大赛获奖教案：直线方程的概念与直线的斜率
37【一等奖教案】直线方程的概念与直线的斜率
§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率【教学目标】知识与技能目标（1）了解直线的方程和方程的直线的概念.（2）理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.过程与方法目标（1）引导学生进行数学阅读，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进，使学生从愿读转变到会读，最后上升为乐读. 培养学生独立获取知识的自学能力.（2）初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观目标通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.【教学重点和难点】重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系【教法与学法】教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用阅读探究式教学方法。
通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力.同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率.【教学程序】教学环节教学过程师生互动设计意图新课导入展示数学教育家波利亚的名言:学习任何东西,最好的途径是自己去探究发现.教师多媒体展示名人语录通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，自主探索,大胆尝试！概念探究（一）自学阅读学生阅读课本第74页自主探究直线方程的概念学生尝试自读自悟，教师调控阅读时间充分发挥学生学习的主动性，改变以往被动单纯的听讲的学习方法，让学生在自己阅读实践中进行自悟.概念形成教师引导学生探讨以下问题：问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的?一．强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线上，两者缺一不可.二学生可能会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如2=x，教师指出，用函数表示直线不全面，用方程更全面学生分析讨论，师生共同总结。
直线方程的概念与直线的斜率
12 12 6．直线l过A(－2，(t ) )，B(2，(t ) ) t t
两点，其中t≠0，则此直线的斜率为 －1 ， 此直线经过第 一、二、四 象限 7．若点A(2，－3)，B(3，－2)，C( 1 ，m) 三点共线，则m=
9 2
2
.
8．已知过点P(1－a，1+a)和Q(3，2a)的
2．如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直 线的斜率等于1，那么m的值为（ A ）
（A）1（C）1或3Fra bibliotek（B）4
（D）1或4
3．下列各组点中，在同一直线上的是
（ C ） （A）(－2，3)，(－7，5)，(3，－5)
（B）(3，0)，(6，4)，(－1，－3)
（C）(4，5)，(3，4)，(－2，－1)
（D）(1，3)，(2，5)，(－2，3)
4．已知A(a，2)，B(3，b+1)，且直线
AB的倾斜角为90°，则a，b的值为 （ D ） （A）a=3, b=1 （B）a=3, b=2
（C）a=2, b=3
（D）a=3, b∈R且b≠1
5．给出下列四个命题： ①一条直线必是某个一次函数的图象； ②一次函数y=kx+b的图象必是一条不过原 点的直线； ③若一条直线上所有点的坐标都是某个方 程的解，则此方程叫做这条直线的方程； ④以一个二元方程的解为坐标的点都在某 条直线上，则这条直线叫做此方程的直线. 其中正确命题的个数是（ A ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
一．直线方程的概念 直线的方程与方程的直线： 一般地，如果以一个方程的解为坐标 的点都是某条直线上的点；反之，这条直 线上点的坐标都是这个方程的解，那么这 个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
人教新课标版数学高一B必修2学案 直线方程的概念与直线的斜率
高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析 剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx， 由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一 概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二 求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率． 分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三 斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四 易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案： 基础知识·梳理1．二元一次 这个方程的解 这条直线的方程 这个方程的直线 【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向 平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在； 当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)， 而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。
直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程的概念与直线的斜率教案教学目标：1、理解直线的方程的概念2、直线斜率的定义、公式3、直线倾斜角的定义、范围、条件4、直线斜率变化与倾斜角变化关系教学重点：1. 直线的方程的概念2、直线斜率的定义、公式3、直线倾斜角的定义、范围、条件4、直线斜率变化与倾斜角变化关系教学难点：1、理解直线的方程的概念2、直线斜率与倾斜角关系教学步骤：一． 理解直线方程的概念：（1） 首先回顾一次函数的解析式？图像？y ＝kx ＋b （k ≠0） ，一条直线（2） 让大家画y=2x+1的图像（3）我们已经知道所有的一次函数的图像都是直线，那么是不是所有直线都可以用一次函数来表示？用几何画板展示。
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=2，y=3都不是．一次函数 y=kx+b ，x=a, y=c 都可以看作方程。
(4) 直线 l 上 每一点的坐标 P ( x , y ) 与对于方程 y=2x+1有什么关系?1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=2x+1的解。
2. 二元一次方程 y=2x+1的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上（5）推广到y =kx+b 的情况1. 直线l 上每一点的坐标P(x,y)都是二元一次方程 y=kx+b 的解。
2. 二元一次方程 y=kx+b 的解所对应的点P(x,y)都在直线l 上(6 )直线的方程,方程的直线以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线方程的概念和定义，并通过方程来研究直线的有关问题。
