湖南省常德市2013高三数学模拟考试题 文
2013年高考模拟系列试卷(1)—数学(文)含答案
2013年高考模拟系列试卷（一）数学试题【新课标版】（文科)题 号 第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分一二171819202122得 分注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷(阅读题）和第Ⅱ卷(表达题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1．复数z=i 2（1+i)的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．– 1D ．– i2．设全集()()2,{|21},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-,则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 3。
已知各项均为正数的等比数列｛na }中,1237895,10,a a aa a a ==则456a a a =（ )UA.52B.7 C 。
6 D 。
424.已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a <<B. c a b <<C 。
b c a <<D .b ac <<5.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ )A ．3242π- B ．243π- C ．24π-D ．242π-6．设,m n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ )A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β"成立的充要条件B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥"的充分不必要条件C ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件D ．当α⊂m 时，“α⊥n "是“n m ⊥"的充分不必要条件7。
2013年高三数学文科一模试题(带答案)
2013年高三数学文科一模试题（带答案）2013年高三教学测试（一）文科数学试题卷注意事项：1.本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件，互斥，那么棱柱的体积公式如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式球的表面积公式球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i为虚数单位，则复数=A.iB.-iC.D.-2.函数的最小正周期是A.B.πC.2πD.4π3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A.OB.-1C.D.4.已知α,β是空间中两个不同平面，m,n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是A.若m//nm丄α,则n丄αB.若m//ααβ,则m//nC.若m丄α,m丄β，则α//βD.若m丄α,mβ则α丄β5如图，给定由6个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取2个点，则两点间的距离为2的概率是ABCD6.已知函数，下列命题正确的是A.若是增函数，是减函数，则存在最大值B.若存在最大值，则是增函数，是减函数C.若,均为减函数，则是减函数D.若是减函数，则,均为减函数7.已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线c:,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=,则双曲线C的离心率是A.B.C.2D.9已知在正项等比数列{an}中，a1=1,a2a4=16则｜a1-12｜+｜a2-12｜+…+｜a8-12｜=A224B225C226D25610.已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x)))=0},若存在x0∈B，x0A则实数b的取值范围是ABbCD非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知奇函数f(x),当x>0时，f(x)=log2(x+3),则f(-1)=__▲__12.已知实数x,y满足则z=2x+y的最小值是__▲__13.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__▲__14.某高校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图，其中成绩在40，80]内的学生有120人，则该校高三文科学生共有__▲__人15.已知正数x,y满足则xy的最小值是=__▲__.16.已知椭圆C1：的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点以F为圆心，1为半径的圆作切线PM，PN，其中切点为M，N则四边形PMFN 面积的最大值为__▲__.17.若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是__▲_.三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟•18.(本题满分14分）在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a=c+bcosC.(I)求角B的大小(II)若，求a+c的值.19.(本题满分14分）已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式：(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an求数列{bn}的通项公式20.(本题满分15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，=90°,BC=CD=,AD=BD：EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD且有EC=FD=2.(I)求证：AD丄BF:(II)若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值21(本题满分15分）已知函数f(x)=mx3-x+，以点N（2，n）为切点的该图像的切线的斜率为3（I）求m,n的值（II）已知.，若F(x)=f(x)+g(x)在0，2]上有最大值1，试求实数a的取值范围。
2013年湖南高考仿真考试数学试题(文)
2013年湖南高考仿真考试数学试题（文史类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。
时间120分钟，满分150分。
一、选择题：(本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若p 则q ”的逆命题是（ ）A.若q 则pB.若p ⌝则q ⌝C.若q ⌝则p ⌝D.若p 则q ⌝2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ ）A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}3.已知某三棱锥的三视图（单位:cm ）如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 34.已知命题}1|{:>∈∈x R x x p ,}32|{:<<∈∈x R x x q ,则p 是q 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A. -3 B .-10 C. 0 D. -26.已知向量a 与b 的夹角为3π，||2a = ，||1b = ，则a ·﹙2a b + ﹚的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 77.等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知423S S =，则242a a -的值是（ ） A. 1 B. 3 .C 2 .D 08.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ） A.)32,31( B. )32,31[ C. )32,21( D. )32,21[ 9.已知以F 为焦点的抛物线28y x =上的两点,A B 满足3AF FB = ,则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.83 .B 53 .C 163 .D 103二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在对应题号后的横线上。
2013年高考数学文科模拟试卷(含答案详解版)
开始 0k =k ＝k ＋131n n =+150?n >输出k ,n结束是 否输入n2013年高考数学模拟试卷（文）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B xx =>，则A B =A ．B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知i 为虚数单位，则212ii-++的值等于 ( )A. i -B.12i -C. 1-D.2．定义{|,,}x A B z z x y x A y B y⊗==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,2}B =3．如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 4．如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．35．阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()O AO BA B +⋅＝（ ）A.6B.4C.4-D.6-7．在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ） A.72种 B.36种 C.144种 D.108种O xyAB第6题图图18．已知函数()y f x =的定义域为2(43,32)a a --， 且(23)y f x =-为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3或－1B ．－3或1C ．1D ．－19．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
2013届常德高三上册数学第二次月考试卷(有答案)
2013届常德高三上册数学第二次月考试卷（有答案）2013届常德市一中高三第二次月考数学试卷（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.2012年10月8日一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答卷页的表格内．1.已知集合≥，集合，则=（）A．B．C．≤≤D．≤2.设向量，，则是”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.设函数，则的值为（）A．0B．1C．2D．34.在中，，，，则中最短边的边长等于（）A.B.C.D.5.设等差数列满足：则（）A．14B．21C．28D．356.函数图象的一个对称轴方程是()A.B.C.D.7.如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是()A．B.C.D.8.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．二.填空题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共35分）9.函数的定义域为10.设定义域为R的函数y＝f(x)满足：，则不等式的解集是11.的值等于．12.若向量，满足，，且，则与的夹角为13.已知A、M、B三点共线，且,,则实数t的值为14.若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是15.①若函数在上存在零点，则实数的取值范围是②若函数在上存在两个不同的零点，则实数的取值范围是三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分．解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.设锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b，c，满足：。
（1）求角C；（2）若＝2，△ABC的面积为，求的值。
17.已知向量a＝(sinθ，－2)与向量b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－)＝35cos，0＜φ＜，求的值．18.已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．19.设函数，其中.（1）求函数的单调区间；（2）若对，，都有≤恒成立，求实数的取值范围。
湖南省2013届高三六校联考数学文.pdf
）
Ａ、1, 2,3
Ｂ、1, 2, 4
Ｃ、1, 2,5
Ｄ、3, 4,6
2、在复平面内，复数 i + (1− i)2 对应的点位于（ 1+ i
Ａ、第一象限
Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限
） Ｄ、第四象限
3、设 Sn 是等差数列
an
的前 n 项和， S5
= 3(a2
+ a8 ) ，则
a5 a3
=（
）
Ａ、 1 6
6
A − [ , ) ，∴ 2sin( A − ) [1, 2) 即 3 sin(B + C) − cos A 的范围是[1, 2) 。
6 62
6
（18）、解析：（Ⅰ）连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OE,在三角形 BDP 中，
O,E 分别为 BD,PD 中点， OE 为中位线，
．．．．．．12 分、
（1）若 f (x) = x 则称 x 为 f (x) 的“不动点”；若 f ( f (x)) = x 则称 x 为 f (x) 的“稳定点”，函数 f (x)
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B，求证： f ( A) f (B)
（2）当 m = 0 时， f (x) + 2 ln x + 2 0 对任意的 x (e−1,5) 恒成立，求实数 n 的取值范围. x
）
2
2
Ａ、相交
Ｂ、相交且过圆心
Ｃ、相切
Ｄ、相离
9、已知点集 A = (x, y) x2 + y 2 − 6x − 4 y + 4 0 , B = (x, y) y x − x0 + 2, x0是常数 ，点集 A 所
2013年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答：解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．解答：解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．3．（5分）（2013•湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9B．10 C．12 D．13考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．解答：解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．故选D．点评：本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．4．（5分）（2013•湖南）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f （1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（）A．4B．3C．2D．1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）、g（x）的奇偶性可得关于f（1）、g（1）的方程组，消掉f（1）即可求得g （1）．解答：解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数得，﹣f（1）+g（1）=2①，f（1）+g（1）=4②，由①②消掉f（1）得g（1）=3，故选B．点评：本题考查函数奇偶性及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．6．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，数形结合可得结论．解答：解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．7．（5分）（2013•湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．解答：解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．故选D．点评：本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．解答：解：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故选C．点评：熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．9．（5分）（2013•湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．解答：解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得，从而．故选D．点评：本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）（2013•湖南）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁U A）∩B={6，8}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（C U A）∩B解答：解：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，∴C U A={6，8}，又B={2，6，8}，故（C U A）∩B={6，8}故答案为：{6，8}．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算．11．（5分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为4．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可．解答：解：直线l1的参数方程为（s为参数），消去s得普通方程为x﹣2y﹣1=0，直线l2的参数方程为（t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0，∵l1∥l2，x﹣2y﹣1=0的斜率为k1=，∴2x﹣ay﹣a=0的斜率k2==，解得：a=4．故答案为：4．点评：本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力．12．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，2）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6故答案为：6．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．15．（5分）（2013•湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X 的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于2；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为17．考点：数列的求和；交集及其运算．专题：压轴题；新定义．分析：（1）利用“特征数列”的定义即可得出；（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．解答：解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足P i+P i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．则Q={a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．故答案分别为2，17．点评：正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．考点：两角和与差的余弦函数；余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）将x=代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．解答：解：（1）f（）=cos cos（﹣）=cos cos=﹣cos2=﹣；（2）f（x）=cosxcos（x﹣）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=cos（2x﹣）+，∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．解答：解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2又∵B1C1==2，∴B1E==2由此可得V=S△×A1C1=×=点评：本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y 51 48 45 42频数 4（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．考点：众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．解答：解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系，其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4），“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，2），（3，1），“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3），“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）．列表如下：Y 51 48 45 42频数 2 4 6 3所种作物的平均所收获量为：（51×2+48×4+45×6+42×3）==46；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=．点评：本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．19．（13分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两个式子相减得a n=2a n﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na n=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2a n﹣1=S n得，2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n，即a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na n=n•2n﹣1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n，∴T n=1+（n﹣1）2n．点评：本题考查了数列a n与S n之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．20．（13分）（2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （I ）由题意可知：F 1（﹣2，0），F 2（2，0），可得⊙C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x+y ﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m ，n ）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；（II ））由题意，可设直线l 的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l 的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l 的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a ，进而得到ab ，利用基本不等式的性质即可得出结论．解答：解：（I ）由题意可知：F 1（﹣2，0），F 2（2，0）．故⊙C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x+y ﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m ，n ）．则，解得． ∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4；（II ）由题意，可设直线l 的方程为x=my+2，则圆心到直线l 的距离d=， ∴b=． 由得（5+m 2）y 2+4my ﹣1=0．设l 与E 的两个交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）． 则，．∴a===，∴ab===． 当且仅当，即时等号成立． 故当时，ab 最大，此时，直线l 的方程为，即． 点评：本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．21．（13分）（2013•湖南）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2）时，x 1+x 2＜0．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：压轴题；导数的综合应用．分析： （Ⅰ）利用导数的运算法则求出f ′（x ），分别解出f ′（x ）＞0与f ′（x ）＜0的x 取值范围即可得到单调区间；（Ⅱ）当f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2）时，不妨设x 1＜x 2．由（I ）可知：x 1∈（﹣∞，0），x 2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ）．而x 2∈（0，1），可得f （x 2）＜f （﹣x 2）．即f （x 1）＜f （﹣x 2）．由于x 1，﹣x 2∈（﹣∞，0），f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．解答：解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R ． ==，当x ＜0时，f ′（x ）＞0；当x ＞0时，f ′（x ）＜0．∴函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）当x ＜1时，由于，e x ＞0，得到f （x ）＞0；同理，当x ＞1时，f （x ）＜0．当f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2）时，不妨设x 1＜x 2．由（Ⅰ）可知：x 1∈（﹣∞，0），x 2∈（0，1）．下面证明：∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ），即证＜．此不等式等价于． 令g （x ）=，则g ′（x ）=﹣xe ﹣x （e 2x ﹣1）． 当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，∴g （x ）＜g （0）=0． 即．∴∀x ∈（0，1），f （x ）＜f （﹣x ）．而x 2∈（0，1），∴f （x 2）＜f （﹣x 2）．从而，f （x 1）＜f （﹣x 2）．由于x 1，﹣x 2∈（﹣∞，0），f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x 1＜﹣x 2，即x 1+x 2＜0．点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．。
