上海四校自主招生 新王牌自招辅导复旦附中初三数学模拟卷
2020年上海市初三四校自主招生数学模拟试卷
自主招生数学模拟试卷一、 填空题（每题8分，共80分）1、 若关于x 的一元二次方程x 2+(3a −1)x +a +8=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1<1，x 2>1，则实数a 的取值范围为.2、 设x =(√5+1)(√54+1)(√58+1)(√516+1)(x +1)48=.3、 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟.4、 如果不等式组{7x −a ≥08x −b <0的整数解仅为1，2，3，那么合适这个不等式组的整数解a 、b 的有序实数对（a ，b ）共有对.5、 已知平行四边形ABCD 的周长为52，自定点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，点E 、F 为垂足，若DE =5，DF =8，则BE +BF =.6、 请将112、16、14、13、512、12、712、23、34 填入以下方格，使得每行、每列、对角线的和都相等.7、 已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分，这x 是连结梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则x 2=.8、 在△ABC 中，AB =7，BC =8，CA =9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相较于点D 、E ，则DE 的长为.9、 实系数二次多项式p （x ）满足对所有的实数x ，都有x 2−2x +2≤p (x )≤2x 2−4x +3, 已知p (11)=181，则p(16)=.10、如图，△ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c，a，b，c都是整数，且a、b的最大公约数为2，点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC=90°，则△ABC的周长是 .二、解答题（共70分）11、（本题15分）若两个不相等的实数a、b，使得a2+b和a+b2都是有理数，称数对（a，b）是和谐的.（1）找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的.（2）证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a、b都是有理数.是有理数，则a、b都是有理数.（3）证明：若（a，b）是和谐的，且ab12、（本题15分）试求实数a、b，使得抛物线y1=x2+ax+b和y2=x2+bx+a与x 轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等.13、（本题20分）如图，C是线段AB的中点，△DCE和△BDF都是等腰直角三角形，连结AE、AF，请猜想∠EAF的度数并证明.14、（本题20分）已知a+b+c是a、b、c的倍数，且每个数都不大于2017，则满足条件的（a，b，c）有几组？（3个顺序不同，视为不同数组）。
2024年上海中考数学模拟练习卷四及参考答案
上海市2024年中考数学模拟练习卷3（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列运算正确的是（）A =B ．3412a a a ⋅=C ．()222ab a b -=-D ．()32628a a -=-2．（本题4分）当使用换元法解方程2()2(3011x x x x --=++时，若设1x y x =+，则原方程可变形为（）A ．2230y y ++=B ．2230y y -+=C ．2230y y +-=D ．2230y y --=3．（本题4分）下列说法正确的是（）A ．函数2y x =的图象是过原点的射线B ．直线2y x =-+经过第一､二､三象限C ．函数()20y x x=-<，y 随x 增大而增大D ．函数23y x =-，y 随x 增大而减小4．（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（）A ．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数B ．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定C ．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些D ．在射靶上，甲比乙更有潜力5．（本题4分）如图，依次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，添加的条件不正确的是（）A ．90FEH ∠=︒B ．AC BD =C ．EG FH =D ．AC BD⊥6．（本题4分）如图，已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BE ⊥AB 交AC 的延长线于E ，EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，下列结论：①BD ∥EF ；②∠AEF ＝2∠BAC ；③AD ＝DF ；④AC ＝CE ＋EF ．其中错误的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：2116x -=．8．（本题4分）计算：211x x x x +=--．9．（本题40的解是．10．（本题4分）函数y =的定义域是．11．（本题4分）若关于x 的一元二次方程()25220k x x --+=无实数根，则整数k 的最小值为．12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.4，则可判断袋子中黑球的个数为．13．（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为．14．（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与22y x =的相同；乙：顶点在x 轴上；丙：对称轴是=1x -请写出这个二次函数解析式的一般式：．15．（本题4分）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 交于点O ，14AOD BOC S S =△△．设AD a = ，AB b = ，则AO = ．（用含a 、b的式子表示）16．（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为54︒．其中正确的说法有．（填写序号）17．（本题4分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，35A ∠=︒，点O 在边AC 上，且2OA OC =，将OA 绕着点O 逆时针旋转，点A 落在ABC 的一条边上的点D 处，那么旋转角AOD ∠的度数是．18．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x 轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y 轴过第2列两个小圆的圆心，点P 是第3列两个小圆的公共点．若过点P 有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．三、解答题（共78分）19．（本题6分）计算：(1)|2|123--(2))103120231|32|85-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭20．（本题8分）解不等式组：213132514x x x x+-⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩．21．（本题10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=O 的半径．22．（本题12分）在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x kg 的物体，如图所示，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）的几组对应值如下表：(1)当所挂物体的质量为4kg 时，弹簧长______cm ；不挂重物时弹簧长_____cm ；(2)写出弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式；(3)当弹簧长度为36cm 时，求所挂物体的质量．23．（本题12分）如左图，为探究一类矩形ABCD 的性质，小明在BC 边上取一点E ，连接DE ，经探究发现：当DE 平分ADC ∠时，将ABE 沿AE 折叠至AFE △，点F 恰好落在DE 上，据此解决下列问题：(1)求证：AFD DCE ≌△△；(2)如图，延长CF 交AE 于点G ，交AB 于点H ．①求证：··EF DF GF CF =；②求:GE GC 的值24．（本题14分）已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()02C ，，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结,,AP BC AP 与线段BC 相交于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG x ⊥轴，垂足为点,G PG 与线段BC 交于点H ，如果PF PH =，求线段PH 的长度．25．（本题16分）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)在旋转过程中，①连接BE 与DG ，结合图1，探究线段BE 与DG 的数量关系______，线段BE 与DG 的位置关系______；②连接BE 与CF ，结合图2，试探究线段BE 与CF 的数量关系，并说明理由．(2)在旋转过程中，连接CF ，取CF 中点M ，①连接BM GM 、，结合图3，试探究BM 与GM 的关系，并说明理由；②将正方形AEFG 绕点A 旋转一周，若3,2AB AE ==，请直接写出点M 在这个过程中的运动路径长______．参考答案第I 卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列运算正确的是（）A =B ．3412a a a ⋅=C ．()222ab a b -=-D ．()32628a a -=-2．（本题4分）当使用换元法解方程2()2(3011x x x x --=++时，若设1x y x =+，则原方程可变形为（）A ．2230y y ++=B ．2230y y -+=C ．2230y y +-=D ．2230y y --=3．（本题4分）下列说法正确的是（）A ．函数2y x =的图象是过原点的射线B ．直线2y x =-+经过第一､二､三象限C ．函数()20y x x=-<，y 随x 增大而增大D ．函数23y x =-，y 随x 增大而减小【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．4．（本题4分）甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．根据统计图，下列结论正确的是（）A．甲的射靶成绩的平均数大于乙的射靶成绩的平均数B．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩稳定C．甲的射靶成绩比乙的射靶成绩好些D．在射靶上，甲比乙更有潜力5．（本题4分）如图，依次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，添加的条件不正确的是（）A ．90FEH ∠=︒B ．AC BD =C ．EG FH =D ．AC BD⊥依题意，,FG DB EH ∥∥∴,EH FG EF GH ∥∥，EH∴四边形EFGH 是平行四边形，A.添加90FEH ∠=︒，则四边形EFGH 为矩形，故该选不符合题意；B.添加AC BD =，可得四边形EFGH 为菱形，符合题意；C.添加EG FH =，可得四边形EFGH 为矩形，故该选不符合题意；D.添加AC BD ⊥，则EF FG ⊥，可得四边形EFGH 为矩形，故该选不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．6．（本题4分）如图，已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BE ⊥AB 交AC 的延长线于E ，EF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，下列结论：①BD ∥EF ；②∠AEF ＝2∠BAC ；③AD ＝DF ；④AC ＝CE ＋EF ．其中错误的结论有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A 【分析】根据等腰梯形的性质结合全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线等知识进行逐个判断解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC =BD ，又AD =BC 、AB =AB ，∴△ABC ≌△BAD （SSS ），∴∠BAC =∠ABD ，∠ADB =∠BCA ，又AC ⊥BC ，∴OA =OB ，OC =OD ，∠ADB =∠BCA =90°即BD ⊥AD ，∵EF ⊥AD ，∴BD ∥EF ，故①正确；∴∠AEF =∠AOD =∠BAC +∠ABD ，∴∠AEF =2∠BAC ，故②正确；∵BE ⊥AB ，∴∠BAC +∠AEB =∠ABD +∠OBE =90°，∴∠AEB =∠OBE ，∴OB =OE ，∴AO =OE ，又OD ∥EF ，∴AD =DF ，故③正确；∴EF =2OD =2OC ，∵OA =OE =OC +CE ，∴AC =OA +OC =OC +CE +OC =2OC +CE =EF +CE ，故④正确，综上，正确的结论有4个，即错误的结论有0个，故选：A ．【点评】本题考查等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的外角性质、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：2116x -=．8．（本题4分）计算：11x x x x +=．9．（本题40的解是．【答案】无解【分析】先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解析】解：两边平方得：()()540x x --=，解得：15=x ，24x =，2x 的定义域是．11．（本题4分）若关于x 的一元二次方程()25220k x x --+=无实数根，则整数k 的最小值为．12．（本题4分）一个不透明的袋子中装有12个白球、9个黄球和若干个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该试验多次，发现得到白球的频率稳定在0.4，则可判断袋子中黑球的个数为．13．（本题4分）如果一个正多边形的中心角为72°，则该正多边形的对角线条数为．14．（本题4分）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与22y x =的相同；乙：顶点在x 轴上；丙：对称轴是=1x -请写出这个二次函数解析式的一般式：．【答案】2242y x x =++【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为()2y a x h =-，且2a =，1h =-，据此可得；【解析】解：设函数解析式为()2y a x h =-，根据题意得，2,1a h ==-，二次函数解析式是：()221y x =+()2221x x =++2242x x =++，故答案为：2242y x x =++．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式．15．（本题4分）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 交于点O ，14AOD BOC S S =△△．设AD a = ，AB b =，则AO = ．（用含a 、b 的式子表示）16．（本题4分）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法：①被调查的学生有60人；②被调查的学生中，步行的有27人；③被调查的学生中，骑车上学的学生比乘车上学的学生多20人；④扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为54︒．其中正确的说法有．（填写序号）【答案】①②④【分析】利用骑车的人数除以其所占的百分比求出调查的总人数，再求出步行所占的百分比，利用总人数乘以步行所占的百分比求得步行的人数，然后利用乘车所占的百分比乘以总人数求得乘车的人数，再与骑车的人数相比即可，最后利用乘车所占的百分比乘以360︒即可求得乘车所对应的圆心角．【解析】解：由题意可得，参与调查的总人数为：2135%60÷=（人），故①正确；∵步行所占的百分比为：135%15%5%=45%---，∴步行的人数为：6045%=27⨯（人），故②正确；∵乘车的人数为：15%60=9⨯（人），21912-=（人），∴骑车上学的学生比乘车上学的学生多12人，故③错误，乘车部分所对应的圆心角为：15%36054⨯︒=︒，故④正确，故答案为：①②④．【点评】本题考查扇形统计图，熟练掌握频数除以总人数等于其所占的百分比，求圆心角的方法是解题的关键．17．（本题4分）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，35A ∠=︒，点O 在边AC 上，且2OA OC =，将OA 绕着点O 逆时针旋转，点A 落在ABC 的一条边上的点D 处，那么旋转角AOD ∠的度数是．【答案】110︒或120︒【分析】分类讨论：当点D 在AB 上，根据等边对等角和三角形内角和即可求得；当点D 在BC 上，根据30度所对的直角边是斜边的一半和三角形的外角性质即可求得．【解析】当点D 在AB 上，如图：∵AO OD =，∴35A ADO ∠=∠=︒，∴1803535110AOD ∠=︒-︒-︒︒=，当点D 在BC 上，如图：∵2AO OD OC ==，∴30ODC ∠=︒，∴9030120AOD ∠=︒+︒=︒，故答案为：110︒或120︒【点评】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，30度角的直角三角形性质，三角形的外角性质，解题的关键是分类讨论思想的运用．18．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x 轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y 轴过第2列两个小圆的圆心，点P 是第3列两个小圆的公共点．若过点P 有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．∵右边6个小圆关于点P中心对称，直线y经过点∴直线y平分右边6个小圆的面积，∵直线y经过左边小圆的圆心，∴直线y平分⊙N的面积，∴直线y平分7个小圆的面积，NF⊥x轴，GO⊥x轴，则NF∥GO，【点评】本题考查了中心对称图形的特征，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，一次函数解析式；掌握中心对称图形的特征是解题关键．三、解答题（共78分）19．（本题6分）计算：(1)|2|--(2))1011|2|5-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭20．（本题8分）解不等式组：32514x x+-⎧≥⎪⎨⎪-<+．解不等式②得：2x >-，∴不等式组的解集为21x -<≤．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．21．（本题10分）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若5,sin 2AF ABD =∠=O 的半径．22．（本题12分）在一次实验中，小李把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂质量为x kg 的物体，如图所示，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）的几组对应值如下表：(1)当所挂物体的质量为4kg 时，弹簧长______cm ；不挂重物时弹簧长_____cm ；(2)写出弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式；(3)当弹簧长度为36cm 时，求所挂物体的质量．【答案】(1)24；18(2)182y x=+(3)9【分析】（1）根据弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）的对应值表格，即可直接得出答案；（2）由表格可知，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧的长度就会增加2cm ，据此即可写出弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式；（3）把36y =代入（2）中函数关系式即可解答．【解析】（1）根据弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）的对应值表格，可知：当所挂物体的质量为4kg 时，弹簧长24cm ；不挂重物时弹簧长18cm ；故答案是24；18；（2）根据弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）的对应值表格，可知所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧的长度就会增加2cm ，∴182y x =+．故答案是182y x =+；（3）当36y =时，18236x +=，∴9x =．即当弹簧长度为36cm 时，求所挂物体的质量为9kg ．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于熟读题意，分析表格中的数据之间的数量关系，求出弹簧长度与所挂物体质量之间的函数关系式．23．（本题12分）如左图，为探究一类矩形ABCD 的性质，小明在BC 边上取一点E ，连接DE ，经探究发现：当DE 平分ADC ∠时，将ABE 沿AE 折叠至AFE △，点F 恰好落在DE 上，据此解决下列问题：(1)求证：AFD DCE ≌△△；(2)如图，延长CF 交AE 于点G ，交AB 于点H ．①求证：··EF DF GF CF =；②求:GE GC 的值24．（本题14分）已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线22y x bxc =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()02C ，，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结,,AP BC AP 与线段BC 相交于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG x ⊥轴，垂足为点,G PG 与线段BC 交于点H ，如果PF PH =，求线段PH 的长度．设213(,2)22P t t t -++，则1(,2)2H t t -+，2122PH t t ∴=-+，设直线AP 的解析式为11y k x b =+，∴11211013222k b k t b t t -+=⎧⎪⎨+=-++⎪⎩，25．（本题16分）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)在旋转过程中，①连接BE与DG，结合图1，探究线段BE与DG的数量关系______，线段BE与DG的位置关系______；②连接BE 与CF ，结合图2，试探究线段BE 与CF 的数量关系，并说明理由．(2)在旋转过程中，连接CF ，取CF 中点M ，①连接BM GM 、，结合图3，试探究BM 与GM 的关系，并说明理由；②将正方形AEFG 绕点A 旋转一周，若3,2AB AE ==，请直接写出点M 在这个过程中的运动路径长______．∵点M为CF的中点，试卷31。