即用代数的方法来研究几何问题。
二． 直线的斜率：（1） 先让学生看一分钟课本，让学生回顾一下斜率的求法？ 2121y y k x x -=-并让学生指出没先后的差距，只是要对应起来。
《直线方程的概念与直线的斜率》教案
《直线方程的概念与直线的斜率》教案教学目标1、了解直线的方程和方程的直线的概念.2、理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.3、掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.教学重难点重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系.教学过程一、情景导入问题：函数的图像是通过点（0, 1）和点（1，3）的一条直线l.直线l是函数y=2x+1的图像.则如果点P(x, y)在l上，根据直线方程所表达的意义可怎样表达点P所满足的关系？我们已经学习过一元一次函数，知道一元一次函数的图像是一条直线，同学们可以用以前学过的这些知识来解释下.二、交流展示1、在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？三、合作探究探究一：直线方程的概念教师：画出y=2x+1的图像，然后叫同学们观察并思考问题：x=-2,y=-3满足关系y=2x+1,则点（-2，-3）在y=2x+1的图像对应的直线上吗？学生：将点（-2，-3）描在直角坐标系内，观察到点（-2，-3）在y=2x+1的图像对应的直线上.教师：请同学们在之前的基础上继续解答问题：一元一次函数y=kx+b(k不为零)的解析式可看成二元一次方程，那么方程y=kx+b的解与其图像上的点有什么关系？让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系.教师在同学们讨论的基础上再做出小结.探究二：直线的斜率与倾斜角教师：请同学们讨论并谈谈对斜率的认识学生：回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)如何求斜率的公式.教师：进一步引导得出两点间斜率公式有些什么注意事项，斜率的值决定了直线相对x 轴的倾斜程度，由此引出倾斜角的概念探究三：直线的倾斜角与斜率的关系？教师：提出感官认识直线的斜率与这条直线的倾斜角相关联，让同学们总结他们之间的关系.学生：倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的。
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
张喜林制2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教材知识检索考点知识清单1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都在 且这条直线上点的坐标都是 ，那么这个方程叫做这条直线叫做 ．由于方程b kx y +=的图象是 因此我们常说直线 2．直线的倾斜角当直线与x 轴相交时，x 轴正向与直线 所成的角叫做这条直线的 ，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为 ，因此，直线倾斜角的取值范围是 3．直线的斜率直线b kx y +=中的系数k 叫做 ，垂直于x 轴的直线 直线上的两点),,(),(2211y x B y x A 、那么直线的斜率=k ).(21x x =/当0=k 时，直线 或当0>k 时，直线的倾斜角为 ．k 值增大，直线的倾斜角也随着当0<k 时，直线的倾斜角为____，k 值增大，直线的倾斜角也随着____；垂直于x 轴的直线要点核心解读1．对直线方程概念的理解把—次函数b kx y +=的每一对x 与y 的值，看成直角坐标系中的点（x ，y ），则（x ，y ）的集合便是一条直线.b kx y +=另一表达形式0=--b kx y 是二元一次方程的形式，这样，这个方程的实数解就和这条直线上的点的坐标建立了一一对应的关系，于是得到以下两个方面的含义：以一个二元一次方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个二元一次方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率(1)斜率公式的推导．直线b kx y +=被其上的任意两个不同的点所唯一确定（如图2 -2 -1-1所示），由这条直线上任意两点、),(11y x A ),(22y x B 的坐标可以计算出k 的值．由于11,y x 和22,y x 是直线方程b kx y +=的两组解，所以,,2211b kx y b kx y +=+=两式相减，得),(1212x x k y y -=-故=k ),(121212x x x x y y =/--那么)(121212x x x x y y k =/--=称为直线的斜率公式． 由斜率公式可知，斜率k 可以由直线上两个不同点的坐标求得，但它的大小与这两个点在直线上的顺序无关．(2)斜率的定义通常，我们把直线b kx y +=中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，斜率不存在． 除了垂直于x 轴的直线，只要知道直线上两个不同点的坐标，由斜率公式就可以算出这条直线的斜率．方程b kx y +=的图象是过点(O ，b)且斜率为k 的直线．(3)求斜率的步骤，我们可以写出求一条直线斜率的计算步骤，以便应用计算机进行计算： ①给直线上两点的坐标赋值：?,,?,?,2121=⋅===y y x x ②计算;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③如果,0=∆x 则判定“斜率k 不存在”； ④如果,0=/∆x 计算;xyk ∆∆=⑤输出斜率k ， 3．直线的倾斜角(1)定义．x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．(2)斜率与倾斜角的关系．由斜率k 的定义可知：0=k 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；0>k 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 0<k 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大； 垂直于x 轴的直线的倾斜角等于.90典例分类剖析考点1 直线与二元一次方程的对应关系 命题规律(1)已知两点求斜率和倾斜角． (2)已知斜率或直线方程求倾斜角．[例1] 如图2 -2 -1-2所示直线321l l l 、、都经过点P(3，2)，又321l l l 、、分别经过点、)1,2(1--Q、)2,4(2-Q ),2,3(3-Q 试计算直线321l l l 、、的斜率．[解析] 已知两点求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等，则其斜率不存在；若不相等，可用公式求之．[答案] 设321k k k 、、分别表示直线321l l l 、、的斜率，由于321Q Q Q P 、、、⋅的横坐标均不相等．,43422,53322121-=---==----=∴k k .033223=---=k母题迁移 1．已知,1)7,()5,3()1,1(-（、、、D a C B A )b 四点共线，求直线方程.b ax y +=[例2] 求经过下列两点的直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角：);7,2(),3,1)(1().5,3(),1,4)(2(- [解析] 利用直线的斜率公式1212x x yy k --=求之，根据k 的正负判定倾斜角是锐角还是钝角．