ch6 向量分析与场论
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
第1章矢量分析与场论02
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
ψ = ∫ dS = ∫ A ⋅ ndS
S S
如果曲面是一个封闭曲面，则
ψ = ∫ A ⋅ dS
S
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
∂ϕ ∂l
M0
ϕ (M ) − ϕ (M 0 ) = lim M →M ρ
0
第一章 矢量分析
若函数 φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cosα 、 cosβ 、cosγ 为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0 处沿l方向 的方向导数必定存在，且为
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ cos α + cos β + cos γ = ∂z ∂x ∂x
第一章 矢量分析
例 1-10
球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求
∫∫ r ⋅ dS
S
解： 根据散度定理知
r ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ rdV ∫∫
S V
而r的散度为
所以
∂x ∂y ∂z ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z
4 3 3 ∫∫Sr ⋅ dS = ∫∫∫V∇ ⋅ rdV = ∫∫∫V3dV = 3 ⋅ 3 πR = 4πR
第一章 矢量分析
例 1-9 量
D=
原 点 处 点 电 荷 q 产 生 的 电 位 移 矢 ，试求电位移矢量D的散度。
解： D = q ⎛ x e + y e + z e ⎞ ⎜ 3 x 3 y 3 z⎟
《矢量分析与场论》知识点归纳
《矢量分析与场论》知识点归纳一、内容概览首先矢量，是这本书的基础。
它代表的是有大小又有方向的量，像是速度、力等物理量。
书中会详细介绍矢量的各种运算，比如加法、减法、数乘等，还有矢量的几何意义和代数意义。
接下来向量场和标量场是本书的重点之一，向量场可以理解为空间中每个点都有一个矢量，而标量场则是每个点都有一个数值。
这两个概念在物理和工程中有广泛应用，比如风的速度和方向就可以形成一个向量场。
此外书中还会涉及到一些更高级的概念，如矢量函数、矢量场的积分和微分等。
这些内容在物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
《矢量分析与场论》是一本帮助我们理解矢量与场论基础知识的书籍。
无论你是数学爱好者，还是物理或工程专业的学子，都可以从中受益匪浅。
让我们一起期待书中更多精彩内容吧！二、矢量基础知识矢量分析与场论，听起来好像很高大上，但其实它就在我们身边，矢量基础知识就是它的基石。
咱们先来聊聊矢量的基本概念。
想象一下我们在谈论一个既有大小又有方向的东西，比如风的速度、水流的方向等。
这时候就需要用到矢量了，矢量就像一个有箭头的线段，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
像速度、加速度、力这些我们生活中经常遇到的物理量，都可以看作是矢量。
接下来我们要了解矢量的基本运算，矢量的加减就像我们平时处理数字一样简单，只要对应着加上或减去就可以了。
但是要注意，矢量有方向性，所以我们要沿着正确的方向去加或减。
还有矢量的模，那就是矢量的长度，也就是大小。
这些基础概念了解清楚了之后，咱们就能更好地理解矢量分析的一些内容了。
知道了矢量的基本概念和运算后，我们再来说说场论中矢量的一些重要概念和应用场景。
记住哦矢量基础知识虽然听起来有点复杂，但其实它并不神秘，只要我们掌握了这些基础内容，理解矢量分析与场论就不再是难题了！1. 矢量的定义和性质首先我们来聊聊矢量的定义和性质，矢量简单来说，就是既有大小又有方向的量。
想象一下我们在谈论速度时，不只是说“快”或“慢”，还要指明是往哪个方向。
第01讲 矢量分析与场论(1)
第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。
为此，在数学上引入了场的概念。
如果在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此空间里确定了该物理量的一个场。
如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。
地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。
