线性代数检测题

{பைடு நூலகம்
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
⎛ 4 − 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ （2）由 A = ⎜ − 1 4 − 1⎟ ，求得对应于 λ1 = 2 ， λ2 = λ3 = 5 的特征向量分别为 ⎜ −1 −1 4⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ P1 = ⎜1⎟ ， ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ P2 = ⎜ 1 ⎟ ， ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ P3 = ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎜ x ⎛ 1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ ⎜x ⎟ ⎜ ⎝ 3⎠ ⎜ ⎜ ⎝
1 3 1 3 1 3
−
1
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ 2 6 ⎟⎛ y1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎜ y 2 ⎟ 或 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 2 6 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟⎝ y 3 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 6⎠ ⎝ −
故： α 关于基 II 的坐标为 (0,−1,1) 或 (0,−1,1) 。
T
⎛ 4 −1 − b⎞ ⎛ 2 0 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 五 解： （1）二次型矩阵 A = ⎜ − 1 4 − 1⎟ 与 B = ⎜ 0 5 0 ⎟ 相似， ⎜− b −1 ⎜ 0 0 5⎟ a⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
则 det( A − λE ) = det( B − λE ) 比较上式两边同次幂的系数得： a = 4 ， b = 1
2
。 ，
4．已知三阶方阵 A 的特征值是 1，1，2，方阵 B = A + A − E ，则 B 的特征值是 且 det B = 。
5．设 3 元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 2，已知向量 η1 ,η 2 ,η 3 是它的三个解向
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 量，η1 + η 2 = ⎜ 1 ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ 1 ⎟ ，则该方程组的通解为 ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为： ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎞ ⎛1 1 a 3−a ⎞ ⎛a 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 ⎟ → ⎜0 1− a 1− a (a − 1)(a − 2) ⎟ [法 2] B = ⎜ 1 a 1 ⎜1 1 a 3 − a⎟ ⎜0 0 (a − 1)(a + 2) (a − 1) 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
6．设方阵 A 满足 2003 A = 5 A + 16 E ，则 ( A − E ) =
2
−1
。 时， A + tA + E 为正
2
7．设 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个特征值为 1,2, L , n ，则 t 满足 定矩阵。
二、 （10 分）计算行列式 D = L L L L L n
4 3 3 3
试 题 一
一、填空（每小题 4 分，共 28 分）
（考试时间：120 分钟）
1．已知 3 阶矩阵 A 的行列式 det A = 3 ，则 det((3 A)
−1
− A* ) =
2．已知 n 维向量构成的向量空间： V = X X = ( x1 , x 2 , x3 , L , x n ), 且x1 + x 2 = 0,
2
0⎞ ⎟ 0⎟ ， 求X 。 1⎟ ⎟ 2⎟ ⎠
k
七、 （6 分） 已知 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r ， 且满足 A = A ， 求 det( E + A + A + L + A ) 。 八、 （6 分） 已知向量 α ，β 是 n 阶矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量， 证明： 当 c1c 2 ≠ 0 时， c1α + c 2 β 不是 A 的特征向量。 九、 （5 分） 已知两 n 维向量 α = ( a1 , a 2 , L , a n ) ，β = (b1 , b2 , L , bn ) 是两个非零的正交向量， 证明： n 阶方阵 A = α
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
a 1 1
三 解：[法 1] det A = 1
a 1 = (a + 2)(a − 1) 2
1 1 a
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解
1 2⎞ ⎛1 1 − 2 5 ⎞ ⎛− 2 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ （2） a = −2 时， B = ⎜ 1 − 2 1 2 ⎟ → ⎜ 0 − 3 3 − 3⎟ ⎜ ⎜ 1 1 − 2 5⎟ 0 9 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝0 0 ⎝
′,α 2 ′ ,α 3 ′ ) = (e1 ′ , e2 ′ , e3 ′ )A ， (β 1′, β 2 ′ , β3 ′ ) = (e1 ′ , e′ ′ 四 解： （1）[法 1]： (α 1 2 , e3 )B ，
⎛ e1 ⎞ ⎛ β1 ⎞ ⎛ e1 ⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎛1 1 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T T 或 ⎜ α 2 ⎟ = A ⎜ e2 ⎟ ， ⎜ β 2 ⎟ = B ⎜ e 2 ⎟ ，其中 A = ⎜1 1 0 ⎟ ， B = 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜e ⎟ ⎜β ⎟ ⎜e ⎟ ⎜1 1 1 ⎟ ⎜α ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎛ β1 ⎞ ⎛ β1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T T −1 −1 T ′,α 2 ′ , α 3 ) = (β 1′, β 2 ′ , β3 ′ )B A ，或 ⎜ α 2 ⎟ = A ( B ) ⎜ β 2 ⎟ = ( B A) ⎜ β 2 ⎟ 则 (α 1 ⎜β ⎟ ⎜β ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。
⎛1 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ （3） a = 1 时， B = ⎜1 1 1 2 ⎟ → ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜1 1 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
1 3 1 3 1 3
−
1
1 ⎞ ⎟ 2 6 ⎟⎛ y1 ⎞ 1 ⎟⎜ ⎟ 0 − ⎟⎜ y 2 ⎟ 等 6 ⎟⎜ ⎟ 1 2 ⎟⎝ y 3 ⎠ ⎟ 2 6⎠ −
六 解：因 det A = 1 ≠ 0 ，所以 A 可逆
AXA − 2 A = XA ，两边右乘 A −1 得： AX − 2 E = X ， ⇒ ( A − E ) X = 2 E
β 1 = (1,0,1) ， β 2 = (1,1,0) ， β 3 = (0,1,1) ；
（1） 求由基 II 到基 I 的过渡矩阵。 （2） 如果 α 关于基 I 的坐标为(-1,1,1), 求 α 关于基 II 的坐标。 五、 （13 分）已知二次型
f ( x1 , x 2 , x3 ) = 4 x1 + 4 x 2 + ax3 − 2 x1 x2 − 2 x 2 x3 − 2bx1 x3
⎛ α1 ⎞ ⎛ β1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T −1 T [法 3]： A = ⎜ α 2 ⎟ ， B = ⎜ β 2 ⎟ ，由 A = C B 得： C = ( AB ) 。 ⎜α ⎟ ⎜β ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛0⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′,α 2 ′ ,α 3 ′ )⎜ 1 ⎟ = (β 1′, β 2 ′ , β3 ′ )⎜ − 1⎟ ′ , β3 ′ )C ⎜ 1 ⎟ = (β1′, β 2 （2）[法 1] α ′ = (α 1 ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ β1 ⎞ ⎛ β1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ T 或 α = ( −1,1,1)⎜ α 2 ⎟ = ( −1,1,1)C ⎜ β 2 ⎟ = (0,−1,1)⎜ β 2 ⎟ ⎜β ⎟ ⎜β ⎟ ⎜α ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ [法 2] 由坐标变换公式得： ⎜ y 2 ⎟ = C ⎜ x 2 ⎟ = C ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − 1⎟ 。 ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜x ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎧ x1 = 0 ⎪ [法 3] α = x1 β 1 + x 2 β 2 + x3 β 3 ，解得 ⎨ x 2 = −1 ⎪x = 1 ⎩ 3