[答案] ,041237)1(>=--=k 所以倾斜角是锐角； ,064315)2(<-=-+=k 所以倾斜角是钝角． [点拨] 若直线的斜率大于0，则其倾斜角为锐角；若直线的斜率小于O ，则其倾斜角为钝角；若直线的斜率等于O ，则其倾斜角为,0若直线的斜率不存在，则其倾斜角为.90o[例3] 已知直线321l l l 、、的斜率分别为,321k k k 、、如图2-2 -1-3所示，则( )．321.k k k A << 213.k k k B << 123.k k k C << 231.k k k D <<[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] 由图可知直线1l 的倾斜角为钝角，所以;01<k 直线2l 与直线3l 的倾斜角均为锐角，且直线2l 的倾斜角较大，所以,032>>k k 所以⋅>>132k k k[答案] D母题迁移 2．求经过点,0)(,().,(=/ab b a B mb ma A )1=/m 两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角，考点2 求斜率或倾斜角的取值范围 命题规律已知直线与线段有公共点，求斜率k 的取值范围．[例4] 已知、)3,3(--A ),1,2()2,2(--P B 、如图2 -2 -1 -4所示，若直线L 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线L 的斜率k 的取值范围．[答案] ,4)3(2)3(1=⋅-----=PA k,4322)2(1-=----=PB k∴ 要使直线L 与线段AB 有公共点，k 的取值范围应该是43-≤k 或.4≥k母题迁移 3．已知实数x 、y 满足,82=+y x 当32≤≤x 时，求xy的最大值和最小值， 考点3 利用斜率证明三点共线 命题规律已知平面上三点，证明三点共线．[例5] 已知三点),5,4()3,3()1,1(C B A 、、-求证：三点在同一直线上． [答案] 证法一：用距离公式证明．,53||,5||,52||===AC BC AB |,|53552||||AC BC AB ==+=+∴即A 、B 、C 三点共线．证法二：用斜率公式证明，,23435,21313=--==-+=BC AB k k ⋅=∴BC AB k k 又 ∵直线AB 、BC 有公共点B ．∴ A 、B 、C 三点共线．[点拨] 本题有很多种证明方法，这里选用了距离公式和斜率公式两种方法，继续学习后，还会有其他证明方法．母题迁移 4.一束光线从点A （-2，3）射入，经x 轴上的点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标．优化分层测讯学业水平测试1．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是( )．①直线L 一定是一个一次函数的图象；②一次函数，y = kx +b 的图象一定是一条不过原点的直线；③如果一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程；④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线． A.O 个 B.l 个 C.2个 D.3个． 2．集合A={直线方程=+=B b kx y },{一次函数的解析式}，则集合A 与B 的关系为( )．B A A =. B A B ⊇. A BC ⊇.D ．以上说法都不对3．直线L 过点),2(m p -⋅和)4,(m Q 两点，且L 的斜率为1，则m 的值为( )．1.A 4.B 31.或C 41.或D4．过点)3,2()2,3(--N M 与的直线的斜率=k ，倾斜角为 . 5．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若,2=AB k 则B 点的坐标为 6．已知方程.0632=++y x(1)把这个方程改写成一个一次函数的形式； (2)画出这个方程所对应的直线L ； (3)点)1,23(是否在直线L 上．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：IOO 分） 一、选择题（5分x8 =40分）1．点)4,3()1,0(B A 、在直线1l 上，若直线,12l l ⊥则直线2l 的倾斜角为( )．30.-A 30.B o C 120. 150.D2．直线L 的倾斜角为ααsin ,是方程033442=+-x x 的根，则a 的值是( )．60.A 120.B 150O 30.或o C 12060.或D3．设直线L 的倾斜角为θ，则L 关于直线3=y 对称的直线的倾斜角是( )．θ.A θ- 90.B θ-o C 180. θ- 90.D4．若)0,()4,9()2,3(x C B A 、、--三点共线，则x 的值为( )．1.A 1.-B 0.C 7.D5．若直线L 经过点)1,2(--a 和),1,2(--a 且与经过点、)1,2(-斜率为32-的直线垂直，则实数a 的值是( )．32.-A 23.-B 32.C 23.D 6．设点),2,3()3,2(---B A 、直线L 过点P(l ，1)且与线段AB 相交，则L 的斜率k 的取值范围是( )．443.-≤≥k k A 或 4143.-≤≥k k B 或 434.≤≤-k C 443.≤≤-k D 7．直线L 过点A(l ，2)，且L 不过第四象限，那么L 的斜率k 的取值范围是( )．]2,0.[A ]1,0.[B ]21,0.[C )21,0[⋅D8．已知),1,3()2,(+b B a A 、且直线AB 的倾斜角为,90则a 、b 的值为( )．1,3.==b a A 2,2.==b a B 3,2.==b a C 1,3.=/∈=b R b a D 且二、填空题（5分x4 =20分）9．给出以下命题：①任何一条直线都有唯一确定的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以是;30- ③倾斜角为00的直线只有一条，即x 轴；④按照直线倾斜角的概念，直线倾斜角的集合<≤αα0|{}180与直线的集合建立了一一对应的关系．其中正确命题的序号是10．三点（2，-3）、(4，3)及)2,5(k 在同一条直线上，则k 的值等于11．已知过)2,3()1,1(a Q a a P 和+-的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 12.直线)(013cos R y x ∈=++⋅θθ的倾斜角的取值范围是 三、解答题（10分x4 =40分）13.斜率为2的直线经过),1()7,()5,3(b C a B A -、、三点，求a 、b 的值．14．(1)已知矩形ABCD 中，、、)1,2()2,1(B A 中心),3,3(E 点),(y x P 在矩形的边界及内部运动，求xy的取值范围；(2)若实数x 、y 满足：,3,212-≥≤+=y x x y 且求xy的取值范围．15.求经过两点))(3,()2,1(R m m N M ∈-、的直线的斜率，并讨论m 为何值时倾斜角是锐角、钝角和直角？16.求函数2sin 1sin 3++=x x y 的值域.。
解析几何初步直线方程的概念与直线的斜率教案说明
一、教案基本信息教案名称：解析几何初步——直线方程的概念与直线的斜率课时安排：2课时教学目标：1. 让学生理解直线方程的基本概念，掌握直线方程的表示方法。
2. 让学生理解直线的斜率概念，掌握计算直线的斜率方法。
3. 培养学生运用直线方程和斜率解决实际问题的能力。
教学重点：直线方程的概念、表示方法，直线的斜率概念、计算方法。
教学难点：直线方程的转化，斜率的计算。
教学准备：教材、多媒体教学设备、黑板、粉笔。
二、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学过的直线方程（两点式、点斜式）引出本节课的内容，让学生回顾直线方程的基本概念和表示方法。