绝对精品 上海市答案-四校自招模拟题-数学卷
学而思高中部 胡晓晨老师
Part 1 代数式变换
1.1 因式分解
【1】 x, y 是正整数，满足 1 4 1的数对 (x, y) _________________ xy
【解析】式子即 y 4x xy ，即 xy 4x y 0 ，即 xy 4x y 4 4
1 1 1 1 1 ，故 a 1 abc a
∴1 a 3 ∴a 2 则11 1
bc 2 1 1 1 1 ，故 b 2 2bc b 1 1 1 1 1 2 ，故 b 4 2bc bb b ∴2b 4 ∴b 3 ∴c 6 综上， a 2,b 3,c 6
即 (x 1)( y 4) 4
x, y 是正整数，则 x 1 0 ，则
x 1 4 x 1 2 x 11
y
4
1
或
y
4
2
或
y
4
4
因此， (x, y) (5,5) 或 (3, 6) 或 (2,8)
【2】 x, y 是正整数，且 x y ，则满足 4xy 15(x y) 的数对 (x, y) 有_____________个 【解析】 4xy 15x 15y 0 ，即16xy 60x 60y 0 即16x 60x 60y 225 225 即 (4x 15)(4y 15) 225 225 32 52 ，则 225 1 225 375 5 45 9 25 1515 经检验，当 (4x 15, 4y 15) (1, 225) 或 (5, 45) 或 (9, 25) 时， x, y 有正整数解 因此满足题意的数对有 3 个
上海四校自招-数学复旦附中卷_含答案
a2 b2 (ab)2
(ab)2
(7)2
49
49
4. 【注】原题应为 p 是奇质数 (2x p)(2 y p) p2
则 2x p 1， 2y p p2
∴ x p 1 ， y p2 p
2
2
5. 显然 x 0
两边平方得 x2 x 1 1 1 2 (x 1)(1 1)
xx
xx
两边同乘 x ，得 x3 x2 x 2 2 (x2 1)(x 1)
因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
【高中知识点】解析几何——圆的方程、两根差公式、分离变量、均值不等式
9. 【注】原题应为“有且仅有一个实数根”，这样表达的更准确一些 原方程
2x 3
ax
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
2x 3 ax
x 1
x
2
4x2 12x 9 ax
x
3 2
x 2
a
4x
9 x
12
坐标；
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
(3) 设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC 。比较 PA PB 与 AC BC 的大小关系，说明理 由。
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题 并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函 数的图像，均值不等式等） 因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在 考试中占据优势
2024年上海市中考数学模拟试卷及答案
2024年上海市中考数学模拟试卷及答案（一）一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（）A．m＝±2 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m为全体实数2．（4分）已知点M（2，n）在抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣2）上，则n的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．33．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为（）A．12 B．12C．9 D．94．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，BC＝13，那么tanB的值是（）A．B．C．D．5．（4分）如果＝，那么下列结论中正确的是（）A．||＝|| B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量6．（4分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）已知：＝，则＝．8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有个．9．（4分）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．（4分）若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．11．（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q 的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为．12．（4分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD ＝．13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝0.8，BC＝10，边AB的长为．14．（4分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是m．（≈1.732，结果取整数）15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知＝，＝，那么＝（用含有、的式子表示）．16．（4分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，AC＝5，DF＝10，则DE＝．17．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，若BD＝2，AD＝8，则＝．18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）cos45°+sin30°•tan60°；（2）sin45°•cos45°+．20．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣2，5）和（2，﹣3）两点．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．（3）当x取何值时，y随x的增大而增大．21．（10分）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．（1）若BC＝2，求线段CF的长；（2）若△ADE的面积为3，求平行四边形ABCD的面积．22．（10分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD 1.61m 1.59m 1.6m β26.4°26.6°26.5°ED 1.18m 1.22m 1.2m α37.1°36.9°37°DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为m；（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，CE⊥AD延长线于E，且BC＝2AE （1）求证：AD＝CD；（2）求证：AB2＝AD•BC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）与一次函数y＝﹣x+b （b为常数）交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．（1）求B点坐标；（2）点P为直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，当S△PAB＝时，求点P的坐标；（3）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）沿射线AB平移5个单位，平移后的抛物线y1与原抛物线y＝﹣x2﹣2x+c相交于点E，点F为抛物线y1的顶点，点M为y轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）【问题背景】如图（1），△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；【变式迁移】如图（2），△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，将点A绕点D 顺时针旋转90°得到DE，连接CD、BE，求的值；【拓展创新】如图（3），△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D为△ABC外一点，AD⊥BD，连接CD，求线段AD、CD、BD之间的数量关系．（用含α的式子表示）参考答案一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）1．（4分）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（）A．m＝±2 B．m＝2C．m＝﹣2 D．m为全体实数【答案】C2．（4分）已知点M（2，n）在抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣2）上，则n的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【答案】B3．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为（）A．12 B．12C．9 D．9【答案】A4．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，BC＝13，那么tanB的值是（）A．B．C．D．【答案】B5．（4分）如果＝，那么下列结论中正确的是（）A．||＝|| B．与是相等向量C．与是相反向量D．与是平行向量【答案】B6．（4分）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）7．（4分）已知：＝，则＝7 ．【答案】见试题解答内容8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有 4 个．【答案】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，因此有2a+b＝0，故④正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点在﹣1与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；综上所述，正确的结论有：①③④⑤，故答案为：4．9．（4分）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝（x﹣1）2+1 ．【答案】y＝（x﹣1）2+1．10．（4分）若点A（m﹣3，y1），B（m，y2），C（m+4，y3）都在二次函数y＝（x﹣m）2+1（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．11．（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q 的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为（﹣2，0）．【答案】见试题解答内容12．（4分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝．【答案】．13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝0.8，BC＝10，边AB的长为 6 ．【答案】解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DCA，∵AC⊥AB，cos∠ACD＝0.8＝，BC＝10，∴∠CAB＝90°，cos∠ACB＝＝，解得，AC＝8，∴AB＝＝＝6，故答案为：6．14．（4分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120m，这栋楼的高度BC是277 m．（≈1.732，结果取整数）【答案】277m．15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．已知＝，＝，那么＝（用含有、的式子表示）．【答案】．16．（4分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，AC＝5，DF＝10，则DE＝ 4 ．【答案】4．17．（4分）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，若BD＝2，AD＝8，则＝．【答案】．18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是．【答案】．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）计算：（1）cos45°+sin30°•tan60°；（2）sin45°•cos45°+．【答案】（1）；（2）2+．20．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣2，5）和（2，﹣3）两点．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．（3）当x取何值时，y随x的增大而增大．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，y＝（x﹣1）2﹣4；（2）函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；（3）当x＞1时，y随x的增大而增大．21．（10分）如图所示，延长平行四边形ABCD一边BC至点F，连结AF交CD于点E，若．（1）若BC＝2，求线段CF的长；（2）若△ADE的面积为3，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）6；（2）24．22．（10分）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD 1.61m 1.59m 1.6m β26.4°26.6°26.5°ED 1.18m 1.22m 1.2m α37.1°36.9°37°DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为52 m；（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）【答案】（1）52；（2）塔AB的高度约为52.5m．23．（12分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，CE⊥AD延长线于E，且BC＝2AE （1）求证：AD＝CD；（2）求证：AB2＝AD•BC．【答案】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AB＝AC，∴BC＝2CF．∵BC＝2AE，∴CF＝AE．在Rt△ACE和Rt△CAF中，，∴Rt△ACE≌Rt△CAF（HL），∴AD＝CD．（2）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B．又∵∠DAC＝∠ACD，∴∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴AC2＝CD•BC．∵∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB2＝AD•BC．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）与一次函数y＝﹣x+b （b为常数）交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣3，0）．（1）求B点坐标；（2）点P为直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，当S△PAB＝时，求点P的坐标；（3）将抛物线y＝﹣x2﹣2x+c（c为常数）沿射线AB平移5个单位，平移后的抛物线y1与原抛物线y＝﹣x2﹣2x+c相交于点E，点F为抛物线y1的顶点，点M为y轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（2，﹣5）；（2）P（﹣，）；（3）N的坐标为：N1（6，﹣），N2（﹣2，﹣7），N3（﹣2，﹣3），N4（2，3）．25．（14分）【问题背景】如图（1），△ABC中，AB＝AC，△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；【变式迁移】如图（2），△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，将点A绕点D 顺时针旋转90°得到DE，连接CD、BE，求的值；【拓展创新】如图（3），△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，点D为△ABC外一点，AD⊥BD，连接CD，求线段AD、CD、BD之间的数量关系．（用含α的式子表示）【答案】【问题背景】：证明见解析答；【变式迁移】：；【拓展创新】：．（二）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
2024年上海中考数学模拟练习卷五及参考答案
