第一部分专题六第二讲考前优化训练

一、选择题
1．(2011年高考重庆卷)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下()单位：克： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[)114.5，124.5内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5 解析：选C.落在[)114.5，124.5内的样本数据为120,122,116,120，共4个，故所求频率为410
＝
2
5
＝0.4. 2．(2011年高考福建卷)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
解析：选B.设样本容量为N ，则N ×3070＝6，∴N ＝14，∴高二年级所抽人数为14×40
70
＝8.
3．(2011年山东临沂调研)某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )
A ．6万元
B ．8万元
C ．10万元
D ．12万元
解析：选C.由频率分布直方图可知，11时至12时的销售额占全部销售额的2
5
，即销售额为
25×2
5
＝10万元．
4．(2011年高考陕西卷)
设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( ) A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(x ，y )
解析：选D.因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D
正确．所以选D.
5．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差为s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 2
4－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 解析：选C.设x 1，x 2，x 3，x 4的平均值为x ，
则s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x 2
)]． ∴4x 2＝16.∴x ＝2，∴x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为4. 二、填空题 6.
如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是__________．
解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64. 答案：64
7．以下四个命题，其中正确的是__________． ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程y ^
＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^
平均增加0.2单位；
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2(χ2)的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
解析：①是系统抽样；对于④，随机变量K 2(χ2)的观测值k 越小，说明两个变量有关系的把握程度越小． 答案：②③
8．第二十届世界石油大会将于2011年12月4日－8日在卡塔尔首都多哈举行，能源问题已经成为全球关注的焦点．某工厂经过技术改造后，降低了能源消耗，经统计该厂某种产品的产量x (单位：吨)
根据相关性检验，求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨，则该工厂每年大约消耗的汽油为__________吨．
解析：由题知，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，故样本数据的中心点为
A (4.5,3.5)．设回归直线方程为y ＝0.7x ＋b ，将中心点坐标代入得： 3.5＝0.7×4.5＋b ，解得b ＝0.35，故回归直线方程为y ＝0.7x ＋0.35，所以当x ＝10时，y ＝0.7×10＋0.35＝7.35，即该工厂每年大约消耗的汽油为7.35吨． 答案：7.35 三、解答题
9．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)
(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率； (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5
39
，求x 、y 的值． 解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ， ∴3050＝m
5
，解得m ＝3. ∴抽取了学历为研究生的有2人，分别记作S 1、S 2；学历为本科的有3人，分别记作B 1、B 2、B 3.
从中任取2人的所有基本事件共10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．
∴从中任取2人，至少有1人的学历为研究生的概率为7
10
.
(2)依题意得：10N ＝5
39
，解得N ＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.
∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ， ∴x ＝40，y ＝5. 10.
某市教育行政部门为了对2011届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中抽取1000名学生学业水平考试数学成绩为样本进行统计，已知该样本中的每个值都是[40,100]中的整数，且在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小可能值为a ，最大可能值为b . (1)求a ，b 的值；
(2)从这1000名学生中任取1人，试根据直方图估计其成绩位于[a ，b ]中的概率(假设各小组数据平均分布在相应区间内的所有整数上)．
解：(1)a ＝0.05×40＋0.1×50＋0.25×60＋0.35×70＋0.15×80＋0.1×90＝67.5， b ＝0.05×49＋0.1×59＋0.25×69＋0.35×79＋0.15×89＋0.1×100＝76.6.
(2)由于分数是整数，故成绩为68,69的频率是210×0.25，成绩为70,71，…，76的频率为
7
10
×0.35，故成绩在
[a ，b ]上的频率是210×0.25＋7
10
×0.35＝0.295，以样本的这个频率估计总体分布的概率得出，
从这1000名学生中任取1人，根据直方图估计其成绩位于[a ，b ]中的概率为0.295.
11．(2011年福建质检)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为
了了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下．记成绩不低于90分为“成绩优秀”．
(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
解：(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件A .
从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15个．
而事件A 包含基本事件：
(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10个．
所以所求概率为P (A )＝1015＝2
3
.
(2)
K 2(χ2
)＝40×(1×15－5×19)26×34×20×20
≈3.137，
由于3.137>2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．。