2. 新课导入：介绍直线方程的概念，讲解直线方程的表示方法（一般式、截距式、两点式、点斜式）。
3. 案例分析：分析具体直线方程，让学生理解直线方程的含义和应用。
4. 知识点讲解：讲解直线的斜率概念，让学生理解斜率的含义。
5. 斜率计算：讲解斜率的计算方法，并举例说明。
6. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调直线方程和斜率的重要性。
三、课后作业1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 预习下一节课的内容，为课堂学习做好准备。
四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
关注学生在课堂上的参与度，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
五、教学评价1. 学生对直线方程的概念和表示方法的掌握程度。
2. 学生对直线斜率的概念和计算方法的掌握程度。
3. 学生在解决问题时运用直线方程和斜率的能力。
4. 学生对课堂知识的复习和巩固情况。
六、教学拓展1. 讲解直线方程的拓展知识，如直线方程的参数形式、对称直线方程等。
2. 介绍直线方程在实际应用中的例子，如平面几何中的线段中点公式、距离公式等。
3. 引导学生思考直线方程与其他几何知识的关系，如与圆的方程、二次曲线的方程等的联系。
直线方程的概念与直线的斜率教案
直线方程的概念与直线的斜率教案一、教学目标1. 让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的基本形式。
2. 让学生了解直线的斜率，能够计算直线的斜率。
3. 培养学生运用直线方程和斜率解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 直线方程的概念：直线方程是用来描述直线在平面直角坐标系中的位置和性质的数学表达式。
2. 直线方程的基本形式：直线方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不为0。
3. 直线的斜率：直线的斜率是描述直线倾斜程度的量，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
4. 斜率的计算：斜率k = (y2 y1) / (x2 x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的任意两点。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线方程的概念和基本形式，直线的斜率及其计算方法。
2. 教学难点：直线方程的转化和应用，斜率的计算。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线方程的概念、基本形式，以及直线的斜率和斜率的计算方法。
2. 利用多媒体展示直线方程的图像，帮助学生直观理解直线方程和斜率的概念。
3. 运用例题和练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的直线方程（两点式、点斜式等）引出直线方程的概念和基本形式。
2. 讲解直线方程的概念和基本形式，让学生理解直线方程的意义和应用。
3. 讲解直线的斜率，让学生了解斜率的定义和计算方法。
4. 通过例题，展示直线方程和斜率的运用，让学生学会如何运用所学知识解决实际问题。
5. 布置练习题，让学生巩固直线方程和斜率的知识。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调直线方程和斜率的重要性和应用。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对直线方程概念和直线斜率的理解。
2. 练习题：布置一些有关直线方程和斜率的练习题，以检查学生对知识的掌握程度。
直线的倾斜角与斜率(信息化教学大赛教案)
“倾斜角与斜率”教学设计（第一课时）一、教材分析本节课是人教A版必修2的第三章的第一节内容.第三章是解析几何，解析几何就是将几何问题转化为代数问题，通过代数运算来研究几何图形的性质及位置关系，即用数来言形，体现了数形结合的重要数学思想.在本章中，学生将在平面直角坐标系中建立直线的代数方程.运用代数方法研究直线、直线之间的位置关系、两条直线的交点坐标、点到直线距离，以及与此相关的一些应用.初步形成代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想.本课时涉及到两个概念，倾斜角和斜率，突出正切函数值是二者联系的关键桥梁.本课不仅使学生建构倾斜角，斜率的概念,掌握斜率的计算公式,而且还应适当渗透解析几何的基本思想和方法:坐标法、数形结合思想、联系的观点、解析几何发展史等.二、教学目标:知识与技能：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法.2.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.过程与方法：1.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.2.通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.情感态度与价值观：1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法，培养学生联系、对应转化等辩证思维.2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度．教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点： 1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.2.运用两点坐标计算直线的斜率.3. 体会解析几何研究问题的基本思想和方法;经历几何(倾料角)问题代数(料率)化的过程,会求给出倾斜角或给出所经过的两点坐标的直线的斜率.三、教法分析教法：直观演示法，引导发现教学法等.学法：学生动手操作，练习法.教学手段：师生互动，小组讨论.四、教学工具多媒体、几何画板、优课电子白板交互系统.教学过程一、创设情境引入新课1、三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到证明方法.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE 是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.2、借助多媒体播放神舟九号飞行视频，以及与天宫一号实施自动交会对接，（这是中国实施的首次载人空间交会对接）.问: 科学家是如何预测飞船的飞行轨迹的?监测飞船实质是对飞船运行轨迹进行代数化处理，再借助计算机对运行轨迹进行精确计算．数学是真正的幕后英雄.通过真实的、学生感兴趣的情境与事例，让学生真切地感受到解析几何的意义与价值，激发学生探究的兴趣与欲望．本章解析几何主要是探讨如何用代数的思想来解决几何问题.让同学简单叙述：解析几何的发展史，世纪法国数学家笛卡儿和费马共同创立的．解析几何的创立是数学发展史上一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期．解析几何由此成为近代数学的基础之一．课后请同学们重新阅读本章的章引言以及阅读材料.本课时我们将研究解析几何中最基础的知识———直线的倾斜角和斜率，二、授新课探究：解析几何主要是对几何图形代数化处理，如何对几何图形( 多媒体显示)进行数量化、代数化处理? ……..回顾旧知（是否有过相关的经验和经历?）