2.4.1-平面向量数量积的物理背景及其含义课件-新人教A版必修4
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
(3)若不平行的两个非零向量 a,b 满足|a|=|b|,则( ab)(a+b)=0.( ) (4)若 a,b 平行,则 a· b=|a||b|.(
答案:(1)× (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一向量数量积的运算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: (1)a· b; (2)(a+b)· (a-b); (3)(2a-b)· (a+3b)
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
做一做 1 (1)已知|a|= 3,|b|=2 3,a 与 b 的夹角是 120°,则 a· b等 于( ) A.3 B.-3 C.-3 3 D.3 3 π (2)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,则 b 在 a 上的投影 为 1 2
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
数量积的几何意义是什么？
[自主探究、合作学习]
探究三：探究数量积的运算性质
数量积r的性r质 性质：若 a 和 b 均为非零向量
r r rr (1) a b __a_g_b___0__（垂直）
（4）的关系是什么？
rr
rr
(2)ａ与ｂ同向时，ａｂ ·
rr
rr
ar_g_rbr__r_|_ar_|_g|_br_r_| ___r，何时取等号？
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、等腰直角
r r rr
rr
2、已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角是60o，则|a+b|=（ ）.
A、37B、13C、37D、13
r r rr
rr
3、设 | a | 3,| b | 5,| a b | 7, 求a与b的夹角.
充充电吧！
b，有a
b
0
(3) 若ar
r 0,
ar
r b
r 0, 则b
r 0
(4) 若a
b
0,
则a,
b 中至少有一个为
0
[自主探究、合作学习]
思考思考！
rr ①记法“agb ”中间的“ ·”可不可以省略？能不能用×代替？
②向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？
[自主探究、合作学习]
的范围 rr agb 的符号
特别地ａ：与ａrａｂ·r反= _向r__ar时 _r2__，ａ__ｂ ·_= _|_ar_a___g|__b2_________（|_a长__|g度_|_b）_|
ab (3)cosθ= ____ar__ _br__（夹角）
rr r r (4) ︱ａｂ·︱___︱ａ︱︱gｂ︱
探究题组二
[自主探究、合作学习]
探究三：探究数量积的运算性质
数量积r的性r质 性质：若 a 和 b 均为非零向量
r r rr (1) a b __a_g_b___0__（垂直）
（4）的关系是什么？
rr
rr
(2)ａ与ｂ同向时，ａｂ ·
rr
rr
ar_g_rbr__r_|_ar_|_g|_br_r_| ___r，何时取等号？
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、等腰直角
r r rr
rr
2、已知|a|=4,|b|=3,a与b的夹角是60o，则|a+b|=（ ）.
A、37B、13C、37D、13
r r rr
rr
3、设 | a | 3,| b | 5,| a b | 7, 求a与b的夹角.
充充电吧！
b，有a
b
0
(3) 若ar
r 0,
ar
r b
r 0, 则b
r 0
(4) 若a
b
0,
则a,
b 中至少有一个为
0
[自主探究、合作学习]
思考思考！
rr ①记法“agb ”中间的“ ·”可不可以省略？能不能用×代替？
②向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？
[自主探究、合作学习]
的范围 rr agb 的符号
特别地ａ：与ａrａｂ·r反= _向r__ar时 _r2__，ａ__ｂ ·_= _|_ar_a___g|__b2_________（|_a长__|g度_|_b）_|
ab (3)cosθ= ____ar__ _br__（夹角）
rr r r (4) ︱ａｂ·︱___︱ａ︱︱gｂ︱
探究题组二
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(30张)
[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 问题 1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]
2.4.1平面向量数量积的物理背景及几何意义-人教A版高中数学必修四课件(共15张PPT)
(a )b (a b ) a (b )
分配律： (a+b)c=ab+bc 消去律: ab=bc(b≠0) a=c
(ab)cacbc
向量数量积运算不能使用 消去律
证明运算律(3)
b
向量a、b、a + b
2
在c上的射影的数量分
a a+b
别是OM、MN、 ON, 1
证明 O ： N O 因 M M ,所 为 N O a 以 Mb 在 c 方 N 向 c 上 等 a 在 于 c 方向上 b 在 的 c 方投 向影 .上加 的
a bcosa co 1 sbco s2
两边同c时 ,得乘以
a bccosa cco 1 sbcco s2
即a （ b） ca cbc 得证！
典型例题 例1.已知向量a，b,求证下列各式
（ 1） (a rb r)2a r22a rb rb r2 r r r r r2 r2
(2)(ab)(ab)ab
解：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a＝－(ba)＋＝b(a)＋·ab＋)·(aa－＋(ab＋)·bb)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a·a ＋a b2· a＋b 2a·b＋b·b 向量的数量积运算类＝似于a2多＋项2式a运·算b＋b2.
