二元一次方程和一次函数案例分析
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一次函数与二元一次方程(组)的教学案例和反思
一次函数与二元一次方程（组）的教学案例和反思上周我完成了一次函数与二元一次方程（组）的教学，在教学中，我不断思索，不断创新。
多注重对学生的合作意识和自我探究能力的培养，在课堂中取得了很好的效果。
一、设计意图我校现采用的数学教材是新人教版，早在本教材的第八章，学生就已经学习了有关二元一次方程及方程组的知识，在本学期进入第十四章《一次函数》的学习之后，学生目前已经了解了有关函数的基本概念和表示方法，能根据已知条件确定一次函数的解析表达式及能画出一次函数的图像，了解如何用函数的观点去认识一元一次方程和一元一次不等式，知道一次函数与它们有着密切的关系。
在教学过程中，我发现我班的学生整体有着较好的数学基础且思维活跃，学生对于数学学习的积极性较高且兴趣浓厚，适合开展探究式学习.因此本节内容我决定以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式作为教学方式，来达到教学目的。
二、过程展示Ⅰ．提出问题，创设情境[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-35x+85，并且直线y=-35x+85上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．那么解二元一次方程组358 21 x yx y+=⎧⎨-=⎩可否看作求两个一次函数y=-35x+85与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，•我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？我们这节课就来解决这些问题．Ⅱ．导入新课[活动一]活动内容设计：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1•元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？活动设计意图：通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．教师活动：引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．学生活动：在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．各小组合作探究。
用二元一次方程组求一次函数关系式
议一议
A、B两地相距100 km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相
向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离 s(km) 都是骑车时间 t (h)的一次函数.
1 h后乙距A地80 km,
2 h后甲距A地 30 km. 问：经过多长时间两人相遇 ?
直线型图表示
甲 A
2 h,30 km
消去 s s 15t s 100 20t
t=
用方程解行程问题 1 h后乙距A地80 km,即乙的速度是 20 km/h, 2 h后甲距A地 30 km,故甲的速度是 15km/h,
小彬
由此可求出甲、乙两人的速度, 以及……
你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
解（1）设y与x之间的函数表达式y=kx+b， （2）当y=0时，解得x=30 所以旅客最多可以 根据题意，得 免费携带30 kg的行李。 解得 所以y与x之间的函数表达式
随堂练习
如图中的两直线l1 ，l2 的交点坐标可以看作 方程组 的解
y
4
3 2
l1
l2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 x
80 km
1h
B 乙
图象表示
可以分别作出两人s 与t 之间的关系图象，找出 交点的横坐标就行了！ s 100 (B) 80 60 你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做， 看看和你的结果一致吗？
l2
l1
40
20 0 (A)
1 1 2 2
小明的方法求出的结果 准确吗？
3 3
4
5 t
求出s与t之间的关系式，联立解方程组
对于乙，s是t的一次函数，可设 s=kt+b。 当t=0时，s=100；当t=1时，s=80。 将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值， 小颖 也即可以求出乙s与t之间的函数表达式。 同样可求出甲s与t之间的函数表达式。 再联立这两个表达式，求解方程组就行了。
二元一次方程与一次函数
x 2 x y 5 则方程组 的解为 y 3 . 2 x y 1
,
x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 y 2 2 x y 2
则函数 坐标为 （2，2） .
1 y 2x 2 y x 1 与 2
5.6 二元一次方程与一次函数
实验中 学
王春梅
x+y=5这是什么？
方程x+y=5可以转化为
y=5-x
思考：是不是任意的二元一次方程
都能进行这样的转换呢？
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化 成y=kx+b的形式,所以每个二元一次 方程都对应一个一次函数.
(1)方程X+Y=5的解有 多少个？
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它
3) 方法归纳 用图象法解二元一次方程组 优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想. 不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.
x y 2 1、方程组 x y 5 x y 3 2、方程组 2 x 2 y 6
有
0
个解；
交点坐标(2,3)是方程组
｛2X-Y=1。 的解
X+Y=5；
• 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 • y = x - 2 的图象怎样 的位置关系？
l1 : y x 1 l2 : y x 2
x y 1, x y 2.
