初中数学培优提高中位线及其应用

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初中数学中位线的中考知识点整理

初中数学中位线的中考知识点整理
顾名思义。

中位线就是图形的中点的连线，包括三角形中位线和梯形中位线两种。

中位线
中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

应用中位线解决实际问题

应用中位线解决实际问题中位线（Median Line）是统计学中的一个概念，用于表示一组数据的中间位置。

它的计算方法相对简单，但却有着重要的应用价值。

本文将介绍如何应用中位线解决实际问题，以及中位线在实际应用中的优势。

一、中位线的计算方法中位线是一组数据中的中间值，它将数据分为两部分，一部分数据大于中位线，一部分数据小于中位线。

计算中位线的方法如下：1. 将一组数据从小到大排序；2. 若数据个数为奇数，则中位线是排序后的中间值；3. 若数据个数为偶数，则中位线是排序后中间两个数的平均值。

例如，对于数据集{5, 2, 4, 7, 1, 9}，排序后为{1, 2, 4, 5, 7, 9}，其中数据的个数为6，为偶数。

则中位线为(4+5)/2=4.5。

二、中位线在实际问题中的应用1. 数据的中心趋势中位线可以用来表示一组数据的中心趋势。

由于中位线不受极端值的影响，它相比于均值更能准确地反映数据的整体情况。

在统计学中，常常使用中位线来描述一组数据的中心位置，特别是对于一组数据中存在离群值或异常值的情况。

2. 数据的分布特征中位线可以帮助我们了解数据的分布特征。

通过计算数据在中位线上下的分布情况，可以判断数据的偏移和离散程度。

例如，如果数据集的中位线附近的数字较多，并且呈对称分布，说明数据的集中度较高；如果中位线两侧的数字相对较少，说明数据的离散程度较大。

三、中位线的优势相比于其他衡量数据中心趋势的方法，中位线具有以下优势：1. 对离群值不敏感由于中位线的计算方法不受离群值的影响，它对异常值有较强的鲁棒性。

在现实生活中，不同样本之间的差异较大，可能存在少数极端值。

使用中位线可以减少这些极端值对整体数据的干扰，更好地反映大多数样本的特征。

2. 更准确地估计数据整体情况相比于均值，中位线对数据整体情况的估计更准确。

在存在偏斜数据或异常值的情况下，均值容易受到极端值的影响，从而失去了对数据整体的描述能力。

而中位线则能够更好地代表数据的中心趋势，减少极端值的干扰，使我们能够更准确地了解数据的整体情况。

中位线及其应用

中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。

中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。

几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并不一定要把两个结论都写出来。

b ：一个三角形有三条中位线。

c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要的作辅助线的方法。

2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形，故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==，又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972，故答案为：972．【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ．（1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。

九年级数学中位线知识点分析

中位线情境切入学海导航完全解读知能点1、三角形的中位线（1）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.友情提醒：三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，它们虽然都与三角形的边的中点有关，但中位线是两个中点的连线，而中线是顶点与对应边中点的连线；中线经过三角形的顶点，而中位线没有经过三角形的顶点；中位线只与三角形的两边相交，而中线却与三角形的三边都相交；中线平分三角形的面积，而中位线却不能.例1、如图所示，EF是△ABC的中位线，BD平分 ABC交EF于D，若ED=2，则EB=________________。

思维点击：在△ABC 中，∵EF 是△ABC 的中位线 ∴EF//BC ∵∠=∠EDB DBC∵∠=∠DBC ABD ∴∠=∠EDB ABD ∴EB ED ==2 答案：2.知能点2、三角形的重心（1）三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。

