初二数学平行四边形专题练习题

合集下载

初二数学平行四边形专题练习题(含答案)

图1 A B C D 初二数学平行四边形专题练习之阿布丰王创作时间：二O 二一年七月二十九日1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等,那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1,正方形ABCD 的边长为4cm,则图中阴影部份的面积为cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形,请弥补条件(写一个即可),使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中,已知对角线AC 和BD 相交于点O,△ABO的周长为17,AB ＝6,那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE,则∠AED 的度数为.6．已知菱形的边长为6,∠A＝60°,如果点P 是菱形内一点,且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为．7．在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2,5),B(－3,－1),C(1,－1),在第一象限内找一点D,使四边形ABCD 是平行四边形,那么点D 的坐标是．二、选择题（每题3分,共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中,∠B=110°,延长AD 至F,延长CD至E,连结EF,则∠E＋∠F ＝( )A ．110°B ．30° C．50° D ．70°图2 图3 图4 9．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示,平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O,点E 是BC 的中点．若OE=3 cm,则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2,AD ＝4,则图中阴影部份的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AFDC B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( )A ．①③⑤B ．②③⑤ C．①②③ D ．①③④⑤13．如图5所示,是一块电脑主板的示意图,每一转角处都是直角,数据如图所示(单元：mm),则该主板的周长是 ( )A ．88 mmB ．96 mmC ．80 mmD ．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示,把矩形ABCD 沿EF 半数后使两部份重合,若150∠=,则AEF ∠=（）A ．110°B．115°C ．120°D．130°15、四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,使得ABCD是平行四边形,一共有几多种分歧的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法毛病的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7,四边形ABCD 是菱形,对角线AC ＝8 cm ,BD ＝6 cm, DH⊥AB 于H,求：DH 的长.图718、已知：如图8,菱形ABCD 的周长为16 cm,∠ABC＝60°,对角线AC 和BD 相交于点O,求AC 和BD 的长.图819、如图9,在正方形ABCD 中,P 为对角线BD 上一点,PE⊥BC,垂足为E, PF⊥CD,垂足为F,求证：EF ＝AP20、在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,DE⊥AB,A B CE F 图9DF⊥AC,垂足分别是E,F.⑴试说明:DE=DF⑵只添加一个条件,使四边形EDFA 是正方形.请你至少写出两种分歧的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明）图1021、如图11,ABCD 中,AE 平分∠BAD 交BC 于E,EF∥AB 交AD 于F, 试问：四边形ABEF 是什么图形吗？请说明理由.图11参考谜底一、填空题1. 22. 83、AC⊥BD 4、22 5、150°或15° 6、47、（2 ,5）二、选择题 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.B 14.B15.C16.9.6 CM 17、AC ＝4 cm , BD ＝418.证明：连结PC∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB＝AC ,∠ABD ＝∠DPC ∠BCD ＝90°∵BP ＝BP∴△ABP≌△CBP∴AP = CP∵PE⊥BC,PF⊥DC∴四边形PECF 为矩形∴EF＝PC∴EF＝AP19、证明：⑴连结AD∵AB＝AC,D 为BC 的中点∴AD 为∠BAC 的平分线∵DE⊥AB ,DF⊥A C ∴DE＝DF⑵∠BAC＝90° DE⊥DF20、菱形∵四边形ABCD 为平行四边形∴AD∥BC ,∠2＝∠3∵AB∥EF∴四为平行四边形∵∠2＝∠1∴∠1＝∠3∴AB＝BE∴四边形。

八年级初二数学平行四边形练习题附解析

八年级初二数学平行四边形练习题附解析一、解答题1．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=8cm ，AD=16cm ，BC=22cm ，∠ABC=90°．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．（1）当t= 时，四边形ABQP 成为矩形？（2）当t= 时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？（3）四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度（匀速运动），使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图24．如图平行四边形ABCD ，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且AE ＝CF ，EF 与AC 交于点O ．（1）如图①．求证：OE ＝OF ；（2）如图②，将平行四边形ABCD （纸片沿直线EF 折叠，点A 落在A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 交CD 于点G ．A 1B 分别交CD ，DE 于点H ，P ．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP 相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO 是等边三角形，AB ＝4，点F 在BC 边上，且BF ＝4．则CF OF＝（直接填结果）．5．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：2DE AF =．6．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．7．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.8．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.9．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.10．如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着A B C D→→→路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）112；（2）112或4；（3）四边形PBQD不能成为菱形【分析】（1）由∠B=90°，AP ∥BQ ，由矩形的判定可知当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形；（2）由（1）可求得点P 、Q 与点A 、B 为顶点的四边形为平行四边形；然后由当PD=CQ时，CDPQ 是平行四边形，求得t 的值；（3）由PD ∥BQ ，当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形，先由PD=BQ 求出运动时间t 的值，再代入求BP ，发现BP≠PD ，判断此时四边形PBQD 不能成为菱形；设Q 点的速度改变为vcm/s 时，四边形PBQD 在时刻t 为菱形，根据PD=BQ=BP 列出关于v 、t 的方程组，解方程组即可求出点Q 的速度．【详解】（1）如图1，∵∠B=90°，AP ∥BQ ，∴当AP=BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，此时有t=22﹣3t ，解得t=112． ∴当t=112时，四边形ABQP 成为矩形；故答案为112；（2）如图1，当t=112时，四边形ABQP 成为矩形，如图2，当PD=CQ 时，四边形CDPQ 是平行四边形，则16﹣t=3t ，解得：t=4， ∴当t=112或4时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形；故答案为112或4；（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD=BQ=BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD=BQ ，得16﹣t=22﹣3t ，解得：t=3，当t=3时，PD=BQ=13，，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为vcm/s 时，能够使四边形PBQD 在时刻ts 为菱形，由题意，得162216t vtt -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩62t v =⎧⎨=⎩．故点Q 的速度为2cm/s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的判定、菱形的判定以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．2．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．3．（1）见解析（2）见解析（3）15【分析】（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠QBA ＝∠QBC在△QBA 和△QBC 中BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）∴∠QAB ＝∠QCB又∵CQ ＝MQ∴∠QCB ＝∠QMC∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°在四边形QABM 中∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°而∠ABM ＝90°∴∠AQM ＝90°（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则2MC a =-，3ND a =-延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2易证△ADH ≌ △ABM∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形∴∠QAM ＝45°∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°即∠NAH ＝45°∴∠NAM ＝∠NAH∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+∴()()222123a a -=-+∴6a = ∴11651522AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=【点睛】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．4．（1）见解析；（2）FG=EP ，理由见解析；（32【分析】（1）证△ODE ≌△OFB （ASA ），即可得出OE=OF ；（2）连AC ，由（1）可知OE=OF ，OB=OD ，证△AOE ≌△COF （SAS ），得AE=CF ，由折叠性质得AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1，则∠D=∠B 1，证△A 1PE ≌△CGF （AAS ），即可得出FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，证四边形ABCD 是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=43CF=3，由等腰三角形的性质得BH=CH=12BC=3HF=423-，OH=12OB=2，由勾股定理得OF=2622，进而得出答案．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ODE=∠OBF ，∠OED=∠OFB ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即DE=BF ，在△ODE 和△OFB 中， ODE OBF DE BFOED OFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ODE ≌△OFB （ASA ），∴OE=OF ；（2）FG=EP ，理由如下：连AC ，如图②所示：由（1）可知：OE=OF ，OB=OD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 过点O ，OA=OC ，∠BAD=∠BCD ，∠D=∠B ，在△AOE 和△COF 中，OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ，由折叠性质得：AE=A 1E=CF ，∠A 1=∠BAD=∠BCD ，∠B=∠B 1， ∴∠D=∠B 1，∵∠A 1PE=∠DPH ，∠PHD=∠B 1HG ，∴∠DPH=∠B 1GH ，∵∠B 1GH=∠CGF ，∴∠A 1PE=∠CGF ，在△A 1PE 和△CGF 中，111A PE CGF A FCG A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1PE ≌△CGF （AAS ），∴FG=EP ；（3）作OH ⊥BC 于H ，如图③所示：∵△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵AB=OB=BF=4，∴AC=BD=2OB=8，由勾股定理得：BC=2222=84AC AB --=43，∴CF=43-4， ∵OB=OC ，OH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=23， ∴HF=4-23，OH=12OB=2，在Rt △OHF 中，由勾股定理得：OF=22OH HF +=()222423+-=2622-，∴434226222CF OF -===-，故答案为：2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒-αα︒-，在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒-,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒-∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒-∠-∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（1）①EAB DAC ∠=∠； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．【分析】（1）①根据EAD BAC ∠=∠，两角有公共角BAD ∠，可证EAB DAC ∠=∠；②连接EB ，证明△EAB ≌△DAC ，可得,ABE ACD EB CD ∠=∠=,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC ，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形CDEF 为平行四边形．（2）根据60BAC ∠=︒，可证明△AED 和△ABC 为等边三角形，再根据ED ∥FC 结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA ，求证△ABD ≌△CAF ，得出ED=CF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形．【详解】解：（1）①EAB DAC ∠=∠，理由如下：∵EAD BAC ∠=∠，EAD EAB BAD ∠=∠+∠，BAC BAD DAC ∠=∠+∠, ∴EAB BAD BAD DAC ∠+∠=∠+∠，∴EAB DAC ∠=∠；②证明：如下图，连接EB,在△EAB 和△DAC 中∵AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△DAC （SAS ）∴,ABE ACD EB CD ∠=∠=,∵AB AC =，∴ABC ACD ∠=∠,∴ABE ABC ∠=∠，∵//EF DC ，∴EFB ABC ∠=∠,∴ABE EFB ∠=∠,∴EB EF =,∴DC EF =∴四边形CDEF 为平行四边形；（2）成立；理由如下：理由如下：∵60BAC ∠=︒，∴=60EAD BAC ∠=∠︒，∵AE=AD ，AB=AC ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,∵ED ∥FC ，∴∠EDB=∠FCB ，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF ，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB ，∴∠AFC=∠BDA ，在△ABD 和△CAF 中，60BDA AFC B BAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAF （AAS ），∴AD=FC ，∵AD=ED ，∴ED=CF ，又∵ED ∥CF ，∴四边形EDCF 是平行四边形．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．7．（1）35；（2）41；（3）53101或【分析】（1）利用勾股定理即可求出.（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，证出ECD FEH ∆∆≌，进而求得MF ，BM 的长，再利用勾股定理，即可求得.（3）分两种情况讨论，同（2）证得三角形全等，再利用勾股定理即可求得.【详解】（1）由勾股定理得：22223635BF AB AF =+=+=（2）过点F 作FH ⊥AD 交AD 于的延长线于点H ，作FM ⊥AB 于点M ，如图2所示：则FM=AH ，AM=FH∵四边形CEFG 是正方形 ∴EC=EF,∠FEC=90° ∴∠DEC+∠FEH=90°，又∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠ADC=90° ∴∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠FEH 又∵∠EDC=∠FHE=90°，∴ECD FEH ∆∆≌ ∴FH=ED EH=CD=3∵AD=3,AE=1,ED=AD-AE=3-1=2,∴FH=ED=2∴MF=AH=1+3=4，MB=FH+CD=2+3=5在Rt △BFM 中，BF=22225441BM MF +=+=（3）分两种情况：①当点E 在边AD 的左侧时，过点F 作FM ⊥BC 交BC 的反向延长线于点M ，交DE 于点N.如图3所示：∆≅∆同（2）得：ENF DEC∴EN=CD=3，FN=ED=7∵AE=4∴AN=AE-EN=4-3=1∴MB=AN=1 FM=FN+NM=7+3=10∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222=+=+=FB FM MB101101②当点E在边AD的右侧时，过点F作FN⊥AD交AD的延长线于点N，交BC延长线于M，如图4所示：∆≅∆同理得：CDE EFN∴NF=DE=1，EN=CD=3∴FM=3-1=2，CM=DN=DE+EN=1+3=4∴BM=CB+CM=3+4=7∆中在Rt FMB由勾股定理得：2222FB FM MB=+=+=2753或故BF53101【点睛】本题为考查三角形全等和勾股定理的综合题，难点在于根据E点位置的变化，画出图形，注意（3）分情况讨论，难度较大，属压轴题，熟练掌握三角形全等的性质和判定以及勾股定理的运用是解题关键.8．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CN=25.【解析】【分析】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，先证明CQ=CE，再证明△FQD≌△FEA，根据全等三角形的对应边相等可得EF=FQ，再根据等腰三角形的性质即可得CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，证明四边形DFHP是矩形，继而证明△HPC≌△FMK，根据全等三角形的性质即可得CH=FK；(3)连接CN，延长HG交CN于点T，设∠DCF=α，则∠GCF=α，先证明得到FG=CG=GE，∠CGT=2α，再由FG是BC的中垂线，可得BG = CG，∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，再证明HN∥BG，得到四边形HGBN是平行四边形，继而证明△HNC≌△KGF，推导可得出HT=CT=TN ，由FH-HG=1，所以设GH=m，则BN=m，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，继而根据22222=-=-，可得关于m的方程，解方程求得m的值即可求得答案. BC CN BN CE BE【详解】(1)如图，延长EF交CD延长线于点Q，∵矩形ABCD，AB∥CD，∴∠AEF=∠CQE，∠A=∠QDF，又∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CQE，∴CQ=CE，∵点F是AD中点，∴AF=DF，∴△FQD≌△FEA，∴EF=FQ，又∵CE=CQ，∴CF⊥EF；(2)分别过点F、H作FM⊥CE ，HP⊥CD，垂足分别为M、P，∵CQ=CE ，CF⊥EF，∴∠DCF=∠FCE，又∵FD⊥CD，∴FM=DF，∵FG//AB，∴∠DFH=∠DAC=90°，∴∠DFH=∠FDP=∠DPH=90°，∴四边形DFHP 是矩形，∴DF=HP ，∴FM= DF=HP ，∵∠CHG=∠BCE ，AD ∥BC ，FG ∥CD ，∴∠K=∠BCE=∠CHG=∠DCH ，又∵∠FMK=∠HPC=90°，∴△HPC ≌△FMK ，∴CH=FK ；(3)连接CN ，延长HG 交CN 于点T ，设∠DCF=α，则∠GC F=α，∵FG ∥CD ，∴∠DCF=∠CFG ，∴∠FCG=∠CFG ，∴FG=CG ，∵CF ⊥EF ，∴∠FEG+∠FCG=90°，∠CFG+∠GFE=90°，∴∠GFE=∠FEG ，∴GF=FE ，∴FG=CG=GE ，∠CGT=2α，∵FG 是BC 的中垂线，∴BG = CG ， ∠CGT=∠FGK=∠BGT=2α，∵∠CHG=∠BCE=90°-2α，∠CHN=90°，∴∠GHN=∠FGK=∠BGT=2α，∴HN ∥BG ，∴四边形HGBN 是平行四边形，∴HG=BN ，HN=BG = CG =FG ，∴△HNC ≌△KGF ，∴GK=CN ，∠HNC=∠FGK=∠NHT=2α，∴HT=CT=TN ，∵FH-HG=1，∴设GH=m ，则BN=m ，FH=m+1，CE=2FG=4m+2，∵GT=1122EN =，∴CN=2HT=11+2m ， ∵22222BC CN BN CE BE =-=-，∴2222(112)(42)(11)m m m m +-=+-+∴1176m =-(舍去)，27m =， ∴CN=GK=2HT=25.【点睛】本题考查的是四边形综合题，涉及了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，三角形外角的性质等，综合性较强，难度较大，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.9．(I) ；(II) 16或10；(III) .【解析】【分析】(I)根据已知条件直接写出答案即可.(II)分两种情况：或讨论即可.(III)根据已知条件直接写出答案即可.【详解】(I) ；(II)∵四边形是矩形，∴，.分两种情况讨论：（i）如图1，当时，即是以为腰的等腰三角形.（ii）如图2，当时，过点作∥，分别交与于点、.∵四边形是矩形,∴∥,.又∥，∴四边形是平行四边形，又，'⊥，∴□是矩形，∴，，即B H CD又，∴，，∵，∴，∴，在RtΔEGB'中，由勾股定理得：，∴，在中，由勾股定理得：，综上，的长为16或10.(III) . （或）.【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题.10．（1）254秒或252秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解．【详解】解：(1)∵以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，∴Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=30，AB=CD=10，∵点F是BC的中点，∴BF=CF=12BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得254t ；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=25 2；故经过254或252秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0<t<103，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，1025 33t，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，∵102533t，∴35-2t ＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，2540 33t此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35∵254033t，∴4t-35＜30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，4050 33t<<当AP=BF=15时，t=15，1122 APF ABFP PFQ DCFP S S S S且∴1+2APF PFQ AFPQ ABCDS S S S，∴当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)期末考试专题练(含解析)