上海市2024年中考数学模拟练习卷5（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列式子，成立的是（）A ．2a a≥B ．824a a a ÷=C ．()3236928a b a b --=D ()0.20a a =>2．（本题4分）解方程2221x x x x++=+时．如果设2y x x =+，那么原方程可化为（）A ．220y y +-=B ．220y y -+=C ．220y y ++=D ．220y y --=3．（本题4分）下列函数中，y 随着x 增大而减小而的是（）A ．3y x=B ．2y x =-C ．1y x=D ．32y x =--4．（本题4分）为备战杭州2022年第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同条件下，两人各射击10次，射击的成绩如图所示，以下判断正确的是（）A ．甲的平均成绩大于乙的平均成绩B ．乙的平均成绩大于甲的平均成绩C ．甲的成绩比乙的成绩更稳定D ．乙的成绩比甲的成绩更稳定5．（本题4分）如图，要使平行四边形ABCD 为矩形，则可添加下列哪个条件（）A ．BO DO =B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AO DO=6．（本题4分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，6cm AD BC ==，60A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，那么这个梯形的周长为（）A ．18B ．24C ．30D ．36第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：2116x -=．8．（本题4分）计算1122a a a ++++的结果是．9．（本题4211x -=的根是．10．（本题4分）函数21x y x +=-的定义域是.11．（本题4分）关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围是12．（本题4分）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为5:3:2．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为．13．（本题4分）圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是72︒，则正多边形的边数是14．（本题4分）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（-1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式．15．（本题4分）如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点O ，2BO OD =，设AD a = ，AB b = ，那么向量OC 用向量a 、b表示为．16．（本题4分）某校七年级计划开设花样剪纸、诗歌欣赏、中华武术、科技创新四门特色校本课程，每名学生都将选择其中一门课程．为了解七年级学生对这四门课程的选择情况，学校随机抽取100名学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的扇形图，根据这个扇形图可以估计七年级1200名学生中选择花样剪纸的学生约为名．17．（本题4分）如图，将 ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到 ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若DE AC ⊥，20CAD ∠=︒，则旋转角α的度数是．18．（本题4分）如图，在126⨯的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1B ，的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位．三、解答题（共78分）19．（本题6()21273123-⎛⎫-⎪⎝⎭．20．（本题8分）解不等式组21122133x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩．21．（本题10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．(1)求tanA的值；(2)若D为 AB的中点，连接CD、BD，求弦CD的长．22．（本题12分）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费30元，另外，每通话1分钟交费0.5元．(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式．(2)某手机用户这个月通话时间为140分，他应缴费多少元？(3)如果该手机用户本月预支200元的话费，那么该手机用户本月通话多长时间？=，连接23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE DC=.BE，分别交边DC、对角线AC于点F，G，AD FD∠的度数；(1)求AGE(2)求证：CF AC=．DF BE24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(30)，．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果DE AC ∥，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．25．（本题16分）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．(1)当点B在线段AP上时，①求证：∠AOB＝∠APO；②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；(2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α的代数式表示β．参考答案一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列式子，成立的是（）A ．2a a≥B ．824a a a ÷=C ．()3236928a b a b --=D ()0.20a a =>2．（本题4分）解方程2221x x x x++=+时．如果设2y x x =+，那么原方程可化为（）A ．220y y +-=B ．220y y -+=C ．220y y ++=D ．220y y --=3．（本题4分）下列函数中，随着x 增大而减小而的是（）A ．3y x =B ．2y x =-C ．1y x=D ．32y x =--【答案】D【分析】根据一次函数和反比例函数的性质逐个判断求解即可．【详解】解：A 、3y x =中k =3＞0，∴y 随着x 增大而增大，不符合题意；B 、2y x =-中k =1＞0，4．（本题4分）为备战杭州2022年第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同条件下，两人各射击10次，射击的成绩如图所示，以下判断正确的是（）A．甲的平均成绩大于乙的平均成绩B．乙的平均成绩大于甲的平均成绩C．甲的成绩比乙的成绩更稳定D．乙的成绩比甲的成绩更稳定大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．（本题4分）如图，要使平行四边形ABCD 为矩形，则可添加下列哪个条件（）A ．BO DO =B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AO DO=【答案】D【分析】根据矩形的判定方法逐项进行判断即可．【详解】解：A ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO DO =，再添加BO DO =也无法判断平行四边形ABCD 为矩形，故A 错误；B ．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴添加AC BD ⊥，无法判断四边形ABCD 是矩形，故B 错误；C ．∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加AB BC =无法判断四边形ABCD 是矩形，故C 错误；D ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =，BO DO =，∵AO DO =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴添加AO DO =能够使平行四边形ABCD 为矩形，故D 正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形．6．（本题4分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，6cm AD BC ==，60A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，那么这个梯形的周长为（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】C【分析】根据等腰梯形性质求出60CBA A ∠=∠=︒，求出30DBA CBD ∠=∠=︒，求出CDB CBD ∠=∠，推出6cm DC BC ==，求出90ADB ∠=︒，根据含30度角的直角三角形性质求出AB ，即可求出答案．【详解】解： 等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，6AD BC cm ==，60A ∠=︒，60CBA A ∴∠=∠=︒，CDB DBA ∠=∠，BD Q 平分ABC ∠，30DBA CBD ∴∠=∠=︒CDB CBD ∴∠=∠，6cmDC BC ∴==60A ∠=︒ ，30DBA ∠=︒，90ADB ∴∠=︒，212cmAB AD ∴==∴梯形ABCD 的周长是6661230cm AD DC BC AB +++=+++=，故选：C ．【点评】本题考查了等腰梯形性质，平行线性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是能求出DC 和AB 的长．第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：2116x -=．8．（本题4分）计算22a a ++的结果是．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．9．（本题41=的根是．10．（本题4分）函数1y x +=-的定义域是.【答案】1x ≠【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式10x -≠，解可得自变量x 的取值范围．【详解】解：根据题意有10x -≠，解可得1x ≠．故答案为：1x ≠．【点评】本题考查函数定义域，解题的关键是掌握理解分式有意义的条件是分母不等于0．11．（本题4分）关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围是【答案】0k ≥且2k ≠【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△0≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，∴220(2)4(2)0k k k k -≠⎧⎨=---≥⎩ ，解得：0k ≥且2k ≠．故答案为：0k ≥且2k ≠．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△0≥，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．12．（本题4分）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为5:3:2．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为．13．（本题4分）圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是72︒，则正多边形的边数是14．（本题4分）已知一个二次函数的二次项的系数是1，且经过点（-1，0），请写一个符合上述条件的二次函数表达式．【答案】y =x 2+2x +1（答案不唯一）【分析】由待定系数法可设出函数的表达式，代入点坐标即可求得系数的关系式，进而可得到答案．【详解】解：设二次函数的表达式为2y x bx c=++∵二次函数过点（-1,0）∴1c b -=-令1c =，则2b =∴二次函数的表达式为221y x x =++故答案为：221y x x =++．【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．（本题4分）如图，AD BC ∥，AC 、BD 交于点O ，2BO OD =，设AD a = ，AB b = ，那么向量OC 用向量a 、b 表示为．16．（本题4分）某校七年级计划开设花样剪纸、诗歌欣赏、中华武术、科技创新四门特色校本课程，每名学生都将选择其中一门课程．为了解七年级学生对这四门课程的选择情况，学校随机抽取100名学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的扇形图，根据这个扇形图可以估计七年级1200名学生中选择花样剪纸的学生约为名．【答案】360【分析】用整体1分别减去其它课程所占的百分比，求出花样剪纸所占的百分比，再用该学校1200名学生乘以花样剪纸所占的百分比即可得出答案．【详解】解：根据题意得：1200×（1-15%-35%-20%）=360（名），估计七年级1200名学生中选择花样剪纸的学生约为360名．故答案为：360．【点评】此题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出做豆腐所占的百分比是解题的关键．17．（本题4分）如图，将 ABC 绕点A 逆时针旋转角()0180αα︒<<︒得到 ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若DE AC ⊥，20CAD ∠=︒，则旋转角α的度数是．【答案】40︒/40度【分析】先求出70ADE ∠=︒，再利用旋转的性质求出70B ∠=︒，AB AD =，然后利用等边对等角求出70ADB ∠=︒，最后利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，，∵DE AC ⊥，∴90AFD ∠=︒，∵20CAD ∠=︒，∴18070ADE CAD AFD ∠=︒-∠-∠=︒，∵旋转，∴70B ADE ∠=∠=︒，AB AD =，∴70ADB B ∠=∠=︒，∴18040BAD B ABD ∠=︒-∠-∠=︒，即旋转角α的度数是40︒．故答案为：40︒．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键．18．（本题4分）如图，在126⨯的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1B ，的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位．【答案】2,4,6或8【分析】由A 的半径为1B ，的半径为2，要使A 与静止的B 相切，分内切和外切两种情况可求得A 由图示位置需向右平移的单位长度．【详解】∵A 的半径为1B ，的半径为2，，∴要使A 与静止的B 相切，当内切时，211AB =-=；即A 由图示位置需向右平移的单位长为4或6个单位长度，当外切时，213AB =+=，即A 由图示位置需向右平移的单位长为2或8个单位长度，∴A 由图示位置需向右平移的单位长为2,4,6或8个单位长度，故答案为：2,4,6或8.【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是注意掌握两圆相切与圆心距、两圆半径的数量关系间的联系.三、解答题（共78分）19．（本题6)20112-⎛⎫- ⎪⎝⎭．20．（本题8分）解不等式组21122133x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩．21．（本题10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝5，AC ＝3．(1)求tanA的值；(2)若D为 AB的中点，连接CD、BD，求弦CD的长．【答案】(1)4 tan3A=(2)722【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°可判断∠ACB=90º，再根据勾股定理求得BC 的长度，从而可求得tanA的值；（2）过点B作BE⊥CD于E，根据相等的弧对应圆周角相等可得∠ACD=∠BCD=45º，从而可得Rt△BCE为直角三角形，求得BE的值，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，利用（1）中所求正切值即可求得DE的值，从而求得CD的值．【详解】（1）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90º，∵AB=5，AC=3，∴BC=4，∴4 tan3A=．（2）解：过点B作BE⊥CD于E，∵D为 AB的中点，∴AD BD=，∴∠ACD=∠BCD=45º，22．（本题12分）某电信公司手机的A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费30元，另外，每通话1分钟交费0.5元．(1)写出每月应缴费用y (元)与通话时间x (分)之间的关系式．(2)某手机用户这个月通话时间为140分，他应缴费多少元？(3)如果该手机用户本月预支200元的话费，那么该手机用户本月通话多长时间？【答案】(1)0.530y x =+(2)100元(3)340分钟【分析】（1）根据每月应缴纳的费用=月租费+通话费就可以求出解析式；（2）把140x =代入()1的解析式求出y 值即可；（3）当200y =时代入解析式求出x 的值即可．【详解】（1）解：由题意，得0.530y x =+，y ∴与x 之间的函数关系式为：0.530y x =+；（2）当140x =时，0.514030100y =⨯+=元．答：他应缴费100元；（3）当200y =时，2000.530x =+，x=．解得：340答：预交了200元的话费，那么该用户本月可通话时间为340分钟．【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，根据一次函数的解析式求自变量的值和函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．=，连接23．（本题12分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE DC=.BE，分别交边DC、对角线AC于点F，G，AD FD∠的度数；(1)求AGE(2)求证：CF AC=．DF BE24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(30)，．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果DE AC ∥，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q 的坐标．②设DC 的解析式为y mx c =+，把D (0330c m c =⎧⎨+=⎩，解得31c m =⎧⎨=-⎩，DC 的解析式为3y x =-+，点E 的纵坐标为1-，代入3y x =-+，解得，4x =，点E 的坐标为(41)-，，当DE EQ =时，DQE CDQ ∠=∠，因为点E 的坐标为(41)-，，点D 的坐标为所以224442DE =+=，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，点Q 【点评】本题考查了求二次函数解析式和二次函数平移，出二次函数解析式，根据平移求出平移后的二次函数的顶点坐标．25．（本题16分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B是直线AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．(1)当点B在线段AP上时，①求证：∠AOB＝∠APO；②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；(2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α的代数式表示β．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。
2024年上海中考数学模拟练习卷一及参考答案
上海市2024年中考数学模拟练习卷1一、单选题+A．1.425sinα+C．1.425tanα中，6．如图，锐角ABC∠与∠点E，使得ADEA ．甲正确乙错误B ．甲错误乙正确C ．甲、乙皆正确D ．甲、乙皆错误二、填空题12．如图，在ABC 中，ACB ∠么ACD 与CBD △的相似比k 13．已知点A 在抛物线y 果点A 的横坐标是1-，那么点14．如图，抛物线y x =-15．已知点P 为等边三角形角形的边长为2，那么PD 16．如图，在边长为1的正方形网格中，点上，连结AB 、CD 相交于于．17．ABC 中，点D 在边19BDE BDF ABC S S S ==△△△，如果18．如图，矩形ABCD 中，边AD 上一点，将ABP 沿三、解答题19．计算：24sin 30cos30︒-(1)求BD 的长；(2)小明继续作图，如图③，分别以点B 、D 为圆心，以大于12BD 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ，连接PQ ，分别交BD 、OD 于点E 、F ．如果BC 的长．(1)求证：ABD ECD ∽ ；(2)如果90ACB ∠=︒，求证：(1)求m 的值和点E 的坐标；(2)点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线①连接AM 、CM ，如果AME ∠(1)求证：DBA DEC ∽△△；(2)点F 在边CA 的延长线上，DF 与BE 的延长线交于点M （如图②）①如果2AC AF =，且DEC 是以DC 为腰的等腰三角形，求tan FDC ∠②如果52DE CD =，3EM =，:5:3FM DM =，求AF 的长．参考答案：∵点P是线段AB的黄金分割点，且则有四边形CDEB 是矩形，∴ 1.4CD BE ==米，DE 在Rt ADE △中，tan α=∴25tan AE α=，∴甲正确；乙：如图，∵取AC 中点交AC 于点E ，∴,AD DC AE EB ==，∴,A ACD A ∠=∠∠=∠∴A ACD ABE ∠=∠=∠∴乙正确；故选：C【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，基本作图，四点共圆，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．72故答案为：3 3．16．55/15 5【分析】本题考查了勾股定理逆定理、求余弦值、平行四边形的判定及性质，由题意得由勾故答案为：4．18．22102<<-AP【分析】本题考矩形的折叠问题，相似三角形的性质，勾股定理；根据翻折的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，分别求得最大值，当BP AE⊥时，AP∴∠+∠=︒，90ABP BAF四边形ABCD是矩形，由题意可知，AP A P '=，在Rt BCE 中，9BC =，22310BE BC EC ∴=+=由翻折可知6AB A B '==，在Rt BCH △中，sin 7.2cm BH ∴=，CH =在Rt BEH △中，BEH ∠ cot 530.757.2HE HE BH ∴︒==≈∵=90ACD ∠︒，∴12DG CG AD ==，∴GDC GCD ∠=∠，∴1802DGC ADC ∠=︒-∠∵BDE ADC ∠=∠，(3,0)A - ，(0,3)C -，(1,2)E --，22(31)222AE ∴=-++=，∠3，=90 OA OC==AOC∴∠=∠=︒，45OAC OCA∴∠=︒，AEM45直线AC垂直平分MN，∴=，AEM AEN ME NE∠=∠∴∠=︒．NEM90∵点E的纵坐标为2-，∴点N的纵坐标为2-，2232∴+-=-，x x2210+-=，x x由（1）知：BD DE AD CD =， 52DE CD =，。
