【备战】高考数学最新模拟专题04 数列理.doc

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高考数学数列专题

高考数学数列专题在高考数学中，数列是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。

但其实，只要掌握了正确的方法和思路，数列问题并不难攻克。

数列，简单来说，就是按照一定规律排列的一组数。

它可以是有限个数组成的，称为有限数列；也可以有无穷多个数，称为无穷数列。

我们先来看看等差数列。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数就叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

比如说，数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。

在等差数列中，通项公式是非常重要的，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。

通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。

等差数列的前 n 项和公式也很关键，它是：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或者 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。

这两个公式在解题时可以根据具体情况灵活选择。

接下来是等比数列。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比，通常用字母 q 表示（q ≠ 0）。

例如，数列 2，4，8，16，32就是一个公比为 2 的等比数列。

等比数列的通项公式为：an ＝ a1 × q^（n 1) 。

等比数列的前 n 项和公式则分为两种情况。

当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q) 。

在解决数列问题时，通常需要我们根据已知条件求出数列的通项公式或者前 n 项和。

这就需要我们灵活运用数列的性质和公式，通过观察、分析题目中的数据，找到规律。

比如，给出数列的前几项，让我们判断它是等差数列还是等比数列，并求出通项公式。

这时候，我们可以先计算相邻两项的差值或者比值，看是否为常数。

如果差值是常数，那就是等差数列；如果比值是常数，那就是等比数列。

再比如，已知等差数列的首项、公差和项数，求前n 项和。

(word完整版)高考文科数学数列复习题有答案(2021年整理)

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高考文科数学数列复习题一、选择题1．已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( ）A ．5B ．4C ．3D ．22．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ )A ．40B ．42C ．43D ．453．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于( ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4.在等差数列{}n a 中，已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( )A 。

48 B.49 C.50 D.51 5．在等比数列{n a ｝中，2a ＝8，6a ＝64,，则公比q 为（）A ．2B ．3C ．4D ．8 6。

—1,a,b,c ，-9成等比数列，那么（）A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（）A ．(1)2n n +B 。

(1)2n n - C. (2)(1)2n n ++ D 。

高考数学数列的概念专题复习(专题训练)doc

一、数列的概念选择题1．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（） A ．24B ．26C ．28D ．302．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯3．已知数列{}ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（）A ．13i =，33j =B ．19i =，32j =C ．32i =，14j =D ．33i =，14j =4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩C ．21n a n =+D ．3n a n =5．已知数列{}n a 的前n 项和为()*22nn S n =+∈N ，则3a=( )A ．10B ．8C ．6D ．46．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=7．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（） A ．511B ．513C ．1025D ．10248．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．若数列{a n }满足1112,1nn na a a a ++==-，则2020a 的值为（） A ．2B ．－3C ．12-D ．1311．下列命题中错误的是（） A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 12．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（） A ．3-B ．12-C ．13D ．213．已知数列{}n b 满足12122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（） A ．101,3B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(-1，1)D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭14．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45B ．46C ．47D ．4815．在数列{}n a 中，21n n a n +=+，则{}n a （） A ．是常数列B ．不是单调数列C ．是递增数列D ．是递减数列16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（）A ．1B ．3C ．-3D ．017．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（） A ．4个B ．5个C ．6个D ．无数个18．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（） A ．2B ．4C ．10D ．1419．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a20．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（）A ．210B ．211C ．224D ．225二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=22．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 24．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a 的n 的最大值为1226．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥28．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d D ．170S <29．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（） A ．0d D ．67n S S S 与均为的最大值30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <31．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d < C ．80a = D ．n S 的最大值是8S 或者9S32．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 34．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=，故选：B.2．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.3．C解析：C 【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.20211110112-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.4．B解析：B 【分析】根据11,1,2n nS n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.5．D解析：D 【分析】根据332a S S =-，代入即可得结果. 【详解】()()3233222224a S S =-=+-+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项，属于基础题.6．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确；对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.7．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠，所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.8．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出．【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--．故选C ．【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．9．A解析：A 【分析】运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，121n n n n a a a a +++∴≥--，设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，∴数列{}n d 是递减数列.对于A ，由11a =，20192019a =，则201911220182019a a d d d =+++=，所以1220182018d d d +++=，又1232018d d d d ≥≥≥≥，所以1122018201820182018d d d d d ≥+++≥，故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++≤++++=即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；结合A ，故B 不正确；对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.10．D解析：D 【分析】分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，612312a +==--，…，因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确.【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.12．B解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4，所以2019312a a ==-. 故选：B.13．A解析：A 【分析】由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，即()122112+1222n n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，则()6212nn λ>-+⋅恒成立，()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，66λ∴>-，解得1λ>-；当n 为偶数时，则()6212nn λ<+⋅恒成立，()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，620λ∴<，解得103λ<，综上，1013λ-<<. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出16212nn λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 14．C解析：C 【分析】利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解【详解】当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C15．D解析：D 【分析】由21111n n a n n +==+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】在数列{}n a 中，21111n n a n n +==+++，由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列，故选：D16．C解析：C 【分析】判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C 【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .17．B解析：B 【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．18．B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.19．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A20．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可．【详解】解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===，故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．二、多选题 21．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，解析：ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.23．ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.24．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.25．ACD 【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A ，，故A 正确；对于B ，的对称解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.26．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确.故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.27．BC【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断.【详解】设公差d 不为零,因为，所以，即，解得，，故A 错误；，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误；故选：BC解析：BC【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断. 【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-， 11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误； ()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n d d na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 28．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.29．ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确；，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.故选：AB解析：ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.30．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.31．BD【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．32．AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=，所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-. 故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 33．ACD【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断，的符号，的单调性可判断D ；【详解】由已知解析：ACD【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n nS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.34．ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．35．BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。

第04讲对数与对数函数(含对数型糖水不等式的应用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第04讲对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.熟练掌握对数函数x y a log =0(>a 且)1≠a 与指数函数x a y =0(>a 且)1≠a 的图象关系【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习1.对数的运算（1）对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作N x a log =，其中叫做对数的底数，叫做真数（2）对数的分类一般对数：底数为，，记为N a log 常用对数：底数为10，记为，即：xx lg log 10=自然对数：底数为e （e ≈2.71828…），记为，即：x x e ln log =（3）对数的性质与运算法则①两个基本对数：①01log =a ，②1log =a a ②对数恒等式：①N a N a =log ，②N a Na =log 。

③换底公式：aba b a b b c c a ln ln lg lg log log log ===；推广1：对数的倒数式ab b a log 1log =1log log =⋅⇒a b b a 推广2：d d c b a c b a c b a c b a log log log log 1log log log =⇒=。

④积的对数：()N M MN a a a log log log +=；(01)xa N a a =>≠且x a N a N a 0,1a a >≠且lg N ln N⑤商的对数：N M NMa a alog log log -=；⑥幂的对数：❶b m b a ma log log =，❷b nb a a n log 1log =，❸b n mb a ma n log log =，❹mna ab b nm log log =2.对数函数（1）对数函数的定义及一般形式形如：()0,10log >≠>=x a a x y a 且的函数叫做对数函数（2）对数函数的图象和性质图象定义域：()∞+,0值域：R当1=x 时，0=y 即过定点()0,1当时，；当时，当时，；当时，性质在()∞+,0上为增函数（5）在()∞+,0上为减函数3.对数型糖水不等式(1) 设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ (2) 设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+(3) 上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b ma a m +>+1．（2024·重庆·三模）已知2log 5,85ba ==，则ab =．1a >01a <<01x <<(,0)y Î-∞1x >(0,)y Î+∞1x >(,0)y Î-∞01x <<(0,)y Î+∞2．（2024·青海·模拟预测）若3log 5a =，56b =，则3log 2ab -=（）A ．1B ．－1C ．2D ．－23．（2024·四川·模拟预测）若实数m ，n ，t 满足57m n t ==且112m n+=，则t =（）A．B ．12CD1．（2024·河南郑州·三模）已知log 4log 4a b b a +=，则22a b 的值为．2．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．3．（2024·辽宁丹东·一模）若23a=，35b =，54c =，则4log abc =（）A ．2-B ．12CD ．11．（2024·河南·三模）函数()f x = ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数()lg(21)f x x =-的定义域是（）A ．1,2æö-∞ç÷èøB ．1,2æö+∞ç÷èøC ．1,2æù-∞çúèûD ．1,2éö+∞÷êëø2．（2024·青海海南·二模）函数()2lg 10()x f x x-=的定义域为（）A．(B．(,)-∞+∞U C．[D．(È1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y ＝log ax ；② y ＝log bx ；③ y ＝log cx ；④ y ＝log dx 的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A ．a ＋c ＜b ＋aB ．a ＋d ＜b ＋cC ．b ＋c ＜a ＋dD ．b ＋d ＜a ＋c2．（2024·广东深圳·二模）已知0a >，且1a ≠，则函数1log a y x a æö=+ç÷èø的图象一定经过（）A ．一、二象限B ．一、三象限C ．二、四象限D ．三、四象限3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线240mx ny +-=（0m >，0n >）过函数()log 12a y x =-+（0a >，且1a ≠）的定点T ，则26m n+的最小值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝1x a，y ＝log a （x ＋12）（a ＞0，且a ≠1）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2024·全国·模拟预测）若函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点恰好在椭圆221(0,0)x y m n m n+=>>上，则m n +的最小值为 .1．（辽宁·高考真题）函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（）A ．52，æö+∞ç÷èøB ．(3)+∞，C ．52æö-∞ç÷èø，D ．()2-∞，2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数()ln(2)f x ax =+在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．a<0B ．10a -£<C ．10a -<<D ．1a ³-3．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ì---<=í++³î在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞4．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，则a 的取值范围为．2．（2022高三·全国·专题练习）函数()()215log 232f x x x =-++的单调递减区间为．3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知()()312,1log ,1a a x a x f x x x ì-+£=í>î是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为．1．（山东·高考真题）函数2()log 31()xf x =+的值域为（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数()()2lg 65f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是 .3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数()[]212log 2,2,6y x x x =+-Î的最大值为 .1．（2024高三·全国·专题练习）函数()[]ln ,1,e f x x x x =+Î的值域为．2．（2023高一·全国·课后作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2log 14f x x x =££，则函数()()()221g x f x f x éù=++ëû的值域为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数)2()log f x x =-是奇函数，则=a.2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数()()(e e ln 1x x m n f x x -=-++（m ，n 为常数）在[]1,3上有最大值7，则函数()f x 在[]3,1--上（）A ．有最小值5-B ．有最大值5C ．有最大值6D ．有最小值7-3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数()21log 1f x a b x æö=-+ç÷+èø，若函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则log a b =（）A ．-3B ．-2C ．12-D ．13-1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数())3ln3f x x x =--+，[2023,2023]x Î-的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .2．（2024·宁夏银川·二模）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则b = ．1．（2024·天津·高考真题）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．b c a>>2．（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b æö=ç÷èø，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>3．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<4．（2021·全国·高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设3log 4a =，0.8log 0.7b =，511.02c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b5．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>1. 比较大小: 7log 4 与 9log 6？2．（2024·重庆·模拟预测）设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（）A ．c<a<b B ．b<c<a C ．b a c<<D ．a b c<<一、单选题1．（2024·河北衡水·三模）已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x ìü==-£-£íýîþ，，则A B =I （）A ．11510x x ìü££íýîþB ．{2,3,4}C ．{2,3}D ．11310x x ìü££íýîþ2．（2024·贵州贵阳·三模）已知()()40.34444,log ,log log a b a c a ===，则（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c a b>>3．（2024·天津滨海新·三模）已知2log 0.42a =，0.4log 2b =，031log 0.4c =.，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．a c b>>4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，22()log 13f x x =-，则(f =（）A ．59B ．59-C ．49D ．49-5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线4x =与函数()()12log (1),log a f x x a g x x =>=分别交于,A B 两点，且3AB =，则函数()()()h x f x g x =+的解析式为（）A ．()2log h x x =-B ．()4log h x x =-C ．()2log h x x=D ．()4log h x x=6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数cos y x =与lg y x =的图象的交点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．67．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且当(2,0)x Î-时，2()log (3)f x x =+，则(2021)(2024)f f -=（）A ．1B ．1-C ．21log 3-D ．21log 3--二、填空题8．（2024·湖北·模拟预测）若函数()()()2ln e R x f x a x x =--Î为偶函数，则=a.9．（2024·吉林·模拟预测）若函数()ln(1)f x ax =+在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为．10．（2024·四川成都·三模）函数()ln 2m x f x x -=+的图象过原点，且()()e e 2x x g x f x m l l --=++，若()6g a =，则()g a -=.一、单选题1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数()ln ||f x x a =-在区间(2,3)上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[3,)+∞2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数()()()2e 1ln 2013mx f x m x+=->-是定义在区间(),a b 上的奇函数，则实数b 的取值范围是（）A ．(]0,9B ．(]0,3C ．20,3æùçúèûD ．10,3æùçúèû3．（2024·河北·三模）已知(),,1,a b c Î+∞，8ln ln10a a =，7ln ln11b b =，6ln ln12cc =，则下列大小关系正确的是（）A ．c b a>>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．c a b>>4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数41()log (41)2xf x x =+-，若(1)(21)-£+f a f a 成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-∞-B ．(,2][0,)-∞-È+∞C ．4[2,]3-D ．4(,2][,)3-∞-+∞U 5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知7ln 5a =，2cos 5b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()13,4443log (4)1,4a x x f x x x ì-£ïï-=íï->ïî是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B．(C．(D ．()1,37．（2024·河北衡水·模拟预测）设0,1a a >≠，若函数())23log 1a x a f x a x a æö-=+ç÷-èø是偶函数，则=a （）A ．12B ．32C ．2D ．38．（2024·湖北黄冈·二模）已知a b c d ,,,分别满足下列关系：1715161731615,log 16,log ,tan 162a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．a b c d<<>，且1³ab ，则下列关系式一定成立的为（）A ．()()b f a bf a =B ．()()()f ab f a f b =+C ．()()a f f a f b b æö³-ç÷èøD ．()()()ln2f a b f a f b +<++三、填空题10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则91m n +的最小值为．1．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．2．（2024·全国·高考真题）设函数()()ln()f x x a xb =++，若()0f x ³，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．13．（2023·北京·高考真题）已知函数2()4log x f x x =+，则12f æö=ç÷èø．4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp p L p =´，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060:电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ³B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p £5．（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．66．（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3a b ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．537．（2022·全国·高考真题）若()1ln 1f x a b x ++-=是奇函数，则=a ，b = ．8．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 109．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 满足5lg LV =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） 1.259»）A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.610．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b。