r r rr 例 2 . 已 知 |a | 6 ,|b | 4 ,a 与 b 夹 角 为 6 0 o ,
r r rr 例 3 .已 知 |a | 3 ,|b | 4 ,且 a 与 b 不 共 线 .
rr rr k 为 何 值 时 ,(a k b ) (a k b )？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
分配律： (a+b)c=ab+bc 消去律: ab=bc(b≠0) a=c
(ab)cacbc
向量数量积运算不能使用 消去律
证明运算律(3)
b
向量a、b、a + b
2
在c上的射影的数量分
a a+b
别是OM、MN、 ON, 1
证明 O ： N O 因 M M ,所 为 N O a 以 Mb 在 c 方 N 向 c 上 等 a 在 于 c 方向上 b 在 的 c 方投 向影 .上加 的
a bcosa co 1 sbco s2
两边同c时 ,得乘以
a bccosa cco 1 sbcco s2
即a （ b） ca cbc 得证！
典型例题 例1.已知向量a，b,求证下列各式
（ 1） (a rb r)2a r22a rb rb r2 r r r r r2 r2
(2)(ab)(ab)ab
解：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
（2）(a＋b)·(a＝－(ba)＋＝b(a)＋·ab＋)·(aa－＋(ab＋)·bb)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
＝a·a ＋a b2· a＋b 2a·b＋b·b 向量的数量积运算类＝似于a2多＋项2式a运·算b＋b2.
r r rr 例 2 . 已 知 |a | 6 ,|b | 4 ,a 与 b 夹 角 为 6 0 o ,
r r rr 例 3 .已 知 |a | 3 ,|b | 4 ,且 a 与 b 不 共 线 .
rr rr k 为 何 值 时 ,(a k b ) (a k b )？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)
分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
例1．证明（1） (ab)2a22abb2；
22
（2） (ab)(ab)ab.
证明:（1） (a b) 2 (ab)(ab)
aaabbabb
2
2
a 2abb
（2）(ab)(ab) aa-abba-bb
22
a b
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2．已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a 与 b 的夹角为 60 o ，
巩固练习
平面向量数量积的物理背景及其含义
1.在△ABC中, BA =a , BC =b ,a·b<0 ,则△ABC 是_钝__角__三角形
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
2π
3
则 a在е方向上的投影是___–_2_
3.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（ C ）
（A）数量
若a 与 b 反向，则 a b | a || b | ；
特别地，a a |
a
| 2
2
a ，|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ；
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
例1．证明（1） (ab)2a22abb2；
22
（2） (ab)(ab)ab.
证明:（1） (a b) 2 (ab)(ab)
aaabbabb
2
2
a 2abb
（2）(ab)(ab) aa-abba-bb
22
a b
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2．已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a 与 b 的夹角为 60 o ，
巩固练习
平面向量数量积的物理背景及其含义
1.在△ABC中, BA =a , BC =b ,a·b<0 ,则△ABC 是_钝__角__三角形
2.已知 |a| =4,е为单位向量,它们的夹角为
2π
3
则 a在е方向上的投影是___–_2_
3.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（ C ）
（A）数量
若a 与 b 反向，则 a b | a || b | ；
特别地，a a |
a
| 2
2
a ，|a|
aa
2
a
a b
(3)cos
|a | b | ；
(4) | a b | ≤ | a || b | .