2024年中考数学第一次模拟试卷(上海卷)(全解全析)
2024年中考第一次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A ．6B ．9C ．13D ．18【答案】C【解析】A 、6与3不是同类二次根式，B 、93=与3不是同类二次根式，C 、1333=与3是同类二次根式，D 、1832=与3不是同类二次根式.故选C ．2．将抛物线2y x =向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+【答案】D【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y =x 2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y =（x +2）2，故选D ．3．已知在四边形ABCD 中，AB CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．AD BC =B ．AC BD=C ．A C∠=∠D ．A B∠=∠【答案】C【解析】A 、B.∵在四边形ABCD 中，AB CD ，∴AD BC =或AC BD =，都不能判定四边形ABCD 为平行四边形，故A 、B 错误；C.∵AB CD ，∴180B C ∠+∠=︒，∵A C ∠=∠，∴180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，故C 正确．D.当A B ∠=∠时，无法判定四边形ABCD 为平行四边形，故D 错误．故选C．4．在线段、等边三角形、等腰梯形、平行四边形中，一定是轴对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①线段是轴对称图形，②等边三角形是轴对称图形，③等腰梯形是轴对称图形，④平行四边形不是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的是①②③共3个．故选C．5．对于数据：6,3,4,7,6,0,9．下列判断中正确的是（）A．这组数据的平均数是6，中位数是6B．这组数据的平均数是6，中位数是7C．这组数据的平均数是5，中位数是6D．这组数据的平均数是5，中位数是7【答案】C【解析】对于数据：6，3，4，7，6，0，9，这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，9，这组数据的平均数是：034667957++++++=，中位数是6，故选C.6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）A．4B．5C．6D．7.【答案】D【解析】根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大于3；又⊙A 与⊙B 没有交点，则r ＜5-1=4或r ＞5+1=6，∴3＜r ＜4或r ＞6．故选D ．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．52的相反数是．【答案】-52【解析】52的相反数是﹣52，故答案为﹣52．8．在四边形ABCD 中，向量AB 、CD 满足AB=-4CD ，那么线段AB 与CD 的位置关系是．【答案】平行【解析】∵AB =-4CD ，∴AB 与CD 是共线向量，由于AB 与CD没有公共点，∴AB ∥CD ，故答案为平行．9．如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝45o ，将这个三角形绕点B 旋转，使点A 落在射线AC上的点A 1处，点C 落在点C 1处，那么AC 1＝．【答案】22【解析】如图，连接AC 1，由旋转知，△ABC ≌△A 1BC 1，∴AB ＝A 1B ＝3，AC ＝A 1C 1＝2，∠CAB ＝∠C 1A 1B ＝45°，∴∠CAB ＝∠CA 1B ＝45°，∴△ABA 1为等腰直角三角形，∠AA 1C 1＝∠CA 1B+∠C 1A 1B ＝90°，在等腰直角三角形ABA 1中，AA 1＝2AB ＝32，在Rt △AA 1C 1中，22221111AC AA A C (32)222=+=+=．故答案为22．10．计算：32()m m ¸-=．【答案】m【解析】m 3÷（-m ）2=m 3÷m 2=m ．故答案为m ．11．不等式组10,25x x ->⎧⎨<⎩的整数解是．【答案】x =2【解析】1025x x -⎧⎨⎩＞①＜②，由①得x ＞1，由②得x ＜52，∴1＜x ＜52，∵x 取整数，∴x =2．故答案为x =2．12．方程10x x -=g 的根是．【答案】x=1【解析】原方程变形为x （x-1）=0，∴x=0或x-1=0，∴x=0或x=1，∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0，∴x=0不符合题意，舍去，∴方程的根为x=1，故答案为x=1．13．如果正比例函数3)y k x =-（的图像经过第一、三象限，那么k 的取值范围是．【答案】k>3【解析】因为正比例函数y=（k-3）x 的图象经过第一、三象限，所以k-3＞0，解得：k ＞3，故答案为k ＞3．14．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽AD 是6米，坝高4米，背水坡AB 和迎水坡CD 的坡度都是1:0.5，那么坝底宽BC 是米.【答案】10【解析】过点A 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，由题意可得：AD=EF=6m ，AE=DF=4m ，∵背水坡AB 和迎水坡CD 的坡度都是1：0.5，∴BE=FC=2m ，∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m ）．故答案为10．15．已知△ABC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，13DE BC =．如果设AB a = ，DE b = ，那么AC =．（用向量a 、b的式子表示）【答案】3a b+【解析】如图，//DE BC ，13DE BC =，DE b = ，∴3BC b =，AC AB BC =+，∴3AC a b =+，故答案为3a b +r r．16．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，掷一次骰子，掷的点数大于2的概率是．【答案】23【解析】∵在这6种情况中，掷的点数大于2的有3，4，5，6共4种结果，∴掷的点数大于2的概率为4263=，故答案为：23.17．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为．【答案】3【解析】如图，∵S △ABC =16、S △A′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴14.52A DE A EF S S ''== ，182ABD ABC S S == ，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E ∥AB ，∴△DA′E ∽△DAB ，则2A DE ADBS A D AD S '⎛⎫ ⎝⎭'⎪ ＝，24.518A D A D '⎛⎫ ⎪'+⎝⎭＝，解得A′D=3或37A D ¢=-（舍），故答案为3．18．如果当a≠0，b≠0，且a≠b 时，将直线y=ax+b 和直线y=bx+a 称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：．【答案】3,31y x y x =+=+【解析】把（1,4）代入y ax b =+得：a+b=4又因为0a ≠，0b ≠，且a b ≠，所以当a=1是b=3所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：3,31y x y x =+=+故答案为3,31y x y x =+=+.第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：11213812221-⎛⎫+-+- ⎪-⎝⎭．【解析】原式＝23(21)2221++-+-＝2+32+3﹣222+﹣1＝224+．（10分）20．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y ＝6x经过第一象限内的点A ，延长OA 到点B ，使得BA ＝2AO ，过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为点H ，交双曲线于点C ，点B 的横坐标为6．求：（1）点A 的坐标；（2）将直线AB 平移，使其经过点C ，求平移后直线的表达式．【解析】（1）作AD ⊥x 轴，垂足为D ，∵BH ⊥x 轴，AD ⊥x 轴，∴∠BHO ＝∠ADO ＝90°，∴AD ∥BH ，∵BA ＝2AO ，12OD OA DH AB ∴==，∵点B 的横坐标为6，∴OH ＝6，∴OD ＝2，∵双曲线y ＝6x经过第一象限内的点A ，可得点A 的纵坐标为3，∴点A 的坐标为（2，3）；（2）∵双曲线y ＝6x上点C 的横坐标为6，∴点C 的坐标为（6，1），由题意得，直线AB 的表达式为32y x =,∴设平移后直线的表达式为32y x =+b ，∵平移后直线32y x =+b 经过点C （6，1），∴3162=⨯+b 解得b ＝﹣8，∴平移后直线的表达式32y x =-8．21．（10分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB 的坡比i ＝1：2.4，AC 的长为7.2米，CD 的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D 到AB 的距离）．【解析】如图，延长CD 交AB 于E ，∵i ＝1：2.4，∴15tan CAB 2.412∠==，∴512CE AC =，∵AC ＝7.2，∴CE ＝3，∵CD ＝0.4，∴DE ＝2.6，过点D 作DH ⊥AB 于H ，∴∠EDH ＝∠CAB ，∵5tan CAB 12∠=，∴12cos EDH cos CAB 13∠=∠=，12DH DE cos EDH 2.6 2.413=⨯∠=⨯=.答：该车库入口的限高数值为2.4米．22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD 中，过AC 的中点M 作EF AC ⊥，分别交AD 、BC 于点E 、F .（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）如果2·CD BF BC =，求BAF ∠的度数.【解析】()1证明： 四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，12∠∠∴=，点M 为AC 的中点，AM CM ∴=．在AME 与CMF 中，12AM CM AME CMF ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，AME ∴≌()CMF ASA ，ME MF ∴=．∴四边形AECF 为平行四边形，又EF AC ⊥ ，∴平行四边形AECF 为菱形；()2解：2CD BF BC =⋅ ，CD BC BFCD∴=，又 四边形ABCD 为矩形，AB CD ∴=，AB BCBF AB∴=又ABF CBA ∠∠= ，ABF ∴ ∽CBA ，23∠∠∴=，四边形AECF 为菱形，14∠∠∴=，即134∠∠∠==，四边形ABCD 为矩形，13490BAD ∠∠∠∠∴=++=，∴即130∠= ．23．（12分）如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．（1）求证：12DHO BCD ∠=∠；（2）求证：2HG AE DE CG = ．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠，DH AB ⊥ ，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒ ，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．（2）//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，又DHO DCA ∠=∠ ，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆∽CGO ∆，OG CGDE AE∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=，∴2HG AE DE CG = ．24．（12分）已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于63时，求点N 的坐标.【解析】（1）把点A （-1，-2），B （0,1），代入2y x bx c =-++得2=11b c c ---+⎧⎨=⎩，解得=21b c ⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为()12P ，.（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得131m =+，231m =-+（舍去）；∴()2132y x =-++，得顶点()3,2P '-连结P B '，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得3P H '=,HB=1，P’B=31+=2∵tan 3P HP BH BH ∠='=',∴60P BH ∠=' ,∴18060120P BB ∠=-=''.②∵2BB '=,2P B '=即BB P B '=',∴30BP B P B B ''''∠=∠= ;∵线段P B ''以点B '为旋转中心顺时针旋转120 ，点P '落在点M 处;∴90OB M ∠=' ,B M B P '=''∴//MB x '轴，23B M B P ''='=;设MNB ∆'在B M '边上的高为h ，得：632MNB B M h S '∆⋅'==，解得6h =；∴设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++得2721a a -=-++解得：4a =或2a =-∴()47N -，或()27N --，，2521a a =-++方程无实数根舍去，∴综上所述：当63MNB S '∆=时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.25．（14分）如图，已知△ABC ，AB=2，3BC =，∠B=45°，点D 在边BC 上，联结AD ，以点A 为圆心，AD 为半径画圆，与边AC 交于点E ，点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ．（1）设BD 为x ，点D 、F 之间的距离为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E 是 DF 的中点，求:BD CD 的值；（3）联结CF ，如果四边形ADCF 是梯形，求BD 的长．【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB =2，∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos ADDF x x ADF ==-+∠．∴2442y x x =-+．()03x ≤≤;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC =+=．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQDCQ CQ ∠=．在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AHACH HC ∠==．∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQCQ =．设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵35k =，53k =，∴2253DC DQ CQ =+=．∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =．（3）如果四边形ADCF 是梯形则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合．∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴ABADDF DC =．∵2DF AD =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即()222-23x x x +=-,整理得210x x --=，解得152x ±=（负数舍去）．综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+52．。
2024年上海中考数学模拟练习卷十九及参考答案
上海市2024年中考数学模拟练习卷19（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。
写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）1．下列运算正确的是（）A =B ．224235a a a +=C ．234()ab ab =D ．()()2236x x x x +-=--2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）A ．52.9710⨯B ．62.9710⨯C ．52.9710-⨯D ．62.9710-⨯3．已知a 是方程2210x x --=的解，则代数式224a a -的值为（）A ．2B ．1-C ．1D ．2-4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A ．众数B ．方差C ．平均数D ．频数5．下列命题中，错误的是（）A ．一组对边平行的四边形是梯形；B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C ．对角线相等的平行四边形是矩形；D ．一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知其中90CAD ACB ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，45B ∠=︒则以下结论中，正确的是（）A ．::AD BC AE CE=B ．CD =C ．BC =D ．:2:3CD AB =二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．化简：113a a-=．8化成幂的形式是．9．方程40x x +=二项方程（填“是”或不是）10．已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =．11．如果反比例函数(k y k x=是常数，0)k ≠的图象经过点(-1，3)，那么当0x >时，y 的值随x 的值增大而.(填“增大”或“减小”)12．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有x 人，y 辆车，可列方程组为．13．为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼条．14．如图，在正方形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为．15．如图，已知点M 是ABC 边BC 上一点，设AB a = ，AC b =，如果2355AM a b =+ ，那么BMMC=．16．如图，O 是Rt ABC 的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，,AE CB 的延长线交于点F ．如果3,8OD AB ==，那么FC 的长是．17．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，将BCE 沿直线CE 翻折后，点B 落在点M 处，连接AM 并延长与边CD 交于点N ，那么:AM MN 的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．计算：112112cot 302-⎛⎫-︒-- ⎪⎝⎭20．解不等式组：632,22(1)511,x x x x +⎧-≤⎪⎨⎪+<+⎩并把解集在数轴上表示出来．21．如图，由正比例函数y =-x 沿y 轴的正方向平移4个单位而成的一次函数y =-x +b 的图像与反比例函数y =kx（k ≠0）在第一像限的图像交于A （1，n ）和B两点．(1)求一次函数y =-x +b 和反比例函数的解析式；(2)求△ABO 的面积．22．如图，某地下车库的入口处有斜坡AB ，它的坡度为1:2i =，斜坡AB的长为，斜坡的高度为()AH AH BC ⊥，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14︒（图中的14ACB ∠=︒）．