高考数学-考前冲刺大题精做-专题-数列基础篇(教师版)资料

高考数学-考前冲刺大题精做-专题-数列基础篇(教师版)高考数学考前冲刺大题精做专题数列基础篇（教师版）对于数列的基础知识，有如下考法：1、求数列的通项是高考数列命题的热点，主要以解答题中某一问的形式出现；2、以数列为载体，考查数列求和的各种技巧与方法，经常出现的是基本公式法、裂项相消法、错位相减法；3、灵活应用等差数列、等比数列的基本公式和性质对问题进行求解；4、合理使用n S 与n a 的关系配合进行解题，注意化简的过程的运算.5、注意递推关系的使用.【高考还原2：（2012年高考（陕西理））】设{}n a 的公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的公比；（2）证明：对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.所以,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列证法二：对任意k N +∈,12(1)21k k a q S q-=-212111121(1)(1)(2)111k k k k k k a q a q a q q S S q q q++++++----+=+=---2111212(1)(2)2()11k k k k k k a q a q q S S S q q ++++----+=---211[2(1)(2)1k k k aq q q q ++=-----21(2)01k a q q q q=+-=-，因此,对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.【细品经典例题】【经典例题1】在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =．（1）求n a 与n b ；（2）求12111...nS S S +++的取值范围．式，故应使用裂项法进行求和进行求解.【经典例题2】已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且*,2)1(N n a a S n n n ∈+= （1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）设++==21,21b b T S b n nn …n b +，求n T .【精选名题巧练】【名题巧练1】在数列{}n a 中，*32111,21()23n n a a a a a n N n=++++=-∈L （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n n λ≤+成立，求实数λ的最小值.【名题巧练2】某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。