2013年高考数学模拟试卷含答案
绝密★启用前 试卷类型：A理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -12．设全集U 是实数集R ，M={x|x 2＞4}，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x|－2≤x ＜1} B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}3．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．21222+++=x x yB ．xx y 12+=C ．)220)(22(<<-=x x x yD ．1222++=x x y 4．设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x项的系数是( )XYOA ．192B ．182C ．-192D ．-182 5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.70.35y x =+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.57．已知方程20ax bx c ++= ，其中a 、b 、c 是非零向量，且a 、b不共线，则该方程( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解8．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函 数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是( )A ．)31,51( B ．),5()31,(+∞⋃-∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．10．在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 ．11．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为 ．12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ．13．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C = ．14．设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 ①2222h c b a +>+， ②3333h c b a +<+，③4444h c b a +>+，④5555h c b a +<+.其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．16．(本小题满分12分)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．17．(本小题满分14分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．开始输入n11=a ，12=a ，1=ii i i a a a 6512-=++n i ≥1+=i i否是输出2+i a结束18．(本小题满分14分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量)(x r (件)与衬衣标价x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：1)(b kx x r +=，在销售淡季近似地符合函数关系：2)(b kx x r +=，其中21210,0b b k b b k 、、且、><为常数； ②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中0)(=x r 时的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题： (Ⅰ)填出表格中空格的内容：数量关系销售关系标价(元/件)销售量)(x r (件)(含k 、1b 或2b )销售总利润y (元)与标价x (元/件)的函数关系式旺季 x 1)(b kx x r +=淡季x(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？ 19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图． (Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和n T ．20．(本小题满分14分)已知函数2()2ln .f x x x a x =++ (Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数， 求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥- 恒成立，求实数a 的取值范围．正视图 侧视图俯视图55 3 4 34 绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，20题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 (选择题 满分50分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -1 2．设{}{}(,),()()cos 2sin 2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点(1,3)的象()f x 的最小正周期为( )A ．2π B ．4πC ．πD ．2π3．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A ．45B ．50C ．55D ．604．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．72B ．66C ．60D ．305．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则 ,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则( )A ．32-B ．0C ．32D ．3XYO频率组距0.100.25 0.409 10 11 12 13 14时间6．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =(其中0a >且1a ≠)，在同一坐标系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图象，其中正确的是( )x y O1 Ax y O1 B 1xy O1 C 1xyO 1D17．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为( ) A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元8．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个 不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第 三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是( )A ．)21,31(B ．),3()21,(+∞⋃-∞C ．)3,21(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．12．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ．13．曲线3141,33y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 ．14．观察以下等式：11=123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= (用含有n 的式子表示，其中n 为自然数)．三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知不等式()221,(0)x a a -≤>的解集为A ，函数22lg)(+-=x x x f 的定义域为B. (Ⅰ)若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；(Ⅱ)证明函数22lg)(+-=x x x f 的图象关于原点对称．16．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．17．(本题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀FG BDE AC后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (Ⅰ)设(,)i j 表示甲乙抽到的牌的数字，(如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(Ⅲ)甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．18．(本题满分14分)如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EBC ； (Ⅲ)求几何体ADEBC 的体积V ．19．(本题满分14分)某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A 、B 对两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为101p 、52ln q万元，已知A 、B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈)．20．(本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)记1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证:423n T ≤< ．汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDCAAAC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．20； 10．3； 11．121； 12．18； 13．1； 14．②④， *)(N n h c b a n n n n ∈+<+。
2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，文1)复数z ＝i²(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．(2013湖南，文2)“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2013湖南，文3)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )．A ．9B ．10C ．12D ．13 4．(2013湖南，文4)已知f (x )是奇函数，g (x )，则g (1)等于( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 5．(2013湖南，文5)在锐角△ABC 中，角A ，B( )．A ．π3B ．π4C ．π6D ．π126．(2013湖南，文6)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g )．A ．0B ．1C ．2D ．3 7．(2013湖南，文7)已知正方体的棱长为1，的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．A8．c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )． A 29．P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12A30分．10{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(UA )∩B ＝__________.11l 1：21x s y s=+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线l 2：,21x at y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行，则常数a 的值为__________． 12．(2013湖南，文12)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．13．(2013湖南，文13)若变量x ，y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x ＋y的最大值为__________．14．(2013湖南，文14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为__________．15．(2013湖南，文15)对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{1i a ，2i a ，...，k i a }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共7516．(2013湖南，文16)(本小题满分12分)已知函数f (1)求2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求使f (x )＜14成立的x 的取值集合．17．(2013湖南，文17)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． (1)证明：AD ⊥C1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．18．(2013湖南，文18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)1米．(1)(2)48 kg的概率．19．(2013湖南，文19)(本小题满分13分)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n－a1＝S1²S n，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．20．(2013湖南，文20)(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：25x＋y2＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．(1)求圆C的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程．21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x -+e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)数 学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：z ＝i²(1＋i)＝i －1＝－1＋i ，故选B ． 2． 答案：A解析：∵“1＜x ＜2”能推出“x ＜2”成立，但“x ＜2”不能推出“1＜x ＜2”成立，故选A ． 3． 答案：D 解析：抽样比为316020=，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n ＝13，故选D ． 4． 答案：B解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B ． 5． 答案：A解析：∵2a sin B ，∴2sin A sin B B ．∵sin B ≠0，∴sin A ＝.∵A ∈⎛ ⎝∴A ＝π36． 答案：解析：7． 答案：解析：ABCD ，侧视图为BB 1D 1D8． 答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．由|c －a －b |＝1，1=，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.|c |即为，可看成M 上的点到原点的距离，∴|c |max ＝|OM |＋1＝1.故选C ． 9． 答案：D解析：如图，设AB ＝2x ，AD ＝2y .由于AB 为最大边的概率是12，则P 在EF 上运动满足条件，且DE ＝CF ＝12x ，即AB ＝EB 或AB ＝FA ．∴2x =4x 2＝4y 2＋94x 2，即74x 2＝4y 2，∴22716y x =.∴4y x =.又∵22AD y y AB x x ===，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3010．答案：{6,8} 11．答案：4解析：l 1的普通方程为：x ＝2y ＋1，l 2的普通方程为：12．答案：9解析：＝3不满足a ＞8，故a ＝5a ＞8，故a ＝9，满足a ＞13．解析：处取得最大值6.14．解析：∵PF 1⊥可得|PF 2|PF 1|＝2由|F 1F 2|24c 2＝(2a ＋c )2＋c 2，即2c 2－4ac －4a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，∴e =1e =. 15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a 1，a 3，a 5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P 的特征数列为1,0,1,0,1，0，…，则P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}有50个元素，Q 的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，…， 则Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}有34个元素，∴P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}， 共有1＋9716-＝17个． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)2π2ππcos cos 333f ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭＝ππcos cos 33-⋅＝21124⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.(2)f (x )＝cos x ²πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos x ²1cos 2x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝12cos 2x ＋2sin x cos x＝14(1＋cos 2x )＋4sin 2x ＝1π1cos 2234x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.f (x )即cos 于是2解得k 故使f 11ππ,12x k k ⎫<<+∈⎬⎭Z .17．(1)所以又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.② 由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥C 1E .(2)解：因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°， 因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而 A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E .故C 1E ＝11cos 60AC =︒，又B 1C 1＝2，所以B 1E＝2， 从而111C A B E V -三棱锥＝1113A B E S ∆³A 1C 1＝1122323⨯⨯=. 18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51248445642315⨯+⨯+⨯+⨯＝10219227012615+++＝69015＝46. (2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415. 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝24215155+=. 19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 12，即a 1＝a 12. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2. 解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n . 即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ²2n －1.记数列{n ²2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2³2＋3³22＋…＋n ³2n －1，①2B n ＝1³2＋2³22＋3³23＋…＋n ³2n.② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ²2n＝2n －1－n ²2n .从而B n ＝1＋(n －1)²2n. 20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由0001,2022y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得002,2.x y =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l的距离d =所以b ==由222,15x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝245m m -+，y 1y 2＝215m -+.于是a =从而ab=x ＋2或x ＝＋2， f (x )＝211x x-+e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x＝2222211e 11x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦2013 湖南文科数学 第11页 ＝222[12]e 1x x x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x ＜1时，由于211x x -+＞0，e x ＞0， 故f (x )＞0；同理，当x ＞1时，f (x )＜0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2，由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证2211e e 11x x x x x x--+<++. 此不等式等价于(1－x )e x －1ex x +＜0. 令g (x )＝(1－x )e x －1e x x +，则 g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即 (1－x )e x －1e xx +＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)，从而f (x 1)＜f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。
2013年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i•(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A.9B.10C.12D.134.(5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )A.4B.3C.2D.15.(5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A. B. C. D.6.(5分)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.37.(5分)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.8.(5分)已知，是单位向量，•＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A. B. C. D.9.(5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.A)∩B＝.10.(5分)已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁U11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线(s为参数)和直线(t 为参数)平行，则常数a的值为.12.(5分)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为.13.(5分)若变量x，y满足约束条件，则x＋y的最大值为.14.(5分)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为.15.(5分)对于E＝{a1，a2，….a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x 1，x2…，x100，其中xi1＝xi2＝ (x)ik＝1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)＝cosx•cos(x－).(1)求f()的值.(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合.17.(12分)如图.在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积.18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的X之间的关系如下表所示：1米.48kg的概率.19.(13分)设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1•Sn，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.20.(13分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程.21.(13分)已知函数f(x)＝.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.2013年湖南省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i•(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案.【解答】解：z＝i•(1＋i)＝－1＋i，故复数z对应的点为(－1，1)，在复平面的第二象限，故选：B.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题.2.(5分)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案.【解答】解：设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键.3.(5分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A.9B.10C.12D.13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值.【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n＝3÷＝13.故选：D.【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.4.(5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )A.4B.3C.2D.1【分析】直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可.