数轴上的点与实数一一对应;坐标系中的点可以用坐标有序数对表示：它们之间是一一对应;探究：如何确定一条直线呢？（两点确定一条直线）；探究：平面坐标系中，又该如何呢？一点能确定一条直线吗？（几何画板展示）若不能这些过同一点的直线有哪些不同点?请同学们动手操作,先独立思考,后相互讨论.学生在讨论的基础上观察教师借助几何画板软件动态演示,过点P的直线有无数条,他们的不同之处在于“倾斜程度”不同或“方向”不同.让学生明白直线倾斜度需要有参照对象,探究：怎样在平面直角坐标系中刻画直线的方向呢? ( 让学生作适当的讨论) 能否用一个适当的角来刻画? 如果能，这个角是怎样的角?让学生从坐标轴的“基准”作用出发思考问题，做出选择，初步养成利用坐标系解决问题的习惯.把选择的权利还给学生,既尊重学生的主体性,又培养学生的优化意识和责任感.有了x轴作为参照对象,（学生认为有四个角或两个角）探究：你更愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度?在三角函数中，回忆任意角的定义，（以x的正半轴为始边，逆时针旋转）.表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可，当然用最小的正角．让学生亲历直线倾斜角的直观定义过程.从而得到直线倾斜角的概念.探究：请在下图中坐标系中画出这些直线倾斜角, 并用自己语言说说倾斜角定义.坐标系是由原点重合的两条相互垂直的数轴构成的.数轴有方向,所以在上述选择时要注意发挥这个方向的作用.倾斜角定义：当直线与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.探究：分别说出下面三条直线的倾斜角度数：y x =；y x =-；2y =规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.探究：根据倾斜角的定义, 能否写出倾斜角α的取值范围.( 辅助一组用几何画板制作的直线转动过程中倾料角的变化的动画. )预设回答: [)0,απ∈直线平行于x 轴时,为什么不把它的倾斜角定义为π呢?实际上这是为了简单,便于计算.这样,倾斜角的取值范围是[)0,π.对定义加深理解分析：探究：每条直线都有唯一一个确定的倾斜角α吗？（是的）探究: 倾斜程度相同的直线其倾斜角α是否相等？（相等）倾斜程度不同的直线, 其倾斜角α是否不相等？（不相等）探究: 确定一条直线位置的几何要素是什么？正如一个点不能确定一条直线一样,已知直线的倾斜角α,也不能确定一条直线的位置.但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可以惟一确定一条直线.确定一条直线几何要素：两点或一个定点及它的倾斜角，两者缺一不可.生活在大黄山，我们都有过爬山，爬坡的体验，会遇到坡陡问题.思考：在生活中，还有没有别的表示倾斜程度的量呢？倾斜角从几何方面反映了直线的倾斜程度，能否找一个能从代数方面反映直线倾斜程度的量呢？==升高量对边坡度（比）前进量邻边这里的“坡度比”实际就是“倾斜角α的正切值”.斜率的定义：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示： k =tan α及时练习：当直线的倾斜角分别为如下时，求直线的斜率：（1）030α=；（2）045α=；（3）0120α=；（4）0135α=；（5）090α=；（6）00α=.探究:平面直角坐标系中任何一条直线都有斜率吗?当倾斜角为900时,直线的斜率不存在.因此，并不是每一条直线都有斜率.多媒体展示作为倾斜角α的直线斜率 （正切函数图象） 变化规律的函数图象.用几何画板展示锐角斜率为正,钝角斜率为负.加强定义理解：练一练：下列关于直线的倾斜角和斜率关系的说法中，正确的有（ ）.（1） 任意直线都有倾斜角，也都有斜率（2） 直线的倾斜角越大，它的斜率也越大（3） 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0 或 π（4） 两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等（5） 直线斜率的范围是 （-∞，+∞）（6） 一定点和一个倾斜角可以唯一确定一条直线斜率的意义:平面内倾斜角不是2π的直线都有斜率,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,进而斜率相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不等,进而斜率不等.斜率大于0的直线的倾斜角为锐角,并且斜率越大倾斜角越大;斜率小于0的直线的倾斜角为钝角,并且斜率越小倾斜角越小.思考：因为两点可以确定一条直线，如何用直线上两点1122(,),(,)12P x y P x y 的坐标来表示“升高量”与“前进量”？让我们一起探究用直线上两点坐标1122(,),(,)12P x y P x y 来计算直线的斜率呢？探究：引导学生，利用==y x∆=∆升高量纵坐标增量坡度（比）前进量横坐标增量，先探究倾斜角为锐角和钝角时2121y y x x --与斜率k 值的关系. （数学实验）几何画板动态演示：给定两点,12P P ，改变直线的倾斜程度，一方面计算2121y y x x --，另一方面计算倾斜角的正切值，可以发现，不论α是锐角还是钝角，可以清楚的显示2121y y x x --与斜率k 的值总相等. 探究：当直线与x 轴平行或重合时， 2121y y k x x -=-该式是否也成立？ （数学实验）几何画板动态演示：实验验证上式是成立的.探究：当直线与y 轴平行或重合时，上式还成立吗？实验验证此时斜率是不存在的.探究：，直线l 的倾斜角确定后，改变,12P P 的顺序，k 的值是否也跟着变化？（数学实验）几何画板动态演示：当直线l 的倾斜角确定后，k 的值与点,12P P 的顺序无关.下面用代数进行证明：1.当直线的倾斜角α为锐角时：22112112QP y y tan =tan QP P QP x x α-∠==- 改变,12P P 的顺序:112212122121QP y y y y tan =tan QP P QP x x x x α--∠===-- 2.当直线的倾斜角α为钝角时： 2212111221()tan ,tan QP y y y y tan =tan ,tan =QP x x x x απθθθα---=-==∴-- 改变,12P P 的顺序：2121y y tan =x x α-- 3. 当直线与x 轴平行或重合时：21212100y y tan =tan0x x x x α-===-- 4. 当直线与y 轴平行或重合时：tan =tan2πα 不存在应用理解,精致概念 例l ：(教材85页例l)已知A(3,2)，B(一4,l)，C(0,一l),求直线AB ，BC ，CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. （几何画板展示）解：直线AB 的斜率121437AB k -==--； 直线BC 的斜率1110(4)2BC k --==---； 直线CA 的斜率12103CA k --==-； 由0AB k >及0CA k >，直线AB 与直线CA 的倾斜角均为锐角；由0BC k <知，直线BC 的倾斜角为钝角.设计意图:巩固本课时所学的基本知识，并体验斜率与倾斜角之间的关系.例2：(教材85页例2)在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1，一1和2及-3的直线,,1234l l l l 及.分析：引导学生根据已知条件分析解决方法, 确定一条直线可以是一点一角,也可以是两点. 对于1k = 和1k =-,倾斜角是比较容易求得的, 但对于2k =和3k =-,显然无法简单求出倾斜角.因为已知直线过原点, 所以只要再找出一个角或另外一点直线就确定了.但在推导斜率公式时, 学生已经知道, 斜率的值与直线上的两点位置无关, 因此,由已知直线的斜率画直线时, 可以再找一个特殊点, 比如可以使其横坐标等于1 , 就会给计算带来很大的方便.