数列-2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题数列一、单选题1(全国甲卷数学(文))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 9=1，a 3+a 7=()A.-2B.73C.1D.29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成a 1和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由S 9=1，根据等差数列的求和公式，S 9=9a 1+9×82d =1⇔9a 1+36d =1，又a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =29(9a 1+36d )=29.故选：D 方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，a 1+a 9=a 3+a 7，由S 9=1，根据等差数列的求和公式，S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 3+a 7)2=1，故a 3+a 7=29.故选：D 方法三：特殊值法不妨取等差数列公差d =0，则S 9=1=9a 1⇒a 1=19，则a 3+a 7=2a 1=29.故选：D2(全国甲卷数学(理))等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 5=S 10，a 5=1，则a 1=()A.-2B.73C.1D.2【答案】B【分析】由S 5=S 10结合等差中项的性质可得a 8=0，即可计算出公差，即可得a 1的值.【详解】由S 10-S 5=a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=5a 8=0，则a 8=0，则等差数列a n 的公差d =a 8-a 53=-13，故a 1=a 5-4d =1-4×-13 =73.故选：B .3(新高考北京卷)记水的质量为d =S -1ln n，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且d 1=2.1，d 2=2.2，则n 1与n 2的关系为()A.n 1<n 2B.n 1>n 2C.若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D.若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；【答案】C【分析】根据题意分析可得n 1=eS -12.1n 2=eS -12.2，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得d 1=S -1ln n 1=2.1d 2=S -1ln n 2=2.2 ，解得n 1=e S -12.1n 2=e S -12.2，若S >1，则S -12.1>S -12.2，可得e S -12.1>e S -12.2，即n 1>n 2；若S =1，则S -12.1=S -12.2=0，可得n 1=n 2=1；若S <1，则S -12.1<S -12.2，可得e S -1 2.1<e S -12.2，即n 1<n 2；结合选项可知C 正确，ABD 错误；故选：C .二、填空题4(新课标全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 4=7，3a 2+a 5=5，则S 10=.【答案】95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a 1,d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列a n 为等差数列，则由题意得a 1+2d +a 1+3d =73a 1+d +a 1+4d =5，解得a 1=-4d =3 ，则S 10=10a 1+10×92d =10×-4 +45×3=95.故答案为：95.5(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1q n -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1q n -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.三、解答题6(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m +2 .下面证明，对1≤i <j ≤4m +2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列：命题1：i ∈A ,j ∈B 或i ∈B ,j ∈A ；命题2：j -i ≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i ∈A ,j ∈B ，且j -i ≠3.此时设i =4k 1+1，j =4k 2+2，k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+1<4k 2+2，即k 2-k 1>-14，故k 2≥k 1.此时，由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+1和j =4k 2+2后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ，共k 1组；②4k 1+2,4k 1+3,4k 1+4,4k 1+5 ,4k 1+6,4k 1+7,4k 1+8,4k 1+9 ,...,4k 2-2,4k 2-1,4k 2,4k 2+1 ，共k 2-k 1组；③4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.第二种情况：如果i ∈B ,j ∈A ，且j -i ≠3.此时设i =4k 1+2，j =4k 2+1，k 1,k 2∈0,1,2,...,m .则由i <j 可知4k 1+2<4k 2+1，即k 2-k 1>14，故k 2>k 1.由于j -i ≠3，故4k 2+1 -4k 1+2 ≠3，从而k 2-k 1≠1，这就意味着k 2-k 1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m +2中取出i =4k 1+2和j =4k 2+1后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4 ,5,6,7,8 ,...,4k 1-3,4k 1-2,4k 1-1,4k 1 ，共k 1组；②4k 1+1,3k 1+k 2+1,2k 1+2k 2+1,k 1+3k 2+1 ，3k 1+k 2+2,2k 1+2k 2+2,k 1+3k 2+2,4k 2+2 ，共2组；③全体4k 1+p ,3k 1+k 2+p ,2k 1+2k 2+p ,k 1+3k 2+p ，其中p =3,4,...,k 2-k 1，共k 2-k 1-2组；④4k 2+3,4k 2+4,4k 2+5,4k 2+6 ,4k 2+7,4k 2+8,4k 2+9,4k 2+10 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -k 2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k 2-k 1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k 1+3,4k 1+4,...,3k 1+k 2 ，3k 1+k 2+3,3k 1+k 2+4,...,2k 1+2k 2 ，2k 1+2k 2+3,2k 1+2k 2+3,...,k 1+3k 2 ，k 1+3k 2+3,k 1+3k 2+4,...,4k 2 .可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k 1+1,4k 1+2,...,4k 2+2 中除开五个集合4k 1+1,4k 1+2 ，3k 1+k 2+1,3k 1+k 2+2 ，2k 1+2k 2+1,2k 1+2k 2+2 ，k 1+3k 2+1,k 1+3k 2+2 ，4k 2+1,4k 2+2 中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k 1+2和4k 2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m +2是i ,j -可分数列.至此，我们证明了：对1≤i <j ≤4m +2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m +2一定是i ,j -可分数列.然后我们来考虑这样的i ,j 的个数.首先，由于A ∩B =∅，A 和B 各有m +1个元素，故满足命题1的i ,j 总共有m +1 2个；而如果j -i =3，假设i ∈A ,j ∈B ，则可设i =4k 1+1，j =4k 2+2，代入得4k 2+2 -4k 1+1 =3.但这导致k 2-k 1=12，矛盾，所以i ∈B ,j ∈A .设i =4k 1+2，j =4k 2+1，k 1,k 2∈0,1,2,...,m ，则4k 2+1 -4k 1+2 =3，即k 2-k 1=1.所以可能的k 1,k 2 恰好就是0,1 ,1,2 ,...,m -1,m ，对应的i ,j 分别是2,5 ,6,9 ,...,4m -2,4m +1 ，总共m 个.所以这m +1 2个满足命题1的i ,j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的i ,j 的个数为m +1 2-m .当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.7(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n 2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV ⋅UW 1-UV ⋅UW UV ⋅UW2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2 c 2+d 2 -ac +bd 2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc 2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m.而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1=12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2 .这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n -121+k 1-k m x n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k =x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.8(全国甲卷数学(文))已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =3a n +1-3.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列S n 的通项公式.【答案】(1)a n =53n -1(2)3253 n -32【分析】(1)利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；(2)利用等比数列的求和公式可求S n .【详解】(1)因为2S n =3a n +1-3,故2S n -1=3a n -3，所以2a n =3a n +1-3a n n ≥2 即5a n =3a n +1故等比数列的公比为q =53，故2a 1=3a 2-3=3a 1×53-3=5a 1-3，故a 1=1，故a n =53n -1.(2)由等比数列求和公式得S n =1×1-53 n1-53=3253 n -32.9(全国甲卷数学(理))记S n 为数列a n 的前n 项和，且4S n =3a n +4．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n -1na n ，求数列b n 的前n 项和为T n ．【答案】(1)a n =4⋅(-3)n -1(2)T n =(2n -1)⋅3n +1【分析】(1)利用退位法可求a n 的通项公式．(2)利用错位相减法可求T n .【详解】(1)当n =1时，4S 1=4a 1=3a 1+4，解得a 1=4．当n ≥2时，4S n -1=3a n -1+4，所以4S n -4S n -1=4a n =3a n -3a n -1即a n =-3a n -1，而a 1=4≠0，故a n ≠0，故an a n -1=-3，∴数列a n 是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以a n =4⋅-3 n -1.(2)b n =(-1)n -1⋅n ⋅4⋅(-3)n -1=4n ⋅3n -1,所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =4⋅30+8⋅31+12⋅32+⋯+4n ⋅3n -1故3T n =4⋅31+8⋅32+12⋅33+⋯+4n ⋅3n所以-2T n =4+4⋅31+4⋅32+⋯+4⋅3n -1-4n ⋅3n=4+4⋅31-3n -11-3-4n ⋅3n =4+2⋅3⋅3n -1-1 -4n ⋅3n=(2-4n )⋅3n -2，∴T n =(2n -1)⋅3n +1.10(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.11(新高考天津卷)已知数列a n 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为S n ．若a 1=1,S 2=a 3-1．(1)求数列a n 前n 项和S n ；(2)设b n =k ,n =a kb n -1+2k ,a k <n <a k +1，b 1=1，其中k 是大于1的正整数．(ⅰ)当n =a k +1时，求证：b n -1≥a k ⋅b n ；(ⅱ)求S ni =1b i ．【答案】(1)S n =2n -1(2)①证明见详解；②S ni =1b i =3n -1 4n+19【分析】(1)设等比数列a n 的公比为q >0，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；(2)①根据题意分析可知a k =2k -1,b n =k +1，b n -1=k 2k -1 ，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得∑2k -1i =2k -1b i =193k -1 4k -3k -4 4k -1，再结合裂项相消法分析求解.【详解】(1)设等比数列a n 的公比为q >0，因为a 1=1,S 2=a 3-1，即a 1+a 2=a 3-1，可得1+q =q 2-1，整理得q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)，所以S n =1-2n1-2=2n -1.(2)(i )由(1)可知a n =2n -1，且k ∈N *,k ≥2，当n =a k +1=2k≥4时，则a k =2k -1<2k -1=n -1n -1=a k +1-1<a k +1 ，即a k <n -1<a k +1可知a k =2k -1,b n =k +1，b n -1=b a k+a k +1-a k -1 ⋅2k =k +2k 2k -1-1 =k 2k -1 ，可得b n -1-a k ⋅b n =k 2k -1 -k +1 2k -1=k -1 2k -1-k ≥2k -1 -k =k -2≥0，当且仅当k =2时，等号成立，所以b n -1≥a k ⋅b n ；(ii )由(1)可知：S n =2n -1=a n +1-1，若n =1，则S 1=1,b 1=1；若n ≥2，则a k +1-a k =2k -1，当2k -1<i ≤2k -1时，b i -b i -1=2k ，可知b i 为等差数列，可得∑2k -1i =2k -1b i =k ⋅2k -1+2k 2k -12k -1-1 2=k ⋅4k -1=193k -1 4k -3k -4 4k -1 ，所以∑S ni =1b i =1+195×42-2×4+8×43-5×42+⋅⋅⋅+3n -1 4n -3n -4 4n -1=3n -1 4n+19，且n =1，符合上式，综上所述：∑Sni =1b i =3n -1 4n +19.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当2k -10,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．【答案】(1)x |1<x <2 (2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【详解】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.一、单选题1(2024·重庆·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +S n +1=n 2+1n ∈N ∗ ,S 24=()A.276B.272C.268D.266【答案】A【分析】令n =1得S 2=1，当n ≥2时，结合题干作差得S n +1-S n -1=2n -1，从而利用累加法求解S 24=即可.【详解】∵a 1=S 1=1，又∵S n +S n +1=n 2+1，当n =1时，S 1+S 2=12+1=2，解得S 2=1；当n ≥2时，S n -1+S n =(n -1)2+1，作差得S n +1-S n -1=2n -1，∴S 24=S 24-S 22 +S 22-S 20 +⋯+S 4-S 2 +S 2=223+21+⋯+3 -11+1=276.故选：A2(2024·河北张家口·三模)已知数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数，则S100=()A.3×251-156B.3×251-103C.3×250-156D.3×250-103【答案】A【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记b n=a2n+a2n-1,n≥1，利用构造法求得b n=6×2n-1-3，然后分组求和可得.【详解】因为a1=1,a n+1=a n+1,n为奇数2a n,n为偶数，所以a2k+2=a2k+1+1=2a2k+1，a2k+1=2a2k=2a2k-1+2,k∈N*，且a2=2，所以a2k+2+a2k+1=2a2k+a2k-1+3，记b n=a2n+a2n-1,n≥1，则b n+1=2b n+3，所以b n+1+3=2b n+3，所以b n+3是以b1+3=a1+a2+3=6为首项，2为公比的等比数列，所以b n+3=6×2n-1，b n=6×2n-1-3，记b n的前n项和为T n，则S100=T50=6×20+6×21+6×22+⋅⋅⋅+6×249-3×50=3×251-156.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得b n的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求b n的前50项和.3(2024·山东日照·三模)设等差数列b n的前n项和为S n，若b3=2，b7=6，则S9=()A.-36B.36C.-18D.18【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质求解.【详解】解：S9=b1+b9×92=b3+b7×92=36，故选：B.4(2024·湖北武汉·二模)已知等差数列a n的前n项和为S n，若S3=9,S9=81，则S12=() A.288 B.144 C.96 D.25【答案】B【分析】利用等差数列的前n项和列方程组求出a1,d，进而即可求解S12.【详解】由题意S3=3a1+3×22d=9S9=9a1+9×82d=81，即a1+d=3a1+4d=9，解得a1=1d=2.于是S12=12×1+12×112×2=144.故选：B.5(2024·江西赣州·二模)在等差数列a n中，a2，a5是方程x2-8x+m=0的两根，则a n的前6项和为()A.48B.24C.12D.8【答案】B【分析】利用韦达定理确定a2+a5=8，根据等差数列性质有a2+a5=a1+a6=8，在应用等差数列前n项和公式即可求解.【详解】因为a 2，a 5是方程x 2-8x +m =0的两根，所以a 2+a 5=8，又因为a n 是等差数列，根据等差数列的性质有：a 2+a 5=a 1+a 6=8，设a n 的前6项和为S 6，则S 6=a 1+a 6 ×62=3×8=24.故选：B6(2024·湖南永州·三模)已知非零数列a n 满足2n a n +1-2n +2a n =0，则a 2024a 2021=()A.8B.16C.32D.64【答案】D【分析】根据题意，由条件可得a n +1=4a n ，再由等比数列的定义即可得到结果.【详解】由2n a n +1-2n +2a n =0可得a n +1=4a n ，则a 2024a 2021=4×4×4a 2021a 2021=64.故选：D7(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi )，是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A 、B 、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着n 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1)=1，H (2)=3，则下列说法正确的是()A.H (3)=5B.H (n ) 为等差数列C.H (n )+1 为等比数列D.H 7 <100【答案】C【分析】由题意可得H (3)=7，判断A ；归纳得到H n =2n -1，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B ，C ；求出H 7 ，判断D .【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：A →C ,A →B ,C →B ，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：A →B ,A →C ,B →C ,A →B ,C →A ,C →B ,A →B ，共7次，故H (3)=7，A 错误；由此可知若有n 个圆盘，设至少移动a n 次，则a n =2a n -1+1,所以a n +1=2a n -1+1 ，而a 1+1=1+1=2≠0，故a n +1 为等比数列，故a n =2n -1即H n =2n -1，该式不是n 的一次函数，则H (n ) 不为等差数列，B 错误；又H n =2n -1，则H n +1=2n ，H n +1 +1H n +1=2，则H (n )+1 为等比数列，C 正确，H 7 =27-1=127>100，D 错误，故选：C8(2024·云南曲靖·二模)已知S n 是等比数列a n 的前n 项和，若a 3=3,S 3=9，则数列a n 的公比是()A.-12或1 B.12或1 C.-12D.12【答案】A【分析】分别利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，解方程组可得q =1或q =-12.【详解】设等比数列a n 的首项为a 1，公比为q ，依题意得a 3=a 1q 2=3S 3=a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=9 ，解得q =1或q =-12.故选：A .9(2024·四川·模拟预测)已知数列a n 为等差数列，且a 1+2a 4+3a 9=24，则S 11=()A.33B.44C.66D.88【答案】B【分析】将a 1,a 4,a 9用a 1和d 表示，计算出a 6的值，再由S 11=11a 6得S 11的值.【详解】依题意，a n 是等差数列，设其公差为d ，由a 1+2a 4+3a 9=24，所以a 1+2a 1+3d +3a 1+8d =6a 1+30d =6a 6=24，即a 6=4,S 11=11a 1+10×112d =11a 1+5d =11a 6=11×4=44，故选：B .10(2024·北京东城·二模)设无穷正数数列a n ，如果对任意的正整数n ，都存在唯一的正整数m ，使得a m =a 1+a 2+a 3+⋯+a n ，那么称a n 为内和数列，并令b n =m ，称b n 为a n 的伴随数列，则()A.若a n 为等差数列，则a n 为内和数列B.若a n 为等比数列，则a n 为内和数列C.若内和数列a n 为递增数列，则其伴随数列b n 为递增数列D.若内和数列a n 的伴随数列b n 为递增数列，则a n 为递增数列【答案】C【分析】对于ABD ：举反例说明即可；对于C ：根据题意分析可得a m 2>a m 1，结合单调性可得m 2>m 1，即可得结果.【详解】对于选项AB ：例题a n =1，可知a n 即为等差数列也为等比数列，则a 1+a 2=2，但不存在m ∈N *，使得a m =2，所以a n 不为内和数列，故AB 错误；对于选项C ：因为a n >0，对任意n 1,n 2∈N *，n 1<n 2，可知存在m 1,m 2∈N *，使得a m 1=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 1,a m 2=a 1+a 2+a 3+⋯+a n 2，则a m 2-a m 1=a n 1+1+a n 1+2+⋯+a n 2>0，即a m 2>a m 1，且内和数列a n 为递增数列，可知m 2>m 1，所以其伴随数列b n 为递增数列，故C 正确；对于选项D ：例如2,1,3,4,5,⋅⋅⋅，显然a n 是所有正整数的排列，可知a n 为内和数列，且a n 的伴随数列为递增数列，但an 不是递增数列，故D 错误；故选：C.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算.11(2024·广东茂名·一模)已知T n为正项数列a n的前n项的乘积，且a1=2,T2n=a n+1n，则a5=() A.16 B.32 C.64 D.128【答案】B【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.【详解】由T2n=a n+1n，得T2n+1=a n+2n+1，于是a2n+1=T2n+1T2n=a n+2n+1a n+1n，则a n n+1=a n+1n，两边取对数得n lg a n+1=(n+1)lg a n，因此lg a n+1n+1=lg a nn，数列lg a nn是常数列，则lg a nn=lg a11=lg2，即lg a n=n lg2=lg2n，所以a n=2n，a5=32.故选：B12(2024·湖南常德·一模)已知等比数列a n中，a3⋅a10=1，a6=2，则公比q为()A.12B.2 C.14D.4【答案】C【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论.【详解】q=1q3⋅q4=a3a6⋅a10a6=a3⋅a10a26=122=14.故选：C.二、多选题13(2024·湖南长沙·三模)设无穷数列a n的前n项和为S n，且a n+a n+2=2a n+1，若存在k∈N∗，使S k+1 >S k+2>S k成立，则()A.a n≤a k+1B.S n≤S k+1C.不等式S n<0的解集为n∈N∗∣n≥2k+3D.对任意给定的实数p，总存在n0∈N∗，当n>n0时，a n<p【答案】BCD【分析】根据题意，得到a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0且a n是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由S k+1>S k+2>S k，可得a k+2=S k+2-S k+1<0,a k+1=S k+1-S k>0，且a k+1+a k+2=S k+2-S k>0，即a k+2<0,a k+1>0,a k+1+a k+2>0又由a n+a n+2=2a n+1，可得数列a n是等差数列，公差d=a k+2-a k+1<0，所以a n是递减数列，所以a1是最大项，且随着n的增加，a n无限减小，即a n≤a1，所以A错误、D正确；因为当n≤k+1时，a n>0；当n≥k+2时，a n<0，所以S n的最大值为S k+1，所以B正确；因为S2k+1=(2k+1)(a1+a2k+1)2=(2k+1)a k+1>0,S2k+3=(2k+3)a k+2<0，且S 2k +2=a 1+a 2k +22×2k +2 =k +1 ⋅a k +1+a k +2 >0，所以当n ≤2k +2时，S n >0；当n ≥2k +3时，S n <0，所以C 正确.故选：BCD .14(2024·山东泰安·模拟预测)已知数列a n 的通项公式为a n =92n -7n ∈N *，前n 项和为S n ，则下列说法正确的是()A.数列a n 有最大项a 4B.使a n ∈Z 的项共有4项C.满足a n a n +1a n +2<0的n 值共有2个D.使S n 取得最小值的n 值为4【答案】AC【分析】根据数列的通项公式，作差判断函数的单调性及项的正负判断A ，根据通项公式由整除可判断B ，根据项的正负及不等式判断C ，根据数列项的符号判断D .【详解】对于A ：因为a n =92n -7n ∈N *，所以a n +1-a n =92n -5-92n -7=-182n -5 2n -7，令a n +1-a n >0，即2n -5 2n -7 <0，解得52<n <72，又n ∈N *，所以当n =3时a n +1-a n >0，则当1≤n ≤2或n ≥4时，a n +1-a n <0，令a n =92n -7>0，解得n >72，所以a 1=-95>a 2=-3>a 3=-9，a 4>a 5>a 6>⋯>0，所以数列a n 有最大项a 4=9，故A 正确；对于B ：由a n ∈Z ，则92n -7∈Z 又n ∈N *，所以n =2或n =3或n =4或n =5或n =8，所以使a n ∈Z 的项共有5项．故B 不正确；对于C ：要使a n a n +1a n +2<0，又a n ≠0，所以a n 、a n +1、a n +2中有1个为负值或3个为负值，所以n =1或n =3，故满足a n a n +1a n +2<0的n 的值共有2个，故C 正确；对于D ：因为n ≤3时a n <0，n ≥4时a n >0，所以当n =3时S n 取得最小值，故D 不正确．故选：AC ．15(2024·山东临沂·二模)已知a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，则下列命题为真命题的是()A.若a 3+a 4=9，a 7+a 8=18，则a 1+a 2=5B.若a 2+a 13=4，则S 14=28C.若S 15<0，则S 7>S 8D.若a n 和a n ⋅a n +1 都为递增数列，则a n >0【答案】BC【分析】根据题意，求得d =98，结合a 1+a 2=a 3+a 4 -4d ，可判定A 错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B 正确；由S 15<0，求得a 8<0，可判定C 正确；根据题意，求得任意的n ≥2,a n >0，结合a 1的正负不确定，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由a 3+a 4=9，a 7+a 8=18，可得a 7+a 8 -a 3+a 4 =8d =9，所以d =98，又由a 1+a 2=a 3+a 4 -4d =9-4×98=92，所以A 错误；对于B 中，由S 14=14a 1+a 14 2=14a 2+a 132=28，所以B 正确；对于C 中，由S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，所以a 8<0，又因为S 8-S 7=a 8<0，则S 7>S 8，所以C 正确；对于D 中，因为a n 为递增数列，可得公差d >0，因为a n a n +1 为递增数列，可得a n +2a n +1-a n a n +1=a n +1⋅2d >0，所以对任意的n ≥2,a n >0，但a 1的正负不确定，所以D 错误．故选：BC .16(2024·山东泰安·二模)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 2=4，S 7=42，则下列说法正确的是()A.a 5=4B.S n =12n 2+52n C.a nn为递减数列 D.1a n a n +1 的前5项和为421【答案】BC【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差d ，再逐项求解判断即可.【详解】等差数列a n 中，S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42，解得a 4=6，而a 2=4，因此公差d =a 4-a 24-2=1，通项a n =a 2+(n -2)d =n +2，对于A ，a 5=7，A 错误；对于B ，S n =n (3+n +2)2=12n 2+52n ，B 正确；对于C ，a n n =1+2n ，a n n 为递减数列，C 正确；对于D ，1a n a n +1=1(n +2)(n +3)=1n +2-1n +3，所以1a n a n +1 的前5项和为13-14+14-15+⋯+17-18=13-18=524，D 错误.故选：BC17(2024·江西·三模)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=2a n +1，则()A.数列a n 是等比数列B.数列log 2a n +1 是等差数列C.数列a n 的前n 项和为2n +1-n -2D.a 20能被3整除【答案】BCD【分析】利用构造法得到数列a n +1 是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明.【详解】由a n +1=2a n +1可得：a n +1+1=2a n +1 ，所以数列a n +1 是等比数列，即a n =2n -1，则a 1=1,a 2=3,a 3=7,显然有a 1⋅a 3≠a 22，所以a 1,a 2,a 3不成等比数列，故选项A 是错误的；由数列a n +1 是等比数列可得：a n +1=2n ，即log 2a n +1 =log 22n =n ，故选项B 是正确的；由a n =2n -1可得：前n 项和S n =21-1+22-1+23-1+⋅⋅⋅+2n-1=21-2n 1-2-n =2n +1-n -2，故选项C是正确的；由a 20=220-1=3-1 20-1=C 020320+C 120319⋅-1 +C 220318⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 19203⋅-1 19+C 2020-1 20-1=3×C 020319+C 120318⋅-1 +C 220317⋅-1 2+⋅⋅⋅+C 1920-1 19 ，故选项D 是正确的；方法二：由210=1024，1024除以3余数是1，所以10242除以3的余数还是1，从而可得220-1能补3整除，故选项D 是正确的；故选：BCD ．18(2024·湖北·二模)无穷等比数列a n 的首项为a 1公比为q ，下列条件能使a n 既有最大值，又有最小值的有()A.a 1>0，0<q <1B.a 1>0，-1<q <0C.a 1<0，q =-1D.a 1<0，q <-1【答案】BC【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.【详解】a 1>0，0<q <1时，等比数列a n 单调递减，故a n 只有最大值a 1，没有最小值；a 1>0，-1<q <0时，等比数列a n 为摆动数列，此时a 1为大值，a 2为最小值；a 1<0，q =-1时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，所以等比数列a n 有最大值，也有最小值；a 1<0，q <-1时，因为q >1，所以a n 无最大值，奇数项为负无最小值，偶数项为正无最大值.故选：BC 三、填空题19(2024·山东济南·三模)数列a n 满足a n +2-a n =2，若a 1=1，a 4=4，则数列a n 的前20项的和为．【答案】210【分析】数列a n 的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列a n 满足a n +2-a n =2，若a 1=1，a 4=4，则a 2=a 4-2=4-2=2，所以数列a n 的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列a n 的前20项的和为a 1+a 2+⋯+a 20=a 1+a 3+⋯+a 19 +a 2+a 4+⋯+a 20=10×1+10×92×2+10×2+10×92×2=210.故答案为：210.20(2024·云南·二模)记数列a n 的前n 项和为S n ，若a 1=2,2a n +1-3a n =2n ，则a 82+S 8=.【答案】12/0.5【分析】构造得a n +12n -1-4=34a n2n -2-4，从而得到a n 2n -2=4，则a n =2n ，再利用等比数列求和公式代入计算即可.【详解】由2a n +1-3a n =2n ，得a n +12n -1=34×a n 2n -2+1，则a n +12n -1-4=34a n2n -2-4，又a 12-1-4=0，则a n 2n -2=4，则a n =2n ，a 8=28，S 8=21-28 1-2=29-2，a 82+S 8=2829=12，故答案为：12.21(2024·上海·三模)数列a n 满足a n +1=2a n (n 为正整数)，且a 2与a 4的等差中项是5，则首项a 1=。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三数学一轮复习资料——数列