人教版数学八年级下册期末考试专题练第18章平行四边形一．选择题（共16小题）1．（青山区期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角相等2．（洪山区期末）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF 交AE于点G，且CG＝GF＝AF，若BD＝43，则CD的值为（）A．15B．4C．17D．303．（江汉区校级期末）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则下列判断：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形；④若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形．正确的个数为（）A．1B．2C．3D．44．（青山区期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AC＝5，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．105．（茅箭区校级期末）下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对角分别相等B．对角线互相平分C．两组对边分别相等D．对角线相等6．（曾都区期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE7．（仙桃期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CDC．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AD＝BC8．（宜城市期末）如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6B．15C．30D．609．（阳新县期末）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有三个直角的四边形是矩形D．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形10．（宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC 在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点B的坐标是（）A．（0，5）B．（0，6）C．（0，7）D．（0，8）11．（仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（）A．34B．43C．32D．5312．（洪山区期末）四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，AC⊥BDB．AB∥CD，AB＝CD，AB＝BCC．OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BDD．AB∥CD，AD＝BC，AB＝BC13．（十堰期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（）A．24B．26C．28D．2014．（黄州区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE=13CE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°15．（黄石港区期末）如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D，E两点分别在AB，BC上，且BD＝BE，若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（）A．1B．2C．22D．216．（青神县模拟）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE+PF 的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4二．填空题（共7小题）17．（江汉区期末）如图，P是正方形ABCD内一点，CP＝CD，AP⊥BP，则PAPD的值为．18．（江汉区期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，DF＝1，连AE，BF，P，Q分别为AE和BF的中点，则PQ＝．19．（硚口区期末）如图，点E、G分别是正方形ABCD的AD、BC边的中点，点F、H在对角线BD上．若四边形EFGH是矩形，则S矩形EFGHS正方形ABCD= ．20．（江汉区校级期末）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是．21．（江汉区校级期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若BC＝10，AC＝4，则DF的长为．22．（茅箭区校级期末）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为．23．（大冶市期末）如图，M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分．已知AB＝6，∠A＝120°，则MN＝．三．解答题（共8小题）24．（曾都区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E，F分别为OB，OD 的中点，延长CF至点G，使FG＝FC，连接AE，AG．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC＝2AB，试判断四边形AEFG的形状，并说明理由．25．（利川市期末）如图，在等腰△ABC中，D是底边BC上异于C点的任意一点，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD交AN于E．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）将题中“D是底边BC上异于C点的任意一点”改为“D是底边BC上的中点”，则四边形ADCE是什么四边形？为什么？（3）在（2）中，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并证明．26．（恩施市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F，连接DC、AE．（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE的面积；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．27．（黄石模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝22，求DE的长．28．（公安县期末）已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝3，AB＝6，∠A＝60°，求四边形BEDF的周长．29．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．30．（公安县期末）在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．DP 的垂直平分线交线段AC于点E，交DP于点F，连接PE、DE．猜想：PD与PE的数量关系；当点P运动时，PD与PE的数量关系是否发生改变？请你按如图①（点P在AB 上）和如图②（点P在BA延长线上）两种情况进行探究．（1）完成图形，写出你的猜想；（2）选择其中的一种情况给出证明．31．（鄂州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE∥MN交AD于E，连接EM，CN，DN．（1）求证：DM＝MN．（2）求证：EM∥CN．（3）若AE＝1，BN＝32，求DN的长．第18章　平行四边形（2）　期末考试专题练人教版数学八年级下册参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．【解答】解：正方形和矩形都是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形所有的性质，即对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线只是相等不垂直．故选：C．2．【解答】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，∵GF＝AF，∴∠FAG＝∠FGA，∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝43，OB＝OD，∵CG＝GF，∴OG为△CAF的中位线，∴AF＝2OG，OG∥AD，∴∠FDM＝∠MOG，∵AE⊥BD，∴∠FGA+∠GMO＝90°，∠MDF+∠FAG＝90°，∴∠GMO＝∠MDF，∴∠GMO＝∠MDF＝∠MOG＝∠FMD，∴OG＝GM，FM＝FD，设OG＝GM＝x，则CG＝GF＝AF＝2x，∴FD＝FM＝FG﹣MG＝2x﹣x＝x，∴CF＝4x，AD＝3x，在Rt△DCF中，由勾股定理得，CD=FC2−FD2=15x，在Rt△ADC中，由勾股定理得，DC2+AD2＝AC2，即15x2+9x2＝48，解得x=2，∴CD=15x=30，故选：D．3．【解答】解：①∵D是BC的中点，E是AB的中点，∴DE∥AC．∵D是BC的中点，F是AC的中点，∴DF∥AB．∴四边形AEDF是平行四边形．∴①正确；②如图，由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD．∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．∴②不正确；③如图，若AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，E是AB的中点，∴DE=12 AB．同理：DF=12 AC，∴DE＝DF．由①知：四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．∴③正确；④若∠A＝90°，如图，由①知：四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④，故选：C．4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠CAD=12∠BAD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5＝AD＝CD，∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，故选：B．5．【解答】解：A、两组对角分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；B、对角线互相平分，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；C、两组对边分别相等，平行四边形一定具有的性质，故此选项不符合题意；D、对角线相等，平行四边形不具有的性质，故此选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，∵BF＝CE，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠DAF＝∠ABE（C正确），∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠CBE+∠AFB＝90°，∴AG⊥BE（D正确），所以不正确的是B，故选：B．7．【解答】解：A、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项D符合题意；故选：D．8．【解答】解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，∴S阴影=12S▱ABCD，∵BC＝10，BC边上的高为6，∴S▱ABCD＝10×6＝60，∴S阴影=12×60＝30．故选：C．9．【解答】解：A．平行四边形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；B．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项符合题意；C．有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项不符合题意；D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项不符合题意；故选：B．10．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC=CD2−OD2=132−122=5，∴OB＝13﹣5＝8．∴B（0，8）．故选：D．11．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB=12∠ADC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠ADE=∠BDF AD=BD∠A=∠DBF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t=5 3，故选：D．12．【解答】解：A、∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；B、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；C、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；D、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断出四边形ABCD是平行四边形，进而不能得出平行四边形ABCD是菱形，符合题意；故选：D．13．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∵平行四边形ABCD的周长为36，∴AB+BC=12×36＝18，∴四边形ABFE的周长为：AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24故选：A．14．【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE=13 CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．15．【解答】解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC﹣BE＝4，∵四边形DEFG 是正方形，DE ＝2，∴EF ＝DE ＝2，∠DEF ＝90°，∴∠FEC ＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴QF =12EF ＝1，∴△EFC 的面积为12CE •FQ =12×4×2＝2，故选：D ．16．【解答】解：连接OP ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，BC ＝4，∴S 矩形ABCD ＝AB •BC ＝12，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，AC =AB 2+BC 2=5，∴S △AOD =14S 矩形ABCD ＝3，OA ＝OD =52，∴S △AOD ＝S △AOP +S △DOP =12OA •PE +12OD •PF =12OA （PE +PF ）=12×52×（PE +PF ）＝3，∴PE +PF =125=2.4．故选：D ．二．填空题（共7小题）17．【解答】解：如图，过点D 作AP 垂线交AP 延长线于E ，∵四边形ABCD 是正方形，CP ＝CD ，∴BC ＝CP ＝CD ，∴∠PBC ＝∠BPC ，∠DPC ＝∠PDC ，设∠PCD ＝x ，则∠BPC =180°−(90°−x)2=45°+x 2，∠DPC =180°−x 2=90°−x 2，∴∠BPD＝45°+90°＝135°，∵AP⊥BP，∴∠APD＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠DPE＝45°，设DE＝PE＝y，∴DP=PE2+ED2=2y，∵∠DAE+∠BAP＝∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠DAE＝∠ABP，在△DAE与△ABP中，∠APB=∠DEA∠DAE=∠ABPAB=AD，∴△APB≌△DEA（AAS），∴AP＝DE＝y，∴PAPD=y2y=22．故答案为：2 2．18．【解答】解：如图，连BP并延长交AD于G，连GF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵P为AE的中点，∴AP＝PE，在△APG与△EPB中，∠DAE=∠AEBAP=PE∠APG=∠EPB，∴△APG≌△EPB（ASA），∴BP＝PG，AG＝BE，∵Q为BF的中点，∴PQ=12 GF，∵E是BC的中点，∴AG＝BE=12BC＝2，∴DG＝2，∴GF=GD2+DF2=5，∴PQ=12GF=52．故答案为：5 2．19．【解答】解：解法一：如图，连结EG交BD于点O，过点H作HM⊥EG于点M，∵点E、G分别是正方形ABCD的AD、BC边的中点，∴AE＝DE＝BG＝CG=12AD=12BC=12AB，∠A＝90°，∠ADB＝45°，AD∥BC，∴▱AEGB是矩形，∴EG＝AB，∠AEG＝90°，∴∠DEG＝90°，∴∠EOD＝90°﹣∠ADB＝45°，又∵HM⊥EG，∴∠MHO＝45°＝∠EOD，即∠MHO＝∠MOH，∴MO＝MH，∵点F、H在对角线BD上．四边形EFGH是矩形，∴FH＝EG＝AB＝AD＝BC，OE＝OG＝OH＝OF=12EG=12FH，S矩形EFGH＝4S△HEO＝4×12EO•MH＝2EO•MH，设FH＝EG＝AB＝AD＝BC＝2a，则OE＝OG＝OH＝OF＝a，∵Rt△HMO中，MO＝MH，OH＝a，由勾股定理得：MH=22 a，∴S矩形EFGH＝2EO•MH＝2a•22a=2a2，S正方形ABCD＝AB2＝（2a）2＝4a2，∴S矩形EFGHS正方形ABCD=2a24a2=24．解法二：设AB＝b，∵四边形ABCD是正方形，∴BD=2b，∵四边形EFGH是矩形，∴EG＝FH＝b，∴OF=12FH=12b，OB=12BD=22b，∴S△FOGS△BOG=OFOB=12b22b=22，∴S矩形EFGHS正方形ABCD=4S△FOG8S△BOG=24，故答案为：2 4．20．【解答】解：将△ABD绕点D顺时针旋转90°，得△MCD，如图：由旋转不变性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，且∠ADM＝90°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD=22 AM，AD最大，只需AM最大，而在△ACM中，AM＜AC+CM，∴当且仅当A、C、M在一条直线上，即不能构成△ACM时，AM最大，且最大值为AC+CM ＝AC+AB＝7，此时AD=22AM=722，故答案为：72 2．21．【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝10，AC＝4，∴DE=12BC＝5，DE∥BC，EC=12AC＝2，∴∠EFC＝∠BCF，∵CF平分∠ACB，∴∠ECF＝∠BCF，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝2，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣2＝3，故答案为：3．22．【解答】解：连接AM、CM、EM，如图：∵矩形CDEF，M是DF的中点，∴C、M、E共线，∴DM=12DF=12CE＝CM，∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AD＝AC，在△ADM和△ACM中，AD=ACDM=CMAM=AM，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM，∵∠DAC＝60°，∴∠CAM＝30°，∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时，BM=12AB=12×12＝6，故答案为：6．23．【解答】解：如图，延长CA到D，使AD＝AB，连接BD．∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝6．∵M为钝角△ABC中BC边的中点，经过M的直线MN将△ABC分成了周长相等的两部分，∴BM＝CM，BM+AB+AN＝CM+CN，∴AB+AN＝CN，∴AD+AN＝CN，即DN＝CN，∵BM＝CM，∴MN是△BCD的中位线，∴MN=12BD＝3．故答案为：3．三．解答题（共8小题）24．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO，∵E，F分别为OB，OD的中点，∴OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COD，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF；（2）四边形AEFG是矩形．∵FG＝FC，AE＝CF，∴AE＝FG，∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AE∥CF，∴四边形AEFG为平行四边形，∵AC＝2AB，∴AB＝AO，∵E为BO的中点，∴AE⊥BO，∴四边形AEFG为矩形．25．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠MAC＝∠B+∠ACB＝2∠ACB，∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAC＝2∠NAC，∴∠NAC＝∠ACB，∴AN∥BC，∵CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：四边形ADCE是矩形，理由：∵D是底边BC上的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形；（3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是正方形，证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴▱ADCE是正方形．26．【解答】证明：（1）∵平行四边形BCED，∴CE∥BD，CE＝BD，∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴CE∥AD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又BC∥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故四边形ADCE为菱形；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC=AB2−AC2=27，∵D为AB中点，F也为AC的中点，∴DF=7，∴四边形ADCE的面积＝AC×DF＝67；（3）应添加条件AC＝BC．证明：∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC＝90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE＝BC＝AC，∠AFD＝∠ACB＝90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）27．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，∵DH⊥BC，∴∠DHF＝∠DHC＝90°，∴DH=12 DF，∵∠C＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴DH＝CH=22CD=22×22=2，∴DF＝2DH＝4，∴DE＝4．28．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=12AB，DF=12CD．∴BE＝DF．∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE=12AB＝3，∵AD＝3，∠A＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∵BE＝AE＝3，由（1）知四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF的周长＝2（BE+DE）＝12．29．【解答】（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，AE=AEAB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝GE，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3．当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，由①得：TH＝3，∴PT=TH2+PH2=32+62=35，设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，∵△PTR的面积=12（x+3）×6=12×35y，∴5y＝6+2x，∴5y2＝（6+2x）2①，在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，由①②得：（x﹣12）2＝0，∴x＝12，即HR＝12；综上所述，HR为3或12，30．【解答】解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，猜想：当点P运动时，PD=2PE；（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，则∠PNE＝∠EMD＝90°，∵点E在线段DP的垂直平分线上，∴ED＝EP，∵四边形ABCD是正方形，∴EN＝AN＝DM，在Rt△PNE和Rt△EMD中，DE=EPDM=EN，∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），∴∠PEN＝∠EDM，∵∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠PEN+∠DEM＝90°，∴∠PED＝90°，∵ED＝EP，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD=2PE．31．【解答】证明：（1）在边DA上截取线段DF，使DF＝MB，连MF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∵DF＝BM，∴AF＝AM，∴△FAM是等腰直角三角形，∴∠AFM＝45°，∴∠DFM＝135°，∵∠CBP的角平分线BN，∴∠CBN＝45°，∴∠MBN＝135°，∴∠DFM＝∠MBN，∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD＝90°，∵∠AMD+∠FDM＝90°，∴∠NMB＝∠FDM，∴△MDF≌△NMB（ASA），∴DM＝MN．（2）∵CE∥MN，DM⊥MN，∴DM⊥CE，∴∠DEC+∠EDM＝90°，∵∠AMD+∠EDM＝90°，∴∠DEC＝∠AMD，∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，∴△EDC≌△MAD（ASA）．∴EC＝DM，∵DM＝MN，∴EC＝MN，∵EC∥MN．∴四边形EMNC为平行四边形．∴EM∥CN．（3）过N作NQ⊥AP垂足为Q．由（2）知，△EDC≌△MAD，∴DE＝MA，∵AD＝AB，∴AD﹣DE＝AB﹣AM，即AE＝MB＝1，∵BN平分∠CBP，∴∠NBQ＝45°，∴△NBQ是等腰直角三角形，在Rt△NBQ中，设BQ＝x，则NQ＝BQ＝x，即x2+x2=(32)2，∴x＝3．∴NQ＝3，MQ＝1+3＝4，在Rt△MQN中，MN=32+42=5，又∵在Rt△DMN中，MN＝5，DM＝5，∴DN=52+52=52．。