用于计算向量的模
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
高中数学必修四教学课件：2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》PPT课件(新人教A版必修4)
a, b , c
3、运算律的证明
学生独立证明运算律（2）
证明反思：当λ<0时，向量a 与 a 、 与b b 的方向的关系如何？此时，向量 a 与 b 、 a 与 b的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
例3、已知 a 3， b 4，a与b 不共线，k为何值时， 向量a kb 与a kb 互相垂直？
学生练习
1、判断下列各命题是否 正确，并说明理由 (1)若a 0，则对任一非零向量 b ，有 a b 0 (2)若a 0，a b a c , 则b c
你能得到哪些结论？
（2）比较 a b 与a b 的大小，你有什么
结论？
2、明晰数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，则 a ·b =0 （1） a⊥ b a ·b=|a|| b| （2）当 a 与 b 同向时， a ·b =-| a||b | 当 a 与 b 反向时， 2 a = a 或︱︱ a =︱︱ a · 特别地， aa （3）︱a ·b ︱≤ | a || b|
2、已知 ABC中， AB a , AC b ,当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC的形状。
活动五、课堂小结与布置作业
1、本节课我们学习的主要内容是什么？
2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？
3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归 纳 和性质的探究？在运算律的探究过程中， 渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研 究数量积？
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
【知识点拨】 1.对数量积概念的理解 (1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角. (2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b， 其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，也不 可省略. (3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意 掌握.
二、向量数量积的性质和运算律
1.向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ,
(1)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_.
(2)当a∥b时，a·b=
__a__b__,当a，b同向时， __｜__a_|_b___,当a，b反向时.
(3)a·a=_|_a_|_2 或_a____a__a.
ab
(4)cos θ=__a_b__.
上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表.
θ的 取值
0
π
(0, )
( ,)
2
2
2
投影 的值
|b|
-|b|
正值
负值
零
图示
3.实数中成立，向量中不成立的结论
(1)a·b=0可推出a=0或b=0；但是a·b=0推不出a=0或b=0.
(2)a·b=c·b，b≠0可推出a=c；
但是a·b=c·b，b≠0推不出a=c.
22
2
2
3. 2
【互动探究】在题2的条件下求 AB BC. 【解析】如图，作 AE B向C量， 与向AB量 的夹B角C是∠ABC 的补角.
规定
零向量与任一向量的数在b方向上的投影:___|_a_|_c_o_s_θ 向量b在a方向上的投影:___|_b_|_c__o_sθ
意 义
几何意义
人教A版高中数学必修四 2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件 (共17张PPT)
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量 的另外一种运算：平面向量的数量积运算
探究新知 探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F
|F| |s| cosα 所做的功： W= _______________
向____量， F（力）是 向 s（位移）是 ____量，
F α S
学以致用
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2. 证明：（2）(a＋b)· (a－b)＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝a· a＋b· a－a· b－
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
概念解析
θ A O |b|cosθ B1 a
b
B
的长度 | a |与 b 在a方向上的投影 a b 等于 a
| b | cos 的乘积。
概念辨析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
注： (a b ) c a (b c )
证明运算律(3)
向量a、b、a + b b在c上的射影的数 量分别是OM、MN、 a a+b 则 ON, N c O M (a + b ) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.
人教A版 必修四 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
明 a＋b 与 a－b 的数量积为零．
【解析】 ∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2， ∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2， ∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又 a 与 b 不共线， ∴a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
设 是非零向量，
提示:
a b cos 0.
a b 0.
提示:
提示:
所以 | a b || a || b | .
向量数量积的性质 设 是非零向量，
【即时训练】
已知向量 a ，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( B )
A．| a |＝ a ·a
B．| a ·b |＝| a ||b |
C．λ( a ·b )＝λ a ·b
D．| a ·b |≤| a || b |
例1. 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
【解析】 a b a b cos
5 4cos120
5 4( 1) 2
10.
【变式练习】
在等边△ABC 中，边长为 1，求 AB·AC ， AB·BC . 【解析】根据两向量夹角的定义， AB 与 AC 的夹角是 60°， AB与 BC 的夹角是 180°－60°＝120°， 则 AB· AC ＝| AB|| AC |cos 60°＝21， AB· BC ＝| AB||BC |cos 120° ＝－12.
上的投影 b cos 的乘积.
还有其他说法吗？ 提示: 向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 b 与a在 b
的方向上的投影 a cos 的乘积.
