(文数)2011-2012学年高三综合测试(2)

2011--2012学年度高三综合测试数学（文科.1）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目的要求的．1．已知集合}0)2({},1{2<-===x x x B x x A ，那么B A=A ．φB ．{-1}C ．{1}D ．{-1，1} 2．在等比数列}{n a 中，a 2=6, a 3=-18,则4321a a a a +++A.26B.40C.54D.80 3．已知向量),1(),2,1(x b x a -=+=．若a 与b 垂直，则=||b A.1 B.2 C.2 D.44．过双曲线116922=-y x 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A ．01543=-+y x B.01543=--y x C.02034=+-y x D.02034=--y x 5．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点(x ，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的 点，则整数a 的值为A ．-3B ．-2C ．-1D ．07．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=,1,1,1,)(2x ax x ax x x f若2121,,x x R x x =/∈∃，使得)()(21x f x f =成立， 则实数a 的取值范围是A ．)2,(-∞ B.),2(+∞C ．(-2，2)D ．),2()2,(+∞⋃--∞8．在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P 是棱上一点，则满足2|'|||=+PC PA 的点P 的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12 9．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c,若C a c b cos21=-， 则A= A ．6π B.3π C ．6π或65π D.3π或32π10．设实数a<b ，已知函数a a x x f --=2)()(，b b x x g --=2)()(，令⎩⎨⎧≥<=)()(),()()(),()(x g x f x g x g x f x f x F ，若函数F(x)+x+a-b 有三个零点，则b-a 的值是A ．32- B.32+ C.25- D.25+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14、15题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11．已知函数)0(321)(>++=x xx x f 在x=a 时取到最小值，则a=____． 12.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=____ 13.x ，y ，z∈R，若-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz=________选做题(14-15题，考生只能从中选做一题，若2题全做，按第一题得分计算)14．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线θρsin 32=和1cos =θρ相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是______．15.（几何证明选做题）如图所示，Rt△ABC 内接于圆，oABC 60=∠,PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交AC 于E ，交圆于D 。

若PA=AE ，33,3==BD PD ，则AP=____，AC=____．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)3sin(sin )(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,23)(==，试判断△ABC 的形状．17.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，090=∠ACB ， E ，F ，G 分别是AA 1，AC ，BB 1的中点，且G C CG 1⊥.(1)求证：CG∥平面BEF ；(2)求证：平面BEF⊥平面A 1C 1G.18.（本小题满分13分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x 天 后的存留量441+=x y ；若在t(t>4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量y 2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为)0()4(2<+a t a，存留量随时间变化的曲 线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的 存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时 机点”．(1)若a=-1，t=5，求“二次最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的 取值范围． 19．（本小题满分14分）已知函数2121ln )(2+-=x x a x f （a∈R 且a≠0）． (1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a ，使得对任意的),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f ？若存在，求a 的取信范围；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:22>>=+b a by a x C 的右顶点A(2，0)，离心率为23，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，求||||AP DE 的取值范围．21.（本小题满分14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值；(3)求数列{S n }的通项公式．参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如 果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评 分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较产重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目的要求的．1.B2.D3.B4.B.5.A6.C7.A8.B9.B 10.D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生 只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11．26 12．π3220- 13．33- 14.2 15．33,32 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)3sin(sin )(π-+=x x x f .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b ，c ．已知b a A f 3,23)(==，试判断△ABC 的形状．解：(1))3sin(sin )(π-+=x x x f x x x cos 23sin 21sin -+=)cos 21sin 23(3x x -=)6sin(3π-=x …………4分 由Z k k x k ∈+<-<-,22622πππππ，得：Z k k x k ∈+<<-,32232ππππ. 所以f(x)的单调递增区间为Z k k k ∈+-),322,32(ππππ ……………6分 (2)因为23)(=A f ，所以23)6sin(3=-πA ．所以21)6sin(=-πA ． ……7分 因为π<<A 0，所以πππ6566<-<-A ．所以3π=A ………………9分因为B b A a sin sin =，b a 3=，所以21sin =B . .......................10分 因为a>b ，3π=A ，所以6π=B ．所以2π=C .所以△ABC 为直角三角形． ……………………………………12分17.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，090=∠ACB ， E ，F ，G 分别是AA 1，AC ，BB 1的中点，且G C CG 1⊥.(1)求证：CG∥平面BEF ；(2)求证：平面BEF⊥平面A 1C 1G.证：(1)连接AG 交BE 于D ，连接DF ，EG.∵E ，G 分别是AA 1，BB 1的中点，∴AE∥BG 且AE= BG ，∴四边形AEGB 是矩形，∴D 是AG 的中点 ……………………………………………………………………（3分） 又∵F 是AC 的中点，∴DF∥CG ……………………………………………（5分） 则由⊆DF 平面BEF ，⊂/CG 平面BEF ，得//CG 平面BEF ………………（7分） （注：利用面面平行来证明的，类似给分）(2)∵在直三棱柱⊥-1111,CC C B A ABC 平面⊆11111,C A C B A 平面A 1B 1C 1，111C A CC ⊥∴90111=∠=∠ACB B C A ，即⊆⊥11111,CC C A B C 平面B 1C 1CB ， ⊆11B C 平面B 1C 1CB ，1111C B C CC =⊥∴11C A 平面B 1C 1CB ............................