解：设111(,)A x y 是直线1l 上的一点，根据斜率公式有，11010y x -=-，即11x y =， 设11x =，则11y =，于是1A 的坐标是(1,1).过原点及1(1,1)A 的直线即为1l ，同理,234l l l 及.提升训练1. 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转450，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为 045α+或0135α- .分析：当000135α≤<时，1l 的倾斜角为045α+；当00135180α≤<时，1l 的倾斜角为0135α-；2.若直线的斜率满足k <<α的范围是 .分析：可以利用正切图像：2[0,)(,)63πππ . 3.已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 分析：PN k k ≥或PM k k ≤变式1：已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与射线MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .变式2：已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与射线NM 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .设计意图:通过逆向思维,再找出位于直线上的一点使其满足已知斜率,而画直线的过程是数形结合的过程,有利于进一步理解直线的斜率公式(料率与直线上点的位置无关),也为以后点斜式方程教学埋下伏笔.此例是教材的一大亮点. 探究：教材中的两个例子是以坐标系为背景，从正、逆两个方向分析两种确定直线的条件，把形转化成数，把数转化成形. 两个例题既是知识探究过程的延伸和深化，又引导学生体验数形之间是怎样通过坐标法进行转化的，是怎样用代数方法研究几何图形的. 教学反思：本节课主要学习了倾斜角与斜率两个概念，倾斜角的本质是刻画直线朝向的几何量，斜率的本质是刻画直线朝向的代数量，倾斜角与斜率通过正切函数联系在一起，也使直线的几何直观与代数精细刻画联系在一起，而建立这种联系的大背景是建立平面直角坐标系.。
教学教案-直线方程的概念与直线的斜率2
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率※教学目标：了解直线方程的概念，理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数的方法探索直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.※教学重点、难点：教学重点：理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数的方法探索直线斜率公式的过程.教学难点：理解斜率的几何意义及与“相似比”等概念之间的内在联系.※教学过程：一、概念引入请同学们在坐标系中作出一次函数21y x =+的图象l .二、概念形成1、直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在 上，且这条直线上点的坐标都是 的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.思考：21(0)y x x =+≠是上面直线l 的方程吗？2、直线的斜率和倾斜角(1) 直线的斜率的推导:①请在上面的坐标系中再分别作出过点(0,1)A 和点(1,2)B 的直线m .②请求出过点(0,1)A 和点(1,2)B 的直线方程(提示:可用待定系数法先设方程为y kx b =+.③若把点A 和点B 的坐标分别改为),(),,(2211y x y x ,当21x x ≠时,你能求出直线的方程y kx b =+中的k 吗?(2)直线的倾斜角的定义: 规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为三、概念强化※问题1：对于一条与x 轴不垂直的定直线，斜率值与P 、Q 两点的顺序有关吗?※问题2：如果21y y =，则直线 PQ 的斜率※问题3：如果21x x =，则直线 PQ 的斜率※问题4：对于一条与x 轴不垂直的定直线，斜率值与P 、Q 两点的位置有关吗?※问题5：请分别标出下列直线所对应的倾斜角.※问题6：你认为倾斜角的范围是多少?※问题7：根据直线的斜率和倾斜角的概念完成下表.x A C x x B四、概念应用例1．求经过A(－2，0)，B(－5，3)两点的直线的斜率.巩固提高1：经过点(3,5) , 点(6，b) 的直线斜率为2 ,求b的值.例2．画出方程3680x y+-=的图象.巩固提高2：求直线3680+-=的斜率.x y五、课堂小结六、检测1、斜率为2的直线，经过点(3,5),(a ,7)，求a 的值.2、已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直线PQ的斜率为1 , 求Q的坐标.3、请用一次函数的形式写出斜率k =5 ,且过点(0 ,-3)的直线的方程(提示：可用待定系数法).七、作业A：课本76页练习A：2、(1)(4); 练习B：3、(1)(2)B：课本76页练习A：2; 练习B：3。
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教案教师版
§2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率【学习要求】1．了解直线的方程与方程的直线的概念和关系．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．【学法指导】通过对直线的方程的概念及直线的倾斜角、斜率的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的 坐标 都是这个方程的解，那么这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线． 2．直线的斜率：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的 斜率 ，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标可以计算出k 的值，k ＝ y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． 3．直线的倾斜角：x 轴正向与直线 向上 的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．4．斜率与倾斜角的关系：由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于 X 轴 或 与X 轴重合 ；k ＞0时，直线的倾斜角为 锐角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；k ＜0时，直线的倾斜角为 钝角 ，k 值增大，直线的倾斜角也随着 增大 ；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于 90° .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率．探究点一 直线方程的概念导引 画出y ＝2x ＋1的图象，然后观察并思考以下问题：问题1 点(1,3)为直线上的点，x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1吗？答： 将x ＝1，y ＝3代入关系式y ＝2x ＋1，两边成立，即x ＝1，y ＝3满足关系y ＝2x ＋1.