【解答】解：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，方程f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，化为：－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加可得2g(1)＝6，所以g(1)＝3.故选：B.【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查.5.(5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A. B. C. D.【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A.【解答】解：∵在△ABC中，2asinB＝b，∴由正弦定理＝＝2R得：2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝，又△ABC为锐角三角形，∴A＝.故选：A.【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题.6.(5分)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3【分析】在同一个坐标系中，画出函数f(x)＝㏑x 与函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，数形结合可得结论.【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f(x)＝㏑x 与函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，如图所示：故函数f(x)＝㏑x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为2，故选：C.【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.7.(5分)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可.【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：.故选：D.【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力.8.(5分)已知，是单位向量，•＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A. B. C. D.【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出.【解答】解：∵||＝||＝1，且，∴可设，，.∴.∵，∴，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴的最大值＝＝.故选：C.【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键.9.(5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B. C. D.【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出.【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD＝CD时，AB＝PB，如图.设CD＝4x，则AF＝DP＝x，BF＝3x，再设AD＝y，则PB＝＝，于是＝4x，解得，从而.故选：D.【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.(5分)已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝{6，8} .【分析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求(CUA)∩B【解答】解：由题意∵U＝{2，3，6，8}，集合A＝{2，3}，∴CUA＝{6，8}，又B＝{2，6，8}，故(CUA)∩B＝{6，8}故答案为：{6，8}.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线(s为参数)和直线(t 为参数)平行，则常数a的值为 4 .【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可.【解答】解：直线l1的参数方程为(s为参数)，消去s得普通方程为x－2y－1＝0，直线l2的参数方程为(t为参数)，消去t得普通方程为2x－ay－a＝0，∵l1∥l2，x－2y－1＝0的斜率为k1＝，∴2x－ay－a＝0的斜率k2＝＝，解得：a＝4.故答案为：4.【点评】本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力.12.(5分)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32 .【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a＝32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.故答案为：32.【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查.13.(5分)若变量x，y满足约束条件，则x＋y的最大值为 6 .【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值.【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A(4，2)目标函数z＝x＋y可看做斜率为－1的动直线，其纵截距越大z越大，＝4＋2＝6由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大故答案为：6.【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题.14.(5分)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为.【分析】根据题意可知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得.【解答】解：依题意可知∠F1PF2＝90°|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝|F1F2|＝c，|PF2|＝|F1F2|＝c，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝(－1)c∴e＝＝.故答案为：.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题.15.(5分)对于E＝{a1，a2，….a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x 1，x2…，x100，其中xi1＝xi2＝ (x)ik＝1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 2 ；(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为17 .【分析】(1)利用“特征数列”的定义即可得出；(2)利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可.【解答】解：(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0.故前三项和等于1＋0＋1＝2；(2)∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足Pi＋Pi＋1＝1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0.其中奇数项为1，偶数项为0.则P＝{a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，可知：j＝1时，q1＋q2＋q3＝1，∵q1＝1，∴q2＝q3＝0；同理q4＝1＝q7＝…＝q3n－2.∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1.则Q＝{a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97.∵97＝1＋(17－1)×6，∴共有17相同的元素.故答案分别为2，17.【点评】正确理解“特征数列”的定义是解题的关键.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)＝cosx•cos(x－).(1)求f()的值.(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合.【分析】(1)将x＝代入f(x)解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；(2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合.【解答】解：(1)f()＝cos cos(－)＝cos cos＝－cos2＝－；(2)f(x)＝cosxcos(x－)＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x)＋sin2x＝cos(2x－)＋，∴f(x)＜，化为cos(2x－)＋＜，即cos(2x－)＜0，∴2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得：kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)，则使f(x)＜成立的x取值集合为{x|kπ＋，kπ＋(k∈Z)}.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键.17.(12分)如图.在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积.【分析】(1)根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；(2)根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角.由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60°，利用余弦的定义算出C 1E＝2A1C1＝2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1－A 1B1E的体积.【解答】解：(1)∵直棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1∵△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1＝B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；(2)∵直棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角∵∠BAC＝∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1＝A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1＝60°，可得cos∠EC1A1＝＝，得C1E＝2A1C1＝2又∵B1C1＝＝2，∴B1E＝＝2由此可得V＝S△×A1C1＝×＝【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的X之间的关系如下表所示：1米.48kg的概率.【分析】(Ⅰ)根据题意可知所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率.【解答】解：(Ⅰ)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，建立如图所示直角坐标系，其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为(4，0)，(0，4)，“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为(0，0)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).所种作物的平均所收获量为：(51×2＋48×4＋45×6＋42×3)＝＝46；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力.利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题.19.(13分)设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1•Sn，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.【分析】(Ⅰ)令n＝1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n＝n－1得到2an－1－1＝Sn－1，两个式子相减得an＝2an－1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出nan＝n•2n－1，再由错位相减法求出此数列的前n项和.【解答】解：(Ⅰ)令n＝1，得2a1－a1＝，即，∵a1≠0，∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝1•(1＋a2)，解得a2＝2，当n≥2时，由2an －1＝Sn得，2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an －2an－1＝an，即an＝2an－1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an ＝2n－1，即数列{an}的通项公式an＝2n－1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，nan ＝n•2n－1，设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②①－②得，－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n•2n ＝2n－1－n•2n，∴Tn＝1＋(n－1)2n.【点评】本题考查了数列an 与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用.20.(13分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程.【分析】(I)由题意可知：F1(－2，0)，F2(2，0)，可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；(II))由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d＝，再利用弦长公式即可得到b＝.把直线l的方程为x＝my＋2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论.【解答】解：(I)由题意可知：F1(－2，0)，F2(2，0).故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).则，解得.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4；(II)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝，∴b＝.由得(5＋m2)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2).则，.∴a＝＝＝，∴ab＝＝＝.当且仅当，即时等号成立.故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即.【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b＝、直线与椭圆相交的弦长公式a＝、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力..21.(13分)已知函数f(x)＝.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则求出f′(x)，分别解出f′(x)＞0与f′(x)＜0的x取值范围即可得到单调区间；(Ⅱ)当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(I)可知：x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1).利用导数先证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x).而x2∈(0，1)，可得f(x2)＜f(－x2).即f(x1)＜f(－x 2).由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此得证.【解答】解：(Ⅰ)易知函数的定义域为R.＝＝，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞).(Ⅱ)当x＜1时，由于，e x＞0，得到f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(Ⅰ)可知：x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1).下面证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x)，即证＜.此不等式等价于.令g(x)＝，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1).当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0.即.∴∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x).而x2∈(0，1)，∴f(x2)＜f(－x2).从而，f(x1)＜f(－x2).由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴x1＜－x2，即x1＋x2＜0.【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力.。
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2013年湖南省高考数学模拟试卷(附参考答案与详细解析) 2013年湖南省高考模拟试卷理科?数学一、选择题(本大题8小题，每小题5分，共40分)1((5分)设集合，集合B是f(x)=ln(1,|x|)的定义域，则A?B( )A( B( (,1，2] C( (,1，1)?(1，2)D ((, 1，2) []2((5分)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A( 3 B( 2 C( 1 D(3((5分)已知定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)，则“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”是“y=f(x)+g(x)是奇函数”的( )条件(A( 充分不必要 B( 必要不充分C( 充要 D( 既不充分也不必要4((5分)函数的最大值为( )A( B( C( D(5((5分)四棱锥S,ABCD的底面为正方形，SD?底面ABCD，如下列结论中不正确的是(( )AB?SA A(B( BC?平面SADC( BC与SA所成的角等于AD与SC所成的角D( SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角6((5分)已知数列{a}的通项公式为，则数列{a}( ) nnA( 有最大项，没有最小项 B( 有最小项，没有最大项C( 既有最大项又有最小项 D( 既没有最大项也没有最小项7((5分)若0,x,，则4x与3sin2x的大小关系(( )A( 4x,3sin2x B( 4x,3sin2x C( 4x=3sin2x D(与 x的取值有关8((5分)ω是正实数，设S={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，若对每个实数a，S?(a，a+1)ωω的元素不超过4个，则ω的取值范围是( ) A( (0，π] B( (0，2π] C( (0，3π] D(( 0，4π]二、填空题:本大题7小题，每小题5分，共35分(9((5分)已知i为虚单位，则复数的虚部为 _________ (10((5分)若的图象关于原点对称，是a= _________ (11((5分)在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M是C与y轴的交点，则M的极坐标为 _________ (12((5分)?ABC中，它的三边分别为a，b，c，若A=120?，a=5，则b+c的最大值为 _________ (r13((5分)已知(fx)=rx,x(x,0)，其中r是区间(0，1)上的常数，则(fx)的单调增区间为 _________ (14((5分)把12支足球队平均分成3组，则甲、乙两队分在同一组的概率为_________ (15((5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=1，且对于任意的x?R，都有f′(x),，则不等式f(logx),的解集为 _________ ( 2三、解答题:本大题共6小题，共75分，应写出相应的文字说明或解答过程(216((12分)f(x)=sinωx+(ω,0)，且函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为((1)求ω的值及f(x)的单调递增区间;(2)在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，f(A)=1，求角C(17((12分)(2010•四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为(甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料( (?)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(?)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ(18((12分)在直三棱柱ABC,ABC中，?ABC为等腰三角形，?BAC=90?，且AB=AA，E、F分1111别为CC、BC的中点( 1(1)求证:BF?平面AEF; 1(2)求二面角B,AE,F的余弦值( 1219((13分)已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合( (?)求抛物线D的方程;(?)已知动直线l过点P(4，0)，交抛物线D于A、B两点((i)若直线l的斜率为1，求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值,如果存在，求出m的方程;如果不存在，说明理由( 20((13分)某家庭为小孩买教育保险，小孩在出生的第一年父母就交纳保险金，数目为a，以后每年1交纳的数目均比上一年增加d(d,0)，因此，历年所交纳的保险金数目为a，a，…是一个公差为d的12等差数列，与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如,n1果固定利率为r(r,0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a(1+r)，第二年所交1,n2纳的保险金就变为a(1+r)，…，以Tn表示到第n年末所累计的保险金总额( 2(1)写出T与T的递推关系(n?1); nn+1(2)若a=1，d=0.1，求{T}的通项公式((用r表示) 1n21((13分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=，(a?0)(1)若b=2，且h(x)=f(x),g(x)在定义域上不单调，求a的取值范围;(2)若a=1，b=,2设f(x)的图象C与g(x)的图象C交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的12垂线分别交C，C于点M、N，M、N的横坐标是m，求证:f′(m),g′(m)( 1232013年湖南省高考模拟试卷理科数学参考答案与试题解析一、选择题(本大题8小题，每小题5分，共40分)1((5分)设集合，集合B是f(x)=ln(1,|x|)的定义域，则A?B( )A( B( (,1，2] C( (,1，1)?(1，2)D ((, 1，2) []考点: 并集及其运算(专题: 计算题(分析: 首先通过解分式不等式化简集合A，然后求出对数型函数的定义域得到集合B，直接取并集( 解答: 解:由，得，所以A={x|}={x|}，由1,|x|,0，得,1,x,1，所以B={x|,1,x,1}(所以A?B={x|}?{x|,1,x,1}=(,1，2)(故选D(点评: 本题考查了并集及其运算，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常考的题型(2((5分)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )A( 3 B( 2 C( 1 D(考点: 导数的几何意义(分析: 根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间( 解答: 解:设切点的横坐标为(x，y) 00?曲线的一条切线的斜率为，?y′=,=，解得x=3或x=,2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3 00 故选A(点评: 考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域(比如，该题的定义域为{x,0}(3((5分)已知定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)，则“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”是“y=f(x)+g(x)是奇函数”的( )条件(A( 充分不必要 B( 必要不充分C( 充要 D( 既不充分也不必要考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题: 计算题(4分析: 当“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”，由奇函数的定义可证“y=f(x)+g(x)是奇函数”;但由“y=f(x)+g(x)是奇函数”不能推出“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”，可通过反例来说明( 解答: 解:因为“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”，所以f(,x)=,f(x)，g(,x)=,g(x)，所以f(,x)+g(,x)=,f(x),g(x)=,[f(x)+g(x)]，即“y=f(x)+g(x)是奇函数”，故由“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”可推得“y=f(x)+g(x)是奇函数”;但由“y=f(x)+g(x)是奇函数”不能推出“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”，22如，f(x)=x,x，g(x)=x+x，显然有f(x)+g(x)=2x为奇函数，但f(x)、g(x)均不是奇函数(故“y=f(x)和y=g(x)都是奇函数”是“y=f(x)+g(x)是奇函数”的充分不必要条件(故选A点评: 本题为充要条件的判断，熟练掌握函数的奇偶性是解决问题的关键，属基础题(4((5分)函数的最大值为( )A( B( C( D(考点: 两角和与差的正弦函数(专题: 三角函数的图像与性质(分析: 将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得出y的最大值(解答: 解:y=sin(x+)+cos(,x)=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=(cosx+sinx)=sin(x+θ)(其中sinθ=，cosθ=)，?,1?sin(x+θ)?1，?函数y的最大值为(故选C点评: 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键(5((5分)四棱锥S,ABCD的底面为正方形，SD?