(9分)⊆CG 平面B 1C 1CB ，CG C A ⊥∴11. ..........................(11分)G C CG 1⊥ ，由(1)G C DF DF C A CG DF 111,,//⊥⊥∴.⊆11C A 平面⊆G C G C A 111,平面111111,C G C C A G C A = ，⊥∴DF 平面A 1C 1G ……………………………………………（12分） ⊆DF 平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面A 1C 1G ............... (13分)18.（本小题满分13分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x 天 后的存留量441+=x y ；若在t(t>4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量y 2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为)0()4(2<+a t a，存留量随时间变化的曲 线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的 存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时 机点”．(1)若a=-1，t=5，求“二次最佳时机点”；(2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的 取值范围．解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ， 由题意知，)4(48)()4(22>++-+=t t t x t a y ............................ 2分所以212)4(+=-=t ay y y )4(4448)(>+++-t x t t x ……………………4分 (1)当5,1=-=t a 时，458)5()45(12++-+-=x y 4481)4(44+-+-=+-x x x 95181421=+-≤+， 当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天. ……………7分 (2)由)()4(2t x t a y -+==+-++4448x t 48]44)4()4([2+-+++++--t a x t x a 知4844)4()4(22+-++⨯++--≤t ax t x a y ……10分 当且仅当44)4()4(2+=++-x t x a ，即4)4(2-+-=t ax 时取等号. ……11分 由题意t t ax >-+-=4)4(2，得04<<-a . 故实数a 的取值范围是（-4，0）． ……………13分 注：使用求导方法可以得到相应得分． 19．（本小题满分14分）已知函数2121ln )(2+-=x x a x f （a∈R 且a≠0）． (1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a ，使得对任意的),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f ？若存在，求a 的取信范围；若不存在，请说明理由．解：(1)f(x)的定义域为),0(+∞.xax x x a x f +-=-=2)('． ……………2分当a<0时，在区间),0(+∞上，0)('<x f .所以f(x)的单调递减区间是(0，+∞)．………………………………………3分 当a>0时，令f'(x)=0得a x =或a x -=（舍）． 函数f(x)，f'(x)随x 的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是),0(a ，单调递减区间是),(+∞a ． ……6分 综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是),0(+∞；当a>0时，f(x)的单调递增区间是),0(a ，单调递减区间是),(+∞a . (2)由(1)可知：当a<0时，f(x)在),1[+∞上单调递减．所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f .…………………7分当a>0时，①当1≤a ，即10≤<a 时，f(x)在),1[+∞上单调递减，所以f(x)在),1[+∞上的最大值为f(1)=0，即对任意的),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f ...........................10分②当1>a ，即a>1时，f(x)在),1[a 上单调递增， 所以)1()(f a f >．又f(1)=0，所以0)(>a f ，与对于任意的),1[+∞∈x ，都有0)(≤x f 矛盾．………13分 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是]1,0()0,( -∞．……14分20.（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:22>>=+b a by a x C 的右顶点A(2，0)，离心率为23，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，求||||AP DE 的取值范围． 解：(1)因为A(2，0)是椭圆C 的右顶点，所以a=2． 又23=ac ，所以3=c ．所以134222=-=-=c a b . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . …………………………3分 (2)当直线AP 的斜率为0时，4||=AP ，DE 为椭圆C 的短轴，则2||=DE .所以21||||=AP DE . ……………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为),(),2(00y x P x k y -=， 则直线DE 的方程为x ky 1-=. ........................ 6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14),2(22y x x k y 得04)]2([422=--+x k x ．即041616)41(2222=-+-+k x k x k .所以1428,14162220220+-=+=+k k x k k x . ...........................8分 所以2020)0()2(||-+-=y x AP 202)2)(1(-+=x k ，即1414||22++=k k AP .同理414||22++=k k DE ．所以=||||AP DE 41414414222222++=+++k k k k k . ……11分 设42+=k t ，则2,422>-=t t k .)2(1541)4(4||||22>-=+-=t tt t t AP DE .令)2(154)(2>-=t tt t g ，则0154)('22>+=t t t g . 所以g(f)是一个增函数，所以2121544154||||2=-⨯>-=t t AP DE .综上，||||AP DE 的取值范围是),21[+∞. ........................14分21.（本小题满分14分）若对于正整数k ，g （k ）表示k 的最大奇数因数，例如g(3)=3，g(10)=5．设)2()4()3()2()1(n n g g g g g S +++++= .(1)求g(6)，g(20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值；(3)求数列{S n }的通项公式．解：(1)5)20(,3)6(==g g . …………2分(2)211)2()1(1=+=+=g g S ；61311)4()3()2()1(2=+++=+++=g g g g S ；)8()7()6()5()4()3()2()1(3g g g g g g g g S +++++++=.2217351311=+++++++= …………6分(3)由(1)(2)对*N m ∈，m 与2m 的奇数因数相同，则)()2(m g m g =． …8分 所以当2≥n 时，)4()3()2()1(g g g g S n +++=)2()12(nng g +-+++++=)5()3()1([g g g )]2()4()2([)]12(n n g g g g ++++-+)]12(531[-++++=n )]22()22()12([1-⨯++⨯+⨯+n g g g)]2()2()1([22)121(11--++++⨯-+=n n n g g g114--+=n n S ……11分于是114--=-n n n S S ，*,2N n n ∈≥.所以112211)()()(S S S S S S S S n n n n n +-++-+-=---24444221+++++=-- n n11 3234241)41(41+=+--=-n n ，*,2N n n ∈≥. …………13分 又21=S ，满足上式，所以对*N n ∈，)24(31+=n n S . …………14分。