(1)求车库的高度AH ；(2)求点B 与点C 之间的距离（结果精确到1m ，参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈）．23．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，连接EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：EF ABBF DB=；（2）如果22BD AD DF =⋅，求证：平行四边形ABCD 是矩形．24．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．25．如图1，在梯形ABCD 中，90,,4,5, 2.ABC AD BC AB BC AD ︒∠====∥动点P 在边BC 上，过点P 作PF CD ，与边AB 交于点F ，过点F 作FE BC ，与边CD 交于点E ，设线段BP x PF y ==，．(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；(2)当PFE △是以PE 为腰的等腰三角形时，求BP 的值；(3)如图2，作PEF !的外接圆O ，当点P 在运动过程中，外接圆O 的圆心O 落在PEF !的内部不包括边上时，求出BP 的取值范围．参考答案：一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）123456DDABAC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．23a8．236-9．不是10．411．增大12．()3229y x x y ⎧-=⎨=+⎩13．24014．4915．3216．1017．512或111218．2:3三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．解：112112cot 302-⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭=21)-=21-1=-20．解：63222(1)511x x x x +⎧-≤⎪⎨⎪+<+⎩①②，解不等式①得：2x ≤，解不等式②得：3x >-，在数轴上表示不等式的解集如图，∴不等式组的解集为：32x -<≤，21．（1）解：∵正比例函数y =-x 沿y 轴的正方向平移4个单位得到一次函数y =-x +b ，∴一次函数的解析式为y =-x +4．∵点A （1，n ）在直线y =-x +4上，∴n =3，∴A （1，3）．∵点A （1，3）在反比例函数y =kx（k ≠0）的图像上，∴k =1×3=3，∴反比例函数的解析式为y =3x；（2）解：解方程：-x +4=3x，解得：x =1或x =3，∴B （3，1）．设直线y =-x +4与x 轴的交点为M ，与y 轴的交点为N，∴M （4，0），N （0，4），∴S △AOB =S △MON -S △AON -S △BOM =12×4×4-12×4×1-12×4×1=4．22．（1）根据题意，得12AH BH =．所以，sin AH ABH AB ∠==．所以，()sin 6m AH AB ABH =∠= ．所以，车库的高度AH 为6m ．（2）根据题意，得()212m BH AH ==，()624m tan tan14AH CH ACB ==≈∠︒．所以，()241212m BC CH BH =-≈-≈．所以，点B 与点C 之间的距离为12m ．23．证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD//BC ，AB//DC,∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BEF+∠DEF=180°，∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF ，∵∠DEF=∠ADC ，∴∠BAD=∠BEF ，∵AB//DC ，∴∠EBF=∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴；（2）∵△ADB ∽△EBF ，∴，在平行四边形ABCD 中，BE=ED=，∴，∴，又∵，∴，△DBF 是等腰三角形，∵，∴FE ⊥BD ，即∠DEF=90°，∴∠ADC=∠DEF=90°，∴平行四边形ABCD 是矩形.24．（1）解：∵抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．∴4272550b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线为：()224529y x x x =--=--，∴顶点坐标为：()2,9M -．（2）如图，令2450x y x --==，解得：11x =-，25x =，∵抛物线与x 轴交于()1,0B -，()5,0C ，∴6BC =，抛物线的对称轴为直线2x =，设抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为()2,0，3BH =，由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH ==∴点F 的坐标为(，tan FBH ∠∴60FBH ∠=︒，由翻折得1302EBH FBH ∠=∠=︒，∴tan 303EH BH =︒=⨯∴点E 的坐标为(；（3）连接CF ，∵BF BC =，60FBC ∠=︒，则FCB 为等边三角形，∵PCQ △，FCB 为等边三角形，∴C P C Q =，CB CF =，60FCB PCQ ∠=∠=︒，∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，FH BC ⊥，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BQ 与x 轴相交于点K ，∴tan 303OK OB =︒= ．∴点K的坐标为0,3⎛- ⎝⎭．设直线BQ 的函数表达式为y mx n =+，则0m n n -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BQ的函数表达式为33y x =--．25．（1）解：如图所示：过点C 作CQ AD ⊥交AD 延长线于点Q ，再过点D 作垂线DN BC ⊥交EF 于点M ，交BC 于点N，90//ABC AD BC ∠=︒ ，，∴四边形ABCQ 是矩形，453AB CQ AQ BC DQ AQ AD ∴=====-=，，，在Rt DQC △中，由勾股定理得：5DC ==，又////PF CD EF BC ，，∴四边形FPCE 是平行四边形，5PF CE y EF PC x ∴====-，，//DM EF DN BC EM NC ⊥⊥ ，，，DEM ∴ DCN ∽，DE ME DC NC∴=，55233DE DC CE y ME EF MF x x NC ∴=-=-=-=--=-=，，，5353y x --=，化简得：53y x =，P 点在BC 上运动，故定义域为：05x ≤≤；（2）如图所示，此时PFE △是以PE 为腰的等腰三角形，过点E 作EQ BC ⊥交BC 于点Q ，//EF BQ EQ BC ⊥ ，，∴四边形EFBQ 是矩形，又PFE 是以PE 为腰的等腰三角形，PE PF y ∴==，由（1）得2253y x BF y x ==-，5BQ EF PC x ===- ，52QC BC BQ x EQ BF PQ PC QC x ∴=-===-=-，，，在Rt PEQ 中，由勾股定理得：222PE PQ QE =+，222252y x y x ∴=-+-（）（），即2320250x x -+=，解得：x 的值为5或53，因此，BP 的值为5或53；（3）解：分析P 点运动过程可知，EPF ∠随P 点向右运动角度不断减小，且PEF ∠和PFE ∠始终是锐角．根据题意，令点P 的位置满足90EPF ∠=︒，则BP 大于此时对应的长度就可使得外接圆圆O 的圆心O 落在PEF !的内部．如下图所示，此时90EPF ∠=︒，9090ABC EPF ∠∠=︒=︒ ，，9090BFP BPF EPC BPF ∠∠∠∠∴+=︒+=︒，，BFP EPC ∠∠∴=（同角的余角相等），同理可得：BPF ECP ∠∠=，BFP ∴ ∽EPC ，BPPFEC CF ∴=，5x yy x ∴=-，53y x = ，解得：4534x =，综上可得，当45534BP <≤时，外接圆圆O 的圆心O 落在PEF !的内部．。
02初三数学四校自主招生A班 自主招生模拟训练(3)(教师)
F自主招生模拟训练（3）1. （2014华二）有一个多项式，除以322-x ，商式是47-x ，余式是25+-x ，则该多项式为 。
解：1426814)25()47)(32()(232+--=+-+--=x x x x x x x f 。
2. （2015复附）若n x x x x 、、、、Λ321只能取102、、-，且满足1721-=+++n x x x Λ，3722221=+++n x x x Λ，则=+++33231n x x x Λ。
解：设n x x x x 、、、、Λ321有a 个2-，b 个0，c 个1。
则⎩⎨⎧=+-=+-374172c a c a ，解得⎩⎨⎧==19c a∴71833231-=+-=+++c a x x x n Λ。
3. （2014华二）有一张长方形纸片，其长为a ，宽为b )(b a >，先将这张纸片按下右图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足的关系为 。
B解：设x BC =，易知b BE 4=，b x CE 4-=，a CF DG ==，b DF 3=，a x AG -=，∴ab x a b b x a a x b S +-=---=)3()4()(3， ∵当BC 的长改变时，S 不变， ∴03=-a b ∴b a 3=。
4. （2014上中）有 个实数x ，可以使得x -120为整数？解：设n x =-120（n 为自然数）； ∴2120n x -=；∵221112010<<；∴不大于120的平方数有11个（n 可取10,,2,1,0Λ）； 则有11个实数x ，可以使得x -120为整数。
5. （2014上中）设201310075332112222++++=Λa ，201510077352312222++++=Λb ，则以下四个选项中最接近b a -的整数为（ ）252.A 504.B 1007.C 2013.D解：=-b a -++++)20131007533211(2222Λ)20151007735231(2222++++Λ 20151007)2013100620131007()5253()3132()1011(222222222--++-+-+-=Λ201510072013)10061007()10061007(3)12()12(1)01()01(2--⨯+++-⨯++-⨯+=Λ20151007111211007-+++=4434421Λ个201510081007)201510071(10072015100710072⨯=-⨯=-=∵2150321007201610081007201510081007==⨯>⨯；50421008201410081007201510081007==⨯<⨯∴50421503<-<b a ∴最接近b a -的整数为504； 故选B .BCABCA6. （2015复附）如图，⊙2O 是等腰△ABC 的内切圆，⊙1O 与⊙2O 外切且与AC AB 、相切，⊙1O 与⊙2O 的半径分别为21、，求△ABC 的面积。
上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图1，与为等腰直角三角形，与 重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2． （1）证明：；（2）当为何值时，是等腰三角形？2．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．3．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长． 4．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）5．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．6．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．7．如图1，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于(3,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．点D 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ．设点D 的横坐标为(04)m m <<．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）线段DE 的长用含m 的式子表示为 ；（3）以DE 为边作矩形DEFC ，使点F 在x 轴负半轴上、点G 在第三象限的抛物线上． ①如图2，当矩形DEFC 成为正方形时，求m 的值；②如图3，当点O 恰好是线段EF 的中点时，连接FD ，FC ．试探究坐标平面内是否存在一点P ，使以P ，C ，F 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．（1）如图，函数1F 为1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，①当b t b=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．11．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ．(1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时，①求证：四边形DENM 是菱形；②求证：BM ＝AB ；(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC AC ．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2， 求12S S 的最大值；②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由13．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）（1）求k 的值（2）若△ABD 的面积为4；①求点B 的坐标，②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是x ＝32-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12MB 的最小值以及此时点M 的坐标.16．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC 是“近直角三角形”，∠B ＞90°，∠C ＝50°，则∠A ＝ 度；（2）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4．若BD 是∠ABC 的平分线， ①求证：△BDC 是“近直角三角形”；②在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得△BCE 也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为AC 边上一点，以BD 为直径的圆交BC 于点E ，连结AE 交BD 于点F ，若△BCD 为“近直角三角形”，且AB ＝5，AF ＝3，求tan ∠C 的值．17．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．18．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．19．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a= ；(2)求矩形DEFG面积的最小值；为等腰三角形时，求t的值．(3)当CDG20．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析（2）当或或时，△AGH是等腰三角形【解析】试题分析：（1）根据∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，利用相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，即可证出相似；（2）以∠GAH＝45º这个角为等腰三角形的底角还是顶角进行分类讨论，从而得到本题答案.试题解析：（1）∵△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，∴∠B=∠EDF=45°在△AGC和△HAB中∵∠ACG=∠B=45°，∠HAB=∠BAG+∠GAH =∠BAG+45°=∠CGA∴△AGC∽△HAB（2）①当∠GAH＝45º是等腰三角形的底角时，如图可知：；②当∠GAH＝45º是等腰三角形的顶角时，如图：在△HGA和△AGC中，∵∠AGH＝∠CGA，∠GAH＝∠C＝45º，∴△HGA∽△AGC，∵AG＝AH，∴③如图，G与B重合时，符合要求，此时CG=BC=∴当或或时，△AGH是等腰三角形．点晴：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形（等腰直角三角形）的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，在第（2）中，要利用在旋转的过程中，△AGH中始终不变的角∠GAH＝45º为切入点，以这个角是等腰三角形的底角还是顶角为分类点进行分类讨论，要注意当∠GAH＝45º为底角时有两种情况，不要漏掉其中的任何一种，要做到不重不漏，才能做好分类讨论这一问题.2．（1）点P的坐标为132⎛⎝⎭；（2）①34O D t'=-，t的取值范围是423t<<；343S≤≤【解析】【分析】（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得1122OH OP ==，进而用勾股定理可得HP ==，点P 的坐标即求出； （2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-，又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423t <<； ②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22CQ DQ t ==-，(34)22CD DQ t ==-,进而可得222''3124))48877POQ CDQ S S S t t =-=--=--+，又已知t 的取值范围是13t ≤≤S ≤≤ 【详解】解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．90OAB ∠=︒，30B ∠=︒9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．在Rt OHP △中，1OP =，1122OH OP =∴=，HP =．∴点P 的坐标为12⎛ ⎝⎭．（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，O P OP '∴=，O Q OQ '=．又OQ OP t ==，O P OP OQ O Q t ''∴====．∴四边形OQO P '为菱形．//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．点()2,0A ，2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．O D O Q QD ''=-，34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形， ∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，∴11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22CD DQ t ==-, ∴222''33731243(34)()48877POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+， ∵13t ≤≤，∴34387S ≤≤． ，【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．3．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231-或CM =123+【解析】【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C 在抛物线上，∴103664b c =-⨯++， 得到6=9b c +，又∵对称轴2x =，∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =，∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++； （2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x=-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0），∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32， 点M 的坐标为（32，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴22(12)(50)m m --+--221634m m -+又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴22(14)(52)m m --+--221634m m -+∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时， 把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．