问题2 x ＝－2，y ＝－3满足关系y ＝2x ＋1，则点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上吗？答：将点(－2，－3)描在上述直角坐标系内，观察到点(－2，－3)在y ＝2x ＋1的图象对应的直线上．问题3 一次函数y ＝2x ＋1的图象上的点与满足关系式y ＝2x ＋1的实数对(x ，y)有怎样的关系？答： 存在着一一对应的关系．问题4 我们已经知道平面直角坐标系内，所有一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的图象都是直线，那么所有的直线都能用一次函数表示吗？答： 不能，例如方程y ＝2的图象是一条经过点(0,2)且平行于x 轴的直线，但y ＝2不是一次函数．问题5 一元一次函数y ＝kx ＋b (k≠0)的解析式可看作二元一次方程，那么方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在怎样的关系？答： 由于函数y ＝kx ＋b( k≠0)或y ＝b 都是二元一次方程，因此，方程y ＝kx ＋b 的解与其图象上的点存在一一对应关系．小结： 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．例1 画出二元一次方程3x ＋6y －8＝0的图象．解：已知方程解出y ，得y ＝－12x ＋43，这是一次函数的表达式，它的图象是一条直线． 当x ＝0时，y ＝43；当x ＝2时，y ＝13. 在坐标平面内作点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13.作直线AB ， 即为所求方程的图象(如图)．小结： 画二元一次方程所表示的图象同画一次函数图象一样，取的两点一般是坐标轴上的点．跟踪训练1 已知方程2x ＋3y ＋6＝0. (1)画出这个方程所对应的直线l ； (2)点⎝⎛⎭⎫32，1是否在直线l 上？(3)方程2x ＋3y ＋6＝0(x ∈Z)是不是直线l 的方程？直线l 是不是该方程的直线？解：(1)在方程中令x ＝0，y ＝0，得A(0，－2)，B(－3,0)，如图直线AB 即为所求直线l 的图象．(2)∵当x ＝32，y ＝1时，方程的左边＝2×32＋3×1＋6＝12，右边＝0，∴左边≠右边．∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1不在直线l 上．(3)虽然以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x∈Z)的解为坐标的点都在l 上，但是l 上点的坐标不都是该方程的解，比如点C ⎝⎛⎭⎫－32，－1∈l ，但⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－32y ＝－1不是该方程的解，所以方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)不是直线l 的方程，直线l 也不是方程2x ＋3y ＋6＝0 (x ∈Z)的直线．探究点二 直线的斜率问题1 直线y ＝kx ＋b 被其上的任意两个不同的点所唯一确定．那么，由这条直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的坐标如何计算出k 的值？答：由于x 1，y 1和x 2，y 2是直线方程的两组解，方程y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b ，两式相减，得y 2－y 1＝kx 2－kx 1＝k(x 2－x 1)．因此k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)． 问题2 直线上任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) ，当x 1＝x 2时直线的位置怎样，k 值如何？答： 此时直线平行于y 轴，或与y 轴重合，在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，因为分母为0，所以k 不存在． 问题3 运用上述公式计算直线AB 的斜率时，需要考虑A 、B 的顺序吗？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关． 小结： 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在． 例2 求经过A(－2,0)，B(－5,3) 两点的直线的斜率k.解： x 1＝－2，x 2＝－5，y 1＝0，y 2＝3，Δx ＝－5－(－2)＝－3，Δy ＝3－0＝3， k ＝Δy Δx ＝3－3＝－1. 小结：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论． 跟踪训练2 已知直线l 经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l 的斜率．解： (1)当t ＝2时，x 1＝x 2＝2，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2. ∴综上所述，当t ＝2时，斜率不存在； 当t ≠2时，k ＝5t －2. 探究点三 直线的倾斜角问题1 过一点P 可以作无数条直线，它们都经过点P ，这些直线区别在哪里呢？答： 区别是它们的倾斜程度不同．问题2 在k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示自变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，则k 的表达式如何？此表达式说明了什么问题？答： k ＝Δy Δx，说明了斜率决定了直线相对于x 轴的倾斜程度． 问题3 怎样描述直线的倾斜程度呢？答：x 轴正向与直线l 向上方向所成的角叫做直线的倾斜角，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．问题4 直线的斜率k ＝Δy Δx与倾斜角α有怎样的关系？ 答： 由图可知，k ＝Δy Δx＝tan α. 问题5 直线的斜率k 与倾斜角α之间有怎样的变化关系？答： 由斜率k 的定义可知：k ＝0时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；k ＞0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；k ＜0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；垂直于x 轴的直线的倾斜角等于90°.问题6 依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角α的取值范围吗？答： 0°≤α<180°.例3 如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17； 直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－－4＝－12； 直线CA 的斜率k CA ＝－1－20－3＝1. 由k AB >0及k CA >0知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0知，直线BC 的倾斜角为钝角．小结： 倾斜角和斜率都反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度．倾斜角直接反映倾斜程度．跟踪训练3 求过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1) (1,1)，(2,4)； (2) (－3,5)，(0,2)； (3) (2,3)，(2,5)； (4) (3，－2)，(6，－2)．