八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)

八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析．（2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5．（2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形．（2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析．（2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ．同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ．在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13．（2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ．证明：连接AC ，如图．在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)专项练习(含答案)

《第十八章平行四边形》专项练习专项1　特殊平行四边形中的折叠问题类型1 矩形中的折叠问题1.如图,将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠,使CB ,AD 恰好落在对角线AC 上,B',D'分别是B ,D 的对应点,折痕分别为CF ,AE .若AB=4,BC=3,则线段B'D'的长是( )A.52B.2C.32D.12.如图,在矩形ABCD 中,AB=5,BC=6,点M ,N 分别在AD ,BC 上,且AM=BN ,AD=3AM ,E 为BC 边上一动点,连接DE ,将△DCE 沿DE 所在直线折叠得到△DC'E ,当点C'恰好落在线段MN 上时,则CE 的长为( )A.52或2B.52C.32或2D.323.如图,折叠矩形纸片ABCD ,使点B 落在点D 处,折痕为MN ,已知AB=8,AD=4,则MN 的长是( )A.535B.25C.735D.454.如图,在矩形纸片ABCD 中,边AB=12,AD=5,点P 为DC 边上的动点(点P 不与点D ,C 重合),将纸片沿AP 折叠,则CD'的最小值为 .5.如图,在矩形ABCD 中,点E 在边CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,使点C 落在AD 边上的点F 处,过点F 作FG //CD ,交BE 于点G ,连接CG .(1)求证:四边形CEFG是菱形.(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.类型2 菱形中的折叠问题6.如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A 恰好落在BD上的点F处,那么∠BFC的度数是( )A.60°B.70°C.75°D.80°7.如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=120°,点E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿EF折叠,使点B正好落在AD边上的点G处.若EG⊥AC,则FG的长为( )A.36B.6C.33D.328.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求AF的长.类型3 正方形中的折叠问题9.如图,在正方形ABCD中,AB=6,将△ADE沿AE折叠,使点D落在点F处,延长EF交BC于点G.若点G刚好是BC边的中点,则ED的长是( )A.1B.1.5C.2D.2.510.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:∠APB=∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.专项2 平行四边形中的动点问题1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若E,F是AC 上两动点,分别从A,C两点同时出发,以1 cm/s的速度向C,A方向运动.(1)四边形DEBF是平行四边形吗?请说明理由.(2)若BD=12,AC=16,则当运动时间t为何值时,四边形DEBF是矩形? 2.如图1,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=11 cm,点P从点D出发向终点A运动,同时点Q从点B出发向终点C运动.当P,Q两点中任意一点到达终点时,另一点随之停止运动,点P,Q的速度分别为1 cm/s,2 cm/s,连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)如图2,若点E为边AD上一点,当AE=3 cm时,四边形EQCP可能为菱形吗?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由.3.如图1,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=6 cm,BD=8 cm,过点B,C分别作AC,BD的平行线相交于点E.(1)判断四边形BOCE的形状并证明;(2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2 cm/s的速度运动了t s,连接BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.(3)如图2,点G在直线AC上运动,求BG+EG的最小值.4.已知点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上运动(点P不与B,C重合),且∠PAQ=∠B.(1)如图1,若AP⊥BC,求证:AP=AQ.(2)如图2,若AP与BC不垂直,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(3)如图3,若AB=4,∠B=60°,请直接写出四边形APCQ的面积.5在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上的一个动点(不与点A,O重合),过点P作PE⊥PB,交边CD于点E.(1)如图1,求证:PE=PB.(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P 运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出PF的长;若变化,请说明理由.(3)用等式表示线段PC,PA,EC之间的数量关系.专项3　与正方形有关的常考模型类型1 十字模型1.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图1,当点E自D向C、点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由;(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)(3)如图3,当点E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.2.在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD 于点G.(1)求证:BE=FG.(2)连接CM.若CM=1,则FG的长为 .【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为 .类型2 半角模型3.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠MAN=45°,点E在CB 的延长线上,连接AE,BE=DN.(1)求证:AE=AN.(2)若CM=3,CN=4,求EM的长.[变式][2021福建泉州期末]已知正方形ABCD,点E,F分别是边AB,BC上的动点.(1)如图1,点E,F分别是边AB,BC的中点,证明:DE=DF.(2)如图2,若正方形ABCD的边长为1,△BEF的周长为2,证明:∠EDF=45°.类型3 手拉手模型4. [2020河南商丘梁园区期末]小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形AEFG按图1放置,AD 与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.考答案专项1　特殊平行四边形中的折叠问题1.D 由折叠的性质,可得AD=AD',BC=B'C ,∴AD'=3,B'C=3,∵AB=4,BC=3,∴AC=AB 2+BC 2=5,∴B'D'=AD'+B'C -AC=3+3-5=1.2.B3.B4. 85.(1)证明:由折叠的性质,得∠BEC=∠BEF ,FE=CE .∵FG //CE ,∴∠FGE=∠BEC ,∴∠FGE=∠FEG ,∴FG=FE ,∴FG=CE ,∴四边形CEFG 是平行四边形,又EF=CE ,∴四边形CEFG 是菱形.(2)解:在矩形ABCD 中,∠BAF=90°,AB=6,BF=BC=AD=10,∴AF=BF 2-AB 2=8,∴DF=2.设EF=x ,则CE=x ,DE=6-x ,在Rt △DEF 中,DF 2+DE 2=EF 2,∴22+(6-x )2=x 2,解得x=103,∴四边形CEFG 的面积是CE ·DF=103×2=203.6.C ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=BC ,∠A +∠ABC=180°,BD 平分∠ABC .∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.由折叠的性质,可得AB=BF ,∴FB=BC ,∴∠BFC=∠BCF=12×(180°-30°)=75°.7.C8.解:如图,过点F 作FH ⊥BD 于H ,由折叠的性质得FG=FA .由题意得BD=DG +BG=8.∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB ,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD 为等边三角形,∴AD=BD=8.设AF=x ,则FG=x ,DF=8-x ,在Rt △DFH 中,∠FDH=60°,∴∠DFH=30°,∴DH=12DF=4-12x ,FH=43−32x ,∴HG=DH -DG=2-12x .在Rt △FHG 中,由勾股定理得x 2=(43−32x )2+(2-12x )2,解得x=267,即AF 的长为267.9.C 10.(1)证明:由折叠的性质,得∠EPH=∠EBC=90°,PE=BE ,∴∠EBP=∠EPB ,∴∠EPH -∠EPB=∠EBC -∠EBP ,即∠PBC=∠BPH .∵AD //BC ,∴∠APB=∠PBC ,∴∠APB=∠BPH .(2)解:△PDH 的周长不变.证明如下:过点B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .由(1)知∠APB=∠BPH .在△ABP 和△QBP 中,∠APB =∠QPB ,∠A =∠BQP ,BP =BP ,∴△ABP ≌△QBP ,∴AP=QP ,AB=QB ,又AB=BC ,∴BC=BQ .在Rt △BCH 和Rt △BQH 中,BC =BQ ,BH =BH ,∴Rt △BCH ≌Rt △BQH ,∴CH=QH .∴△PDH 的周长为PD +DH +PH=PD +DH +AP +HC=AD +CD=8.故△PDH 的周长不发生变化.专项2 平行四边形中的动点问题1.解:(1)是.理由如下:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD=OB ,OA=OC .∵E ,F 两点运动的速度相同,∴AE=CF ,∴OE=OF .又OD=OB ,∴四边形DEBF 是平行四边形.(2)当四边形DEBF 是矩形时,有EF=BD=12,∴AE=CF=12×(16-12)=2或AE=CF=12×(16+12)=14,∴当t=2或14时,四边形DEBF 是矩形.2.解:(1)由题意可得DP=t cm,BQ=2t cm,则AP=(11-t )cm.若四边形ABQP 是矩形,则AP=BQ ,∴11-t=2t ,解得t=113.故当t=113时,四边形ABQP 是矩形.(2)由题意,得PE=(8-t )cm,CQ=(11-2t )cm,CP 2=CD 2+DP 2=16+t 2.若四边形EQCP 为菱形,则CP=PE=CQ ,∴t 2+16=(8-t )2=(11-2t )2,解得t=3.故当t=3时,四边形EQCP 为菱形.3.解:(1)四边形BOCE 是矩形.证明如下:∵BE //OC ,EC //OB ,∴四边形BOCE 是平行四边形.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴∠BOC=90°,∴四边形BOCE 是矩形.(2)∵四边形ABCD 是菱形,AC=6 cm,BD=8 cm,∴OA=OC=3 cm,OB=OD=4 cm.∵S △ABG =2S △OBG ,∴AG=2OG ,∴2t=2(3-2t )或2t=2(2t -3),解得t=1或t=3.(3)如图,连接ED 交AC 于点G ,连接BG ,此时BG +EG 的值最小.∵四边形ABCD 是菱形,∴点B 与点D 关于AC 对称,∴BG=DG ,∴BG +EG 的最小值为DE 的长.在Rt △EBD 中,BE=3,BD=8,∴DE=BE 2+BD 2=73,∴BG +EG 的最小值为73 cm.4.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴∠B +∠C=180°,∠B=∠D ,AB=AD .∵∠PAQ=∠B ,∴∠PAQ +∠C=180°,∴∠APC +∠AQC=180°.∵AP ⊥BC ,∴∠APC=90°,∴∠AQC=90°.在△APB 和△AQD 中,∠APB =∠AQD ,∠B =∠D ,AB =AD ,∴△APB ≌△AQD (AAS),∴AP=AQ .(2)解:若AP 与BC 不垂直,(1)中的结论还成立.证明如下:如图1,过点A 作AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,垂足分别为E ,F .由(1)可得∠PAQ=∠EAF=∠B ,AE=AF ,∴∠EAP=∠FAQ .在△AEP 和△AFQ 中,∠AEP =∠AFQ ,AE =AF ,∠EAP =∠FAQ ,∴△AEP ≌△AFQ (ASA),∴AP=AQ .(3)解:S 四边形APCQ =43.如图2,连接AC ,BD 交于点O ,过点A 作AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,垂足分别为E ,F .∵∠ABC=60°,BA=BC ,∴△ABC 为等边三角形.∵AE ⊥BC ,∴BE=EC ,同理CF=FD ,∴S 四边形AECF =12S 菱形ABCD .由(2)得S 四边形APCQ =S 四边形AECF ,∴S 四边形APCQ =12S 菱形ABCD .∵AB=4,∠ABC=60°,∴OA=12AB=2,∴OB=23,∴S 菱形ABCD =12×23×2×4=83,∴S 四边形APCQ =43.5.(1)证明:如图1,过点P 作MN //AD ,交AB 于点M ,交CD 于点N .∵PB ⊥PE ,∴∠BPE=90°,∴∠MPB +∠EPN=90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD=∠D=90°.∵AD //MN ,∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,∴∠MPB +∠MBP=90°,∴∠EPN=∠MBP .在Rt △PNC 中,∠PCN=45°,∴△PNC 是等腰直角三角形,∴PN=CN ,∴BM=CN=PN .在△BMP 和△PNE 中,∠PBM =∠EPN ,BM =PN ,∠BMP =∠PNE ,∴△BMP ≌△PNE (ASA),∴PB=PE .(2)解:在点P 运动的过程中,PF 的长度不发生变化.理由如下:如图2,连接OB .∵点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点,∴OB⊥AC,∴∠AOB=90°,∴∠OBP+∠BPO=90°.∵∠BPE=90°,∴∠BPO+∠FPE=90°,∴∠OBP=∠FPE.∵EF⊥AC,∴∠EFP=∠AOB=90°.由(1)得PB=PE.在△OBP和△FPE中,∠OBP=∠FPE,∠BOP=∠PFE, PB=EP,∴△OBP≌△FPE(AAS),∴PF=OB.∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,∴OB=2,∴PF的长为2.(3)解:PC=PA+2EC.如图1,∵∠BAC=45°,∴△AMP是等腰直角三角形,∴PA=2PM.由(1)知PM=NE,∴PA=2NE.∵△PCN是等腰直角三角形,∴PC=2NC=2(NE+EC )=2NE +2EC=PA+2EC,即PC=PA+2EC.专项3　与正方形有关的常考模型1.解:(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°,又DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF.如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF +∠ADG=90°,∴∠ADG +∠DAE=90°,∴AE ⊥DF .2.【探究】(1)证明:如图,将GF 平移到AH 处,则AH //GF ,AH=GF .∵GF ⊥BE ,∴AH ⊥BE ,∴∠ABE +∠BAH=90°.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠ABH=∠BCE=90°,∴∠ABE +∠CBE=90°,∴∠BAH=∠CBE .在△ABH 和△BCE 中,∠BAH =∠CBE ,AB =BC ,∠ABH =∠BCE ,∴△ABH ≌△BCE ,∴AH=BE ,∴BE=FG .(2)2【应用】9在Rt △BCE 中,∠BCE=90°,CM 是BE 边上的中线,∴BE=2CM=6.易证△BCE ≌△CDG ,∴CG=BE=6.又ME=12BE=3,且BE ⊥CG ,∴S 四边形GMCE =12ME ·CG=12×3×6=9.3.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=AD ,∠ABC=∠ABE=∠D=90°.在△ABE 和△ADN 中,AB =AD ,∠ABE =∠D ,BE =DN ,∴△ABE≌△ADN,∴AE=AN.(2)解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°.∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°.由(1)知△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,∴∠BAM+∠BAE=45°,∴∠EAM=∠MAN=45°.在△AME和△AMN中,AE=AN,∠EAM=∠NAM, AM=AM,∴△AME≌△AMN,∴EM=MN.∵CM=3,CN=4,∴MN=CM2+CN2=5,∴EM=MN=5.[变式]证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠C=90°,AD=CD=AB=BC.∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴AE=CF.在△ADE和△CDF中,AD=CD,∠A=∠C, AE=CF,∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF.(2)如图,延长BC至G,使CG=AE,∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠BCD=∠ADC=90°,AD=CD=AB=BC=1,∴BE+AE+BF+CF=BE+CG+BF+CF=2,即BE+BF+FG=2.∵△BEF的周长为2,∴BE+BF+EF=2,∴EF=FG.∵∠DCG=180°-∠BCD=90°,∴∠DCG=∠A.在△DCG和△DAE中,CD=AD,∠DCG=∠A, CG=AE,∴△DCG≌△DAE,∴DG=DE,∠CDG=∠ADE.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠CDG+∠EDC=90°,∴∠EDG=90°.在△DEF和△DGF中,DE=DG, EF=GF, DF=DF,∴△DEF≌△DGF,∴∠EDF=∠FDG.∵∠EDG=90°,∴∠EDF=∠FDG=45°.4.解:(1)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴∠AGD=∠AEB.如图1,延长EB交DG于点H.∵∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°,∴∠DHE=180°-(∠AEB+∠ADG)=90°,∴DG⊥BE.(2)∵四边形ABCD,AEFG均是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE,∴△ADG≌△ABE,∴DG=BE.如图2,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°.∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2,可得DM=AM=2.在Rt△AMG中,GM=AG2-AM2=6,∴DG=DM+GM=2+6,∴BE=DG=2+6.　。