师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次 函数图象的关系吗? 生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的
有
个解；
两条直线互相平行，有
二元一次方程组和一次函数的关系
二元一次方程组和一次函数的关系一次函数和二元一次方程组都是数学中常见的概念，它们之间存在着紧密的联系。
在本文中，我们将探讨二元一次方程组和一次函数之间的关系，并了解它们在数学中的应用。
首先，让我们回顾一下一次函数的定义。
一次函数也被称为线性函数，它的一般形式可以表示为y=mx+b，其中m和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，它具有恒定的斜率和截距。
与一次函数相似，二元一次方程组也是由线性关系构成的。
二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，并且变量的最高次数为1。
一般形式可以表示为：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2在这里，a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
解二元一次方程组的目标是找到一对解(x,y)，满足方程组中的两个方程。
现在让我们来看一下一次函数和二元一次方程组之间的关系。
事实上，一次函数可以看作是只有一个方程的二元一次方程组。
回想一下一次函数的一般形式y=mx+b，我们可以将它重写为：mx+(-1)y=b这里，我们可以看到a=m，b=-1，c=b。
因此，可以将一次函数转化为二元一次方程组的形式。
同样地，我们可以将二元一次方程组转化为一次函数的形式。
假设我们已经解得方程组的解(x,y)，那么我们可以将其中一个方程重写为y=mx+b的形式，其中斜率m为a1/b1，截距b为c1/b1。
这种转化的过程为我们提供了一种方法来理解和解决二元一次方程组和一次函数之间的问题。
通过将方程组转化为一次函数，我们可以更直观地看到方程组的解代表了什么，以及如何将其表示在坐标系中的直线上。
除了上述关系，二元一次方程组和一次函数在数学中还有许多应用。
它们可以用于建模现实世界的问题，如经济学、物理学和工程学等领域。
通过将实际问题转化为方程组或一次函数，我们可以利用数学工具和技巧来解决这些问题，从而得出有关变量之间关系的重要信息。
综上所述，二元一次方程组和一次函数之间存在着密切的联系。
二元一次方程与一次函数
自主学习
达标4：
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本 节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程 （无数个解） 二元一次方程组 唯一解
形
一次函数（一条直 线） （无数个点） 两条直线 一个交点
自主学习
达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组 的解为（ ）。 的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的 交点坐标是（ ）。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是 ．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
小结2： （1）求二元一次方程组的解可以转化 为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化 为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有 无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
3.（0，5），（5，0），（2，3） 在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？
八年级数学上册《一次函数与二元一次方程组的关系》优秀教学案例
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性，树立学好数学的信心。
2.培养学生严谨、认真、踏实的科学态度，养成勤奋好学的良好习惯。
3.通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强学生的数学应用意识。
4.培养学生勇于面对困难、敢于挑战的精神，以及在团队合作中互帮互助、共同进步的品质。
八年级数学上册《一次函数与二元一次方程组的关系》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的代数基础，能够理解并运用一元一次方程。在此基础上，《一次函数与二元一次方程组的关系》章节的教学，旨在帮助学生将一元一次方程的概念拓展到二元一次方程组，并探索它们与一次函数之间的内在联系。本教学案例以八年级数学上册教材为依据，通过生活实例引入，激发学生兴趣，运用探究式教学法，引导学生从实际问题中发现数学模型，理解并掌握一次函数与二元一次方程组的关系，培养学生解决实际问题的能力。在教学过程中，注重学生主体地位，关注学生思维发展，提升学生的数学素养。
同时，强调学生在解决实际问题时，要善于运用数学知识，将实际问题转化为数学模型，从而更好地解决问题。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置以下作业：
1.请学生回顾本节课所学内容，总结一次函数与二元一次方程组的关系，并用自己的话进行解释。
2.设计一道实际问题，要求运用一次函数与二元一次方程组的知识解决，并在下节课分享解题过程和答案。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的图像特点及其与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数求解二元一次方程组的方法。
2.能够根据实际问题抽象出一次函数模型，并利用该模型解决生活中的实际问题。
《二元一次方程与一次函数》教学设计
5.6二元一次方程与一次函数教学设计深圳市龙岗中学姚颖妍一、教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容。
该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。