解： (1)k ＝4－12－1＝3>0，所以倾斜角是锐角； (2)k ＝2－50－－3＝－1<0，所以倾斜角是钝角； (3)由x 1＝x 2＝2得：k 不存在，倾斜角是90°；(4)k ＝－2－－26－3＝0，所以倾斜角为0°. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k 是直线的斜率，则k ∈R ； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①②③正确．2．若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m 等于 () A ．1 B ．4C ．1或3D ．1或4解析： 由题意，得k PQ ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．若A(3，－2)，B(－9,4)，C(x,0)三点共线，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．7解析： 由题意，得k AB ＝k BC ，即4＋2－9－3＝0－4x ＋9， 解得x ＝－1.课堂小结：1．直线的方程与方程的直线．2．斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(或k ＝y 1－y 2x 1－x 2) (x 1≠x 2)．3．直线的倾斜角定义及其范围：0°≤α<180°.4．直线的斜率的几何意义：k ＝tan α (α≠90°)．5．斜率k 与倾斜角α之间的关系：⎩⎨⎧ α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°<α<90°⇒k ＝tan α>0，α＝90°⇒tan α不存在⇒k 不存在，90°<α<180°⇒k ＝tan α<0.。
直线方程的概念与直线的斜率
汇报人：XX
• 直线方程的基本概念 • 直线的斜率 • 直线方程的求解方法 • 直线方程与图形的结合 • 直线方程在实际问题中的应用
01
直线方程的基本概念
直线方程的定义
直线方程
描述平面上一条直线的数学表达式， 通常表示为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。
k代表斜率，x1和y1代表直线上的一个点(x1,y1)，x2和y2代表直线上的另一个点 (x2,y2)。
斜率与倾斜角的关系
倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（k） 。
直线的斜率反映直线上每一点的倾斜程度。一条直线与平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
02
直线的斜率
斜率的定义
斜率，亦称“倾斜度”、“倾斜 率”，表示一条直线相对于横坐
标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横 坐标轴正半轴方向的夹角的正切 值即该直线相对于该坐标系的斜
率。
如果直线与x轴互相垂直，直角 的正切值无穷大，故此直线不存
在斜率。
斜率的计算公式
直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
移变换中，直线方程可以根据平移向量进行相应的变换。
02
旋转变换
通过旋转变换可以改变图形的方向，但不改变图形的形状和大小。在旋
转变换中，直线方程可以根据旋转中心和旋转角度进行相应的变换。
03
缩放变换
通过缩放变换可以改变图形的大小，但不改变图形的形状。在缩放变换
中，直线方程可以根据缩放因子进行相应的变换。
直线方程的特殊形式
1 2
水平线方程
2.1 直线方程的概念与直线的斜率》一等奖创新教学设计2
2.1 直线方程的概念与直线的斜率》一等奖创新教学设计2“直线与方程”的起始课——直线的倾斜角与斜率教学设计教材分析《直线与方程》拉开了高中阶段学习平面解析几何的帷幕，本章突出“坐标法”的核心地位，强调“数形结合”的思想。
第一节，建立平面直角坐标系，用代数方法研究确定直线的几何要素——点与斜率；第二节，根据确定直线的几何要素，探求直线方程的几种形式，建立了直线的代数表示；第三节，通过方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系，通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离，点到直线的距离，两条平行直线间的距离等。
本章的学习是进一步学习解析几何有关知识（圆的方程、圆锥曲线方程、坐标系与参数方程）做了必要的铺垫。
直线的倾斜角与斜率是直线与方程的起始课，倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，为后面研究斜率，直线的平行，垂直的解析表示等问题作为知识储备；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程，通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：体会解析几何研究问题的基本思想和方法；经历几何（倾斜角）问题代数（斜率）化的过程，代数表示（斜率）到几何直观（直线的倾斜程度）的过程。
学情诊断分析（1）学生之前已学习过函数的解析式与平面直角坐标系中的函数图像，有了从数到形的认识，学生知道借助图形认识函数的性质，这是坐标法学习的基础。
（2）学生在初中平面几何的思维模式下，即以公理为基础用从形的角度观察、度量几何元素间的关系，对从代数角度借助坐标、方程来解决几何问题感到不自然，在“几何直观代数表示几何直观”的转化上会有一定的困难。
（3）直线方程的学习安排在三角函数之前，由于对正切函数不熟悉，角的正切值只停留在直角三角形中来求，因此，倾斜角的正切值等于斜率，这一概念还不能直接引入。
根据以上分析，本节课的教学难点确定为:教学难点：倾斜角概念的形成及直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
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§2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
【教学目标】
知识与技能目标
（1）了解直线的方程和方程的直线的概念.
（2）理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.
（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.
过程与方法目标
（1）引导学生进行数学阅读，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进，使学生从愿读转变到会读，最后上升为乐读. 培养学生独立获取知识的自学能力.
（2）初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观目标
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神.
【教学重点和难点】
重点：理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式.
难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系
【教法与学法】
教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用阅读探究式教学方法。
通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力.
同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率.
【教学程序】
吗？为什么？
板书设计。