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三数学一轮复习资料——数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列.ii. ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分.iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.⑷数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a SS 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .3. 常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nn a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为： ⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.5. 数列常见的几种形式：⑴n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设nn n xc x c a 2211.+=，若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c . ⑵r Pa a n n +=-1（P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式，再用特征根方法求n a ；④121-+=n n P c c a （公式法），21,c c 由21,a a 确定.①转化等差，等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法：=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r P P r a a n n n -+=---+=⇒--1111)(1)1( r r P a P n n +++⋅+=--Pr 211 .③用特征方程求解：⇒⎭⎬⎫+=+=-+相减，r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=⇒-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a ）（. ④由选代法推导结果：Pr P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+-+=+=-+=-=--111111112121）（，，. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法：一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (21))12,...(413,211n n -⋅⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11---n nn n a a a a 为同一常数。

备战2023年高考化学母题题源解密专题04 离子反应(解析版)

专题04 离子反应【母题来源】2022年全国甲卷【母题题文】能正确表示下列反应的离子方程式为 A ．硫化钠溶液和硝酸混合：S 2-+2H +=H 2S↑B ．明矾溶液与过量氨水湿合：Al 3++4NH 3+2H 2O=AlO 2-+4NH 4+C ．硅酸钠溶液中通入二氧化碳：SiO 23-+CO 2+H 2O=HSiO 3-+HCO 3-D ．将等物质的量浓度的Ba(OH)2和NH 4HSO 4溶液以体积比1∶2混合：Ba 2++2OH -+2H ++SO 24-=BaSO 4↓+2H 2O【答案】D【试题解析】A ．硝酸具有强氧化性，可以将S 2-氧化为S 单质，自身根据其浓度大小还原为NO 或NO 2，反应的离子方程式为4H ++2NO 3-+S 2-=S↓+2NO 2↑+2H 2O(浓)或8H ++2NO 3-+3S 2-=3S↓+2NO↑+4H 2O(稀)，A 错误；B ．明矾在水中可以电离出Al 3+，可以与氨水中电离出的OH -发生反应生成Al(OH)3，但由于氨水的碱性较弱，生成的Al(OH)3不能继续与弱碱发生反应，故反应的离子方程式为Al 3++3NH 3·H 2O=Al(OH)3↓+3NH 4+，B 错误；C ．硅酸的酸性小于碳酸，向硅酸钠溶液中通入二氧化碳时，生成硅酸沉淀，二氧化碳则根据其通入的量的多少反应为碳酸根或碳酸氢根，反应的离子方程式为SiO 23-+H 2O+CO 2=H 2SiO 3↓+CO 23-(CO 2少量)或SiO 23-+2H 2O+2CO 2=H 2SiO 3↓+2HCO 3-(CO 2过量)，C 错误；D ．将等物质的量浓度的Ba(OH)2与NH 4HSO 4溶液以体积比1：2混合，Ba(OH)2电离出的OH -与NH 4HSO 4电离出的H +反应生成水，Ba(OH)2电离出的Ba 2+与NH 4HSO 4电离出的SO 24-反应生成BaSO 4沉淀，反应的离子方程为为Ba 2++2OH -+2H ++SO 24-=BaSO 4↓+2H 2O ，D 正确；故答案选D 。

新版高考数学(理科)二轮复习【专题4】数列求和及综合应用(含答案)