4．（1）3,5m n =-=；（2）30ACE S =；（3）①点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②圆心P 移动的路线长=2558【解析】【分析】（1）令2130,4y x x =--=求出点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B （0，-3）代入34y x m =-+，从而可得答案； （2）记AC 与y 轴的交点为H ，利用()1.2ACE A C S BH x x =••-即可求解； （3）①分当点P 落在CA 上时，点P 落在AE 上时，点P 落在CE 上时三种情况讨论即可； ②分E 在D 和B 点两种情况，求出圆心12,P P 点的坐标，则圆心P 移动的路线长=12PP ，即可求解．【详解】解：（1）令2130,4y x x =--= 24120,x x ∴--=()()260,x x ∴+-=122,6,x x ∴=-=∴ 点A （6，0），把点C （-4，n ）代入在抛物线方程， 解得：()()214435,4n =⨯----= ()4,5C ∴-，把点B （0，-3）代入34y x m =-+， 解得：3m =-，则：直线l ：334y x =--，…① 3,5,m n ∴=-=（2）由（1）知：A （6，0）、B （0，-3）、C （-4，5）、 AC 中点为51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭设AC 为：,y kx b =+6045k b k b +=⎧∴⎨-+=⎩解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ AC ∴所在的直线方程为：132y x =-+， 如图，AC 与y 轴交点H 坐标为：（0，3），()1161030.22ACE A C S BH x x ∴=••-=⨯⨯=（3）如下图： ①当点P 落在CA 上时， 圆心P 为AC 的中点51,,2⎛⎫ ⎪⎝⎭其所在的直线与AC 垂直， 1,2AC k =- AC ∴的垂直平分线即圆心P 所在的直线方程为：2,y x a =+ 把51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得：52,2a =+ 1,2a ∴= 122y x ∴=+…②， 334122y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩①② 解得：1611,5322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩E 的坐标为1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 当点P 落在AE 上时， 设点3,3,4E m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 则点P 的坐标633,282m m +⎛⎫--⎪⎝⎭， 则PA=PC ，2222633633645282282m m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得：64,11m =-故点6415,.1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭当点P 落在CE 上时， 则PC=PA ，同理可得：36,11m = 故点3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，点E 的坐标为：1653,1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭或6415,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3660,1111E ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当E 在D 点时，作AD 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于1P 点，则156,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1P 的纵坐标为15,4- 代入②式，解得：11715,,84P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 同理当当E 在B 点时， 作AB 的垂直平分线交AC 的垂直平分线于2P 点， ()()6,0,0,3,A B -AB ∴的中点为：33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设AB 为：y ex f =+， 603e f f +=⎧∴⎨=-⎩解得：123e f ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴ AB 直线方程为：132y x =-， 设AB 的垂直平分线方程为：12,y x b =-+1323,2b ∴-⨯+=- 192b ∴=，∴AB的垂直平分线方程为：92,2 y x=-+122922y xy x⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩解得：152xy=⎧⎪⎨=⎪⎩251,,2P⎛⎫∴ ⎪⎝⎭则圆心P移动的路线长=221217515251 5.8248PP⎛⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭255【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．5．（1）2122y x x=-+，点B（2，2）；（2）m=2或209m=；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ．解得：12m=，20m=（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．6．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =，PM PN ⊥ 故答案为：PM PN =；PM PN ⊥． （2）等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可得BAD CAE ∠=∠， 又AB AC =，AD AE = ∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点 ∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠， ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系． 7．（1）211433=--y x x ， (0,4)C -；（2）4m -；（3）①m 的值为54；②存在；点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55--或42(,)55． 【解析】 【分析】（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可求出a 、b 的值，进而可得到抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+即可求出解析式的表达式，令x=m ，即可得到线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -；（3）①由点D 的横坐标为m ，且04m <<，可得OE m =，再根据四边形DEFG 是正方形求出点G 的坐标，代入函数解析式即可求出m 的值；② 利用①中的方法求出点D 的坐标、CF 、CD 的值，再分不同情况讨论，利用两点间距离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可. 【详解】（1）将(3,0)A -、(4,0)B 代入24y ax bx =+-中，得934016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解，得1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的表达式为211433=--y x x ． 将0x =代入，得4y =-， ∴点(0,4)C -．（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将点(4,0)B 、(0,4)C -代入可得，404k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得14k b =⎧⎨=-⎩， ∵直线BC 的表达式为4y x =-， 当x=m 时，4y m =-，即线段DE 的长用含m 的式子表示为4m -. 故答案为：4m -；（3）①∵点D 的横坐标为m ，且04m <<， ∴OE m =，∵四边形DEFG 是正方形， ∴4DE EF FG m ===-，∴442OF EF OE m m m =-=--=-， ∵点G 在第三象限，∴点G 的坐标为(24,4)m m --， ∵点G 在抛物线211433=--y x x 上， ∴211(24)(24)4433m m m ----=-，解14m =（不符合题意，舍去），254m =， ∴当矩形DEFG 成为正方形时，m 的值为54． ②存在；理由如下： 由①可知FG=DE=4-m ， ∵点O 是线段EF 的中点， ∴点G 的坐标为（-m ，m -4）， ∵点G 在抛物线211433=--y x x 上， ∴211(24)(24)4433m m m ----=-，解10m =（不符合题意，舍去），22m =， ∴点D 的坐标为（2，-2）， ∴222425CF =+=，22(20)(24)22CD =-+-+=，如图，设点的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：I 、当位于点P 时，可得PF=CD ，PC=CF ， ∴22(2)25PF x y =++=22(4)22PC x y =++=解得1142x y =-⎧⎨=-⎩，224525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不合题意，舍去），∴点P 的坐标为(4,2)--；II 、当位于点P '时，方法同I 可得点P 的坐标为1422(,)55--； III 、当位于点P ''时，方法同I 可得点P 的坐标为42(,)55；综上，点P 的坐标为(4,2)--或1422(,)55--或42(,)55． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三角形的性质，解本题的关键是确定函数关系式． 8．（1）4；（2）1；（3）①1OPQ S ∆=；②322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩． 【解析】 【分析】（1）由题意，先求出2F 的解析式，再求出P 、Q 两点的坐标，即可求出PQ 的长度； （2）由题意，先求出2F 的解析式，结合PQ 的长度，即可求出t 的值；（3）①根据题意，先求出2F 的解析式，然后求出点P 和点Q 的纵坐标，得到PQ 的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；②根据题意，先求出函数1F 和2F 的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当02c <≤时，以及当2>c 时，分别求出h 与c 的关系式即可． 【详解】解：（1）∵函数1F 为1y x =+，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，∴函数2F 为1y x =-+， 当2x t ==时，有 121=3y =+； 2211y =-+=-；∴点P 为（2，3），点Q 为（2，1-）， ∴PQ 的长为3(1)4PQ =--=； 故答案为：4； （2）∵函数1F 为3y x=，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称， ∴函数2F 为3y x=-； ∵(0)x t t =>，∴点P 在第一象限，点Q 在第四象限， 设点P 为（t ，3t），点Q 为（t ，3t -），∵6PQ =， ∴33()6t t--=，解得：1t =； 故答案为：1；（3）①∵函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，∴函数2F 为：2()()y a x b x c =•-+•-+，即2y ax bx c =-+；∵t b=，∴把t b=代入函数1F，则2(a y abc c b b b =•+•+=+；把t b=代入函数2F，则2a y a b c c b =•+=-；∴()a aPQ c c b b=+-=∴112OPQ S ∆==； ②由①可知，函数1F 为2y ax bx c =++，函数2F 为2y ax bx c =-+，∵函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，∴25500a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得：1545a c b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴函数1F 可化为：2455c c y x x c =-++，函数2F 可化为：2455c cy x x c -=-+； ∴函数1F 的对称轴为：4522()5c x c=-=⨯-，函数2F 的对称轴为：4522()5cx c -=-=-⨯-， ∵0c >，则05a c=-<，则函数1F ，函数2F 均是开口向下；∴函数1F 在02x <<上，y 随x 增大而增大，在2x >上是y 随x 增大而减小； 函数2F 在2x >-上，y 随x 增大而减小；∵1c x c ≤≤+，0c >， 当02c <≤时，则函数1F 在2x =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则 ∴244(42)[(1)(1)]5555cc c ch c c c c =-⨯+⨯+--•+-•++， 即32169555h c c c =++（02c <≤）； 当2>c 时，则函数1F 在x c =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则2244()[(1)(1)]5555c c c ch c c c c c c =-•+•+--•+-•++，即22h c c =+（2>c ）；综合上述，h 关于c 的函数解析式为：322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ------，，，，，， 【解析】 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解；（3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得 1||2PAB B A S PFx x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③，当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝E （-3，-4-3，-②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3，故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(34--，或(34--，或（1，−3）．∴存在，1234(12)(34(34(13)E E E E ------，，，，，，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）21(6)33y x =--；（2）3）32【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9）， ∴90{369a k a k +=+=， 解得：1 {33a k ==- ∴y=13（x-6）2-3．（2）连接AE；∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴DE=33．（3）当BF⊥ED时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴AE ADBF BD=，即363 BF=，∴BF=32；当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD，∴AE EDBF BD=，即BF=333=；∴BF的长为32或3．考点：二次函数综合题．11．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）见解析【解析】【分析】。
上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
上海复旦初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数；（2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证△NAQ ∽△APQ ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）2．已知函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++均为一次函数，m 为常数．（1）如图1，将直线AO 绕点()1,0A -逆时针旋转45°得到直线l ，直线l 交y 轴于点B ．若直线l 恰好是1221,(21)1y x m y m x =+-=++中某个函数的图象，请直接写出点B 坐标以及m 可能的值；（2）若存在实数b ，使得||(1)10m b b ---=成立，求函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++图象间的距离；（3）当1m 时，函数121y x m =+-图象分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点，(21)1y m x =++图象交x 轴于D 点，将函数11y y y =的图象最低点F 向上平移5621m +个单位后刚好落在一次函数121y x m =+-图象上，设12y y y =的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形面积为S ，试利用初中知识，探究S 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）3．已知点P(2，﹣3)在抛物线L ：y ＝ax 2﹣2ax+a+k （a ，k 均为常数，且a≠0）上，L 交y 轴于点C ，连接CP ．（1）用a 表示k ，并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标；（2）当L 经过(3，3)时，求此时L 的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a ＜0时，若L 在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a 的取值范围；（4）点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是L 上的两点，若t≤x 1≤t+1，当x 2≥3时，均有y 1≥y 2，直接写出t 的取值范围．4．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF ＝EF ；（2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．5．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．（1）求证：AB =AC ；（2）①证明：GE =EC ；②若BC =8，OG =1，求EF 的长．6．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．（1）如图，函数1F 为1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____； （2）函数1F 为3y x=，当6PQ =时，t 的值为______； （3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，①当b t b=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．7．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B 的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M 在原抛物线上，平移后的对应点为N ，若OM ON =，求点M 的坐标； （3）如图2，直线CB 与平移后的抛物线交于F ．在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以,,C F P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m ，n 上（点A 在点B 的右侧），点P 在直线m 上，AP ＝13AB ，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，连接AC 交直线n 于点E ，连接PC ，且ABE 为等边三角形．