【即时训练】 投影是向量还是数量？
提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、 可为零．
【解析】 ∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2， ∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2， ∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又 a 与 b 不共线， ∴a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
设 是非零向量，
提示:
a b cos 0.
a b 0.
提示:
提示:
所以 | a b || a || b | .
向量数量积的性质 设 是非零向量，
【即时训练】
已知向量 a ，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( B )
A．| a |＝ a ·a
B．| a ·b |＝| a ||b |
C．λ( a ·b )＝λ a ·b
D．| a ·b |≤| a || b |
例1. 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
【解析】 a b a b cos
5 4cos120
5 4( 1) 2
10.
【变式练习】
在等边△ABC 中，边长为 1，求 AB·AC ， AB·BC . 【解析】根据两向量夹角的定义， AB 与 AC 的夹角是 60°， AB与 BC 的夹角是 180°－60°＝120°， 则 AB· AC ＝| AB|| AC |cos 60°＝21， AB· BC ＝| AB||BC |cos 120° ＝－12.
上的投影 b cos 的乘积.
还有其他说法吗？ 提示: 向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 b 与a在 b
的方向上的投影 a cos 的乘积.
【即时训练】 投影是向量还是数量？
提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、 可为零．
人教A版必修四 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(57张)
b
(3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个 向量a,b,c,如果(a·b)·c=a·(b·c),则λc=μa (λ,μ∈R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在 特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等.
【自我检测】
1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹角为 30°,那么a·b等于 ( )
2
所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.
答案:5或-8
【补偿训练】(2018·大理高一检测)已知向量a与b的
夹角为30°,且|a|= 3 ,|b|=2,则|a-b|等于 ( )
A.1
B. 13
C.13
D. 7 2 3
【解析】选A.向量a与b的夹角为30°,且|a|= 3,
|b|=2,可得a·b=|a|·|b|·cos30°=
【点拨】(1)关于数量积的结果 ①非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0. ②特别地,如若a或b等于零,则a·b=0.
(2)关于数量积的几何意义 ①向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,是一个数量,投 影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与 向量b的模无关. ②向量a在b方向上的投影还可以表示成 a b .
ab a
2 2
1.
3.设向量b和a的夹角是α,
因为|a|= 2 ,|b|=2,且(a-b)⊥a,
所以(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=2-2 2 cosα=0, 所以cosα= 2 ,所以(|2a-b|)2=4a2+b2-4a·b
(3)关于数量积的运算律 数量积对向量的结合律不成立,对于平面内的任意三个 向量a,b,c,如果(a·b)·c=a·(b·c),则λc=μa (λ,μ∈R),即a,c共线,与a,c为任意向量不符,只有在 特殊情况下,如三个向量都同向时,才能相等.
【自我检测】
1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且a与b的夹角为 30°,那么a·b等于 ( )
2
所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.
答案:5或-8
【补偿训练】(2018·大理高一检测)已知向量a与b的
夹角为30°,且|a|= 3 ,|b|=2,则|a-b|等于 ( )
A.1
B. 13
C.13
D. 7 2 3
【解析】选A.向量a与b的夹角为30°,且|a|= 3,
|b|=2,可得a·b=|a|·|b|·cos30°=
【点拨】(1)关于数量积的结果 ①非零向量数量积的运算结果是一个数量, 当0°≤θ<90°时,a·b>0; 当90°<θ≤180°时,a·b<0; 当θ=90°时,a·b=0. ②特别地,如若a或b等于零,则a·b=0.
(2)关于数量积的几何意义 ①向量a在b方向上的投影为|a|cosθ,是一个数量,投 影的值由向量a的模、两向量的夹角的余弦决定,而与 向量b的模无关. ②向量a在b方向上的投影还可以表示成 a b .
ab a
2 2
1.
3.设向量b和a的夹角是α,
因为|a|= 2 ,|b|=2,且(a-b)⊥a,
所以(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=2-2 2 cosα=0, 所以cosα= 2 ,所以(|2a-b|)2=4a2+b2-4a·b
高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4
思路点拨：解答本题可充分利用a·b＝|a||b|cos θ，只要确 定好夹角θ的值即可解决．
Hale Waihona Puke 解：①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角 θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|·cos 60°＝3×6×12 ＝9.
