电磁场与电磁波_ 矢量分析和场论_

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《电磁场与电磁波》第一章矢量分析

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义设则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos

精品课件-电磁场与电磁波-第1章

第1章矢量分析基础
第1章矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章矢量分析基础 1.1 矢量分析矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章矢量分析基础图1-6 梯度和方向导数
第1章矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为

电磁场与电磁波课件第一章矢量分析

divA lim SA dS V 0 V
第一章矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积，即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章矢量分析
第一章矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2

电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理

A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r

矢量分析与场论

i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i

L
F dl lim F Pi
N i 1
N

dli
F ds lim F P ds
i
标量场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢量场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：

增量： F F t t F t
F t
F

dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z

ˆe a j
x ,y ,z

ˆm a
矢量代数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算规则相同。但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,

电磁场与电磁波复习重点

梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。

2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法(限直角坐标系)。

:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。

散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。

斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。

A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。

3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。

关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。

预篇：矢量分析和场论基础

Fx ( x, y , z ) F ( x, y, z ) F ( x, y , z ) dx + x dy + x dz x y z Fy ( x, y, z ) Fy ( x, y , z ) Fy ( x, y, z ) dFy = dx + dy + dz x y z Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) Fz ( x, y , z ) dFz = dx + dy + dz x y z
11
四,标量场与矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数, 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. 一个点都有一个确定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下, 例如,在直角坐标下, 标量场如温度场,电位场,高度场等; 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场如流速场,电场,涡流场等. 如流速场,电场,涡流场等.
A × B = -B × A
(1 )若
A B = A C ,是否意味着 B 总等于 C ?
(2)已知 A = ex + be y + cez , B = ex + 3e y + 8ez ) 各为多少? 若使 A ⊥ B 或者 A // B ,则b,c各为多少? , 各为多少
9
4.矢量的三重标积矢量的三重标积
C B A 0 0 B C A
C = A+ B
C = A B = A + ( B )
6
2.矢量的标积矢量的标积矢量的标乘又称点乘
A B = A B cos α = AB cos α
在直角坐标系中, 在直角坐标系中,其解析式为
A B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz

电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础

R e zez
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转角时大拇指所指的方向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。

第1章__矢量分析。

27
★梯度的性质
标量场)的梯度是一个矢量函数。 1）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。变化率最大的，梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是函数在该点的最大变化率的数值。函数在该点的最大变化率的数值。 2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u 方向的投影。的梯度在l方向的投影。
16
4、矢量代数公式
v v v v v v v v v （1） Α⋅ (B×C) = B⋅ (C × A) = C ⋅ ( A× B) v v v v v v （2） ( A ⋅ B ) C ≠ A ( B ⋅ C )
v v v v v v （3） A × ( B × C ) ≠ ( A × B ) × C v v v v v v v v v （4） Α × (Β × C ) = (Α ⋅ C )Β − (Α ⋅ B )C
0 ≤ r < ∞ 0 ≤θ ≤ π 0 ≤ϕ ≤ 2π
v v v ar , vθ ,v ϕ a a v er , eθ , eϕ
v 矢量表示： ★矢量表示：A
6
4、坐标变换
★直角坐标系与圆柱坐标系：直角坐标系与圆柱坐标系：
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
v 例如： v v 例如： a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ v v v a x = a r cos ϕ − aϕ sin ϕ
10
★圆柱坐标系与球坐标系：圆柱坐标系与球坐标系：
v v v 例如：例如：a r = a R sin θ + aθ cos θ v v v a R = a r sin θ + a z cos θ
14
v v v v A⋅ B与 ×B的算 A 计 v

电磁场与电磁波课件_第一章_矢量分析(包括绪论)

》矢性函数：设t是数性变量， A为变矢，对于某区间G[a,b] 内的每一个数值t，A 都有一确定的矢量 A( t ) 与之对应，则开复课件网 A A( t ) 称 A为数性变量t的矢性函数，记为：
• 物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压U、电荷量Q等。 • 场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。 • 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。 • 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。
符合右手螺旋法则
特点： A B B A
结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行直角坐标系中：e x e x e y e y ez ez 0 右手螺旋法则 e x e y ez e y 开复课件网 ez ez e x e y x
数学知识补充—矩阵和行列式的计算
• 余子式：在 n 阶行列式 A aij 中去掉元素 aij 所在的行和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式。记为 M ij
i j a • 代数余子式： ij 的余子式前添加符号 ( 1) ，称 aij
的代数余子式，记为 Aij ， Aij ( 1)i j M ij
A A A A
2 x 2 y

2 z

12
开复课件网
数学知识补充——矢量的代数运算
• 求和差》作图法：平行四边形法则》分量法： A B e x ( Ax Bx ) e y ( Ay B y ) ez ( Az Bz ) • 求点积（标量积、内积）公式： A B AB cos 特点： A B B A 结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直直角坐标系中： e x e y e y ez e x ez 0