•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T是温度场中的物理量，T 就是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
场的分类：●按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。
温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。
力场、速度场等为矢量场。
●按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。
动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),,(z y xuu就是说，一个数量场可以用一个数性函数来表示。
场存在的空间即为其定义域。
此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。
在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。
如温度场的等温面，电场的等位面等。
显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）给定不同的常数c ，就得到不同的等值面。
如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相2c =1c u =3c =交。
因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。
向量分析与场论
X轴
y
图 4、向量相“减”的三角形表示
两点向空间任意点 p 点引出两个位移向量分别为 r1 与 r2，求 r1 与 r2 向量差。 解法 1：由三角形合成法则，容易看出，P1 到 P2 所引向量 di 与 P2 到 P 点所引向量 r2 与 P1 到 P 点所引向量 r1 相等，即
r1= r2+di
表示
r = r = (x2 + y2 + z2)1/2 （2.2）
对于向量的叠加，满足平行四边形法则 如图 2 所示
r1 =x1i+y1j+z1k
r2 =x2i+y2j+z2k
Z轴
r = r1+ r2 =
(x1+x2)i+(y1+y2)j
r1
r r2
z
+(z1+z2)k （2.3）
对二向量的叠加，在图 象上还可以形象地看 X 轴 成三角法则。如图 3 所示，可先画出处第一
X轴
该常向量为 r1 与 r2 之差
r2=(x –x2) i+(y– 0) j+(z – 0)k
所以：
r1 - r2=[ (x –x1) - (x –x2) ] i+[ (y– 0) - (y– 0) ] j+[(z – 0)- (z – 0)] k
=（x2-x1）i =d i
2、单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。单位向量的含义 在于：单位向量的模为 1，方向与该向量的指向一致。例如：位移向量的单位向量为：
因素，其一为面元的大小，其二为面元的方向。对于本问题，假设垂直于平面指向上
面的方向为法向，故平面上任意一点的法向都相同，是向上为 k。对于面元大小，可以
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
ch6 向量分析与场论
o
y
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3. 向量值函数的导数
(1) 导数: 设向量值函数 A(t) 在
点 的某邻域内有定义 , 若
z
M
lim A lim A(t t) A(t)
t t 0
t 0
t
存在，则称此极限为 A(t )在点
处的导数（导矢），记作
dA dt
为A(t)在 处的微分. d A A (t ) d t ( Ax (t )i A y (t ) j Az (t ) k ) d t d Ax (t)i d Ay (t) j d Az (t)k
d A与 A(t) 同向， t 0
d A与 A(t) 反向， t 0
工程数学---------向量分析场论
5) A(t) d t A(t) d t 6 ) A (u )u (t ) d t A(u ) d u
7) A(t) B (t) d t A(u ) B (t) A(t) B (t) d t
工程数学---------向量分析场论
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(2) 定积分：设向量值函数 A(t) 在区间 [T1 , T2 ]上连续，
则称极限
n
lim
n 0
i 1
A(i )ti
T2 A(t ) d t
T1
为A(t)在 [T1 , T2 ] 上的定积分.