底面ABCD，如下列结论中不正确的是(( )AB?SA A(B( BC?平面SADC( BC与SA所成的角等于AD与SC所成的角D( SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角考点: 棱锥的结构特征(专题: 空间位置关系与距离(分析: 利用三垂线定理可得选项A正确，利用线面垂直的判定定理可得选项B 正确，根据直线和平面5所成的角的定义和求法，可得选项C不正确，选项D正确，从而得出结论( 解答: 解:由于ABCD 为正方形，SD?底面ABCD，故AD是SA在底面ABCD内的射影，再由正方形ABCD中，AB?AD，可得AB?SA，故选项A正确(由于正方形ABCD中，BC?AD，AD?面ABCD，AC不在面ABCD 内，故有BC?平面SAD，故选项B正确(由于正方形ABCD中，BC?AD，故锐角?SAD即为BC与SA所成的角(由于AD?平面SDC，故BC?平面SDC，而SC在平面SDC内，故有AD?SC，故BC与SA所成的角不等于AD与SC所成的角，故选项C不正确(设AC与BD的交点为O，则由题意可得AC垂直于平面SBD，SA与平面SBD成的角为?ASO，SC与平面SBD成的角为?CSO，AO=SO(由于tan?ASO=，tan?ASO=，故tan?ASO=tan?ASO，故有?ASO=?ASO，故选项D 正确(故选C(点评: 本题主要考查棱锥的结构特征，空间角与空间位置关系的确定，属于基础题(6((5分)已知数列{a}的通项公式为，则数列{a}( ) nnA( 有最大项，没有最小项 B( 有最小项，没有最大项C( 既有最大项又有最小项 D( 既没有最大项也没有最小项考点: 数列的函数特性(专题: 探究型(分析: 把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况( 解答: 解:令，则t是区间(0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a取最大值，使最接近的n的值为数列{a}中的最小项， nn所以该数列既有最大项又有最小项(故选C(点评: 本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题(7((5分)若0,x,，则4x与3sin2x的大小关系(( )A( 4x,3sin2x B( 4x,3sin2x C( 4x=3sin2x D(与 x的取值有关考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;正弦函数的定义域和值域(专题: 计算题;导数的综合应用(分析: 根据题目给出的两个值的特点，可以设2x=t，把问题转化为比较2t和3sint的大小，设辅助函数，求导后判断原函数的单调性，说明2t与sint的大小与t的取值有关，从而说明4x与3sin2x的大小与x的取值有关(解答: 解:令2x=t，因为0,x,，所以t?(0，)6则4x=2t，3sin2x=3sint，令f(t)=2t,3sint，′则f(t)=2,3cost，′由f(t)=2,3cost,0，得t,，′由f(t)=2,3cost,0，得t,，因此2t与3sint的大小与t的取值有关，亦即4x与3sin2x的大小与x在区间(0，)上的取值有关(故选D(点评: 本题考查了两个代数式的大小比较，考查了换元思想和转化思想，解答的关键是换元后构造辅助函数，借助于函数的导函数说明原函数的单调性，从而确定要比较的结论( 8((5分)ω是正实数，设S={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，若对每个实数a，S?(a，a+1)ωω的元素不超过4个，则ω的取值范围是( ) A( (0，π] B( (0，2π] C( (0，3π] D(( 0，4π]考点: 余弦函数的定义域和值域;交集及其运算(专题: 计算题(分析: 由S={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，推出S的范围，S?(a，a+1)的元素不超过4个，ωωω推出，求得ω的范围(解答: 解:S={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}?S={θ|θ=π，ωωk?Z}={，…}因为对每个实数a，S?(a，a+1)的元素不超过4个，ω区间(a，a+1)的间隔小于1，则S中5个相邻的元素之间隔必大于等于于1，ω5个相邻元素之间的间隔为4×，即1，所以ω?4π，又ω,0(所以0,ω?4π(故选D(点评: 本题考查余弦函数的奇偶性，集合的包含关系判断及应用，考查计算推理能力，是中档题(二、填空题:本大题7小题，每小题5分，共35分(9((5分)已知i为虚单位，则复数的虚部为 ,1 (考点: 复数的基本概念(专题: 计算题(分析: 两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得复数z，从而得到复数的虚部( 解答: 解:===,i?复数的虚部为,17故答案为:,1点评: 本题考查复数的乘除运算及复数的基本概念，熟练掌握复数的运算法则是解题的关键，属于基础题(10((5分)若的图象关于原点对称，是a= (考点: 奇偶函数图象的对称性(专题: 计算题;函数的性质及应用(分析: 利用函数的图象关于原点对称，可得函数是奇函数，利用奇函数的定义，可求得结论( 解答:解:?的图象关于原点对称，?函数是奇函数，即f(,x)=,f(x)?=,()解得2a=1?a=故答案为:点评: 本题考查函数的对称性，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于基础题(11((5分)在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M是C与y轴的交点，则M的极坐标为 () (考点: 点的极坐标和直角坐标的互化(专题: 选作题(分析: 将曲线C的极坐标方程化为普通方程，只要令x=0，即可求出y，进而求出M的极坐标(解答: 解:由曲线C的极坐标方程为，展开为，?，令x=0，则y=(故曲线C与y轴的交点M的极坐标为(，)(故答案为(，)(点评: 将曲线C的极坐标方程化为普通方程，求出答案之后，再化为极坐标，是解决此类问题的常用方法之一(812((5分)?ABC中，它的三边分别为a，b，c，若A=120?，a=5，则b+c的最大值为 (考点: 基本不等式;余弦定理(专题: 解三角形(分析: 根据余弦定理可求出b与c的等式，然后利用不等式bc?可求出b+c的最大值( 解答: 解:A=120?，a=5，由余弦定理可得cos120?=22化简得b+c+bc=252即(b+c)=25+bc?25+当且仅当b=c时取等号2?(b+c)?25即b+c?故答案为:点评: 本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题(r13((5分)已知f(x)=rx,x(x,0)，其中r是区间(0，1)上的常数，则f(x)的单调增区间为 (1，+?) (考点: 利用导数研究函数的单调性(专题: 计算题(r分析: 已知f(x)=rx,x(x,0)，其中r是区间(0，1)上的常数，其单调增函数，说明f′(x)大于0，从而解出f(x)的单调增区间;r解答: 解:?f(x)=rx,x(x,0)，,,r1r1f′(x)=r,rx=r(1,x)=r(1,)，0,1,r,1，求f(x)单调增区间，?f′(x)=r(1,),0，r,0，?0,,1，0,1,r,1，?x,1，?f(x)的单调增区间为(1，+?);故答案为:(1，+?);点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是一道基础题;14((5分)把12支足球队平均分成3组，则甲、乙两队分在同一组的概率为 ( 考点: 古典概型及其概率计算公式(专题: 计算题(9分析:由平均分组的知识可得:12支足球队平均分成3组共有种分法，而甲、乙两队分在同一组共有种分法，由古典概型的求法可得答案(解答: 解:由排列组合平均分组的知识可得:12支足球队平均分成3组共有种分法，而甲、乙两队分在同一组共有种分法，故概率为:P===故答案为:点评: 本题为古典概型的求解，正确运用平均分组来求基本事件的个数是解决问题的关键，属基础题(15((5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=1，且对于任意的x?R，都有f′(x),，则不等式f(logx),的解集为 (0，2) ( 2考点: 其他不等式的解法;对数函数的单调性与特殊点(专题: 计算题(分析: 设g(x)=f(x),x，由f′(x),，得到g′(x)小于0，得到g(x)为减函数，将所求不等式变形后，利用g(x)为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集( 解答: 解:设g(x)=f(x),x，?f′(x),，?g′(x)=f′(x),,0，?g(x)为减函数，又f(1)=1，?f(logx),=logx+， 22即g(logx)=f(logx),logx,=g(1)=f(1),=g(log2)， 2222?logx,log2，又y=logx为底数是2的增函数， 222?0,x,2，10则不等式f(logx),的解集为(0，2)( 2故答案为:(0，2)点评: 此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有:利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题(三、解答题:本大题共6小题，共75分，应写出相应的文字说明或解答过程(216((12分)f(x)=sinωx+(ω,0)，且函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为((1)求ω的值及f(x)的单调递增区间;(2)在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，f(A)=1，求角C(考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理(专题: 计算题(分析: (1)将f(x)解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项第二个因式利用诱导公式变形，再利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到f(x)的周期为π，利用周期公式求出ω的值，确定出f(x)的解析式，由正弦函数的递增区间为[2kπ,，2kπ+]，k?Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f(x)的递增区间;(2)由第一问确定出的f(x)解析式，根据f(A)=1，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b大于a，得到B大于A，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数(解答: 2解:(1)?f(x)=sinωx+cosωx•cos(,ωx)=(1,cos2ωx)+sin2ωx=sin(2ωx,)+，?y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为，?y=f(x)的周期为π，?ω=1，?f(x)=sin(2x,)+，令2kπ,?2x,?2kπ+，k?Z，解得:kπ,?x?kπ+，x?Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ,，kπ+]，k?Z;(2)?f(A)=1，?sin(2A,)+=1，即sin(2A,)=，?2A,=或2A,=，即A=，?a=1，b=，?由正弦定理=得:sinB==，11?B=或，则C=或(点评: 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键(17((12分)(2010•四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为(甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料( (?)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(?)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ(考点: 离散型随机变量及其分布列;随机事件(专题: 计算题(分析: (1)甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可((2)中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布(ξ,B(3，)解答: 解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=，P()=P(A)P()P()=，答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为((2)ξ的可能值为0，1，2，3，P(ξ=k)=(k=0，1，2，3)所以中奖人数ξ的分布列为E=0×+1×+2×+3×=( ξ点评: 本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识(同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力(18((12分)在直三棱柱ABC,ABC中，?ABC为等腰三角形，?BAC=90?，且AB=AA，E、F分1111别为CC、BC的中点( 1(1)求证:BF?平面AEF; 1(2)求二面角B,AE,F的余弦值( 112考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法(专题: 计算题;空间角;空间向量及应用(分析: (1)由题设条件推导出AF?面BFE，故BF?AF，设AB=1，能够推导出=，11故BF?EF，所以BF?平面 AEF( 11(2)以AB为x轴，以AC为y轴，以AA为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则=1(1，0，1)，=()，=(0，1，)，分别求出平面ABE的法向量为和平面AEF1的法向量为，利用向量法能够求出二面角B,AE,F的余弦值( 1解答: (1)证明:在直三棱柱ABC,ABC中， 111??ABC为等腰三角形，?BAC=90?，F为BC的中点，?AF?BC，AF?BB， 1?AF?面BFE， 1?BF?面BFE， 11?BF?AF， 1设AB=1，?AB=AA， 1?AB=AA=AC=BB=1，BF=CF=， 11?=，EF==，=，?=，?BF?EF， 1所以BF?平面 AEF( 1(2)以AB为x轴，以AC为y轴，以AA为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1， 1则A(0，0，0)，B(1，0，1)，F(，，0)，E(0，1，)， 1?=(1，0，1)，=()，=(0，1，)，设平面ABE的法向量为=(x，y，z)，则=0，=0， 1111?，?=(1，，,1)(设平面AEF的法向量为=(x，y，z)， 22213则，=0，?，?=(1，,1，2)，设二面角B,AE,F的平面角为θ， 1则cosθ=|cos,,|=||=(?二面角B,AE,F的余弦值为( 1点评: 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用(19((13分)已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合( (?)求抛物线D的方程;(?)已知动直线l过点P(4，0)，交抛物线D于A、B两点((i)若直线l的斜率为1，求AB的长;(ii)是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值,如果存在，求出m的方程;如果不存在，说明理由( 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用(专题: 综合题(分析:(?)根据抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合，设出抛物线方程，即可求得抛物线D的方程;(?)设A(x，y)，B(x，y)((i)直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求|AB|; 112214(?) 设存在直线m:x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂222足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得:|EG|=|MG|,|ME|=，由此可得结论(2解答: 解:(?)由题意，可设抛物线方程为y=2px(p,0)(…(1分)22椭圆中a,b=4,3=1，得c=1，?抛物线的焦点为(1，0)，2?=1，?p=2，?抛物线D的方程为y=4x(…(3分)(?)设A(x，y)，B(x，y)( 1122(i)直线l的方程为:y=x,4，…(4分)2联立，整理得:x,12x+16=0…(5分)?x+x=12，xx=16 1212?|AB|==(…(7分)(?) 设存在直线m:x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂222足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得:|EG|=|MG|,|ME|，…(9分)222即|EG|=|MA|,|ME|====…(11分)2当a=3时，|EG|=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值(…(12分)因此存在直线m:x=3满足题意…(13分)点评: 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解，属于中档题(20((13分)某家庭为小孩买教育保险，小孩在出生的第一年父母就交纳保险金，数目为a，以后每年1交纳的数目均比上一年增加d(d,0)，因此，历年所交纳的保险金数目为a，a，…是一个公差为d的12等差数列，与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如,n1果固定利率为r(r,0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a(1+r)，第二年所交1,n2纳的保险金就变为a(1+r)，…，以Tn表示到第n年末所累计的保险金总额( 2(1)写出T与T的递推关系(n?1); nn+1(2)若a=1，d=0.1，求{T}的通项公式((用r表示) 1n考点: 数列的应用;数列递推式(专题: 计算题;等差数列与等比数列(分析: (1)通过已知条件求出等差数列的通项公式，然后根据条件写出T与T的递推关系(n?1); nn+115(2)通过(1)的递推关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出数列的通项公式，即可得到{T}的通项公式( n解答: 解:(1)因为数目为a，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d,0)， 1 因此，历年所交纳的保险金数目为a，a，…是一个公差为d的等差数列，所以a=a+nd， 12n1与此同时保险公司给予优惠的利息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定利率为r(r,0)，,n1那么，在第n年末，第一年所交纳的保险金就变为a(1+r)， 1,n2第二年所交纳的保险金就变为a(1+r)，…，所以T=T(1+r)+a(n?2)( ,2nn1n ?T=T(1+r)+a+nd (6分) n+1n1(2)T=T(1+r)+，T=a=1 n+1n11用待定系数法:T+A(n+1)+B=(1+r)(T+An+B) n+1n解得:A=，所以{T+n+}是以1为首项以1+r为公比的等比数列， n?T+n+= n解得:T=(7分) n点评: 本题考查数列模型的构建，考查等比数列求和的基本方法的运用，解题的关键是正确构建数列模型(21((13分)已知函数f(x)=lnx，g(x)=，(a?0)(1)若b=2，且h(x)=f(x),g(x)在定义域上不单调，求a的取值范围; (2)若a=1，b=,2设f(x)的图象C与g(x)的图象C交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的12垂线分别交C，C于点M、N，M、N的横坐标是m，求证:f′(m),g′(m)( 12考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性( 专题: 综合题;导数的综合应用(分析: (1)h(x)=f(x),g(x)在定义域上不单调，等价于h'(x)=0在(0，+?)有实根，且不为重根，由此可求a的取值范围;(2)利用分析法证明，设P(x，y) Q(x，y)，且x,x，证明f′(m),g′(m)，只112212要证明,2即可(解答: (1)解:?函数f(x)=lnx，g(x)=，(a?0)，b=2，?h(x)=lnx,,2x，x?(0，+?)?h(x)=f(x),g(x)在定义域上不单调，?h'(x)=在(0，+?)有实根，且不为重根2即ax+2x,1=0在(0，+?)有实根，且不为重根16?a,0或?a,0或,1,a,0?a的取值范围是(,1，0)?(0，+?)((2)证明:f'(x)=，g'(x)=x,2设P(x，y) Q(x，y)，且x,xPQ中点为()，只要证明112212 ,2又只要证明: 只要证明:令，只要证明:，t?(1，+?) 令F(t)=lnt,，则F'(t),0，所以F(t)在(1，+?)范围内为增函数又F(1)=0，所以F(t),0在(1，+?)范围内恒成立;故得证(点评: 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题(17。
2013年高考数学模拟(文科)试题及答案
文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集R U =，集合}03|{},0)1)(2(|{<≤-=>-+=x x B x x x A ，则)(B C A U 为 (A) }02|{≥-<x x x 或 (B) }12|{>-<x x x 或(C)}03|{≥-<x x x 或 (D) }13|{>-<x x x 或 2. 已知R a ∈，且ii a -+-1为实数，则a 等于(A) 1 (B) 1- (C)2 (D)2-3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(A)(B)(C)(D) 834. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是(A)若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 (B)若11<<-x ，则12<x (C)若11-<>x x ，或，则12>x (D)若11-≤≥x x ，或，则12≥x5.当x y 、满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 6. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(A)π23 (B)π32 (C)6π(D)34π7.对变量,x y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i = ，得散点图1；对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)i i u v i = ，得散点图2. 由这两个散点图可以判断.（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关俯视图8. 如图，是一个计算1922221++++ 的程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的(A)i 19≥ (B) i 20≥ (C)i 19≤ (D)i 20≤9. 已知函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 是R 上的偶函数，则ϕ的值为(A)6π(B)3π(C)32π (D)65π10.已知ABC ∆的三边长为c b a 、、，满足直线0=++c by ax 与圆122=+y x 相离，则ABC ∆是 (A )锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 以上情况都有可能 11. 已知集合}),()(|)({R x x f x f x f M ∈=-=，}),()(|)({R x x f x f x f N ∈-=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f P ∈+=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f Q ∈+-=-=，若R x x x f ∈-=,)1()(3，则(A)M x f ∈)( (B) N x f ∈)( (C)P x f ∈)( (D)Q x f ∈)(12. 王先生购买了一步手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.(A) 300秒 (B) 400秒 (C) 500秒 (D) 600秒 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 设向量(12)(23)a b == ，，，，若向量a b λ+ 与向量(47)c =--，共线，则=λ ．14．ΔABC 中，3=a ，2=b ，45=∠B ，则A ∠= .15.考察下列三个命题，是否需要在“ ”处添加一个条件，才能构成真命题（其中m l ,为直线，βα,为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“ ”划掉. ① αα//_____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂ ② αα//_____////l m ml ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③ αβαβ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥l l _____// 16. 若从点O 所做的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2，与点N 1，N 2，则面积之比 11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅.若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ ，OR 上分别有点P 1，P 2，Q 1，Q 2，R 1，R 2，则能推导出的结论是 . 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围．18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线. （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．附：答案及评分标准：一．选择题：AACDD CCBAC DB1. 解析：A.{|12}A x x x =><-或;{|03}U C B x x x =≥<-或，得{|02}U A C B x x x =≥<- 或.2. 解析：A.2()(1)111122a i a i i a a i ii-+-++---==+--，∴1a =.3. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为222=，其体积12233V =⨯⨯⨯=.4. 解析：D.“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，易知应选D.5. 解析：D.如图，易求点B 的坐标为（2，3），所以当2,3x y ==时t 取最大值5.6. 解析：C. 最大球为正方体的内切球，则内切球的半径为12，341()326V ππ=⋅=.7. 解析：C.由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C.8. 解析：B.当1922221++++ 时，19=i ，而1i i =+，此时20i =，输出S 为1922221++++ .9. 解析：A .)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f =12(sin(2)))22x x φφ+++=2sin(2)3x πφ++；∵()f x 为偶函数，∴()32k k Z ππφπ+=+∈，又∵0φπ<<，∴6πφ=.10. 解析：C. 根据题意，圆心（0，0）到直线0=++c by ax 的距离1d =>，∴222c a b >+，故选C.11. 解析：D. ()f x M ∈，则函数()f x 关于y 轴对称；()f x N ∈，则函数()f x 关于原点对称；()f x P ∈，则函数()f x 关于直线1x =对称；()f x Q ∈，则函数()f x 关于(1,0)中心对称；3()(1),f x x x R =-∈关于（1，0）中心对称，故选D.12. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥.二．填空题：13.2；14.3π或32π；15. α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）；16. 体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.13. 解析：2.a b λ+ =（322++λλ，），a b λ+ 与向量(47)c =-- ，共线，则0)4()32()7()2(=-⋅+--⋅+λλ，解得=λ 2.14. 解析：3π或32π.45sin 2sin 3sin sin =⇒=ABb Aa 23sin =⇒A ，A ∠=3π或32π.15. 解析：α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.根据线面平行和线面垂直的判定定理，3个位置依次填α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.16. 解析：根据结论11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅可类比得到，在空间中有体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.三．解答题17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 解：（Ⅰ）x x x x f 2cos2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 6sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ--------------1分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx --------------------------------------3分ππωπ===22||2T ------------------------------------------------------------5分Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ,Z k k x k ∈+≤≤+-∴,63ππππ，函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6,3[ππππ-----------------------------7分（Ⅱ）由()2f x ≥ 得2sin(2)126x π++≥， 21)62sin(≥+∴πx πππππ6526262+≤+≤+∴k x k )(Z k ∈----------------------------9分)(3Z k k x k ∈+≤≤∴πππ ，2)(≥∴x f 的x 的取值范围是},3|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ---------------------------12分18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．证明：（Ⅰ）AB =54，BD =8, AD =4,则AB 2 = BD 2+AD 2.∴BD ⊥AD .------------------------------------------2分 设AD 的中点为E ，连接AE ，因为PAD ∆是等边三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，------------------------------------------4分 BD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥BD .E PE AD =⋂，∴BD ⊥平面PADBD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面P AD .-------------------------------------------------------------------------6分 解（Ⅱ）3223==AD PE ，----------------------------------------------------------------------------------------8分ABCD S 梯形==+∆∆BCD ABD S S ABD ABD ABD S S S ∆∆∆=+2321=2484432123=⋅⋅=⋅⋅⋅DB AD .--------------------------------------------------------------10分 316322431=⋅⋅=-ABCD P V ---------------------------------------------------------------12分19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx axx f（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率. 解：（Ⅰ）分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b 全部可能的基本结果有：（-1，-2），（-1，-1），（-1,1），（-1，2），(-1，3)，(1，-2)，（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，1),，（3，2)，（3，3）.共20个基本结果.-------------------------------------------------------------------------------3分函数14)(2+-=bx axx f 的对称轴a bx 2=，要使函数)(x f 在),1[+∞上是增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>120ab a ， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分于是满足条件的基本结果为：（1，-2），（1，-1），（2，-2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1）共8个.函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率52208==P .----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 所表示的区域如图OAB ∆所示，从区域内取点且函数)(x f y =在),1[+∞上是增函数需满足 的条件⎪⎩⎪⎨⎧≤>>200x y y x 如图阴影部分OAC ∆所示.-----------------------------------------------------------------------------9分解⎪⎩⎪⎨⎧==+28x y y x 得C （38,316）.---------------------------------------------------------------------------------------10分 函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率OABOAC S S P ∆∆=31838==----------------------------------------12分20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线.（Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）根据题意，)1()1(),1()1(''g f g f ==；--------------------------------------------------------------2分4)1(,4)(''==g x x g ，又∵a x x f +=2'3)(，----------------------------------------------------------------------3分∴41(3)1(''==+=）g a f ，∴1=a ；21)1(=+=a f ，∴2)1(2)1(==+=g b g ，得0=b .---5分∴函数)(x f 与)(x g 的解析式为：x x x f +=3)(，22)(x x g =------------------------------------------6分 （Ⅱ）232)()()(mx x x x g m x f x F -+=⋅-=；143)(2'+-=mx x x F ------------------------------7分 ∵函数)(x F 在区间]3,21[上是减函数，∴0143)(2'≤+-=mx x x F 在区间]3,21[上恒成立.-----------8分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0)3(0)21('F F ‘---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 =⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯-⨯≤+⨯-⨯013433012144132m m 37≥⇒m . 实数m 的取值范围是),37[+∞∈m -------------------------------------------------------------------------------------12分21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．解：（Ⅰ） 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax ；∵241x y =y x42=⇒的焦点坐标为（0，1），∴1=b . -------------------------------------------------------------------------------------2分⇒==552a c e 5412222=-=a a ac ，得5=a .--------------------------------------------------------------------4分∴所求的椭圆的方程为1522=+yx.-----------------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为点），（02F 在椭圆内部，且直线与y 轴相交，所以直线l 不与x 轴垂直，斜率一定存在.设l ：)2(-=x k y ------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分则052020)51(15)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k k x y x x k y --------------- ①设),0(),,(),,(02211y M y x B y x A由①得2221222151520;5120kkx x kkx x +-=+=+，---------------------------------------------------------------8分1M A AF λ= 即 1101111,)(2,)M A x y y AF x y λλ=-==--（得110111,)(2,)x y y x y λ-=--（，111(2)x x λ=-即1112x x λ=-，同理2222x x λ=-------------------------------------------------------------------------------------------------9分12λλ+=112x x -+222x x -=121212122()242()x x x x x x x x +--++=222222222222202052()2()4040101515102020542040542()1515kk k k k k k k k k k k---+++==--+---+++ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------6分 1111122n n nn a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =.----------------------------------------------------------------------------------------------8分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n nn b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------10分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22nn n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n nn S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+ --------------------------------------------11分11 233222(21)2n n n n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n nn n --=+-+⋅+- =(21)21n n n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------14分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈ 1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t t a a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------8分。
2013年高考数学模拟题(文)(打印版附详细答案)
2013年高考数学模拟题（文）（二）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B =A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 A ．1 B ．3-或1 C ．3 或1- D ．3-3．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．若q p ∨为真命题，则p 、q 均为真命题； ．C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件5．如果不共线向量,a b满足2a b = ，那么向量22a b a b +- 与的夹角为A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6．若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则a 的值为A ．21B ．32 C ．43 D ．17．若函数321(02)3xy x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是A ．4πB ．6πC ．34π D ．56π8．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b，则方程2b x x=有不等实数根的概率为A ．14B ．12C ．34D ．259．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m 的取值范围是A ．(42，56]B ．(56，72]C ．(72，90]D ．(42，90)10．若函数21()log ()f x x a x=+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是 A ． 25(log ,1]2-- B ．25(1,log )2C ．25(0,log )2D ．25[1,log )211．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M在其准线上的射影为M '，则ABM M '的最大值为A ．22 B ．23 C ．1 D ．312．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ．若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为 A ．]3,1[ B ．]22,22[+- C ．)3,1( D ．)22,22(+-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上． 13．已知α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则x 的值是 ．14．一个体积为123的正三棱柱的三视图如右图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为 ．15．设F 是抛物线C 1：y 2＝2px （p >0）的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221x y ab-= （a >0，b >0）的一条渐近线的一个公共点， 且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ．16．若c b a ,,是A B C ∆三个内角的对边，且1sin sin sin 2a Ab Bc C +=，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数23cos sin sin3)(2-+=x x x x f ()R x ∈．（Ⅰ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．18．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，满足8553a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）若01>a ，当n S 取得最大值时，求n 的值； （Ⅱ）若461-=a ，记na Sb nn n -=，求n b 的最小值．19．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样． (Ⅰ)若第1组抽出的号码为2，写出所有被抽出职工的号码；(Ⅱ)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，从体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中抽取2人，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率. 20．（本题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABC D ．四边形ABC D 为正方形，且P 为AD的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为B C 中点，在棱S C 上是否存在点N，使得平面D M N ⊥平面A B C D ，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立， 求实数b 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知曲线)0()0,0(1:222222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a by ax C ：和曲线都过点A )1,0(-，且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为23.（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为 直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC 是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.MSD CA P Q·2013年高考数学模拟题（文）（二）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分） BADCC ACBBD AD二、填空题（每小题4分，共16分） 13．3-14．6 3 1516．三、解答题：17. 解：（Ⅰ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-xx x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． ……………3分 20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ．∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………6分（Ⅱ） )32sin()(π-=x x f ，若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π=x ． ……………8分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ，∴4π=A ，127π=B ，∴6π=--π=B A C ． ……………10分 又由正弦定理，得221226sin4sin sin sin ==ππ==CA ABBC ． ……………12分18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1+4d )＝5(a 1+7d )，∴d -=223a 1．…………2分∴S n ＝na 1+n (n －1)2×(－223a 1) -=123a 1n 2+2423a 1n -=123a 1(n －12)2+14423a 1．…………4分∵a 1>0，∴当n =12时，S n 取得最大值．……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）及a 1＝－46，得d ＝－223－46)＝4， ∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－48n ．……………8分 ∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50n－52≥22n ×50n－52-=32，……………10分当且仅当2n ＝50n，即n ＝5时，等号成立． 故b n 的最小值为32-．……………………………………12分19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.……4分 (Ⅱ)因为10名职工的平均体重为=x 110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71, ……………6分 所以样本方差为：=2S110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.…8分 (Ⅲ)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．…………10分 故所求概率为P (A )＝410＝25．……12分20．证明：（Ⅰ）因为四边形A B C D 为正方形，则CDAD⊥. …………………1分又平面SAD⊥平面ABC D ，且面SA D 面ABCD AD=，所以CD⊥平面SAD . …………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．……………4分MSDCAPQ· R (N ) O在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR =12BC ． 所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. ……………………………7分所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ………………………………………9分（Ⅲ）存在点N 为S C 中点，使得平面D M N ⊥平面A B C D ． ……………10分连接P C D M 、交于点O ，连接PM 、SP ， 因为//P D C M ，并且P D C M =，所以四边形P M C D 为平行四边形，所以P O C O =. 又因为N 为S C 中点，所以//N O SP ．……………………………………………11分因为平面S A D ⊥平面A B C D ，平面S A D 平面A B C D =A D ，并且SP A D ⊥， 可得SP ⊥平面A B C D ，所以N O ⊥平面A B C D ．又因为⊂NO 平面OMN ,所以平面D M N ⊥平面A B C D ．……………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='，…………1分当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；……………2分 当0>a 时，()0f x '<得10x a<<，()0f x '>得1x a>，∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a+∞上递增，即)(x f 在ax 1=处有极小值．………4分∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．………………5分（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴bxx xbx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(，………………6分令xx xx g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，…………10分 ∴22min 11)()(ee g x g -==，即211b e≤-．………………12分22．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知得21b =，24a =，21r =． ……2分所以曲线1C 的方程为2214xy +=（0x ≥）． ……3分 曲线2C 的方程为221x y +=（0x ≥）． ……4分 （Ⅱ）将11y k x =-代入2214x y +=，得()22111480k xk x +-=．……5分设()11,A x y ，()22,B x y ，则10x =，1221841k x k =+，212122141141k y k x k -=-=+．所以2112211841,4141k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． ……7分 将21y k x =-代入221x y +=，得()2222120k x k x +-=． 设()33,C x y ，则232221k x k =+，2232322111k y k x k -=-=+，所以)11,12(2222222+-+kk kk C ． ……8分因为214k k =，所以21122118161,161161k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……9分 则直线B C 的斜率2211221111122111614116141188416141BC k k k k k k k k k k ---++==--++， ……11分所以直线B C 的方程为：21122111418141441k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，即1114y x k =-+．…13分 故B C 过定点()0,1． ……14分。
2013年湖南省高考模拟试题数学(文科)