【即时演练】 在△ABC 中，已知∠A＝120°，∠B＝∠C＝30°，AB＝AC ＝1，则A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝________. 解析：过 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵AB＝AC，∴BC＝2BD＝2ABcos B＝2×1× 23＝ 3. A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos (180°－30°)＝1× 3×－ 23＝－32.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
求向量模的常见思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路
(2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【互动探究】 本例中若将“a与b的夹角为120°”改为“a·b＝－1”， 其他条件不变，则|a＋2b|的值又是什么？ 解：|a＋2b|＝ a＋2b2 ＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 16－4＋16＝2 7.
向量的夹角与垂直问题
已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝ 3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
Hale Waihona Puke 解：①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角 θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角 θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|·cos 60°＝3×6×12 ＝9.
【即时演练】 在△ABC 中，已知∠A＝120°，∠B＝∠C＝30°，AB＝AC ＝1，则A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝________. 解析：过 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵AB＝AC，∴BC＝2BD＝2ABcos B＝2×1× 23＝ 3. A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos (180°－30°)＝1× 3×－ 23＝－32.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
求向量模的常见思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路
(2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【互动探究】 本例中若将“a与b的夹角为120°”改为“a·b＝－1”， 其他条件不变，则|a＋2b|的值又是什么？ 解：|a＋2b|＝ a＋2b2 ＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 16－4＋16＝2 7.
向量的夹角与垂直问题
已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝ 3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
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解： a b a b cos
5 4 cos120
1 5 4 ( ) 2 10.
探究五向量数量积的运算律
(交换律)
(数乘结合律) (分配律)
(2)c 0 时不成立.
例2.对任意向量a， b,是否有以下结论： 2 2 2 (1) a+b =a +2a b+b ； 2 2 (2) a+b a-b =a -b 。
36 12 96 72.
例4. 已知 a 3， b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
解： （a kb）（ a kb） , (a kb) (a kb) 0. 2 2 2 又 a 3 9, b 42 16,
9 16k 2 0.
3 k . 4 3 即k 时， a kb与a kb互相垂直. 4
课本106页练习
做学案上的当堂检测
本节课主要学习了：
（1）向量的夹角；
（2）向量的射影； （3）向量的数量积； （4）向量的数量积的几何意义和物理意义； （5）向量的数量积的性质和运算律.
解：（a 2b） （ a 3b） a a a b 6b b
2 2 | a | a b 6 | b | 2 2 | a | | a || b | cos60° 6 | b |
F
的作用下产生位移 ，
θ
S
W=| || |cosθ
其中θ是 与 的夹角.
功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个 向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这
两个向量的一种运算的结果呢？
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的
概念.
课堂探究
探究一数量积的定义
已知两个非零向量 与 b ，我们把数量 叫做 与 b的数量积（或内积）.
向量 a与 b的数量积等于 a 的长度 a 与 b 在 a 方
向上投影 b cos 的积.
还有其它说法吗？
向量 a 与 b的数量积等于 b 的长度 向上投影 a cos 的积.
b 与 a在
b方
探究四数量积的性质:
例1. 已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
记作 其中θ 是 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
思考1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时 候为正，什么时候为负？
当 0 a , b 90 时，它为正值；
当 a , b 90 时，它为0；
当 90 a , b 180 时，它为负值．
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景 及其含义
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及 其物理意义；(重点） 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数
量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的
判断和运算.（重点、难点）
我们学过功的概念，即一个物体在力 力 所做的功W应当怎样计算？
解：有； 2 (1) a+b = a+b a+b =a a+a b+b a+b b 2 2 =a +2a b+b ； (2) a+b a b =a a a b+b a b b 2 2 =a b 。
Байду номын сангаас
探究二投影的概念 b cos （ a cos ) 叫做向量 b在 a方向上（向量
在 b方向上）的投影. a
投影也是一个数量，不是向量. B
B
B
B1 A
B1 O
O (B1) A
A
当为锐角时 投影为正值;
当为钝角时 当为直角时 投影为负值; 投影为0;
探究三数量积的几何意义