（1）如图①，当点P 在A 的右侧时，请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ，AP 与EC 的数量关系是 ．（2）如图②，当点P 在A 的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P 在A 的左侧时，若△PBC 的面积为934，求线段AC 的长．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．11．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．12．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2m y x =（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值；(3) 如图2，函数2m y x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB 的值.13．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20n y n x =<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.14．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长；（3）若CF 的长为34． ①求O 的半径长；②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．15．如图1，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC =，23BC =，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点,A C 在x 轴的负半轴上（点C 在点A 的右侧），顶点B 在第二象限，将ABC ∆沿AB 所在的直线翻折，点C 落在点D 位置（1）若点C 坐标为()1,0-时，求点D 的坐标；（2）若点B 和点D 在同一个反比例函数的图象上，求点C 坐标；（3）如图2，将四边形BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形1111B C A D ，过点1D的反比例函数(0)k y k x=≠的图象与CB 的延长线交于点E ，则在平移过程中，是否存在这样的k ，使得以点1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点11,,D B E 在同一条直线上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由16．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．17．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．18．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）．（1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)m y x x =>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)n y x x=>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．（1）当4m =，20n =时，①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________．②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积．③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．20．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC +ED 的最小值是 ．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析.【解析】【分析】【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，∴∠BAC=2∠BAD=40°．∵CF⊥AB，∴∠AFC=90°．∵E为AC中点，∴EF=EA=12 AC．∴∠AFE=∠BAC=40°．（2）① 当点P在边AB上是，补全图形如图当点P在AB的延长线上是，补全图形如图②Ⅰ、当点P在边AB上时，证明：想法1:如图3，连接DE.∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠PED=∠APE.∵∠ADC=90∘，E为AC中点，∴12 AE DE CE AC ===同理可证12 AE NE CE AC ===∴AE=NE=CE=DE.∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，∴∠PED=2∠MAD.∴∠APE=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE=NE=12 AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.Ⅱ、当点P在AB的延长线上时证明：想法1:连接DE．∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠1=∠APE．∵∠ADC=90°，E为AC中点，∴12AE DE CE AC===．同理可证12AE NE CE AC===．∴AE=NE=CE=DE．∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．∴∠1=2∠MAD．∴∠APE=2∠MAD．想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE =NE =12AC . ∴∠ANE =∠NAC =∠MAD +∠DAC =α+β.∴∠NEC =∠ANE +∠NAC =2α+2β.∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAC =2∠DAC =2β.∴∠APE =∠PEC −∠BAC =2α.∴∠APE =2∠MAD .想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，12∠∠∴=,AB AC AD BC =⊥BAD CAD ∴∠=∠12BAD CAD ∴∠-∠=∠-∠即∠3=∠4.34NAQ NAQ ∴∠+∠=∠+∠即PAQ EAN ∠=∠CN AM ⊥90ANC ︒∴∠=∵E 为AC 的中点，12AE NE AC ∴== ,ANE EAN PAQ ANE ∴∠=∠∠=∠AQP AQP ∠=∠~PAQ ANQ ∴2APE NAQ MAD ∴∠=∠=∠2．（1）（0,1）；1或0 （22（3）348131200010S << 【解析】【分析】（1）由题意，可得点B 坐标，进而求得直线l 的解析式，再分情况讨论即可解的m 值；（2）由非负性解得m 和b 的值，进而得到两个函数解析式，设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH ，证得四边形GPTH 是正方形，求出GP 即为距离；（3）先根据解析式，用m 表示出点C 、E 、D 的坐标以及y 关于x 的表达式为()221221421y y y m x m x m =⋅+++-=，得知y 是关于x 的二次函数且开口向上、最低点为其顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭,根据坐标平移规则，得到关于m 的方程，解出m 值，即可得知点D 、E 的坐标且抛物线过D 、E 点，观察图象，即可得出S 的大体范围，如：ODE S S<，较小的可为平行于DE 且与抛物线相切时围成的图形面积． 【详解】解：（1）由题意可得点B 坐标为（0,1），设直线l 的表达式为y=kx+1，将点A （-1,0）代入得：k=1，所以直线l 的表达式为：y=x+1, 若直线l 恰好是121y x m =+-的图象，则2m-1=1,解得：m=1，若直线l 恰好是2(21)1y m x =++的图象，则2m+1=1,解得：m=0，综上，()0,1B ，1m =或者0m =（2）如图，()110m b b ---=()110m b b ∴+--=0m ≥，10b -≥0m ∴=，10b -=0m ∴=11y x ∴=-，21y x =+设1y 与x 轴、y 轴交于T ，P ，2y 分别与x 轴、y 轴交于G ，H ，连接GP ，TH1OG OH OP OT ====，PH GT ⊥∴四边形GPTH 是正方形//GH PT ∴，90HGP ∠=︒，即HG GP ⊥2HP =2GP ∴=（3）121y x m =+-，()2211y m x =++121y x m =+-分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点()12,0C m ∴-，()0,21E m -()2211y m x =++图象交x 轴于D 点1,021D m -∴+⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22122121121421y y y x m m x m x m x m =⋅=+-++=+++-⎡⎤⎣⎦1m >210m ∴+>∴二次函数()2221421y m x m x m =+++-开口向上，它的图象最低点在顶点∴顶点()222212,2121m m F m m ⎛⎫- ⎪-- ⎪++⎝⎭ 抛物线顶点F 向上平移5621m +,刚好在一次函数121y x m =+-图象上 ()()2222156221212121m m m m m m -∴-+=-+-+++且1m2m ∴=2125163(3)(51)y y y x x x x =⋅=+=∴+++，∴13y x =+，251y x =+∴由13y x =+，251y x =+得到1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ， 由25163y x x =++得到与x 轴，y 轴交点是()3,0-，1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3， ∴抛物线经过1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E 两点 12y y y ∴=⋅的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形是封闭图形，则S 即为该封闭图形的面积探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．探究过程：①观察大于S 的情况．很容易发现ODE S S < 1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E11332510ODE S =⨯⨯=，310S ∴< （若有S 小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）②观察小于S 的情况．选取小于S 的几个特殊值来估计更精确的S 的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：位置一：如图当直线MN 与DE 平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN 与x ，y 轴分别交于M ，N1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3E ∴直线:153DE y x =+设直线1:15MN y x b =+25163y x x =++21530x x b ∴++-=()1430b ∴∆=-⨯-=，15920b =∴直线59:1520MN y x =+∴点59,0300M ⎛⎫- ⎪⎝⎭15959348122030012000OMN S =⨯⨯=∴，348112000S ∴> 位置二：如图当直线DR 与抛物线有唯一交点时，直线DR 与y 轴交于点R设直线2:DR y kx b =+，1,05D ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴直线1:5DR y kx k =+25163y x x =++()21516305x k x k +-∴+-= ()211645305k k ⎛⎫∴∆=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭，14k = ∴直线14:145DR y x =+∴点140,5R ⎛⎫ ⎪⎝⎭1141725525ODR S ∴=⨯⨯=，725S ∴> 位置三：如图当直线EQ 与抛物线有唯一交点时，直线EQ 与x 轴交于点Q设直线:3EQ y tx =+25163y x x =++()25160x t x +∴-=()2160t ∴∆=-=，16t = ∴直线:163EQ y x =+∴点3,016Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭139321632OEQ S =⨯⨯=∴，932S ∴> 348197120003225>> 我们发现：在曲线DE 两端位置时的三角形的面积远离S 的值，由此估计在曲线DE 靠近中间部分时取值越接近S 的值探究的结论：按上述方法可得一个取值范围348131200010S << （备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）k=-3-a ；对称轴x ＝1；y 轴交点(0，-3)；（2）2y=2x -4x-3，顶点坐标(1，-5)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2a x==12a--，并求得抛物线与y 轴交点； （2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2a x=-=12a，即x ＝1； 将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)； （2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中，∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ，∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5，∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，∴1＜-a-3≤2，∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．4．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD ＝22，r ＝32．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠EBC ＝∠ADC ＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出AG CG GD ==EF CF BF，等量代换即可得到结论； （2）证明∠PAO ＝90°，连接AO ，AB ，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；（3）连接AB ，根据圆周角定理得到∠BAC ＝∠BAE ＝90°，推出FA ＝FB ＝FE ＝FG ＝3，过点F 作FH ⊥AG 交AG 于点H ，推出四边形FBDH 是矩形，得到FB ＝DH ＝3，根据勾股定理得到FH ＝22，设半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵EB 是切线，AD ⊥BC ，∴∠EBC ＝∠ADC ＝90°，∴AD ∥EB ，（同位角相等，两直线平行）∴AG CG GD ==EF CF BF，（平行线分线段成比例） ∵G 是AD 的中点，∴AG ＝GD ，∴EF ＝FB ；（2）证明：连接AO ，AB ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，（直径所对圆周角为直角）在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，∴∠FBA＝∠FAB，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线；（3）如图2，连接AB，AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BAE＝90°，∵EF＝FB，∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，∵FA＝FG，FH⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，∴四边形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH2222--，AF AH=31=22∴BD＝22设半径为r，在Rt ADO中，AO=AD+OD，∵222r=4+(r-22)，解得：r＝32∴222综上所示：BD＝22r＝32【点睛】本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．5．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．【解析】【分析】（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，先证明OA ∥FC ，则有∠ACE=∠CAO ，由∠ABE=∠ACE ，然后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．【详解】解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，∵AF 是切线，∴∠FAO=90°=∠AFC ，∴OA ∥FC ，∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，∴∠AOB=∠AOC ，∴AB=AC ；（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，∴∠BCE=90°，∴BE 是直径，∵CD ⊥AB ，∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，∵∠DAC=∠BEC ，∴∠ACD=∠EBC ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，∴∠EGC=∠ECG ，∴EG=EC ；②作OM ⊥CE 于点M ，如图：则四边形AOMF 是矩形，∴AO=FM ，∵OG=1，设GE=EC=r+1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得222BE BC CE =+，∴222(2)8(1)r r =++，解得：=5r （负值已舍去），∴AO=FM=5，EC=6，∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．【点睛】本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．6．（1）4；（2）1；（3）①1OPQS ∆=；②322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩． 【解析】【分析】（1）由题意，先求出2F 的解析式，再求出P 、Q 两点的坐标，即可求出PQ 的长度； （2）由题意，先求出2F 的解析式，结合PQ 的长度，即可求出t 的值；（3）①根据题意，先求出2F 的解析式，然后求出点P 和点Q 的纵坐标，得到PQ 的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；②根据题意，先求出函数1F 和2F 的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当02c <≤时，以及当2>c 时，分别求出h 与c 的关系式即可．