电磁场与电磁波理论-矢量分析与场论

1-23
《电磁场与电磁波理论》
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
第1章矢量分析与场论
◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
（1.1.24）（1.1.25）
1-24
《电磁场与电磁波理论》
3.矢量的标量积和矢量积
第1章矢量分析与场论
矢量的标量积矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1. 标量场的方向导数
第1章矢量分析与场论
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-38
《电磁场与电磁波理论》
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
第1章矢量分析与场论
◘ 方向余弦 ◘ 该方向上的单位矢量
矢量的大小矢量的方向的单位矢量
（1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
♥ 矢量的方向余弦
2.矢量表示法
第1章矢量分析与场论
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。
♥ 矢量的方向的单位矢量
（1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴的夹角。
♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章矢量分析与场论

《电磁场与电磁波》期末复习

ò E v(rv)=- 1 r(rv')?(1)dV'
4pe0V'
R
ò Ev(rv)=-
?
轾犏犏犏臌 4p1e0V'
r(rv'))dV' R
E v(rv)=-?f(rv)
➢ 静电场的散度（有源场）
炎Dv = r
炎Ev= rf + rp e0
➢ 高斯通量定理
vv
òÑ SD?dS åq
➢ 媒质极化
➢ 两个零恒等式
(1) ()0
任何标量场梯度的旋度恒为零。
v (2) ( A )0
任何矢量场的旋度的散度恒为零。
电磁场的基本规律
➢ 电流连续性方程（无源区）
vv
òÑsJ ?dS 0
炎
v J
=
-
¶r
¶t
➢ 静电场的旋度（无旋度）
蝌蜒 E v?dlv l
vv
(汛E)缀 dS 0
s
v
汛E=0
➢ 电位函数
¶u ¶l
=
gradu?avl
? a v x抖抖 x+a v y y+a v z? ?z
➢ 点积
vv A ? BA x B x+ A y B y+ A y B y
avi ?avi 1 avi ?avk 0
➢ 叉积
vv A?B
avx avy avz Ax Ay Az
Bx By Bz =(AyBz - AzBy)avx +(AzBx- AxBz)avy +(AxBy- AyBx)avz
《电磁场与电磁波》期末复习
复习内容
• 考试内容及题型 • 各章要点

第0章矢量分析与场论

在空间任意靠近两点函数 ϕ的全微分
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
d ℓ = dxex + dyey + dzez
dϕ =∇ϕ ⋅ el = ∇ϕ cosθ dℓ
3. 梯度的物理意义标量场的梯度是一个矢量，是空标量场的梯度是一个矢量，间坐标点的函数；间坐标点的函数；梯度的大小为该点标量函数 ϕ 的最大变化率，即该点最大方向导数；最大变化率，即该点最大方向导数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（的方向,即与等值线（面）垂直的方它指向函数的增加方向. 向，它指向函数的增加方向. 例电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直；与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数；导数； • 指向电位增加的方向。指向电位增加的方向。
S
S
ϕ = 0 (无源) 无源)
ϕ < 0(有负源)
ϕ > 0 ( 有正源)
定义的闭合面∆ 所围区域∆ 如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方通量与体积之比的极限存在，式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，即散度(divergence) 散度(divergence) divA = lim
(负源) 负源)
在矢量场中，若 ∇ ⋅ A = ρ ≠ 0 ，称之为有源场，在矢量场中，称之为有源场， ρ 称为（通量）源密度；若矢量场称为（通量）源密度； ∇ ⋅ A， 0 称 = 之为无源场. 之为无源场.
高斯公式(散度定理) 4. 高斯公式(散度定理)
divA = lim
ϕ
∆v
∆v →0
∆l ' ∆l
r
∆l ''

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1.2 梯度
自强●弘毅●求是●拓新

1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在空间区域按特定的规律分布。

如
电荷在其周围空间激发电场的分布电流在周围空间激发磁场的分布地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了该物理量的场

1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场既有数值的大小又有方向的场称为矢量场如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t

1.2.1 场的概念
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18

1.2.2 标量场的等值面
标量场同一数值各点在空间形成的曲面
ux, y,z C
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)

1.2.2 标量场的等值面
例：点电荷Q位于直角坐标系的原点，它在空间的电位是：
求等值面方程？
(x, y,z)
Q
40 x2 y2 z 2
解：
(x, y,z)
Q
C
40 x2 y2 z 2
Q
这是一个球面方程，表示以电荷为圆心，以 40C 为半径的球面。

1.2.3 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏观上场在空间的数值，还需要知道场在不同方向变化。

方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化情况
M r
M r l

1.2.3 方向导数
| lim u
l
M0
l 0
u l

u x
dx
u y
dy
u z
dz
1 dl
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z

eˆ xdx
eˆ ydly dl
eˆ zdz

u cos u cos u cos
x
y
z
cos ,cos ,cos 为 l 的方向余弦
M r
M r l

1.2.4 梯度
场在某点处沿不同方向变化快慢程度（方向性导数）不同，必存在变化最快的方向定义为梯度
l1
l2
l
M
u u u u l2 l1 l

1.2.4 梯度
u l
( u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
(
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
ez )
(
u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
el
u l
u n
n l
u n
cos
u n
en
el
u el
P1
dn
P2
dl
P
| u
nˆ
u l
max
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z

。