本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。
二、学情分析在八年级上册第四章第3节学生已经学习了如何根据已知条件准确画出一次函数的图象，初步掌握了一次函数及其图象的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。
同时，在本章中的第二节“求解二元一次方程组”中学生已经能够正确解方程（组），能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换。
在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验。
三、教学目标1、知识目标：（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系。
（2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。
（3）掌握二元一次方程组的图象解法。
2、能力目标：（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。
（2）通过自主探究，进一步发展学生数形结合的意识和能力。
3、情感态度和价值观目标;（1）让学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。
（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力。
四、教学重难点1、教学重点：（1）二元一次方程和一次函数的关系。
一次函数与一元二次方程的关系
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程的关系
2、理解一次函数与二元一次方程组的关系
3、应用一次函数与二元一次方程组的关系解 决实际问题
探究新知
y=3x+1这是什么？
一次 函数
二元一次 方程
这是怎 么回事？
y=3x+1
y-3x=1
探究学习一： 探究一次函数与二元一次方程的关系
7 y=x+1
6 5 4 3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x
-1
结论:
以二元一次方程的解为坐标的点都在 相应的函数图象上.
反过来,一次函数图象上的点的坐标 都是相应的二元一次方程的解.
练一练
体验成功喜悦
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
y=_2_x_-_1__的图像上。
2、方程-y=1有一个解为
x=2 y=1
，则一次
函数y=x-1的图象上有一点为 (2,1)
3、一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2),
则方程2x-y=4有一个解为 x=3 . y=2
探究学习二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
x+y=1
1、解方程组
-x+y=1
2、在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和 y=-x+1的图像。
体验成功喜悦
1、方程组
x-y=4 3x-y=16
的解是 yx==26，由此可知一
次函数 y=x+4 与y=-3x+16 的图像必有一个交点，
且交点坐标是
。
(6，2)
探究学习三：
一次函数与二元一次方程课教学设计优秀3篇
一次函数与二元一次方程课教学设计优秀3篇元一次方程教学设计篇一教学目标：1、会用加减消元法解二元一次方程组。
2、能根据方程组的特点，适当选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
3、了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法。
教学重点：加减消元法的理解与掌握教学难点：加减消元法的灵活运用教学方法：引导探索法，学生讨论交流教学过程：一、情境创设买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需要23元，买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元，每瓶苹果汁和每瓶橙汁售价各是多少？设苹果汁、橙汁单价为x元，y元。
我们可以列出方程3x+2y=235x+2y=33问：如何解这个方程组？二、探索活动活动一：1、上面“情境创设”中的方程，除了用代入消元法解以外，还有其他方法求解吗？2、这些方法与代入消元法有何异同？3、这个方程组有何特点？解法一：3x+2y=23①5x+2y=33②由①式得③把③式代入②式33解这个方程得：y=4把y=4代入③式则所以原方程组的解是x=5y=4解法二：3x+2y=23①5x+2y=33②由①—②式：3x+2y-(5x+2y)=23-333x-5x=-10解这个方程得：x=5把x=5代入①式，3×5+2y=23解这个方程得y=4所以原方程组的解是x=5y=4把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法(eliminationbyadditionorsubtraction)，简称加减法。
三、例题教学：例1.解方程组x+2y=1①3x-2y=5②解：①+②得，4x=6将代入①，得解这个方程得：所以原方程组的解是巩固练习(一)：练一练1。
(1)例2.解方程组5x-2y=4①2x-3y=-5②解：①×3，得15x-6y=12③②×3，得4x-6y=-10④③—④，得：11x=22解这个方程得x=2将x=2代入①，得5×2-2y=4解这个方程得：y=3所以原方程组的解是x=2y=3四、思维拓展：解方程组：五、小结：1、掌握加减消元法解二元一次方程组2、灵活选用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组元一次方程教学设计篇二教学目标知识目标：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
二元一次方程与一次函数(一)
1)方程X+Y=5的解有 无数多个解 , (0,5) 、 (5,0) 、(1,4) 。。。。。。。. (2)在直角坐标系中分别描出以这些解为 坐标的点,它们都在函数Y=5-X上吗? (0,5) 、(5,0) 、(1,4) .都在函数Y=5-X的图 象上. (3)在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点, 它的坐标适合方程X+Y=5吗?