初中数学八年级下册(人教版)期末单元训练：平行四边形

初中数学八年级下册（人教版）期末单元训练：平行四边形一、选择题（本大题共10道小题）1. 在平行四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )A.1:2:3:4B.3:4:4:3C.3:3:4:4D.3:4:3:42. 平行四边形的两邻角的角平分线相交所成的角为( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定3. 平行四边形ABCD的对角线交于点O,有五个条件:①AC=BD,②∠ABC=90°,③AB=AC,④AB=BC,⑤AC⊥BD,则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形( )A.①②B.①③C.①④D.④⑤4. 如图, ABCD中,AE平分∠DAB,∠B=100°,则∠DAE等于( )A.100°B.80°C.60°D.40°5. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=4,则AC的长是( )A.4B.8C.43D.836. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( )A.6B.5C.4D.37. 在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D、E、F分别为AB、BC、AC中点,连接DF、FE,则四边形DBEF的周长是( )A.5B.7C.9D.118. 如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是( )A.3B.4C.5D.69. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为( )A.1B.2C.3D.410. 如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.4.8B.5C.6D.7.2二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A=58°,BC=1.5cm ,则∠B= ,AD= .12. 在△ABC中,∠C＝90°,AC＝5,BC＝3,则AB边上的中线CD＝______.13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=10,则菱形ABCD的面积为.14. 已知菱形的一条对角线长为12,面积为30,则这个菱形的另一条对角线的长为 .15. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是.16. 如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处,若∠CFE=60o,且DE=1,则边BC的长为 .17. 如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为__________.18. 如图,依次连接第一个正方形各边的中点得到第二个正方形,再依次连接第二个正方形各边的中点得到第三个正方形,按此方法继续下去,若第一个正方形的边长为1,则第n个正方形的面积是 .三、解答题（本大题共6道小题）19. 在四边形ABCD中,AB∥CD,∠A＝∠C,求证:四边形ABCD是平行四边形.20. 如图所示,在ABCD中,E,F在平行四边形的外部,且AE＝CF,BE＝DF,试指出AC和EF 的关系,并说明理由.21. 如图,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,点E为BC的中点,求DE的长．22. 如图,▱ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在F左侧),BE∥DF.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=213,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.23. 如图,在▱ABCD中,点E为边CD上的一点,将△ADE沿AE折叠至△AGE处,AG与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,求∠FEG的大小.(平行四边形对角线互相平分的性质)24. 如图,已知四边形ABCD是平行四边形,并且∠A=∠D.(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)点E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的长.。

(完整版)八年级数学平行四边形专题练习题(含答案)

图1 A B C D初二数学平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为．6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是．二、选择题（每题3分，共30分）7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图48．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B HG11．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图613、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°14、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组15、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题16、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。

平行四边形练习题(3套)

3．在中，，则的周长为________cm．
4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm．
5．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为______cm．
6．对角线长为10cm的正方形的边长是______cm，面积是______ cm2。
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形
7、能识别四边形ABCD是等腰梯形的条件是（）
A、AD∥BC，AB=CD B、∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3：2
C、AD∥BC，AD≠BC，AB=CD D、∠A+∠B=180o，AD=BC
8、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且
∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）
7.如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．
8.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：BE=CF.
平行四边形（3）
一、选择题
1、能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A、一组对角相等B、两条对角线互相平分
4、平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
下列条件中，不能判定它为菱形的是（）
A、AB=AD B、AC⊥BD C、∠A=∠D D、CA平分∠BCD
5、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）
A、四条边都相等 B、对角线相等
C、对角线互相垂直平分 D、每条对角线平分一组对角
6、下列四边形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且有四条对称轴的是（）
三.解答题:

初中数学平行四边形练习题(含答案和解析)

一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

平行四边形练习题40道

平行四边形40题一．选择题”1．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，∠B＝∠DC．AD＝BC，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC2、下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个3、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，∠B＝∠DC．AD＝BC，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC4．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4B．2：2：3：3C．2；3：2：3D．2：3：3：25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，添加下列条件不能使四边形ABCD 成为平行四边形的是（）A．AB＝CD B．OB＝ODC．∠BCD+∠ADC＝180°D．AD＝BC6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，两条平行线l1，l2被另外一组平行线l3，l4，l5所截，交点分别为A，B，C，D，E，F．则下列结论错误的是（）A．AB＝DE B．AD＝CF C．AB＝BC D．AC＝DF8．小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（）A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形；②△AGE≌△CHF；③BG＝DH；④S△AGE：S△CDH＝GE：DH，其中正确的个数是（）A．1B．2个C．3个D．4个11．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD13．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝6，则四边形ABCD的面枳是（）A．4B．2C．8D．614．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM ＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或515．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，DF，则下列说法不正确的是（）A．S△DEF＝S△ABCB．△DEF≌△F AD≌△EDB≌△CFEC．四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF都是平行四边形D．四边形ADEF的周长＝四边形DBEF的周长＝四边形DECF的周长二．填空题（共10小题）16．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC．若AC＝4，AB＝5，则BD的长为．17．如图，两条宽度分别为2和4的纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB•BC＝100，则四边形ABCD的面积是．18．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．19．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有对．20．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．22．已知点A（1，0），B（4，0），C（0，2），在平面内找一点M使得以M、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点M的坐标为．23．已知点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），如果以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点C的坐标为．25．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD ＝4AG；④△DBF≌△EF A．其中正确结论的序号是．三．解答题（共15小题）26．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．27、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；（1）求证：四边形ACED是平行四边形．（2）求BC的长．28．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．29、如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．30．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝30°，时，求D，F两点间的距离．31．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BE＝DF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．32．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE＝OF（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．33．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长．34．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BD＝BC＝5，CD＝6，求平行四边形AEBD的面积．35．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．36、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F别在BC，AD上，且BE＝DF．（1）如图①，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图②，若∠BAC＝90°，且AB＝3．AC＝4，求平行四边形ABCD的周长．37．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于2，求CE的长．38．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段AB、AC、BD、CD的中点．（1）求∠BDC的度数；（2）证明：四边形EGHF为平行四边形．39．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．40、【阅读材料】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）【运用】（1）已知O为▱ABCD的对角线AC与BD交点，点B的坐标为（4，3），则点D的坐标为（﹣1，1），则O的坐标为（，2）；（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．（提示：运用阅读材料完成）。