1 则
a nan＋ 1
＝
1 d
1－ 1 an an＋1
.
常见的裂项公式：
① 1 ＝ 1－ 1 ； n n＋ 1 n n＋ 1
② n
1 n＋
k
＝
1 k(
1n－
1 n＋
k)；
③
1 2n－ 1 2n＋ 1
＝
1 2(
1 2n－
－ 1
1 2n＋
1)；
④
1 n＋
＝ n＋k
1 k(
n＋k－
n).
2.数列应用题的模型 (1) 等差模型：如果增加 (或减少 )的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加就是公差 .
(1) 求第 n 年年初 M 的价值 an 的表达式；
(2) 设
An＝
a1＋
a2＋…＋ n
an，若
An 大于
80 万元，则
M 继续使用，否则须在第
n 年年初对 M 更
新，证明：必须在第九年年初对 M 更新 .
思维启迪 (1) 根据题意，当 n≤ 6 时，数列 { an} 是等差数列，当 n≥ 7 时，数列 { an} 是等比数列，分别写出其通项公式，然后进行合并即可； (2)先对 n 进行分类，表示出 An，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与 80 比较大小，确定 n 的值 .
∴ bn＝
n 2n＋1－1 －
2 n－ 1
＝
2
n＋
n 1－
2
n＝
n 2n，
∴
T
n＝
1 2
＋
2 22＋
3 23＋
…
＋
n 2n，
1 2T
n＝
1 22＋

第04讲等式与不等式质(含糖水不等式)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）（6类核心考点精讲精练）【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题1. 等式的性质性质1 如果b a =，那么________；性质2 如果b a =，c b =，那么________；性质3 如果b a =，那么________；性质4 如果b a =，那么________；性质5 如果b a =，0≠c ，那么________；2. 比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：0a b ->Û ； 0a b -=Û；0a b -<Û另外，若0b >，则有1a a b b >Û>；1aa b b =Û=；1a a b b<Û<.3. 不等式的基本性质：（1）对称性：．（2）传递性：．（3）可加性：．（4）可积性：① ；②．（5）同向可加性：；异向可减性：．（6）同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：．（7）乘方法则：（n +ÎN ，2n ³）．（8）开方法则：（n +ÎN ，2n ³）．（9）倒数法则：；．4. 糖水不等式及其变形若实数a ，b ，c ，满足0a b >>，0m >，则ba _____b m a m ++，b a _____b －m a －m ，(b －m ＞0)；a b _____a ＋m b ＋m ；a b_____a －m b －m，(b －m ＞0)（用不等号填空）．5. 对数型糖水不等式及其变形（1）设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ （2）设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+（3）上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b m a a m +>+1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（）A ．a d b c+>+B ．ad bc>C ．a c b d+>+D ．ac bd>2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则b c ba c a+>+B ．若a b >，c d >，则a d b c->-C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a>-1．（2024·全国·模拟预测）已知x y >，则下列不等式正确的是（）A ．11x y-<-B ．22x y >C ．||1xy>D ．xz yz>2．（2024·北京丰台·二模）若,a b ÎR ，且a b >，则（）A ．221111a b <++B ．22a b ab >C ．22a ab b >>D ．2a ba b +>>1．（2023高三·全国·专题练习）已知4ππ3a b <+<，ππ3a b -<-<-，求2a b -的取值范围为 .2．（2024·河北石家庄·二模）若实数,,0x y z ³，且4,25x y z x y z ++=-+=，则435M x y z =++的取值范围是.1．（2024高三·全国·专题练习）已知1260,1536a b <<<<，则a b -的取值范围是，ab的取值范围是.2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知12x y £-£，24x y £+£，则3x y -的最小值.3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数a b c ，，满足22221625a c b c +=+=，，则22=+k a b 的取值范围为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.2．（上海浦东新·阶段练习）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小1．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b 为正实数．求证：22a b a b b a +>+.2．若0a b >>，求证：2()a ba ba b ab +>．1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在ABC V 中a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边长，则111c a bc a b<++++”1．（1）设0b a >>，0m >，证明：a a mb b m+<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y z x y y z z x<++<+++.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m (0)m >克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）A ．bm am>B ．b m a m+>+C ．m ma b>D ．a m ab m b+>+2．（2023·四川凉山·一模）a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m ba m a+>+(0a b >>，0m >).若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则A ．123x x x <>，0m >）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断3log 2与15log 10的大小：例如315ln 2ln 2ln 5ln10log 2log 10ln 3ln 3ln 5ln15+=<==+，试比较4log 3 5log 4的大小（填”<”或”>”或”=”）1．（2024·湖南长沙·二模）设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（）A ．2c cd2．（2024·广西·二模）已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc>C ．11a b b c>--D ．()()294a cbc c <--1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b >>B ．若0a b <<，则22ac bc <C ．若0a b c <<<，则c ca b>D ．若0a b <<，则22ba +>2．（2024·江西·模拟预测）已知0a b c d <<<<，则下列不等式一定正确的是（）A ．a b c d+<+B ．ac bc<C ．ab cd<D ．a ac d<3．（2024·安徽淮北·一模）已知a ，b ，c ÎR ，下列命题为真命题的是（）A ．若a b c >>，则a b c +>B ．若a b c >>，则222a b c >>C ．若0a b c <<<，则c c a b>D ．若0a b c >>>，则b b ca a c+<+一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）“0a b >>，c d >是“ac bd >”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·吉林长春·一模）若a ，b ，R c Î，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc >C ．2()0b ac -<D ．2()0a b c -³3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．22ac bc >B ．b aa b>C ．22a ab b >>D ．11a b>4．（2023·山东·模拟预测）对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则22>ac bc B ．若>>0a b ，则11>a b C ．若<<0a b ，则<a bb aD ．若a b >，11>a b，则<0ab 5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．b a a b>D ．2211ab a b>6．（2023·广东·二模）若a b c === ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b c a>>二、多选题7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则33a b >D ．若a b >，则22a b >三、填空题8．（2023高三·全国·课后作业）已知01,23a b a b £+<£-<，则b 的取值范围是．9．（2023高三·全国·专题练习）若13a <<,42b -<<,则2a b +的取值范围是.10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知14x -<<，23y <<，则32x y +的取值范围是.一、单选题1．（2024·山东聊城·三模）“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ³，则a b³D ．若22a b +=，则244a b +³3．（2024·陕西铜川·三模）已知,a b 为正实数，则“1a b <”是“11a ab b +<+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·福建福州·模拟预测）设a ，b ÎR ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2024·安徽淮北·二模）已知,R a b Î，下列命题正确的是（）A ．若1ab =，则2a b +³B ．若11a b <，则a b>C ．若a b >，则()ln 0a b ->D ．若0a b >>，则11a b b a+>+6．（2024·北京·三模）已知,R x y Î，且x y >，则（）A ．11x y -<0B ．tan tan 0x y ->C ．110e e xyæöæö-<ç÷ç÷èøèøD ．ln ||ln ||0x y ->7．（2024·四川成都·模拟预测）已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．330a b >>D >8．（2024高三下·全国·专题练习）记{}123max ,,x x x 表示123,,x x x 这3个数中最大的数．已知a ，b ，c 都是正实数，12max ,,b c M a a c b ìü=+íýîþ，则M 的最小值为（）A B C ．D ．二、多选题9．（2024·辽宁·模拟预测）若,0a b >，则使“a b >”成立的一个充分条件可以是（）A ．11a b-C ．22a b b a ab +>+D ．()()22ln 1ln 1a b +>+10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数,a b 满足01a b <<<，则（）A ．11b b a a -<-B ．a b ab+>C ．b aa b <D ．112222log log a ba b-<-一、单选题1．（四川·高考真题）若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a bc d>B ．a b c d<C ．a b d c>D ．a b d c<2．（浙江·高考真题）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（广东·高考真题）设,a b R Î，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>4．（上海·高考真题）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b ，0bc ad ->，则0c da b->；（2）若0ab >，0c da b->，则0bc ad ->；（3）若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（北京·高考真题）设,,,a b c d R Î，且,a b c d >>，则下列结论正确的是（）A ．a c b d+>+B ．a c b d->-C ．ac bd>D ．a cd b>7．（全国·高考真题）若1a b >>，01c <<，则A ．cc a b ，，，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是.A ．B ．3C ．2D 二、多选题9．（上海·高考真题）如果,00a b <>，那么下列不等式不正确的是( )A ．11a b 三、填空题10．（辽宁·高考真题）已知14x y -<+<且23x y <-<，则 23z x y =-的取值范围是（答案用区间表示）。

江苏名校备战高考12讲专题04 立体几何(学生版)