牛顿-莱布尼兹公式
T2 T1
A(t) d t
B (T2 )
B (T1 )
T2 A(t) d t i T1
T2 T1
Ax (t)
d
t
j
T2 T1
Ay (t) d
[理学]第一章矢量分析与场论
![[理学]第一章矢量分析与场论](https://img.taocdn.com/s3/m/895778d27c1cfad6195fa7e1.png)
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度
u du l ds
l
M
M0
C
2.方向导数
以 s 为参 数的参数方程为： 证：设曲线
x x( s),
C
l
M
y y ( s),
z z ( s)
M0
C
则 沿 曲 线C ， 函 数 ，
u u[ x( s), y( s), z ( s)]
根据复合函数的求导定理，有
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds
u u lim s s 0 s
2.方向导数 定理 3 ：若在点 M处函数 u 可微、曲线
光滑， C
则有：
u du s ds
u du 存在时，有 s ds
证：
du u 故当 lim s 0 s ds
。
2.方向导数 推论：若在点 M 处函数 u 可微、曲线 C 光滑， 则有：
2 2 2
令：
x y z cos a , cos , cos l l l
分别表示 l 在 x, y, z 轴上的方向余弦，于是得到：
l cosai cos j cosk
2 2 2
cos cos cos 1
2.方向导数
l
与 G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 时，
的方向导数。
当方向
方向导数取最大值。
3.梯度 最大值为：
u G l
矢量 G 的方向就是函数 u(M变化率最大的方向， )
其模正好是最大变化率的数值。
把 G 叫做函数 u(M )在给定点处的梯度。
矢量分析与场论（节选）
⽮量分析与场论（节选）2.2 标量场的⽅向导数和梯度2.2.1 标量场的⽅向导数在标量场中，在 P 点沿 l ⽅向的变化率定义为该标量场在 P 点沿 l ⽅向的⽅向导数，记为∂u∂l P =lim Δl →0u (x +Δx ,y +Δy ,z +Δz )−u (x ,y ,z )Δl =∂u ∂x cos α+∂u ∂y cos β+∂u ∂z cos γ即需要两个东西：函数和⽅向→l =→e x cos α+→e y cos β+→e z cos γ当然，与普通函数的导数类似，⽅向导数也不是百分之百存在的，需要函数满⾜在某点处可微，才能计算出该函数在该点的⽅向导数。
⾄于其物理含义，这⾥采⽤最常⽤的下⼭图来表⽰。
简单将上图看作是⼀座⼭的模型，我们处在⼭上的某⼀点处，需要⾛到⼭下。
理论上来说，这座⼭的表⾯是可以通过⼀个函数的描述的（虽然想要找到这个函数可能很难），⽽这个函数可以在不同的⽅向上都确定出⼀个⽅向导数，这就好⽐于如果我们想下⼭，道路并不是唯⼀的，⽽是可以沿任何⽅向移动。
区别在于有些⽅向可以让我们下⼭速度更快，有些⽅向让我们下⼭速度更慢，有些⽅向甚⾄引导我们往⼭顶⾛（也可以理解为下⼭速度时负的）。
在这⾥，速度的值就是⽅向导数的直观理解。
2.2.2 标量场的梯度梯度与⽅向导数是有本质区别的，梯度其实是⼀个向量，其定义为：在空间⼀给定点，⽮量 A 的⼤⼩等于标量函数 u 在该点的最⼤⽅向的⽅向导数值，⽮量 A 的⽅向指向使标量函数 u 的值增加最快的⽅向。
这个⽮量 A 就被定义为标量场 u(x,y,z) 的梯度(gradient)，记为 gradu=AA 的具体表⽰可以参考"8 梯度的产⽣"梯度的基本公式：∇(au )=a ∇u ,a 为常数∇(u ±v )=∇u ±∇v∇(uv )=u ∇v +v ∇u∇uv =1v 2(v ∇u −u ∇v )很显然，算⼦ ∇同时具有类似于⽮量和微分的性质，所以常将其称作⽮量微分算⼦。
第一讲：向量分析与场论(2)
（2.5）
上式表示空间标量场 V(x,y,z) 沿 某一 方 向对空间 距离 的变化 率 等于向量 ∇ V(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题： 问题： 由空间一点可以向外引无数个方向。 那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大？ 为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量∇ V(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为 0，变化率达到最大值，可见
2 2 2
ϕ=
q 1 4πε0 x2 + y2 + z2
电位的梯度表达为
∇ϕ = (
1 ∂ ∂ ∂ q i + j + k) ∂x ∂y ∂z 4πε0 x2 + y2 + z2 q xi + yj + zk q r q 1 =− = − = − r 3 3 2 4πε0 2 2 2 2 4πε0 r 4πε0 r (x + y + z )
Φ = ∫V ( x, y, z) ⋅ dS = ∫ Vx dydz + Vydzdx + Vz dxdy （2.10a） s S
上式中， dS 表示在曲面 P(x,y,z)处的微分面元，
V
n
图 2.5 曲面通量的计算
若曲面闭合，上式又称为闭合曲面的通量，表示为
Φ = ∫ V ( x, y, z ) ⋅ dS
r = r( x, y ) = x 2 + y 2 y θ = θ ( x , y ) = arctg x z=z
利用高等数学中关于隐函数的知识，梯度算子对标量函数的作用可以写成
∂ ∂V ( r , θ , z ) ∂r ∂V ( r , θ , z ) ∂θ + i V ( r, θ , z ) = i [ ] ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ ∂V ( r ,θ , z ) ∂r ∂ V ( r, θ , z ) ∂θ j V ( r ,θ , z ) = j [ + ] ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y