八下平行四边形专题练习及答案

《平行四边形》专题练习一．填空题1．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=．3．如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=．4．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=°．5．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为（结果保留π）6．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=°．7．已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=．8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=cm．9．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=°．11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=．12．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）13．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE 的周长为10，则▱ABCD的周长为．14．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．16．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是．二．解答题19．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．21．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求证：△BEF≌△CEH；（2）求DE的长．22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：DE=CF；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明△PCM≌△QDM．（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．25．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．26．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．（1）试说明CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．27．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；（2）求对角线BD的长．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：（1）当t为何值时，PQ∥CD？（2）当t为何值时，PQ=CD？29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）30．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：OE=OF；（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．参考答案与试题解析一．填空题1．（2017•无锡一模）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．2．（2017•新城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=．【分析】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=CD=2，求出CF=DF=2，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．【解答】解：作CF⊥AD于F，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，∴∠DCF=30°，∴DF=CD=2，∴CF=DF=2，∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，∵OA=OC，∴OE是△ACF的中位线，∴OE=CF=；故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．3．（2017春•徐州期中）如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=3．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×6=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2017春•宜兴市期中）如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=110°．【分析】先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=115°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣115°=35°，∵MN是三角形的中位线，∴MN∥BC，∴∠A′NM=∠C=35°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣35°=145°，∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=145°﹣35°=110°．故答案为：110．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．5．（2017春•宜兴市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为2πR2（结果保留π）【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，∴S==2πR2．阴影部分故答案为：2πR2．【点评】此题主要考查了本题考查了多边形的内角和定理和扇形的面积公式，牢记公式是解答本题的关键．6．（2017春•工业园区期中）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=72°．【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．【解答】解：如图，∵∠3=30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣30°=90°，∴∠5+∠6=180°﹣80°=90°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=90°，即∠1+∠2=72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．7．（2017春•邗江区期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=1．【分析】先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF﹣AD即可计算．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，BC=AD=5，AD∥BC，∵BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF=∠CBE=∠AEB，∠BCF=∠DCF=∠CFD，∴AB=AE=3，DC=DF=3，∴EF=AE+DF﹣AD=3+3﹣5=1．故答案为1．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．8．（2017春•东台市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=2cm．【分析】直接利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠DAE=∠DEA，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=5cm，BC=AD=3cm，AB∥DC，∴∠BAE=∠DEA，∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=3cm，∴EC=DC﹣DE=5﹣3=2（cm）．故答案为：2．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行四边形的性质，正确得出∠ADE=∠DEA是解题关键．9．（2017春•柯桥区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG ∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6﹣2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t﹣6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．10．（2017春•泰兴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=20°．【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=140°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．【解答】解：如图，∵∠D+∠C=220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，∴∠DAB+∠ABC=140°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，∴∠P=180°﹣（∠PAB+∠ABP）=20°．故答案是：20．【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．11．（2017春•高港区校级月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°．【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．【解答】解：如图，∵∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠9+∠10+∠11+∠12=900°，∵∠8+∠10=180°，∠9+∠11=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=900°﹣180°﹣180°=540°．故答案为：540°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．12．（2017春•建湖县校级月考）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC =2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．其中一定成立的是（1）（2）（4）（把所有正确结论的序号都填在横线上）【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正确；证出S△EFC =S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．【解答】解：（1）∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故（1）正确；（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故（2）正确；（3）∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故（3）错误；（4）∵∠B=80°，∴∠BCE=90°﹣80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°﹣80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°，∴∠AEF=90°﹣40°=50°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．13．（2017春•泉山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为20．【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20；故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2016秋•海宁市校级月考）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD 和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．15．（2016•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为36°．【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．16．（2016•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．17．（2016•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC 上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是4．【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．18．（2016•镇江二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是9．【分析】延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，∴EG+GF=（AD+BC），∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，∴EG+GF=6，FE=3，∴△EFG的周长是6+3=9．故答案为：9．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．二．解答题19．（2017•江都区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠ECF∵E为BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE．（2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵AB=CD，∴DC=CF，∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2017•大石桥市校级一模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；（2）EG=AG﹣BG．如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴EG=AG﹣BG．【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2017•南雄市校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求证：△BEF≌△CEH；（2）求DE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=CE=1，求出EH=CG=，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BEF和△CEH中，，∴△BEF≌△CEH（AAS）；（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE=BC=AD=2．∴BF=1，EF=．∵△BEF≌△CEH，∴BF=CH=1，EF=EH=，DH=4，∵∠CHE=90°，∴DE2=EH2+DH2．∴DE==．【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键．22．（2017•赤壁市一模）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：DE=CF；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四边形CEDF是平行四边形，即可得出结论；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．又∵F是AD的中点，∴FD=AD．∵CE=BC，∴FD=CE．又∵FD∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．∴DE=CF．（2）解：过D作DG⊥CE于点G．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．∴∠DCE=∠B=60°．在Rt△CDG中，∠DGC=90°，∴∠CDG=30°，∴CG=CD=2．由勾股定理，得DG==2．∵CE=BC=3，∴GE=1．在Rt△DEG中，∠DGE=90°，∴DE==．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．23．（2017•正定县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M 是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD 的延长线于Q．（1）试说明△PCM≌△QDM．（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP 即可得出；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．【解答】（1）证明：∵AD∥BC∴∠QDM=∠PCM∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，在△PCM和△QDM中∵，∴△PCM≌△QDM（ASA）．（2）解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC﹣CP=AD+QD，∴9﹣CP=5+CP，∴CP=（9﹣5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．24．（2017•无锡一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．【分析】（1）根据已知和角平分线的定义证明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）设BF=x，根据勾股定理求出x的值，再根据勾股定理求出AF，根据AC=2AF 得到答案【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE=∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD=5，设BF=x，则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得，x=，∴AF==，∴AC=2AF=．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理以及勾股定理是解题的关键．25．（2017•通州区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．【分析】（1）由这一天就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=CF=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF=BD=，∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，∵∠F=45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM=CF=，∴AE=CE=，【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．（2017春•海州区校级期中）如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．（1）试说明CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质得出和角平分线得出∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CD=CE；（2）证出BE=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEB，再由平行线的性质即可得出∠DAE=∠AEB=50°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CD=CE；（2）解：∵BE=CE，CD=CE，∴BE=CD，∴BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=（180°﹣∠B）=50°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=50°．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解题的关键．27．（2017春•高安市期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；（2）求对角线BD的长．【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可．（2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC==2，则S□ABCD=AB×AC=2．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∴AO=1，在Rt△ABO中，BO==，∴BD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．28．（2017春•岳池县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q 从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：（1）当t为何值时，PQ∥CD？（2）当t为何值时，PQ=CD？【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t=（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，（1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，∴PQ∥CD，即24﹣t=3t，解得：t=6，即当t=6时，PQ∥CD；（2）若要PQ=CD，分为两种情况：①当四边形PQCD为平行四边形时，即PD=CQ24﹣t=3t，解得：t=6，②当四边形PQCD为等腰梯形时，即CQ=PD+2（BC﹣AD）3t=24﹣t+4解得：t=7，即当t=6或t=7时，PQ=CD．【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．29．（2017春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB ﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）【分析】（1）根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；（2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4，求出t的值即可．【解答】解：（1）运动时间为ts．AP=t，PD=24﹣t，CQ=3t，∵经过ts四边形PQCD平行四边形∴PD=CQ，即24﹣t=3t，解得t=6．当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形；（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm∵当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4，∴t=7．。

平行四边形专题(含答案)