3 x y 7 3、方程组 2 x y 5
有 0 个解；
有 无数 个解；.7 （1、2）
解法思路l：画出图象找出交点，确定交点坐标近似 值．(因作图误差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形 的问题归结为数的解决，便捷准确)
小结
拓展
知识的升华
1) 二元一次方程与一次函数的区别与联系 二元一次方程的解是一次函数上点的坐标; 一次函 数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解. 2) 二元一次方程组的解法总共学习了哪几种? 加减法;代入法;图象法.
①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式； ②画出各个一次函数的图象； ③由交点坐标得出方程组的解．
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
x 2 x y 5 则方程组 的解为 y 3 . 2 x y 1
,
x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 y 2 2 x y 2
x=s y=t
点( s , t )
从形到 数
在一次函数 y=kx+b的图象上
知识源于悟
益智的“机会”
师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次 函数图象的关系吗? 生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的
《二元一次方程与一次函数》教学设计
《二元一次方程与一次函数》教学设计一、学情分析：学生能够正确解方程（组），掌握了一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．二、学习目标：本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．因此确定本节课的教学目标为：1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；教学重点二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；教学难点通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．四、教法学法1．教法学法启发引导与自主探索相结合．2．课前准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．五、教学过程第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系1. 水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.（1）请找出自变量和因变量（2）你能列出X,Y的关系式吗?（3） X,Y的取值范围是什么?（4）在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）. 2．（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？（2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？（3）．在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？（4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．第二环节自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系探究方程与函数的相互转化1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元一次方程组的解（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？xy5（3）．解方程组?验证一下你的发现。
19.2.3一次函数与二元一次方程组
分析: 计费与上网时间有关,所以可设上
网时间为x分,分别写出两种计费方 式的函数模型,然后再做比较.
解法1: 设上网时间为x分,若按A方式则收y=0.1x元;若 按B方式则收y=0.05x+20元. 在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象 . 解方程组 y=0.1x 得 x=400 y/元 y=0.1x y=0.05x+20 y=40 所以两图象交于点(400,40) 由图象知: 20 当0<x<400时,0.1x<0.05x+20; 当x=400时, 0.1x=0.05x+20; 当x>400时,0.1x>0.05x+20. O
-4 -3 -2 -1O -1 -2 -3
1 2 3 4 5
x
思 二元一次方 考 程-x+y=0.5
转化
对应
一次函数 y=x+0.5
对应
一条直线 一方面，直线上每一点横坐标和纵坐标的值都 是方程-x+y=0.5 的解。 同时，以方程每一组解x、y的值为横坐标和 纵坐标的点都在直线上；
思考：任何一个二元一次方程都可以写成
{
5=60k+b 10=90k+b
解得
{ b=－5
1 k 6
1 x 5 6
当y=0时,x=30
例1：如图，点P的坐标可以看作一个二元一次方程组的解。 （1）请写出这个方程组， （2）求出直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积
y
4 B
l1
P
A
-2 -1 O 2
一次函数的形式呢？
归 纳
任何一个的二 元一次方程
一次函数
一条直线
y=-0.6x+1.6
沪科版数学八年级上册12.3《一次函数与二元一次方程》教学设计1
沪科版数学八年级上册12.3《一次函数与二元一次方程》教学设计1一. 教材分析《一次函数与二元一次方程》是沪科版数学八年级上册第12.3节的内容。
本节内容主要介绍了二元一次方程的定义、性质以及解法，并通过一次函数与二元一次方程之间的关系，让学生理解并掌握二元一次方程的解法。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初一、初二的相关知识，包括一元一次方程、一次函数等。
但部分学生对这些知识的掌握程度不一，因此教师在教学过程中要注意因材施教，既要照顾到基础差的学生，也要激发基础好的学生的学习兴趣。
此外，学生对于实际问题与数学知识的结合还有一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的解法，能够运用一次函数与二元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：二元一次方程的定义、性质和解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元一次方程，并运用一次函数与二元一次方程解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元一次方程，让学生感受到数学与生活的联系。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
3.引导发现法：教师引导学生发现二元一次方程的解法，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元一次方程的定义、性质和解法。
2.练习题：准备一些有关二元一次方程的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二元一次方程，激发学生的学习兴趣。
一次函数与二元一次方程的关系市公开课一等奖省优质课获奖课件
学习新知
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床,他看见屋顶 上一只蜘蛛顺着左右爬行,笛卡尔看到蜘蛛“演出”猛地灵 机一动.他想,能够把蜘蛛看成一个点,它能够上、下、左、 右运动,能不能把蜘蛛位置用一组数确定下来呢?在蜘蛛爬 行启示下,笛卡尔创建了直角坐标系,在坐标系下将几何图形 (形)和方程(数)建立联络.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带作 用,而我们能够把图形化成方程来研究,也能够用图像来研究 方程.这节课我们就来研究:一次函数与二元一次方程关系.
