2016届高考数学复习 第十四章 不等式选讲课件 理

考点梳理
知识点一 解绝对值不等式
1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
(1) 若 c>0 ，则 |ax ＋ b|≤c 等价于－ c≤ax ＋ b≤c ， |ax ＋ b|≥c 等价 于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可. (2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
方法3 求解与绝对值不等式相关的最值问题的方法
解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可.
求解存在性问题需过两关： 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的 解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面 也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min. 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三 种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a| ＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法.
1 1 1 ≥ab＋bc＋ac＋3 ＋3 ＋3 ≥6 3 ③ ab bc ac ∴原不等式成立.当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当 且仅当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立. 1 即当 a＝b＝c＝3 时原式等号成立. 4
[点评] 均值不等式的应用
用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的 条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 )矛盾的结论， 以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法. ②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小， 简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.
【名师助学】
2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.
(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式， 求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.
2
2
2
1 1 12 ＋ ＋ ＋ ≥ a b c
法一 ∵a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2＋c2≥ 2 1 1 1 1 3(abc) ①， ＋ ＋ ≥3(abc)－ ② 3 a b c 3 1 1 12 2 ＋ ＋ ∴ ≥9(abc)－ ， 3 a b c 1 1 12 2 2 2 2 2 ∴a ＋b ＋c ＋ ＋ ＋ ≥3(abc) ＋9(abc)－ ， 3 3 a b c 2 2 又 3(abc) ＋9(abc)－ ≥2 27＝6 3 ③ 3 3 ∴原不等式成立.当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当 2 2 1 且仅当 3(abc) ＝9(abc)－ 时，③式等号成立.即当 a＝b＝c＝3 时 3 3 4 原式等号成立. 证明
1.|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系
(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立. (2)|a| － |b|≤|a － b|≤|a| ＋ |b| ，当且仅当 |a|≥|b| 且 ab≥0 时，左边等 号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2.证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条
2.证明不等式的常用方法 (1)比较法 一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有
时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几
个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正
负.
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明
的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.
(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).
知识点二
不等式的证明
1.证明不等式的常用结论 (1)绝对值的三角不等式
定理 1 ：若 a， b 为实数，则 |a＋ b|≤|a|＋ |b|，当且仅当 ab≥0，等
号成立.
用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝
对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为 数轴上两点的距离求解. (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函
数的图象，利用函数图象求解.
【例1】 不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________.
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3，0].
[点评]
研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，
分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结
合解决，是常用的思想方法.
解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 “找零点， 分区间，逐个解，并起来”.
考纲速览 命题解密 热点预测 1. 能利用三个正数的算术平均 — 几何平均不等 式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问 对本章 题；了解基本不等式的推广形式 (n 个正数的形 预测 2016 的考查以绝 式). 年对不等式选 对值不等式 2. 理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意 讲的考查仍以 的解法、性 义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的 绝对值不等式 质为主，解 1.解绝对值 绝对值不等式. 的解法、性质 答题往往涉 不等式. 3. 掌 握 |ax ＋ b|≤c ， |ax ＋ b|≥c ， |x － a| ＋ |x － 为主，解含两 及含两个绝 2.不等式的 b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法. 个绝对值号的 对值的问题， 证明. 4. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合 不等式是解答 考查分类讨 法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们 题题型的主流， 论、等价转 证明一些简单不等式. 并配以不等式 化和数形结 5. 能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不 的证明和函数 合等思想方 等式，解决最大(小)值问题. 图象的考查. 法. 6. 理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用 数学归纳法证明一些简单问题.
当 x≤2 时，由 f(x)≥3， 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
当x≥3时，由f(x)≥3，
得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
(3)分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等 式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否 具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可 以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方
法.
(4)反证法和放缩法
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到 a ， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 |x － a| ＋ |x － b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意 义求解更直观.
3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法
件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题
是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的， 则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学 归纳法等.在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技 巧简化对问题的表述和证明.
方法1 含绝对值不等式的性质与解法 (1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可
定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a
－b)(b－c)≥0时，等号成立.
推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.
推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果 a，b，c∈R＋，那么 a＋b＋c 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立. 3 (3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，„， an ， 它 们 的 算 术 平 均 值 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均 值 ， 即 a1＋a2＋„＋an n ≥ a1·a2·„·an，并且仅当 a1＝a2＝„＝an 时 n 等号成立.
答案
1 x转化为一元一次不
等式求解.
方法2 不等式的证明与应用 证明不等式的常用方法： (1) 比较法； (2)综合法；(3)分析法； (4)反证法和放缩法；(5)数学归纳法.
【例 2】 已知 a，b，c 均为正数，证明：a ＋b ＋c 6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立.
法二
∵a，b，c 都是正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋
c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac ① 1 1 1 1 1 1 同理， 2＋ 2＋ 2≥ ＋ ＋ ② a b c ab bc ac ∴a ＋b ＋c
2 2 2
1 1 12 ＋ ＋ ＋ a b c
【例3】 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围. [审题指导](1)将a＝－3代入f(x)利用零点分段法去绝对值号. (2)根据x∈[1，2]去绝对值号解关于a的不等式.
解
－2x＋5，x≤2， (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3， 2x－5，x≥3.
解析 法一 原不等式可化为： 1 1 x≤－ ， － <x<1， x≥1， 2 或 2 或 3>0， 4x>1 －3>0 1 1 ∴∅或 <x<1 或 x≥1，∴不等式解集为{x|x> }. 4 4 法二 由|2x＋1|－2|x－1|>0 得：
1 1 |2x＋1|>2|x－1|，平方得：12x>3，x> ，∴解集为xx> . 4 4
(4)一般形式的柯西不等式
2 设 a1，a2，a3，„，an，b1，b2，b3，„，bn 是实数，则(a2 1＋a2＋„ 2 2 2 ＋a2 (b2 并且仅当 bi＝0(i n)· 1＋b2＋„＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ，
＝1，2，„，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1，2，„，n)时， 等号成立.