专题04 立体几何一、单选题1. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．50πB ．55πC ．57πD ．108π2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量.设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P 是直线l 外一点，n 是直线l 的一个法向量，在直线l 上任取一点Q ，那么PQ 在法向量n 上的投影向量为()cos n PQ n θ⋅(θ为向量n 与PQ 的夹角），其模就是点P 到直线l 的距离d ，即PQ n d n ⋅=.据此，请解决下面的问题：已知点A (-4，0)，B (2，-1)，C (-1，3)，则点A 到直线BC 的距离是（） A ．215 B ．7 C ．275 D ．83. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是A ．334B ．33C ．34D ．3124. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △的面积为11，则此三棱锥外接球的体积为（）A ．16πB ．4πC ．163πD ．323π 5. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11AB BC ，的中点，则异面直线EF 与1C D 所成的角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒6. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，且3PA =，则二面角P BC A --的大小为（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．无法确定7. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱14BB =，2AB =，3AC BC ==，则点C 到平面11A BC 的距离为（）A ．22211B ．42211C ．62211D ．1222118. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π9. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M ､N 分别是边CD ､BC 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，在ADM △翻折到PAM △的过程中，tan PND ∠的最大值为（）A ．54B ．255C ．55D ．2310. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A ．33sin θB ．33cos θC ．12sin θD ．12cos θ11. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥S ABC -中，2SA =，22AB =，则该棱锥外接球的表面积为（）A ．43πB ．4πC ．12πD ．6π12. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】棱长为6的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E BCD -的体积为（）A ．92B ．242C ．362D ．722二、多选题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m β⊥，则αβ⊥C ．若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nD ．若αβ⊥，//m α，βn//，则m n ⊥ 2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边ABC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，满足//DE BC 且ADAC λ=（()0,1λ∈），将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE C ．若12λ=，当二面角A DE B '--等于60°时，72A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为2393. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（）A ．直线PB 与平面AMC 平行B ．直线PB 与直线AD 垂直C ．线段AM 与线段CM 长度相等D ．PB 与AM 所成角的余弦值为24 4. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将∠ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（） A ．BD ∠CMB ．存在一个位置，使∠CDM 为等边三角形C ．DM 与BC 不可能垂直D ．直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°5. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，DA 的中点，则（）A ．//AC 平面EFGB ．过点E ，F ，G 的截面的面积为12C ．AD 与BC 的公垂线段的长为2D ．CD 与平面GBC 所成角的大小小于．．二面角G BC D --的大小 7. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M ，N 分别是棱11A D ，CD 的中点，点P 在四边形ABCD 内，点Q 在线段BN 上，若25PM =，则（） A ．点P 的轨迹的长度为2π B ．线段MP 的轨迹与平面11ADC B 的交线为圆弧C ．PQ 长度的最小值为65105-D ．PQ 长度的最大值为252+ 8. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A ．三棱锥1P A BD -的体积为定值13B ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A BCD -截得的多边形的面积为32C ．直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球的体积为32π 9. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是（）A ．若直线m α⊥，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直B ．若直线m α⊥，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线C ．若直线m α⊂，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线D ．若直线m α⊂，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连结PB ，PC ，在ADM △翻折到PAM △的过程中，下列说法正确的是（）A ．四棱锥P ABCM -的体积的最大值为255B ．当面PAM ⊥平面ABCM 时，二面角PAB C 的正切值为54C ．存在某一翻折位置，使得AM PB ⊥D ．棱PB 的中点为N ，则CN 的长为定值 11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD 12. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体ABCD 中，ABC 是边长为2的正三角形.60ADB ∠=︒，二面角D AB C --的大小为60︒，则下列说法正确的是（）A ．AB CD ⊥B ．四面体ABCD 的体积V 的最大值为32 C ．棱CD 的长的最小值为3D ．四面体ABCD 的体积最大时，四面体ABCD 的外接球的表面积为529π 13. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为1B B ，11B C 的中点，则（）A ．直线1//A E 平面1ACDB ．直线1B D ⊥平面1ACDC ．平面1//A EF 平面1ACD D ．平面11A B CD ⊥平面1ACD14. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BA 的中点（）A ．直线1EC 与直线AD 是异面直线B ．在直线11AC 上存在点F ，使EF ⊥平面1ACDC ．直线1BA 与平面1ACD 所成角是6π D ．点B 到平面1ACD 的距离是22 15. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB 为上底面直径，DC 为下底面直径，AD ，BC 为母线，AB ＝AD ＝2，点F 在AB 上，点G 在DC 上，BF ＝DG ＝1，P 为DC 的中点.则（）A ．BF ∠PGB ．异面直线AF 与CG 所成角为60°C ．三棱锥P —ACG 的体积为32D ．直线AP 与平面ADG 所成角的正弦值为1510 16. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（） A ．,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为55三、填空题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________.2. ．【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，现将ABD △沿对角线BD 折起，得到三棱锥P BCD -.则当二面角P BD C --的大小为23π时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为______.3. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】在三棱锥P ABC -中，ABC 与PBC 均为边长为1的等边三角形，,,,P A B C ，四点在球O 的球面上，当三棱锥P ABC -的体积最大时，则球O 的表面积为______．4. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1==PA AB ，2BC =，则二面角A PC B --的正弦值为______.5. ．【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______. 6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．7. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，记该圆锥内半径最大的球为球O ，则球O 与圆锥侧面的交线的长为________cm .8. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个实心．．工艺品（如图所示）．该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）．若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的半径为___；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积计算公式是2S Rh π= . 由此可知，该实心．．工艺品的表面积是____.9. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BB ==，1BC =，5AC =，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，222AD AB BC ===，将ABC 沿对角线AC 翻折到AMC ，连结MD ．当三棱锥M ACD -的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为__________．11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，三角形PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为_________.12. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且26,22,15,5AB AD EH EF ====，平面EFGH 与平面ABCD 的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.13. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，三棱锥P ABC -中，1BC =，2AC =，3PC =，PA AB =，PA AC ⊥，PB BC ⊥.点Q 在棱PB 上且1BQ =，则直线CQ 与平面ABC 所成的角是__________.14. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.15. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为______；以点E 为球心，以104为半径的球面与对角面11ACC A 的交线长为______．四、解答题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形ABCDEF 中，将ABF 沿直线BF 翻折至A BF '△，使得平面A BF '⊥平面BCDEF ，O ，H 分别为BF 和A C '的中点.（1）证明：//OH 平面A EF '；（2）求平面A BC '与平面A DE 所成锐二面角的余弦值.2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，45BCD ∠=︒，2BC AD =.（1）求证：BD PC ⊥；（2）若PC BC =，求平面PAD 和平面PBC 所成的角（锐角）的余弦值.3. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P -ABCD 中，23,AD =3,AB =3,AP =//AD BC ，AD ⊥平面PAB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133PE PA PB =+.（1）证明：PE DC ⊥；（2）求二面角A -PD -E 的余弦值.4. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥P ABCD ，底面ABCD 为菱形，PD ＝PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∠平面AMHN .（1）证明：MN ∠PC ；（2）当H 为PC 的中点，PA ＝PC ＝3AB ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值.5. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】如图，平面ABCD ⊥平面DBNM ，且菱形ABCD 与菱形DBNM 全等，且MDB DAB ∠=∠，G 为MC 中点.（1）求证：平面//GBD 平面AMN .（2）求直线AD 与平面AMN 的所成角的正弦值.6. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34，求BM . 7. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期期中】如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.8. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值.9. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥A BCDE -中，//BC DE ，22BC DE ==，BC CD ⊥，F 为AB 的中点，BC EF ⊥.（1）求证：AC BC ⊥；（2）若AD CD =，2AC =，求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值的最大值.10. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，2AB =，且60DAB DBF ∠=∠=．（1）求证：AC BF ⊥；（2）求二面角E AF B --的余弦值．11. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，233AB =，12A A =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求直线1C B 与平面BDE 所成角的正弦值.12. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示的某种容器的体积为318dm π，它是由半球和圆柱两部分连接而成，半球的半径与圆柱的底面半径都为dm r ，圆柱的高为dm h .已知顶部半球面的造价为3a 元2/dm ，圆柱的侧面造价为a 元2/dm ，圆柱底面的造价为23a 元2/dm .（1）将圆柱的高h 表示为底面半径r 的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？13. 【江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末】如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E 为圆弧AB 上异于A ，B 的点，点F 为线段ED 上的动点.（1）求证：BE AF ⊥；（2）若2AB =，1AD =，30ABE ∠=︒，且直线CA 与平面ABF 所成角的正弦值为1510，求EF ED 的值. 14. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，底面ABCD 是菱形，且1A D ⊥平面1AA C ．（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A DB ；（2）求证：11//BB DD ．15. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，已知五面体ABCDEF 中，CDEF 为正方形，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，120ADC BCD ∠=∠=.（1）证明：ABCD 为等腰梯形；（2）若AD DE =，求二面角F BD C --的余弦值.16. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC ，BD 相交于点N ，2DN NB =，已知3PA AC AD ===，33BD =30ADB ∠=︒.（1）求证：AC ⊥平面PAD ；（2）设棱PD 的中点为M ，求平面PAB 与平面MAC 所成二面角的正弦值.17. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.请选择一个条件求平面EFG 与平面11ACC A 所成的二面角(锐角)的余弦值.18. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，60BAD ∠=，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，3BF =，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．（∠）求证：平面//BDGH 平面AEF ；（∠）求二面角H BD C --的大小．19. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF 和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（∠）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（∠）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是223． 20. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长． 21. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，//,2,4AB DC BC CD AB ===．M N ，分别是,AB AD 的中点，且PD NC ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）已知三棱锥D PAB -的体积为23，求二面角C PN M --的大小． 22. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方体，FA ∠底面ABCD ，AF ＝2，且DE ＝AF λ(0＜λ＜1).（1）求证：CE ∠平面ABF ；（2）若二面角B —CF —E 的大小为56π，求λ的值. 23. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，E 为侧棱PA 上一点，且2AE PE =，3AP =，2AB BC ==，4=AD .（1）证明：//PC 平面BDE . （2）求平面PCD 与平面BDE 所成锐二面角的余弦值.24. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2正三角形，侧面11ACC A 是菱形，且平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，12C G GC =.（1）证明：//EF 平面11ABB A ；（2）若①三棱锥1C ABC -的体积为1；②1C C 与底面所成的角为60︒；③异面直线1BB 与AE 所成的角为30.ACC A所成的二面角(锐角)的余弦值.请选择一个条件求平面EFG与平面11。