解析:(1)把点(1,b)代入直线l1:y=x+1即可 求出b值;(2)依据两直线交点即为方程组 解能够确定.
解:(1)∵(1,b)在直线y=x+1上, ∴当x=1时,b=1+1=2. (2)∵直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b),
x y 1 0,
∴方程组
mx
y
n
解是 0,
解:(1)两直线相交时交点坐标是
y x 1,
y
2
x
2,
解,即
x 1,
y
0,
所以交点坐标是(1,0),图像用两点法画即 可. y1=-x+1图像与坐标轴交点为 (0,1),(1,0),y2=2x-2图像与坐标轴交点为 (0,-2),(1,0),直接连线即可.如图所表示.
(2)y1<y2,即y1图像在y2图像下方,此时x>1.
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6.在平面直角坐标系中,直线y=-x+4如图所表示.
(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5图像;
(2)用作图像方法解方程组:
x y 4, 2x y 5,
(3)求直线y=-x+4与一次函数y=2x-5图像及x轴围成三
二元一次方程与一次函数结合应用题
二元一次方程与一次函数结合应用题二元一次方程和一次函数是数学中重要的概念和工具，它们在实际生活中的应用非常广泛。
本文将通过一系列的例子，详细介绍这两个数学概念与实际应用的关系。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设小明去工地搬砖，每小时搬运的砖头数为x个，他一共工作了y个小时。
我们知道，小明每小时搬运的砖头数是固定的，这可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时的搬运数量，b表示小明一开始已经搬运的砖头数。
同时，我们可以将小明的总工作时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总工作时间。
在实际应用中，我们会遇到类似这样的问题，需要使用二元一次方程和一次函数来解决。
比如说，小明每天去参加美术培训班，他每小时学习的艺术知识量为x个，他一共学习了y个小时。
我们知道小明学习的艺术知识量是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y = kx + b，其中k表示每小时学习的艺术知识量，b表示小明一开始已经学习的艺术知识量。
同时，我们可以将小明的总学习时间表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：x + y = t，其中t表示小明的总学习时间。
另一个应用二元一次方程和一次函数的例子是解决物理问题。
假设小明在距离地面10米高的楼顶上抛掷一个物体，小明抛掷物体的初速度为v米/秒，物体下落的时间为t秒。
我们知道物体下落的时间是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：t = kv + b，其中k表示物体下落的时间，b表示小明抛掷物体的初始时间。
同时，我们可以将物体下落的距离表示为y，这样就可以得到一个二元一次方程：y = 10 - 0.5gt^2，其中g表示物体下落的加速度。
在生活中，我们还会遇到一些利用二元一次方程和一次函数解决的实际问题。
比如说，小明每天去超市购买水果，他购买的苹果数量为x个，每个苹果的价格为p元。
他一共花费了y元。
我们知道小明购买水果的总花费是固定的，可以表示为一个一次函数的形式：y =kx + b，其中k表示每个苹果的价格，b表示小明一开始的花费。
数学教案-二元一次方程与一次函数(优秀6篇)
数学教案－二元一次方程与一次函数（优秀6篇）元一次方程教案篇一一、复习引入1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。
2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。
其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是-b+b2-4ac与-b-b2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2x2-2x=0x2+3x-4=0x2-5x+6=0观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1+x2 x1?x22x2-7x-4=03x2+2x-5=05x2-17x+6=0小结：根与系数关系：(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=-p，x1?x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。
)(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论即：对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)∵a≠0，∴x2+bax+ca=0∴x1+x2=-ba，x1?x2=ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x2-3x-1=0 (2)2x2+3x-5=0(3)13x2-2x=0 (4)2x2+6x=3(5)x2-1=0 (6)x2-2x+1=0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？(1)x2-22x+1=0 (x1=2+1，x2=2-1)(2)2x2-3x-8=0 (x1=7+734，x2=5-734)例3 已知一元二次方程的`两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程。
人教版八年级数学下册_【例题与讲解】用二元一次方程组确定一次函数表达式