一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（ ）A ．()1,2-B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2- 2．（原创）复数ii-12的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4．（根据2012年河北衡水市高三期末考试改编）已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=-my x 的离心率为（ ）A ．23或25 B ．23 C ．5 D ．23或5 5．（原创）设,a b 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b B ．若a ∥α，a ∥β且b ∥a ，则b ∥α C ．若a α⊥，b β⊥且α∥β，则a ∥b D ．若a α⊥，a β⊥且b ∥α，则b ∥β 6．（引用2011年深圳一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．137．（根据09年陕西高考改编）设曲线1()n y xn N ++=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201312013220132012log log ....log x x x +++的值为 （ ）A ． 2011log 2010B ． 1-C ．2011log 20101-D ． 1俯视图正(主)视图 侧(左)视图8．（根据09年惠州调研改编）已知平面区域A ：003230x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆()()222:C x a y b r -+-=及其内部所覆盖，现向此圆内部投一粒子，则粒子恰好落在平面区域A 内的概率为（ ） A ．22πB ．3 C ．2πD ．39．（根据12年浙江杭州市第四次月考改编）若n m -表示[,]()m n m n <的区间长度，函数()(0)f x a x x a =-+>的值域区间长度为21-，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2D ．110．（原创）在ABC ∆中，,E F 分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为123,,,S S S S ，记312123,,S S SS S Sλλλ===，则23λλ取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．32- D ．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
湖南省常德市2013年高三模拟考试理科数学试卷
湖南省常德市2013年高三模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对. 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁.3.本试卷共5页. 如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数111iz i+=--，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若命题p :[]03,3x $?，200210x x ++…，则命题p 的否定是 A ．[]23,3,210x x x "?++> B ．()()2,33,,210x x x "??+?+>UC ．[]20003,3,210x x x $?++< D ．()()2,33,,210x x x $??+?+…U3．设m ，n 是不同的直线，a ，b 是不同的平面，且,m n a Ì. 则“a ∥b ”是“m ∥b 且n ∥b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，若(2)0AB AB AC ?=，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6．已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，若利用如图2所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是 A ．11?n … B ．10?n … C ．9?n …D ．8?n …7．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，则双曲线的离心率为A．4+ B．3+ C1 D18．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-.用[]x 表示不超过x 的最大整数，其中x R Î.设()[]([])f x x x x =?，()1g x x =-，若用1d ，2d ，3d 分别表示不等式()()f x g x <，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x >解集区间的长度，则当02013x 剟时，有A ．12012d =，21d =，30d =B ．12011d =，21d =，31d =C ．12009d =，21d =，33d =D ．12007d =，23d =，33d =二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC 的外角平分线AD 交外接 圆于D ，4BD =，则CD = . 10．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为3cos (13sin x y qq q ìï=ïíï=+ïî为参数），以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6pr q +=则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．11．（不等式选做题）不等式141x x ---<的解集为 ． （二）必做题（12 16题）图1 图312．已知集合{}2|log 3A x x =<，{}|0B x x m =<<，若=A B B ，则m 的取值范围是 .13．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a --=--(0,1)a a >?且，若(2013)g a =，则(1)f = .14．如图4，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数cos y x =图象上方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E (阴影部分)中的概率为_______．15．设实数x ，y 满足约束条件32000,0x y x y x y ì--ïïï-íïïïïî……厖，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则12a b+的最小值为 .16．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a = ，12{,,,}n B b b b = ，12{,,,}n C c c c = ，若A 、B 、C中的元素满足条件：12n c c c <<< ，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段： [70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，统计后得到如图5的频率分布直方图．（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.（Ⅱ）从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80,85)，[85,90)内都有车辆的概率.（Ⅲ）若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期图4图5CC 1B 1A 1BD图618．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中,112AB AC AA BC ====, 1160AAC ??,平面1ABC ^平面11AA C C ,1AC 与1A C 相交于点D .（Ⅰ）求证：BD ^平面11AA C C ; （Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值.19．（本小题满分12分）已知正项数列{n a }的前n 项和为2(2)8n n a S +=，正项数列 {n b }是递增的等比数列，且12326b b b ++=，1336b b =.（Ⅰ）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（Ⅱ）若数列{n c }满足n n nac b =，数列{n c }的前n 项和为n T ，求证：3n T <.20．（本小题满分13分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路方向垂直，且120ABC ??，路灯C 射出的部分光线如图7中虚线所示，已知60ACD ??，路宽18AD =米，设灯柱高AB h =米，ACB q ?（3045q 鞍剟）.（Ⅰ）求灯柱的高h （用q 表示）； （Ⅱ）若灯柱AB 与灯杆BC 单位长度的造价相同，问当q 为多少时，灯柱AB 与灯杆BC 的总造价最低？图721．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x，且经过点(4,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 的直线:1l y =与椭圆的另一个交点为Q ，A 、B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的动点，且满足直线AP 与BP 关于l 对称.试探究直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由，并求出四边形APBQ 面积的最大值.22．（本小题满分13分）已知函数2()2ln f x x x ax =--. （Ⅰ）当3a …时，讨论函数()y f x =在1[,)2+?上的单调性；（Ⅱ）如果1x ，2x 12()x x <是函数()f x 的两个零点，()f x ¢为函数()f x 的导数， 证明：122()03x x f +¢<.图82013年常德市高三年级模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1． B 2． A 3． A 4． B 5． D 6． C 7． D 8．B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．410． 24 11． {}|3x x <（二）必做题（12 16题） 12．8m ³13．3214．21p-15．3+16．（1）7,9,11 中任一个 （2）{6,10,11,12}三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分∴这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分 （Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3） 40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则211281281233202086472()()114095C C C C P A P B C C 鬃+=+==.………………………8分 （Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x ，则x 的可能取值为1,2,3.21243641(1)205C C P C x ×====，…………………………………………………9分CC 1 B 1A 1 BD 图6E122436123(2)205C C P C x ×====，…………………………………………………10分 03243641(3)205C C P C x ×====，…………………………………………………11分 故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为1311232555E x =???.………12分18．（本小题满分12分）解法一： （Ⅰ）已知侧面11AA C C 是菱形,D 是1AC 的中点，11,BA BC BD AC =\^ ………2分 平面1ABC ^平面11AA C C ，且1BD ABC Ì平面，平面1ABC Ç平面11AA C C =AC 1∴BD ^平面11AA C C .………………5分 （Ⅱ） 平面1ABC ^平面11AA C C ，11,CA AC ^ 1CD ABC \^平面…………6分 作D E AB ^，垂足是E ，连结CE ，则DEC Ð为二面角1C AB C --8分在直角DAB D 中，1,BD =9分AD DB DE AB ×\==，CE =…………………………11分于是，cos DEDEC CE ?=.即二面角1C AB C --………12分 （Ⅱ）解法二如图，以D 为原点,以DA ,,DB DC 所在直线分别为x 轴,z 轴，y 轴建立空间直角坐标系.由已知可得112,1,AC AD BD A D DC BC ====== ……………6分∴1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),D A B C C -……………………7分 设平面ABC 的一个法向量是(,,m x y =(1AB BC =-=由0,0AB m BC m ??且 得00x ìï-+=ïíï+=ïî，可得1m =- …………………8分平面1ABC ^平面11AA C C ，11,CA AC ^1CD ABC \^平面∴DC 是平面1ABC 的一个法向量是DC B 1cos ,m DC m DC m DC×\<>==， 即二面角1C AB C --…………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知及1n n n a S S -=-可得22114()n n n n a a a a ---=+n a >∴14n n a a --=…………………………………2分又21111(2)28a a S a +==? ∴42n a n =-. ………………………3分 ∵数列{n b }是各项均为正数的等比数列，且132366b b b =?.…4分设公比为q ，则2123626662631030b b b q q q q++=?+=?+=， 解得：3q =或13q =（舍）. ∴22126323n n n n n b b q b ---==篡=?. ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 42n a n =- ， 123n n b -=? 114221233n n n n n c ----\==´. ………7分又123n n T c c c c =++++ .所以：012312112212312412133333n n n T -????-=+++++ …………① 1012221122123124121333333n n n T --????-?+++++ …………② 由②—①得：1012212112222212333333n n n n T ---?-?+++++- ………9分1112(1)213231313n n n n T ----?+--11113213122313n n n n T ----?+-´-， ∴11333n n n T -+=-<. ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵120ABC ? ，ACB q ?，∴60BAC q ?- .又90BAD ? ，60ACD ? ,∴30CAD q ?+ ，90CDAq ?- .……………………2分 在△ACD 中，由正弦定理可得： sin 60sin(90)AD ACq =- ，sin(90)18cos sin 60sin 60AD AC ACq qq -?=?.……………………4分在△ABC 中，由正弦定理可得：s i n s i n 120A BA Cq=i n AB ?12sin 2ABq ?(3045)q ＃ . ………………6分（Ⅱ）由题意可知，要灯柱AB 与灯杆BC 的总造价最低，即要使灯柱AB 与灯杆BC的长度之和最小. ……………………………7分 在△ABC 中，同理由正弦定理可得：sin120sin(60)AC BC BC q =?- 24cos sin(60)BCq q ?-124cos sin )2BCq q q ??212cos sin BC q q q?-6sin 2BCq q ?-+ ……………………………………9分记灯柱AB 与灯杆BC 的长度之和为S ，则有：∴12sin26sin2S AB BC q q q =+=+-+∴6sin 2S q q =++12sin(260)Sq ?++ (3045)q＃ . …………………………11分又3045120260150qq ＃蓿+?，又易知正弦函数在此范围内单调递减，∴当260150q += 即45q = 时，S取得最小值6+.∴当45q = 时灯柱AB 与灯杆BC 的总造价最低. ……………………13分 21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为22221x y a b+=，焦距为2c ，………………1分由条件可得：c a =…………………①221611a b += …………………②， 又222a b c =+…………………③由①②③解得:220a =,25b =………………………………………………4分故所求椭圆的标准方程为221205x y +=.………………………………………5分 （Ⅱ）设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为k -.设11(,)A x y ，22(,)B x y . ∴直线AP 的方程为(4)1y k x =-+，……………………………………6分联立221205(4)1x y y k x ìïï+=ïíïï=-+ïïî整理得2222(41)(832)6432160k x k k x k k ++-+--=.∴212328441k k x k -+=+， 212168441k k x k --=+，∴21248141k k y k --+=+………7分 将上式中的k 用k -代入可得222168441k k x k +-=+，22248141k k y k -++=+……8分 ∴222221222122481481164141116841684164141AB k k k k y y k k k k k k k k x x k k k -++--+--++====+-----++，……………10分 ∴直线AB 的斜率为定值1. 而四边形APBQ 的面积212164||64||||1612414||||k S PQ y y k k k =?==?++， 故四边形APBQ 面积的最大值为16.…………………………………………13分22．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()2f x x a x¢=--， …………………………………………………1分 易知()f x ¢在1[,)2+?上单调递减， …………………………………2分 ∴当1[,)2x ??时，/1()()32f x f a ¢?-.…………………………………3分当3a ³时，()0f x ¢£在1[,)2+?上恒成立.∴当3a ³时，函数()y f x =在1[,)2+?上单调递减............................5分 （Ⅱ）∵1x ，2x 12()x x <是函数()f x 的两个零点， 21111()2ln 0f x x x ax =--= (1)22222()2ln 0f x x x ax =--= ……………（2）……………………………6分 由（2）—（1）得：222212121211212ln 2ln ()()0()x x x x x a x x a x x x x x ----=?-+-…………………8分 ∵2()2f x x a x¢=--，所以： 121212*********()2()(2)233233x x x x f a x x a x x x x ++¢=--=-+-++， 将a 代入化简得： 21212121122ln 261()()323x x x x f x x x x x x -+¢=+---+ ………9分因为211()03x x --<，故只要研究2121122ln62x x x x x x -+-+的符号 令2121122ln6()2x x h x x x x x -=+-+221221113(1)2()[ln ]21x x x h x x x x x --?--? …………10分 令21x t x =，则1t >，且22122112113(1)223(1)()[ln ][ln ]2121x x x t h x t x x x x x x t x ----?-=---+?， 令3(1)()ln 21t t t t j -=-+（1t >），…………………………………………………11分 所以：2219(1)(41)()(21)(21)t t t t t t t j --¢=-=++， 当1t ³时，()0t j ¢³恒成立，所以()t j 在[1,)+?上单调递增，所以当1t >时，()(1)0t j j >=，所以()0h x <，又211()03x x --<， ∴ 212121122ln61()023x x x x x x x x -+--<-+，所以122()03x x f +¢<.……………13分。
湖南省常德市高三数学上学期检测考试试题 文(无答案)湘教版
常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试数 学（文科试题卷）注意事项：本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 考试结束后，只交答题卷.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．并把答案填在答题卡中对应题号内. 1. 已知2a ib i i+=-（a ,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a +b = A.1- B.1 C.2 D.3 2. 在图1所示的茎叶图中，中位数和众数分别是 A. 93，92 B. 92，93 C. 91, 93 D.93, 933. 在△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若a =9，b =6，A =60o，则sin B =A ． 13-B ．13C ．33 D ．33- 4. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆22154x y +=的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为A.12y x =± B. 3y x = C.2y x =± D. 3y = 5. 若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是 A.60 B. 54 C.48 D. 246. 已知变量,x y 满足00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最大值为A.2B. 3C.4D.6 7. 设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x+2x +m (m 为常数)，则(1)f -=A.3B. 1C.1-D.3-8. 已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数k 使得CA CB kCM+=uu r uu r uuu r 成立，则k =俯视图侧视图正视图344 图28 7 89 0 1 3 3 4 5图1图3A ． 2 B. 3 C. 4 D. 59. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x '>恒成立，若12x x <，则12()x e f x 与21()xe f x 的大小关系为A ． 1221()()xxe f x e f x > B. 1221()()xxe f x e f x <C. 1221()()xxe f x e f x = D. 1221()()xxe f x e f x 与的大小关系不确定 二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 10 不等式10x x+<的解集是________. 11. 直线y =被圆2240x x y -+=所截得的弦长为________.12. 执行如图3所示的程序框图，若P ＝0.9，则输出的n ＝13. 已知{n a }为等差数列，若1235a a a ++=，78910a a a ++=, 则192021a a a ++=________. 14. 已知0,0x y ≥≥，且1x y +=，则1411x y +++的最小值为15. 已知数列{}n a 满足：当(1)(1)(,]22k k k k n -+∈（,n *k N ∈）时， 1(1)k n a k +=-⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，定义集合{|m n T n S =是n a 的整数倍，*,n m N ∈，且1n m ≤≤}，()card A 表示集合A 中元素的个数，则 15a = ，15()card T = .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题12分）已知向量(cos(2),cos())34a x x ππ=-+r ，(1,2sin())4b x π=-+r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求()f A 的取值范围.17.（本小题12分）空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定。
湖南省常德市高三数学模拟考试题 文