（2）三角形重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.友情提醒：三角形的重心指的是三角形的物理中心，假如是一X 厚薄均匀的三角形纸片，那么在三角形三条中线的交点处用一根细线穿过提起，可以发现该纸片呈水平状态，这个现象说明该点就是三角形的重心.例2、如图，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，求证：四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积.思维点击：由已知可知G 是△ABC 的重心，所以AG=2GD ，根据三角形的面积公式，得△ABG 的面积等于△BDG 面积的2倍.连结CG ，则△CDG 的面积等于△BDG 的面积.又由BG=2GE ，得△BCG 的面积等于△CEG 的面积的2倍，所以△CEG 的面积等于△BDG 的面积，所以四边形GDCE 的面积等于△BDG 面积的2倍，所以四边形GDCE 的面积等于△ABG 的面积. 知识点三、梯形的中位线（1）梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.（2）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半. 友情提醒：梯形中位线性质的作用：①位置关系：可以证明条直线平行；②可以证明一条线段是另一条线段的倍分关系。

八年级数学下册 2.4 三角形的中位线三角形中位线的性质及应用素材 (新版)湘教版

三角形中位线的性质及应用三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

这一性质说明了三角形中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边之间的长度关系——等于第三边的一半。

运用这一性质可以解决一些与三角形中位线有关的问题。

一、说明线段相等例1：如图1，在△ABC中，BE是中线，AD⊥BC于D，∠CBE=30°，试说明AD=BE。

解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△BEF中，因为∠CBE=30°，所以BE=2EF。

又因为BE为中线，所以E为AC的中点。

因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以EF∥AD，所以AD=2EF，所以AD=BE。

二、求线段的长度例2、如图2，在△ABC中，M是BC边的中点，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB=12，AC=22，求MD的长。

解：延长BD交AC于E，因为BD⊥AD，所以∠ADB=∠ADE=90°。

因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。

又因为AD=AD，所以△ABD≌△AED所以AE=AB=12，BD=DE。

所以EC=AC-AE=22-12=10。

因为M是BC边的中点，D是BE的中点，图2AEDM图1ACE所以MD=21EC=5。

三、说明线段倍、分关系例3、如图3，AD 是△ABC 的中线，E 为AD 的中点，BE 交AC 于F ，AF=31AC,说明EF=41BF 。

解：取CF 的中点G ，连结DG ，所以DG 是△CFB 的中位线。

因为AF=31AC ，所以F 为AG 的中点，所以EF=21DG ，DG=21BF ，所以EF=41BF 。

四、说明三角形的形状例4、如图4，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是边DC 的中点，N 是边AB 的中点，△MPN 是什么三角形？为什么？解：因为，P 是对角线BD 的中点，M 是边DC 的中点， N 是边AB 的中点，所以MP=21BC ，PN=21AD ，因为AD=BC ，所以MP= PN所以△MPN 是等腰三角形。

初中中位线知识点总结

初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。

2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。

3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。

二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。

2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。

这是因为三角形的三边相等。

3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。

三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。

2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。

3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。

四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。

2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。

3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。

五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。

2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。

3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。

六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。

2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。

七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。

八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。

竞赛专题培训：中位线及其应用

初中数学竞赛专题培训中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，△ABC的面积．分析由条件知，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．(1)求证：GH∥BC；(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．分析若延长AG，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；同样，延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC，进而，利用△ABC的三边长可求出GH的长度．例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，B′，C′，D′分别是AP，PB，BQ，QA的中点．求证：A′C′=B′D′．分析由于A′，B′，C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ，QA的中点，有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形，A′C′与B′D′则是它的对角线，从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件，不难证明这一点．例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，CD＞AB，E，F分别是AC，BD的中点．求证：分析:在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点．例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．分析本题等价于证明△AED是直角三角形，学习地址：铁路局光源大厦20楼第1页其中∠AED=90°．在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解．例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．分析显然ADEF是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．练习部分1．已知△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，CD，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长．2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长．3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BC，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．4．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．6．5.如图2-63所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．6.已知在四边形ABCD中，AD＞BC， E，F分别是AB， CD的学习地址：铁路局光源大厦20楼第2页作业部分：姓名：1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．学习地址：铁路局光源大厦20楼第3页。

中位线及其应用

第2讲：中位线及其应用
1、三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段
（2）性质：平行于第三边，并且等于第三边的一半。