《矢量分析与场论》知识点归纳
的正弦之乘积，它的方向垂直于矢量 A 与 B 组成的平面，如图 1-3，记为
C = A × B = an AB sinθ
(1-1-12)
an = a A × aB （右手螺旋）
矢积又称为叉积(cross product)，如果两个不为零 的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行。
矢量叉积不服从交换律，但服从分配律，即
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为 1 的矢
量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量 a x 、a y 和 a z 表征矢量分别沿 x 、 y 和 z 轴分量的方向。
空间的一点 P(X ,Y , Z ) 能够用它在三个相互垂直的轴线上的
矢量分析与场论
实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量 称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即 所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场； 如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空 间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该 场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标 系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质； 最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算
一、标量和矢量 电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一
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5) ( A B) A B A B d A du d 6) A(u (t )) du dt dt
工程数学---------向量分析场论
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例2. 证明 A Const 证：
A Const
dA A 0 dt
2 2 A A Const dA d 2 A 2A 0 dt dt
场；如果该物理量是向量，称它为向量场或矢量场.
分别用
及 表示. 与时间无关的场称为稳定场，否则为不稳定场.
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2. 数量场的等值面
在数量场 中， 称曲面 为它的等值线,如等温线、等高线等. 为该 中，称曲线 数量场的等值面. 在平面场
等值面
等值线
由于数量场是单值的，所以场中的每一点有且仅有 一个等值面通过；等值面族充满了数量场所在的空间， 而且互不相交.
4
1 4 3 1 4 2 2 4) A(t ) d t [(t t )i t j (t t )k ] 0 4 4
1
1 0
3 5 i j k 4 4
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工程数学---------向量分析场论
2 例5. 计算 2te (t 1) d t 2 2 解： 2te (t 1) d t e (t 1) d(t 2 1)
工程数学---------向量分析与场论
始终指向 t 增大的方向,
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取参数为弧长 s（自然参数） 向径函数 r xi y j zk d r d xi d y j d zk
2 2 2 d r (d x) (d y) (d z )
u u x x u x u y y u u z z o( ) u cos ) o( )
故
y z u u u u u lim cos cos cos l 0 x y z
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(
Ch6
向量分析与场论
§1 向量分析
1. 向量值函数 2. 矢端曲线 3. 向量值函数的导数 4. 向量值函数的积分
工程数学---------向量分析场论
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1.向量值函数:设 X 是一个非空数集,Y 是一个非空向量集, 若存在一个对应规则， 使得 与之对应 , 则称 有唯一确定的
为 t 的向量值函数， 记作 A A(t ). A(t )的坐标形式为： A Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
dt 加速度
v
dr
dr d s d s dt
d r
2
v
w
dv dt
dt
2
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例3. 求曲线 r ( ) 2 cos i 2sin j 4 k
处的切线和法平面方程. 4 解： r ( ) 2sin i 2cos j 4k 当 时， r ( ) 2 i 2 j k 4 4 r ( ) 2 i 2 j 4k 4 x 2 y 2 z 切线方程为： 4 2 2 法平面方程为： 2( x 2) 2( y 2) 4( z ) 0
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3. 方向导数 定义：设 M 0是数量场u u ( M ) 若沿方向 l 中的一点，
M M 0
lim
u
lim
u(M ) u(M 0 ) M0M
l
M
M M 0
存在， 则称此极限为
在点