平行四边形专题一．选择题（共15小题）1．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确2．下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．124．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜226．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E ，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9．如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④10．如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．811．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S312．如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．2613．如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14 15．如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．解答题（共11小题）16．如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．17．如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．18．如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．19．如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．20．如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．21．如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．22．如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．23．如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？24．如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．25．如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．26．已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．平行四边形专题（答案）一．选择题（共15小题）1．（2015春•博野县期末）已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．【解答】解：如图，已知平行四边形中，10，6，求的取值范围，即a的取值范围．∵平行四边形∴2，26∴α，3∴在△中：﹣＜＜即：14＜α＜26故选B．【点评】此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．2．（2012•麻城市校级模拟）下列说法中错误的个数是（）①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是矩形③两条对角线互相垂直的矩形是正方形；④两条对角线相等的菱形是正方形⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形⑥角既是轴对称图形又是中心对称图形⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对平行四边形性质的考查，以及矩形，正方形，中心对称图形的性质及判定．【解答】解：①中对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①对；②等腰梯形两条对角线也相等，②也不对；③中对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；④两条对角线相等的菱形是正方形，正确，⑤任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形，错误，等腰梯形，菱形都有对称中心；⑥角是轴对称图形但不是中心对称图形，所以⑥不对⑦线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形，都有对称中心，所以正确；⑧正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条，正三角形只有三条对称轴．所以题中共有②⑤⑥⑧四个错误，故答案选D．【点评】本题综合考查了各种图形的性质以及有关判定，熟记性质和判定，准确掌握知识是解题的关键．3．如图，在▱中，8，6，∠30°，点E，F在上，且，则△的面积为（）A．8 B．4 C．6 D．12【分析】可先求平行四边形的总面积，因为，所以三个小三角形的面积相等，进而可求解．【解答】解：如图，过点D作⊥于点G，∵6，∠30°，∴3，∴平行四边形的面积为•8×3=24，∴△的面积为×24=12∴△的面积×12=4故选B．【点评】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，并注意体会三角形面积相等的条件．4．下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质，结合图形，逐一分析即可．【解答】解：根据平行四边形的基本性质和判定，可知：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错误．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．故选C．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记性质是解题的关键，注意解题时要数形结合．5．（2011春•东莞校级期中）平行四边形中，对角线和相交于点O，如果12，10，，那么x的取值范围是（）A．1＜x＜11 B．5＜x＜6 C．10＜x＜12 D．10＜x＜22【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的对角相互相平分，可得，；根据三角形的三边关系，可得x的取值范围是1＜x＜11．【解答】解：∵四边形是平行四边形，12，10，∴6，5，∵，∴x的取值范围是1＜x＜11．故选A．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相互相平分．还考查了三角形的三边关系：三角形中任意两边之和＞第三边，三角形中任意两边之差＜第三边．题目比较简单，解题时要细心．6．如图所示，四边形是平行四边形，那么下列说法正确的有（）①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”；②把四边形分成两个全等的三角形；③∥，且∥；④四边形是平行四边形，可以记做“▱”．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的基本性质和基本表示方法进行判断即可．【解答】解：根据有关概念和性质可知：①四边形是平行四边形，记做“四边形是▱”，错误．②把四边形分成两个全等的三角形，正确．③∥，且∥，正确④四边形是平行四边形，可以记做“▱”，应该为：记做“▱”，错误．故选B．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和基本表示方法．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．7．（2015•绥化）如图，▱的对角线、交于点O，平分∠交于点E，且∠60°，，连接．下列结论：①∠30°；②S▱•；③；④，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由四边形是平行四边形，得到∠∠60°，∠120°，根据平分∠，得到∠∠60°推出△是等边三角形，由于，得到，得到△是直角三角形，于是得到∠30°，故①正确；由于⊥，得到S▱•，故②正确，根据，，且＞，得到≠，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∠∠60°，∠120°，∵平分∠，∴∠∠60°∴△是等边三角形，∴，∵，∴，∴∠90°，∴∠30°，故①正确；∵⊥，∴S▱•，故②正确，∵，，∵＞，∴≠，故③错误；∵，，∴，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（2016•菏泽）在▱中，3，4，当▱的面积最大时，下列结论正确的有（）①5；②∠∠180°；③⊥；④．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【分析】当▱的面积最大时，四边形为矩形，得出∠∠∠∠90°，，根据勾股定理求出，即可得出结论．【解答】解：根据题意得：当▱的面积最大时，四边形为矩形，∴∠∠∠∠90°，，∴5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱的面积最大时，四边形为矩形是解决问题的关键．9．（2016•虞城县二模）如图，在平行四边形中，2，F是的中点，作⊥，垂足E 在线段上，连接、，则下列结论中一定成立的是（）①∠∠；②；③S△2S△；④∠3∠．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④【分析】由在平行四边形中，2，F是的中点，易得，继而证得①∠∠；然后延长，交延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△≌△（），得出对应线段之间关系进而得出答案．【解答】解：①∵F是的中点，∴，∵在▱中，2，∴，∴∠∠，∵∥，∴∠∠，∴∠∠，∴∠∠，故此选项正确；②延长，交延长线于M，∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵F为中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（），∴，∠∠M，∵⊥，∴∠90°，∴∠∠90°，∵，∴，故②正确；③∵，∴S△△，∵＞，∴S△＜2S△故S△2S△错误；④设∠，则∠，∴∠∠90°﹣x，∴∠180°﹣2x，∴∠90°﹣180°﹣2270°﹣3x，∵∠90°﹣x，∴∠3∠，故此选项正确．故选C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△≌△是解题关键．10．（2016•绵阳）如图，平行四边形的周长是26，对角线与交于点O，⊥，E 是中点，△的周长比△的周长多3，则的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．8【分析】由▱的周长为26，对角线、相交于点O，若△的周长比△的周长多3，可得13，﹣3，求出和的长，得出的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案．【解答】解：∵▱的周长为26，∴13，，∵△的周长比△的周长多3，∴（）﹣（）﹣3，∴5，8．∴8．∵⊥，E是中点，∴4；故选：B．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出是解决问题的关键．11．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S23D．3S1+4S3【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c 表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（）（a﹣c ）2﹣c2，∴S21﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S23=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．12．（2016•丽水）如图，▱的对角线，交于点O，已知8，12，6，则△的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26【分析】由平行四边形的性质得出3，6，8，即可求出△的周长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴3，6，8，∴△的周长3+6+8=17．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．13．（2016•泰安）如图，在▱中，6，8，∠C的平分线交于E，交的延长线于F，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，证出8，同理：6，求出﹣2，﹣2，即可得出结果．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，8，6，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，∴∠∠，∴8，同理：6，∴﹣2，﹣2，∴4；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．14．（2016•丹东）如图，在▱中，平分∠，交于点F，平分∠，交于点E，6，2，则长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，得出6，同理可证6，再由的长，即可求出的长．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴∥，6，，∴∠∠，∵平分∠，∴∠∠，则∠∠，∴6，同理可证：6，∵﹣2，即6+6﹣2，解得：10；故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．15．（2013•达州）如图，在△中，∠90°，3，4，点D在上，以为对角线的所有▱中，最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当⊥时，线段取最小值．【解答】解：∵在△中，∠90°，∴⊥．∵四边形是平行四边形，∴，．∴当取最小值时，线段最短，此时⊥．∴∥．又点O是的中点，∴是△的中位线，∴ 1.5，∴23．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．二．解答题（共11小题）16．（2016•西宁）如图，在▱中，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．（1）求证：；（2）连接，若2，求证：⊥．【分析】（1）由在▱中，E是的中点，利用，即可判定△≌△，继而证得结论；（2）由2，，可得，又由△≌△，可得，然后利用三线合一，证得结论．【解答】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，∵E为中点，∴，在△与△中，，∴△≌△（），∴；（2）∵2，，∴，∵△≌△，∴，∴⊥．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．17．（2016•温州）如图，E是▱的边的中点，延长交的延长线于点F．（1）求证：△≌△．（2）若∠90°，5，3，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∥，∥，证出∠∠F，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由全等三角形的性质得出3，由平行线的性质证出∠∠90°，由勾股定理求出，即可得出的长．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，∴∠∠F，∠∠，∵E是▱的边的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：∵≌△，∴3，∵∥，∴∠∠90°，在▱中，5，∴4，∴28．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016•新疆）如图，四边形中，∥，⊥交于点E，⊥交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．【分析】由垂直得到∠∠90°，根据可证明△≌△，得到，根据平行四边形的判定判断即可．【解答】证明：∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∵∥，∴∠∠，在△和△中，∵，∴△≌△（），∴，∵∥，∴四边形是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．19．（2016•梅州）如图，平行四边形中，⊥，∠45°，E、F分别是、上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和证明△≌△，得出对应边相等即可；（2）证出，再证明，得出1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠．在△与△中，∴△≌△（）．∴．（2）解：∵⊥，∥，∴∠∠90°．∵∠45°，∴∠∠45°．∴∵⊥，∴∠∠90°．∴∠∠45°．∴，∴1，由（1）可知，1，∴3，∴3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．20．（2016•滨州）如图，是△的角平分线，它的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，．（1）请判断四边形的形状，并说明理由；（2）若∠30°，∠45°，2，点H是上的一个动点，求的最小值．【分析】（1）结论四边形是菱形．只要证明即可．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，求出、即可解决问题．【解答】解：（1）四边形是菱形．理由：∵垂直平分，∴，，∴∠∠，∵∠∠，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）作⊥于M，⊥于N，连接交于点H，此时最小，在△中，∵∠90°，∠30°，2，∴，∵∥，⊥，⊥，∴∥，，2，在△中，∵∠90°，∠45°，∴∠∠45°，∴，∴3，在△中，∵∠90°，．3，∴10．∵，∴的最小值为10．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H 的位置，属于中考常考题型．21．（2015•枣庄）如图，▱中，⊥，∠45°，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．（1）求证：；（2）若⊥，延长交的延长线于G，当1时，求的长．【分析】（1）通过证明△与△全等即可求得．（2）由△是等腰直角三角形，得出∠45°，因为⊥，得出∠45°，所以△与△都是等腰直角三角形，从而求得的长和2，然后等腰直角三角形的性质即可求得．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∥，∴∠∠，在△与△中∴△≌△（）∴；（2）解：∵⊥，∴∠90°，∵∠45°，∴∠∠45°，∵⊥，∴∠∠45°，∴△是等腰直角三角形，∵∥，⊥，∴⊥，∴，△是等腰直角三角形，∵△≌△（）∴，∴，即2，∵△是等腰直角三角形，∴1，∴，∴在等腰△中，22∴2，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．22．（2015•潜江）如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）将▱向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段′的长及点E的坐标．【分析】（1）由A与B的坐标求出的长，根据四边形为平行四边形，求出的长，进而确定出C 坐标，设反比例解析式为，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．【解答】解：（1）∵▱中，A（2，0），B （6，0），D（0，3），∴4，∥，∴C（4，3），设反比例解析式为，把C坐标代入得：12，则反比例解析式为；（2）∵B（6，0），∴把6代入反比例解析式得：2，即B′（6，2），∴平行四边形向上平移2个单位，即′=2，∴D′（0，5），把5代入反比例解析式得：，即E （，5）．