证明及书记格式：
（3）证明方法：
方法一：连接三角形两边中点的线段为三角形中位线
方法二:过三角形一边中点且平行于第三边的线段是三角形中位线
2.梯形中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半。

证明：
【例题精讲】
【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，证明BD=2EF。

【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点.
求证：
1
2
DM AB
A
B
D
B
【例2】已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点证明四边形EFGH 是平行四边形形
【例3】梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点。

求证：MN ＝21（AB －CD ）
【例4】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

【巩固】已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN
A B C P M D A B D C M N A C P M N。

中线与中位线(培优)复习过程

中线与中位线(培优)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效. 例1 如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，OA =OC ,求证：OB =OC基本结论：①若OA =OB ，则OA =OB =OC , ②若OA =OC ，则OB =OC ，③若OB =OC ，则OA =OC .例2（1）如图1，已知△ABC 和△ABD 中，∠ACB =∠ADB =90°，点O 是AB 的中点，求证：OC =OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？基本结论：若OA =OB ，则OA =OB =OC =OD例3 如图，∠DBC =∠BCE =90°，M 为DE 的中点，求证：MB =MCDE例4 如图,在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =90°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE =EF ，点M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM =12CE ；（2）OBOM例5 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠CBD . DE ⊥BD ,DE 交BC 于E .求证：CD =12BE.例6 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,点M ,N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN ⊥DE ；（2）连ME ，MD ，若∠A =60°，求MNDE的值.图1图2例7 △BCD和△BCE中，∠BD C=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DEOE.（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为 .（用α表示）构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题. 题型一利用角平分线和垂直构造中位线例1 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME.题型二倍长构造三角形中位线例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=12CF题型三取中点构造三角形中位线例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=MN.EF图1 图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除题型四连接两点构造三角形中位线例4 如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D,点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DFA例5 已知∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为，位置关系为 .（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的△CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为 .图1 图3图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例7 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.（提示：取DE的中点F，连接AF）DB收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

九年级数学上册《中位线》优秀教学案例

九年级数学上册《中位线》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，九年级的学生已经具备了较为扎实的数学基础和逻辑思维能力。《中位线》作为九年级数学上册的教学内容，旨在帮助学生理解几何图形中的特殊线段——中位线，并运用中位线的性质解决实际问题。本案例以九年级数学上册《中位线》为背景，结合学生的实际水平和教学目标，设计了一系列具有实用性和启发性的教学活动。通过引导学生探索中位线的性质，培养他们的空间想象力和几何直观，进一步提高学生的数学素养和解决问题的能力。在教学过程中，教师将采用人性化的语言，激发学生的学习兴趣，营造轻松愉快的教学氛围，让九年级学生在掌握知识的同时，感受到数学学习的乐趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过一个简单的实际问题和一则相关的数学故事来吸引学生的注意力，为新课的学习做好铺垫。
1.实际问题：向学生展示一个关于土地划分的问题，提出如何公平地划分一块三角形的土地给三个人的问题。这个问题与学生的生活息息相关，可以激发他们的好奇心和探究欲望。
2.数学故事：讲述古希腊数学家欧几里得如何运用中位线原理解决土地划分问题的故事，以此来引出中位线的概念，让学生感受到数学的实用性和历史渊源。
-鼓励学生在学习过程中积极提问、勇于挑战，培养他们面对困难的勇气。
-对学生的每一次进步给予肯定和表扬，增强他们的自信心。
2.引导学生认识到数学学习的价值，激发他们的学习兴趣和动力。
-通过实例讲解，让学生感受到数学在生活中的重要作用。
-举办数学知识竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野，提高他们的学习兴趣。
1.创设生活情境：以学生熟悉的生活场景为例，如校园里的操场、家庭房间布局等，引导学生发现中位线在生活中的பைடு நூலகம்用，从而引出中位线的概念。

初中数学培优辅导资料(32)讲 - 中位线

初中数学竞赛辅导资料（32）中位线内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN （1991年泉州市初二数学双基赛题）证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 ∴AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝ME PE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN ∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点，则可运用中位线的性质求MN 的长，根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略）例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。