u l
M0
M0
记作 处沿 l 方向的方向导数，
工程数学---------向量分析场论
3 2 3 解： 1) lim A(t ) lim(2t t )i lim3t j lim(2t t )k ,
t 1 t 1 t 1 t 1
2)
i 3 j 3k , d 2 d d d 3 3 (2t t )i 3t j (2t t )k , A(t ) dt dt dt dt 2 2 (2 3t )i 6t j (2 3t )k ,
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3. 向量值函数的导数
(1) 导数: 设向量值函数 在 点 的某邻域内有定义 , 若 A A(t t ) A(t ) lim lim t 0 t t 0 t 存在， 则称此极限为 在点 处的导数（导矢），记作 dA A(t ) 或 dt A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
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的一个原函数，则 A(t ) d t B(t ) C
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不定积分公式 1) kA(t ) d t k A(t ) d t 2) [ A(t ) B(t )]d t A(t ) d t B(t ) d t 3) u (t ) d t u (t ) d t 4) A(t ) d t A(t ) d t 5) A(t ) d t A(t ) d t 6) A(u )u(t ) d t A(u ) d u 7) A(t ) B(t ) d t A(u ) B(t ) A(t ) B(t ) d t
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(3) 导数公式 1) (C ) 0 2) ( A B) A B 3) (uA) u A u A 4) ( A B) A B A B
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在
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4. 向量值函数的积分 (1) 不定积分: 若在区间 I 上，有 为
则称
的
在区间 I 上的一个原函数； 在区间 I 上
A(t ) d t
称作 原函数全体，
记作 在区间 I 上的不定积分，
若
为
i A(t ) d t Ax (t ) d t j Ay (t ) d t k Az (t ) d t
l为C 在M 处的切线方向(正向)， 曲线C光滑， 则
u s
工程数学---------向例1. 设 n 是曲面 2 z xy 0 在点 M (2,3,3)处指向下侧 的法向量， 求函数 u xyz 在点M处沿 n 的方向导数 .
解: 法向量为 ( y, x, 2) (3 , 2 , 2) M 所以 n (3 , 2 , 2) 3 2 2 方向余弦为 cos , cos , cos 17 17 17 u u u 而 yz 9, 6, 6 M M x y M z M
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例1. 设
证明 证：
且
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(2) 微分： 设向量值函数 称 d A A(t ) d t A(t )t
为
在 处的微分.
d A 与 A(t ) 同向，t 0 d A 与 A(t ) 反向，t 0
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定理: 若函数 u u ( x, y, z ) 在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微， 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u l u x cos u y cos u z cos
证:
由函数 u ( x, y, z ) 在点 M 0 可微 , 得
弧微分
d s (d x) 2 (d y ) 2 (d z ) 2 dr dr 从而 1, ds ds dr 为单位切向量， 始终指向参数 s 增大的方向. ds
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(5) 导数的物理意义 设质点 M 的运动方程为: r r (t ) 速度
T1 T1 T1
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3 2 3 例4. 已知 A(t ) (2t t )i 3t j (2t t )k , 计算 d 1) lim A(t ) 2) A(t ) t 1 dt 1 4) A(t ) d t 3) A(t ) d t 0
A(t )
Ax (t )
Ay (t )
Az (t )
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将 2.矢端曲线： A(t ) 的起点取在原点， 当 t 变化时，A(t ) 的终点所形成的 曲线， 称为 A(t ) 的矢端曲线；
称为此曲线的向量方程. 矢端曲线的参数方程：
如 圆柱螺旋线 参数方程为 向量方程为 r a cos i a sin j b k
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3)
A(t ) d t
2 3 (2t t ) d t i 3t d t j (2t t ) d t k ,
3
2
3 1 4 2 (t t )i t j (t t )k C 4 4 1
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(4) 导数的几何意义
A t A t A t A
A
与 A 同向， t 0 与 A 反向， t 0