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系 若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？(3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个．⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.(2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上．(3)适合．(4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】 用作图象的方法解方程组：⎩⎨⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ②分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32.在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组；(3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】 已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1， ∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.[来源:zz^@step.&com*%]∴a ＝－12.∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎨⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1. ∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律 求与坐标轴的交点坐标 解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x (册)5 000 8 000 10 000 15 000 … 成本y (元) 28 500 36 000 41 000 53 500 …(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？[来源:~@中国解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎨⎧ 5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000. (2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得48 000＝52x ＋16 000.解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点．(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线．【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题：(1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？(3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ，汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A的速度是1003km/h，汽车B的速度是100 km/h.(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。
二元一次方程组应用及一次函数于海峰(精品)
鸡兔同笼问题1.野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。
2.某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。
其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出1000张票，共筹得票款6950元。
问成人票与学生票各售出多少张？调配问题1.甲、乙两盒中各放着一些球，一共有9个，如果从甲盒中拿出5个放入乙盒，乙盒的球数是甲盒的2倍。
问甲、乙两盒中原来各放着多少个球？2.用一根绳子测水泥柱一周的尺寸，若绳子绕水泥柱4周，则绳子还多3尺；若绳子绕水泥柱5周，则绳子还少2尺，求绳子及水泥柱一周的长度。
配套问题1.一个工人一天能生产100值螺栓或150只螺帽，一只螺栓要与2只螺帽配套，若有工人42名，问怎样分配，才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？2.八年级A班同学50人，为参加学校举办的迎国庆文艺活动，做一批道具，每人每天平均做花18朵，面具16个，如果一个面具配两朵花，应分配多少学生做面具，多少学生做花，才能使面具和花刚好配套？年龄问题1.10年前，小兰妈妈的年龄是小兰年龄的3倍；10年后，妈妈的年龄是小兰年龄的2倍，问小兰和妈妈现在的年龄各是多少岁？2.学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才1岁；你到我这样大时，我已经37岁了。
”老师和学生的年龄各是多少？1.某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元，问这两种商品的原销售价分别为多2.某商场欲购甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35元，利润率为20％；乙种商品进价为20元，利润率为15％，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？增长率问题1. 某工厂去年的利润为200万。
今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元。
去年的总产值、总支出各是多少万元？2.革命老区百色的某个芒果种植基地，去年结余为500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入和支出各是多少万元？数字问题1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的15，求这个两位数。
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二元一次方程和一次函数（一）教学案例分析