第六讲---相似三角形的中位线及其应用培优辅导(三)

第六讲相似三角形(三) -------三角形的中位线及其应用一、知识点梳理：1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.三角形中位线定理： ①三角形的中位线于第三边（位置关系） ②三角形的中位线等于（数量关系）符号语言：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE)∴DE //2、三角形的重心：三角形重心的性质：基础巩固1、如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，已知DE=5，则BC 的长为2、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，则S △EBD ：S △ABC =3、若△ABC 的面积是8cm 2，则它的三条中位线围成的三角形的面积是4、△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，三条中位线组成第一个中点三角形，第一个中点三角形的三条中位线又组成第二个中点三角形，以此类推，求第2009中点三角形的周长为（）A ．B ．C ．D ．5、如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积…，由此可得，第2014个正△A 2014B 2014C 2014的面积是（）A ．B ．C ．D ．3、梯形的中位线定义：连结梯形中点的线段. 梯形中位线定理：梯形的中位线B3、中点四边形：对角线的四边形的中点四边形是菱形对角线的四边形的中点四边形是矩形对角线的四边形的中点四边形是正方形对角线的四边形的中点四边形是平行四边形(1) 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是.(2) 顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是.(3) 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是.(4) 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是.(5) 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是基础巩固1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形2、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④3、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）（A）62cm （B）6cm （C）32cm （D）二、专题讲解：常规辅助线的添加方法一、【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB的中点. （1）求证：DE∥BC；（2）求证：DE=（BC-AC）/2BAFME C BA PF E DC BA练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。

中考数学复习三角形的中位线【培优讲练】

9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =，在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是．【答案】120【解析】解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠，同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==，同理可得，1122NH AB ==，在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<，当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <，故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠，在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==，而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =．故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==；（2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==，四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=，同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=，故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为．【答案】1：16【解析】解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】解：如图，四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==，故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=．故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=，又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥，故222MN PM PN PM ⨯==，当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==，同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。