【点评】此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（2015•柳州）如图，在四边形中，∥，∠90°，8，12，18，点P从点A出发以2的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，∥？（2）从运动开始，当t取何值时，△为直角三角形？【分析】（1）已知∥，添加即可判断以为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．【解答】解：（1）当∥时，四边形是平行四边形，此时，∴12﹣2，∴4．∴当4时，四边形是平行四边形．（2）过D点，⊥于F，∴8．﹣18﹣12=6，10，①当⊥，则18．即：218，∴6；②当⊥，此时P一定在上，1=10+12﹣222﹣2t，2，易知，△∽△2P1，∴，解得：，③情形：当⊥时，因∠＜90°，此种情形不存在．∴当6或时，△是直角三角形．【点评】此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．24．（2016•永州）如图，四边形为平行四边形，∠的角平分线交于点F，交的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接，若⊥，∠60°，4，求平行四边形的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠∠，即可得出；（2）先证明△是等边三角形，得出4，2，由勾股定理求出，由证明△≌△，得出△的面积=△的面积，因此平行四边形的面积=△的面积•，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，∥，，∴∠∠，∵是∠的平分线，∴∠∠，∴∠∠，∴，∴；（2）解：∵，∠60°，∴△是等边三角形，∴4，∵⊥，∴2，∴2，∵∥，∴∠∠，∠∠E，在△和△中，，∴△≌△（），∴△的面积=△的面积，∴平行四边形的面积=△的面积•×4×2=4．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．25．（2015•呼和浩特）如图，▱的对角线、相交于点O，．（1）求证：△≌△；（2）若，连接、，判断四边形的形状，无需说明理由．【分析】（1）先证出，再由即可证明△≌△；（2）由对角线互相平分证出四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是矩形；理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．26．（2016•青岛）已知：如图，在▱中，E，F分别是边，上的点，且，直线分别交的延长线、的延长线于点G，H，交于点O．（1）求证：△≌△；（2）连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）由平行四边形的性质得出，∠∠，由证明△≌△即可；（2）由平行四边形的性质得出∥，，证出，得出四边形是平行四边形，得出，再由等腰三角形的三线合一性质得出⊥，即可得出四边形是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∠∠，在△和△中，，∴△≌△（）；（2）解：四边形是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形是平行四边形，∴∥，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴⊥，∴四边形是菱形．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形是平行四边形是解决问题（2）的关键．。

(完整版)平行四边形专项练习题

平行四边形专项练习题一．选择题（共12小题）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S34．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．8．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 9．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124°10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2211．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种C．5种D．6种12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④ D．④⑤二．填空题（共6小题）13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．16．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．三．解答题（共8小题）19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC 上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．24．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．25．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．参考答案与解析一．选择题1．【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．2．【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．3．【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，∴S2=S1﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．4．【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．5．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．6．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．7．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．8．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴BC=DH，故选D．9．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B 即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．10．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．11．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：B．12．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN 的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．二．填空题13．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．14．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为：24．15．【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．故答案是：AD∥BC．16．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．17．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．18．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．三．解答题19．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．20．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．21．【分析】利用平行线的性质得出∠BAE=∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE=EF，再利用平行四边形的判定得出即可．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．22．【分析】（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；（2）根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．23．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF 即可．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．24．【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．25．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．26．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE=FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．。

八年级数学第十八章《平行四边形》全章基础测试题含答案

八年级数学第十八章《平行四边形》全章基础测试题测试1 平行四边形的性质(一)学习要求1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．课堂学习检测一、填空题1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD 记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．6题图7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．7题图8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．二、选择题9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成．．．．立．的是( )．(A)AF＝EF(B)AB＝EF(C)AE＝AF(D)AF＝BE10．如图，下列推理不正确的是( )．(A)∵AB∥CD∴∠ABC＋∠C＝180°(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC(C)∵AD∥BC∴∠3＝∠4(D)∵∠A＋∠ADC＝180°∴AB∥CD11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．(A)5 (B)6(C)8 (D)12综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DE＝FB；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．拓展、探究、思考16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x 轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；图1方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．图2测试2 平行四边形的性质(二)学习要求能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______．3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．二、选择题9．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是( )．(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )(A)2(B)53 (C)35 (D)1513．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个数是( )……(1) (2) (3)(A)3n (B)3n (n ＋1) (C)6n(D)6n (n ＋1)综合、运用、诊断一、解答题14．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E ，且E 是AB 的中点，已知□ABCD 的周长为8.6cm ，△ABD 的周长为6cm ，求AB 、BC 的长．15．已知：如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．拓展、探究、思考16．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的串点，过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ，点E 、F 在直线MN 上，且OE ＝OF ．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE＝∠NCF．17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm2，求□ABCD的面积．测试3 平行四边形的判定(一)学习要求初步掌握平行四边形的判定定理．课堂学习检测一、填空题1．平行四边形的判定方法有：从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、选择题6．下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．(A)已知平行四边形的两邻边(B)已知平行四边形的相邻两角(C)已知平行四边形的两对角线(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长综合、运用、诊断一、解答题9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，F A与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE 的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.拓展、探究、思考15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．测试4 平行四边形的判定(二)学习要求进一步掌握平行四边形的判定方法．课堂学习检测一、填空题1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．1题图2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．2题图3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出______个平行四边形．4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出______个平行四边形．5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．5题图二、选择题6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶29．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条综合、运用、诊断一、解答题12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．(1)连结______；(2)猜想：______＝______；(3)证明：13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD 与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)证明：14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC 于F ，DE ∥AC 交AB 于E ，求DE ＋DF 的值．15．已知：如图，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边三角形ADE ．求证：(1)△ACD ≌△CBF ；(2)四边形CDEF 为平行四边形．拓展、探究、思考16．若一次函数y ＝2x －1和反比例函数x k y 2=的图象都经过点(1，1)． (1)求反比例函数的解析式；(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．17．如图，点A (m ，m ＋1)，B (m ＋3，m －1)在反比例函数xk y =的图象上．(1)求m，k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．测试5 平行四边形的性质与判定学习要求能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．课堂学习检测一、填空题：1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB 的周长为______cm．6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面积为______．8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，2BG，则△CEF的周长为______．49．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC______ S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠F AB．AB ＝a，AD＝b．(1)求证：△EFC是等腰三角形；(2)求EC＋FC．11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝3∶3．拓展、探究、思考14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，P A垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．图1(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图2测试6 三角形的中位线学习要求理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．课堂学习检测一、填空题：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________________________________．2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．二、解答题4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．综合、运用、诊断6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF＝∠BGF．拓展、探究、思考9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB ＝5，AC＝7，求ED．10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD 的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?测试7 矩形学习要求理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．课堂学习检测一、填空题1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。