【详解】解：（1）∵函数1F 为1y x =+，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，∴函数2F 为1y x =-+，当2x t ==时，有121=3y =+；2211y =-+=-；∴点P 为（2，3），点Q 为（2，1-），∴PQ 的长为3(1)4PQ =--=；故答案为：4；（2）∵函数1F 为3y x =，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称， ∴函数2F 为3y x =-； ∵(0)x t t =>，∴点P 在第一象限，点Q 在第四象限，设点P 为（t ，3t ），点Q 为（t ，3t -）， ∵6PQ =， ∴33()6t t--=， 解得：1t =；故答案为：1；（3）①∵函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，∴函数2F 为：2()()y a x b x c =•-+•-+，即2y ax bx c =-+；∵t =，∴把t =1F ，则2a y a b c c b =•+=+；把t =代入函数2F ，则2a y a b c c b =•+=-；∴()a a PQ c c b b=+-=∴112OPQ S b∆=⨯=； ②由①可知，函数1F 为2y ax bx c =++，函数2F 为2y ax bx c =-+，∵函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，∴25500a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得：1545a c b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴函数1F 可化为：2455c c y x x c =-++，函数2F 可化为：2455c c y x x c -=-+； ∴函数1F 的对称轴为：4522()5c x c =-=⨯-， 函数2F 的对称轴为：4522()5cx c -=-=-⨯-， ∵0c >，则05a c =-<， 则函数1F ，函数2F 均是开口向下；∴函数1F 在02x <<上，y 随x 增大而增大，在2x >上是y 随x 增大而减小； 函数2F 在2x >-上，y 随x 增大而减小；∵1c x c ≤≤+，0c >，当02c <≤时，则函数1F 在2x =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则 ∴244(42)[(1)(1)]5555c c c c h c c c c =-⨯+⨯+--•+-•++， 即32169555h c c c =++（02c <≤）； 当2>c 时，则函数1F 在x c =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则2244()[(1)(1)]5555c c c c h c c c c c c =-•+•+--•+-•++， 即22h c c =+（2>c ）；综合上述，h 关于c 的函数解析式为：322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．7．（1）B 点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为2y=-x +2x+3；（2）点M 的坐标为(1+2-2)，或(1-2-2)，；（3）存在，1P (1,1)，2P (1,6)-，3P (12)，，4P (1,8)-，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式2y=-x +2x-1求出y 值，即可得到抛物线与y 轴交点B 的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON ，可知点M 的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线2y=-x +2x-1，即可求出x 值，点M 的坐标就可以表示出来． （3）要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C 、F 为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点1P 、2P 的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点3P 、4P 的坐标解．【详解】解：（1）抛物线2y=-x +2x-1与y 轴相交于点B ，将x=0代入，求得y=-1，∴B 点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为2y=-(x-h)+k ，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴2y=-(x-1)+4，即平移后的抛物线为22y=-(x-1)+4=-x +2x+3．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MN //y 轴，MN ⊥x 轴，又∵OM=ON ，MN=4，∴点O 在垂直平分线上，点M 、N 关于x 轴对称，∴M 点的纵坐标为–2，将y=-2代入2y=-x +2x-1，得：222-x +2x-1=-2-(x -2x+1)=-2(x-1)=2x=12± 解得：x=12±，∴点M 的坐标为(1+2-2)，或(1-2-2)，． （3）存在，且1P (1,1)，2P (1,6)-，3P (12)，，4P (1,8)-． 如图所示，点P 一共有四种结果，∵C 点为平移后的解析式与x 轴的左交点，将y=0代入2y=-x +2x+3，得x=-13或， ∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC 解析式为：y=kx+b ， ∴-k+b=0b=-1⎧⎨⎩，解得：k=-1b=-1⎧⎨⎩，即直线BC 解析式：y=-x-1， 根据题意可知，直线BC 与平移后的解析式相交于点F ，∴2y=-x-1y=-x +2x+3⎧⎨⎩，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)， ∵要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C 、F 为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P （因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°） ∴以C 、F 为直径的圆，圆心为线段CF 的中点(32，5-2)，直径为线段CF 的长52 ∴圆的方程为：222355x-+y+=2222()())，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6， 即1P (1,1)，2P (1,6)-， ∵直线CF 解析式：y=-x-1，即斜率k=-1，即直线CF 与x 轴夹角为45°，要使C 、F 、P 为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP 斜率为1，直线CP的解析式为：y=x+1，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为P(1,2)，3又∵直线CF解析式：y=-x-1，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P 为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP 斜率为1，直线FP的解析式为：y=x-9，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为P(1,-8)．4【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．8．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP ＝∠EBC ，∴△ABP ≌△EBC （SAS ），∴AP ＝EC ；（3）过点C 作CD ⊥m 于D ，∵将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ，∴△PBC 是等边三角形， ∴3293， ∴PC ＝3， 设AP ＝CE ＝t ，则AB ＝AE ＝3t ，∴AC ＝2t ，∵m ∥n ，∴∠CAD ＝∠AEB ＝60°，∴AD ＝12AC ＝t ，CD 33， ∵PD 2+CD 2＝PC 2，∴（2t ）2+3t 2＝9，∴t 37（负值舍去）， ∴AC ＝2t 67． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③，当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝6E （-3，-46-3，-6 ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤，此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3，故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(346)--，或(346)--，或（1，−3）． ∴存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最大值为5222【解析】【分析】（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角。
兰生复旦数学九年级自招培训试题精选2 汇编
兰生复旦九年级自招培训试题精选21、已知函数)32(3)5(22+≤≤+-+-=b x b x a x y 的图像关于y 轴对称，则b a +=_______2、已知函数)1(2)2(2-+--=k kx x k y 的图像与x 轴只有一个交点，则k=________3、已知实数m,n （其中mn ≠1）分别满足：01999,01991922=++=++n n m m ，则n m mn 14++=_______4、若关于x 的方程0)4)(2(2=+--m x x x 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是_______5、已知关于x 的方程0)1(2)12=+-+-a x x a （的根都是整数，则整数a 的值是_______6、已知常数a,b,c 满足：a ＜b ＜c ，则方程0))(())(())(=--+--+--a x c x c x b x b x a x （的两根取值范围是________7、已知c ax x f -=2)(，满足：5)2(1)1(4≤≤-≤≤-f f ，则)3(f 的取值范围是_______8、函数c bx ax y ++=2的图像关于任意直线l 对称后的图像仍然为某个函数图像，则实数a,b,c 的关系_________9、已知a 是正常数，且关于x 的方程2311212+-=-+-x x ax x x 仅有一个实数根，求实数a 的取值范围。
10、方程02)13(722=--++-k k x k x （k 为常数）有两实数根α和β，且0＜α＜1＜β＜2，求实数k 的取值范围。
11、已知函数f （x ），对于正整数k ，当2k-1＜x ≤2k+1时，f （x ）=（x-2k ）²，方程f （x ）=ax 在2k-1＜x ≤2k+1时有两个不想等的实根，求实数a 的取值范围。
12、设12x x ，分别是二次方程20ax bx c ++=和20ax bx c -++=的一个非零实根，且12,x x ≠求证：方程202a x bx c ++=必有一根在12x x ，之间。
复旦附中九年级中考自招数学试卷(含解析)
的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
17. 设 x 是实数，不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分，记作x ，如1.2 1， 3 3 ，
1.3 2 ，
（1） S
1
1
10 11 12 1112 12
10 11 1112
1
，求90S ；
2016 2017 12
2016 2017 （2）解关于ຫໍສະໝຸດ x的方程：x2
A
D
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． A
B
DC
8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足：19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ，则 mn 4m 1 ______________． n
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3
2020年上海市初三四校自主招生数学模拟试卷
自主招生数学模拟试卷一、 填空题（每题8分，共80分）1、 若关于x 的一元二次方程x 2+(3a −1)x +a +8=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1<1，x 2>1，则实数a 的取值范围为 .2、 设x =(√5+1)(√54+1)(√58+1)(√516+1)(x +1)48= .3、 小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟.4、 如果不等式组{7x −a ≥08x −b <0的整数解仅为1，2，3，那么合适这个不等式组的整数解a 、b 的有序实数对（a ，b ）共有 对.5、 已知平行四边形ABCD 的周长为52，自定点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，点E 、F 为垂足，若DE =5，DF =8，则BE +BF = .6、 请将112、16、14、13、512、12、712、23、34 填入以下方格，使得每行、每列、对角线的和都相等.7、 已知梯形的一条底边比另一条底边长100个单位，梯形两腰中点的连线把梯形分成面积比为2：3的两部分，这x 是连结梯形的两腰，平行于梯形底边，并分梯形为面积相等的两部分的线段长度，则x 2= .8、 在△ABC 中，AB =7，BC =8，CA =9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相较于点D 、E ，则DE 的长为 .9、 实系数二次多项式p （x ）满足对所有的实数x ，都有x 2−2x +2≤p (x )≤2x 2−4x +3, 已知p (11)=181，则p(16)= .10、如图，△ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c，a，b，c都是整数，且a、b的最大公约数为2，点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且∠GIC=90°，则△ABC的周长是 .二、解答题（共70分）11、（本题15分）若两个不相等的实数a、b，使得a2+b和a+b2都是有理数，称数对（a，b）是和谐的.（1）找出一对无理数，使得（a，b）是和谐的.（2）证明：若（a，b）是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a、b都是有理数.是有理数，则a、b都是有理数.（3）证明：若（a，b）是和谐的，且ab12、（本题15分）试求实数a、b，使得抛物线y1=x2+ax+b和y2=x2+bx+a与x轴有4个交点，且相邻两点之间的距离相等.13、（本题20分）如图，C是线段AB的中点，△DCE和△BDF都是等腰直角三角形，连结AE、AF，请猜想∠EAF的度数并证明.14、（本题20分）已知a+b+c是a、b、c的倍数，且每个数都不大于2017，则满足条件的（a，b，c）有几组？（3个顺序不同，视为不同数组）。
2023年上海复旦附中初三数学模拟考试真题
2023年上海复旦附中初三数学模拟考试真题一、选择题1. 已知函数y=4x+3, 求当x=2时，y的值是多少？A) 7B) 11C) 12D) 142. 若a:b=2:3，b:c=1:4，求a:b:c的值。
A) 2:3:1B) 4:6:3C) 4:3:12D) 2:3:123. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，AB=8，AC=10，求BC的长度。
A) 6B) 8C) 10D) 124. 若x:y=3:5，y:z=1:2，求x:y:z的值。
A) 3:5:10B) 3:5:6C) 6:10:5D) 5:9:125. 若2x-3=7，求x的值。
A) 2B) 3C) 5D) 7二、填空题1. 若a:b=3:4，a:c=2:5，求b:c的值。
答案：15:82. 若把一个正六面体的每个边长都增加1倍，则它的体积增加了__________倍。
答案：83. 在平行四边形ABCD中，连接AC，垂直于AC的线段BE切分AC为两部分，若AB:BC=2:3，BE:EC=1:2，求AD:DC的值。
答案：5:34. 设一边长为9的正方形内接在圆内，求该圆的面积。
答案：40.5π5. 一组三位数中，百位数字是偶数，十位数字是奇数，个位数字是3。
这样的三位数有__________个。
答案：45三、解答题1. 请计算下列各式的结果：(1) 5×(3+7)(2) 12÷3×4(3) 4+7×8-15(4) (52+3)÷(5-1)(5) 3×2-4÷2解答：(1) 5×(3+7) = 5×10 = 50(2) 12÷3×4 = 4×4 = 16(3) 4+7×8-15 = 4+56-15 = 45(4) (52+3)÷(5-1) = 55÷4 = 13.75(5) 3×2-4÷2 = 6-2 = 42. 甲、乙、丙三个人共有120元钱，已知甲的钱数是乙的3/5，乙的钱数是丙的1/4，求三个人分别有多少钱。
上海市复旦初级中学2024年九上数学开学复习检测模拟试题【含答案】
上海市复旦初级中学2024年九上数学开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的14．设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x ，则根据题意可列出方程（）A ．1﹣2x 14=B ．2（1﹣x ）14=C ．（1﹣x ）214=D ．x （1﹣x ）14=2、（4分）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()()2224x x x +-=-B ．()()244224x x x x x -+=+-+C ．2211111x x x y y y ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．221112164x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭3、（4分）若式子x 的取值范围是()A ．0x ≥B ．0x <C ．2x >D ．2x ≥4、（4分）下列点在直线y=-x+1上的是（）A ．（2，-1）B ．（3，3）C ．（4，1）D ．（1，2）5、（4分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人6、（4分）下列各数中，能使不等式x ﹣3＞0成立的是()A ．﹣3B ．5C ．3D ．27、（4在实数范围内有意义，则x 应满足的条件是（）A ．1x >B ．1x ≥C ．1x >-D ．1x ≥-8、（4分）在平面直角坐标系中，把直线y ＝3x 向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是()A ．y ＝3x+2B ．y ＝3x ﹣2C ．y ＝3x+6D ．y ＝3x ﹣6二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知反比例函数y=m x 的图像都过A （1，3）则m=______.10、（4分）如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“_____”．11、（4分）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，DE 平分∠ODA 交OA 于点E ，若AB ＝，则线段OE 的长为_____．12、（4分）如果将一次函数132y x =+的图像沿y 轴向上平移3个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为__________．13、（4分）在4个不透明的袋子中分别装有10个球，其中，1号袋中有10个红球，2号袋中有8个红球．2个白球，3号袋中有5个红球．5个白球，4号袋中有2个红球，8个白球．从各个袋子中任意摸出1个球，摸到白球的可能性最大的是_____（填袋子号）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD 与边长为3的正方形AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上．(1)小明发现DG=BE 且DG ⊥BE ，请你给出证明．(2)如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时△ADG 的面积．15、（8分）分式化简：（a-22ab b a -）÷a b a -16、（8分）近几年杭州市推出了“微公交”，“微公交”是国内首创的纯电动汽车租赁服务．它作为一种绿色出行方式，对缓解交通堵塞和停车困难，改善城市大气环境，都可以起到积极作用．据了解某租赁点拥有“微公交”20辆．据统计，当每辆车的年租金为9千元时可全部租出；每辆车的年租金每增加0.5千元，未租出的车将增加1辆．（1）当每辆车的年租金定为10.5千元时，能租出多少辆？（2）当每辆车的年租金增加多少千元时，租赁公司的年收益（不计车辆维护等其他费用）可达到176千元？17、（10分）某开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每天120元．（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品．（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．18、（10分）如图，在ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分,,BAC CE AE ∠⊥点F 在AB 上，//EF BC ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）线段,,AB BF AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=3x的图象上，则m的值为________．20、（4分）如图，在▱ABCD中，45ABC CAD∠=∠=，2AB=，则BC=______．21、（4分）因式分解：224x x-=_________．22、（4分）如图，矩形ABCD中，CE CB BE==，延长BE交AD于点M，延长CE交AD于点F，过点E作EN BE⊥，交BA的延长线于点N，23FE AN==，，则BC=_________．23、（4分）比较大小：2____3(填“＞、＜、或=”).二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；(1)求证：△ABE ∽△EGB ；(2)若AB ＝4，求CG 的长.25、（10分）已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。