高考数学二轮复习专题四数列4.4专题提能_“数列”专题提能课讲义含解析05231157.doc

第四讲专题提能——“数列”专题提能课提能点一防止思维定式，实现“移花接木”n n n ________．[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.[答案] a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2[点评] 在对数列的概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n －1，导致出现错误答案a n ＝2n .已知S n 求a n 时，要注意进行分类讨论，能合则合，反之则分．[例2] 已知一个等比数列{a n }的前4项之积为16，第2,3项的和为2，则数列{a n }的公比q ＝________.[解析] 设数列{a n }的前4项分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，aq ＋aq 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，a 4q 4＋q4＝4，所以(1＋q )4＝64q 2，当q >0时，可得q 2－6q ＋1＝0，解得q ＝3±22，当q <0时，可得q 2＋10q ＋1＝0，解得q ＝－5±2 6. 综上，q ＝3±22或q ＝－5±2 6. [答案] 3±22或－5±2 6[点评] 一般地，在乘积已知的条件下，三个数成等比数列时，可将此三个数分别设为aq，a ，aq ；四个数成等比数列时，可将此四个数分别设为a ，aq ，aq 2，aq 3，不要设为a q 3，a q，aq ，aq 3.公比为负数的等比数列中，所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同.[例3] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . [解] 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又依题意S 3＋S 6＝2S 9⇒a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2·a 1－q 91－q⇒q 3(2q6－q 3－1)＝0，即(2q 3＋1)(q 3－1)＝0，因为q ≠1，所以q 3－1≠0，所以2q 3＋1＝0.解得q＝－342. [点评] 在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q ＝1的情况，再在q ≠1的情况下，对式子进行整理变形．提能点二灵活运用策略，尝试“借石攻玉”[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．[解析] 因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以1a n ＝3n－12，所以a n ＝23n －1.[答案] a n ＝23n －1[点评] 本题条件中的递推公式取倒数后化为形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)的递推公式，再用待定系数法把此递推公式转化为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，其中t ＝q p －1，再转化为等比数列求解.n 123n S n 满足S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2，其中m ，n 为任意正整数．求数列{a n }的通项公式a n .[解] 令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，∵S 2＝11，S 3＝19，∴S 4＝29，a 4＝10. 令m ＝1，得S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，令m ＝2，得S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，∴a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝2n －3＋S 4－S 22＝2n ＋6＝2(n ＋2)＋2，∴a n ＝2n ＋2(n ≥3)．又a 2＝6符合，a 1＝5不符合，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.[点评] 含有两个变量的方程常常让人束手无策，而实际上，如果让一个变量“定下来”，即对其中一个变量赋“常量”，就可以让问题转化为一个变量，从而找到突破口，得到所需的递推关系，顺利求解．提能点三系统数学思想，实现“触类旁通”1．函数与方程思想——解决数列基本量的求解问题[例1] 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求{a n }的通项公式．[解] 由题意可知a n ＋22＝2S n ，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，当n ＝1时，S 1＝18(a 1＋2)2＝a 1，解得a 1＝2.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴a n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2－18(a n ＋2)2，整理得：(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1－a n －4＝0，∴a n ＋1－a n ＝4，即{a n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ＝4n －2.[点评] 本例利用了方程的消元思想，通过a n ＋1＝S n ＋1－S n ，S n ＝18(a n ＋2)2消去S n ，找到数列中相邻两项的递推关系，使问题得到解决．值得注意的是有时可借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 消去a n ，利用S n ＋1，S n 的递推关系解题．2．分类讨论思想——解决数列前n 项和的问题[例2] 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，…)． (1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．[解] (1)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q>0，即1－q n1－q>0(n ＝1,2，…)，上式等价于不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0(n ＝1,2，…)，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0(n ＝1,2，…)，②解①式得q >1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1<q <0或0<q <1. 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由b n ＝a n ＋2－32a n ＋1得b n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q ，则其前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫q 2－32q S n .于是T n －S n ＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－32q －1＝S n ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋12(q －2)．又∵S n >0且－1<q <0或q >0.∴当－1<q <－12或q >2时，T n －S n >0，即T n >S n ；当－12<q <2且q ≠0时，T n －S n <0，即T n <S n ；当q ＝－12或q ＝2时，T n －S n ＝0，即T n ＝S n .[点评] 关于数列的分类讨论一般有三个考查方向：对公差d 的讨论、对公比q 的讨论、对项数n 的讨论．本例中考查了对公比q 的讨论．3．转化与化归思想——解决递推公式问题[例3] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，求{a n }的通项公式．[解] 当n ≥2时，S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＝4a n －1＋2. 两式相减，得a n ＋1＝4a n －4a n －1，将之变形为a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．所以{a n ＋1－2a n }是公比为2的等比数列．又a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2，a 1＝1，得a 2＝5，则a 2－2a 1＝3. 所以a n ＋1－2a n ＝3·2n －1.两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 12＝12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)2n －2.[点评] 本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行，问题降低了难度．化归与转化的思想中隐含着许多数学方法，如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等．提能点四强化一题多法，激活“解题思维” 非特殊数列求和的常用方法[典例] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，由T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .[解] (1)a n ＝2n －1，n ∈N *(过程略)． (2)法一：(错位相减法)：由题意可知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n －12n －2－n 2n －1＝n －22n －1，故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .两式相减，得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－3n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫14n . 整理得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.[点评] 由于c n ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，根据它的通项特征是等差数列{n －1}与等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1的积数列，我们可以把此类数列形象地称为“差比型”数列，求这类数列的前n 项和时，常规的解法当然是“错位相减法”．法二：(构造常数列法)：由法一，知c n ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.又c n ＝R n －R n －1(n ≥2)，所以R n ＝R n －1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.①设R n －(an ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝R n －1－[a (n －1)＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即R n ＝R n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34an ＋a －34b ⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧－34a ＝1，a －34b ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－49，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫R n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋19⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1为常数列．所以R n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋19⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝R 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝49，整理得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.[点评] 构造常数列是因为c n ＝a n b n ＝[a 1＋(n －1)d ]b 1q n －1＝S n －S n －1(n ≥2)，可设S n －(an ＋b )q n＝S n －1－[a (n －1)＋b ]q n －1.整理后比较系数可解出a ，b 的值，即可得到常数列{S n－(an ＋b )q n }，进而求出S n .法三：(分组求和法)：由c n ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，所以R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋49⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.[点评] 数列{c n }可以拆成两部分，一部分可以用裂项相消法，另一部分是一个等比数列，这样就可以分别求出两部分的和，然后再求和．[课时达标训练]A 组——易错清零练1．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n .若S n T n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 7b 7＝________.解析：a 7b 7＝a 7＋a 7b 7＋b 7＝S 13T 13＝7×13＋14×13＋27＝9279.答案：92792．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝7，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a n ＝____________. 解析：由a n ＋1＝2S n ＋1，得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2)，由a 2＝2a 1＋1，得S 2＝3a 1＋1＝7，解得a 1＝2，a 2＝5，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5·3n －2，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5·3n －2，n ≥23．已知一个等差数列{a n }的通项公式为a n ＝25－5n ，则数列{|a n |}的前n 项和为____________．解析：由a n ≥0，得n ≤5，∴{a n }前5项为非负，当n ≤5时S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n－5n2，当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－a 1－a 2－a 3－a 4－a 5－a 6－…－a n ＝－n－5n2＋100，综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧ n －5n2，n ≤5，－n－5n2＋100，n ≥6.答案：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n －5n2，n ≤5，－n－5n2＋100，n ≥64．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 018a 2 019<－1，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是________．解析：∵{a n }为等差数列，a 1>0，a 2 018a 2 019<－1，∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且|a 2 018|>|a 2 019|，等价于a 2 018>0，a 2 019<0且a 2 018＋a 2 019>0.∴在等差数列{a n }中，a 2 018＋a 2 019＝a 1＋a 4 036>0，S 4 036＝a 1＋a 4 0362＞0，S 4 037＝a 1＋a 4 0372＝4 037a 2 019<0，∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4 036.答案：4 036B 组——方法技巧练1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 3＋2a 6＝0，则S 6S 3的值是________．解析：由a 3＋2a 6＝0，得q 3＝－12，则S 6S 3＝a 1－q61－q×1－q a 1－q 3＝1＋q 3＝12. 答案：122．若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1a 2…a 13)＝13，等差数列{b n }满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为________．解析：∵log 2(a 1a 2…a 13)＝13，∴log 2a 137＝13⇒a 7＝2＝b 7，∴b 1＋b 2＋…＋b 13＝13b 7＝26.答案：263．已知数列{a n }满足a 2n －1＋1≤a 2n ≤2a 2n ＋1，n ∈N *，a 1＝1，若前n 项和为S n ，则S 11的最小值为________．解析：要使S n 最小，则数列各项为1,2,1,2,1,2,1,2，…，所以当S 11的最小值为16. 答案：164．各项均为正数的等比数列{a n }满足：a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记数列{a n }前n 项积为T n ，则满足T n >1的最大正整数n 的值为________．解析：a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 6a 7>1，a 6－a 7－，因为a 1>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6>1，a 7<1.由a 6a 7>1⇒a 1a 12＝a 2a 11＝…＝a 6a 7>1⇒T 12>1，a 7<1⇒a 1a 13＝a 2a 12＝…＝a 6a 8<1⇒T 13<1，所以n 的最大值为12.答案：125．已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由10a 1＝(2a 1＋1)(a 1＋2)，得2a 21－5a 1＋2＝0，解得a 1＝2或a 1＝12.又a 1>1，所以a 1＝2. 因为10S n ＝(2a n ＋1)(a n ＋2)，所以10S n ＝2a 2n ＋5a n ＋2，故10a n ＋1＝10S n ＋1－10S n ＝2a 2n ＋1＋5a n ＋1＋2－2a 2n －5a n －2，整理，得2(a 2n ＋1－a 2n )－5(a n ＋1＋a n )＝0，即(a n ＋1＋a n )[2(a n ＋1－a n )－5]＝0. 因为{a n }是递增数列且a 1＝2，所以a n ＋1＋a n ≠0，因此a n ＋1－a n ＝52.所以数列{a n }是以2为首项，52为公差的等差数列，所以a n ＝2＋52(n －1)＝12(5n －1)．(2)满足条件的正整数m ，n ，k 不存在，理由如下：假设存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )＝a k ，则5m －1＋5n －1＝12(5k －1)，整理，得2m ＋2n －k ＝35，(*)显然，(*)式左边为整数，所以(*)式不成立．故满足条件的正整数m ，n ，k 不存在．6．数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *. (1)若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列；(2)若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3)若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时，数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．解：(1)证明：设数列{a n }的公差为d ，∵b n ＝a n －2a n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (2)证明：当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2， ∵b n ＝a n －2a n ＋1，∴a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12，∵数列{b n }，{c n }都是等差数列， ∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数，∴数列{a n }从第二项起为等差数列． (3)数列{a n }成等差数列． ∵b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0， ∴b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)， ∵数列{b n }是等差数列，∴2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)， ∵a 1－2a 2＋a 3＝0，∴2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴数列{a n }是等差数列．C 组——创新应用练1．数列{a n }中，a n ＝n －97n －98(n ∈N *)，则最大项是第________项．解析：因为a n ＝n －97n －98＝1＋98－97n －98，所以{a n }在[1,9]单调递减，[10，＋∞)单调递减，所以n －98>0且最小时，a n 最大；n －98<0且最大时，a n 最小．所以当n ＝10时a n 最大．答案：102．对于一切实数x ，令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________. 解析：由题意，当n ＝3k ，n ＝3k ＋1，n ＝3k ＋2时均有a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 3＝k ，所以S 3n ＝0＋0＋1＋1＋1,3个＋2＋2＋2,3个＋…＋n －＋n －＋n －,3个＋n ＝3×1＋n －12×(n －1)＋n ＝32n 2－12n .答案：32n 2－12n3．等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．解析：法一：设a 1＋3d ＝m (2a 1＋3d )＋n (a 1＋2d )，于是a 1＋3d ＝(2m ＋n )a 1＋(3m ＋2n )d ，由⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝1，3m ＋2n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3，所以a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，所以a 4的最大值是4.法二：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为S 4≥10，S 5≤15, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.而a 4＝a 1＋3d .建立如图所示的平面直角坐标系a 1Od ，作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3及目标函数a 4＝a 1＋3d .当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时截距最大，此时目标函数a 4＝a 1＋3d 取得最大值4.答案：44．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n n －d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧dk －＝0，k －－d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，∴数列{a n }的公差d ＝2.答案：25．设数列{a n }满足a 2n ＝a n ＋1a n －1＋λ(a 2－a 1)2，其中n ≥2，且n ∈N *，λ为常数． (1)若{a n }是等差数列，且公差d ≠0，求λ的值；(2)若a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，且存在r ∈[3,7]，使得m ·a n ≥n －r 对任意的n ∈N *都成立，求m 的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n }不是常数列，如果存在正整数T ，使得a n ＋T ＝a n 对任意的n ∈N *均成立．求所有满足条件的数列{a n }中T 的最小值．解：(1)由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(2)将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a 2n ＝a n ＋1a n－1，所以数列{a n }是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1.若存在r ∈[3,7]，使得m ·2n －1≥n －r ，即r ≥n －m ·2n －1对任意n ∈N *都成立，则7≥n －m ·2n －1，所以m ≥n －72n －1对任意的n ∈N *都成立．令b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n－n －72n －1＝8－n2n，所以当n ＞8时，b n ＋1＜b n ；当n ＝8时，b 9＝b 8；当n ＜8时，b n ＋1＞b n . 所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2.①若T ＝2，则a n ＋2＝a n 恒成立，从而a 3＝a 1，a 4＝a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 21＋λa 2－a 12，a 21＝a 23＝a 22＋λa 2－a 12，所以λ(a 2－a 1)2＝0，又λ≠0，所以a 2＝a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T ＝2不合题意．②若T ＝3，取a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝3k －2，2，n ＝3k －1，k ∈N *，－3，n ＝3k ，(*)满足a n ＋3＝a n 恒成立．由a 22＝a 1a 3＋λ(a 2－a 1)2，得λ＝7. 则条件式变为a 2n ＝a n ＋1a n －1＋7.由22＝1×(－3)＋7，知a 23k －1＝a 3k －2a 3k ＋λ(a 2－a 1)2；由(－3)2＝2×1＋7，知a 23k ＝a 3k －1a 3k ＋1＋λ(a 2－a 1)2；由12＝(－3)×2＋7，知a23k＋1＝a3k a3k＋2＋λ(a2－a1)2. 所以数列(*)适合题意．所以T的最小值为3.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

备战历届高考数学真题汇编专题4_数列最新模拟_理.pdf

A．3 或-1
B．9 或 1
C．1
D．9
3、（2012 深圳一中一模）设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列， a1 =1 且 a1 ， a3 ， a6 成等比
数列，则数列{ an }的前 n 项和 Sn =
。
答案： 1 n2 + 7 n 88
解析：设公差为 d，由 a1 ， a3 ， a6 成等比数列，可得 (1+ 2d )2 ＝1×（1＋5d），解得：d
当 n
= 1, 2 时，Tn
48n ，当 n 2n +1
3 时Tn
48n 2n +1
分
………………………………12
证法 2：当 n 3 时
2n
=
(1+1)n
= Cn0
+ Cn1
+
+
C n−1 n
+ Cnn
Cn0
+ Cn1
+
C n−1 n
+ Cnn
=
2n + 2
2n +1
当 n
= 1, 2 时，Tn
D. -2 013
【答案】B
学海无涯
5、（2012 石家庄质检一）Sn 是数列{an} 的前 n 项和，则“ Sn 是关于 n 的二次函数”是“数
列{an} 为等差数列”的
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6、（2012 青岛一中模拟）函数 y = 9 − ( x − 5)2 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成
解析：（I）当 n＝1 时， a1 = S1 ＝1，
当 n≥2 时， an = Sn − Sn−1 ＝2n－1，验证当 n＝1 时，也成立；