初二数学平行四边形典型题

初二数学平行四边形典型题一、平行四边形的性质相关典型题1. 题目- 已知平行四边形ABCD中，∠A = 50°，求其余三个内角的度数。

- 解析：- 在平行四边形ABCD中，平行四边形的对角相等，邻角互补。

- 因为∠A = 50°，所以∠C = ∠A = 50°。

- 又因为∠A与∠B互补，所以∠B = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°，同理∠D = ∠B = 130°。

2. 题目- 平行四边形ABCD的周长为36cm，AB = 8cm，求其余三边的长度。

- 解析：- 平行四边形的对边相等，所以AB = CD，AD = BC。

- 已知平行四边形ABCD的周长为36cm，即AB + BC+CD + AD = 36cm。

- 因为AB = CD = 8cm，设AD = BC = x cm，则2(8 + x)=36。

- 先化简方程得16 + 2x = 36，移项得2x = 36 - 16 = 20，解得x = 10。

- 所以BC = AD = 10cm，CD = 8cm。

二、平行四边形的判定相关典型题1. 题目- 在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，求证：四边形ABCD是平行四边形。

- 解析：- 连接AC。

- 在△ABC和△CDA中，因为AB = CD，AD = BC，AC = CA（公共边）。

- 根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△ABC≌△CDA。

- 所以∠BAC = ∠DCA，∠BCA = ∠DAC。

- 根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD，AD∥BC。

- 所以四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

2. 题目- 已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA = OC，OB = OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。

- 解析：- 在△AOD和△COB中，因为OA = OC，∠AOD = ∠COB（对顶角相等），OB = OD。

八年级初二数学平行四边形测试试题附解析

八年级初二数学平行四边形测试试题附解析一、选择题1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点(点P不与点B、D重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤22PD＝EC．其中有正确有()个．A．2 B．3 C．4 D．52．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE ，FA AE⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC ，下列结论：①ABE ADF≅；②FB =AB ；③CF PD⊥；④FC =EF . 其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④3．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如图，边长为1的正方形EFGH在边长为4的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF//AB，CK=1．线段KG的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为 ( ).A．26B．17C．172D．2625．如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若2DF=，4BG=，则AE的长为()A．47B．310C．10 D．126．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E且AB＝AE，延长AB与DE 的延长线相交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③BF＝AD；④S△BEF＝S△ABC；⑤S△CEF＝S△ABE；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠D＝90°．∠A的平分线交DC于E，EF⊥AB于F．已知AD＝3.5cm，DC＝4cm，BC＝6.5cm．那么四边形BCEF的周长是（）A．10cm B．11cm C．11.5cm D．12cm8．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（）A ．30B ．15C ．40D ．2010．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（）A ．34B ．43C ．32D ．53二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．14．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．15．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．19．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．三、解答题21．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．22．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）．（1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2；（3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．23．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．24．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直、重合)，另一直角边与角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B∠的平分线BF相交于点F．CBM(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．25．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．26．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．27．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.28．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．29．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得DP=2EC ，得出⑤正确，即可得出结论．【详解】过P 作PG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴GP=EP ，在△GPB 中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP ，同理：PE=BE ，∵AB=BC=GF ，∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，∴AG=PF ，在△AGP 和△FPE 中，90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩︒＝＝＝＝，∴△AGP ≌△FPE （SAS ），∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，∴∠PFE=∠BAP ，④正确；延长AP 到EF 上于一点H ，∴∠PAG=∠PFH ，∵∠APG=∠FPH ，∴∠PHF=∠PGA=90°，∴AP⊥EF，②正确，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正确．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴EC，PD=EC，⑤正确．即2∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．2．D解析：D【解析】【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．【详解】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，∵∠APD=∠EPB，∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴①正确；∴AE=AF，BE=DF，∴∠AEF=∠AFE=45°，取EF的中点M，连接AM，∴AM⊥EF，AM=EM=FM，∴BE∥AM，∵AP=BP，∴AM=BE=DF，∴∠EMB=∠EBM=45°，∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，∵BM=BM，AM=MF，∴△ABM≌△FBM，∴AB=BF，∴②正确；∴∠BAM=∠BFM，∵∠BEF=90°，AM⊥EF，∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，∴∠APF=∠EBF，∵AB∥CD，∴∠APD=∠FDC，∴∠EBF=∠FDC，∵BE=DF，BF=CD，∴△BEF≌△DFC，∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，∴③正确；④正确；故选D．【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．3．B解析：B【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；设BG=FG=x，则CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．【详解】①正确．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG AGAB AF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由如下：由题意得：EF=DE=13CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；③正确．理由如下：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由如下：∵S△GCE=12GC•CE=12×6×8=24．∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=35×24=725≠28.8．故④不正确，∴正确的有①②③．故选B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．4．D解析：D【解析】【分析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新画出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在Rt△MON中利用勾股定理可求出MN．【详解】如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，∴EO=OD=52，MO=12（EF+CD）=52，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN=ND=2，∴ON=OD-ND=52-2=12，在Rt△MON中，MN2=MO2+ON2，即MN=225126 22⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D．【点睛】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，要学会在以后的解题中利用这种思想．5．B解析：B【分析】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE2=BG2+BE2，构建方程求出x 即可解决问题．【详解】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠GHF=90°AB=AD=GH，AG=GE=x，∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°，∴∠BAE=∠FGH，∴△ABE≌△GHF，∴BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，∵GE2=BG2+BE2，∴x2=42+（x-2）2，∴x=5，∴AB=9，BE=3，在Rt△ABE中，=故选：B．【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠BEA=∠EAD，∵AB=AE，∴∠ABE=∠BEA，∴∠EAD=∠ABE，在△ABC和△EAD中，AB AEABE EAD BC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABE是等边三角形，∴AG=EH，若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；综上所述：正确的有①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．7．D解析：D【分析】根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案．【详解】∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，∴AF=AD=3.5cm，EF=DE，∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm，∵BC=6.5cm，∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm，在Rt△AMB中，由勾股定理得：22AB（cm），435∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．8．C解析：C【解析】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF ，∴OB ⊥EF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴③正确，∵△EOB ≌△FOB ≌△FCB ，∴△EOB ≌△CMB 错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴∵OE=OF ，∴MB ：OE=3：2，∴④正确；故选C ．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键.9．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE，∴BF⊥AE．设AF=x，BF=y，∵∠D为锐角，∴∠DAB=180°-∠D是钝角，∴∠D＜∠DAB，∴1 2∠ABC＜12∠DAB，∴∠ABF＜∠BAF，∴AF＜BF，x＜y．则有22222520013x yx y⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520xy⎧⎨⎩＝＝或2015xy＝＝（舍去），即AF=15．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCDS S==以及BF⊥AE是解题的关键．10．D解析：D【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，∴AB=AD，∠ADB=12∠ADC=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，又∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=∠DEF=60°，又∵∠ADB=60°，∴∠ADE=∠BDF，在△ADE和△BDF中，AD BDA DBCADE BDF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF，∵AE=t，CF=2t，∴BF=BC−CF=5−2t，∴t=5−2t∴t=53，故选：D.【点睛】本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222BE AB AE543-=-,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222=-=-=,BE AB AE543∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E 点在CD 上运动时，O 点在AC 上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO ⊥AC 时，此时BO 最短，∵四边形ABCD 是正方形，∴△BOC 为等腰直角三角形，且BC=4，、 ∴2222BO , ∴122HE BO ，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．13．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ， ∴△CFN ∽△CAB ，∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC AC ＝∴FN ＝13AB ，CN＝13BC＝2，∴BN＝BC－CN＝22，BF＝22FN+BN=2+8=10，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝10，∴PE＋PF＝210，∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．14．4【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，设斜边上的高为h ，则S △ABC =1122BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4，∴EF 的最小值为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．153223102【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴223322+（）（）322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴AP=223922+（）（）=3102故答案为：322或3102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.16．72；【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×2=故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．17．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，可证点B ，点A ，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，S △ABC =1242⨯=12cm 2，∵在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB ′C ，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S △ABC =S △AB'C =12cm 2，∴∠BAB'=180°，∴点B ，点A ，点B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE ，∴S △ACE =12S △AB'C =6cm 2，故答案为：6．本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．18．10+55【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．19．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE，又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．20．4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．三、解答题21．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明△ABE≌△ADF即可求解；(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN＝1AE，2由(1)同理可证，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM＝1AF，2∴DM＝MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可证：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，∵MN∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN．故答案为：仍成立．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．22．（1）见解析；（2）t＝2；（3）t＝1．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN＝3DN＝3cm，由三角形的面积公式可求解；（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．【详解】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，∴DF＝BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE；（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝12AD＝1cm，AN33cm，∴S△ADF＝12×DF×AN＝12×12332，∴t＝2；（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，∵四边形AECF是平行四边形，∴FA＝CE，∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，∴FG＝CH，∴四边形FGHC是平行四边形，∴CF∥GH，∵四边形EHFG为菱形，∴EF⊥GH，∴EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB，又∵DM⊥AB，∴四边形DFEM是矩形，∴DF＝ME，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝12AD＝1cm，∵AM+ME+BE＝AB，∴1+12t+12t＝2，∴t＝1．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．23．（1）①7；②证明见解析；（2）9316，理由见解析【分析】（1）①如图1中，延长BC交DE的延长线于T，过点T作TH⊥BD于H，设BD=2x．证明△BDT是等腰直角三角形，四边形ACTE是矩形，进而利用勾股定理构建方程求解即可；②如图2中，延长BC交DE的延长线于T，连接TF，进而利用全等三角形的性质证明△CEF是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图3中，根据题意设∠EAD=x，则∠BAC=2x．证明△ABC是等边三角形，再根据垂。

初二数学平行四边形专题练习题