- 1 -俯视图正视图 侧视图图2数学（文史类）注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对.2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁.3.本试卷共5页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．复数1i i（i 为虚数单位）的模等于AB ．2C ．2D ．122．某教辅书店有四类高考复习用书，其中语文类、数学类、文科综合类及英语类分别有20种、10种、40种、30种，现从中抽取一个容量为20的样本进行检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的数学类与文科综合类书籍种数之和是 A ．4 B ．6C ．8D ．10 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．144．执行右边的程序框图1，输出的T=A ．6B ．8C ．10D ．15 5．下面四个命题中的真命题是 A ．命题“∀x ∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x ∈R,使得x2−3x−2≤0” B ．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x ≠1” C ．已知平面向量a →=(2, −1),b →=(x, 3)，则a →//b →的充要条件是x=− 6 D ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的充分不必要条件 6．已知一个几何体的三视图如图2所示， 则该几何体的体积为A ．23B ．23- 2 - C ．234D ．4237．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A ，B ，C ，D 的距离都大于1的概率为A．16B ．4C．3224D ．148．当2x 时，不等式21270xa xa()恒成立，则实数a 的取值范围是A ．39,B ．9,C ．3(,]D ．9[,)9．若规定x ()x R 表示不超过x 的最大整数，x xx如：[ 1.2]2,[2.3]2，1.21.2(2)0.8，则函数()sin {}f x x x 在区间[,]内零点的个数是A ．3B ．4C ．5D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10．若函数2(0)()1()(0)2x x x f x x ，则()f x 的值域为 .11．若实数x ,y 满足约束条件3123x y x y xy , 则目标函数2zxy 的最小值为______.12．已知圆C 的参数方程为2x y cos sin(为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为21cos sin, 则直线被圆所截得的弦长是 .13．在△ABC 中，已知5,3,120ab C,则sin B 的值是 .14．已知椭圆22135x y mn和双曲线22123x y mn有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 .15．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A 、B 、C ，其中12{,,,}n Aa a a ，12{,,,}n Bb b b ，12{,,,}n Cc c c ，若A 、B 、C 中的元- 3 -素满足条件：12n c c c ，kkk a b c ，k1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}Mx 为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2()(2cos sin 2)(0)f x a x x b a（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ）若[0,]4x 时，)(x f 的值域是[1,]，求实数a 、b 的值.17．（本小题满分12分）某学校研究性学习课题组为了研究学生的数学成绩优秀和物理成绩优秀之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：规定：数学、物理成绩90分(含90分)以上为优秀． （Ⅰ）根据上表完成下面的2×2列联表，并说明能否有99%的把握认为学生的数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关系？- 4 - AB CA 1B 1C 1（Ⅱ）记数学、物理成绩均优秀的6名学生为A 、B 、C 、D 、E 、F ，现从中选2名学生进行自主招生培训，求A 、B 两人中至少有一人被选中的概率. 参考公式及数据：22()()()()()n ad bc Kab c d a c bd18．（本小题满分12分） 如图3，三棱柱111ABCA B C 的底面边长和侧棱长都是a ，侧面11BB C C底面ABC ,且160B BC.（Ⅰ）求证:1AB BC ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值. 19．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C x py p，圆222:8120C x y y 的圆心M 到抛物线1C 的准线的距离为92，点P 是抛物线1C 上一点，过点P 、M 的直线交抛物线1C 于另一点Q ，且||2||PM MQ ，过点P 作圆2C 的两条切线，切点为A 、B.（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）求直线PQ 的方程及PA PB 的值.2.706xyO PQMA B图3- 5 -20．（本小题满分13分）某企业生产一种特种电线，年成本为100万元，2012年年产量为40万米，售价为5元/米.根据市场调查估计，从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线每年的售价将比上年增加1元/米，在这样的市场前景下，假设不新增投资，该企业的年产量将可维持不变；若决定2013年初新增投资400万元，引进一套先进的生产设备，该设备引进后，第一年可使该特种电线年产量在2012年产量的基础上增加10万米，但由于设备的逐渐损耗，从第二年开始，每年相对于2012年产量的增加量只有前一年相对于2012年产量的增加量的80%.（Ⅰ）到2020年时，此特种电线的售价为多少？如果引进新设备，求出2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和.（Ⅱ）若新引进的设备只能使用10年，试分析该企业2013年初是否应该新增投资引进该设备？ (附：70.80.21,90.80.13)21．（本小题满分13分）已知实数0a，函数1()2lnf x axx x，23()(1)(01)2g x ax a xx .（Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，且对任意1[1,2]x ，总存在2[0,1]x ，使()f x 在1xx 处的导数12()()f x g x 成立，求实数a 的取值范围.图42013年常德市高三年级模拟考试数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10．(0,1]11．4 12．513. 1414．.34y x15.（1）7,9,11 中任一个（2）{6,10,11,12}三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）- 6 -- 7 -ACA 1B 1C 1E（Ⅰ）解：∵()(cos2sin 21)f x a x x b ……………………………………2分cos(2)4xa b………………………………………4分∴22T.………………………………………6分（Ⅱ）∵04x，∴2444x，∴cos(2)124x………………………………………8分∵)(x f 的值域是[1,， ∴max()()228f x f a a bmin ()(0)21f x f ab，………………………………………10分解得1,1a b………………………………………12分17．（本小题满分12分） （Ⅰ）表格为………………………………………3分根据上述列联表求得220(61022)245 6.80681281236k6.635所以有99%的把握认为：学生的数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关系． ……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）从A 、B 、C 、D 、E 、F 这6名学生中选2人，有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F), (B,C), (B,D), (B,E), (B,F), (C,D), (C,E), (C,F), (E,D), (D,F),(E,F),共15个基本事件，……………………………………………………………………………9分 其中A 、B 两人中至少有一人被选中有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F), (B,C), (B,D), (B,E), (B,F),共9个基本事件P=915=35…………………………………………………………………………12分- 8 - 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设BC 的中点为D ，连结AD ,1B D ,1B C . 由题设知，ABC 和1BB C 都是等边三角形， 因此1,BCAD BCB D ………4分BC平面1AB D ，1BCAB .……………………6分（Ⅱ）作1C E BC ，垂足是E ，连结AE平面11BB C C平面ABC ，1C E平面ABC1C AE 就是直线1AC 与平面ABC 所成的角 ………………………8分 160B BC,1C C //1B B1113160,,2C CE C Ca C E a CE a 又， 在17,,,1202ACE ACa CEa ACE AEa中……………………10分221110AC AE C E a 因此11130sin C E C AEAC…………………………12分即直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）222:(4)4C x y ，∴(0,4)M ，…………………………1分抛物线21:2C xpy 的准线方程是2py，依题意：9422p ，∴1p ，…………………………3分 ∴抛物线1C 的方程为：22x y .…………………………4分- 9 -（Ⅱ）设PQ 的方程：4ykx2242802y kx x kx x y，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,4)PMx y ，22(,4)MQx y ，∵||2||PM MQ ，∴2PM MQ =，122x x ∴-=…①又122x x k …②，128x x …③，由①②③得1k ，∴PQ 的方程为：4y x………………………………………………………9分取PQ 的方程：4yx，和抛物线22x y 联立得P 点坐标为P （4,8）∴||42PM ，连接,AM BM ，22||||27PA PB PM PA ，设APM，则2sin42AMPM，……………………………11分∴||||cos 2PA PB PA PB =228(12sin )=21.…………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，设从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线的售价为一个以a1=6为首项，d= 1为公差的等差数列{an}.故到2020年时，此特种电线的售价为a8，即为13元/米. 工协作 ………………………………………………3分如果引进新设备，则2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和为40⨯8+(10+10⨯0.8+10⨯0.82+…+10⨯0.87)=361.6(万米)………………6分（Ⅱ）引进新设备后的10年内，设增加产量带来的收入增加量为S ，由题意有： S=10a1+10×0.8×a2+…+10×0.89×a10=10×(6+7×0.8+8×0.82+…+15×0.89) …………………………………①…………………………………8分0.8S=10×(6×0.8+7×0.82+8×0.83+…+15×0.810) ……………………………② ①—②得，0.2S=10×(6+0.8+0.82+0.83+…+0.89-15×0.810)∴S=50(10-16×0.89)=50×7.92=396, ………………………………………12分 ∵S<400，故该企业2013初不应新增投资引进该设备.……………………………………13分 21．（本小题满分13分）xyOPQMAB- 10 - 解：（Ⅰ）2221()(0)ax x f x x x…………………………………………1分当1a 时，440a，()0f x 恒成立.故()f x 在(0,)上为增函数；……………3分 当01a 时，由1111()0a a f x xaa ，又110a()f x 的递减区间为1111[,]a a，递增区间为1111], [,)a a……………………………6分（Ⅱ）∵()f x 在区间[1,2]上为增函数，∴2221()ax x f x x ，[1,2]x 恒成立，即2210axx 恒成立， 即：221axx . 11[1,2][,1]2x x 22211(1)11x x x1a ……………………………………………………………………8分 222313(1)()(1)()2224a a g x axa xa xa a ，当1a 时，11122a a ，2min 13(1)()()224a a g x g aa ，max3(0)2g g ，所以函数()g x 的值域为23(1)3[,]242a Ma .…………………………10分 又11[1,2][,1]2x x 2222113()(1)1[1,]4ax x f x aa ax x，故函数()f x 值域为3[1,]4Na a…………………………………11分依题意应有NM- 11 - 23(1)1411924543342a a a a a 或41105a …………12分又1a，故所求为4119[,]54a …………………………………………13分。
2013年湖南省高考数学试卷(文科)
2013年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．134．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）A．4 B．3 C．2 D．15．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．8．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁U A）∩B=．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．15．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为．三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．19．（13分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．21．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．2013年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．2．（5分）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．【解答】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．故选：D．【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．4．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可．【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，方程f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，化为：﹣f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，两式相加可得2g（1）=6，所以g（1）=3．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查．5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选：A．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x ﹣2）2的图象，数形结合可得结论．【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选：C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．故选：D．【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【解答】解：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故选：C．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．9．（5分）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）A．B．C．D．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得，从而．故选：D．【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁U A）∩B={6，8} ．【分析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（C U A）∩B【解答】解：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，∴C U A={6，8}，又B={2，6，8}，故（C U A）∩B={6，8}故答案为：{6，8}．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为4．【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a 的值即可．【解答】解：直线l1的参数方程为（s为参数），消去s得普通方程为x ﹣2y﹣1=0，直线l2的参数方程为（t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0，∵l1∥l2，x﹣2y﹣1=0的斜率为k1=，∴2x﹣ay﹣a=0的斜率k2==，解得：a=4．故答案为：4．【点评】本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力．12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为32．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2不满足条件a＞31，a=2不满足条件a＞31，a=4不满足条件a＞31，a=8不满足条件a＞31，a=16不满足条件a＞31，a=32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为6．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（4，2）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z=4+2=6最大故答案为：6．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．14．（5分）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为．【分析】根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a=（﹣1）c∴e==．故答案为：．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．15．（5分）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于2；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P ∩Q的元素个数为17．【分析】（1）利用“特征数列”的定义即可得出；（2）利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可．【解答】解：（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0．故前三项和等于1+0+1=2；（2）∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足P i+P i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0．则P={a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n﹣2．∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1．则Q={a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97．∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素．故答案分别为2，17．【点评】正确理解“特征数列”的定义是解题的关键．三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合．【分析】（1）将x=代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；（2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合．【解答】解：（1）f（）=cos cos（﹣）=cos cos=﹣cos2=﹣；（2）f（x）=cosxcos（x﹣）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=cos（2x﹣）+，∴f（x）＜，化为cos（2x﹣）+＜，即cos（2x﹣）＜0，∴2kπ+＜2x﹣＜2kπ+（k∈Z），解得：kπ+＜x＜kπ+（k∈Z），则使f（x）＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+（k∈Z）}．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；（2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积．【解答】解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；（2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2又∵B1C1==2，∴B1E==2由此可得V=S×A1C1=×=【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．【解答】解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系，其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4），“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，2），（3，1），“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3），“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）．列表如下：所种作物的平均所收获量为：（51×2+48×4+45×6+42×3）==46；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=，P（Y=48）=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=+=．【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．19．（13分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n﹣a1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两个式子相减得a n=2a n﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出na n=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，当n≥2时，由2a n﹣1=S n得，2a n﹣1﹣1=S n﹣1，两式相减得2a n﹣2a n﹣1=a n，即a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na n=n•2n﹣1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①﹣②得，﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=2n﹣1﹣n•2n，∴T n=1+（n﹣1）2n．【点评】本题考查了数列a n与S n之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用．20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．【分析】（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l 的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论．【解答】解：（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则，解得．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4；（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，∴b=．由得（5+m2）y2+4my﹣1=0．设l与E的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）．则，．∴a===，∴ab===．当且仅当，即时等号成立．故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即．【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．21．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间；（Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证．【解答】解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R．==，当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．（Ⅱ）当x＜1时，由于，e x＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证＜．此不等式等价于．令g（x）=，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．即．∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．从而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．第21页（共21页）。
湖南省常德市高三数学模拟考试题 理
2013年常德市高三年级模拟考试数学（理工农医类）注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对.2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁.3.本试卷共5页. 如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数111iz i +=--，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若命题p:[]03,3x $?，20210x x ++…，则命题p 的否定是A ．[]23,3,210x x x "?++> B ．()()2,33,,210x x x "??+?+>UC ．[]20003,3,210x x x $?++< D ．()()2,33,,210x x x $??+?+…U3．设m ，n 是不同的直线，a ，b 是不同的平面，且,m n a Ì. 则“a ∥b ”是“m ∥b 且n ∥b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在△ABC 中，若(2)0AB ABAC ?=，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 5．一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积为 A．6+ B．6+ C．4+D ．4+图26．已知数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，若利用如图2所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是 A ．11?n … B ．10?n … C ．9?n …D ．8?n …7．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，则双曲线的离心率为 A．4+ B．3+C1 D18．定义区间(,)a b ，[,)a b ，(,]a b ，[,]a b 的长度均为d b a =-.用[]x 表示不超过x 的最大整数，其中x R Î.设()[]([])f x x x x =?，()1g x x =-，若用1d ，2d ，3d 分别表示不等式()()f x g x <，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x >解集区间的长度，则当02013x剟时，有A ．12012d =，21d =，30d =B ．12011d =，21d =，31d =C ．12009d =，21d =，33d =D ．12007d =，23d =，33d =二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.图1（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC 的外角平分线AD 交外接 圆于D ，4BD =，则CD = .10．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为3cos (13sin x y q q q ìï=ïíï=+ïî为参数），以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6pr q +=则直线l 被圆C 所截得的弦长为 ．11．（不等式选做题）不等式141x x ---<的解集为 ．（二）必做题（1216题）12．已知集合{}2|log 3A x x =<，{}|0B x x m =<<，若=A B B ，则m 的取值范围是 .13．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a --=-- (0,1)a a >?且，若(2013)g a =，则(1)f = .14．如图4，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数 cos y x=图象上方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E (阴影部分)中的概率为_______．15．设实数x ，y 满足约束条件32000,0x y x y x y ì--ïïï-íïïïïî……厖，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则12a b +的最小值为 . 