前卫中学：潘莹
一、教学目标：1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系；
2、在学生思考和操作中，理解把握二元一次方程的图象解法，培养学生数、形结合意识和能力。
二、教学重点：二元一次方程和一次函数关系及二元一次方程的图象解法。
三、教学难点：方程与函数之间的对应关系。
四、教学过程：
(一)回顾与思考
[投影]回忆：“x+y=5”是什么方程？它的解有多少个？你能说出它的几个解来吗？
[投影] 操作：请画出一次函数y=5-x的图象，你是怎样画的？与同伴交流。
（二）探究二元一次方程和一次函数图象之间关系
[ 师 ]满足关系式y=5-x的x，y所有对应点（x ,y）在同一条直线上。
这是真的吗？不妨，我们在电脑上来做一做。
（电脑演示）
[投影] 思考2：满足关系式y=5-x的x，y所有对应的点（x ,y）都在直线上。
反之,是不是这条直线上的所有点的坐标都满足这个关系式呢?请举例验证。
[ 师 ] 再如，（电脑演示）在直线上任取两点A、B，它们所对应的点的坐标分别为将这两组值代入直线方程能使方程成立。
由此我们得到如下结论：
[投影] 结论：
二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：。
②反之，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程。
一次函数代数表达式与它的图象是一一对应的。
（三）探索二元一次方程组的图象解法（应用结论）
[投影] 做做、说说：在同一直角坐标系内分别作出一次函数
y=5-x和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？交点坐标与方程组的解有什么关系？说说理由。
[ 师 ] 指导同位同学分工合作：一个同学画图象，另一个同学解方程组。
并进行小组交流讨
[投影] 思考3：（1）两条直线在什么条件下组成相应的方程组无解？
（2）一个二元一次方程组对应一个解，反之，一个解只能对应一个二元一次方程组吗？为什么？
[投影] 解二元一次方程组新的方法———图象法。
[投影] 例题：用作图象的方法解方程组
[ 师 ] 用图象法解二元一次方程组，应该分几个步骤进行？
[投影] 解：由可得
同理，由，可得
在同一直角坐标系内作出一次函数的图象l1和的图象l2，如图所示，观察图象，得l1，l2的交点为P（2，2）。
（四）巩固练习
1、用作图象的方法解下列方程组：
(1) （2）
2、下图中的两直线l1，l2交点坐标可以看作方程
组的解。
[ 师 ] 此题与第一道题相比，有什么不同？
[ 师 ] 根据前面所学，如果我们能求出这两条直线的函数表达方式，那么它们所对应的方程组也就被确定了。
根据图象，能求出它们的函数表达式吗？
3、如图，l甲、 l乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）匀速行走的路程S与时间T的关系，观察图象并回答下列问题。
(1)乙出发时,与甲相距千米;
(2)走了一段路程后,乙的自行车发生故障,停下来修理,修车的时间为时;
(3)乙从出发起,经过时与甲相遇;
(4)甲行走的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数关系式
是； [提问]第②小题：你是怎样看的？
第③小题：什么？为（师画线段图加以解释）
第④小题：如何求？
第⑤小题：“不出故障”意味什么？它的图象应该是什么样子？由图象直接得到的解是什么？此解精确吗？要想得到精确的解，如何做？ [投影] 讨论：二元一次方程组图象解法与代数解法，哪一种方法优越？在实际情境中如何选择的？
（五）探究活动
（六）小结收获
（七）课后书面作业
七、教学反思
这节课以“回顾、联想”为先导，以“操作、思考”为手段，以“数、形结合”为要求，以“引导探究”为主线，处处呈现出师生互动、生生互动的景象，较好地体现了新的课程理念与要求。
具体地说：（一）从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。
教学一开始，首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的个数，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备；接着对方程进行变形，巧设一个“联想”自然转换到一次函数，并对一次函数图象画法的讨论，进入新课第一个环节———探究二元一次方程与一次函数的关系。
结构安排自然、紧凑。
（二）在操作中，提出问题、深化认识。
一切知识来自于实践。
只有实践，才能发现问题、提出问题；只有实践，才能把握知识、深化认识。
为此，教者先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：“以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。
”接着引导学生反思：“一次函数图象上的点坐
标都适合相应的二元一次方程吗？”通过举例，验证了自己的猜想，得出了结论。
同样，在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。
这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会；使他们在自主探索、合作交流中找到了快乐，深化了认识。
（三）以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。
能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。
能力培养是以自主探究为平台。
“自主”不是一盘散沙，“探究”不是漫无边际。
要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。
为达到这一目的，教案中设计了“联想”“反思”和三个“思材是个案不是教案。
新课程理念指出：教师是课程的研究者和开发者。
这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图。
在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例。
本教案对原教材的内容进行了一些调整，增添许多内容，更能体现探究的特色，其教学效果较好。