例析三角形中位线定理及其应用

２０２３年４月下半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀例析三角形中位线定理及其应用◉甘肃省白银市第六中学㊀苏东红㊀㊀摘要:与三角形有关的线非常多,如高线㊁中线㊁角平分线㊁垂直平分线等,它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的角色㊁发挥着不同的作用．本文中以北师大版初中数学教材为蓝本,结合例题分析三角形中位线定理及其应用,可以给一线教师带来帮助．关键词:三角形;中位线;作用㊀㊀在北师大版初中数学教材中,三角形的中位线及其定理被安排在了平行四边形这一章,属于比较基础且非常重要的知识点．基础是因为难度较小,重要是因为它在解决初中几何问题中往往发挥着重要的作用,是一线教师应着重讲解㊁分析的内容．基于此,本文中首先介绍了三角形的中位线及其定理,然后通过例题分析其具体应用．１三角形中位线及其定理１．１三角形中位线在教材中,三角形的中位线是这样定义的:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．由此不难得知,一个三角形有三条不同的中位线．另外,三角形的中位线与三角形的中线不同:三角形中位线的两个端点分别是三角形两边的中点(如图１Ｇ１),而三角形的中线的两个端点,分别是三角形的顶点和这个顶角对边的中点(如图１Ｇ２)[１]．图１Ｇ１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１Ｇ２１．２三角形中位线定理在教材中,通过研究得到了三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 ,这就是三角形中位线定理．由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系．(１)位置关系:三角形的中位线与第三边互相平行,如在图１Ｇ１中,有D EʊB C;(２)数量关系:三角形的中位线等于第三边的一半,如在图１Ｇ１中,有D E＝１２B C．２三角形中位线定理的应用三角形中位线定理是初中数学几何部分非常重要的理论知识,对解答几何问题的帮助非常大[２]．下面结合例题分析三角形中位线定理的具体应用．２．１证明两条直线平行图２例１㊀(２０２２钦州)如图２,D E是әA B C的中位线,则әA D E与әA B C的面积比是．分析:由中位线可知D EʊB C,D E＝１２B C,则әA D EʐәA B C,相似比为１ʒ２．根据相似三角形的面积比是相似比的平方,即得结果．解:ȵD E是әA B C的中位线,ʑD EʊB C,且D E＝１２B C．ʑәA D EʐәA B C,且相似比为１ʒ２．ȵ相似三角形的面积比是相似比的平方,ʑәA D E与әA B C的面积的比为１ʒ４．点评:本题要熟悉中位线定理及相似三角形的判定及性质,牢记相似三角形的面积比是相似比的平方．图３变式１㊀如图３,D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,将әA B C沿着线段D E所在直线折叠,使点A落在点F处．若øB＝５５ʎ,则øB D F＝ʎ．解析:因为D,E分别是әA B C两边A B,A C的中点,所以D E是әA B C的中位线．根据三角形中位线定理,可知D EʊB C,进一步利用平行线的性质得到øB＝øA D E＝５５ʎ．最后,根据折叠前后的两个图形全等这一特点,易得øF D E＝øA D E＝５５ʎ．所以øB D F＝１８０ʎ－øF D E－øA D E＝７０ʎ．答案:７０．点评:本题用到的知识点比较多,如三角形中位线定理㊁平行线的性质㊁图形折叠的性质等,其中判断D E是әA B C的中位线且根据三角形中位线定理得到D EʊB C最关键．由此可见,证明两边互相平行的１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学法指导２０２３年４月下半月㊀㊀㊀方法不只有平行线的判定定理,还有三角形中位线定理．２．２证明线段的相等或倍分关系图４例２㊀如图４,在әA B C中,A D 为B C 边上的中线,F 为A C 边上一点,A F ＝１３A C ,连接B F 交A D 于点E ,E F ＝５c m ,求B F 的长．分析:因为A D 为B C 边上的中线,所以D 为B C 的中点,取C F 的中点M ,连接DM ,则DM 为әB C F 的中位线,可得DM ʊB F ,DM ＝１２B F ．再通过证明可得E F 为әA DM 的中位线,则E F ＝１２DM ,从而得到B F ＝４E F ,最后求出B F 的长．解:如图５,取C F 的中点M ,连接DM ．ȵD 为B C 的中点,ʑDM 是әB C F 的中位线．ʑDM ʊB F ,DM ＝１２B F ,即B F ＝２DM ．图５ȵA F ＝１３A C ,ʑA F ＝１２F C ．又ȵF M ＝１２F C ,ʑA F ＝F M ,即F 是AM 的中点．ȵE F ʊDM ,ʑE 为A D 的中点．ʑE F 是әA DM 的中位线．ʑE F ＝１２DM ,即DM ＝２E F ．ʑB F ＝２DM ＝２ˑ２E F ＝４E F ．ȵE F ＝５c m ,ʑB F ＝２０c m ．图６变式２㊀如图６,在四边形A B C D 中,A B ＝C D ,E ,F 分别是B C ,A D 的中点,B A ,C D 的延长线分别与E F 的延长线交于点M ,N ．求证:øB M E ＝øC N E ．分析:受例２解题方法的启发,遇到中点就构造三角形的中位线,考虑E ,F 在不同的边上,所以在构造中位线时应连接B ,D ,使得E ,F 两个中点产生联系．解:如图７,连接B D ,取B D 的中点G ,连接G E ,G F ．ȵG ,F 分别是B D ,A D 的中点,图７ʑG F ＝１２A B ,G F ʊB M ．同理可证G E ＝１２C D ,G E ʊC N ．ȵA B ＝C D ,ʑG F ＝G E ．ʑøG F E ＝øG E F ．ȵG F ʊB M ,ʑøG F E ＝øB M E ．ȵG E ʊC N ,ʑøG E F ＝øC N E ．ʑøB M E ＝øC N E ．点评:已知三角形一边中点时,常取另一边的中点,或者连接某线段,构造出三角形的中位线．３总结通过以上几道题的分析和总结,不难发现三角形中位线定理在解决平行㊁线段数量关系中发挥着重要作用．教师在教学中要注意以下两个方面:首先, 遇中点,想中位线 ,让学生充分掌握作辅助线构造三角形中位线的方法．例２和变式２都采用了作辅助线的方法,但例２的方法比较简单,而变式２中的方法比较复杂．这就启示解题者遇中点,想中位线是解决这一类问题的通法[３]．当中点数量较多时,可连接某两个点形成一条线段并将之作为桥梁 ,把若干个中点联系起来,如变式２中的B D ．其次,注重知识网络的构建,利用变式激发学生思维．三角形中位线定理会出现在许多几何题中,与之相关的知识点也非常多[４]．所以,为了结合三角形中位线定理顺利㊁高效地解决问题,一定要及时构建和完善知识网络[５]．当然,利用变式训练学生的思维也非常重要．参考文献:[１]张培恳．不同的课题与学生,需要不同的教法谈三角形中位线定理一课的不同教法[J ]．数学教学通讯,２０１９(２３):３６Ｇ３７．[２]边锋．三角形中位线构造方法的探究与建议[J ]．中学数学,２０２０(２０):３８Ｇ４０．[３]赵蓉．基于问题解决能力提升的初中数学探究性教学策略研究以三角形中位线定理教学为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):３４Ｇ３５．[４]廖志东,林艳霞．简约而不简单剖析三角形中位线定理教学的重㊁难点突破[J ]．中国数学教育,２０２０(Z ３):７Ｇ１０．[５]王松．与三角形中位线相关的典型中考题[J ]．初中生学习指导,２０２１(１７):１４Ｇ１５．Z２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三角形中位线定理与应用

