x=2是f （x ）的极值点，∴由（1）可知
2
2a
=， ∴a=1，设在P （x 1，f （x 1））处的切线方程为()112111221y lnx x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 在Q （x 2，f （x 2））处的切线方程为()222222221y lnx x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -
+=-+，∴12111x x 2
+= ∵21111x 2x =-，且0＜x 1＜x 2＜6，∴11111162x x -＜＜，∴1111
4x 3
＜＜， ∴x 1∈（3，4）令x=0，则111
4
b lnx 1x =
+-， 同理，222
4
b lnx 1x =+-． 【解法一】
∵21111x 2x =-，∴1212121111121111b b 4lnx lnx 4ln ln x x x 2x 2x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设()1g x 8x 2lnx ln x 2⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，11x 43⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
∴()22
221116x 8x 1(4x 1)g'x 801x 2x x 2x x x
2-+-=--==---＜ ∴g （x ）在区间1143⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴()2g x ln203，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
即b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． 【解法二】 ∵1
212x x x 2
=
-，
∴11212121x 118b b 4lnx lnx 2ln 1x x x 2⎛⎫⎛⎫
-=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令()8x g x ln 12x 2⎛⎫
=
+-- ⎪⎝⎭
，其中x ∈（3，4） ∴()()()
22
22281x 8x 16(x 4)g'x 0x x 2x x 2x x 2-+-=-+
==---＞ ∴函数g （x ）在区间（3，4）上单调递增，∴()2g x ln203，⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
∴b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． 【解法三】
∵x 1•x 2=2（x 1+x 2）， ∴
()()121212111
12121
1212212222
x 214x x 2x x x x x x 44
b b lnx lnx ln ln ln x x x x x x x x x x 1x ⎛⎫
- ⎪
--⎝⎭-=-+-=++=+⋅++═
设()()
21x g x lnx 1x
-=++，则()2
2241(1x)g'x (1x)x x(1x)--=+=++
∵
112x x 111x 22⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，，∴g'（x ）＞0， ∴函数g （x ）在区间112⎛⎫
⎪⎝⎭
，
上单调递增， ∴()2g x ln203，⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴b 1-b 2的取值范围是2ln203⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
． 【点睛】
本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题
22．（1
）6π⎛
⎫
± ⎪⎝
⎭
；（2）10cos ρθ= 【分析】
（1）联立cos 3
4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩
，即可求出1C 与2C 的交点的极坐标.
（2）设P,Q 两点极坐标，根据2
3
OQ QP =，即能求出动点P 的轨迹的极坐标方程. 【详解】 （1）联立cos 34cos ρθρθ
=⎧⎨
=⎩
，cos 2θ=±，6πθ=±
，ρ=
6π⎛⎫± ⎪⎝⎭
（2）设(),P ρθ，()00,Q ρθ且004cos ρθ=，
由已知2,3OQ QP =得0025ρρ
θθ
⎧
=⎪⎨⎪=⎩
2
4cos 5
ρθ∴=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=. 【点睛】
本题主要考查极坐标方程的相关性质，难度较易，作此类题目时需要注意θ的取值范围. 23．(1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。