高考数学压轴专题新备战高考《数列》全集汇编及解析

【最新】数学《数列》高考复习知识点(1)一、选择题1．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =【答案】B 【解析】【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.2．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（）A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C 【解析】【分析】利用等差中项的性质将371159a a ab b +++化简为7732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}(1)nn a -的前40项和为（） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80【答案】B 【解析】【分析】先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}(1)nn a -，两两组合可求新数列前40项的和. 【详解】依题意，()133362a a S +== ，∴134a a +=，①∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=， ∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，∴{}(1)nn a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，故选：B . 【点睛】本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题4．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C 【解析】【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -，所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.5．已知数列{}n a 中，12a =，211n nn a a a +=-+，记12111n nA a a a =++⋯+，12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅，则（） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．2019201912A B -< 【答案】C 【解析】【分析】根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列．（1）21210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数．于是，{}n A 递增，{}n B 递减，所以20192121156A A a a >=+=，20192121116B A a a <=⋅=，所以2019201912A B ->. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=，不难猜想：1n n A B +=．证明如下：（1）211121111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒=-⇒++⋅⋅⋅+=----．（2）211n n n a a a +=-+等价于21111n n na a a +=--，所以1111n n n a a a +-=-，故12111111n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-，于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭，即有1n n A B +=．故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.6．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（）A ．12B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.8．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为（） A ．5 B ．6C ．10D ．11【答案】C 【解析】2525163412132323222log 62n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)011102n n n S n n +-=>⇒<⇒= ，故选C.9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A ．10 B ．7C ．8D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.10．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（） A ．108 B ．90C ．72D ．24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ．点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．11．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（）A ．2020202021S a =+B ．2020202021S a =-C ．2020202041S a =+D ．2020202043S a =-【答案】B 【解析】【分析】求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q ∴==，()20201202020201211a q S q-==--，因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知数列{}n a 的前n 项和为212343n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )A ．数列{}n a 是等差数列B ．数列{}n a 是递增数列C ．1a ，5a ，9a 成等差数列D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【答案】D 【解析】【分析】由2*123()43n S n n n N =++∈，2n …时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误．【详解】解：由2*123()43n S n n n N =++∈，2n ∴…时，2211212153[(1)(1)3]4343212n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．1n =时，114712a S ==，1n =时，15212n a n =+，不成立．∴数列{}n a 不是等差数列．21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．5191547154322(5)(9)021*******a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数列．631535(456)32124S S -=⨯+++⨯=．961553(789)32124S S -=⨯+++⨯=．1291571(101112)32124S S -=⨯+++⨯=．Q53235710444⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-．若113a =，则数列11{}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．24143B ．1143C ．2413D ．613【答案】D 【解析】设公差为,0d d < ，所以由21324a a a =-，113a =，得213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ，因为111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于1111116()()213213213261313n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．32B ．32-C ．23D ．23-【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】依题意，()()183********a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233a a d -==-，故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.15．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（）A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】【分析】由题意知5600a a ＞，＜．由此可知569121256900...0,0,...0S S S S Sa a a a a ，，，>>><<，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．【详解】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜，所以可得5600a a ＞，＜．这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0，，所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．【点睛】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.16．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a是正项等比数列，所以2020a =∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.17．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（）A ．48B ．90C ．105D ．106【答案】C 【解析】【分析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（） A ．23岁 B ．32岁C ．35岁D ．38岁【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =，即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．设函数()221x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B【解析】【分析】先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.【详解】 ()221x f x =+Q ，()()()22222212121221xx x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =.故选：B.【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．20．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】 ∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ， ∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤；又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点，即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 故选D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．。

高考数学考前冲刺第四部分专题四数列

高考数学考前冲刺第四部分专题四数列1.已知正项数列}{n a 的前n 项和为.21,1=a S n 当*2N n n ∈≥且时，点),(1n n S S -在直线212+=x y 上，数列}{n b 满足 ).(21log *N n a b n n ∈=（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）设数列}{nna b 的前n 项和为n T 。

求n T 。

2322232110211---+-++-++=∴n n n n n T ③ 122222321201121---+-++-++=n n n nn T ④ 10分由③-④得：1212222212221212111221------=-------=n n n n n nn T ，.22221n n n n nT --⋅==∴ 12分2.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）. ( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.【解析】（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥， *N n ∈成立 …2分即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………3分3.(2012年合肥一中模拟)若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++=( )（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 【答案】A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15.故选A.4. （2012年南昌一中模拟)设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（）A.18B.20C.22D.24 【答案】B 【解析】20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S .5．(2012年4月沈阳-大连第二次联考模拟考试)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( ) A ．25 B ．5 C ． 25- D ．5- 【答案】A7. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)已知{a n }为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{an}的前n 项和，n ∈N*，则S 10的值为（） (A). -110 (B). -90(C). 90 (D). 110【答案】D9. (北京市西城区2012年1月高三期末考试)已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=______．【答案】1121)34n-，（【解析】131111122212116,46,2,22,(),211(1)1111144(1).13414n n n n n n nn a a a a a a a a a a a --=∴-=∴=∴==∴=-∴+++==--10. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查）已知等差数列}{n a 中,51a =,322a a =+,则11S = .12．(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且n a 和n S 满足：24(1)(1,2,3,)n n S a n =+=，则S n ＝．【答案】2n【解析】由题意知：2122n n a S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1n =时，易得11a =．2211112222n n n n n a aa S S --⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111112222422n n n n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：221124n n n n a a a a --+-=12n n a a -⇒-=，所以21n a n =-，所以2n S n =．13．（东北四校2012届高三第一次高考模拟考试）（本小题满分12分）已知{}n a 为等比数列，141,27.n a a S ==为等差数列{}n b 的前n 项和，153,35.b S == （1）求{}{}n n a b 和的通项公式；（2）设1122n n n T a b a b a b =+++，求.n T14、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【解析】（Ⅰ）因为{}n a 是首项为119a =，公差为2d =-的等差数列，所以192(1)212n a n n =--=-，n S 2(1)19(2)202n n n n n -=+-=-+ （Ⅱ）由题意得13n n n b a --=所以13n n n b a -=+则01101112333333n n n n nT a a a S --=++++++=++++2213312020132n n n n n n --=-+=-+- 15、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .解析设数列{}n a 的公差为d ，依题设有21321232(1)12a a a a a a ⎧+=⎨++=⎩即22211121224a a d d a a a d ⎧+-+=⎨+=⎩解得11,4a d ==或18,4a d ==-故1(31)2n S n n =-或2(5)n S n n =- 16、设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

高考数学数列专题复习(学生版教师版).doc

数列（学生版）一、高考预测数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题.数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．二、知识导学要点1：有关等差数列的基本问题1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决问题；要点向3：等差、等比数列综合问题1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

2．数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由n S 求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。

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最新模拟专题
【山东省日照市2012届高三模拟理】（12）若数列
{}()
为常数
满足
d N n d a a a n
n n ,1
11
*+∈=-
，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”
，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则64b b ⋅的最大值是 A.10
B.100
C.200
D.400
【答案】B
【解析】由已知得{}n b 为等差数列，且，＞b b b n 0,2064又=+所以
.10022
6464=⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤⋅b b b b
4141(1)
60,260151a q S q a q
-==⇒=⇒=-
【山东实验中学2012届高三一次诊断理】14. __________________ 已知数列为等比数
列，且.,则=________.
【答案】16 【解析】解：
59259757974,64,
{}==256=16
n a a a a a a a a a a ==∴Q Q g Q 是等比数列，又，，符号相同，所以【山东实验中学2012届高三一次诊断理】3. 设
为等差数列
的前《项和，已知
，那么
A:2 B. 8 C. 18 D.
36
所以a 7=8，所以a 1=20，
所以S 10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。

故选D
【山东省微山一中2012届高三模拟理】3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254,a a +=，
721S =，则7a 的值为（）
A ． 6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】 D
【解析】由条件254,a a +=721S =可转化为1254,a d +=133,a d +=解
得:13,2,a d =-=73629,a =-+⨯=这里考查等差数列通项公式与求和公式以及解方程组.
【2012江西师大附中高三模拟理】已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（） A ．－2
B ．－
12
C ．
12
D ．2
【答案】B 【解析】
7a －24a ＝－1, 3a ＝0,得 11162(3)120a d a d a d +-+=-⎧⎨+=⎩，得11
12
a d =⎧⎪
⎨=-⎪⎩ 【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1理】已知各项均为正数的等比数列{n a }，
1a ·9a =16，则2a ·5a ·8a 的值
A ．16
B ．32
C ．48
D ．64
【2012粤西北九校联考理13】在数列}{n a 中，3
1
1=
a ，n S 为数列}{n a 的前项和且n n a n n S )12(-=，则=n S ;
【答案】21n n S n =+
【解析】因为)2()32)(1(,)12(11≥--=-=--n a n n S a n n S n n n n ，两式相减得
)2()32()12(,1≥-=+-n a n a n n n ，求得12,1
412+=
-=
n n S n a n n
【2012宁德质检理2】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若241,5a a ==，则5S 等于
（）
A ．7
B ．15
C ．30
D ．31
【答案】B
【解析】由等差数列通项公式得：15,1,2,21551=-==+=S a d d
【2012浙江宁波市模拟理】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2012320102011+=S a ，
2012320092010+=S a ，则公比=q （）
(A)4 (B)1或4 (C)2 (D)1或2 【答案】A 【解析】由
2012320102011+=S a ，2012320092010+=S a 相减得2011201020103a a a -=，即
4q =。

【2012安徽省合肥市质检理】已知数列{}n a 满足*
111,2()n n n a a a n N +=⋅=∈，则10a =
（）
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
【答案】
B
123(2)232
n n n n n a a a na H ++++⋯+=
=①， 1231(1)(1)
23(1)2
n n n a a a n a --++++⋯+-=
②
①－②得(2)(1)(1)21222n n n n n n na +-++=-=，所以21
2n n a n +=。

【2012江西南昌市调研理】等差数列{}n a 中，560,0a a <>且65||a a >，n S 是数列的前n 项的和，则下列正确的是 ( )
A.S 1,S 2,S 3均小于0, S 4,S 5,S 6 …均大于0
B. S 1,S 2,…S 5均小于0 , S 6,S 7 …均大于0
C.S 1,S 2,…S 9均小于0 , S 10,S 11 …均大于0
D.S 1,S 2,…S 11均小于0 ,S 12,S 13 …均大于0 【答案】C
【解析】由22111, 0, 1(*)n n n a a a a n +=>-=∈N 可得2
n a n =，即
n a n =5n a <则25n <，选C 。

【2012广东韶关市调研理】设数列{}n a 是等差数列, 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}n a 前20项和等于（）
A ．160
B ．180
C ．200
D ．220 【答案】B
【解析】因数列{}n a 是等差数列，所以1232324a a a a ++==-，即28a =-，从而
12021920202018022
a a a a
S ++=
⨯=⨯=，选B 。

【2012韶关第一次调研理5】已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,2
1
,a a a 成等差数列，则
89
67
a a a a ++等于（）
A ．21+ B. 21- C. 223+ D. 223- 【答案】C 【解析】因为2312,2
1
,
a a a 成等差数列，所以23121222,12,a a a q q q +=+=+=
，8967
a a a a ++=2
322q =+
【2012海南嘉积中学模拟理4】等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，其前n 项和为n S ，则数列{}n
S n
的前10项和为（） A 、70 B 、75 C 、100
D 、120
【答案】B
【解析】因为等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，所以,22n n S n +=所以
2n
s n n
=+，345...1275++++=
【2012黑龙江绥化市一模理5】已知数列{n a }，若点(,)n n a （*n N ∈）在经过点(5,3)的定直l l 上，则数列{n a }的前9项和9S =( )
A. 9
B. 10
C. 18
D.27 【答案】D
【解析】点(,)n n a （*n N ∈）在经过点(5,3)的定直l l 上，35=a ，根据等差数列性质得：
599a S ==27
【2012泉州四校二次联考理6】已知数列{}n a 满足11a =，且111
()(233
n n n a a n -=
+≥，且)n ∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为（）
A ．n a =32n n +
B ．n a =23
n
n + C ．n a =2n + D ．n a =(2)3n
n + 【答案】B。