三角形中位线定理与应用引言三角形是几何学中的重要概念，其性质和定理被广泛应用于数学和物理学的各个领域。

本文将介绍三角形中的一个重要定理——三角形中位线定理，并讨论其应用。

三角形中位线定理三角形中位线定理是指一个三角形的三个中位线交于一点且该点距离三个顶点的距离相等。

具体地说，对于任意三角形ABC，连接其中任意两个顶点的中点，得到三条中线AD，BE和CF。

中位线定理表明这三条中线交于一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。

证明为了证明三角形中位线定理，我们先假设以点G为交点的中线AD与边BC的交点为点E。

根据中线的性质，AD的长度是线段BE的一半。

因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * BE （1）同理，根据中线的性质，AD的长度是线段EC的一半。

因此，我们可以得到以下等式： AE = 1/2 * EC （2）由等式（1）和（2）可知： 1/2 * BE = 1/2 * EC通过上述等式我们可以推导出BE = EC。

因此，点E在线段BC的中点。

同理，我们可以证明点G也是线段AB和线段AC的中点。

因此，三条中线AD、BE和CF都通过一点G，并且G到三个顶点A、B和C的距离相等。

应用三角形中位线定理不仅仅是一个理论定理，它还具有一些实际的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用情况。

1. 建模问题三角形中位线定理可以用于解决一些建模问题。

例如，假设我们要在一个三角形中找到一个点，使得该点到三个顶点的距离之和最小。

根据中位线定理，我们可以简单地找到三条中线的交点，即为所求点。

这种方法在处理一些几何建模问题时非常实用。

2. 三角形特性分析通过三角形中位线定理，我们可以研究三角形的一些特性。

例如，我们可以推导出一个结论：三角形中位线的长度之和等于三角形三边长度之和的一半。

这个结论可以帮助我们分析三角形的性质和特点，并且在解决相关问题时提供了重要的线索。

3. 相似三角形问题三角形中位线定理还可以应用于相似三角形的问题。

2022年中考数学三角形中的中位线定义详解与定理作用

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三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

注意：重要辅助线
⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线证明方法
⑴直接证法：综合法、分析法
⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论
⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等
⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法
⑸证线段和差关系：延结法、截余法
⑹证面积关系：将面积表示出来。

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中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时三角形的中位线就变成梯形的中位线。

中位线定理
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
中位线定理推广
三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。

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