16．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）图3图4（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M=，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，统计后得到如图5的频率分布直方图．（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.（Ⅱ）从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，求车速在[80,85)，[85,90)内都有车辆的概率.速在[70,80)的车（Ⅲ）若从车辆中任意抽取3辆，求车速在[75,80)的车辆数的数学期望.图5CC 1B 1A 1BD图618．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC AB C -中,112AB AC AA BC ====, 1160AAC ??,平面1ABC ^平面11AA C C ,1AC 与1A C 相交于点D .（Ⅰ）求证：BD ^平面11AA C C ; （Ⅱ）求二面角1C AB C --的余弦值.19．（本小题满分12分）已知正项数列{n a }的前n 项和为2(2)8n n a S +=，正项数列 {n b }是递增的等比数列，且12326b b b ++=，1336b b =.（Ⅰ）求数列{n a }，{n b }的通项公式；（Ⅱ）若数列{n c }满足nn na cb =，数列{n c }的前n 项和为n T ，求证：3n T <.20．（本小题满分13分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路方向垂直，且120ABC??，路灯C 射出的部分光线如图7中虚线所示，已知60ACD??，路宽18AD =米，设灯柱高AB h =米，ACB q ?（3045q 鞍剟）.（Ⅰ）求灯柱的高h（用q表示）；（Ⅱ）若灯柱AB与灯杆BC单位长度的造价相同，问当q为多少时，灯柱AB与灯杆BC的总造价最低？21．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点(4,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P的直线:1l y=与椭圆的另一个交点为Q，A、B是椭圆C上位于直线l两侧的动点，且满足直线AP与BP关于l对称.试探究直线AB的斜率是否为定值，请说明理由，并求出四边形APBQ面积的最大值.图7图822．（本小题满分13分）已知函数2()2ln f x x x ax =--.（Ⅰ）当3a …时，讨论函数()y f x =在1[,)2+?上的单调性；（Ⅱ）如果1x ，2x 12()x x <是函数()f x 的两个零点，()f x ¢为函数()f x 的导数，证明：122()03x x f +¢<.2013年常德市高三年级模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1． B 2． A 3． A 4． B 5． D 6． C 7． D 8．B二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．410． 24 11．{}|3x x <（二）必做题（1216题）12．8m ³13．3214．21p -15．3+CC 1B 1BDE16．（1）7,9,11 中任一个 （2）{6,10,11,12}三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.………2分 ∴这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.………4分（Ⅱ）车速在[80,90)的车辆共有（0.2+0.3）⨯40=20辆.速在[80,85)，[85,90)内的车辆分别有8辆和12辆.记从车速在[80,90)的车辆中任意抽取3辆车，车速在[80,85)内的有2辆，在[85,90)内的有1辆为事件A ，车速在[80,85)内的有1辆，在[85,90)内的有2辆为事件B ，则211281281233202086472()()114095C C C C P A P B C C 鬃+=+==.………………………8分（Ⅲ）车速在[70,80)的车辆共有6辆，车速在[70,75)和[75,80)的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在[70,80)的车辆中任意抽取3辆，车速在[75,80)的车辆数为x ，则x 的可能取值为1,2,3.21243641(1)205C C P C x ×====，…………………………………………………9分122436123(2)205C C P C x ×====，…………………………………………………10分03243641(3)205C C P C x ×====，…………………………………………………11分故分布列为∴车速在[75,80)的车辆数的数学期望为1311232555E x =???.………12分18．（本小题满分12分）解法一： （Ⅰ）已知侧面11AA C C 是菱形,D 是1AC 的中点，11,BA BC BD AC =\^………2分平面1ABC ^平面11AA C C ， 且1BD ABC Ì平面， 平面1ABC Ç平面11AA C C =AC1∴BD ^平面11AA C C .………………5分（Ⅱ）平面1ABC ^平面11AA C C ，11,CA AC ^1CD ABC \^平面…………6分作D E AB ^，垂足是E ，连结CE ，则DEC Ð为二面角1C AB C --的平面角.……………………………………8分 在直角DAB D中，1,2AD BD AB === ………………………………9分AD DB DE AB ×\==，CE =…………………………11分于是，cos DE DECCE ?=.即二面角1C AB C --的余弦值是. ………12分（Ⅱ）解法二如图，以D 为原点,以DA,,DB DC 所在直线分别为x 轴, z 轴，y 轴建立空间直角坐标系.由已知可得112,1,AC AD BD A D DC BC ======……………6分∴1(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),D A B C -设平面ABC 的一个法向量是(,,)m x y z = (1,0,3),(0,3,AB BC =-=由0,0AB mBC m??且得00x ìï-+=ïíï+=ïî，可得(3,1,1)m =-…………………8分平面1ABC ^平面11AA C C ，B 111,CA AC ^1CD ABC \^平面∴DC 是平面1ABC 的一个法向量是(0,1,0)DC =， ……………………10分5cos ,m DC m DC m DC×\<>==，即二面角1C AB C --的余弦值是.…………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知及1n n n a S S -=-可得22114()n n n n a a a a ---=+0n a > ∴14n n a a --=…………………………………2分又21111(2)28a a S a +==? ∴42n a n =-. ………………………3分∵数列{n b }是各项均为正数的等比数列，且132366b b b =?.…4分 设公比为q ，则2123626662631030b b b q q q q++=?+=?+=，解得：3q =或13q =（舍）.∴22126323n n n n n b b q b ---==篡=?. ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 42n a n =- ， 123n n b -=?114221233n n n n n c ----\==´.………7分 又123n n T c c c c =++++.所以：012312112212312412133333n n n T -????-=+++++…………①1012221122123124121333333nn n T --????-?+++++ …………②由②—①得：1012212112222212333333nn n n T ---?-?+++++- ………9分1112(1)213231313n nn n T ----?+--111132********n n n n T----?+-´-，∴11333n n n T -+=-<. ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵120ABC ?，ACB q ?，∴60BACq ?-.又90BAD ?，60ACD ?,∴30CADq ?+，90CDAq ?-.……………………2分在△ACD 中，由正弦定理可得：sin 60sin(90)AD ACq =-，sin(90)18cos sin 60sin 60AD ACACq qq-?=?.……………………4分在△ABC 中，由正弦定理可得：s i n s i n 120A B A Cq=i nAB? 12sin 2ABq ?(3045)q＃.………………6分（Ⅱ）由题意可知，要灯柱AB 与灯杆BC 的总造价最低，即要使灯柱AB 与灯杆BC 的长度之和最小. ……………………………7分 在△ABC 中，同理由正弦定理可得：sin120sin(60)AC BCBCq =?-24cos sin(60)BC q q ?-124cos sin )2BCq q q ??212cos sin BC q q q?-6sin 2BCq q ?-+ ……………………………………9分记灯柱AB 与灯杆BC 的长度之和为S ，则有：∴12sin26sin2S AB BC q q q =+=+-+∴6sin 2S q q =++12sin(260)Sq ?++(3045)q＃. …………………………11分又3045120260150q q ＃蓿+?，又易知正弦函数在此范围内单调递减，∴当260150q +=即45q =时，S取得最小值6+米.∴当45q =时灯柱AB 与灯杆BC 的总造价最低. ……………………13分21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为22221x y a b +=，焦距为2c ，………………1分由条件可得：c a=…………………① 221611a b += …………………②，又222a b c =+…………………③由①②③解得:220a =,25b =………………………………………………4分故所求椭圆的标准方程为221205x y +=.………………………………………5分（Ⅱ）设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为k -.设11(,)A x y ，22(,)B x y .∴直线AP 的方程为(4)1y k x =-+，……………………………………6分联立221205(4)1x y y k x ìïï+=ïíïï=-+ïïî整理得2222(41)(832)6432160k x k k x k k ++-+--=. ∴212328441k k x k -+=+， 212168441k k x k --=+，∴21248141k k y k --+=+………7分 将上式中的k 用k -代入可得222168441k k x k +-=+，22248141k k y k -++=+……8分∴2222212221481481164141116841684164141AB k k k k y y k k k k k k k k x x k k k -++--+--++====+-----++，……………10分∴直线AB 的斜率为定值1.而四边形APBQ 的面积212164||64||||1612414||||k S PQ y y k k k =?==?++，故四边形APBQ 面积的最大值为16.…………………………………………13分22．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()2f x x a x ¢=--， …………………………………………………1分易知()f x ¢在1[,)2+?上单调递减， …………………………………2分 ∴当1[,)2x ??时，/1()()32f x f a¢?-.…………………………………3分当3a ³时，()0f x ¢£在1[,)2+?上恒成立.∴当3a ³时，函数()y f x =在1[,)2+?上单调递减.………………………5分（Ⅱ）∵1x ，2x 12()x x <是函数()f x 的两个零点，21111()2ln 0f x x x ax =--= (1)22222()2ln 0f x x x ax =--= ……………（2）……………………………6分由（2）—（1）得：222212121211212ln2ln()()0()x x x x x a x x a x x x x x ----=?-+-…………………8分∵2()2f x x a x ¢=--，所以：121212*********()2()(2)233233x x x x f a x x ax x x x ++¢=--=-+-++，将a 代入化简得：21212121122ln 261()()323x x x x f x x x x x x -+¢=+---+ ………9分因为211()03x x --<，故只要研究2121122ln62x x x x x x -+-+的符号令2121122ln6()2x x h x x x x x -=+-+221221113(1)2()[ln ]21x x x h x x x x x x --?--? …………10分令21x t x =，则1t >，且22122112113(1)223(1)()[ln ][ln ]2121x x x t h x t x x x x x x t x ----?-=---+?，令3(1)()ln 21t t t t j -=-+（1t >），…………………………………………………11分所以：2219(1)(41)()(21)(21)t t t t t t t j --¢=-=++，当1t ³时，()0t j ¢³恒成立，所以()t j 在[1,)+?上单调递增，所以当1t >时，()(1)0t j j >=，所以()0h x <，又211()03x x --<，∴ 212121122ln61()023x x x x x x x x -+--<-+，所以122()03x x f +¢<.……………13分。
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正视图侧视图2013年常德市高三年级模拟考试数学（文史类）注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对.2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁.3.本试卷共5页.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．复数1ii -（i 为虚数单位）的模等于AB ．2C ．D ．122．某教辅书店有四类高考复习用书，其中语文类、数学类、文科综合类及英语类分别有20种、10种、40种、30种，现从中抽取一个容量为20的样本进行检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的数学类与文科综合类书籍种数之和是 A ．4 B ．6C ．8D ．10 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．144．执行右边的程序框图1，输出的T=A ．6B ．8C ．10D ．15 5．下面四个命题中的真命题是 A ．命题“∀x ∈R,均有x2−3x−2≥0”的否定是:“∃x ∈R,使得x2−3x−2≤0” B ．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则x ≠1” C ．已知平面向量a →=(2, −1),b →=(x, 3)，则a →//b →的充要条件是x=−6 D ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的充分不必要条件 6．已知一个几何体的三视图如图2所示， 则该几何体的体积为A．p +B．p +C．4p +D．4p +7．已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A ，B ，C ，D 的距离都大于1的概率为A ．16pB ．4pC．D ．14p-8．当2x >时，不等式21270x a x a -+++…()恒成立，则实数a 的取值范围是A ．39轾-臌, B ．(9ù-?û,C ．3-?(,]D ．9+?[,)9．若规定[]x ()x R Î表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-如：[ 1.2]2,[2.3]2-=-=，{}1.2 1.2(2)0.8-=---=，则函数()sin {}f x x x =-在区间[,]p p -内零点的个数是A ．3B ．4C ．5D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10．若函数2(0)()1()(0)2x xx f x x ìï<ïï=íïïïî…，则()f x 的值域为 .11．若实数x ,y 满足约束条件3123x y x y x y ì+ïïï--íïï-ïïî……?3, 则目标函数2z x y =+的最小值为______.12．已知圆C 的参数方程为2x y q q ìï=ïíï=+ïîcos sin q (为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为21r q r q +=cos sin , 则直线被圆所截得的弦长是 .13．在△ABC 中，已知5,3,120a b C ===?,则sin B 的值是 .14．已知椭圆22135x y m n +=和双曲线22123x y m n -=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 .15．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A 、B 、C ，其中12{,,,}n A a a a =，12{,,,}n B b b b =，12{,,,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<<，k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数2()(2cos sin 2)(0)f x a x x b a =++>（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期T ；（Ⅱ）若[0,]4x p Î时，)(x f 的值域是[1,，求实数a 、b 的值.17．（本小题满分12分）某学校研究性学习课题组为了研究学生的数学成绩优秀和物理成绩优秀之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：（Ⅰ）根据上表完成下面的2×2列联表，并说明能否有99%的把握认为学生的数学成绩优秀与AB CA 1B 1C 1（Ⅱ）记数学、物理成绩均优秀的6名学生为A 、B 、C 、D 、E 、F ，现从中选2名学生进行自主招生培训，求A 、B 两人中至少有一人被选中的概率. 参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．（本小题满分12分）如图3，三棱柱111ABC AB C -的底面边长和侧棱长都是a ，侧面11BB C C ^底面ABC ,且160B BC??.（Ⅰ）求证:1AB BC ^；（Ⅱ）求直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C x py p =>，圆222:8120C x y y +-+=的圆心M 到抛物线1C 的准线的距离为92，点P 是抛物线1C 上一点，过点P 、M 的直线交抛物线1C 于另一点Q ，且||2||PM MQ =，过点P 作圆2C 的两条切线，切点为A 、B.（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）求直线PQ 的方程及PA PB ×的值.xyO PQMA B图320．（本小题满分13分）某企业生产一种特种电线，年成本为100万元，2012年年产量为40万米，售价为5元/米.根据市场调查估计，从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线每年的售价将比上年增加1元/米，在这样的市场前景下，假设不新增投资，该企业的年产量将可维持不变；若决定2013年初新增投资400万元，引进一套先进的生产设备，该设备引进后，第一年可使该特种电线年产量在2012年产量的基础上增加10万米，但由于设备的逐渐损耗，从第二年开始，每年相对于2012年产量的增加量只有前一年相对于2012年产量的增加量的80%.（Ⅰ）到2020年时，此特种电线的售价为多少？如果引进新设备，求出2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和.（Ⅱ）若新引进的设备只能使用10年，试分析该企业2013年初是否应该新增投资引进该设备？(附：70.80.21»,90.80.13»)21．（本小题满分13分）已知实数0a >，函数1()2ln f x ax x x =--，23()(1)(01)2g x ax a x x =-++剟.（Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，且对任意1[1,2]x Î，总存在2[0,1]x Î，使()f x 在1x x =处的导数12()()f x g x ¢=成立，求实数a 的取值范围.图42013年常德市高三年级模拟考试 数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．A 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10． (0,1] 11．4 12． 13. 14．.y x=?15.（1）7,9,11 中任一个 （2）{6,10,11,12}三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） （Ⅰ）解：∵()(cos2sin 21)f x a x x b =+++……………………………………2分cos(2)4x a b p-++ ………………………………………4分∴22T pp ==.………………………………………6分（Ⅱ）∵04xp ＃ ，∴2444xpp p-??，∴cos(2)14x p?………………………………………8分∵)(x f 的值域是， ∴max ()()8f x f a b p==++=min ()(0)21f x f a b ==+=， ………………………………………10分解得1,1a b ==-………………………………………12分17．（本小题满分12分）（Ⅰ）表格为根据上述列联表求得220(61022)245 6.80681281236k ??==?创? 6.635> 所以有99%的把握认为：学生的数学成绩优秀与物理成绩优秀之间有关系．……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）从A 、B 、C 、D 、E 、F 这6名学生中选2人，有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F), (B,C), (B,D), (B,E), (B,F), (C,D), (C,E), (C,F), (E,D), (D,F),(E,F),共15个基本事件，……………………………………………………………………………9分 其中A 、B 两人中至少有一人被选中有（A,B ），（A,C ）,(A,D), (A,E), (A,F), (B,C), (B,D), (B,E), (B,F),共9个基本事件ABCA 1B 1C 1D EP=15=5…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设BC 的中点为D ，连结AD ,1B D ,1B C . 由题设知，ABC D 和1BB C D 都是等边三角形， 因此1,BC AD BC B D ^^………4分BC \^平面1AB D ，1BC AB \^.……………………6分（Ⅱ）作1C E BC ^，垂足是E ，连结AE 平面11BB C C ^平面ABC ，1C E \^平面ABC1C AE \?就是直线1AC 与平面ABC 所成的角 ………………………8分 160BBC ?,1C C //1B B 111160,,2C CEC C a C E CE a \?=\==又， 在1,,,1202ACE AC a CE a ACE AED ==?\=中……………………10分1AC \=因此111sin C E C AEAC ?=…………………………12分即直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.19．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）222:(4)4C x y +-=，∴(0,4)M ，…………………………1分抛物线21:2C x py =的准线方程是2py =-，依题意：422+=，∴1p =，…………………………3分 ∴抛物线1C 的方程为：22x y =.…………………………4分（Ⅱ）设PQ 的方程：4y kx =+2242802y kx x kx x yì=+ïï?-=íï=ïî，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,4)PM x y =--，22(,4)MQ x y =-，∵||2||PM MQ =，∴2PM MQ =，122x x ∴-=…① 又122x x k +=…②，128x x =-…③， 由①②③得1k =?， ∴PQ 的方程为：4y x=? ………………………………………………………9分取PQ 的方程：4y x =+，和抛物线22x y =联立得P 点坐标为P （4,8）∴||PM =，连接,AM BM ，||||PA PB PM ==，设APM a ?，则sin AM PM a ===，……………………………11分∴||||cos2PA PB PA PB a ?=228(12sin )a ?=21.…………………13分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，设从2013年开始的若干年（不少于10年）内，该种电线的售价为一个以a1=6为首项，d= 1为公差的等差数列{an}.故到2020年时，此特种电线的售价为a8，即为13元/米. 工协作 ………………………………………………3分如果引进新设备，则2013年至2020年8年中，该企业生产此特种电线的产量总和为40⨯8+(10+10⨯0.8+10⨯0.82+…+10⨯0.87)=361.6(万米)………………6分（Ⅱ）引进新设备后的10年内，设增加产量带来的收入增加量为S ，由题意有： S=10a1+10×0.8×a2+…+10×0.89×a10=10×(6+7×0.8+8×0.82+…+15×0.89) …………………………………①…………………………………8分0.8S=10×(6×0.8+7×0.82+8×0.83+…+15×0.810) ……………………………② ①—②得，0.2S=10×(6+0.8+0.82+0.83+…+0.89-15×0.810)∴S=50(10-16×0.89)=50×7.92=396, ………………………………………12分xy O PQMAB∵S<400，故该企业2013初不应新增投资引进该设备.……………………………………13分 21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2221() (0)ax x f x x x -+¢=>…………………………………………1分当1a ³时，440a D =-?，()0f x ¢\?恒成立.故()f x 在(0,)+?上为增函数；……………3分当01a <<时，由()0f x x ¢＾，又0()f x 的递减区间为，递增区间为)+?……………………………6分（Ⅱ）∵()f x 在区间[1,2]上为增函数，∴2221()0ax x f x x -+¢=?，[1,2]x Î恒成立，即2210ax x -+?恒成立， 即：221a xx ?.11[1,2][,1]2x x 蝄无22211(1)11x x x -=--+?1a \? ……………………………………………………………………8分222313(1)()(1)()2224a a g x ax a x a x a a ++=-++=-+-，当1a ³时，11122a a +<?，2min 13(1)()()224a a g x g a a ++\==-，max 3(0)2g g ==， 所以函数()g x 的值域为23(1)3[,]242a M a +=-.…………………………10分 又11[1,2][,1]2x x 蝄?2222113()(1)1[1,]4ax x f x a a a x x -+¢?=+--?-，故函数()f x ¢值域为3[1,]4N a a =-- …………………………………11分依题意应有N M Í23(1)192443342a a a a a ìï+ï-?ïïï\?íïï-?ïïïî或0a <? …………12分又1a ³，故所求为9]4a Î…………………………………………13分。